Введение. Понятие «определитель» восходит к Г. Лейбницу (1678); первая публикация принадлежит Г. Крамеру (1750). Теория определителей создана трудами А. Вандермонда, П. Лапласа, О. Коши и К. Якоби. Термин «определитель» встречается впервые у К. Гаусса (1801). Современное обозначение введено А. Кэли.  

 

Лекция № 2

Тема «Определители и системы линейных уравнений

Пусть дана квадратная таблица из четырех чисел:

1. Определители второго порядка и системы двух линейных уравнений с

двумя неизвестными

11 12

21 22

à à

à à

Определителем второго порядка, соответствующим этой таблице, называется число

12212211 аааа Определитель обозначается символом

2221

1211

аа

аа

Таким образом,11 12

11 12 12 2121 22

.à à

à à à àà à

Рассмотрим систему двух уравнений с двумя неизвестными x и y:

12212211 ,,, аааа

21,bb ija i

j

Числа

Такую запись системы, в которой свободные члены находятся в правых частях, будем называть стандартной.

Определение: Решением системы двух уравнений с двумя неизвестными называется всякая пара чисел (x,y), обращающая эту систему в тождество. Если существует только одна такая пара, то решение называется единственным.

Например,

называются коэффициентами системы;

- свободными членами. В записи коэффициентов индекс

называется номером строки (уравнения), а индекс называется

номером столбца (неизвестного).

(1)

Введем в рассмотрение следующие три определителя для системы (1):

Определитель, составленный из коэффициентов системы, называется определителем системы. Определители, ,полученные из определителя системы заменой соответствующего столбца столбцом свободных членов, называются вспомогательными.

Одним из методов решения системы, известного из школьного курса, является метод исключения неизвестной.

С помощью определителей этот метод можно интерпретировать следующим образом.

Теорема (правило Крамера).

Если 0, то система имеет единственное решение, которое находится по формулам

.;

ух ух

Данные формулы называются формулами Крамера.

Пример 1. Решить по правилу Крамера систему уравнений

.323

,432

ух

ух

Решение. Вычислим определитель системы

.5332223

32

Так как определитель системы отличен от нуля, то, согласно правилу Крамера, решение системы существует, единственно и находится по формулам Крамера.

х уВычислим определители

:

2 42 3 3 4 6 12 6.

3 3ó

По формулам Крамера находим неизвестные

.5

6;

5

1

ух ух

и

2. Определители третьего порядка и свойства определителей

Определителем (детерминантом) третьего порядка, соответствующим квадратной таблице

333231

232221

131211

ааа

ааа

ааа

называется число, получаемое из элементов таблицы по следующему правилу

11 12 13

21 22 23 11 22 33 12 23 31 21 32 13 31 22 13

31 32 33

21 12 33 23 32 11

(

).

à à à

à à à à à à à à à à à à à à à

à à à

à à à à à à

.17242

101133302141132

121

430

312

Например,

Из определения и решенного примера следует правило вычисления определителей третьего порядка, называемого правилом треугольников

Более общее правило вычисления определителей любого порядка основано на понятии минора и алгебраического дополнения.

Минором

ijM ija

элемента

определителя называется определитель,

полученный из данного вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых расположен данный элемент .

Пример 2. В определителе (смотри предыдущий пример)

2 1 3

0 3 4

1 2 1

можно указать девять миноров (по числу элементов). Так для элемента 211 а минором служит определитель

12

43

423 а минором служит определитель для элемента 21

12

ijA ija

ijM ji 1 i j

Алгебраическим дополнением элемента

- номер столбца,

на пересечении которых расположен элемент:

определителя называется

его минор умноженный на

ijji

ij MA 1

-номер строки,

1111 1 A

12

43

3223 1 A

21

12

11 11 12 12 13 13à À à À à À

21 21 22 22 23 23à À à À à À

31 31 32 32 33 33à À à À à À

11 11 21 21 31 31,à À à À à À

12 12 22 22 32 32 ,à À à À à À

13 13 23 23 33 33.à À à À à À

,

В условиях предыдущего примера:

=-3-8=-11;

Теперь можно сформулировать правило вычисления определителей.Теорема разложения. Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения. Таким образом, для определителя справедливы шесть разложений:

Левая тройка формул – это разложение определителя по элементам строк, а правая – по элементам столбцов. Например, разложение определителя по элементам первой строки в условиях примера 2 выглядит следующим образом:

= - (4+1)= -5.

2 1 3

0 3 4

1 2 1

.17

21

303

21

401

12

432

Получили значение определителя, совпадающее со значением его, вычисленным по правилу треугольников (См. пример 1).

