חשבון אינפיניטסמלי מתקדם 2

62
– סיכומי הרצאות2 חשבון אינפיניטסמלי מתקדם2011 ביוני26 יורם לסט מרצה: פרופ[email protected] מתרגל: עמית דניאלי –י: אור שריר סוכם ע[email protected] פניות לתיקונים והערות:http://bit.ly/huji_notes אתר הסיכומים שלי:1

Upload: or-sharir

Post on 11-Feb-2016

239 views

Category:

Documents


3 download

DESCRIPTION

סיכום הרצאות בקורס: חשבון אינפיניטסמלי מתקדם 2

TRANSCRIPT

Page 1: חשבון אינפיניטסמלי מתקדם 2

הרצאות סיכומי – 2 מתקדם אינפיניטסמלי חשבון

2011 ביוני 26

לסט יורם פרופ׳ מרצה:

[email protected] – דניאלי עמית מתרגל:

שריר אור ע״י: סוכם

[email protected] והערות: לתיקונים פניות

http://bit.ly/huji_notes שלי: הסיכומים אתר

1

Page 2: חשבון אינפיניטסמלי מתקדם 2

עניינים ענייניםתוכן תוכן

עניינים תוכן

4 הרצאות I4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . מנהלות 1

4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . פונקציות סדרות 2

8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C (K) הנורמי המרחב 3

10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . פולינומים ע״י קירוב 3.1

15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . פנימית מכפלה מרחבי 4

21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . H (a, b) המרחב 4.1

27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . פורייה טורי 5

32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . סומציה שיטות 5.1

35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . לינאריים אופרטורים 6

38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . משקל פונקציית 6.1

44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . הסופי והציון המבחן על 7

45 תרגולים II45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.02.2011 – 1 תרגול 8

45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . אינסופי ממימד וקטוריים מרחבים 8.1

46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . נורמות 8.2

47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.02.2011 – 2 תרגול 9

47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C (K) המרחב 9.1

47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . האלכסון) וטכניקת Helly (משפט 9.2

48 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 03.03.2011 – 3 תרגול 10

48 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . צפוף הפולינומים מרחב משפט 10.1

50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . סטון־ויירשטרס ממשפט מסקנות – 10.03.2011 – 4 תרגול 11

52 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.03.2011 – 4 תרגול 12

52 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . הטלות 12.1

55 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.03.2011 – 5 תרגול 13

55 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . הטלות על המשך 13.1

55 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . טורים 13.2

56 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l2 (A) המרחב 13.3

57 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 07.04.11 – 7 תרגול 14

59 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 05.05.2011 – 9 תרגול 15

2

Page 3: חשבון אינפיניטסמלי מתקדם 2

עניינים ענייניםתוכן תוכן

59 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . החום משוואת של ההתחלה בעיית 15.1

61 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . סוכם לא – 10 תרגול 16

61 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.05.2011 – 11 תרגול 17

61 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . האורתונורמליים הפולינומים של האפסים 17.1

61 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . מקורבת אינטגרציה 17.2

3

Page 4: חשבון אינפיניטסמלי מתקדם 2

פונקציות סדרות 2

I חלק

הרצאות

מנהלות 1

א׳). (חלק לינדרשטראוס של בספר נמצא הקורס של החומר רוב קורס: ספר

הבחינה ציון את משפרים התרגילים אם %20 יהוו והם ביותר, הטובים הציונים מ־%70 ילקח התרגילים של הציון תרגילים:הבחינה. ציון את משפרים לא התרגילים אם ו־%10

פונקציות סדרות 2

גבולות לפונקצייה נקודתית מתכנסת ,Y מטרי למרחב X מטרי ממרחב {fn}∞n=1 פונקציות שסדרת אומרים 2.1 הגדרהx ∈ X לכל שקול, באופן .limn→∞ fn (x) = f (x)ש־ מתקיים x ∈ X שלכל מתקיים אם לאינסוף, שואף n כאשר f

.d (fn (x) , f (x)) < εש־ מתקים n > m שלכל כך m קיים ε > 0 ולכל

תלוי בלתי באופן להיבחר יכול לעיל שנקבע mה־ אם fל־ (במ״ש) שווה במידה מתכנסת {fn}∞n=1 הסדרה 2.2 הגדרהמתקיים כשזה .d (fn (x) , f (x)) < εש־ מתקיים n > m ולכל x ∈ X שלכל כך ,m קיים ,ε > 0 שלכל כלומר ,xב־

.fn ⇒ f גם נסמן.supx∈X d (fn (x) , f (x)) →

n→∞0 היא זאת לכתוב שקולה דרך

נכון. לא שההפך בעוד נקודתית, התכנסות גוררת במ״ש שהתכנסות ברור 2.3 הערה

דוגמאות:

fn → f (x) = 0 ולכן limn→∞ fn (x) = limn→∞ xn = ש־0 לראות וקל ,[0, 1) על fn (x) = xn .1(נקודתית).

ולכן ,supx∈[0,1) |fn (x)− f (x)| = supx∈[0,1) xn = 1 כי fל־ במ״ש מתכנסת לא שהפונקציה לב נשים

נקודתית). בהתכנסות אחר גבול לקיום גורר היה זה (אחרת פונקציה לשום במ״ש מתכנסת לא גם היא

זו פונקציה כי לב ונשים (נקודתית), limn→∞ fn (x) = xn =

{1 x = 1

0 x 6= 1אז [0, 1] הקטע על נסתכל אם

רציפות. fnש־ אף על רציפה, לא היא(במ״ש). fn ⇒ 0 אז ε < 1 עבור [0, 1− ε] הקטע על נסתכל אם

בסיס עם n בגובה שוקיים שווה משולש (כלומר fn (x) =

0 x = 0

n2x 0 < x ≤ 1n

2n− n2x 1n < x ≤ 2

n

0 2n < x ≤ 1

הפונקציה על נסתכל .2

.( 2n(נקודתית). fn → f (x) = 0 ולכן x ∈ [0, 1] לכל limn→∞ fn (x) = ש־0 מתקיים

במ״ש. מתכנסת לא היא ולכן supx∈[0,1] |fn − 0| = n→∞ שני, מצד

אזי: ,f גבולית לפונקצייה במ״ש השואפת Y למ״מ X מטרי ממרחב פונקציות סדרת {fn}∞n=1 תהי 2.4 משפט

.aב־ רציפה f גם אזי ,a ∈ X בנקודה רציפה fn כל אם .1

4

Page 5: חשבון אינפיניטסמלי מתקדם 2

פונקציות סדרות 2

רציפה. f גם אזי רציפות, fnה־ כל אם .2

במ״ש. רציפה f גם אזי במ״ש, רציפות fnה־ כל אם .3

הטענות: את נוכיח הוכחה:

ש־ מתקיים n > m ולכל x ∈ X שלכל כך m ∈ N קיים ε > 0 שלכל נובע במ״ש ההתכנסות מהנחת .1.d (fn (x) , f (x)) < ε

3.d (fn (x) , fn (a)) < ε

3 גורר d (a, x) < δש־ כך δ > 0 שקיים נובע aב־ fm מרציפותמתקיים: d (a, x) < δ המקיים x ∈ X לכל לכן

d (f (x) , f (a)) ≤ d (f (x) , fn (x)) + d (fn (x) , fn (a)) + d (fn (a) , f (a))

3+ε

3+ε

3= ε

ε״) שליש ״ארגומנט לפעמים קוראים כזה הוכחה (לסוג

.(2) את גורר (1) .2

.x ∈ X לכל נבחרים δוה־ mשה־ לב נשים כאשר ,(1) טענה להוכחת זהה (3) טענה הוכחת .3

במ״ש. fn →n→∞

fש־ כך fn : X → Y ו־ מטריים מרחבים X,Y יהיו 2.5 טענה

.fn (xn)→ f (x0) אזי ,xn →n→∞

x0 המקיימת {xn}∞n=1 ⊆ Xו־ x0 ∈ Xב־ רציפה fn כל אם

גורר d (x0, x) < δש־ כך δ > 0 קיים ε > 0 לכל ולכן ,x0ב־ רציפה fש־ נובע הקודם מהמשפט הוכחה:.d (f (x) , f (x0)) < ε

2.d (xn, x0) < δש־ מתקיים n > m לכל שעבורו m קיים xn →

n→∞x0ו־ היות

.x ∈ X לכל d (fn (x) , f (x)) < ε2 גורר n > m גם אז גדול, מספיק m שאם נובע ,fל־ fn של במ״ש, מההתכנסות

מתקיים: n > mו־ גדול מספיק m שעבור מתקיים הנ״ל משילוב

d (fn (x) , f (x0)) ≤ d (fn (xn) , f (xn)) + d (f (xn) , f (x0))

2+ε

2= ε

נקודתית מתכנס∑∞k=1 fk (x) הטור .Rל־ מטרי למרחב X מטרי ממרחב פונקציות סדרת {fk}∞k=1 תהי 2.6 הגדרה

gn אז ,gn (x) =∑nk=1 fk (x) נגדיר אם כלומר במ״ש, / נקודתית מתכנסת החלקיים הסכומים סדרת אם במ״ש /

במ״ש. / נקודתית מתכנסת

כלליים מטריים למרחבים גם במ״ש) או (נקודתית הטור התכנסות את להגדיר ניתן היה כללי, יותר באופן 2.7 הערהאך טופולוגיות, קומוטטיביות חבורות נקראים כאלו מבנים מוגדר). יהיה שהחיבור (ע״מ קומוטטיביות חבורות גם שהם

זה. בקורס בכך נעסוק לא

supx∈X |fk (x)| ש־≥ נניח .Rל־ X מטרי ממרחב פונקציות סדרת {fk}∞k=1 תהי ויירשטרס) של M (קריטריון 2.8 טענה.X על במ״ש מתכנס

∑∞k=1 fk (x) אזי מתכנס,

∑∞k=1Mk ושהטור Mk

5

Page 6: חשבון אינפיניטסמלי מתקדם 2

פונקציות סדרות 2

,Sn =∑nk=1Mk נסמן .x ∈ X לכ בהחלט מתכנס

∑∞k=1 fk (x) הטור טורים, של ההשוואה קריטריון ע״פ הוכחה:

ש־ מתקיים pו־ n ולכל ,S (x) = limn→∞ Sn (x)ו־ S = limn→∞ Sn ,Sn (x) =∑nk=1 fk (x)

|Sn+p (x)− Sn (x)| ≤ Sn+p − Sn

כי נקבל p→∞ בו הגבול ולקיחת קבוע n שמירת ע״י ולכן

|S (x)− Sn (x)| ≤ S − Sn

|S (x)− Sn (x)| < גורר n > mש־ כך m קיים ε > 0 שלכל נובע ,Sn →n→∞

Sו־ היות .x ∈ X לכל מתקיים וזה

.x ∈ X לכל S − Sn < ε

אזי: ,f גבולית לפונקציה [a, b] על במ״ש המתכנסת רציפות פונקציות סדרת fn : [a, b]→ R תהי 2.9 טענה

limn→∞

ˆ b

a

fn (x) dx =

ˆ b

a

limn→∞

fn (x) dx =

ˆ b

a

f (x) dx

כי n ∈ N לכל מתקיים אינגרבילית. ובפרט רציפה fש־ נובע האחרון שמהמשפט לב נשים הוכחה:

ˆ b

a

f (x) dx =

ˆ b

a

(f (x)− fn (x)) dx+

ˆ b

a

fn (x) dx

supx∈[a,b] |f (x)− fn (x)| < גורר n > mש־ mכך קיים ε > 0 ולכל היות .limn→∞´ ba

(f (x)− fn (x)) dx = ש־0 להראות ודיגם n > mשל־ נובע ולכן ,ε∣∣∣∣∣

ˆ b

a

(f (x)− fn (x)) dx

∣∣∣∣∣ ≤ˆ b

a

|f (x)− fn (x)| dx

≤ˆ b

a

εdx = ε (b− a)

[a, b] על במ״ש מתכנסת {f ′n} הנגזרות שסדרת נניח גזירות. פונקציות סדרת fn : [a, b] → R תהא 2.10 משפטאזי: מתכנסת, {fn (c)}∞n=1 הסדרה שעבורה c ∈ (a, b) ושקיימת g לפונקציה

.f גבולית לפונקציה [a, b] על במ״ש מתכנסת {fn}∞n=1 .1

.x ∈ (a, b) לכל f ′ (x) = g (x)ו־ גזירה פונקציה f .2

ש־ מתקיים x ∈ Xו־ n,m לכל .I = [a, b] נסמן הוכחה:

|fm (x)− fn (x)| = |(fm − fn) (x)− (fm − fn) (c) + (fm − fn) (c)|≤ |(fm − fn) (x)− (fm − fn) (c)|+ |(fm − fn) (c)|

cל־ x בין ξ שקיים מתקיים לגראנג׳ וממשפט הפונקציות, מהתכנסות |(fm − fn) (c)| < ε2 עתה

|(fm − fn) (x)− (fm − fn) (c)| =∣∣(fm − fn)

′(ξ) (x− c)

∣∣ ≤ (b− a)∣∣(fm − fn)

′(ξ)∣∣

6

Page 7: חשבון אינפיניטסמלי מתקדם 2

פונקציות סדרות 2

במ״ש מתכנסת f ולכן |fm (x)− fn (x)| < ε ולכן∣∣(fm − fn)

′(ξ)∣∣ < ε

2(b−a)ש־ נקבל הנגזרות מהתכנסות ולכןכלשהי. f לפונקציה

רציפה ϕש־ להראות ודי ,a−x0 < h < b−x0 כאשר ϕ (h) =

{f(x0+h)−f(x0)

h h 6= 0

g (x0) h = 0נגדיר .f ′ = gש־ צ״ל בנוסף,

ב־0. רציפות פונקציות סדרת של (a− x0, b− x0) על במ״ש גבול ϕש־ מכך ינבע וזה ,h = ב־0

נקודתית ϕn (h)→ ϕ (h) ש־ ומתקיים גזירה, fn כי רציפה פונקציה שהיא ϕn (h) =

{fn(x0+h)−fn(x0)

h h 6= 0

f ′n (x0) h = 0נגדיר

נראה כך ולשם רציפה), ϕ קודם משפט לפי (ואז במ״ש מתכנסת שהיא להראות וצריך טריוויאלי), (באופן בקטע h לכלבמ״ש. קושי סדרת ϕnש־

מתקיים: h 6= 0 עבור לכן ,ξ ∈ I לכל |f ′n (ξ)− f ′m (ξ)| < ε מתקיים m,n > N שלכל כך N נמצא ε > 0 בהינתן

|ϕn (h)− ϕm (h)| =1

|h||(fn − fm) (x0 + h)− (fn − fm) (x0)|

=∣∣(fn − fm)

′(ξ)∣∣ < ε

כן גם h = 0 ועבור

|ϕn (0)− ϕm (0)| = |f ′n (x0)− f ′m (x0)| < ε

במ״ש. מתכנסת ϕn ולכן

טורים: בלשון גם האחרונים המשפטים את לנסח ניתן

אזי הקטע, באותו במ״ש המתכנס [a, b] קטע על ממשיות רציפות פונקציות טור∑∞n=1 fn (x) יהי 2.11 משפט

ˆ b

a

( ∞∑n=1

fn (x)

)dx =

∞∑n=1

(ˆ b

a

fn (x) dx

)

בנוסף קטע. באותו במ״ש מתכנס∑∞n=1 f

′n (x)ש־ כך (a, b) בקטע גזירות פונקציות טור

∑∞n=1 fn (x) יהי 2.12 משפט

בקטע גזיר וסכומו (a, b) על במ״ש מתכנס∑∞n=1 fn (x) אזי מתכנס,

∑∞n=1 fn (c)ש־ כך c ∈ (a, b) שקיימת נניחש־ x ∈ (a, b) לכל ומתקיים (a, b) )הפתוח ∞∑

n=1

fn (x)

)′=

∞∑n=1

f ′n (x)

הערות: מספר 2.13 הערה

את מהווה היא אז Sn כלשהי סדרה בהינתן שני ומצד החלקיים, הסכומים סדרת להתכנסות שקולה טור התכנסות .1שקולים האחרונים שהמשפטים ברור זו מעובדה .S1 +

∑∞n=1 Sn+1 − Sn הטור של החלקיים הסכומים סדרת

ולהפך. לסדרה מטור לעבור ניתן כי לקודמים

אינטגרציה. / גזירה עם סכימה סדר להחלפת מספיקים תנאים של משמעות למשפטים .2

המתכנסת ,K קומפקטי מטרי מרחב על רציפות ממשיות פונקציות סדרת {fn}∞n=1 תהי דיני) (משפט 2.14 משפטמתכנסת {fn}∞n=1 הסדרה אזי מונוטונית, {fn (x)}∞n=1 המספרים סדרת x ∈ K לכל אם .f רציפה לפונקצייה נקודתית

במ״ש. fל־

7

Page 8: חשבון אינפיניטסמלי מתקדם 2

C (K) הנורמי המרחב 3

|fnk (xk)− f (xk)| ≥ εש־ כך {xk}∞k=1ו־ {nk}∞k=1 וסדרות ε > 0 קיימים אזי במ״ש, איננה ההתכנסות אם הוכחה:

ש־ נובע מהמונוטוניות טבעי. k לכל

|fm (xk)− f (xk)| ≥ |fnk (xk)− f (xk)| ≥ ε

ב־ fו־fm מרציפות קומפקטי). K (כי x0 ∈ K לגבול השואפת תת־סדרה יש {xk}∞k=1 לסדרה nk ≥ m שעבורו k לכל|fm (x0)− f (x0)| ≥ ε טבעי m שלכל נובע האחרון, השוויון באי המתאימה הסדרה תת על k →∞ הגבול ולקיחת x0

.fn → f הנקודתית להתכנסות בסתירה

המונוטוניות תנאי את מחליפים .Y מטרי למרחב K קומפקטי מטרי ממרחב פונקציות עבור גם נכון המשפט 2.15 הערה(החלפת ההוכחה אותה למעשה היא וההוכחה ,x ∈ Kו טבעי n לכל d (fn (x) , f (x)) ≥ d (fn+1 (x) , f (x)) בתנאי

.(dב־ המוחלטים הערכים

מתכנס∑∞n=1 fn (x) שהטור כך קומפקטי מטרי מרחב על אי־שליליות ממשיות פונקציות סדרת {fn} אם 2.16 מסקנה

במ״ש. היא הטור התכנסות אזי רציפה, לפונקציה נקודתית

C (K) הנורמי המרחב 3

סדרה לכל מטריים ובמרחבים סופי תת־כיסוי קיים פתוח כיסוי לכל ת(זכורת: קומפקטי מטרי מרחב K יהי 3.1 הגדרהע״י ||·|| נורמה נגדיר K על והרציפות הממשיות הפונקציות של הווקטורי במרחב לקבוצה). מתכנסת סדרה תת קיימת.(||·||∞ ע״י גם לפעמים (מסומנת maxב־ supה־ את להחליף אפשר ומהקומפקטיות ||f || = sup {|f (x)| : x ∈ K}

.C (K) ע״י זה נורמי מרחב נסמן

בפונקציות נתמקד זה בקורס אך בספרות), (במיוחד מרוכבות פונקציות על מוגדר C (K) הסימון בד״כ 3.2 הערהממשיות.

נוספות: הערות מספר 3.3 הערה

האופן ובאותו (f + g) (h) = f (h) + g (h) הטבעי): (באופן נקודתית מוגדרות C (K)ב־ האלגבריות הפעולות .1היא רציפות פונקציות של לינארי (צירוף ווקטורי מרחב אכן הוא C (K)ש־ לראות קל .(λf) (x) = λ · f (x)

רציפה). פונקציה

חסומה. היא קומפקטי מ״מ על רציפה ממשית פונקציה כי ,f ∈ C (K) לכל וסופית היטב מוגדרת ||f || .2

.d (f, g) = ||f − g|| מטריקה: מגדירה היא נורמי מרחב ובכל ,C (K) על נורמה אכן היא ש־||·|| לראות קל .3במ״ש. להתכנסות שקולה הזו במטריקה סדרות התכנסות

.C ([a, b]) של כ״קיצור״ C (a, b) ע״י C (K) גם נסמן K = [a, b] ⊂ Rש־ במקרה .4

קומפקטית. בהכרח איננה וחסומה סגורה קבוצה C (0, ב־(1 .5

רציפה לא שהיא f (x) =

{0 0 ≤ x < 1

1 x = 1ל־ נקודתית מתכנסת fn (x) = xn עבור {fn}∞n=1 הסדרה דוגמא:

סגורה היא הסדרה איברי קבוצת .C (0, ב־(1 תהיה לא שלה ת״ס כל גם ולכן ,C (0, ב־(1 לא היא ולכןקומפקטית. לא היא אבל (||fn|| = 1 (תמיד הנורמה לפי וחסומה טריוויאלי באופן

δ > 0 קיים ε > 0 לכל אם אחידה במידה רציפים A שאברי אומרים .A ⊆ C (K)ו־ קומפקטי מ״מ K יהי 3.4 הגדרהבקבוצה. f לכל d (f (x) , f (x′)) < ε⇐ d (x, x′) < δש־ כך

8

Page 9: חשבון אינפיניטסמלי מתקדם 2

C (K) הנורמי המרחב 3

לאנגלית: המושגים תרגום 3.5 הערה

.Unifromly continuous function – במ״ש רציפה פונקציה .1

.Family of equicontinuous functions – אחידה במידה רציפות פונקציות משפחת .2

שווה. הוא equalו־ אחיד הוא uniformש־ ישיר בתרגום להבדל לב נשים .3

צפופה. סדרה בו יש אם ספרבילי ניקרא מטרי מרחב 3.6 הגדרה

ספרבילי. הוא קומפקטי מטרי מרחב 3.7 משפט

פיינברג) אדם של שעברה משנה בסיכום הוכחה יש – (תרגיל הוכחה:

תהיה A ⊆ C (K) וחסומה סגורה שקבוצה לכך שקול) (כלומר ומספיק הכרחי תנאי (Arzela-Ascoli) 3.8 משפטאחידה. במידה רציפים A שאברי הוא קומפקטית

המשפט: על הערות מספר 3.9 הערה

תת־ לקיום קריטריון בפרט נובע מתכנסת, סדרה תת קיימת Aב־ נוקודת סדרת שלכל Aנובע ומקומפקטות היות .1מתכנסת תת־סדרה יש אחידה, במידה רציפות פונקציות של C (K)ב־ חסומה סדרה לכל במ״ש: מתכנסות סדרות

.C (K)ב־ לפונקציה במ״ש

ת״ס קיימת C (K)ב־ פונקציות של A חסומה בקבוצה סדרה שלכל לכך ומספיק הכרחי תנאי למשפט: שקול ניסוח .2אחידה. במידה רציפים A שאברי הוא במ״ש, מתכנסת

בשלבים: נוכיח הוכחה:

קומפקטית. שהיא ונראה אחידה במידה רציפים שאבריה C (K)ב־ וחסומה סגורה קבוצה A תהי .1

צפופה סדרה {xk}∞k=1 ⊆ K תהי ספרבילי. הוא קומפקטי Kו־ היות ,M := sup {||f || : f ∈ A} נסמן (א).{fn}∞n=1 ⊆ A ותהי Kב־

