ตรรกศาสตร� 2

ภาพรวมของเนื้��อหา

ตรรกศาสตร� 2

การสมมลส�จนิ�ร�นิดร�การขั�ดแย้�ง

ประโย้คเป�ด(Open

Sentence)

การให้�เห้ต�ผล (Argument)

การสมม�ล (EQUIVALENCE) ,ส�จนื้�ร�นื้ดร� (TAUTOLOGIES),การข�ดแย้�ง (CONTRADICTIONS)

การสมม�ล (EQUIVALENCE)

ประพจนื้�ที่!"เข!ย้นื้ต#างก�นื้ แต#ม!ค่#าค่วามจร�งเหม�อนื้ก�นื้ที่%กกรณี! เราจะถื�อว#า ประพจนื้�ที่��งสอง “สมม�ล” ก�นื้

ประพจนื้�ที่!"สมม�ลก�นื้สามารถืนื้(าไปใช้�แที่นื้ก�นื้ได� พ�จารณีาตารางค่#าค่วามจร�งของ 2 ประพจนื้�นื้!� p -> q ก�บ

~p v q

ด�งนื้��นื้ ประพจนื้� p->q สมม�ลก�บ ~p v q

ร�ปแบบการสมม�ลเข!ย้นื้เป-นื้ส�ญล�กษณี�ได�ด�งนื้!� p q หร�อ p q

p q ~p p -> q ~p v q

T T F T T

T F F F F

F T T T T

F F T T T

กฎการสมม�ล (EQUIVALENCE

LAWS)ช้�"อ ร�ปแบบประพจนื้�

เอกล�กษณี� T ^ p p , F v p p

ค่รอบค่ล%ม (Domination)

p v T T , p ^ F F

สะที่�อนื้ (Idempotent)

p v p p , p ^ p p

ส�จนื้�ร�นื้ดร�/ข�ดแย้�ง p v ~p T , p ^ ~p F

นื้�เสธซ้�อนื้ ~~p p

สล�บที่!" p v q q v p , p ^ q q ^ p

เปล!"ย้นื้กล%#ม (p v q) v r p v (q v r) , (p ^ q) ^ r p ^ (q ^ r)

กระจาย้ p v (q ^ r) (p v q) ^ (p v r) , p ^ (q v r) (p ^ q) v (p ^ r)

ซ้3มซ้�บ p v (p ^ q) p , p ^ (p v q) p

เดอมอร�แกนื้ (De Morgan’s)

~(p ^ q) ~p v ~q , ~(p v q) ~p ^ ~q

Implies p -> q ~p v q

กฎการสมม�ล (EQUIVALENCE

LAWS)ช้�"อ ร�ปแบบประพจนื้�

Exclusive or

p ⊕ q (p v q) ^ ~(p ^ q)p ⊕ q (p ^ ~q) v (q ^ ~p)

Implies p -> q ~p v q

Bicondition

p <-> q (p->q) ^ (q -> p)p <-> q ~(p⊕q)

การพ�ส�จนื้�การสมม�ล

การพิ�สจนิ�การสมมลสามารถทำ#าได� 2 วิ�ธี'1 .การสร�างตารางค(าควิามจร�ง เพิ)*อตรวิจสอบวิ(า

ค(าควิามจร�งขัองประพิจนิ�ทำ'*พิ�จารณาเห้ม)อนิก�นิในิทำ�กๆกรณ'ห้ร)อไม(

2. ใช้�กฎในิการพิ�สจนิ�

ต�วอย้#างการพ�ส�จนื้�การสมม�ลโดย้ใช้�ตารางค่#าค่วามจร�ง

จงพิ�สจนิ�วิ(า P -> ~Q Q->~P ห้ร)อไม(

ค(าควิามจร�งขัองประพิจนิ� P-> ~Q ก�บ ประพิจนิ� Q -> ~P ม'ค(าเห้ม)อนิก�นิในิทำ�กๆแถวิ

ด�งนิ�1นิ P -> ~Q สมมลก�บ Q->~P

P Q ~P ~Q ~P ^ ~Q ~(~P ^ ~Q)

