平成 29 年 4 月入学及び平成 28 年 9 月入学

大学院修士課程・専門職学位課程入学試験

物質理工学院 材料系

筆答専門試験科目

想 定 問 題

平成 28 年 1 月

東京工業大学 ※ 出題される分野、問題数等本想定問題の内容は、実際の試験問題とは異なる場合があり

ます。 ※ 各系の試験概要については，２月上旬に公表予定です。 ※ 本入学試験にかかる募集要項は，４月上旬に本学ホームページで公表し，志願票等を含 む冊子を５月上旬より配布する予定です。

1

1

2

[ ] [ ]

3

[[ ] .

(1) .

A B

(2)

[ ] 3 3

(1) A

(2) (1)

(3) A

(4) A 3 3

4

[ ] [ ]

5

[[ ]

1

2

6

[ ] ε0

0

(a) 1 O aε a Q

(1) O r E (r)

(2) O r φ (r)

(3)

(b) O a A 2a B

B

2 A B O

ε1 ε2

A Q

(4) O r E (r)

(5) A

(6)

1 2

a a

a a O

2a ε1 ε2

A

ε1

a O OO

1

A

B

7

[ ] [ ]

8

[ ]

9

10

[[ ]

11

12

[ ] [ ]

13

[ ]

14

[[ ]

15

16

1

1

1

2

3

4

5

1

4 1

2

[ 1]

1) (11) 1,5- (22) 5

a) 1 2 A b) 3 4 c) 3 4 (TLC)

RfRf

i) TLCI – VI

50 TLCTLC 3

TLC 100

ii) LiAlH4

TLC80

• • • • • • • • • • • • • • • • • •

I II III IV V VI

LiAlH4

O

OO

OEt

CH3CH2CO2H + (CF3CO)2O

1

3 4 5

EtO OEt

O O

OH

Br Br

2

NaOEt

A

1) NaOH, H2O2) H2SO4, H2O,3) EtOH, H+,

EtOH

THF

3

2) 11 5

a) 1 2 . b) 3 4 c) 1 4 1

4 50

d) 4 56 50

e) 4 5

HN

CH3CHO

H2N

Br

NH3

1 2 3

O

HO

O

H2N1) SOCl2

2) NH3

N

4

+

5 6

4

1)

a) A A'

b)

c) B a b d) C Birch D

e) DD D' D' E

5

2) TGT

a) 3

[2.2.2]

[2.2.2]

i) TTGT ii)

iii)

b) TTGT aa ~ dd c) b 2 3 .

200 d) A, BB, C

6

1) ΔSΔG R 1 mol T Vi

Vf pi pf

a) w q

b) a)

c) T

p 1 2

1 M1 2

M2

i) 1 2

ii)

V1

p

n1 mol

V2

p

n2 mol

V1 V2 p (n1 n2) mol

7

2)

a) CmHn

CmHn CmHn 2 H2

i) p0

Kp p0

xe

ii) p0

b)

A B C

A B 1 t 0 A B [A]0 [B]0 t τ

[A] [B]

i) A [A]0, [B]0, k, t 0 t τ x

ii)

8

1) m r

a) Schrödinger

i)

r = Schrödinger (A )

ii) i) A ml

A E

b)

r =

l

i) l = 2, ml = 0

N

ii) θ 0 θ

π,

9

2)

a)

i) Nernst

ii) a(H+) = 1.0 –0.090 V

R = 8.3 J K–1 mol–1, T =

300 K, F = 97000 C mol–1 ln10 = 2.3

iii) io α η

i Butler-Volmer A, B

Butler-Volmer

i = i0 [exp(A /RT)－exp(B /RT)]

iv) T = 290 K −0.1 V −0.2 V

α = 0.5,

e = 2.7, −0.1 V

10

[ ]

1) a)~c)

2)