{f1,n (x1)}∞n=1 המספרים סדרת שעבורה {fn} של {f1,n}∞n=1 סדרה תת קיימת supn |fn (xn)| ≤Mו־ היות (ב)סדרת היא אף {f1,n (x2)}∞n=1 הסדרה .f1,n (x1) → ξ1 כלומר ,ξ1ב־ גבולה את נסמן מתכנסת.ובאותו ,ξ2ל־ השואפת {f2,n (x2)}∞n=1 ונסמנה מתכנסת ת״ס קיימת לה גם ולכן M ע״י חסומה מספריםו־ {fk,n}∞n=1 של ת״ס היא {fk+1,n}∞n=1ש־ כך ,ξmל־ השואפת {fm,n (xm)}∞n=1 להגדיר נוכל האופן

.fk,n (xk) →n→∞

ξk

הסדרה k ולכל היות המקורית). fn של סדרה תת היא (בפרט {fn,n}∞n=1 הפונקציות בסדרת נתבונן (ג)נובע ולכן {fk,n (xk)}∞n=1 של ת״ס היא (n = kמ־ החל (למעשה מסויים ממקום החל היא {fn,n (xk)}∞n=1

.limn→∞ fn,n (xk) = ξkש־

δ > 0 קיים אז אחידה, במידה רציפים A ואברי היות ,ε > 0 יהי במ״ש. מתכנסת {fn,n}∞n=1ש־ כעת נראה (ד).n ∈ Nו־ x, x′ ∈ K לכל וזאת d (fn,n (x) , fn,n (x′)) < ε

ש־3 גורר d (x, x′) < δש־ כךנבחר 1 ≤ i ≤ l לכל .O1, . . . , Ol ע״י שנסמנם δ בקוטר פתוחים כדורים של סופי מספר ע״י K את נכסה1 ≤ i ≤ l לכל d (fm,n (xi) , fn,n (xi)) <

εש־3 כך גדול מספיק מספר N יהי .xi ∈ Oi

⋂{xk}∞k=1

ש־ נובע אז כלשהו, iל־ x ∈ Oiו־ היות x ∈ K תהי .m,n > Nו־

d (fm,m (x) , fn,n (x)) ≤ d (fm,m (x) , fm,m (xi)) + d (fm,m (xi) , fn,n (xi)) + d (fn,n (xi) , fn,n (x))

3+ε

3+ε

3= ε

9

Page 10: חשבון אינפיניטסמלי מתקדם 2

פולינומים ע״י קירוב 3.1 C (K) הנורמי המרחב 3

.d (x, xi) < δש־ גורר x ∈ Oi כי וזאתK על במ״ש מתכנסת היא ולכן ,K כל על במ״ש קושי סדרת היא {fn,n}∞n=1 אז ,xב־ ב״ת Nש־ כייון

.f ∈ C (K) רציפה פונקציה לאיזושהי

.Aב־ לאיבר מתכנסת ת״ס יש Aב־ סדרה לכל ולכן ,f ∈ Aש־ נובע ,C (K)ב־ סגורה Aו־ היות (ה)

אחידה. במידה רציפים שאבריה ונראה ,C (K)ב־ וחסומה) סגורה (בפרט קומפקטית Aש־ נניח .2

ויהיו קומפקטית), היא כי (אפשר ε3 ברדיוס פתוחים כדורים של l סופי מספר ע״י A את נכסה .ε > 0 יהי (א)

האלו. הכדורים מרכזי {fh}lh=1

.d (fh (x) , fh (y)) < ε3 ⇐ d (x, y) < δhש־ כך δh > 0 קיים ולכן K על במ״ש רציפה fh ,1 ≤ h ≤ l לכל (ב)

.1 ≤ h ≤ l לכל d (fh (x) , fh (y)) < ε3 ⇐ d (x, y) < δש־ מתקיים אזי δ = min1≤h≤l δh יהי

(הגדרת x ∈ K לכל |f (x)− fh (x)| < ε3 כלומר ,d (f, fh) < ε

3 שעבורו 1 ≤ h ≤ l קיים אזי f ∈ A תהי (ג)מתקיים: d (x, y) < δ המקיימים x, y עבור לכן המטריקה).

|f (x)− f (y)| ≤ |f (x)− fh (x)|+ |fh (x)− fh (y)|+ |fh (y)− f (y)|

3+ε

3+ε

3= ε

אחידה. במידה רציפים A שאברי הראינו ולכן

פולינומים ע״י קירוב 3.1

שעברה. משנה שלי בסיכום לראותו ואפשר ,2 באינפי שעברה שנה גם נלמד הזה החומר 3.10 הערה

במ״ש לקירוב ניתנת f : [a, b] → R רציפה פונקצייה כל אזי [a, b] ⊆ R יהי ווירשטרס) של הקירוב (משפט 3.11 משפט.[a, b] על במ״ש fל־ המתכנסת {Pn (x)}∞n=1 פולינומים סדרת קיימת כלומר פולינומים, ע״י

.C (a, b)ב־ צפופה קבוצה מהווים שהפולינומים הוא שקול ניסוח 3.12 הערה

.pk (x, n) =(nk

)xk (1− x)

n−k מהצורה פולינומים הם ברנשטיין של בסיס פולינומי 3.13 הגדרהברנשטיין. פולינומי נקראות כאלה פולינומים של לינאריות קומבינציות

הסתברות. של בינומית התפלגות פשוט היא pk (x, n)ש־ לב לשים אפשר שלי: הערה

ומתקיים ,n ממעלה והם {pk (x, n)}nk=0 המסומנים ברנשטיין, של בסיס פולינומי n+1 בדיוק קיימים n לכל 3.14 הערהעבורם:

n∑k=0

pk (x, n) =

n∑k=0

(n

k

)xk (1− x)

n−k= (x+ (1− x))

n= 1

מנורמלת. שההתפלגות מראה בעצם שלי: הערה

10

Page 11: חשבון אינפיניטסמלי מתקדם 2

פולינומים ע״י קירוב 3.1C (K) הנורמי המרחב 3

מתקיים 0 ≤ x ≤ ו־1 δ > 0 לכל 3.15 למה

η (δ, n, x) =∑| kn−x|≥δ

pk (x, n) ≤ 1

nδ2

שאם במובן (רחוק קטנה היא x של δה־ מסביבת ה״רחוקים״ הפולינומים של התרומה ברנשטיין, פולינום מתוך כלומר.( kn במיקום לקטע מתאים kה־ והפולינום חלקים, nל־ (0, 1) הקטע את נחלק

השיוויונים: מתקיימים הוכחה:n∑k=0

kpk (x, n) =

n∑k=0

k

(n

k

)xk (1− x)

n−k

=

n∑k=1

n!

(k − 1)! (n− k)!xk (1− x)

n−k

= nx

n∑k=1

(n− 1

k − 1

)xk−1 (1− x)

n−k= nx

בינומית) בהתפלגות מקרי משתנה של התוחלת למעשה שזאת לב נשים שלי: (הערהn∑k=0

k (k − 1) pk (x, n) =n∑k=0

k (k − 1)

(n

k

)xk (1− x)

n−k

= n (n− 1)

n∑k=2

(n− 2

k − 2

)xk (1− x)

n−k

= n (n− 1)x2n−2∑k=0

(n− 2

k

)xk (1− x)

n−k

= n (n− 1)x2

גם מתקיים ובנוסףn∑k=0

k2pk (x, n) =

n∑k=0

k (k − 1) pk (x, n) +

n∑k=0

kpk (x, n) = n (n− 1)x2 + nx

ולכןn∑k=0

(k − nx)2pk (x, n) =

n∑k=0

k2pk (x, n)− 2nx

n∑k=0

kpk (x, n) + n2x2n∑k=0

pk (x, n)

= n (n− 1)x2 + nx− 2nx · nx+ n2x2

= −nx2 + nx = nx (1− x)

ש־ נובע הנ״ל ∑מכל| kn−x|≥δ

pk (x, n) =∑

|k−nx|≥δn

pk (x, n) ≤∑

|k−nx|≥δn

(k − nx)2

(δn)2 pk (x, n)

≤ 1

(δn)2

n∑k=0

(k − nx)2pk (x, n)

=1

(δn)2n

≤1︷ ︸︸ ︷x (1− x) ≤ 1

nδ2

11

Page 12: חשבון אינפיניטסמלי מתקדם 2

פולינומים ע״י קירוב 3.1C (K) הנורמי המרחב 3

[0, 1] בקטע משתנה yש־ נקבל x = a+ (b− a) y משתנה שינוי ע״י עתה, ווירשטרס) של הקירוב משפט (הוכחת הוכחה:.[0, ב־[1 רציפה f עבור המשפט את להוכיח שמספיק ברור ולכן ,[a, b]ב־ משתנה x כאשר

Bnf (x) = הבא n=1∞{bn}באופן מתאימים ברנשטיין פולינומי של סדרה רציפה, f כל עבור נגדיר הזה בקטע.[0, 1] על במ״ש Bnf → fש־ ונראה

∑nk=0 f

(kn

)pk (x, n)

קיים ולכן חסומה f כן, כמו ,|f (x)− f (y)| < ε⇐ |x− y| < δש־ כך δ > 0 קיים ε > 0 לכל במ״ש, רציפה fו־ היותולכן [0, 1] 3 x לכל |f (x)| < Mש־ כך M

|Bnf (x)− f (x)| =

∣∣∣∣∣n∑k=0

(f

(k

n

)− f (x)

)pk (x, n)

∣∣∣∣∣≤

n∑k=0

∣∣∣∣f (kn)− f (x)

∣∣∣∣ pk (x, n)

=∑| kn−x|<δ

(. . .) +∑| kn−x|≥δ

(. . .)

≤ ε

=1︷ ︸︸ ︷n∑k=0

pk (x, n) +2M · 1

nδ2

= ε+2M

n · δ2

קטע על חסומה fש־ ובכך הראשון, הסכום להערכת∣∣f ( kn)− f (x)

∣∣ < ε ⇐∣∣ kn − x

∣∣ < δ ש־ בכך השתמשנו כאשרהשני. הסכום להערכת והלמה סגור

קיים ε > 0 לכל ולכן ,x ∈ [0, 1] לכל נכון וזה |Bnf (x)− f (x)| < 2εש־ יתקיים 2Mnδ2 < εש־ כך גדול מספיק n עבור

במ״ש. התכנסות זאת כלומר ,x ∈ [0, 1]′ לכל |Bnf (x)− f (x)| < ε⇐ n > Nש כך N ∈ N

וכפל כפל חיבור, תחת סגורה היא אם אלגברה תקרא A ⊆ C (K) קבוצה קומפקטי. מטרי מרחב K יהי 3.16 הגדרה.λ · f, f · g, f + g ∈ A גם אז λ ∈ Rו־ f, g ∈ A לכל כלומר בסקלר,

.min (f, g) ∈ Bו־ max (f, g) ∈ Bש־ גורר f, g ∈ B אם סריגית סגורה תקרא B ⊂ C (K) קבוצה 3.17 הגדרה.min (f, g) (x) = min {f (x) , g (x)}ו־ max (f, g) (x) = max {f (x) , g (x)} כאשר

(λα)β = ,(αβ) γ = α (βγ) המקיימת כפל, פעולת גם בו שמוגדרת ווקטורי, מרחב הוא אלגברה כללי, באופן 3.18 הערה.(α+ β) γ = αγ + βγ ,α (λβ)

יחידה. עם אלגברה נקראת היא אז באלגברה, α לכל αI = Iα = α כלומר יחידה, המהווה איברה באלגברה קיים אם

פולינומים. ,n× n מטריצות כלשהי, קבוצה על חסומות פונקציות ,C (K) דוגמאות:

Aש־ לכך ומספיק הכרחי תנאי .C (K)ב־ אלגברה Aו־ קומפקטי מ״מ K יהי (Stone-Weierstrass (משפט 3.19 משפטהבאות: התכונות שתי את מקיימת Aש־ הוא C (K)ב־ צפופה

.f (a) 6= ש־0 כך f ∈ A קיימת a ∈ K לכל .1

12

Page 13: חשבון אינפיניטסמלי מתקדם 2

פולינומים ע״י קירוב 3.1 C (K) הנורמי המרחב 3

נקודות״). ״הפרדת נקראת זו (תכונה f (a) 6= f (b)ש־ כך f ∈ A קיימת Kב־ a 6= b לכל .2

סריגית. סגורה קבוצה B ⊆ C (K) ותהי נקודות, שתי לפחות המכיל קומפקטי מ״מ K יהי 3.20 למה.C (K)ב־ צפופה B אזי ,g (y) = β ,g (x) = αש־ כך g ∈ B קיימת α, β ∈ R ולכל Kב־ x 6= y שלכל נניח

.ga,b (b) = f (b)ו־ ga,b (a) = f (a)ש־ כך ga,b ∈ B פונקציה קיימת a, b ∈ K לכל .ε > ו־0 f ∈ C (K) תהי הוכחה:

.ga,b (x) > f (x)− εש־ מתקיים x ∈ Ua,b ולכל b ∈ Ua,bש־ כך Ua,b ⊂ K פתוח כדור שקיים נובע ga,bו־ f מרציפותכיסוי היא {Ua,b}b∈K הקבוצות אזי כנ״ל, כדור קיים b נקודה לכל ולכן משתנה, כאל b על ונחשוב קבוע a את נשאיר

.{Ua,bi}ni=1 סופי כיסוי תת לו יש ןולכן K של פתוח

.K על ga (x) > f (x)− ε וגם ga (a) = f (a) המקיימת ,ga (x) = max1≤i≤n ga,bi (x) הפונקציה את נגדירga (x) > לתנאי (בנוסך ga (x) < f (x) + εש־ מתקיים x ∈ Va שלכל כך a את המכיל ,Va ,Kב־ פתוח כדור קייםg (x) = min1≤j≤m gaj (x) אזי סופי, כיסוי תת {Vai}

mi=1 ויהי ,K של פתוח כיסוי הוא {Va}a∈K האוסף .(f (x)− ε

.x ∈ K לכל g (x) ∈ (f (x)− ε, f (x) + ε) המקיימת.C (K)ב־ צפופה B ולכן ,Bל־ שייכת g גם ולכן ga הסריגית, הסגירות מהנחת

סריגית. סגורה A אזי סגורה, אלגברה A ⊆ C (K) תהי 3.21 למה

min (f, g) = 12 (f + g) − אופן ובאותו max (f, g) = 1

2 (f + g) + 12 |f − g| מתקיים f, g ∈ C (K) לכל הוכחה:

הסריגית. הסגירות תנבע ומזה ,|f | ∈ Aש־ גורר f ∈ Aש־ להראות מספיק אז וקטורי מרחב Aו־ והיות , 12 |f − g|גבול היא |f ש־| נוכיח אם .x ∈ K לכל |f (x)| < ש־1 להניח ניתן ולכן ,0 6= λ ∈ R לכל λg ∈ A אז g ∈ Aו־ היותכיוון אז c1f + c2f

2 + . . . + cnfn מהצורה פונקציות של כלומר חופשי, מקדם ללא fב־ פולינומים של K על במ״ש

שהפונקציה מכך מיידית מסקנה היא הזו הטענה |f | < ש־1 כיוון .A של בסגור |f ש־| נקבל ,Aב־ כולן אלו שפונקציות|x|ש־ שמבטיח וויירשטרס ממשפט נובע זה .[−1, 1] על חופשי מקדם ללא פולינומים של במ״ש גבול היא |x| הרציפההשואפים פולינומים סדרת כל של החופשיים המקדמים ולכן ,|0| = ש־0 העובדה עם יחד פולינומים, של במ״ש גבול הוא

להשמיטם. ניתן ולכן לאפס, לשאוף חייבים |x|ל־

הבא: באופן ויירשטרס במשפט תלוייה שאינה הוכחה לקבל ניתן 3.22 הערה

|x| =√x2 =

√1− (1− x2) =

√1− u

חזקות בטור√

1− u מפיתוח נובע וזה [0, 1] הקטע על uב־ פולינומים של במ״ש גבול היא√

1− uש־ להוכיח מספיק ואז.u = 1 עבור גם מתכנס המתקבל שהטור העובדה עם יחד ,u0 = 0 סביב

גבולות: וכפל חיבור נובע המשולש שוויון שמאי לב נשים תרגיל:

||A+B|| ≤ ||A||+ ||B|| ⇒ (An → A,Bn → B ⇒ An +Bn → A+B)

||A ·B|| ≤ ||A|| · ||B|| ⇒ (An → A,Bn → B ⇒ An ·Bn → A ·B)

(Stone-Weierstrass (משפט הוכחה:

ואם ,a ∈ K לכל f (a) 6= 0 ולכן ||f − 1|| ≤ 1ש־2 כך f ∈ A קיימת אזי צפופה A ⊆ C (K) אם הכרחי: .1

g (a) = 0 כי f (a) 6= f (b)ש־ ונובע ||f − g|| < 1ש־2 כך f ∈ A יש ואזי C (K) 3 g (x) = d(x,a)

d(a,b) נגדיר a 6= b

.g (b) = ו־1

13

Page 14: חשבון אינפיניטסמלי מתקדם 2

פולינומים ע״י קירוב 3.1C (K) הנורמי המרחב 3

צפופה. Aש־ ונראה מתקיימים, (מהמשפט) ו־(2) ש־(1) נניח מספיק: .2ו־(2). (1) את ומקיימות והמכפלה) הסכום מרציפות (נובע אלגברה כן גם היא A ראשית

Aש־ ינבע ואז הראשונה, הלמה תנאי את מקיימת Aש־ להוכיח מספיק ולכן סריגית סגורה A השנייה, למה ע״פיוכח. והמשפט סגורה) היא (כי C (K)ל־ שווה

.h (b) = βו־ h (a) = αש־ המקיימת h ∈ A צ״ל .α, β ∈ Rו־ a 6= b ∈ K תהיינהאת תקבל היא .Aב־ היא λf2 + µf הפונקציה λ, µ ∈ R ולכל f (a) 6= f (b)ש־ כך f ∈ A קיימת ההנחה לפי

אם בהתאמה a, bב־ α, β העקרכים

λf2 (a) + µf (a) = α

λf2 (b) + µf (b) = β

⇐⇒(f2 (a) f (a)f2 (b) f (b)

)(λµ

)=

(αβ

)כלומר מאפס, שונה שלה הדטרמיננטה אם רק פתרון לה שיש (λ, µ) נעלמים בשני משוואות שתי של מערכת זו

f2 (a) f (b)− f2 (b) f (a) = f (a) f (b) (f (a)− f (b)) 6= 0

פונקציה Aב־ למצוא שאפשר קיבלנו מכך .(f (b) 6= f (a)ש־ ידוע (וכבר מאפס שונים f (b)ו־ f (a) אם כלומר.f (a) , f (b) 6= 0 וגם f (a) 6= f (b) שמקיימת פונקציה Aב־ יש עם כנדרש

g (a) 6= ש־0 כך g ∈ A שיש (1) מתנאי ידוע אזי ,f (a) = 0 למשל מתאימה, איננה יצאנו שממנה f הפונקציה אםניתן ולכן f (a) + εg (a) 6= f (b) + εg (b) נקבל עדיין אבל ,aב־ תתאפס לא f + εg אז קטן מספיק ε עבור ואז

כנדרש. פונקציה Aב־ למצוא תמיד

דוגמאות:

.f (0) 0⇒ ||f − 1| ≥ 1| כי C (K)ב־ צפופה איננה A = {f ∈ C (K) : f (0) = ש־{0 נניח .1

.(2) תנאי את מקיימת אינה היא כי C (K)ב־ צפופה איננה A = {f ∈ C (0, 1) : f (0) = f (1)} .2

.C (0, ב־(1 צפופים הפולינומים .3

:Stone-Weierstrass משפט מתוך מסקנות 3.23 מסקנה

טורוס). מלשון T) T = K = {(cos θ, sin θ) = u (θ) : 0 ≤ θ < 2π} במישור: היחידה מעגל K יהי .1מהצורה הפונקציות אוסף הם K = T על הטריגונומטריים הפולינומים

f (θ) = a0 + a1 cos θ + . . .+ an cos (nθ) + b1 sin (θ) + . . .+ bn sin (nθ)

מחזוריות). פונקציות לייצוג פורייה טור את להגדיר נוכל שבאמצעותם ניראה (בהמשךנובע: בסיסיות טריגונומטירות מזהויות כן, כמו בסקלר. וכפל חיבור תחת סגור וקטורי מרחב הוא זה שאוסף ברור

cos (nθ) sin (mθ) =1

2sin (n+m) θ − 1

2sin (n−m) θ

cos (nθ) cos (mθ) =1

2cos (n+m) θ +

1

2cos (n−m) θ

sin (nθ) sin (mθ) =1

2cos (n−m) θ − 1

2cos (n+m) θ

קומפקטי Kש־ וברור היות אלגברה. זו ולכן כפל תחת גם סגור הטריגונומטריים הפולינומים שאוסף ורואים.C (K)ב־ אלגברה מהווים הם ולכן ,K על רציפים הטריגונומטריים ושהפולינומים

14

Page 15: חשבון אינפיניטסמלי מתקדם 2

פנימית מכפלה מרחבי 4

אזי ,θ 6= ϕ כאשר θ, ϕ ∈ [0, 2π) שאם ו־(2) טריגונומטרי פולינום הוא f (θ) = ש־1 (1) שממתקיים לב נשים.sin θ = sinϕ⇒ cos θ 6= cosϕ

פונקציה כל ולכן צפופים, הטריגונומטריים שהפולינומים ונובע S-W משפט של התנאים שמתקיימים נובע מכךטריגונומטריים. פולינומים של במ״ש גבול היא f (0) = f (2π)ש־ המקיימת [0, 2π] על ∑רציפה

ai1ai2 · · · ainxi11 x

i22 · · ·xinn מהצורה סופיים סכומים כלומר משתנים, nב־ הפולינומים אזי Kקומפקטית, ⊆ Rn אם .2

.C (K)ב־ צפופה קבוצה מהווים ,(x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn כאשר

פנימית מכפלה מרחבי 4

ופונקצייה R מעל Y ווקטורי מרחב הוא שונה) קצת ההגדרה מרוכבים מעל (ממשי! פנימית מכפלה מרחב 4.1 הגדרה:α ∈ Rו־ x, y, z ∈ Y לכל הבאות התכונות את המקיימת פנימית מכפלה הנקראת 〈·, ·〉 : Y × Y → R

〈x, y〉 = 〈y, x〉 סימטריות: .1

.〈x+ y, z〉 = 〈x, z〉+ 〈y, z〉 בחיבור: לינאריות .2

.〈αx, y〉 = α 〈x, y〉 הומוגניות: .3

.x 6= 0 אם 〈x, x〉 > 0 חיוביות: .4

הערות: מספר 4.2 הערה

.〈x, y + z〉 = 〈x, y〉+ 〈x, z〉ש־ גם נובע ו־(2) מ־(1) .1.〈0, 0〉 = 0 ובפרט 〈0, y〉 = ש־0 גם נובע מ־(3)

.〈x, αy〉 = α 〈x, y〉ש־ גם נובע ו־(3) מ־(1)