T T F F F F

T F F T T T

F T T F T T

F F T T T T

ต�วอย้#างการพ�ส�จนื้�การสมม�ลโดย้ใช้�กฎการสมม�ล

จงพิ�สจนิ�วิ(า P -> ~Q Q->~P ห้ร)อไม(P -> ~Q ~P v ~Q กฎ Implies

~Q v ~P สล�บทำ'* Q -> ~P กฎ Implies

ด�งนิ�1นิ P -> ~Q Q->~P

ก�จกรรมที่!" 1 จากร�ปแบบประพจนื้�ที่!"ก(าหนื้ดให� จงพ�ศ�จนื้�โดย้ใช้�กฎ

สมม�ลว#าสมม�ลก�นื้หร�อไม#1. p-> (q -> r) (p ^ q) -> r

การพ�จารณีาส�จนื้�ร�นื้ดร� (TAUTOLOGY)

เป2นิรปแบบขัองประพิจนิ�ทำ'*ม'ค(าควิามจร�งเป2นิจร�งทำ�กกรณ'

เทำคนิ�คการตรวิจสอบการเป2นิส�จนิ�ร�นิดร�ขัองประพิจนิ� ทำ#าได�โดย้1 .ใช้�ตาราง2 .ใช้�กฎการสมมล3. การสมม�ต�ค(าควิามจร�งแล�วิดการขั�ดแย้�ง

เที่ค่นื้�ค่ที่!" 1 การใช้�ตาราง

จงตรวิจสอบวิ(าประพิจนิ�นิ'1เป2นิส�จนิ�ร�นิดร�ห้ร)อไม( (P->Q) <-> (~P v Q)

รปแบบประพิจนิ� (p -> q) <-> (~p v q) ม'ค(าควิามจร�งทำ�กกรณ'

ด�งนิ�1นิ รปแบบประพิจนิ�นิ'1 เป2นิส�จนื้�ร�นื้ดร�

p q ~p p -> q ~p v q (p -> q) <-> (~p v q)

T T F T T T

T F F F F T

F T T T T T

F F T T T T

เที่ค่นื้�ค่ที่!" 2 การใช้�กฎการสมม�ลมาช้#วย้พ�จารณีา

จงตรวิจสอบวิ(าประพิจนิ�นิ'1เป2นิส�จนิ�ร�นิดร�ห้ร)อไม( P -> (P v Q)

P -> (P v Q) ~P v (P v Q) กฎ Implies

(~P v P) v Q จ�ดกล�(มให้ม( T v Q ส�จนิ�ร�นิดร� (~P v P) T

T

ด�งนิ�1นิ P -> (P v Q) เป2นิส�จนิ�ร�นิดร�

ก�จกรรมที่!" 2

จงพิ�จารณาวิ(า ประพิจนิ�ต(อไปนิ'1เป2นิส�จนิ�ร�นิดร�ห้ร)อไม( โดย้ใช้�กฎ

[(~P v P) ^ Q] -> [(~S ^ S) v Q]

เที่ค่นื้�ค่ที่!" 3 การสมม%ต�ค่#าค่วามจร�งแล�วด�การข�ดแย้�ง

หล�กการ ตรวิจสอบวิ(าประพิจนิ�ม'โอกาสเป2นิ เที่5จ ได�ห้ร)อไม( ถ�าเป2นิได� แสดงวิ(าประพิจนิ�นิ�1นิไม#เป-นื้ส�จนิ�ร�นิดร�

ว�ธ!การ สมม�ต�ให้�ประพิจนิ�ผสมเป2นิ เทำ3จ จากนิ�1นิดค(าควิามจร�งขัองประพิจนิ�ย้(อย้ ด�งนิ'1 ถ�าประพิจนิ�ย้(อย้ม'ค(าควิามจร�ง ข�ดก�นื้ แสดงวิ(าไม(ม'

ทำางเป2นิเที่5จได� จะสร�ปวิ(าประพิจนิ�นิ�1นิ เป-นื้ส�จนื้�ร�นื้ดร� ถ�าประพิจนิ�ย้(อย้ม'ค(าควิามจร�ง สอดค่ล�องก�นื้ แสดง

