Лекция № 2
DESCRIPTION
Сегодня: среда, 15 октября 2014 г. Лекция № 2. Тема: Заряд и его свойства, закон Кулона (продолжение). 8. Интегральная формулировка закона сохранения заряда. S. V. j d Ѕ. s. v. Сила тока через поверхность, ограничивающую объём. Скорость изменения заряда в объёме. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
![Page 1: Лекция № 2](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062819/56813b77550346895da48bf0/html5/thumbnails/1.jpg)
Лекция №2
Тема: Заряд и егосвойства, закон Кулона(продолжение)
Сегодня: Thursday, April 20, 2023
![Page 2: Лекция № 2](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062819/56813b77550346895da48bf0/html5/thumbnails/2.jpg)
8. Интегральная формулировка закона сохранения заряда.d
dVdt
jdЅsv
Изменение заряда в некотором объёме может произойти только в результате втекания и
вытекания заряда через замкнутую поверхность S ограничивающую объём
(алгебраическая сумма электрически изолированного объема есть величина
постоянная.
Скорость изменения заряда в объёме.
Сила тока через поверхность, ограничивающую объём.
Знак минус учитывает, что если + заряд внутри V уменьшается, то плотность тока направлена из объёма.
S
V
![Page 3: Лекция № 2](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062819/56813b77550346895da48bf0/html5/thumbnails/3.jpg)
9. Дифференциальная формулировка закона сохранения заряда.
Итак интеграл по поверхности равен интегралу по объему в виде
ddV
dt jdЅ
![Page 4: Лекция № 2](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062819/56813b77550346895da48bf0/html5/thumbnails/4.jpg)
Запишем данное выражение в виде (это связь интеграла по поверхности с интегралом по объему, который заключен данной поверхностью).
(1)
Здесь дивергенция равна
VS V
dVt
dVjdivSdj
dz
dj
dy
dj
dx
djjdiv zyx
![Page 5: Лекция № 2](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062819/56813b77550346895da48bf0/html5/thumbnails/5.jpg)
Сравнивая подинтегральные выражения в формуле (1), видим, что
Это и есть закон сохранения заряда в дифференциальной форме
tjdiv
![Page 6: Лекция № 2](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062819/56813b77550346895da48bf0/html5/thumbnails/6.jpg)
10. Сохранение заряда в 4-х мерном пространстве
Перепишем выражение для дивергенции и плотности тока в виде :
3
3
2
2
1
1
dx
dj
dx
dj
dx
djjdiv
ict
ic
t
4jic 4xict
![Page 7: Лекция № 2](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062819/56813b77550346895da48bf0/html5/thumbnails/7.jpg)
Легко видеть, что изменение плотности заряда во времени можно представить как 4-ую компоненту плотности тока:
Окончательно:
4
4
dx
dj
dict
dic
t
tjdiv
04
4
3
3
2
2
1
1 njdivdx
dj
dx
dj
dx
dj
dx
dj
0
t
jdiv
0njdiv
![Page 8: Лекция № 2](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062819/56813b77550346895da48bf0/html5/thumbnails/8.jpg)
Это и есть закон сохранения заряда в дифференциальной форме для 4-х мерного пространства
Преобразование из К системы в систему К’ для одномерного тока jx и плотности заряда ρ в СТО имеет вид:
xjcV
cV
22
2
/1
/
22 /1 cV
Vjx
![Page 9: Лекция № 2](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062819/56813b77550346895da48bf0/html5/thumbnails/9.jpg)
k
kk
k
k
k
k rr
qqF
rF
204
1
Закон Кулона.
1 22
0
1
4 r
q q
r
r
F
q1,q2 – точечные заряды; r – расстояние между зарядами; ε – диэлектрическая проницаемость
среды ( в вакууме и воздухе = 1 ); ε0 – диэлектрическая постоянная = 8,85*10-12Ф/м.Принцип суперпозиции:
(1)
(2)
3
![Page 10: Лекция № 2](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062819/56813b77550346895da48bf0/html5/thumbnails/10.jpg)
м
Ф
мН
Клε
Кл
мН
πεk или1085,8;109
4
12
212
02
29
0
З.К. справедлив 107-10-17м (эксперимент)
+ + + -1 2 1 2
F12 F21F12 F21
![Page 11: Лекция № 2](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062819/56813b77550346895da48bf0/html5/thumbnails/11.jpg)
-
-
- - -
-+
+
+ +
+
+
+
●
●●
2.
l l
l
3. 4.