(כך 〈x, y〉 = 〈y, x〉 בדרישה מוחלף (1) ואז ,Cב־ ערכים מקבלת 〈·, ·〉 ושם C מעל פנימית מכפה מרחבי גם יש .2דבר. אותו מוגדר השאר כל אבל (〈x, αy〉 = α 〈x, y〉 ש־ נובע ו־(3) שמ־(1)

המרחב). על נורמה אכן זאת כי שנראה ע״י הזה הסימון את נצדיק (בהמשך ||x|| :=√〈x, x〉 סימון:

.x, y ∈ Y לכל |〈x, y〉| ≤ ||x|| ||y||ש־ מתקיים Y פנימית) (מכפלה מ״פ במרחב קושי־שוורץ) שוויון (אי 4.3 טענה

ש־ מתקיים α ∈ R לכל הוכחה:

0 ≤ ||x+ α 〈x, y〉 y||2 = 〈x+ α 〈x, y〉 y, x+ α 〈x, y〉 y〉= ||x||2 + 2 〈x, y〉2 α+ 〈x, y〉2 ||y||2 α2

שלו הדיסקרימננטה ולכן ממשיים, שורשים שני לו אין שלילי, אי שהוא והיות αב־ ריבועי פולינום הוא האחרון הביטויכלומר חיוביות, אי היא

4 〈x, y〉4 − 4 〈x, y〉2 ||x||2 · ||y||2 ≤ 0

.|〈x, y〉| ≤ ||x|| ||y||ל־ האחרון הביטוי את ולצמצם 〈x, y〉 6= ש־0 להניח ניתן לכן להוכיח. מה אין 〈x, y〉 = 0 אם

.Y על נורמה מגדיר ולכן המשולש, שוויון אי את מקיים ||·|| הסימון 4.4 מסקנה

15

Page 16: חשבון אינפיניטסמלי מתקדם 2

פנימית מכפלה מרחבי 4

אלגברה קצת עם הוכחה:

||x+ y||2 = 〈x+ y, x+ y〉 = ||x||2 + 2 〈x, y〉+ ||y||2

≤ ||x||2 + 2 ||x|| ||y||+ ||y||2

= (||x||+ ||y||)2

⇒ ||x+ y|| ≤ ||x||+ ||y||

הפנימית. המכפלה מהגדרת ישירות נובעים וחיוביות הומוגניות

〈xn, yn〉 → אזי yn → yו־ xn → x אם כלומר רציפה, הפנימית המכפלה Y פנימית) מכפלה (מרחב בממ״פ 4.5 מסקנה.〈x, y〉

נוכיח הוכחה:

|〈x, y〉 − 〈xn, yn〉| ≤ |〈x, y〉 − 〈xn, y〉|+ |〈xn, y〉 − 〈xn, yn〉|= |〈x− xn, y〉|+ |〈xn, y − yn〉|≤ ||x− xn|| ||y||+ ||xn|| ||y − yn||≤ ||x− xn|| ||y||+ (||x− xn||+ ||x||) ||y − yn||→

n→∞0

.〈x, y〉 = 0 אם״ם ניצבים x, y ∈ Y ש־ אומרים 4.6 הגדרה.B⊥ = {y ∈ Y : ∀x ∈ B, 〈x, y〉 = 0} ע״י מוגדרת B־ניצב) (מבטאים: B⊥ הקבוצה B ⊆ Y עבור

הערות: מספר 4.7 הערה

.Y של ווקטורי תת־מרחב הוא B⊥ש־ מתקיים B ⊆ Y שלכל הפנימית המכפלה מלינארית לראות קל .1

.B⊥ =⋂x∈B {x}

⊥ מתקיים .2

ש־ כך xn → x אם (כי Y ב־ סגורה B⊥ש־ מתקיים B ⊆ Y שלכל הפנימית המכפלה מרציפות לראות קל .3.(〈x, y〉 = 〈xn, y〉 = 0 אז 〈xn, y〉 = 0

לזה. זה ניצבים איברי אם אורתוגונלית מערכת נקראת בממ״פ מאפס ששונים איברים קבוצת 4.8 הגדרהאורתונורמלית. מערכת נקראת הקבוצה אז ||x|| = ש־1 מתקיים בקבוצה x לכל בנוסף אם

הערות: מספר 4.9 הערה

פיתגורס). (משפט ||x+ y||2 = ||x||2 + ||y||2ש־ מתקיים ,〈x, y〉 = 0 אם .1

.( x||x|| ) הוקטורים נירמול ע״י מתאימה אורתונורמלית מערכת ממנה לקבל ניתן A אורתוגונלית מערכת בהינתן .2

קבוצה תת כל אם לינארית) תלויה (בלתי בת״ל היא ווקטורי במרחב ווקטורים של אינסופית שקבוצה אומרים 4.10 הגדרהבת״ל. היא שלה סופית

לינארית. תלויה בלתי היא אורתוגונלית מערכת 4.11 טענה

16

Page 17: חשבון אינפיניטסמלי מתקדם 2

פנימית מכפלה מרחבי 4

ונניח λ1, . . . , λn ∈ R יהיו .ui 6= ujש־ גורר i 6= jש־ כך u1, . . . , un ∈ A אורתוגונלית, מערכת A תהי הוכחה:.∑ni=1 λiui = ש־0

מתקיים 1 ≤ j ≤ n לכל

0 = 〈0, uj〉 =

⟨n∑i=1

λiui, uj

=

n∑i=1

λi 〈ui, uj〉 = λj ||uj ||2

||uj || 6= 0⇒ λj = 0

x ∈ Y יהי .{ui}ni=1 ע״י הנפרש המרחב תת U ויהי Y בממ״פ סופית אורתונורמלית מערכת {ui}ni=1 תהי 4.12 טענהy 6= z ∈ U לכל כלומר ,Uב־ xל־ ביותר הקטרוב האיבר הוא yו־ Uב־ איבר לכל ניצב x−y אזי ,y =

∑ui=1 〈x, ui〉uiו־

.||x− y|| < ||x− z||ש־ מתקיים

מתקיים λ1, . . . , λn ∈ R לכל ⟩הוכחה:x− y,

n∑i=1

λiui

⟩=

⟨x−

n∑i=1

〈x, ui〉ui,n∑i=1

λiui

=

n∑i=1

λi 〈x, ui〉 −n∑

i,j=1

〈〈x, ui〉ui, λjuj〉

n∑i,j=1

〈〈x, ui〉ui, λjuj〉 =∑i,j

〈x, ui〉λj 〈ui, uj〉

=

n∑i=1

λi 〈x, ui〉

⟨x− y,

n∑i=1

λiui

⟩= 0

.Uב־ איבר לכל ניצב x− yש־ קיבלנו ולכןולכן y = z ∈ Uש־ גם נובע y ∈ Uש־ וברור היות ,y 6= z ∈ U יהי כעת,

||x− z||2 = ||(x− y) + (y − z)||2

〈x− y, y − z〉 = 0⇒ = ||x− y||2 + ||y − z||2 > ||x− y||2

להיות∑a∈A λa את מגדירית ,R 3 λa ≥ ש־0 כך אי־שליליים סמפרים של כלשהי קבוצה {λa}a∈A אם 4.13 הגדרה

.a1, . . . , an ∈ A עבור∑ni=1 λai מהצורה הסופיים הסוכמים כל של הסופרמום

∑a∈A

λa := sup

{n∑i=1

λai : n ∈ N, ai ∈ A

}

17

Page 18: חשבון אינפיניטסמלי מתקדם 2

פנימית מכפלה מרחבי 4

במקרה הטור סכום משנה לא החיבור סדר ולכן שלילים, אי שהאיברים כיוון טובה הנ״ל שההגדרה לב נשים 4.14 הערהאינסופיות). קבוצות עבור אינסופי היה הסכום ותמיד ערך, לקבל ניתן היה (אחרת, מנייה הבן

דוגמאות:

.∑a∈A λa =∞ אזי ,a לכל λa = 1 ,A = [0, 1] .1

(∑x∈[0,1] x ע״י גם זאת לרשום (ניתן

∑a∈A λa =∞ ולכן ,λa = a ,A = [0, 1] .2

פורמלי), לא (ניסוח λa״ 6= 0 שעבורם a־ים של מנייה בן מספר היותר לכל ״קיים אזי∑a∈A λa <∞ אם עבודה/תרגיל:

מנייה. בת קבוצה היא {a ∈ A, λa 6= 0} כלומר

.{a ∈ A : λa 6= 0} =⋃∞u=1

Finite︷ ︸︸ ︷{a ∈ A : λa >

1

u

}הוכחה:

∑a∈A λa = ע״י

∑a∈A λa הסכום גם טבעי באופן מוגדר אזי

∑a∈A |λa| < ∞ ומתקיים {λa}a∈A ⊆ R אם

.∑λa≥0 λa −

∑λa<0 (−λa)

הבא: באופן מוגדר l2 (A) המרחב ,A קבוצה לכל 4.15 הגדרה

l2 (A) =

{f : A→ R :

∑a∈A|f (a)|2 <∞

}. 〈f, g〉 =

∑a∈A f (a) g (a) מוגדרת פנימית) (מכפלה המ״פ

.〈f, g〉 =∑x∈[0,1] f (x) g (x) ולכן l2 ([0, 1]) =

{f :∑x∈[0,1] |f (x)|2 <∞

}דוגמא:

.n = |A| עבור הרגילה המ״פ עם Rn פשוט היא l2 (A)ש־ מתקיים סופית A עבור 4.16 הערה

לבדוק) (קל אורתונורמלית מערכת היא ,δa (x) =

{1 x = a

0 x 6= aכאשר ,{δa}a∈A המערכת l2 (A) לכל 4.17 הגדרה

הטבעי. הבסיס הנקראת

מתקים x ∈ Y להכל אזי ,Y בממ״פ אורתונורמלית מערכת A תהי (Bessel (אי־שוויון 4.18 טענה

||x||2 ≥∑u∈A〈x, u〉2

אזי ,y =∑ni=1 〈x, ui〉ui ויהי סופית, A בהיינו ,A = {ui}ni=1ש־ תחילה נניח הוכחה:

||x||2 = ||x− y + y||2 x−y⊥y= ||x− y||2 + ||y||2 ≥ ||y||2

=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣n∑i=1

〈x, ui〉ui

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣2

=

n∑i=1

〈x, ui〉2

מלעיל חסם מהווה ||x||2 ולכן ,A של סופית קבצה תת שהיא B לכל ||x||2 ≥∑u∈B 〈x, u〉

2 מתקיים אזי אינסופית, A אם.||x||2 ≥

∑u∈A 〈x, u〉

ש־2 מתקיים אזי ביותר, הקטן המלעיל חסם הוא העליון שהחסם וכיוון הסופיים, הסכומים לקבוצת

18

Page 19: חשבון אינפיניטסמלי מתקדם 2

פנימית מכפלה מרחבי 4

מנייה. בת קבוצה היא {u ∈ A : 〈x, u〉 6= 0} ,x ∈ Y לכל אזי ,Y בממ״פ אורתונורמלית מערכת A אם 4.19 מסקנה

מנייה. בת{u ∈ A : 〈x, u〉2 6= 0

}ולכן

∑u∈A 〈x, u〉

2 ≤ ||x||2 ש־∞> מתקיים Bessel שוויון אי ע״פ הוכחה:

.limi→∞ 〈x, ui〉 = ש־0 מתקיים x ∈ Y לכל אזי מנייה, בת A = {ui}∞i=1 אם 4.20 מסקנה

לאפס. שואף הכללי האיבר ולכן מתכנס∑∞i=1 〈x, ui〉

2ש־∞> נובע בסל שוויון מאי הוכחה:

אברי של הסופיות הלינאריות הקומבינציות קבוצת היא SpanB ,Y ווקטורי מרחב של B תת־קבוצה בהינתן 4.21 הגדרהכלשהו. λ1, . . . , λn ∈ Rו־ x1, . . . , xn ∈ B עבור

∑ni=1 λixi מהצורה שהם Y ב־ האיברים כל קבוצת בהיינו ,B

שקולים: הבאים התנאים אזי ,Y בממ״פ אורתונורמלית מערכת A תהי 4.22 משפט

.(Y ב־ צפופה SpanA (כלומר Y = SpanA .1

.x =∑u∈A 〈x, u〉u .2

המוכלל). פרסבל (שוויון ∀x, y ∈ Y, 〈x, y〉 =∑u∈A 〈x, u〉 〈y, u〉 .3

פרסבל). (שוויון ∀x ∈ Y, ||x||2 =∑u∈A 〈x, u〉

2 .4

להבין יש המשפט המופעים הסכומים את מנייה, בת היא {u ∈ A : 〈x, u〉 6= ש־{0 מתקיים x ∈ Y ולכל היות 4.23 הערהכדלקמן:

התכנסות של במובן x =∑∞i=1 〈x, ui〉uiש־ יתקייים {ui}∞i=1 = {u ∈ A : 〈x, u〉 6= ∅} סידור לכל :(2) עבור •

.||x−∑ni=1 〈x, ui〉ui|| →n→∞ 0 כלומר ,Y של בנורמה

מתוך שמוכדר כסכום לחילופין או בהחלט, שמתכנס מנייה בן כסכום הסכום את ב־(2) כמו להין ניתן :(3) עבור •.∑u∈A |〈x, u〉 〈y, u〉| ש־∞> העובדה

המשפט: את נוכיח הוכחה:

כלשהו בסדר אותה ונסדר מנייה, בת היא A = {u ∈ A : 〈x, u〉 6= 0} הקבוצה נתון, x ∈ Y עבור :(2) ⇐ (1) •של סופית לינארית קומבינצייה הוא z .||x− z|| < ε שעבורו z ∈ SpanA קים אזי ,ε > 0 יהי .A = {ui}ni=1

.z⊥ ∈ Span(A\A

)ו־ z ∈ SpanAש־ כך z = z + z⊥ לכתוב ונית A אברי

בפרט ולכן ||x− z||2 = ||x− z||2 +∣∣∣∣z⊥∣∣∣∣2 ש־ פיתגורס ממשפט נובע Span

(A\A

)⊆ {x}⊥ו־ היות

.z ∈ SpanA כאשר ||x− z|| < εנסמן .z ∈ Span {ui}ni=1ש־ כך גדול מספיק n בהכרח קיים אז ,A אברי של סופית לינארית קומבינציה zו־ היות

ולכן ,Span {ui}ni=1ב־ Xל־ ביותר הקרוב האיבר ynהוא קודם משפט ע״פ אזי ,yn =∑ni=1 〈x, ui〉ui

||x− yn|| ≤ ||x− z|| < ε

כנדרש. x = limn→∞ ynש־ רואים מכאן

מהקיום ולכן yn →n→∞

x וכן yn ∈ SpanAש־ ברור אזי yn =∑ni=1 〈x, ui〉uiו־ קודם, כמו A תהי :(1)⇐ (2) •

צפופה. SpanAש־ נובע x ∈ Y לכל

19

Page 20: חשבון אינפיניטסמלי מתקדם 2

פנימית מכפלה מרחבי 4

ונגדיר x, y ∈ Y יהיו (3)⇐ (2) •

A = {u ∈ A : 〈x, u〉 6= 0 ∨ 〈y, u〉 6= 0}

אזי: ,A של סידור {ui}∞i=1 תהי מניה. בת היא A אזי

y = limn→∞

n∑i=1

〈y, ui〉ui

x = limn→∞

n∑i=1

〈x, ui〉ui

נובע הפנימית המכפלה מרציפות ולכן

〈x, y〉 = limn→∞

⟨n∑i=1

〈x, ui〉ui,n∑i=1

〈y, uj〉uj

= limn→∞

n∑i,j=1

〈x, ui〉 〈y, uj〉

δij︷ ︸︸ ︷〈ui, uj〉

= limn→∞

n∑i=1

〈x, ui〉 〈y, ui〉

=

∞∑i=1

〈x, ui〉 〈y, ui〉

=∑u∈A〈x, u〉 〈y, u〉

ב־(3). y = x מהצבת מיידית נובע :(4)⇐ (3) •

x −∑ni=1 〈x, ui〉uiו־

∑ni=1 〈x, ui〉uiש־ מתקיים A = {ui}∞i=1 = {u ∈ A : 〈x, u〉 6= 0} עבור (2) ⇐ (4) •

ולכן: שראינו) קודמת טענה (ע״ם ניצבים ∣∣∣∣∣הם∣∣∣∣∣x−

n∑i=1

〈x, ui〉ui

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣2

=

⟨x−

n∑i=1

〈x, ui〉ui, x−n∑i=1

〈x, ui〉ui

=

⟨x, x−

n∑i=1

〈x, ui〉ui

= ||x||2 −n∑i=1

〈x, ui〉2 →n→∞

0

כנדרש. (2) את גורר ש־(4) ומכאן

אורתונורמלית מערכת נקראת כולם) את (ולכן האחרון המשפט מסעיפי אחד את המקיימת אורתונורמלית מערכת 4.24 הגדרהאורתונורמלי. בסיס או שלמה

20

Page 21: חשבון אינפיניטסמלי מתקדם 2

H (a, b) המרחב פנימית4.1 מכפלה מרחבי 4

לפי x של ״פיתוח נקראת∑u∈A 〈x, u〉u הסכום אז x ∈ Y ו־ Y בממ״פ A אורתונורמלית מערכת בהינתן 4.25 הגדרה

שלמה). היא המערכת אם״ם מתקיים x ∈ Y לכל x =∑u∈A 〈x, u〉u (השיוויון A״ האורטונומרלית המערכת

(במובן x =∑u∈A λuuו־ אורתונורמלית מערכת A אם כלומר, יחיד, הוא אורתונורמלית מערכת לפי פיתוח 4.26 טענה.λu = 〈x, u〉ש־ מתקיים u ∈ A לכל אזי ,(xל־ מתכנס המתאים והטור מנייה בת {u ∈ A : λu 6= ש־{0

.A = {u ∈ A : λu 6= 0} של {ui}∞i=1 סידור עבור x = limn→∞∑ni=1 λuiuiש־ מתקיים הוכחה:

ש־ מתקיים u ∈ A לכל

〈x, u〉 = limn→∞

⟨n∑i=1

λuiui, u

= limn→∞

n∑i=1

λui 〈ui, u〉 = λu

כנ״ל שטור אומרים .{αi}∞i=1 ⊆ X עבור∑∞i=1 αi מהצורה טורים על לדבר ניתן X נורמי מרחב בכל 4.27 הערה

.limi→∞ ||αi|| = ש־0 שמתקיים הוא להתכנסות הכרחי תנאי המרחב. של בנורמה קיים limn→∞∑ni=1 αi אם מתכנס

.{αi}∞i=1 של בסדר תלויה להיות עשוייה התכנסות כאשר(״התכנסות

∑∞i=1 αi של בסדר תלויה שאיננה התכנסות מבטיח

∑∞i=1 ||αi|| < ∞ שלם, נורמי במרחב {αi}∞i=1 עבור

∞∑בהחלט״).i=1 ||αi||

2<∞ אם״ם מתכנס

∑∞i=1 αi שהטור מתקיים שלם בממ״פ {αi}∞i=1 אותוגונלית מערכת של המיוחד n+m∑∣∣∣∣∣∣במקרה

i=1 αi −∑ni=1 αi

∣∣∣∣∣∣2 ש־= מכך זאת לראות קל (תרגיל: בסדר תלוייה אינה ההתכנסות אז מתכנס, הוא ואם

.(∑n+mi=n+1 ||αi||

2

הסדרה על נסתכל l2 (N) ותחת ממשיים טור∑∞i=1 aiש־ נניח

(a1, 1, 0, 0, . . .)(a2, 0,

122 , 0, . . .

)...(

an, 0, . . . ,1nn , 0, . . .

)תלוי הווקטורים סכום גם אז בסדר, תלוי

∑∞i=1 ai הטור סכום אם ולכן ,

(∑∞i=1 ai, 1,

122 ,

133 , . . .

)הוא הסכום ואז

בת״ל. הנ״ל שהווקטורים פי על אף בסדר,

H (a, b) המרחב 4.1

בסקלר וכפל חיבור עם [a, b] על הממשיות הרציפות הפונקציות מרחב את C2 [a, b]ב־ נסמן .[a, b] ⊆ R יהי 4.28 הגדרהמכ״פ). אכן שזאת לבדוק (קל 〈f, g〉 =

´ baf (x) g (x) dx המכ״פ עם הטבעיים,

.[a, b] על הפולינומים אוסף למשל יותר, קטן ממ״פ על להסתכל גם ניתן 4.29 הערה

רימן האינטגרבילית הממשיות הפונקציות אוסף את h (a, b)ב־ נסמן יותר: גדול מרחב על להסתכל נרצה 4.30 הגדרהמכ״פ גם ונגדיר ווקטורי. מרחב זה אזי טבעי, באופן בסקלר וכפל חיבור h (a, b)ב־ נגדיר .[a, b] על חסומות) (ובפרט

.〈f, g〉 =´ baf (x) g (x) dx

(למשל המצב זה אין זה במרחב ,f 6≡ 0 אם״ם 〈f, f〉 > ש־0 להראות קל היה הקודם, המצומצם במרחב שבעוד לב נשיםלאפס). שווה שהאינטגרל רימן פונקציית

21

Page 22: חשבון אינפיניטסמלי מתקדם 2

H (a, b) המרחב 4.1 פנימית מכפלה מרחבי 4

מקום). בכל כמעט שוות (או תמיד כמעט שוות הן I ⊆ R קטע על המוגדרות f, g פונקציות ששתי נאמר 4.31 הגדרהניתנת כלומר אפס, מידה בעלת היא {x ∈ I : f (x) 6= g (x)} הקבוצה כלומר אפס, שמידתה לקבוצה פרט שוות הן אם

כ״ת״. f = g״ נכתוב תמיד כמעט שוות gו־ f אם כרצונינו. קטן אורכיהם שסכום קטעים איחוד ע״י לכיסוי

כלומר: ,I על פונקציות קבוצת כל עבור שקילות יחס הוא תמיד כמעט שוויון (מיידית) 4.32 טענה

(רפלקסיביות). כ״ת f = f .1

(סימטריות). כ״ת g = f אם״ כ״ת f = g .2

(טרנזיטיביות). כ״ת f = h אז כ״ת g = hו־ כ״ת f = g .3

.〈f1, g〉 = 〈f2, g〉 אזי כ״ת, f1 = f2ו־ f1, f2, g ∈ h (a, b) אם 4.33 טענה

שעבורה ξi יש [ti−1, ti] קטע בכל .[a, b] של חלוקה {ti}ni=0 תהי כ״ת. h = 0 אזי ,h = f1 − f2ב־ נסמן הוכחה:מתקיים: ולכן h (ξi) = 0

n∑i=0

(ti − ti−1)h (ξi) g (ξi) = 0

.〈f1, g〉 = 〈f2, g〉 ולכן 〈f1 − f2, g〉 = 0 ולכן´ bah · g האינטגרל של רימן סכום הוא הנ״ל שהסכום וכיוון

כ״ת. f = 0 אם״ם 〈f, f〉 = ש־0 ומתקיים 〈f, f〉 ≥ 0 אזי f ∈ h (a, b) אם 4.34 טענה

,〈f, f〉 = 〈0, f〉 = 〈0, 0〉 = 0 הקודמת הטענה ע״פ אזי , כ״ת f = 0 אם כן, כמו ברורה. 〈f, f〉 ≥ ש־0 העובדה הוכחה:כ״ת. f = 0 אזי 〈f, f〉 = 0 שאם להראות נותר ולכן

נסמן אם אפס. מידה בעלת היא A = {x ∈ [a, b] : f (x) 6= 0} שהקבוצה להראות יש אזי ,〈f, f〉 = ש־0 נניח

אפס. ממידה Anש־ להראות די ולכן ,A =⋃∞n=1An אזי ,An =

{x ∈ [a, b] : f (x)

2> 1

n

}האינטגרל של העליון רימון סכום שעבורה [a, b] של {ti}ki=0 חלוקה יש ,

´ baf (x)

2dx = 〈f, f〉 = ו־0 והיות ε > 0 יהי

כלומר , εnמ־ קטן´ baf (x)

2dx

k∑i=1

(ti − ti−1) sup{f (x)

2: x ∈ [ti−1, ti]

}<ε

n

ש־ נובע אזי |Ii| = ti − ti−1 כלומר ,Ii הקטע אורך את |Ii|ב־ Iiונסמן = [ti−1, ti] ונסמן

ε

n>

k∑i=1

|Ii| sup{f (x)

2: x ∈ Ii

}≥∑

′ |Ii|1

n

An של כיסוי הם אלו וקטעים ,sup{f (x)

2: x ∈ Ii

}≥ 1

n שעבור Ii הקטעים כל מופיעים שבו סכום הוא∑′ כאשר

אפס. ממידה An ולכן ,εמ־ קטן אורכיהם שסכום

22

Page 23: חשבון אינפיניטסמלי מתקדם 2

H (a, b) המרחב 4.1 פנימית מכפלה מרחבי 4

כ״ת, שוויון של השקילות יחס תחת h (a, b)ב־ איברים של השקילות מחלקות מרחב הוא H (a, b) המרחב 4.35 הגדרהשתי כל איבר כאותו שמזהים היא H (a, b)ל־ h (a, b)מ המעבר ומשמעות היות הטבעיים. בסקלר וכפל החיבור עםפנימית מכפלה מגדירה 〈·, ש־〈· נובע כ״ת, f = 0 אם״ם 〈f, f〉 = 0 והיות תמיד, כמעט שיוויון בינהן שמתקיים פונקציות

ש־ מתקבל f, g ∈ h (a, b) עבור כארש .H (a, b) על

{f} = F =

f : f = f

Almost Always︷︸︸︷A.A.