วิ(าม'ทำางเป2นิ เที่5จได� จะสร�ปวิ(าประพิจนิ�นิ�1นิ ไม#เป-นื้ส�จนื้�ร�นื้ดร�

เที่ค่นื้�ค่ที่!" 3 การสมม%ต�ค่#าค่วามจร�งแล�วด�การข�ดแย้�ง

ต�วิอย้(าง ประพิจนิ�ต(อไปนิ'1เป2นิส�จนิ�ร�นิดร�ห้ร)อไม( (P ^ Q) -> P

พิ�จารณาล#าด�บการห้าค(าควิามจร�ง(P ^ Q) -> P

F สมม�ต�ให้�ประพิจนิ�เป2นิเทำ3จ

T F พิ�จารณาค(าควิามจร�งขัองT T ประพิจนิ�ย้(อย้

ประพิจนิ�ย้(อย้ P ม'ควิามขั�ดแย้�งก�นิ ด�งนิ�1นิ ประพิจนิ�นิ'1เป2นิ ส�จนิ�ร�นิดร�

12 3

ก�จกรรมที่!" 3

จงพิ�จารณาวิ(าประพิจนิ�ต(อไปนิ'1เป2นิส�จนิ�ร�นิดร�ห้ร)อไม( โดย้การสมม�ต�ค(าควิามจร�งแล�วิดการขั�ดแย้�ง

1 . (P ^ Q) -> (P ->Q)

2. (P v Q) -> P

ประโย้ค่เป6ด(OPEN SENTENCE)

ประโย้ค่เป6ด(OPEN SENTENCE)

ค)อ ขั�อควิามทำ'*ต�ดค(าต�วิแปรทำ'*ย้�งไม(ร �วิ(าเป2นิ จร�ง ห้ร)อ เทำ3จ โดย้ต�วิแปรนิ�1นิเป2นิสมาช้�กขัองเอกภพิส�มพิ�ทำธี�ทำ'*ก#าห้นิด

ย้�งไม(ใช้(ประพิจนิ�จนิกวิ(าจะม'การระบ�ค(าขัองต�วิแปร เช้(นิ ประโย้คเป�ด P(x) นิ�ย้ามโดย้ x – 3 > 5

ค(าควิามจร�งขัอง P(2) เป2นิเทำ3จ ค(าควิามจร�งขัอง P(8) เป2นิเทำ3จ ส�งเกตวิ(าเม)*อ x ถกระบ�ค(า P(x) จะกลาย้เป2นิประพิจนิ�ทำ'*ม'ค(า

ควิามจร�งช้�ดเจนิ เร'ย้ก P วิ(า Predicate และ x วิ(าต�วิแปร (variable)

การที่(าให�ประโย้ค่เป6ดเป-นื้ประพจนื้�

สามารถด#าเนิ�นิการได� 2 วิ�ธี' ด�งนิ'11 .นิ#าสมาช้�กในิเอกภพิส�มพิ�ทำธี�ไปแทำนิค(าในิต�วิแปรต�วิอย้(าง ถ�าก#าห้นิดเอกภพิส�มพิ�ทำธี�เป2นิ R และประโย้คเป�ด x

> 3 เราจะย้�งไม(สามารถบอกได�วิ(าขั�อควิามนิ'1เป2นิจร�งห้ร)อเทำ3จ จนิกวิ(าจะลองแทำนิค(า x ด�งนิ'1

เม)*อแทำนิ x เป2นิ 2 จะได� 2 > 3 ประพิจนิ�นิ'1ม'ค(าควิามจร�งเป2นิ F

5 จะได� 5 > 3 ประพิจนิ�นิ'1ม'ค(าควิามจร�งเป2นิ T

การที่(าให�ประโย้ค่เป6ดเป-นื้ประพจนื้� (ต#อ)

2. เต�มวิล'บ(งปร�มาณ (Quantifier) ม' 2 ช้นิ�ด ค)อ x U ห้มาย้ถ5ง ส#าห้ร�บ x ทำ�กต�วิในิ U x U ห้มาย้ถ5ง ม' x บางต�วิในิ U