●
rа
х
9
На каждый заряд, действуют по 3 силы
Q F
![Page 12: Лекция № 2](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062819/56813b77550346895da48bf0/html5/thumbnails/12.jpg)
Сущность модели электростатического поля
Важна не неподвижность зарядов, а постоянство во времени электрического поля!
Границы применимости – требование малости вклада от отдельных зарядов в наблюдаемое
поле.
Основная задача электростатики: найти поля, создаваемые «неподвижными» зарядами
2
![Page 13: Лекция № 2](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062819/56813b77550346895da48bf0/html5/thumbnails/13.jpg)
Детектор поля – точечный заряд. Источником Е- поля является заряд.
q
FE
20
1=
4
q
r rr
Е Для точечного зарядав вакууме (ε =1)
(3)
(4)
4
Локальная хар-ка
+qEr
F
Вектор Е напряженности электрического поля
Формула (4) получена делением силы Кулона на заряд q
![Page 14: Лекция № 2](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062819/56813b77550346895da48bf0/html5/thumbnails/14.jpg)
k
kk
k
k k
k
rr
q
qE
rFE
204
Согласно принципу суперпозиции электрическое поле системы зарядов
равно векторной сумме напряженностей полей, создаваемых
отдельными зарядами
![Page 15: Лекция № 2](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062819/56813b77550346895da48bf0/html5/thumbnails/15.jpg)
Е1
○
○○12
3
Е2
Е3
Силовые линии. Примеры
5
Е
ЕЕ
ЕЕ
Е
5
![Page 16: Лекция № 2](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062819/56813b77550346895da48bf0/html5/thumbnails/16.jpg)
● dy
σ
●
z
А
y
x
+
++
++
+ +
+
+
+ +
Равномерно заряженная плоскость σ
L
Каждая полоска несёт элементарный заряд dq
= σ Ldy11
Найти напряженность Е электрического поля в точке А на расстоянии z от плоскости. Применить принцип суперпозиции
![Page 17: Лекция № 2](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062819/56813b77550346895da48bf0/html5/thumbnails/17.jpg)
Справедлив принципы суперпозиции:
Вектор электрического смещения (вектор индукции электростатического поля) - D
D = εε0E
Формула для однородной среды. Вектор направлен также как и Е.
2
1=
4 r
q
rr
D
i=1
n
= iD D6
(5)
(6)
(7)
Для точечного заряда
![Page 18: Лекция № 2](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062819/56813b77550346895da48bf0/html5/thumbnails/18.jpg)
+
ε >1
+ε >1
Е
Е D
D
Вектор D не преломляется на границе двух сред.
D = εε0E (5)
7
![Page 19: Лекция № 2](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062819/56813b77550346895da48bf0/html5/thumbnails/19.jpg)
Поток вектора ( Е,D)
Е
nn n
α
dФ = ЕdS Ф = 0 dФ = ЕdS Cosα
Ф = числу силовых линий через единицу площади.
Ф = ∫s (ЕdS)
dS
dSdS
(10)
13
dS =dS n
![Page 20: Лекция № 2](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062819/56813b77550346895da48bf0/html5/thumbnails/20.jpg)
dSn
Е Е
Е
Ф через искривлённую поверхность
Ф = ∫s (ЕdS)
Ф через замкнутую поверхность
Поверхность не должна быть морщинистой
(11)
14
Е
Е
![Page 21: Лекция № 2](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062819/56813b77550346895da48bf0/html5/thumbnails/21.jpg)
Теорема Гаусса (закон Гаусса)Закон Гаусса связывает поток через
поверхность и заряд.
q
ndSЕ
Если между Е или D и n острый угол Ф- положителен, если тупой - Ф отрицателен.