{g} = G = {g : g = g A.A.}

aF ={af : f = f A.A.

}F +G =

{f + g : f ∈ F, g ∈ G

}=

{h : h = f + g A.A.

}〈F,G〉 =

ˆ b

a

f (x) g (x) dx

כאשר וקטורי מרחב הוא V/V ={V + x : x ∈ V

}אז מרחב תת V מ״ו, V אם מנה) (מרחב )תזכורת:

V + x)(

V + y)

= V + (x+ y)

a(V + x

)= V + (ax)

לזהות וניתן h (a, b)ב־ מרחב תת הוא {f ∈ h (a, b) : f = 0 A.A} 4.36 הערה

H (a, b) = h (a, b) / {f ∈ h (a, b) : f = 0 A.A}

בין מבדילים לא אנו מעשי צורך שלכל (כיוון f ∈ h (a, b)ש־ משמעו f ∈ H (a, b)ש־ כך ,f פונקצייה עבור 4.37 הגדרהממש). פונקציות כאל H איברי על מראש נחשבו פשוט אז ,f ∈ {f} ובין f ∈ h (a, b)

אם f ∈ H (a, b) גבולית לפונקצייה בממוצע מתכנסת H (a, b) ⊇ {fn}∞n=1 פונקציות שסדרת נאמר 4.38 הגדרה.||f − fn|| →

n→∞0 אם כלומר ,H (a, b) ב־ f = limn→∞ fn

תמיד. כמעט שיווין כדי עד יחיד באופן נקבע H (a, b)ב־ סדרה של כבול 4.39 הערה

בממוצע. fn → f אזי במ״ש, fn → fו־ H (a, b)ב־ fו־ {fn}∞n=1 אם 4.40 טענה

הוכחה:

||f − fn||2 =

ˆ b

a

(f (x)− g (x))2dx ≤ (b− a) sup (f (x)− gn (x))

2 →n→∞

0

23

Page 24: חשבון אינפיניטסמלי מתקדם 2

H (a, b) המרחב 4.1 פנימית מכפלה מרחבי 4

דוגמאות:

בממוצע: ולא נקודתית מתכנסת סדרה .1

fn (x) =

{√n sinnx 0 ≤ x ≤ π

n

0 πn < x ≤ π

אבל נקודתית, fn (x)→ ש־0 מתקייים x ∈ [0, π] שלכל לראות וקל ,fn : [0, π]→ R כאשר

||fn − 0||2 =

ˆ πn

0

n sin2 (nx) dx =

ˆ π

0

sin2 u · du =π

26= 0

לאפס. בממוצע שואף לא הוא ולכן

נקודתית: ולא בממוצע המתכנסת סדרה .2

fn (x) =

{1 x ∈

[n−2k2k

, n+1−2k2k

]0 Otherwise

[x] = (תזכורת: k = [log2 n] כלומר ,2k ≤ n < 2k+1ש־ המקיים הטבעי המספר הוא k כאשר.(max {m ∈ Z : m ≤ x}

נובע ,[0, 1] שאר על לאפס ושווה 2−k באורך קטע על ל־1 שווה fnו־ היות

||fn − 0||2 = ||fn||2 =

ˆ 1

0

f2ndx = 2−k <2

n→ 0

נסמן: שאם כך n1, n2 > N מספרים שני ,N ∈ N לכל קיימים x ∈ [0, 1] לכל אבל בממוצע, fn → 0 ולכן

שהסדרה מכאן ,fn2 (x) = ו־0 fn1 (x) = 1 ולכן x 6∈ In2ו־ x ∈ In2 יתקיים: In =[n−2k2k

, n+1−2k2k

]נקודה. בשום מתכנסת איננה fn ולכן מתכנסת, איננה {fn (x)}∞n=1

:n−2k

2kהסדרה את לראות עזרה שצריך למי

nב־ כתלות n−2k2k

של גרף :4.1 איור

{fnk}∞k=1 תת־סדרה קיימת אזי בממוצע, fn → gש־ מתקיים g ∈ H (a, b) ,{fn}∞n=1 ⊆ H (a, b) עבור אם 4.41 הערה

אזי נקודתית, fn → g וגם בממוצע fn → g שאם גם נובע מכך תמיד. כמעט נקודתית fnk →k→∞

gש־ כך {fn} של

מתרגיל). כחלק תינתן (ההוכחה תמיד כמעט g = g

.H (a, b)ב־ צפופה g (a) = g (b) המקיימות g : [a, b]→ R הרציפות הפונקציות קבוצת 4.42 טענה

על קבועה sש־ כך [a, b] של חלוקה, קיימת אם מדרגות, פונקציית היא s : [a, b] → R שפונקציה אומרים 4.43 הגדרה.i = 1, . . . , n עבור (ti−1, ti) פתוח קטע כל

.(h (a, b) של אלגברה תת (ואפילו מרחב תת היא S (a, b) אזי האלה, הפונקציות כל אוסף את S (a, b)ב־ נסמן

24

Page 25: חשבון אינפיניטסמלי מתקדם 2

H (a, b) המרחב 4.1 פנימית מכפלה מרחבי 4

.H (a, b)ב־ צפופות הן תמיד) כמעט שיוויון תחת שלהן השקילות מחלקות דיוק, (ליתר המדרגה פונקציות 4.44 משפט

כרצונינו. קטנה תהייה ||f − s|| שעבורה ,s מדרגות פונקציית למצוא שניתן להראות ומספיק ,f ∈ H (a, b) תהי הוכחה:ε >´ bafdx−

´ basdx ≥ ולכן ,x ∈ [a, b] לכל s (x) ≤ f (x)ש־ המקיימת s מדרגות פונקציית קימת בהכרח ε > 0 בהינתן

x ∈ [a, b] לכל 0 ≤ s (x) ≤ f (X)ש־ שמתקיים בה״כ להניח וניתן רימן), אינטגרל של התחתון הסכום מתוך (המוגדרת 0ישתנה). לא sול־ fל־ גדול מספיק קבוע נוסיף (אחרת

:ε0 = 2(

supx∈[a,b] f (x))ε שעבור נובע הנ״ל ההנחה תחת

||f − s||2 =

ˆ b

a

(f − s)2 dx =

ˆ b

a

(f − s) (f − s) dx

f − s ≤ f + s⇒ ≤ˆ b

a

(f − s) (f + s) dx ≤ˆ b

a

2f (f − s) dx

≤ 2

(supx∈[a,b]

f (x)

) <ε︷ ︸︸ ︷ˆ b

a

(f − s) dx < ε0

.ε > 0 לכל ,ε כדי עד fל־ הקרוב s מדרגות פונקציית למצוא ניתן ולכן

.H (a, b)ב־ צפופות הרציפות הפונקציות 4.45 מסקנה

||f − s||ש־ כך f : [a, b]→ R רציפה פונקצייה קיימת s : [a, b]→ R מדרגות פונקציית כל שעבור להראות די הוכחה:כרצונינו. קטנה תהייה

נעשה אותו לקירוב המחשה :4.2 איור

sש־ הערך את αiב־ ונסמן ,i = 1, . . . , nל־ (ti−1, ti) על קבועה sש־ כך Sל־ המתאימה [a, b] של חלקה {ti}ni=1 תהיזה. בקטע מקבלת

נגדיר 1k <

13 min1≤i≤n (ti − ti−1) המקיים k ולכל M = maxαi גם נסמן

fk (x) =

α1 x ∈

[a, t1 − 1

k

]αi x ∈

[ti−1 + 1

k , ti −1k

]αn x ∈

[tn−1 + 1

k , tn]

αi+1+αi2 + αi+1−αi

2 · k · (x− ti) x ∈(ti − 1

k , ti + 1k

)∧ i ∈ {1, . . . , n− 1}

25

Page 26: חשבון אינפיניטסמלי מתקדם 2

H (a, b) המרחב פנימית4.1 מכפלה מרחבי 4

בקצוות לערכים (ואולי 2k מהם אחד כל שאורך קטעים, n−1ל־ פרט Sל־ שווה שהיא והיות רציפה, היא שהגדרנו כפי fk

.(a, b: מתקיים בנוסף

||s− fk||2 =

ˆ b

a

(s− fk)2dx ≤ (n− 1)

2

k(2M)

2=

Const︷ ︸︸ ︷8M2 (n− 1)

1

k→ 0

המשפט. נובע ומכאן

גם שהיא ברור ולכן מדרגות, פונקציות של במ״ש גבול בהכרח היא ,f : [a, b] → R רציפה, פונקציה כל 4.46 הערהשל בממוצע גבול היא מדרגות שפונקציית ראינו הנגדי, בכיוון מדרגות. פונקציית של (H (a, b)ב־ (כלומר בממוצע גבולכמובן שהוא רציפה, היא מדרגות פונקציית שכל גורר היה זה (אחרת במ״ש גבול לא בד״כ היא אבל רציפות, פונקציות

הקבועה). הפונקציה רק היא במ״ש לקירוב ניתנת שכן היחידה המדרגות פונקציית לכן סתירה.

.H (a, b)ב־ צפופים הפולינומים 4.47 מסקנה

פולינומים. של H (a, b)ב־ גבול גם היא ולכן פולינומים, של במ״ש גבול היא רציפה פונקציה כל הוכחה:

.H (a, b)ב־ צפופות הן g (a) = g (b) המקיימות g : [a, b]→ R הרציפות הפונקציות 4.48 מסקנה

f||קטנה − g||ש־ כך ,g (a) = g (b)וש־ רציפה g : [a, b]→ R קיימת רציפה, f : [a, b]→ R שלכל להראות די הוכחה:כרצונינו.

נגדיר אז ,0 < ε < b− aו־ כנ״ל, f בהינתן

g (x) =

{f (x) x ∈ [0, b− ε]f (a)− (b− x) f(a)−f(b−ε)ε x ∈ [b− ε, b]

ולכן ,ε באורך לקטע פרט fל־ שווה g וכן g (a) = f (a) = g (b) ומקיימת רציפה g אזי

||f − g||2 =

ˆ b

a

(f − g)2dx ≤ ε ·

(2 maxx∈[a,b]

|f (x)|)2

המסקנה. נובעת ומכאן

שלם. איננו H (a, b) המרחב 4.49 טענה

ש־ מתקיים n > m של ומתקיים {fn}∞n=1 ⊂ H (0, 1) אזי fn (x) =

{n

14 x ∈

[0, 1

n

]x−

14 x ∈ ( 1

n , 1]על נסתכל הוכחה:

||fn − fm||2 =

ˆ 1

0

(fn − fm)2dx

=

ˆ 1m

0

(fn − fm)2dx

=

ˆ 1m

1n

(x−

14 −m 1

4

)2dx+

ˆ 1n

0

(n

14 −m 1

4

)2≤ˆ 1

m

0

4x−12 dx

= 8x12

∣∣∣ 1m

0= 8m−

12 →m→∞

0

26

Page 27: חשבון אינפיניטסמלי מתקדם 2

פורייה טורי 5

.H (a, b)ב־ מתכנסת איננה שהיא ונראה H (a, b)ב־ קושי סדרת {fn}∞n=1 ולכןלכל fn (x) = x−

14 ש־ מתקיים n ≥ m עבור .m ∈ N ויהי ||fn − f || → ש־0 כך f ∈ H (a, b) שיש בשלילה נניח

.n ≥ mל־ nב־ ב״ת הוא´ 1

1m

(fn − f)2dx ולכן x ∈

[1m , 1

]fn = f ולכן ,

´ 11m

(fn − f)2dx = ש־0 מתקיים n ≥ mשל־ נובע

´ 11m

(fn − f)2dx ≤

´ 10

(fn − f)2dx → ו־0 היות

ומכאן (0, 1] על כ״ת f (x) = x−14 ש־ נובע שרירותית mו־ היות ,

[1m , 1

]על כ״ת f (x) = x−

14 כלומר ,

[1m , 1

]על כ״ת

סתירה! – H (a, b)ב־ איננה f ולכן חסומה איננה fש־

כאלו אינטרגלים נאפשר אם אך אמיתי, לא אינטגרל לה קיים כן חסומה, לא שהפונקציה למרות כי לב נשים 4.50 הערהאלגברה. תהיה לא כבר זאת

,f : [0, 1] \Q→ ו־[∞,0] x ∈ [0, 1] \Q כאשר f (x) =∑∞i=1

?i

|x−αi|1/4ועל {αi}∞i=1 = Q

⋂[0, 1] על למשל נסתכל

.[0, 1] על מקום בכל כמעל f (x) ש־∞> להראות וניתן

.gn,αi (x) =

{x

14 x ∈

[αi − 1

n , αi + 1n

]|x− αi|−

14 Otherwise

כאשר fn (x) =∑ni=1?−ign,αi (x) גם נגדיר אם

???...

f : [a, b]→ R פונקציה עם זה במרחב איבר כל לזהות ןניתן L2 (a, b) נקרא H (a, b) של ההשלמה מרחב 4.51 הגדרהאפס. שמידתה נקודות קבוצת כדי עד היטב המוגדרת

של (בפרט H (a, b) של אחר צפופך תת־מרחב כל של וכן C2 [a, b] של ההשלמה מרחב גם הוא L2 (a, b) 4.52 הערהמדרגות). ולפונקציות לפולינומים המתאימים המרחבים

הילברט. מרחב נקרא שלם פנימית מכפלה מרחב תזכורת:

פורייה טורי 5

ע״ המוגדרות J = {ψn}∞n=0

⋃{ϕn}∞n=1 הפונקציות קבוצת היא H (0, 2π)ב־ הטריגונומטרית המערכת 5.1 הגדרה

ψ0 =1√2π

ψn =1√π

cos (nx)

ϕn =1√π

sin (nx)

.H (0, 2π)ב־ אורתונורמלית מערכת היא J 5.2 טענה

הבאות: מהנוסחאות מיידית נובעת J ב־ השונים האיברים אורתוגונליות הוכחה:

n = ±1,±2, . . .⇒ˆ 2π

0

sin (nx) dx =

ˆ 2π

0

cos (nx) dx = 0

sin (nx) cos (mx) =1

2(sin [(n+m)x] + sin [(n−m)x])

sin (nx) sin (mx) =1

2(cos [(n−m)x]− cos [(n+m)x])

cos (nx) cos (mx) =1

2(cos [(n−m)x] + cos [(n+m)x])

27

Page 28: חשבון אינפיניטסמלי מתקדם 2

פורייה טורי 5

.〈ψn, ψm〉 = 〈ϕn, ϕm〉 = 〈ψn, ϕn〉 = ש־0 מתקיים אז n 6= m שעבור נובע ומכךכי 〈ψn, ψn〉 = 〈ϕn, ϕn〉 = 1 ונקבל ,(sin (0) = 0 (כי 〈ψn, ϕn〉 = ש־0 עדיין נקבל ,n = m ˆעבור 2π

0

sin2 (nx) dx =

ˆ 2π

0

cos2 (nx) dx = π

כי n = 1, 2, . . . ˆעבור 2π

0

sin2 (nx) +

ˆ 2π

0

cos2 (nx) =

ˆ 2π

0

dx = 2π

ש־ נקבל אז cos (nx) = sin(nx+ π

2

)= sin

[n(x+ π

2n

)]ש־ העובדה עם ויחד

ˆ 2π

0

cos2 (nx) =

ˆ 2π

0

sin2(n(x+

π

2n

))dx

=

ˆ 2π+ π2n

π2n

sin2 (nx) dx

=

ˆ 2π

0

sin2 (nx) dx

⇒ 2

ˆ 2π

0

sin2 (nx) dx = 2π

.1 קיבלנו ושוב [0, 2π] הקטע על 12π הקבועה הפונקציה על אינטגרל נקבל 〈ψ0, ψ0〉 עבור

.H (0, 2π)ב־ שלמה היא J האורתונורמלית המערכת 5.3 טענה

בתת־ צפופים ,SpanJ כלומר הטריגונומטריים, שהפולינומים (Stone-Weierstrass ממשפט (כמסקנה ראינו הוכחה:כלומר ,C (0, 2π) של בנורמה היא זו צפיפות .C (0, 2π) במרחב g (0) = g (2π)ש־ המקיימות g הפונקציות של המרחב(בנורמה בממוצע התכנסות גוררת במ״ש והתכנסות היות במ״ש. להתכנסות שמתאימה הנורמה שהיא הסופרמום בנורמתב־ g (0) = g (2π)ש־ המקיימות ,g הרציפות הפונקציות של המרחב בתת צפופה SpanJ ש־ נובע אז ,(H (0, 2π) של

.H (0, 2π).H (0, 2π)ב־ צפוף SpanJ שגם נובע אז ,H (0, 2π)ב־ צפוף הוא האחרון המרחב שתת וראינו היות

מתקיים f ∈ H (0, 2π) לכל 5.4 מסקנה

(∗) f =

∞∑n=0

〈f, ψn〉ψn +

∞∑n=1

〈f, ϕn〉ϕn

.H (0, 2π)ב־ היא הטורים התכנסות כאשר

תרגיל. הוכחה:

.Sf ב־ לעיתים ונסמנו ,f הפונקציה של (Fourier Series) פורייה טור נקרא (∗) של ימין אגף 5.5 הגדרהונסמן: ,f הפונקציה של פורייה מקדמי נקראים 〈f, ϕn〉ו־ 〈f, ψn〉 הסקלרים

a0 (f) =1√2π〈f, ψ0〉 =

1

ˆ 2π

0

f (x) dx

an (f) =1√π〈f, ψn〉 =

1

π

ˆ 2π

0

f (x) cos (nx) dx

bn (f) =1√π〈f, ϕn〉 =

1

π

ˆ 2π

0

f (x) sin (nx) dx

28

Page 29: חשבון אינפיניטסמלי מתקדם 2

פורייה טורי 5

מדובר. f פונקציה איזו על ברור אם Sf ו־ an (f) , bn (f) במקום Sו־ an, bn ונכתוב: נקצר לעיתיםש־ מתקיים הנ״ל הסימונים תחת

(∗∗) S (x) =

∞∑n=0

an cos (nx) +

∞∑n=1

bn sin (nx)

ע״י חלקיים סכומים ונסמן

Sn (f) =

n∑k=0

ak cos (kx) +

n∑k=1

bk sin (kx)

החלקיים הסכומים של ההתכנסות לגבי גם דבר ואותו H (0, 2π) של בנורמה רק מובטחת ב־(∗∗) התכנסות 5.6 הערהמהצורה נקודתית התכנסות להתקיים צריכה לא כללי באופן בממוצע). התכנסות (דהיינו fל־ Sfn (x) המשולבים

נתון. t ∈ [0, 2π] עבור f (t) = limn→∞ Sfn (t)

מתקיים: f, g ∈ H (0, 2π) לכל 5.7 טענה

〈f, g〉 =

ˆ 2π

0

fgdx =

∞∑n=0

〈f, ψn〉 〈g, ψn〉+

∞∑n=1

〈f, ϕn〉 〈g, ϕn〉

= 2πa0 (f) a0 (g) +

∞∑n=1

πan (f) an (g) +

∞∑n=1

πbn (f) bn (g)

גם ולכן

||f || = 〈f, f〉 = 2πa20 +

∞∑n=1

πa2n +

∞∑n=1

πb2n

שהגדרנו. בסימונים פרסבל ושיוויון המוכלל פרסבל שוויון מתוך ישירות נובעים השוויונות הוכחה:

ואז f (x) = x יהי דוגמא:

〈f, f〉 =

ˆ 2π

0

x2dx =8π3

3

ש־ מתקיים שני מצד

a20 =

(1

ˆ 2π

0

xdx

)2

= π2

a2n =

(1

π

ˆ 2π

0

x cos (nx) dx

)2

= 0

b2n =

(1

π

ˆ 2π

0

x sin (nx) dx

)2

=4

n2

⇒ 8π3

3= 2π3 +

∞∑n=1

n2

⇒∞∑n=1

1

n2=

π2

6

29

Page 30: חשבון אינפיניטסמלי מתקדם 2

פורייה טורי 5

אזי ,θ ∈ Rו־ f ∈ H (a, b) תהי 5.8 טענה

limn→∞

ˆ b

a

f (x) sin ((n+ θ)x) dx = limn→∞

ˆ b

a

f (x) cos ((n+ θ)x) dx = 0

למקרים: נפרק הוכחה:

הנובעת עובדה ,limn→∞ an (f) = limn→∞ bn (f) = ש־0 מכך נובעת הטענה אז θ = 0 וגם [a, b] = [0, 2π] אם .1פרסבל. משיוויון

מתקבל קוסינוס של זוויות סכום של שמהזהות לב נשים אז כללי, θו־ [a, b] = [0, 2π] אם .2