ต�วิอย้(าง ก#าห้นิด U = R และประโย้คเป�ด x < 2x R [x < 2] ห้มาย้ถ5ง ส#าห้ร�บ x ทำ�กต�วิในิ R ทำ#าให้� x < 2 เป2นิจร�ง ซึ่5*งค(าควิามจร�งขัองประพิจนิ�นิ'1จะเป2นิ F เพิราะ ม' x บางต�วิ เช้(นิ x = 3 ทำ#าให้�เป2นิเทำ3จ

x R [x <2] ห้มาย้ถ5ง x บางต�วิในิ R ทำ#าให้� x < 2 เป2นิจร�ง ซึ่5*งค(าควิามจร�งขัองประพิจนิ�นิ'1เป2นิ T เพิราะม' x บางต�วิแนิ(ๆ ทำ'*ทำ#าให้� x < 2 เช้(นิ 1

ค่#าค่วามจร�งของ X[P(X)] ก�บ X[P(X)]

ประพจนื้� ม!ค่#าค่วามจร�งเป-นื้

ก5ต#อเม�"อ

x [P(x)] T X ทำ�กต�วิในิ U ทำ#าให้� P(x) เป2นิ จร�งx [P(x)] F ม' x อย้(างนิ�อย้ 1 ต�วิในิ U ทำ#าให้� P(x) เป2นิ

เทำ3จx[P(x)] T ม' x อย้(างนิ�อย้ 1 ต�วิในิ U ทำ#าให้� P(x) เป2นิ

จร�งx[P(x)] F X ทำ�กต�วิในิ U ทำ#าให้� P(x) เป2นิ เทำ3จ

ก�จกรรมที่!" 4

จงห้าค(าควิามจร�งขัองขั�อควิามต(อไปนิ'1 ถ�าก#าห้นิด U เป2นิ R1. x [x + x = x2]

2. x [x + x = x2 ]

3. x [x2 > x]

4. x [x2 > x]

5. x [|x| ≥ x]

ก�จกรรมที่!" 5

ก#าห้นิด U = {-1,0 } จงห้าค(าควิามจร�งขัอง1. x [x2 – 2x = 3]

2. x [x2 – 2x = 3]

3. x [2 - x > x + 2]

4. x [ 2 – x > x + 2]

ค่#าค่วามจร�งของประพจนื้�ที่!"ม! 2 ต�วแปร 2 วล!บ#งปร�มาณี

ประพจนื้� เป-นื้ เม�"อxy[P(x,y)] T

F(x,y) ทำ�กค(ในิ U ทำ#าให้� P(x,y) เป2นิ จร�งม' (x,y) อย้(างนิ�อย้ 1 ค( ในิ U ทำ'*ทำ#าให้� P(x,y) เป2นิ เทำ3จ

xy[P(x,y)] TF

ม' (x,y) อย้(างนิ�อย้ 1 ค( ในิ U ทำ'*ทำ#าให้� P(x,y) เป2นิ จร�งส#าห้ร�บ (x,y) ทำ�กค( ในิ U ทำ'*ทำ#าให้� P(x,y) เป2นิ เทำ3จ

xy[P(x,y] TF

แทำนิทำ�ก x ในิ U แล�วิทำ#าให้� y[P(x,y)] เป2นิ จร�งแทำนิ x บางต�วิในิ U แล�วิทำ#าให้� y[P(x,y)] เป2นิ เทำ3จ

xy[P(x,y] TF

แทำนิ x บางต�วิในิ U แล�วิทำ#าให้� y[P(x,y] เป2นิ จร�งแทำนิทำ�ก x ในิ U แล�วิทำ#าให้� y[P(x,y)] เป2นิ เทำ3จ

การสล�บล(าด�บของวล!บ#งปร�มาณี

xy[P(x,y)] yx[P(x,y]

xy[P(x,y)] เป-นื้ จร�ง เม�"อม! x อย้#างนื้�อย้ 1 ต�ว ที่!"จ�บค่�#ก�บ y ที่%กต�ว แล�วที่(าให� P(x,y) เป-นื้จร�ง

yx[P(x,y] เป-นื้จร�ง เม�"อที่%ก y ม! x รองร�บ เพ�"อที่(าให� P(x,y) เป-นื้จร�ง

xy[P(x,y)] yx[P(x,y)]

xy[P(x,y)] yx[P(x,y)]