Рассмотрим теперь свойства определителей, которые также позволяют упростить их вычисление. При этом мы не будем указывать порядок определителя, так как эти свойства справедливы для определителей любого порядка.

.

332313

322212

312111

333231

232221

131211

ааа

ааа

ааа

ааа

ааа

ааа

Свойство 1. Величина определителя не изменится, если его строки заменить столбцами с теми же номерами, а столбцы строками, т.е.

Замена строк столбцами, а столбцов строками называется транспонированием определителяСвойство 2. Перестановка двух строк (столбцов) определителя равносильна умножению его на –1.Свойство 3. Если определитель имеет две одинаковые строки (столбца), то он равен нулю.Свойство 4. Умножение всех элементов одного столбца (строки) на одно и то же число равносильно умножению определителя на это число. Например,

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

.

333231

232221

131211

333231

232221

131211

ааа

ааа

ааа

k

ааkа

ааkа

ааkа

.

333231

232221

131211

333231

232221

131211

33323131

23222121

13121111

ааа

ааа

ааа

ааа

ааа

ааа

аааа

аааа

аааа

Свойство 5. Если все элементы некоторой строки (столбца) равны нулю, то определитель равен нулю.Свойство 6. Если две строки (столбца) определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.Свойство 7. Если строка (столбец) определителя есть сумма двух чисел, то определитель равен сумме двух определителей с соответствующими столбцами. Например,

.

33323331

23222321

13121311

333231

232221

131211

ааkaа

ааkaа

ааkaа

ааа

ааа

ааа

1 2 3

2 1 2

3 2 1

1 2 3

2 1 2

3 2 1

1 2 3

0 3 4

0 4 8

3 41

4 8

24 16 40

Свойство 8. Если к элементам столбца (строки) определителя прибавить элементы другого столбца (строки), умноженные на одно и тоже число, то определитель не изменится. Например,

Последнее свойство называют еще «элементарными преобразованиями определителя», которые дают еще один удобный способ вычисления определителей. Покажем это на следующем примере.Пример 3. Вычислить симметричный определитель:

.Решение. Вычитая из второй строки удвоенную первую, а из третьей строки утроенную первую, получим

21, хх 3х

.3333232131

2323222121

1313212111

,

,

bхахаха

bхахаха

bхахаха

,321 ,,

.,,,

33231

22221

11211

3

33331

23221

13111

2

33323

23222

13121

1

333231

232221

131211

bаа

bаа

bаа

аbа

аbа

аbа

ааb

ааb

ааb

ааа

ааа

ааа

321 ,,

Рассмотрим стандартную систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными

и Системы трех уравнений с тремя

неизвестными

Обозначим символами следующие определители

Определитель называется определителем системы ; вспомогательные определители получаются из определителя системы заменой соответствующего столбца столбцом свободных членов.

.,, 33

22

11

ххх

Теорема (правило Крамера). Если определитель системы уравнений отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера

.354

,523

,0

321

321

321

ххх

ххх

ххх

1115183410

514

123

111

321 ,,

;225900206

314

523

011

;3303209025

534

153

101

;112506350

513

125

110

3

21

Пример 4. Решить по правилу Крамера систему уравнений:

Решение. Вычислим определитель системы

Так как определитель системы уравнений отличен от нуля, то решение системы существует, единственно и находится по формулам (8). Вычислим определители

21, хх 3х

.211

22;3

11

33;1

11

11 33

22

11

ххх

По формулам Крамера (8) находим неизвестные и

Рассмотрим систему уравнений:

.0

,0

,0

333232131

323222121

313212111

хахаха

хахаха

хахаха

Система (2) называется однородной системой трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Очевидно, что

(2)

0321

Система всегда совместна, так как 1 2 3 0õ õ õ

является решением системы.

Если 0, то, согласно правилу Крамера, это будет единственным решением.

Заключение. Теория определителей позволяет создать общий метод решения алгебраических систем любого порядка.

Литература:Демидович Б.П., Кудрявцев В.А. Краткий курс высшей математики. – М.: Астрель, 2004.Шипачев В.С. Высшая математика, М.: Высшая школа, 2005.Солодовников А.С., Бабайцев В.А. Математика в экономике. Часть 1., - М.: Финансы и статистика, 2003. - 384 с.Мокеева О.Л. Математика. Методические рекомендации для учащихся профильных классов. Часть 1. - Владивосток: ИЭИ ДВГТУ, 2005. – 65 с.

=0, то, согласно последнему замечанию, система имеет бесконечно много решений, и в этом случае одно из уравнений является следствием других.

Если