ˆ 2π

0

f (x) cos ((n+ θ)x) dx =

ˆ 2π

0

f (x) cos (θx) cos (nx) dx−ˆ 2π

0

f (x) sin (θx) sin (nx) dx

נשאיף שכאשר נובע הראשון מהמקרה אז קבוע) θ (לכל H (a, b)ב־ הן f (x) sin (θx)ו־ f (x) cos (θx) שגם וכיווןיתאפסו. האינטגרלים שני לאינסוף, הביטוי את

.´ 2π0f (x) sin ((n+ θ)x) dx עבור להראות אפשר בדיוק אופן באותו

את לחלק נוכל אזי max{|a|,|b|}2π ≤ k שעבורו k ∈ N ויהי g (x) =

{f (x) x ∈ [a, b]

0 x 6∈ [a, b]נגדיר כללי, [a, b] עבור .3

:2π באורך למקטעים הקטע

ˆ b

a

f (x) cos ((n+ θ)x) dx =

k−1∑j=−k

ˆ 2π(j+1)

2πj

g (x) cos ((n+ θ)x) dx

ובאופן מתאפס, האינטגרל כולו הסכום על גם אז הקודמים) במקרים (כמו מתאפס האינטגרל קטע כל שעל וכיווןהסינוס. של למקרה להראות אפשר דומה

.f (0) = f (2π)ש־ הוא נקודתית fל־ יתכנס f של פורייה שטור לכך הכרחי תנאי ,f ∈ H (0, 2π) תהי 5.9 טענהרציפה. fש־ הוא במ״ש אליה יתכנס f של פורייה שטור לכך הכרחי תנאי

ש־ ומכאן ,ψn (0) = ψn (2π)ו־ ϕn (0) = ϕn (2π) גם ולכן ,2π מחזוריות הן cosxו־ sinxש־ לב נשים הוכחה:.S (0) = S (2π)ש־ נובע אז ,2πוב־ ב־0 מתכנסת פורייה טור אם .Sfn (0) = Sfn (2π)

רציפה. fש־ נובע במ״ש, fל־ מתכנס f של פורייה טור אם לכן ,n לכל רציפה Sfn ולכן רציפות, הן ψnו־ ϕn הפונקציות

איבר הגזירה אזי ,f (0) = f (2π) המקיימת למקוטעין ברציפות גזירה רציפה, פונקציה f : [0, 2π]→ R תהי 5.10 טענהכלומר ,f ′ של פורייה טור הוא ,f של פורייה טור של איבר

a0 (f ′) = 0

an>0 (f ′) = nbn (f)

bn>0 (f ′) = −nan (f)

30

Page 31: חשבון אינפיניטסמלי מתקדם 2

פורייה טורי 5

מתקיים: היסודי המשפט לפי הוכחה:

a0 (f ′) =1

ˆ 2π

0

f ′ (x) dx =1

2π(f (2π)− f (0)) = 0

בחלקים: אינטגרציה בעזרת

an>0 (f) =1

π

ˆ 2π

0

f (x) cos (nx) dx

=

sin(2πn)=0⇒=0︷ ︸︸ ︷1

nπf (x) sin (nx)

∣∣∣∣2π0

− 1

ˆ 2π

0

f ′ (x) sin (nx) dx

= − 1

nbn (f ′)

⇒ bn (f ′) = −nan (f)

.an (f ′) = nbn (f)⇐ bn (f) = 1nan (f ש־(′ לקבל נוכל אופן ובאותו

גם כי ״מהר״, לאפס לשאוף צריך שלה המקדמים אז גזירה, f שאם נובע הקודמת שמהטענה לב נשים 5.11 הערה.an (f) = o

(n−1

)ולכן lim an(f)

1n

= 0 כלומר ,nan (f)→ 0

f של פורייה טור אזי ,f (0) = f (2π) ומקיימת למקטועין ברציפות גזירה רציפה, f : [0, 2π] → R תהי 5.12 משפט.∑∞n=0 |an (f)| ,

∑∞n=1 |bn (f)| ש־∞> גם ומתקיים [0, 2π] הקטע על שווה ובמידה בהחלט אליה מתכנס

הבאה! בהרצאה הוכחה:

פיינברג. אדם של שעברה משנה בסיכום למצוא ניתן השלמות – 13.04.2011 בתאריך ההרצאה את סיכמתי לא

ש־ כך A ∈ R קיים x0 ∈ (0, 2π) שעבור ונניח f ∈ H (0, 2π) תהי 5.13 משפט

sup0 < u < x0u < 2π − x0

∣∣∣∣f (x0 + u) + f (x0 − u) + 2A

u

∣∣∣∣ <∞

.limn→∞ Sfn (x0) = A אזי

סיכמתי) שלא הקודמת (בהרצאה הוכחה:

כ״ת. נקודתית אליה מתכנס f של פורייה טור f ∈ L2 (0, 2π) לכל ב־1966): (הוכח Carleson משפט 5.14 הערה

31

Page 32: חשבון אינפיניטסמלי מתקדם 2

סומציה שיטות 5.1 פורייה טורי 5

סומציה שיטות 5.1

סדרת למצוא ונרצה ״טוב״, מתנהגת לא הטור של החלקיים הסכומים סדרת לפעמים ,∑∞n=1 fn פונקציות טור בהינתן

שונות. סומציה שיטות של הרעיון וזה הטור, לאותו המתכנסת אחרת פונקציות

.f (x) =∑∞n=1 fn בהינתן דוגמאות:

limr→1,0<r<1

∑∞n=1 r

nfn (x) ש־= ובנוסף מתכנס,∑∞n=1 r

nfn (x) הטור 0 < r < 1 שלכל לב נשים .1.rk = 1− 1

k ע״י למשל ,f (x)

. 1N∑Nk=1

∑kn=1 fn (x) החלקיים: הסכומים של ממוצעים ע״י סכימה .2

פורייה). סכומי של אריתמטיים ממוצעים (אלה σfn (x) = 1n+1

∑ni=0 S

fi (x) נסמן f ∈ H (0, 2π) עבור 5.15 הגדרה

.limn→∞ σfn (x) = limn→∞ Sfn (x) אזי קיים, limn→∞ Sfn (x) אם 5.16 הערהמתכנסת. לא

{Sfn (x)

}בהם במקרים גם קיים להיות יכול limn→∞ σfn (x)ש־ לב לשים יש

שלא בהרצאה נמצא – דריכלה גרעין הוא Dn = sin(n+ 1

2

)x (כאשר

∑ni=0Di (x) =

sin2(n+12 x)

sin2( x2 )5.17 טענה

סיכמתי)

טריוויאלי. באופן מתקיימת והטענה D0 (x) = ש־1 מתקיים n = 0 עבור באינדוקציה, הוכחה:ואז n עבור נניח

n+1∑i=0

Di (x) =sin2

(n+12 x

)sin2

(x2

) +Dn+1 (x)

=sin2

(n+12 x

)+ sin

(x2

)sin((n+ 1 + 1

2

)x)

sin2(x2

)=

sin2(n+12 x

)+ 1

2 cos ((n+ 1)x)− 12 cos ((n+ 2)x)

sin2(x2

)

=

12

=0︷ ︸︸ ︷−1

2cos

(2n+ 1

2x

)+

1

2cos ((n+ 1)x)− 1

2 cos ((n+ 2)x)

sin2(x2

)=

12 −

12 cos ((n+ 2)x)

sin2(x2

) =sin2

(n+22 x

)sin2

(x2

)הטריגונומטריות: בזהויות פה השתמשנו כאשר

sin2 α =1

2− 1

2cos (2α)

sin θ sinϕ =cos(θ − ϕ)− cos(θ + ϕ)

2

.Fejer גרעין נקראת κn (x) = 1n+1

sin2(n+12 x)

sin2( x2 )הפונקציה 5.18 הגדרה

32

Page 33: חשבון אינפיניטסמלי מתקדם 2

סומציה שיטות 5.1 פורייה טורי 5

ש־ מתקיים x0 ∈ R לכל אז f ∈ H (0, 2π) לכל 5.19 טענה

σfn (x0) =1

ˆ 2π

0

f (t)κn (x0 − t) dt

נקבל: ישיר מחישוב הוכחה:

σfn (x0) =1

n+ 1

n∑i=0

Sfi (x0) =1

n+ 1

n∑i=0

1

ˆ 2π

0

f (t)Di (x0 − t) dt

=1

ˆ 2π

0

f (t)

κn(x0−t)︷ ︸︸ ︷(1

n+ 1

n∑i=0

Di (x0 − t)

)dt

(u ∈ Rו־ n ∈ N (לכל הבאות: התכונות בעל הוא Fejer גרעין 5.20 טענה

.κn (u) = κn (−u) .1

.kn (u) ≥ 0 .2

.0 < δ < π לכל limn→∞´ 2π−δδ

κn (u) du = 0 .3

. 12π

´ 2π0κn (u) du = 1 .4

הטענות: את נוכיח הוכחה:

זוגי. הוא גם ולכן זוגיות פונקציות של חילוק הוא κn ואז זוגית, היא sin2 ולכן זוגית אי פונקציה היא sin .1

שלילי. אי ולכן בריבוע המועלה ממשי מספר הוא κn .2

xמתקיים: ∈ [δ, 2π − δ] לכל ,0 < δ < π יהי .3

κn (x) =1

n+ 1

sin2(n+12 x

)sin2

(x2

) ≤ 1

(n+ 1) sin2(δ2

)⇒ˆ 2π−δ

δ

κn (x) dx ≤ 2π

(n+ 1) sin2(δ2

) →n→∞

0

ממוצע הוא עליו האינטגרל אז ה־Dn־ים, של הממוצע בתור κn ולכן ,n לכל 12π

´ 2π0Dn (u) du = ש־1 מכך נובע .4.1 הוא גם ולכן האינטגרלים

.[0, 2π] על במ״ש σfn →n→∞

f אזי ,f (0) = f (2π) המקיימת רציפה f : [0, 2π]→ R תהי (Fejer (משפט 5.21 משפט

33

Page 34: חשבון אינפיניטסמלי מתקדם 2

סומציה שיטות 5.1 פורייה טורי 5

f (0) = f (2π)ו־ היות .x ∈ (2π, 4π] עבור f (x) = f (x− 2π) שנגדיר כך ע״י [0, 4π]ל־ f הגדרת את נרחיב הוכחה:במ״ש. שם רציפה ולכן [0, 4π] על גם רציפה fש־ נובע

אזי: ,x0 ∈ [0, 2π] ותהיא ,|f (x)− f (y)| < ε⇐ |x− y| < δ ,x, y ∈ [0, 4π] שלכל כך δ > 0 נבחר ε > 0 בהינתן

∣∣σfn (x0)− f (x0)∣∣ =

∣∣∣∣ 1

ˆ 2π

0

f (t)κn (x0 − t) dt− f (x0)

∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1

ˆ 2π

0

f (t)κn (x0 − t) dt− f (x0)

=1︷ ︸︸ ︷1

ˆ 2π

0

κn (x0 − t) dt

∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣ 1

ˆ 2π

0

(f (t)− f (x0))κn (x0 − t)∣∣∣∣

≤ 1

ˆ 2π

0

|f (t)− f (x0)|

≥0︷ ︸︸ ︷κn (x0 − t) dt

u = t− x0∗⇒ =

1

ˆ 2π

0

|f (x0 + u)− f (x0)|κn (−u) du

=1

ˆ 2π

0

|f (x0 + u)− f (x0)|κn (u) du

=1

ˆ δ

0

(. . .) +1

ˆ 2π−δ

δ

(. . .) +1

ˆ 2π

2π−δ(. . .)

≤ ε

≤1︷ ︸︸ ︷ˆ δ

0

κn (u) du+2 max (f)

→0︷ ︸︸ ︷ˆ 2π−δ

δ

κn (u) du+ε

≤1︷ ︸︸ ︷ˆ 2π

2π−δκn (u) du

≤ ε+ 2 max (f)

ˆ 2π−δ

δ

κn (u) du

באופן גם זאת להראות (קל 2π באורך מחזורית שהפונקציה כיוון האינטגרציה גבולות את לשנות צורך אין ב־(∗) כאשרהסכימה). של מחדש וסידור חלקים, לשני האינטגרל פירוק ע״י פורמלי

במ״ש. σfn → fש־ ומכאן∣∣σfn (x0)− f (x0)

∣∣ < 2εש־ x0 ∈ [0, 2π] לכל יתקיים n > N שעבור כך N שקיים ברור עתה

Fejer משפט ולכן טריגונומטרי, פולינום הוא σfn אז ,n ולכל f (0) = f (2π) המקיימת f ∈ C (0, 2π) לכל 5.22 הערה.C(S1)ב־ הטריגונומטריים הפולינומים לצפיפות ווירשטרס) בסטון (ב״ת נוספת הוכחה נותן

אזי ,A = limn→∞f(x0+h)+f(x0−h)

2 הגבול שקיים נניח .x0 ∈ (0, 2π) ותהי f ∈ H (0, 2π) תהי 5.23 טענה.limn→∞ σfn (x0) = A

34

Page 35: חשבון אינפיניטסמלי מתקדם 2

לינאריים אופרטורים 6

ואז 0 < δ < min {x0, 2π − x0} יהי הוכחה:

∣∣σfn (x0)−A∣∣ =

∣∣∣∣ 1

ˆ 2π

0

(f (t)−A)κn (x0 − t) dt∣∣∣∣

≤ 1

ˆ|t−x0|≥δ

|f (t)−A|κn (x0 − t) dt+

∣∣∣∣∣ 1

ˆ x0+δ

x0−δ(f (t)−A)κn (x0 − t) dt

∣∣∣∣∣≤ 2 sup |f (t)| 1

ˆ 2π−δ

δ

κn (u) du+

∣∣∣∣∣ 1

ˆ δ

0

(f (x0 − u) + f (x0 + u)− 2A)κn (u) du

∣∣∣∣∣≤ 2 sup |f (t)| 1

ˆ 2π−δ

δ

κn (u) du+ sup0<u<δ

|f (x0 − u) + f (x0 + u)− 2A|

→n→∞

0 + sup0<u<δ

|f (x0 − u) + f (x0 + u)− 2A|

→δ→0

0

. f (t) = f(a+ t

2π (b− a))

ע״י מתאימה f ∈ H (0, 2π) להגדיר ניתן ,f ∈ H (a, b)ו־ [a, b] קטע בהינתן 5.24 הערה

פירוט ביתר .f את מייצג S (x) = S(

2π x−ab−a

)ע״י המתקבל הטור ואז מתאים, f (t) פורייה טור ע״י לייצג ניתן f את

מקבלים:

S (x) = a0 +

∞∑n=1

an cos

(2π

b− anx

)+

∞∑n=1

bn sin

(2π

b− anx

)

a0 =1

b− a

ˆ b

a

f (x) dx

an =2

b− a

ˆ b

a

f (x) cos

(2π

b− anx

)dx

bn =2

b− a

ˆ b

a

f (x) sin

(2π

b− anx

)dx

לינאריים אופרטורים 6

והמרצה לינדרשטראוס, של הספר אחרי עוקב לא כבר ההרצאות של התוכן הקורס, סוף ועד הזה מהפרק 6.1 הערהלקורס. המקביל באופן החומר אותו את שמכסה אחר ספר מכיר לא שהוא אמר

,α, β ∈ Rו־ x, y ∈ X לכל A (αx+ βy) = αA (x)+βA (y) המקיימת A : X → X הפונקציה מ״ו, X אם 6.2 הגדרהעבור Ax לרוב נסמן כזה במקרה .(X על אופרטור אומרים ופשוט מקצרים (לעיתים X על לינארי אופרטור נקראת

.A (x)

במקרה .sup||x||=1 ||Ax|| = supx 6=0||Ax||||x|| <∞ אם חסום ייקרא A לינארי אופרטור נורמי, מרחב X יהי 6.3 הגדרה

נסמן כזה

||A|| = sup||x||=1

||Ax||

35

Page 36: חשבון אינפיניטסמלי מתקדם 2

לינאריים אופרטורים 6

– מ״ו) כמובן (שהוא טבעיים בסקלר וכפל חיבור עם החסומים האופרטורים מרחב על נורמה היא ש־||·|| להראות וניתןכתרגיל. הוכחה

לעצמו. Xמ־ רציפה פונקציה בפרט הוא X נורמי מרחב על חסום לינארי אופרטור 6.4 טענה

אז x 6= yל־ הוכחה:

||Ax−Ay|| = ||A (x− y)|| = ||A (x− y)||||x− y||

||x− y||

≤ ||A|| ||x− y|| →x→y

0

דוגמאות:

Aש־ לראות וקל ,(Af) (x) = xf (x) ע״י בפרמטר״ כפל של ״האופרטור את ונגדיר H (a, b) על נסתכל .1ש־ וגם לינארי,

sup||f ||=1

||Af || = sup||f ||=1

√ˆ b

a

x2f2 (x) dx ≤ max {|a| , |b|}

√ˆ b

a

f2 (x) dx = max {|a| , |b|}

.||A|| = max {|a| , |b|} (תרגיל) ולמעשה חסום A ולכן

(Df) (x) = ע״י הגזירה״ ״אופרטור את ונגדיר H (a, b)מ־ המורשת הנורמה עם [a, b] על הפולינומים מרחב על .2חסום. איננו אבל לינארי אופרטור הוא D אזי ,f ′ (x)

〈Ax, y〉 = מתקיים x, y ∈ X לכל אם לעצמו צמוד ייקרא X פנימית מכפלה מרחב על חסום לינארי אופרטור 6.5 הגדרהבפיזיקה). למשל – הרמיטי אופרטור כזה לאופרטור קוראים (לפעמים 〈x,Ay〉

כי לעצמו צמוד הוא H (a, b) על בפרמטר כפל של האופרטור דוגמא:

〈Af, g〉 =

ˆ b

a

xf (x) g (x) dx = 〈f,Ag〉

מתקיים x ∈ X לכל אזי ,{δn}∞n=1 אורתונורמלי בסיס בעל X ספרבילי ממ״פ על חסום אופרטור A אם 6.6 טענה

Ax =

∞∑k=1

〈x, δk〉Aδk =

∞∑k=1

∞∑j=1

〈Aδj , δk〉 〈x, δj〉

δk

36

Page 37: חשבון אינפיניטסמלי מתקדם 2

לינאריים אופרטורים 6

כי מתקיים הוכחה:

Ax = A

∞∑j=1

〈x, δj〉 δj

= A

limn→∞

n∑j=1

〈x, δj〉 δj

A is continuous= lim

n→∞

A n∑j=1

〈x, δj〉 δj

A is linear op.⇒ = lim

n→∞

n∑j=1

〈x, δj〉Aδj =

∞∑j=1

〈x, δj〉Aδj

Ax =

∞∑k=1

〈Ax, δk〉 δk =

∞∑k=1

⟨ ∞∑j=1

〈x, δj〉Aδj , δk

⟩δk

=

∞∑k=1

⟨limn→∞

n∑j=1

〈x, δj〉Aδj , δk

⟩δk

Inner product is continuous⇒ =

∞∑k=1

limn→∞

⟨n∑j=1

〈x, δj〉Aδj , δk

⟩ δk

=

∞∑k=1

limn→∞

n∑j=1

〈x, δj〉 〈Aδj , δk〉

δk

=

∞∑k=1

∞∑j=1

〈Aδj , δk〉 〈x, δj〉

δk

של מטריצה אלמנטי נקראים x, y ∈ X עבור 〈Ax, y〉 מהצורה מספרים ,X ממ״פ על חסום אופרטור A אם 6.7 הגדרהלבסיס ביחס A של המטריצה אלמנטי נקרא {〈Aδj , δk〉}∞j,k המספרים אוסף {δn}∞n=1 אורתונורמלי בסיס ועבור ,A

האופרטור). את המגדירה המטריצה פשוט זאת הסופי המקרה (עבור {δn}∞n=1

עמודה״ ״ווקטור עם x ∈ X ווקטור כל לזהות ניתן חח״ע. באופן A את קובע כזה אוסף 6.8 ,〈xהערה δ1〉〈x, δ2〉...

↔ ∞∑n=1

〈x, δn〉 δn

סופית) (האין המטריצה עם A חסום אופרטור ,〈Aוכל δ1, δ1〉 〈Aδ2, δ1〉 · · ·〈Aδ1, δ2〉 〈Dδ2, δ2〉 · · ·...

.... . .

נובע (זה xל־ המתאים העמודה בווקטור Aל־ המתאימה המטריצה מכפל מתקבל Axל־ המתאים העמודה שווקטור כך

האחרונה). מהטענה

37

Page 38: חשבון אינפיניטסמלי מתקדם 2

משקל פונקציית 6.1 לינאריים אופרטורים 6

משקל פונקציית 6.1

נסמן .infx∈[a,b] w (x) > 0 המקיימת ,[a, b] קטע על w רימן ואינטגרבילית חיובית חסומה, פונקציה בהינתן 6.9 הגדרההמכ״פ: עם H (a, b) אברי של הפנימית המכפלה מרחב את H ([a, b] , w)ב־

〈f, g〉 =

ˆ b

a

f (x) g (x)w (x) dx

משקל. פונקציית נקראת המכ״פ להגדרת המשמשת כזאת w פונקציה

מתקיים f ∈ H (a, b) לכל אזי ,H ([a, b] , w)ב־ הנורמה את ||·||wו־ H (a, b)ב־ הנורמה את מציין ||·||2 אם 6.10 )טענהinf

x∈[a,b]w (x)

)· ||f ||2 ≤ ||f ||w ≤

(supx∈[a,b]

w (x)

)||f ||2

שקולות. נורמות הן ||·||wו־ ||·||@ ובפרט

תרגיל. הוכחה:

שמידט גרהם תהליך מהפעלת המתקבלים הפולינומים {p0, p1, p2, . . .} יהיו כנ״ל, w משקל פונקציית בהינתן 6.11 הגדרהביחס האורתונורמליים הפולינומים נקראים האלו הפולינומים .

{1, x, x2, x3, . . .