ก�จกรรมที่!" 6

ก#าห้นิด U = {1,2,3} จงห้าค(าควิามจร�งขัอง1. xy[x2 < y + 2]

2. xy[x2 + y2 < 12]

3. xy[x2 + y2 < 12]

นื้�เสธของประพจนื้�ที่!"ม!วล!บ#งปร�มาณี

เนิ)*องจาก x [P(x)] ก�บ x [P(x)] เป2นิประพิจนิ� ด�งนิ�1นิ จ5งม'นิ�เสธี ด�งนิ'1 นิ�เสธีขัอง x [P(x)] เขั'ย้นิแทำนิด�วิย้ ~ [x

[P(x)]] x [~P(x)]

นิ�เสธีขัอง x [P(x)] เขั'ย้นิแทำนิด�วิย้ ~[x [P(x)]] x [~P(x)]

นื้�เสธของประพจนื้�ที่!"ม!วล!บ#งปร�มาณี (ต#อ)

นิอกจากนิ'1 ~[xy[P(x,y]] xy[~P(x,y]]

~[xy[P(x,y]] xy[~P(x,y]]

~[xy[P(x,y)]] xy[~P(x,y)]]

~[xy[P(x,y)]] xy[~P(x,y)]]

ก�จกรรมที่!" 7

1 .จงห้านิ�เสธีขัอง x[x2 = x]

2. จงห้านิ�เสธีขัองประพิจนิ�ต(อไปนิ'1

ประพจนื้� นื้�เสธของประพจนื้�x [x2 = x]x [x + 3 > x]xy [P(x) v Q(y)]xy [P(x,y)]xy [P(x) ^ Q(y)]xy [P(x,y)]

เพ�"มเต�ม : ประพจนื้�ที่!"ม!วล!บอกปร�มาณี

ประพจนื้� ก�บ หมาย้เหต%x[P(x) ^ Q(x)]

x[P(x)] ^ x[Q(x) ]

x ล%ย้เข�าไปในื้ “^” ได�

x[P(x) v Q(x)]

x[P(x)] v x[Q(x) ]

x ล%ย้เข�าไปในื้ “v” ไม#ได�

x[P(x) v Q(x)]

x[P(x)] v x[Q(x)]

x ล%ย้เข�าไปในื้ “v” ได�

x[P(x) ^ Q(x)]

x[P(x)] ^ x[Q(x)]

x ล%ย้เข�าไปในื้ “^” ไม#ได�

x[P(x)->Q(x)]

x[P(x)] -> x[Q(x) ]

x ล%ย้เข�าไปในื้ “->” ไม#ได�

การให�เหต%ผล (ARGUMENT)

การให้�เห้ต�ผล ประกอบด�วิย้ เห้ต� (premises) ค)อ ส�*งทำ'*ก#าห้นิดให้�

ประกอบด�วิย้ประพิจนิ�ย้(อย้ๆ s1,s2,…sn

ผลสร�ป (conclusion) เป2นิ ผลจากเห้ต�แทำนิด�วิย้ Q

การให�เหต%ผล (ต#อ)

การให้�เห้ต�ผล สามารถเขั'ย้นิได� 2 รปแบบ แบบทำ'* 1 เขั'ย้นิได�เป2นิ s1,s2,…sn |-- Q

แบบทำ'* 2 เขั'ย้นิได�เป2นิs1

s2

…sn

Q

การต�ดส�นื้ว#าการอ�างเหต%ผลสมเหต%สมผลหร�อไม#

ถ�า (S1 ^ S2 ^ S3 ^ … ^ Sn) -> Q เป-นื้ ส�จนิ�ร�นิดร� (Tautology) เราจะสร�ปได�เลย้วิ(าการอ�างนิ'1 สมเหต%สมผล

ถ�า (S1 ^ S2 ^ S3 ^ … ^ Sn) -> Q ไม#เป-นื้ ส�จนิ�ร�นิดร� เราจะสร�ปวิ(าการอ�างนิ'1 ไม#สมเหต%สมผล