15
![Page 22: Лекция № 2](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062819/56813b77550346895da48bf0/html5/thumbnails/22.jpg)
dФ D S
20
1=
4
q
r rr
Е
2
1 1d
4 rФ
r
rS
dScos nd dSr
r
S =16
(4)
(11)
(12)
(13)
(14)
Ф = ∫s (ЕdS)dS
Е
n
dΩ
α
q
ε0
q
![Page 23: Лекция № 2](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062819/56813b77550346895da48bf0/html5/thumbnails/23.jpg)
2ndS
dr
∫○dΩ=4π
Если зарядов в объёме V много, то q = ∑qi
dФ D S =∑qi=q Теорема Гаусса для D
17
(15)
0
dq
Ф E S Теорема Гаусса для Е
Для док-ва используется принцип суперпозиции!!!!
![Page 24: Лекция № 2](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062819/56813b77550346895da48bf0/html5/thumbnails/24.jpg)
Если заряд находится вне объёма:
D
dФ D S = 0
Вектор D 2 раза входит в объём и 2 раза из него
выходит.
Если заряд распределен внутри объёма, например, с объёмной плотностью ρ:
∳q = ρdVv
dФ D S ∳q = ρdV=То:v 18
![Page 25: Лекция № 2](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062819/56813b77550346895da48bf0/html5/thumbnails/25.jpg)
Физической основой ТОГ является закон Кулона, поэтому теорема Гаусса является интегральной
формулировкой закона Кулона.
19
![Page 26: Лекция № 2](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062819/56813b77550346895da48bf0/html5/thumbnails/26.jpg)
Поток вектора напряженности сквозь произвольную замкнутую поверхность = сумме
зарядов, заключённых в этой поверхности, деленной на ε0 .
Аналогично для потока вектора смещения D
20
0
dq
Ф E S
![Page 27: Лекция № 2](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062819/56813b77550346895da48bf0/html5/thumbnails/27.jpg)
Применение теоремы Гаусса.По тонкой сферической оболочке радиуса R
равномерно распределён заряд q. Определить Е: а) вне сферы, б) внутри сферы.
21Е
+
++ +
+
+
+
R r1
r2+
++
+
+σ
Е
Е
n
●
●●
А
ВС
+R
r1 En
+σ
S
А●
В●
![Page 28: Лекция № 2](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062819/56813b77550346895da48bf0/html5/thumbnails/28.jpg)
Вектор Е направлен радиально в силу симметрии
Проведем произвольную замкнутую поверхность радиуса r1
0
dq
Ф E S
S
dSE, = ЕА ∫dS = ЕАS = ЕА4πr12 = q/ε0
22
+
+
+
+
R r1
++
+σ
Е
n
●А
По Т.О.Г.Е
С●В
Е=О
![Page 29: Лекция № 2](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062819/56813b77550346895da48bf0/html5/thumbnails/29.jpg)
На пов-ти сферы
т.к. S задано q = σSс = σ4πR2
2
20 1
RЕ
r
q = ∫Sσ dS
(*)20 14
qЕ
r
Из (23) ЕА вне сферы =
23
Внутри сферы (точка В) Е равно
нулю
![Page 30: Лекция № 2](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062819/56813b77550346895da48bf0/html5/thumbnails/30.jpg)
25
+
+
+
+ +
R
r1
r2+
+σ
Е
Е
n
●
●●
А
ВС
0
Е
R r
1/r2
20 14
qЕ
r
Поле вне сферы такое же как и от точечного
заряда!
![Page 31: Лекция № 2](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062819/56813b77550346895da48bf0/html5/thumbnails/31.jpg)
Поле Е равномерно заряженной ∞ нити с линейной плотностью τ.
0
dq
Ф E S
∫(EdS) = ∫(EdSбок) +2 ∫(EdSторц) = ∫(EdSбок) = ES =
= Е2πаl = q/ε0
q = ∫l τdl = τl
Окончательно имеем:
02АЕа
= 0
26
τ●А
а
Е
nn
dSторц.
l
dS
![Page 32: Лекция № 2](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062819/56813b77550346895da48bf0/html5/thumbnails/32.jpg)
Электрическое поле Е бесконечно большой заряженной плоскости
Поверхностная плотность зарядов σ
SqESdSEdSEФi
i
sS
Е 010
1122)(
Поверхность Гаусса выбираем в виде
прямоугольного ящика. В силу бесконечно-большой
симметрии плоскости вектор Е в любой точке
окружающего пространства направлен по нормали к
плоскости
Е
nn
ЕSS
02E