}הפונקציות סדרת על H ([a, b] , w)ב־.[a, b] הקטע על w המשקל לפונקציית

.H ([a, b] , w) של אורתונורמלי בסיס מהווים הנ״ל {p0, . . .} 6.12 טענה

היותר לכל מתאפס אפס זהותית שאיננו פולינום (כי H ([a, b] , w)ב־ לינארית ב״ת הןו 1, x, x2, . . . הפונקציות הוכחה:כן, כמו .H ([a, b] , w)ב־ אורתונורמלית מערכת מהווים {p0, p1, . . ש־{. מהבנייה ברור ולכן נקודות) של סופי במספרהפולינומים כל אוסף בדיוק הוא Span {pj}∞j=0 ובפרט ,n לכל Span {pj}nj=0 = Span

{xj}nj=0

ש־ שמידט גרהם תהליךשקולות, H ([a, b] , w) ובמרחב H (a, b) במרחב והנורמות והיות ,H (a, b)ב־ צפוף זה מרחב ידוע שכבר כפי .[a, b] על

אורתונורמלי. בסיס {pj}ש־ ומכאן H ([a, b] , w) השקולה הנורמה עם במרחב צפוף Span {pj}∞j=0ש־ נובע בפרט אז

הרקורסייה יחס את מקיימת {p0, . . .} הפולינומים 6.13 משפט

a0p1 (x) = (x− b0) p0 (x)

anpn+1 (x) = (x− bn) pn (x)− an−1pn−1 (x)

מתקיים n ≥ 0 לכל כאשר

bn =

ˆ b

a

xp2n (x)w (x) dx

0 6= an =

ˆ b

a

xpn (x) pn+1 (x)w (x) dx

לעיל. למשפט ההוכחה הופיעה שם ב־17.05.2011 שהייתה ההרצאה את פיספסתי

38

Page 39: חשבון אינפיניטסמלי מתקדם 2

משקל פונקציית 6.1 לינאריים אופרטורים 6

הוא pnב־ xn של המקדם n שלכל כך ״פשוט״ באופן מבוצע {p0, . . .} את היוצר גרם־שמידט תהליך אם 6.14 טענה.n לכל an > ש־0 הרקורסיה מקדמי עבור מתקיים אזי חיובי,

הרקורסיה מיחס בקלות זאת רואים הוכחה:

anpn+1 (x) = (x− bn) pn (x)− an−1pn−1 (x)

נגדיר האחרון המשפט הוכחת של בסימונים 6.15 טענה

Aw,n =

b0 a0 0 · · ·

a0 b1. . . . . .

0. . . . . . an−1

.... . . an−1 bn

.Aw,n של העצמיים הערכים בדיוק הם pn+1 (x) של האפסים אזי

באים השיוויונות מתקיימים אזי pn+1 (x) = ש־0 מתקיים x ∈ R עבור אם הוכחה:

a0p1 (x) = (x− b0) p0 (x)

∀0 < j < n, ajpj+1 (x) = (x− bj) pj (x)− aj−1pj−1 (x)

an−1pn−1 (x) = (x− bn) pn (x)

הבא באופן לכתבם גם שניתן

b0p0 (x) + a0p1 (x) = xp0 (x)

aj−1pj−1 (x) + ajpj+1 (x) = xpj (x)

an−1pn−1 (x) + bnpn (x) = xpn (x)

מטריציונית בצורה לכתוב ניתן שאותהb0 a0 0 · · ·

a0 b1. . . . . .

0. . . . . . an−1

.... . . an−1 bn

p0 (x)p1 (x)

...

...pn (x)

= x

p0 (x)p1 (x)

...

...pn (x)

.x ע״ע עם Aw,n של ו״ע הוא

p0 (x)...

pn (x)

שהוקטור כלומר

ע״י אותו וננרמל ,x ע״ע עם Aw,n של ו״ע

c0...cn

אם שני ומצד Aw,n של ע״ע הוא pn+1 (x) של אפס שכל ברור לכן

בו״ע שמודבר מכך .1 ≤ j ≤ n לכל cj = pj (x)ש־ באינדוקציה הרקורסיה מיחס רואים אזי ,c0 = p0 (x)ש־ הדרישהש־ גם לכן נובע

an−1pn+1 (x) + bnpn (x) = xpn (x)

39

Page 40: חשבון אינפיניטסמלי מתקדם 2

משקל פונקציית לינאריים6.1 אופרטורים 6

מתקיים האותונורמליים לפולינומים הכללי הרקורסייה ומיחס

an−1pn−1 (x) + bnpn (x) + anpn+1 (x) = xpn (x)

.pn+1 (x) = 0 ולכן anpn+1 (x) = 0 ולכן

הבאה. הטענה של מההוכחה כחלק זו עובדה ונראה ,c0 6= ש־0 הנחנו הנ״ל בטענה למעשה 6.16 הערה

שונים. ממשיים אפסים n יש pn (x)ל־ n לכל 6.17 טענה

ממשים. הע״ע אז לעצמה צמודה מטריצה Aw,n−1ו־ והיות ,Aw,n−1 של הע״ע בדיוק הם pn (x) של האפסים הוכחה:

ש־ מתקיים ואז ,

0c1...cn

מהצורה ו״ע עבורו לה יש אז פשוט שאינו ע״ע Aw,n−1ל־ יש אם פשוטים: גם שהם נראה

b0 a0 0 · · ·

a0 b1. . . . . .

0. . . . . . an−1

.... . . an−1 bn

0c1...cn

= x

0c1...cn

וזו c1 = c2 = . . . = cn = ש־0 להראות אפשר באינדוקציה וכך c1 = 0 ולכן a0c1 = ש־0 שמתקיים לראות וקל

פשוטים. ע״ע רק יש Aw,n+1ל־ דהיינו לינארית. ב״ת עצמיים ווקטורים של מאחד הגדול מספר לקיום בסתירה

.||Aw,n|| ≤ ||Aw|| 6.18 טענה

ומתקיים

c0...cn0...

המתאים האינסופי הווקטור קיים

c0...cn

∈ Rn+1 ווקטור לכל הוכחה:

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣Aw

c0...cn0...

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

2

=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣Aw,n

c0...cn

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣2

+ a2nc2n ≥

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣Aw,n

c0...cn

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣2

.||Aw|| ≥ ||Aw,n||ש־ נובע ומכך

.|λ| ≤ ||A|| אזי A של ע״ע λו־ n× n מטריצה A אם 6.19 טענה

אזי λל־ המתאים ו״ע ψ אם הוכחה:

|λ| = ||Aψ||||ψ||

≤ supϕ6=0

||Aϕ||||ϕ||

= ||A||

40

Page 41: חשבון אינפיניטסמלי מתקדם 2

משקל פונקציית לינאריים6.1 אופרטורים 6

.[a, b]ב־ הם pn (x) של האפסים כל n לכל 6.20 טענה

של ע״ע הוא שראינו כפי אז pn (x) של אפס הוא x אם .[−a, a] מהצורה הוא [a, b] שבו במקרה לדון די בה״כ הוכחה:מתקיים: ולכן Aw,n−1

|x| ≤ ||Aw,n−1|| ≤ ||Aw||

.x ∈ [−a, a] ולכן ||Aw|| ≤ |a|ש־ והראינו

הרחבות 6.1.1

פולינומים לגבי שעשינו מה וכל אופן באותו H ([a, b] , w) את להגדיר ניתן אזי כ״ת w (x) > 0 אבל inf w (x) = 0 אםקושי סדרות להיות עשויות H (a, b)ב־ קושי שאינן שסדרות הוא היחיד ההבדל הדבר״. אותו ״יעבוד אורתונורמליים

.H (a, b) של זה מאשר יותר גדול הוא H ([a, b] , w) של ההשלמה מרחב ולכן ,H ([a, b] , w)ב־

אבל´ 10f2 (x) dx = ∞ אז (f (x))

2= x−

43 הפונקציה על ונסתכל [0, 1] והקטע w (x) = x

12 ניקח אם דוגמא:

.´ 10f2 (x)w (x) dx <∞

H ([a, b] , w) הגדרת על לחזור ניתן אז אמיתי לא רימן כאינטגרל וסופי קיים´ baw (x) dx אבל חסומה איננה w (x) אם

של מזה קטן יותר להיות עשוי ההשלמה מרחב כזה במקרה אמיתי. לא יהיה המכ״פ את המגדיר שהאינטגרל למעטלגבי שעשינו מה וכל ,(H (a, b) (אברי האיברים אותם את בדיוק כולל עצמו H ([a, b] , w) המרחב אבל ,H (a, b)

אופן. באותו בדיוק עובד אורתונורמליים פולינומים

.supx∈[a,b]W (x) ש־∞> במקרה גם H ([a, b] ,W ב־( צפופים הפולינומים תרגיל:

דוגמאות:

הפולינומים .ν, µ > −1 כאשר wν,µ (x) = (1− x)ν

(1 + x)µו־ [a, b] = [−1, 1] יעקובי פולינומי .1

את נותר ν = µ = 0 המיוחד המקרה יעקובי. פולינומי נקראים קבועים ν, µ עבור {pn (ν, µ)}∞n=0

לג׳נדר. פולינומי

.ν = − 1ו־2 µ = ש־0 למקרה שמתאים W (x) = 1√

1−x2ראשון מסוג Chebychev פולינומי .2

ל־ המתאימים 0 ≤ θ ≤ π עבור pn (cos θ) = const · cos (nθ) מקיימים הם

0 11 0 1

212 0 1

2

12 0

. . .. . . . . .

המקיימים W (x) =

√1− x2 שני: מסוג Chebychev פולינומי .3

pn (cos θ) = const · sin ((n+ 1) θ)

sin (θ), 0 ≤ θ ≤ π

41

Page 42: חשבון אינפיניטסמלי מתקדם 2

משקל פונקציית 6.1 לינאריים אופרטורים 6

ל־ המתאימים

0 12

12 0 1

212 0 1

2

12 0

. . .. . . . . .

לאפס ששואפת [0,∞) על חיובית פונצקיה W (x) אם ,[0,∞) למשל אינסופי, קטע לקחת גם ניתן הרחבה: אפשרות עודמגדיר 〈f, g〉 =

´∞0f (x) g (x)W (x) dx אזי ,n לכל

´∞0xnW (x) dx ש־∞> כך ,x→∞ כאשר מהר מספיק

בדומה, .W ל־ המתאימים האורתונורמליים הפולינומים בסיס את להגדיר שוב וניתן הפולינומים, מרחב על מכ״פ.(−∞,∞) הקטע עבור

דוגמאות:

.Lagaerre פולינומי נקראים המתקבלים הפולינומים ואז ν > −1 כאשר Wν (x) = xνe−x עם [0,∞) עבור .1

.Hermite של הפולינומים את מקבלים W (x) = e−x2

עם (−∞,∞) עבור .2

אם חסום נקרא הוא .ρ (f) ≥ ש־0 גוררר f ≥ 0 אם חיובי נקרא C (a, b) על ρ לינארי פונקציונל 6.21 הגדרה.supf 6=0

|ρ(f)|||f ||∞

<∞

חיובי לינארי פונקציונל מגדיר ρ (f) =´ baf (x)w (x) dx אזי רימן, אינטגרבילית W : [a, b]→ [0,∞) אם 6.22 הערה

.C (a, b) על ובפרט המרחב, על וחסום

על מגדירים הבא: באופן טבעי פנימית מכפלה מרחב להגדיר ניתן C (a, b) על וחסום חיובי לינארי פונקציונל בהינתן

נסמן .〈f, g〉 = ρ (f · g) ע״י מוגדרת פנימית המכפלה ואז ρ(

(f − g)2)

= 0 אם f ∼ g שקילות יחס C (a, b) אברי

המתקבל. הפנימית המכפלה מרחב את H ([a, b] , ρ)ב־

דוגמאות:

.Rל־ איזומורפי הוא המתקבל המרחב ,x0 ∈ [a, b] עבור ,δx0(f) = f (x0) הפונקציונל עבור .1

H ([a, b] , ρ) ואז ,ρ (f) =∑nj=1 f (xj) כלומר מזו, זו שונות x1, . . . , xn ∈ [a, b] עבור ρ =

∑nj=1 δxj אם .2

.Rnל־ איזומורפי

הקבוצה להיות ρ של השקופה הקבוצה את נגדיר ,C ([a, b]) על וחסום חיובי ρ לינארי פונקציונל בהינתן 6.23 הגדרהאבל ,x ∈ N לכל g (x) > 0 שעבורה g ∈ C (a, b) רציפה, פונקציה עבורה שקיימת [a, b]ב־ ביותר הגדולה N הפתוחה,

.[a, b] \N להיות ρ של התומך את נגדיר .ρ (g) = 0

H ([a, b] , ρ)ב־ לינארית ב״ת איברים מהוות 1, x, x2, . . . הפונקציות אז סופית, קבוצה איננו ρ של התומך אם 6.24 משפטתהליך ביצוע ע״י כלומר משקל, פונקציות עבור כמו אופן באותו היטב מוגדרים ,ρל־ ביחס האורתונורמליים והפולינומים

.1, x, x2, . . . על H ([a, b] , ρ)ב־ שמידט גרם

.ρ(Q2)

= ש־0 כך לאפס, שווים מקדמיו כל שלא ,Q (x) סופי פולינום יש אזי לינארית, תלויות 1, x, x2, . . . אם הוכחה:,Aב־ מוכל ρ של שהתומך נובע ומכך השקופה), בקבוצה (מוכל [a, b] \A ⊂ N אזי ,A = {x ∈ [a, b] : Q (x) = 0} תהי– סופית קבוצה התומך גם ולכן סופית A אז אפסים, של סופי מספר יש האפס מפולינום השונה פולינום שלכל וכיוון

סתירה!

42

Page 43: חשבון אינפיניטסמלי מתקדם 2

משקל פונקציית לינאריים6.1 אופרטורים 6

C (a, b) על אינסופי תומך ובעלי חיוביים חסומים לינאריים פונקציונלים בין ועל חח״ע התאמה קיימת 6.25 משפטמהצורה חסומות אינסופיות טרידיאגונליות מטריצות לבין כלשהם, a, b ∈ Rל־

b0 a0a0 b1 a1

a1 b2. . .

. . . . . .

.n לכל an > 0 עם

ביחס אורתונורמליים פולינומים של הריקורסיה מקדמי את מהווים המטריצות שאברי בכך היא ההתאמה 6.26 הערההפולינומים של בבא״נ בפרמטר הכפל אופרטור של המטריציאלית ההצגה את מהווה המטריצה לחליפין, לפונקציונל,

לפונקציונל. המתאים הפנימית המכפלה מרחב על האורתונורמליים

תרגיל:

f ≥ g ⇐⇒ (כאשר f ≥ g ⇒ ρ (f) ≥ ρ (g) כלומר סדר, שומר הוא C (a, b) על חיובי לינארי פונקציונל .1הפונקציות). על חלקי סדר הוא f − g ≥ 0

חסום. הוא H ([a, b] , ρ) על בפרמטר כפל של האופרטור .2

למשפט: הוכחה של סקיצה

משקל. פונקציות לגבי שראינו כפי בדיוק מתקבלת המטריצה מתאים, פונקציונל בהינתן .1

,ρ (Q) = 〈Q (A) δ1, δ1〉 נגדיר ,Q פולינום לכל הבא: באופן מוגדר הפונקציונל ,A מתאימה מטריצה בהינתן .2

ש־ להראות וניתן ,δ1 =

10...

כאשר

||Q|| כאשר sup||Q||6=0|ρ(Q)|||Q|| < ∞ כלומר ,C (− ||A|| , ||A||)ב־ כפונקציות פולינומים עבור חסום ρ (א)

.C (− ||A|| , ||A||) לכל להרחבה ניתן גם ρ לכן .C (− ||A|| , ||A||)ב־ הנורמה היאחיובי. ρ (ב)

הילברט. מרחב על חסום אופרטור A יהי 6.27 הגדרה

.A ·A−1 = A−1 ·A = Iש־ כך מרחב אותו על A−1 חסום אופרטור יש אם הפיך נקרא A .1

.Spec (A) = {λ ∈ C : A− λI isn’t invertible} הקבוצה הוא A של הספקטרום .2העצמיים. הערכים אוסף הוא הספקטרום סופי) מימד מעל (כלומר למטריצה הערה:

. Spec (A) ⊆ R אז לעצמו צמוד A אם עובדה:

במרחב. ϕ לכל 〈Aϕ,ϕ〉 ≥ 0 שקול באופן או Spec (A) ⊂ [0,∞) אם חיובי נקרא לעצמו צמוד A .3

דוגמאות:

.[a, b] הוא H (a, b) על בפרמטר כפל אופרטור של הספקטרום .1

.Spec

0 12

12 0

. . .. . . . . .

= [−1, 1] .2

43

Page 44: חשבון אינפיניטסמלי מתקדם 2

הסופי והציון המבחן על 7

Spec (A) ⊆ [− ||A|| , ||A||] לעצמו צמוד Aל־ ובפרט ,Spec (A) =⊂ {z ∈ C : |z| ≤ ||A||} חסום, A לכל עובדה:ריקה. ולא סגורה שהיא קבוצה הוא הספקטרום כן, וכמו

מרחב על לעצמו צמוד חסום אופרטור A יהי לעצמו) צמוד חסום לאופרטור הפונקציונלי החשבון (משפט 6.28 משפטמרחב לתוך C (Spec (A))מ־ f 7→ f (A) חיוביות, ומשמרת כפל שומרת לינארית, איזומטריה קיימת אזי ,H הילברטהאופרטור את C (Spec (A))ב־ Q (x) פולינום לכל מתאימה הזו ההעתקה .H על החסומים האופרטורים של הבנך

.Q (A)

מגדירה 〈f (A)ϕ,ϕ〉 התבנית a ∈ H לכל אזי ,H הילברט מרחב על לעצמו צמוד חסום אופרטור A אם 6.29 מסקנה.C (− ||A|| , ||A||) על בפרט ולכן C (Spec (A)) המרחב על וחסום חיובי לינארי פונקציונל

הסופי והציון המבחן על 7

הוא אם ו־10% הבחינה מציון גבוה הוא אם 20% ומהווה ביותר, הטובים התרגילים 9 על ניתן התרגילים ציון התרגילים:ממנו. נמוך

חלקים: משני מורכבת הבחינה הבחינה:

משפט את והוכח נסח למשל הבחינה. מציון 50% המהוות מההרצאות הוכחה שאלות 3 מתוך 2 של בחירה .1למשל שם״, ״חסרי משפטים גם אך שם, בעל אחר משפט כל או אסקולי, ארצלה או וויירשטרס, סטורםשנתנה הפירוט רמת כמו היא הדרושה הפירוט רמת בעקרון ברציפות. צפופות המדרגות שפונקציות הוכחהשאינו יתר פירוט כי בכיתה לנאמר מעבר לפרט לא עדיף אחרות, במילים שגיאות״, תיקון כדי ״עד בהרצאות

להוכחה. נדרש לא הוא אם גם נקודות, יוריד עדיין נכון

הבאים: מהסוגים בחירה, ללא ״קטנות״ שאלות 10 עד 8 .2

ברשטיין, פולינומי ,C (K)ב־ אלגברה אורתונורמלי, בסיס הגדרת למשל – והגדרות) (משפטים עובדות (א)פייר,...). אסקולי, (ארצלה משפטים ניסוח

קצר): הסבר כולל כן/לא שאלות (למשל קצרות הבנה שאלות (ב)

אלגברה? A האם .f(14

)= f ′

(34

)שמקימות [0, 1] על הרציפות הפונקציות קבוצת היא A דוגמא: •

?C (0, ב־(1 צפופה A האםf ′(34

)= ו־1 f

(14

)= 1 נבחר אם למשל כפל, תחת סגורה לא היא כי אלגברה לא היא פתרון:

חופש שקיים כיוון בנוסף, בשירטוט. אפילו או(f2)′ ( 3

4

)= 2 אבל

(f2(14

))= 1 אז f

(34

)= ו־1

קטנים בקטעים שתקיים כך רציפה פונקציה כל לתקן ניתן ואז שלה, והנגזרת הפונקציה בבחירתמספיק. וזה הנ״ל התנאים את 1

4 ,34 סביב

חסומה והיא 1 הוא x = ב־0 שלה שהשיפוע מקיימת arctan (x)ש־ לב נשים פורמלי, יותר באופןובאמצעות כרצונניו, קטן c את קבוע ניתן אשר c ·arctan

(x−x0

δ

)לבנות ניתן וממנה ,π2 ל־ −π2 בין

.x0 בנקודה השיפוע את לקבוע δ

פורייה. טור חישוב למשל, – בסיסיות חישוביות שאלות גם אולי (ג)

הקודמות). האחרונות (בשעתיים בבחינה נכלל לא האחרון השיעור 7.1 הערה

44

Page 45: חשבון אינפיניטסמלי מתקדם 2

17.02.2011 – 1 תרגול 8

II חלק

תרגולים

17.02.2011 – 1 תרגול 8

אינסופי ממימד וקטוריים מרחבים 8.1

דוגמאות:

.f : [0, 1]→ R הרציפות הפונקציות אוסף הוא C [0, 1] .1

.(f : N→ R הפונקציות (או הממשיות הסדרות אוסף הוא RN .2

.l∞ ={

(an) ∈ RN : ∃M > 0∀n ∈ N, |an| ≤M}

כלומר החסומות, הממשיות הסדרות אוסף הוא l∞ .3

.RN0 =

{(an) ∈ RN : ∃N∀n > N, an = 0

}.4

הבאים: הנושאים על למדנו לינארית באלגברה תזכורת:

(... מימד, בסיס, (אי־תלות, וקטורי מרחב •לינאריות. משוואות פתרון •

(... הספקטרלי, המשפט ג׳ורדן, (משפט מבנה משפטי •

אינסופי. ממימד למ״ו שלמדנו ההגדרות את להרחיב זה בתרגול נרצה

.A ⊂ V ותהא מ״ו V יהי 8.1 הגדרה

.(∀i, ai = 0 אז∑ni=1 aivi = 0 (אם ב״ת היא A של {vi}ni=1 סופית קבוצה תת כל אם ב״ת תקרא A .1

.Aמ־ וקטורים של (סופי) לינארי צירוף הוא v ∈ V כל אם פורשת תקרא A .2

ופורשת. ב״ת היא אם בסיס תקרא A .3

אזי: מ״ו, V יהי 8.2 משפט

בסיס. קיים V ל־ .1

עוצמה. מאותה הם V של הבסיסים כל .2

האמל). בסיס ניקרא והבסיס האמל, מימד נקרא זה (לפעמים dimV = |A| ונגדיר ,A בסיס עם מ״ו V יהי 8.3 הגדרה

מקסימלי. איבר P ב־ קיים אזי ,P ב־ מלעיל חסם יש S ⊂ P שרשרת שלכל ונניח קס״ח P תהי – צורן של הלמה תזכורת:

צורן: של הלמה באמצעות נוכיח הוכחה:

ב״ת. Aש־ כך A ⊂ V ה־ כל להיות X נגידר .1

45

Page 46: חשבון אינפיניטסמלי מתקדם 2

נורמות 8.217.02.2011 – 1 תרגול 8

צורן. של הלמה תנאי את מקיימת להכלה) (ביחס X טענה: .2מלעיל. חסם לה שקיים ונראה שרשרת {Ai}i∈I ⊂ X תהי הוכחה:

ב״ת. Aש־ כלומר ,A ∈ Xש־ להראות וצריך מלעיל, חסם הוא ולכן V ⊃ A ⊃ Aiש־ וברור A =⋃i∈I Ai נגדיר

,v1, . . . , vk ∈ Aiש־ כך i ∈ I שקיים נובע שרשרת {Ai}i∈Iש־ מכך ב״ת. שהם וצ״ל v1, . . . , vk ∈ Aש־ נניחב״ת. v1, . . . , vk אז Ai ∈ Xש־ ומכיוון

למרחב. בסיס היא ולכן המרחב, את פורשת שהיא להראות וצריך מקסימלית, A ∈ X קיימת צורן של מהלמה .3{vi}ki=1 קבוצה קיימת ולכן תלויה A

⋃{v}ש־ נובע A ממקסימליות אחרת סיימנו, אז v ∈ A אם .v ∈ V יהי

האלו הוקטורים (אחרת ai0 6= 0 ומקדמו vi0 = vש־ כך i0 וקיים∑ki=1 aivi = 0 טריוויאלי לא לינארי צירוף עם