กฎการให�เหต%ผล(RULE OF INFERENCE)

ช้�"อร�ปแบบ ร�ปแบบ1. Modus Ponens เหต% 1. P -> Q

2.P ผล Q

2. Modus Tollens เหต% 1. P -> Q2.~Q ผล ~P

2. Law of Syllogism เหต% 1. P -> Q2.Q -> R ผล P -> R

4. Disjunctive Syllogism เหต% 1. ~P v Q2. P ผล Q

กฎการให�เหต%ผล (ต#อ)

ช้�"อร�ปแบบ ร�ปแบบ5.Law of

simplificationเหต% P ^ Q ผล P

6.Law of addition เหต% P ผล P v Q

7.Law of contraposition

เหต% P -> Q ผล ~Q -> ~P

8.Inference by cases

เหต% 1. P -> R2.Q -> R ผล (P v Q) -> R

การพ�ส�จนื้�ว#า การอ�างเหต%ผลสมเหต%สมผลหร�อไม#

1 .เอาเห้ต�ทำ'*ก#าห้นิดให้�ทำ�1งห้มดมาเช้)*อมก�นิด�วิย้ “และ” ด�งนิ'1 (S1 ^ S2 ^ S3 ^ … ^ Sn)

2. จากนิ�1นิ นิ#าเห้ต�ทำ�1งห้มดในิขั�อ 1 มาเช้)*อมด�วิย้ “->” ด�งนิ'1 (S1 ^ S2 ^ S3 ^ … ^ Sn) -> Q

3. พิ�จารณาวิ(า (S1 ^ S2 ^ S3 ^ … ^ Sn) -> Q เป2นิ ส�จนิ�ร�นิดร� ห้ร)อไม( ถ�า เป2นิ เราจะอ�างเลย้วิ(า สมเหต%สมผล ถ�า ไม(เป2นิ เราจะอ�างเลย้วิ(า ไม#สมเหต%สมผล

เที่ค่นื้�ค่การพ�จารณีาว#า (S1 ^ S2 ^ … ^ SN) -> Q เป-นื้

ส�จนื้�ร�นื้ดร� 1 .การใช้�กฎการให้�เห้ต�ผล (Rule of Inference)

2 .การใช้�กฎการสมมลมาช้(วิย้จ�ดรปแบบ3. การสมม�ต�ค(าควิามจร�งแล�วิดการขั�ดแย้�ง

เที่ค่นื้�ค่ที่!" 1 การใช้�กฎการให�เหต%ผล

ต�วอย้#างที่!" 1 การอ�างเห้ต�ผลนิ'1 สมเห้ต�สมผลห้ร)อไม(เหต% 1. ถ�าเรวิด'เป2นิจ#ารวิจแล�วิ นิ�ช้จร'เป2นิผ�ตรวิจสอบบ�ญช้'

2. เรวิด'เป2นิต#ารวิจ

ผล นิ�ช้จร'เป2นิผ�ตรวิจสอบบ�ญช้' ต�วอย้#างที่!" 2 การอ�างเห้ต�ผลต(อไปนิ'1 สมเห้ต�สมผลห้ร)อ

ไม(เหต% 1. อาร'ร�ตนิ�ไม(เป2นินิ�กเขั'ย้นิ ห้ร)อ ส�จ�ตราเป2นิคร

2. อาร'ร�ตนิ�เป2นินิ�กเขั'ย้นิ

ผล ส�จ�ตราเป2นิคร

เที่ค่นื้�ค่ที่!" 1 การใช้�กฎการให�เหต%ผล (ต#อ)

ข�อเสนื้อแนื้ะของการใช้�เที่ค่นื้�ค่นื้!� เราต�องจ#ากฎต(างๆขัองการให้�เห้ต�ผลได� อาจต�องใช้�ควิามจ#ามากและส�บสนิได� กรณ'ทำ'*ม'เห้ต�ค(อนิขั�างเย้อะ ใช้�กฎแล�วิอาจปวิด

ห้�วิได�

เที่ค่นื้�ค่ที่!" 2 การใช้�กฎการสมม�ล

หล�กการ1 .รวิมเห้ต�และผลทำ'*โจทำย้�ให้�ในิรปแบบนิ'1 (S1 ^ S2 ^ … ^ Sn) -> Q

2. ใช้�กฎการสมมลต(างๆเพิ)*อต�ดส�นิวิ(าประพิจนิ�ในิขั�อ 1เป2นิส�จนิ�ร�นิดร�ห้ร)อไม( ถ�าประพิจนิ�ในิขั�อ 1 เป2นิส�จนิ�ร�นิดร� จะสร�ปวิ(า สม

เหต%สมผล ถ�าประพิจนิ�ในิขั�อ 1 ไม(เป2นิส�จนิ�ร�นิดร� จะสร�ปวิ(า ไม#

สมเหตสมผล

ต�วอย้#างการใช้�เที่ค่นื้�ค่ที่!" 2ในื้การพ�จารณีาการให�เหต%ผล

ต�วอย้#างที่!" 1 การอ�างเห้ต�ผลต(อไปนิ'1 สมเห้ต�สมผลห้ร)อไม(เหต% 1. P -> Q

2. P

ผล Q

ต�วอย้#างที่!" 2 การอ�างเห้ต�ผลต(อไปนิ'1 สมเห้ต�สมผลห้ร)อไม(เหต% 1. P ^ Q

2. P

ผล P

ต�วอย้#างการใช้�เที่ค่นื้�ค่ที่!" 2ในื้การพ�จารณีาการให�เหต%ผล

(ต#อ) ต�วอย้#างที่!" 3 การอ�างเห้ต�ผลต(อไปนิ'1 สมเห้ต�สม

ผลห้ร)อไม(เหต% P

ผล P v Q

ข�อเสนื้อแนื้ะของการใช้�เที่ค่นื้�ค่ที่!" 2

เทำคนิ�คนิ'1ไม(ต�องจ#ามาก แต(ต�องใช้�กฎการสมมลคล(องๆห้นิ(อย้

ถ�าม'เห้ต�ค(อนิขั�างมาก การใช้�กฎอาจจะย้ากขั51นิ

เที่ค่นื้�ค่ที่!" 3 การสมม%ต�ค่#าค่วามจร�งแล�วด�การข�ดแย้�ง

หล�กการ1 .รวิมเห้ต�ก�บผลเขั�าด�วิย้ก�นิแบบนิ'1 (S1 ^ S2 ^ … ^ Sn) -

> Q

2. สมม�ต�ให้�ประพิจนิ�ในิขั�อ 1 ม'ค(าควิามจร�งเป2นิ เที่5จ3. ห้าค(าควิามจร�งขัองแต(ละประพิจนิ�ย้(อย้

ถ�าประพิจนิ�ย้(อย้ม'ค(าควิามจร�ง ข�ดก�นื้ แสดงวิ(าม�นิเป2นิเทำ3จไม(ได� ให้�สร�ปวิ(า สมเหต%สมผล

ถ�าประพิจนิ�ย้(อย้ม'ค(าควิามจร�ง สอดค่ล�องก�นื้ แสดงวิ(าม�นิเป2นิเทำ3จได� ให้�สร�ปวิ(า ไม#สมเหต%สมผล

ต�วอย้#างการใช้�เที่ค่นื้�ค่ที่!" 3ในื้การตรวจสอบการให�

เหต%ผล ต�วอย้#างที่!" 1 จงพิ�จารณาวิ(าจากเห้ต�และผลทำ'*

ก#าห้นิดให้� สมเห้ต�สมผลห้ร)อไม(เหต% 1 P v Q

2. ~P

ผล Q

ต�วอย้#างการใช้�เที่ค่นื้�ค่ที่!" 3ในื้การตรวจสอบการให�

เหต%ผล ต�วอย้#างที่!" 2 จงพิ�จารณาวิ(าจากเห้ต�ผลทำ'*

ก#าห้นิดให้�นิ'1สมเห้ต�สมผลห้ร)อไม(เหต% 1. P -> Q

2. Q

ผล P

ค่(าถืาม ???