ב״ת). והם Aל־ שייכיםלינארי. צירוף מצאנו ולכן v =

∑ki=1,i6=i0 a

−1i0aiviש־ נובע מכך

העתקה קיימת אזי ,W ב־ כלשהם וקטורים {wi}i∈Iו־ מ״ו W ש־ ונניח V ל־ בסיס {vi}i∈I ו־ מ״ו V יהי 8.4 משפט.T (vi) = wi המקיימת T : V →W יחידה לינארית

תרגיל. הוכחה:

נורמות 8.2

המקיימת: ||·|| : V → [0,∞) פונקציה היא נורמה מ״ו. V יהי 8.5 הגדרה

.v = 0 אם״ם ||v|| = ו־0 ||v|| ≥ ש־0 מתקיים v ∈ V לכל חיוביות: .1

||α ◦ v|| = |α| · ||v|| מתקיים v ∈ V ו־ a ∈ R לכל הומוגניות: .2

.||v + w|| ≤ ||v||+ ||w||ש־ מתקיים v, w ∈ V לכל המשולש: שוויון אי .3

.f (v, w) = ||v − w|| ע״י V על מטריקה מגדירה נורמה כל 8.6 טענה

המשולש: א״ש ונראה ברור וחיוביות סימטריות הוכחה:

d (v, w) = ||v − w|| = ||v − z + (z − w)||≤ ||v − z||+ ||z − w||= d (v, z) + d (z, w)

דוגמאות:

תחת פונקציות סדרת שהתכנסות לב נשים . ||f || = maxx∈[0,1] |f (x)| ע״י נורמה להגדיר ניתן C [0, 1] על .1במ״ש. התכנסות היא זו נורמה

.||(an)∞n=1||∞ = sup1≤n<∞ |an| להגדיר ניתן התרגול) בתחילת שהוגדר (כפי l∞ .2

46

Page 47: חשבון אינפיניטסמלי מתקדם 2

24.02.2011 – 2 תרגול 9

24.02.2011 – 2 תרגול 9

C (K) המרחב 9.1

תכונות:

וקטור. מרחב ובפרט נורמי מרחב .1

במ״ש. להתכנסות שקולה C (K)ב־ התכנסות .2

לא. להפך אבל נקודתית, התכנסות גורר במ״ש התכנסות .3

וסחומה סגורה A אם״ם קומפקטית A :(Arzela-Ascoli (משפט A ⊆ C (K) קומפקטיות קבוצות תתי איפיון .4אחידה. במידה רציפות Aב־ והפונקציות

הבא). (שבוע שלם מרחב C (K) .5

הבא). (שבוע ספרבילי C (K) .6

הזה). (בתרגול סופית K אם״ם dim (C (K)) <∞ .7

.|K| <∞ אם״ם dim (C (K)) <∞ אזי קומפקטי, מ״מ K יהי 9.1 משפט

המקיימת: f : K → R רציפה פונקציה קיימת אזי r > ו־0 x0 ∈ K ותהי מ״מ K יהי 9.2 למה

.f (x0) = 1 .1

∀x ∈ K\B (x0, r) , f (x) = 0 .2

לינארית אינטרפולציה ע״י (למשל φ (x ≥ r) = ו־0 φ (0) = 1 המקיימת רציפה פונקציה φ : [0,∞) → R תהי הוכחה:

.(φ (x) =

{0 x ≥ r1− x

r 0 ≤ x ≤ rרציפות. הרכבת בתור רציפה והיא f (x) = φ (d (x, x0)) ונגדיר f : K → R נגדיר

f (x) = φ (d (x, x0)) ש־= מתקיים x ∈ K\B (x0, r) ועבור f (x0) = φ (d (x0, x0)) = φ (0) = 1 מתקיים כמוכן.φ (r′ ≥ r) = 0

.dim (C (K)) ≤ dim(Rk)

= |K| ש־∞> ומכיוון C (K) ⊆ Rk ואז |K| ש־∞> נניח :⇒ (המשפט) הוכחה:.x1, . . . , xn ∈ K נקודות n נבחר ולכן dim (C (K)) ≥ nש־ להראות ודי n ∈ N ויהי |K| ≥ ℵ0ש־ נניח :⇐

.(r = 14 mini 6=j d (xi, xj) למשל ) זרים {B (xi, r)}ni=1 שהכדורים כך קטן מספר r > 0 נבחר

.fi (x) = 0 מתקיים x ∈ K\B (xi, r) ולכל fi (xi) = 1 המקיימת fi ∈ C (K) רציפה פונקציה נבחר i לכלמתקיים 1 ≤ i0 ≤ n ולכל α1f1 + . . .+ αnfn = ש־0 נניח ב״ת. f1, . . . , fnש־ להראות צריך עתה

0 =

n∑i=1

αifi (xi0) = αi0fi0 (xi0) = αi0

ב״ת. הן ולכן αi = 0 ולכן

האלכסון) וטכניקת Helly (משפט 9.2

.f (x) ≤ f (y)⇐ x < y אם מונוטונית תיקרא f : R→ R פונקציה 9.3 הגדרה

אזי: מונוטונית. פונקציה f : R→ R תהא 9.4 טענה

47

Page 48: חשבון אינפיניטסמלי מתקדם 2

03.03.2011 – 3 תרגול 10

השוויונות: ומתקיימים הגבולות קיימים x ∈ R לכל .1

f(x+)

:= limt→x+

f (t) = inft>x

f (t)

f(x−)

:= limt→x−

f (t) = supt<x

f (t)

אז x < y אם .2

f(x−)≤ f

(x+)≤ f

(y−)≤ f

(y+)

הקבוצות). ובתורת 1 באינפי בעבר זה את הראינו (כבר הוכחה:

רציפות. אי נקודות של מנייה בן מספר היותר לכל יש fל־ אז מונוטונית f : R→ R אם 9.5 מסקנה

כך fnk ת״ס קיימת אזי מונוטונית, פונקציית סדרת fn : R → [0, 1] תהנא (Helly של הבחירה (משפט 9.6 משפטמונוטונית. פונקציה f : R→ [0, 1] כאשר (נקודתית) fnk → fש־

במידה חסומה {fn}∞n=1ש־ כך רציפות פונקציות סדרת fn : K → Rו־ קומפקטית מ״מ K יהא (AA (משפט תזכורת:אחידה. במידה ורציפה שווה

.f ∈ C (K)ל־ במ״ש המתכנסת fnk ת״ס קיימת אזי

(סקיצה) ההוכחה: תזכורת

וצפופה. מניה בת K ′ ⊂ K קבצה תת קיימת אז קומפקטי, מטרי מרחב Kש־ מכיוון .1

מתכנסת. {fnk (x)}∞k=1ש־ מתקבל x ∈ K ′ שלכל כל fnk ת״ס מוצאים לכסון, תהליך ע״י .2

במ״ש. מתכנסת fnkש־ להראות כדי אחידה במידה ברציפות משתמשים .3

.∀n∀x, |fn (x)| ≤Mש־ כך M > 0 קיים אם במ״ש חסומה {fn} 9.7 הגדרה

היילי: למשפט הוכחה סקיצת

.q ∈ Q לכל מתכנסת fnk (q)ש־ כך fnk ת״ס מוצאים לכסון תהליך ע״י .1

.∀x ∈ R, g (x) = lim supk→∞ fnk (q)ש־ כך g : R→ R נגדיר .2

.g של רציפות נקודת לכל fnk (x)→ g (x)ו־ מונוטונית gש־ מראים .3

ומראים f : R → [0, 1] לפונקציה R כל על נקודתית המתכנסת fnkl ת״ס מוצאים נוסף, ליכסון טיעון ע״י .4מונוטונית. fש־

03.03.2011 – 3 תרגול 10

צפוף הפולינומים מרחב משפט 10.1

הפולינומים סדרת סתם ככה לפונקציה, המקרבת פולינומים סדרת לנו נותן הקירוב שמשפט למרות כללי, באופן מוטיבציה:פולינומים סדרת למצוא נרצא ולכן ״להתפרע״ יכולה היא הקירוב תחום בתוך אבל לפונקציה, מתקרבת אולי הזאת

שלה. הנגזרות על נוספת דרישה עם

48

Page 49: חשבון אינפיניטסמלי מתקדם 2

צפוף הפולינומים מרחב משפט 10.103.03.2011 – 3 תרגול 10

.||f ||C1 = ||f ||∞ + ||f ′||∞ הנורמה עם [0, 1] הקטע על ברציפות הגזירות הפונקציות קבוצת היא C1 [0, 1] תזכורת:

.C1 [0, ב־[1 צפוף הפולינומים מרחב 10.1 משפט

.||p− f ||C1 < εש־ כך p פולינום שקיים צ״ל .ε > 0 ויהא f ∈ C1 [0, 1] יהא הוכחה:.||p− f ||C1 < εש־ ונראה p (x) =

´ x0q (t) dt+f (0) ונגדיר ||q − f ′||∞ < ε

ש־2 כך q פולינום קיים וויירשטרס ממשפטו־ x ∈ [0, 1] יהי

|f (x)− p (x)| =

∣∣∣∣f (x)−ˆ x

0

q (t) dt− f (0)

∣∣∣∣=

∣∣∣∣f (0) +

ˆ x

0

f ′ (t) dt−ˆ x

0

q (t) dt− f (0)

∣∣∣∣=

∣∣∣∣ˆ x

0

f ′ (t)− g (t) dt

∣∣∣∣≤ˆ x

0

|f ′ (t)− g (t)| dt

≤ˆ x

0

ε

2dt =

εx

2≤ ε

2

.||f − p||C1 = ||f − p||∞ + ||f ′ − p′||∞ < ε ומכאן ||f − p||∞ ≤ε2 ומכאן

deg (pn) ≤ dש־ מתקיים n שלכל כך חסומה מדרגה pn פולינומים סדרת למצוא נרצה רציפה. f : [0, 1] → R נתונהבמ״ש. pn → fש־ כך

היא f אזי במ״ש, pn → fש־ כך deg (pn) ≤ dש־ כך pn פולינומים סדרת שקיימת כך f ∈ C [0, 1] תהא 10.2 טענה.d ≥ מדרגה פולינום

מרחב תת שכל להראות די ולכן סופי, ממימד וקטורי מרחב הוא d ≥ מדרגה הפולינומים שמרחב לב נשים הוכחה:בנפרד. נוכיח זו טענה סגור, הוא סופי ממימד

.Xב־ סגור V אזי סופי, ממימד מרחב תת V ⊂ Xו־ נורמי מרחב X יהי 10.3 טענה

של הקירוב משפט לפי כי סגור, לא הוא אז אינסופי) ממימד (שהוא הפולינומים מרחב על נסתכל אם נגדית: דוגמארציפה. פונקציה לכל להתקרב ניתן ווירשטרס

ע״י Rn על נורמה ונגדיר T : Rn → V ועל חח״ע ט״ל וקיימת dimV = n ש־ נניח הוכחה:

∀x ∈ Rn, ||x||Rn = ||Tx||X

.y ∈ V ש־ להראות וצריך vn → y ∈ Xש־ כך סדרה vn ∈ V תהאש־ מתקיים m,n לכל כי קושי סדרת היא xn .xn = T−1vn ∈ Rn בסדרה נביט

||xn − xm||Rn =∣∣∣∣T−1vn − T−1vm∣∣∣∣Rn

= ||vn − vm||X

הנורמות וכל האוקלידית הנורמה תחת שלם Rnש־ ומכיוון קושי, סדרת xn גם אז קושי ולכן מתכנסת vnש־ ומכיווןy = T−1xש־ ונראה x = limn→∞ xn גבול שיש נובע מכך שהגדרנו. החדשה הנורמה תחת גם שלם הוא אז שקולות

49

Page 50: חשבון אינפיניטסמלי מתקדם 2

סטון־ויירשטרס ממשפט מסקנות – 10.03.2011 – 4 תרגול 11

בהמשך) ויתוקן נכון לא הבא (החלק

||x− xn||Rn =∣∣∣∣xn − TT−1xn∣∣∣∣X

= ||Tv − Tvn||X= ||v − vn||Rn

(במ״ש). pn → fש־ כך pn פולינומים סדרת קיימת אזי רציפה פונקציה f : [0, 1]→ R תהא 10.4 משפט

הקורס. באתר נמצאת המלאה ההוכחה למשפט. הסתברותית הוכחה של סקיצה היא הבאה ההוכחה הערה:

נגדיר ∀n∀0 ≤ k ≤ n∀x ∈ [0, 1] (סקיצה) הוכחה:

bn,k (x) =

(n

k

)xk (1− x)

n−k

pn (x) =

n∑k=0

f

(k

n

)bn,k (x)

פלי. יצא המטבע פעמים k פלי שיצא x הסתברות עם מטבע שבהטלת הסיכוי הוא bn,k (x) הביטויבמספר ונכפיל פלי שיצא הפעמים מספר את kב־ ונסמן nו־ ( 13 הוא ״פלי״ לקבל (שהסיכום מטבע נזרוק x = 1

3 ניקח.f(kn

).f(kn

)≈ f

(13

)אז רציפה f שאם ומכאן k

n ≈13 המקרים ברוב אז גדול מאוד n אםהקורס. באתר נמצא מקיף יותר הסבר

סטון־ויירשטרס ממשפט מסקנות – 10.03.2011 – 4 תרגול 11

המקיימת: · : A×A→ A כפל פעולת עם יחד (R מעל זה (בקורס A ווקטורי מרחב היא אלגברה 11.1 הגדרה

.(a · b) · c = a · (b · c)ש־ מתקיים a, b, c ∈ A לכל .1

.c · (a+ b) = ca+ cb וגם (a+ b) · c = ac+ b · cש־ מתקיים a, b, c ∈ A לכל .2

.α (a · b) = (αa) · b = a · (αb)ש־ מתקיים a, b ∈ A ולכל α ∈ R לכל .3

בנוסף המקיימת A על נורמה המהווה ||·|| : A → R פונקציה עם יחד A אלגברה היא נורמית אלגברה 11.2 הגדרה.∀a, b ∈ A, ||a · b|| ≤ ||a|| · ||b||

דוגמאות:

נורמית. אלגברה היא C (K) ,K קומפקטי מ״מ לכל .1

הסופרמום. נורמת עם החסומות הממשיות הסדרות אוסף – l∞ .2

האופרטורית. לנורמה וביחס מטריצות וכפל לחיבור ביחס R מעל n× n בגודל המטריצות – Mn (R) .3

ספרבילי. C (K) מטרה:

50

Page 51: חשבון אינפיניטסמלי מתקדם 2

סטון־ויירשטרס ממשפט מסקנות – 10.03.2011 – 4 תרגול 11

האלגברה תת היא R [S] שתסומן S ע״י הנוצרת האלגברה כלשהי. קבוצה S ⊂ A ותהא אלגברה A תהא 11.3 הגדרה.S את המכילה המינימלית

ההגדרה, בתנאי 11.4 טענה

R [S] =

n∑k=1

ak

mk∏j=1

skj : n,m1, . . . ,mk ∈ N, ak ∈ R, skj ∈ S

כיוונית). דו הכלה (באמצעות תרגיל הוכחה:

ספרבילית. R [S] אזי מנייה, בת תת־קבוצה S ⊂ A ותהא נורמית אלגברה A תהא 11.5 טענה

נגדיר הוכחה:

B =

n∑k=1

ak

mk∏j=1

skj : n,m1, . . . ,mk ∈ N, ak ∈ Q, skj ∈ S

.R [S]ב־ צפופה Bש־ ונראה מנייה בת B ולכן ,Qל־ Rמ־ המקדמים את החלפנו כלומר

ש־ מתקיים y =∑nk=1 qk

∏mkj=1 skj לכל .ε > 0 ויהי R [S] 3 x =

∑ni=1 ak

∏mij=1 skj יהי

||x− y|| =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣n∑k=1

(ak − qk)

mk∏j=1

skj

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

≤n∑k=1

|ak − qk|

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣mk∏j=1

skj

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

.||x− y|| < ε אז |ak − qk| < ε∑nk=1||

∏mkj=1 skj ||

ש־ כך qk לבחור ניתן ε > 0 ולכל ak שלכל כיוון

ספרבילי. C (K) ,K קומפקטי מ״מ לכל 11.6 משפט

ההוכחה: אסטרטגיית

נקודות. המפרידה מנייה בת S ⊂ C (K) נמצא .1

בסטון־ ונשתמש האחרונה מהטענה ספרבילית שהיא יודעים ואנו ,S ע״י הנוצרת האלגברה על נסתכל .2ויירשטרס.

בשלבים: נוכיח הוכחה:

נקודות. המפרידה מנייה בת S ⊂ C (K) קבוצה תת קיימת טענה: .1.Kב־ הצפופה {xn}∞n=1 סדרה קיימת ולכן ספרבילי, ולכן קומפקטי Kש־ ידוע הוכחה:

ע״י fn ∈ C (K) הפונקציה את n ∈ N לכל נגדיר

∀x ∈ K, fn (x) = d (x, xn)

51

Page 52: חשבון אינפיניטסמלי מתקדם 2

17.03.2011 – 4 תרגול 12

נקודות. מפרידה Sש־ להראות ונותר מנייה בת Sש־ וברור S = {fn}∞n=1 וניקחואז צפופה) {xn} כי זאת לעשות (ניתן d (x, xn) < 1

2d (x, y)ש־ כך xn נבחר אז x, y ∈ K בהינתן

fn (y) = d (xn, y) ≥ d (x, y)− d (xn, x) > 2d (x, xn)− d (x, xn) = d (x, xn) = fn (x)

.R [S′] על ונביט S′ = S⋃{1} ונסמן בטענה, כמו S נקח .2

גם צפופה Xש־ ונראה R [S′]ב־ הצפופה מנייה בת X ⊂ R [S] קיימת ולכן ספרבילית R [S′] הקודמת מהטענה.C (K)ב־

||g − f || ש־> כך g ∈ R [S] קיים ולכן C (K)ב־ צפופה R [S] אז מסטון־ויירשטרס ε > ו־0 f ∈ C (K) בהינתןולכן ||g − h|| < ε

ש־2 כך h ∈ X קיים אז ,R [S′]ב־ צפופה Xש־ ומיוון ε2

||f − h|| ≤ ||f − g||+ ||g − h|| < ε

?C [0, ב־[1 צפופה A האם .A ={∑n

k=0 a2kx2k : a2k ∈ R

}נסמן שאלה:

סטון־ויירשטרס. תנאי את מקיימת זו שקבוצה להראות אפשר תשובה:

?C (−1, ב־(1 צפופה A האם שאלה:

המשפט. תנאי את מקיימת לא ולכן (− 12 ,

12 עבור (למשל נקודות מפרידה לא היא תשובה:

?C (0, ב־(1 צפופה C האם .C ={a0 +

∑nk=0 a2k+1x

2k+1 : a2k+1, a0 ∈ R}

נגדיר שאלה:

הנגזרות). על להסתכל (רמז: בתרגיל תוכח הטענה כן. תשובה:

17.03.2011 – 4 תרגול 12

.〈f, g〉 =´ 10f (x) g (x) dx המ״פ עם C [0, 1] ממ״פ דוגמא:

הטלות 12.1

.d (x,A) = infa∈A d (x, a) נגדיר .x ∈ X ,A ⊂ X מ״מ, X יהי 12.1 הגדרה

המקיימת pV (x) ∈ V יחידה נקודה קיימת x ∈ U לכל אזי מרחב, תת V ⊂ U מימדי, סוף ממ״ם U יהי 12.2 משפט.d (x, pV (x)) = d (x, V )

52

Page 53: חשבון אינפיניטסמלי מתקדם 2

הטלות 12.1 17.03.2011 – 4 תרגול 12

V

pV (x)

x

V ' Rו־ U = R2 של למקרה הדגמה :12.1 איור

(סקיצה) הוכחה:

מתכנסת ת״ס להוציא אפשר קומפקטיות משיקולי .d (x, vn) → d (x, V ש־( כך vn ∈ V סדרה ניקח קיום: .1מתקיים כן וכמו v ∈ V ש־ ומתקיים vnk → v

d (x, v) = lim d (x, vnk) = d (x, V )

קומפקטי. הוא היחידה שכדור בכך להשתמש ניתן לא אינסופי ממימד מרחב שעבור לב לשים יש

אח״כ. יחידות. .2

שלם. ממ״פ הוא הילברט מרחב 12.3 הגדרה

נקודה קיימת x ∈ H לכל אזי סגור, ת״מ V ⊂ H הילברט), (מרחב מ״ה H יהי מרחבים) תתי על (הטלה 12.4 משפט.d (x, pV (x)) = d (x, V ) המקיימת pV (x) ∈ V

.∀x, y ∈ V,∣∣∣∣x2 + y2

∣∣∣∣+ ||x− y||2 = 2[||x||2 + ||y||2

]אזי ממ״פ, V יהי המקבילית) (שוויון 12.5 טענה

תרגיל. הוכחה:

מכ״פ. ע״י מושרת הנורמה אז המקבילית, שוויון את מקיימת נורמה אם תרגיל:

(המשפט) הוכחה:

קושי. סדרת vnש־ ונראה d (x, vn)→ d (x, V ש־( כך vn ∈ V סדרה ניקח ,d = d (x, V ) נסמן .1

53

Page 54: חשבון אינפיניטסמלי מתקדם 2

הטלות 12.117.03.2011 – 4 תרגול 12

ש־ מתקיים n,m לכל

||vn − vm||2 = ||(vn − x)− (vm − x)||2

Parallelogram⇒ = 2[||vn − x||2 + ||vm − x||2

]− ||vn + vm − 2x||2

= 2[||vn − x||2 + ||vm − x||2

]− 4

≥d2︷ ︸︸ ︷∣∣∣∣∣∣∣∣vn + vm2

− x∣∣∣∣∣∣∣∣2

≤ 2[||vn − x||2 + ||vm − x||2

]− 4d2

→n,m→∞

2[d2 + d2

]− 4d2 = 0

כמוכן ,v ∈ V ש־ נובע סגור V ש־ מכיוון .v = limn→∞ vn גבול שקיים נובע הילברט מרחב Hש־ מפני

d (x, v) = limnd (x, vn) = d (x, V )

. v+w2 על ונסתכל ,d (x, v) = d (x,w) = d (x, V ) מקיימות v, w ∈ V ש־ נניח יחידות: .2

d2 ≤∣∣∣∣∣∣∣∣x− v + w

2

∣∣∣∣∣∣∣∣2 =1

4||(x− v) + (x− w)||2

=1

4

[2(||x− v||2 + ||x− w||2

)− ||v − w||2

]=

1

4

[2(d2 + d2

)− ||v − w||2

]= d2 − ||v − w||

2

4

⇒ 0 ≤ 1

4||v − w||2 ≤ 0⇒ v = w

.V על הניצבת ההטלה נקראת pV : H → V לפונקציה 12.6 הגדרה

המקיימת y ∈ V היחידה הנקודה היא ,x ∈ H לכל אזי סגור, מרחב) (תת ת״מ V ⊂ Hו־ מ״ה H יהי 12.7 טענה.x− y ∈ V ⊥

||x− z|| ≥ ||x− z||ש־ להראות ודי z ∈ V יהי .y = pV (x)ש־ ונראה x− y ∈ V ⊥ מקיימת y ∈ V נניח :⇒ הוכחה:אבל

||x− z||2 = ||(x− y) + (y − z)||2

= ||x− y||2 + ||y − z||2 + 2 〈x− y, y − z〉= ||x− y||2 + ||y − z||2 ≥ ||x− z||2

הבא! בתרגול יושלם .x− pV (x) ∈ V ש־⊥ נראה :⇐

54

Page 55: חשבון אינפיניטסמלי מתקדם 2

24.03.2011 – 5 תרגול 13

לינארית. טרנספורמציה היא pV 12.8 מסקנה

ש־ מתקיים x, y ∈ Hו־ α, β ∈ R שלכל להראות די מהטענה הוכחה:

(αx+ βy) + (αpV (x) + βpV (y)) ∈ V ⊥

מ״ו. V ⊥ אבל

24.03.2011 – 5 תרגול 13

הטלות על המשך 13.1

המקיימת pM (x) ∈ M יחידה נקודה קיימת x ∈ H שלכל ראינו סגור. ת״מ M ⊂ Hו־ מ״ה H יהא תזכורת:.d (x,M) = d (x, pM (x))ש־

.x− y ∈M⊥ אם״ם y = pM (x) אזי y ∈Mו־ x ∈ H ותהא כנ״ל H,M יהא 13.1 טענה

הקודם. בתרגול ראינו :⇒ הוכחה:ע״י p : R→ R ונגדיר 〈x− pM (x) , y〉 = ש־0 וצ״ל y ∈M יהי .x− pM (x) ∈M⊥ש־ נראה :⇐

p (t) = ||x− (pM (x) + ty)||2

ש־ מתקיים t ∈ R לכל ב־0: מינימום מקבלת p כאשר

p (t) = d2 (x, pMx+ ty) ≥ d2 (x,M) = d2 (x, pM (x)) = p (0)

אבל p′ (0) = ש־0 נקבל גזירה pו־ במידה מכאן,

p (t) = ||(x− pM (x))− ty||2

= ||x− pM (x)||2 − 2t 〈x− pM (x) , y〉+ t2 ||y||2

p′ (t) = −2 〈x− pM (x) , y〉+ 2t ||y||2

p′ (0) = −2 〈x− pM (x) , y〉

טורים 13.2

.∑a∈A λa = sup

{∑a∈A′ λa : A′ ⊂ A, |A| < ℵ0

}הגדרנו שלילים. אי מספרים של קבוצה {λa}a∈A תהא תזכורת:

מגדירים אז∑a∈A |λa| ש־∞> שמתקיים כך כלשהם מספרים של קבוצה {λa}a∈A ∑בהינתן

a∈Aλa =

∑{a∈A:λa≥0}

λa −∑

{a∈A:λ<0}

(−λa)

סופי. בינהם ההפרש גם אז סופי, ערך בעל חיוביים איברים של טור הוא בנפרד טור שכל שכיוון לב נשים כאשר

אזי∑a∈A |λa| ש־∞> כך מספרים של קבוצה {ya}a∈A תהא 13.2 טענה

.(∗) ∀a ∈ A\A′, λa = ש־0 כך מנייה בת A′ ⊂ A קיימת .1

.∑a∈A λa =

∑∞n=1 λanש־ מתקיים A′ = {a1, a2, . . .} סידור לכל אזי , (∗) את המקיימת A′ ⊂ A בהינתן .2

55

Page 56: חשבון אינפיניטסמלי מתקדם 2

l2 (A) המרחב 13.3 24.03.2011 – 5 תרגול 13

l2 (A) המרחב 13.3

〈f, g〉 = ע״י מכ״פ l2 (A) על נגדיר .l2 (A) ={f : A→ R :

∑a∈A f (a)

2<∞

}ונגדיר קבוצה A תהא 13.3 הגדרה

.∑a∈A f (a) g (a)

קבוצה. A תהא 13.4 טענה

.(∀f, g ∈ l2 (A) ,∑a∈A |f (a) g (a)| <∞ (כלומר היטב מוגדרת l2 (A) על המכ״פ .1

ממ״פ. l2 (A) .2

מ״ה. l2 (A) .3

.|A| מעוצמה אורתונורמלית מערכת יש l2 (A)ב־ .4

הטענות: את נוכיח הוכחה:

ש־ ומתקיים סופית A′ ⊂ A תהא .1∑a∈A′

|f (a) g (a)| ≤∑a∈A′

max{f (a)

2, g (a)

2}

=∑

{a∈A′:f(a)2>g(a)2}f (a)

2+

∑{a∈A′:g(a)>f(a)2}

g (a)2

≤∑a∈A

f (a)2

+∑a∈A

g (a)2<∞

⇒∑a∈A|f (a) g (a)| < ∞

ממ״פ. l2 (A)ש־ נראה .2

מ״ו. l2 (A)ש־ ראשית נראה (א)

ש־ מתקיים סופית A′ ⊂ A לכל .f + g ∈ l2 (A)ש־ צ״ל f, g ∈ l2 (A) בהינתן לחיבור. סגירות נראה .i∑a∈A

(f (a) + g (a))2

=∑a∈A′

(f (a) + g (a))2

=∑a∈A′

f (a)2

+ g (a)2

+ 2f (a) g (a)

≤∑a∈A

f (a)2

+∑a∈A

g (a)2

+ 2 〈f, g〉 <∞

בסקלר. לכפל סגירות להראות אפשר אופן באותו .ii.Rמ־ נובעות האקסיומות שאר .iii

.α, β ∈ Rו־ f, g, h ∈ l2 (A) יהי מכ״פ. אכן 〈·, ש־〈· נראה (ב)

56

Page 57: חשבון אינפיניטסמלי מתקדם 2

07.04.11 – 7 תרגול 14

.〈f, αg + βh〉 ?= α 〈f, g〉+ β 〈f, h〉ש־ צ״ל לינאריות: .i

שניסחנו ומהטענה ∀a ∈ A\A′, f (a) = g (a) = h (a) = ש־0 כך A′ ⊂ A מנייה ת קבוצה ניקחמתקיים:

A′ = {a1, a2, . . .}

〈f, αg + βh〉 =

∞∑n=1

f (a) [αg (an) + βh (an)]

= α

∞∑n=1

f (an) g (an) + β

∞∑n=1

f (an)h (an)

= α 〈f, g〉+ β 〈f, h〉

וחיוביות. סימטריות להראות קל .iiAn ⊂ A יש n לכל גבול. לה שיש ונראה קושי סדרת fn ∈ l2 (A) תהא הילברט. מרחב הוא l2 (A)ש־ נראה (ג)מנייה בת והיא A′ =

⋃An וניקח fn (a) = ש־0 מתקיים a ∈ A\An שלכל ומקיימת מנייה ב״ת Anש־ כך

מתקיים n ∈ N ולכל a ∈ A\A′ שלכל מתקיים בנוסך מנייה. בנות קבוצות של מנייה בן איחוד בתור.A′ = {a1, a2, . . .} סידור ונבחר ,fn (a) = ש־0

העתקה נגדיר .{fn} ⊂ Mש־ ברור כאשר ,M ={f ∈ l2 (A) : ∀a ∈ A\A′, f (a) = 0

}מרחב נגדיר

l2 (N)ש־ הראינו ובתרגיל איזומטריה, היא Λש־ לראות וקל Λ (f) = (f (ak))∞k=1 ע״י Λ : M → l2 (N)

.l2 (A)ב־ גבול גם שהוא Mב־ גבול יש fnל־ ולכן שלם, מרחב הוא

07.04.11 – 7 תרגול 14

∀x ∈ X, |Λ (x)| ש־≥ כך C > 0 קיים אם חסום יקרא Λ : X → R לינארי פונקציונל נורמי. מרחב X יהי 14.1 הגדרה.C · ||x||

.X∗ = {Λ : X → R : Λ is bounded} הוא X של הדואלי המרחב 14.2 הגדרה

חסום. Λ אם״ם רציף Λ אזי לינארי) (פונקציונל פ״ל Λ : X → Rו־ נורמי מרחב X יהי 14.3 טענה

.|Λ (xn)| > n ||xn||ש־ כך xn ∈ X יש n ∈ N לכל מכאן חסום. אינו Λש־ בשלילה ונניח רציף, Λש־ נניח :⇐ הוכחה:אבל yn → 0 אז yn = xn

||xn||·n נגדיר

|Λ (yn)| =

∣∣∣∣Λ( xnn ||xn||

)∣∣∣∣ =1

n ||xn||· |Λ (xn)|

>1

n ||xn||· n ||xn|| = 1

.(Λ (yn)→ Λ (0) = 0 (כי לרציפות סתירה וקיבלנו

.x ∈ X לכל |Λ (x)| ≤ C ||x||ש־ כך C > 0 קיים מכאן חסום. Λש־ נניח :⇒ואכן ,Λ (xn)→ Λ (x)ש־ וצ״ל xn → x תהא

|Λ (xn)− Λ (x)| = |Λ (xn − x)| ≤ C ||xn − x|| → 0

57

Page 58: חשבון אינפיניטסמלי מתקדם 2

07.04.11 – 7 תרגול 14

דוגמאות:

רציף. הוא Λ : X → R פ״ל כל אזי מימדי, סוף נורמי מרחב X יהי טענה: .1ע״י X על נורמה נגדיר ונירמולו). בסיס מציאת (ע״י יחידה וקטורי של x1, . . . , xn בסיס נקח הוכחה:

||x||′ ≡

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣n∑i=1

αixi

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣′

:=

n∑i=1

|αi|

.∀x ∈ X, ||x||′ ≤ C ||x||ש־ כך C > 0 קיים מימדיים, סוף נורמיים מרחבים על הנורמות משקילותכעת

∣∣∣∣∣Λ(

n∑i=1

αixi

)∣∣∣∣∣ ≤n∑i=1

|αi| |Λ (xi)| ≤

D:=︷ ︸︸ ︷(max1≤i≤n

|Λ (xi)|) n∑i=1

|αi|

= D ·

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣n∑i=1

αixi

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣′

≤ DC

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣n∑i=1

αixi

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

חסום. Λש־ ונראה Λ (f) =´ 10f (x) dx ע״י Λ : H (0, 1)→ R נגדיר .2

|Λ (f)| =∣∣∣∣ˆ 1

0

f (t) · 1dt∣∣∣∣ C.S.≤ ||f (t)|| ·

√ˆ 1

0

1dt = ||f (t)||

שוורץ. קושי בעזרת C.S. כאשר

חסום. Λש־ נראה .Λ (x) = 〈x, y〉 ונגדיר y ∈ V ויהי ממ״פ V יהי .3

|Λ (x)| = |〈x, y〉|C.S≤ ||x|| · ||y||

ע״י (´ baf (t) g (t) dt הנורמה עם הרציפות הפונקציות מרחב הוא C2 (תזכורת: Λ : C2 [0, 1] → R נגדיר .4

.Λ (f) = f (1)בסדרה נביט רציף. אינו Λש־ נראה

fn =

{0 0 ≤ x ≤ 1− 1

n2

x− 1n2 1− 1

n2 < x ≤ 1

fn → ש־0 ונראה

||fn||2 =

ˆ 1

0

|fn (t)|2 dt

=

ˆ 1

1− 1n2

|fn (t)|2 dt

=

ˆ 1

1− 1n2

dt =1

n2

.Λ (fn) 6→ 0 ובפרט Λ (fn) = 1 שני מצד אבל

58

Page 59: חשבון אינפיניטסמלי מתקדם 2

05.05.2011 – 9 תרגול 15

.∀x ∈ H,Λ (x) = 〈x, y〉ש־ כך y ∈ H קיים אזי Λ ∈ H∗ש־ מ״ה H יהי רייס) של (ההצגה 14.4 משפט

.Λ 6= ש־0 להניח נוכל ולכן y = 0 ניקח Λ = 0 אם הוכחה:.dim

(N⊥

)= ש־1 ונראה רציף), Λ (כי סגור Nו־ N = ker (Λ) נגדיר

ולכן (N על ההטלה היא pN (x) (כאשר 0 6= x − pN (x) ∈ N⊥ש־ וראינו x ∈ H\N קיים Λ 6= ש־0 מכיווןΛ (v1) = aΛ (v2) ש־ כך a ∈ R יש ולכן Λ (v1) ,Λ (v2) 6= 0 אז 0 6= v1, v2 ∈ N⊥ אם שני מצד .dim

(N⊥

)≥ 1

ולכן v1 = av2 ולכן v1 − av2 = 0 ולכן מהסגירות v1 − av2 ∈ N⊥ אבל ,v1 − av2 ∈ N ולכן Λ (v1 − av2) = 0 ולכן.dim

(N⊥

)= 1

ש־ ונראה y = Λ (y) y ונגדיר N⊥ את הפורש יחידה וקור y0 ∈ N⊥ ניקח

∀x ∈ H,Λ (x) = 〈x, y〉

.x− Pn (x) = µy0ש־ כך µ ∈ R יש אז x− pn (x) ∈ N⊥ש־ כיוון

〈x, y〉 = 〈x− pN (x) , y〉+

pN (x)⊥y⇒=0︷ ︸︸ ︷〈pN (x) , y〉

= 〈µy0,Λ (y0) y0〉+

pN (x)∈N⇒=0︷ ︸︸ ︷Λ (pN (x))

= µΛ (y0) + Λ (pN (x))

= Λ (µy0 + pN (x))

= Λ (x− pN (x) + pN (x)) = Λ (x)

05.05.2011 – 9 תרגול 15

החום משוואת של ההתחלה בעיית 15.1

קיים כי התגלה מניסויים .t ∈ ו־(∞,0] x ∈ [0, π] כאשר t בזמן x במקום תיל של הטמפרטורה את u (x, t)ב־ נסמןש־ שמתקיים כך k > 0 פרופורציה קבוע

∀ (x, y) ∈ [0, π]× (0,∞) ,∂u

∂t(x, t) = k · ∂

2u

∂x2(x, t)

.t לכל u (0, t) = u (π, t) = ש־0 כלומר ,0 תמיד היא התיל בקצוות שהטמפרטורה ההנחה תחת הזו הבעיה את נפתור

למצוא למצוא נרצה אז ,f (0) = f (π) = 0 המקיימת ברציפות פעמים הגזירה f : [0, π] → R נתונה תהא הבעיה:מקיימת: ובנוסף ,t לפי ברציפות וגזירה x לפי ברציפות פעמיים וגזירה רציפה u : [0, π]× [0,∞)→ R פונקציה

.∀x ∈ [0, π] , u (x, 0) = f (x) .1

.∀t ∈ (0,∞) , u (0, t) = u (π, t) = 0 .2

.∀ (x, y) ∈ [0, π]× (0,∞) , ∂u∂t = k ∂2u∂x2 .3

הפתרון:

59

Page 60: חשבון אינפיניטסמלי מתקדם 2

החום משוואת של ההתחלה בעיית 15.105.05.2011 – 9 תרגול 15

ע״י u : [−π, π]× [0,∞)→ R לפונקציה u את נרחיב ראשית הבעיה. את פותרת uש־ נניח .1

∀x ∈ [−π, 0)∀t ∈ [0,∞), u (x, t) = −u (−x, t)

(המקדמים u (x, t) =∑∞n=1Bn (t) sin (nx) נכתוב פורייה, לטור x 7→ u (x, t) את נפתח [0,∞) t לכל .2

זוגית). אי פונקציה זו כי לאפס שווים An מהצורה

ש־ מתקיים .3

Bn (t) =1

π

ˆ π

−πu (x, t) sin (nx) dx

∗=

2

π

ˆ π

0

u (x, t) sin (nx) dx

זוגית. פונקצה היא u (x, t) sin (nx) כי (∗) כאשר

ונקבל האינטגרל סימן תחת גזירה נבצע .4

∂Bn∂t

(t) =2

π

ˆ π

0

∂u

∂t(x, t) sin (nx) dx

לקבל החום במשוואת בשימוש נוכל עתה

1

k

∂Bn∂t

(t) =2

π

ˆ π

0

∂2u

∂x2sin (nx) dx

u (x, t) של הטור הגדרת לפי אבל ,x 7→ ∂2u∂x2 (t, x) הפונקציה של הפורייה מקדם למעשה כתוב ימין בצד

ש־ נקבל ולכן המקורי, הטור של איבר איבר גזירה ע״י(−Bn (t)n2

)ל־ שווה הזה שהמקדם נקבל

1

k

∂Bn∂t

(t) = −Bn (t)n2

Bn (0) = bn (f) אבל ראשון), מסדר דיפרנציאלית משוואה של (הפתרון Bn (t) = Bn (0) e−kn2t ולכן

ולכן

Bn (t) = bn (f) e−kn2t

נוסחה ונסמן u (x, t) =∑∞n=1 bn (f) e−kn

2t sin (nx)ש־ נקבל בהתחלה שרשמנו uל־ פורייה טור לפי עתה .5ב־(∗∗). זו

להצדיק רק (חשוב איבר איבר גזירה ע״י החום משוואת את מקיימת אכן הנ״ל שהפונקציה להראות רק נותר .6מהתרגיל. כחלק יובא הפתרון – זאת) לעשות ניתן מדוע

כל עבור u (x, t)ל־ (∗∗) המשוואה ע״י נתון הפתרון יחיד. פתרון קיים החום משוואת של ההתחלה לבעיית 15.1 משפט.f

.supx∈[0,π] |u (x, t)| →t→∞

0 אזי החום, משוואת של ההתחלה לבעיית פתרון u יהי 15.2 טענה

.M = max1≤n<∞ |bn (f)| ונסמן (∗∗) הנוסחה ע״י נתונה uש־ ראינו הוכחה:ש־ מתקיים t ∈ (0,∞) ולכל x ∈ [0, π] לכל

|u (x, t)| =

∣∣∣∣∣∞∑n=1

bn (f) e−tn2k sin (nx)

∣∣∣∣∣ ≤M∞∑n=1

e−tn2k ≤M

∞∑n=1

e−tkn = M · e−tk →t→∞

0

60

Page 61: חשבון אינפיניטסמלי מתקדם 2

19.05.2011 – 11 תרגול 17

סוכם לא – 10 תרגול 16

19.05.2011 – 11 תרגול 17

האורתונורמליים הפולינומים של האפסים 17.1

כאשר p (x) = q (x) (x− x0)k אם k מסדר p של ״אפס״) (או ״שורש״ יקרא x0 ∈ R פולינום. p 6≡ 0 יהי 17.1 הגדרה

.q (x0) 6= 0 המקיים פולינום q (x)

p (x) = q (x) (x− x1)k1 · · · (x− xn)

kn אזי בהתאמה, k1, . . . , kn מדרגות x1, . . . , xn שורשים עם פולינום p יהי 17.2 משפט.x1, . . . , xnב־ מתאפס שאינו פולינום q כאשר

deg (r) < deg (s)ו־ p = qs+ rש־ כך יחידים q, r פולינומים קיימים אזי .s 6≡ ש־0 כך פולינומים s, p יהיו 17.3 משפט.((−1) היא האפס פולינום של הדרגה (כאשר

המתאימה, האורתונורמליים הפולינומים סדרת {pn}∞n=0 ויהיו משקל פונקציית W : [a, b] → (0,∞) תהא 17.4 משפט.[a, b] בקטע אפסים n יש pnל־ אזי

,m ≤ n ש־ נובע deg (pn) = nש־ מפני זוגי. אי שלהם שהסדר [a, b] בקטע pn של האפסים כל x1, . . . , xm יהיו הוכחה:.m ≥ nש־ להראות מספיק ולכן

בקטע זוגי אי מסדר שורשים אין qשל־ לב ונשים q (x) = pn (x) (x− x1) · · · (x− xm) ונגדיר ,m < nש־ בשלילה נניחולכן ,[a, b]

q (x) = s (x) (x− y1)2k1 · · · (x− yl)2kl´ b

aq (x)w (x) dx 6= ולכן [a, b] בקטע סימן מחליף אינו q .y1, . . . , yl ∈ [a, b]ו־ [a, b]ב־ מתאפס שאינו פולינום הוא s כאשר

כי´ baq (x)w (x) dx = 0 אבל 0

ˆ b

a

q (x)w (x) dx = 〈pn, (x− x1) · · · (x− xm)〉 = 0

לו. הקטנה מדרגה הפולינומים לכל ניצב שיהיה כך נבחר pnו־ ,pnמ־ קטנה (x− x1) · · · (x− xm) של הדרגה כי

מקורבת אינטגרציה 17.2

רציפה. פונקציה f : [a, b]→ R תהא

.(f (x1) , . . . , f (xn)) לפי´ baf (x) dx את ולקרב x1, . . . , xn ∈ [a, b] לבחור מטרה:

לכל המקיים n − 1 ≥ מדרגה p היחיד הפולינום את מצא (y1, . . . , yn) = (f (x1) , . . . , f (xn)) בהינתן :1 שיטה.´ bap (x) dx את והחזר p (xi) = yi

A (p (x1) , . . . , p (xn)) =´ bap (x) dx המקיימת A : Rn → R יחידה פונקציה קיימת (x1, . . . , xn) לכל 17.5 משפט

.n− 1 ≥ מדרגה p פולינום לכלמהצורה היא A מזאת, יתרה

A (y1, . . . , yn) =

n∑i=1

λiyi

.λi ∈ R עבור

61

Page 62: חשבון אינפיניטסמלי מתקדם 2

מקורבת אינטגרציה 17.219.05.2011 – 11 תרגול 17

מתקיים 2n − 1 ≥ מדרגה פולינום שלכל כך λ1, . . . , λn ∈ Rו־ x1, . . . , xn ∈ [a, b] נקודות קיימות 17.6 משפט.´ bap (x) dx =

∑ni=1 λip (xi)

ויהיו pn של השורשים x1, . . . , xn יהיו .H ([a, b]) במרחב האורתונורמלים הפולינומים סדרת {pm}∞m=0 יהי הוכחה:

.((∗)´ bap (x) dx =

∑ni=1 λip (xi) מתקיים n− 1 ≥ מדרגה p פולינום לכל (כלומר הקודם במשפט כמו λ1, . . . , λn

p = qpn + r מתקיים שארית עם החילוק ממשפט .p עבור מתקיימת ש־(∗) להראות ודי 2n− 1 ≥ מדרגה פולינום p יהיש־ לב נשים .deg r < deg pn = n פולינומים q, r כאשר

deg (qpn + r) = deg q + deg pn = deg q + n

⇒ deg q ≤ deg p− n ≤ 2n− 1− n = n− 1

כעת,

ˆ b

a

p (x) dx =

=

deg q<n︷ ︸︸ ︷〈q, pn〉 = 0︷ ︸︸ ︷ˆ b

a

q (x) pn (x) dx+

ˆ b

a

r (x) dx

=n∑i=1

λir (xi) =

n∑i=1

λip (xi)

.p (xi) = q (xi)

=0︷ ︸︸ ︷pn (xi) +r (xi) = r (xi) ולכן pn של שורש הוא xi כי נובע וזה

62