3) 2 2 2 A B

2 A-A B-B

A B NA NB NA/NB = rt A PA

a)

b) t A B

c) t

4) a)~c) 100

a) b) c)

nC C O CH2 CH2 O

OOCH2 CH

Cln (CH2)5C N

HO

n

c)a) b)

11

[ ]

1)

100 2) HDPE LDPE

100

3) a)~b) ( )

a)

<R2><S2> l n

<R2>- l 1.54×10-10 m 5000

<R2>1/2 m b)

4) a)~c) 100

a) b) c)

12

[ ]

1) a) f) 4

a) b) - - c) d) e) (100) f)

2)

a)

b)

c) b)

d)

c) ,

13

,

e) a) d)

14

[ ]

1)

a) XX

i)

ii) iii)

b)

c)

100 μm2, 20 mm

i) ii)

iii)

d)

X

2

15

2)

200 MPa 30°

a)

b)

c)

50

d)

200

1

.

7

CaCO3(s) CaO(s)

CO2(g)

ΔrGo T

ΔrGo

(a), (b), (c) p(bar) CO2(g) Δμ=μo−μ(p)

μo μ(p) 1 (bar) p (bar)

(a), (b), (c) p

CO2(g)

(a), (b), (c) A, B, C

Al(OH)3 Co3O4

H = 1 O = 16 Al = 27 Co = 59

6.02 1023 /mol

Al(OH)3 DTA-TG

Al(OH)3

Al(OH)3

Al(OH)3 Co3O4

CoO CoAl2O4 Al

1.08 mass%

CoO CoAl2O4 Z

Z (nm) (nm3)

CoO 4 0.420 0.0741

CoAl2O4 8 0.810 0.531

ZnO .

Zn Pt (a)

Zn ZnO SEM

Zn ZnO (b)

. ZnO

(b) Kröger&Vink

. ZnO Zn/ZnO Kröger&Vink

ZnO p n

. ZnO

1

[1] 図 1に示すような断熱壁で囲まれたシリンダー内の気体について熱

p1

p1

p2

p2

(a) (b)

図 1

力学的に考える。このシリンダーの中央部には気体が徐々に透過で

きるような材料（透過材）が詰められている。また、そのすぐ下に

は気体を通さない仕切り板（非透過板）が挿入されており、上部と

下部のシリンダーには断熱性のピストンが取り付けられている。は

じめ、すべての気体は下部のシリンダー内にあり（図 1(a)）、気体

の圧力が p1、体積が V1となるように、下部のピストンに外部から

一定の力が加えられている。その後、非透過板を取り除くと、気体

は透過材を通って徐々に上部のシリンダーに移動する（図 1(b)）。

ここで、気体が移動する全過程において、上部および下部のシリン

ダー内の気体の圧力は、それぞれ p2（p1 > p2）、p1 に保たれるよ

うに、二つのピストンに力が加えられているとする。初期状態にお

いて、下部のシリンダーにある気体の絶対温度を T1、内部エネル

ギーを U1として以下の問に答えよ。ただし、透過材の部分を占める気体の体積は無視できるものとする。

(a) 下部のピストンを最後まで押し上げた時、シリンダー上部に移動した気体の体積が V2、温度が T2になっ

た。このとき、系の内部エネルギーを U2 として、V2 を求めよ。

(b) (∂T/∂p)を定圧熱容量 Cp、膨張係数 α = (∂V/∂T )p/V を用いて表せ。必要であれば、マクスウェルの

関係式 (∂S/∂p)T = −(∂V/∂T )pを用いても良い。ただし、T は温度、pは圧力、V は体積、S はエント

ロピーを表す。

(c) この気体が理想気体であるとき、シリンダーの上部に移動した気体の温度 T2 を求めよ。

(d) この気体がファン・デル・ワールス気体であるとき、シリンダーの上部に移動した気体の温度はどうな

るか、物理的理由とともに答えよ。

＜次ページに続く＞

– 1 –

[2] 質量m、角振動数 ωの 1次元調和振動子を考える。運動量演算子 p、位置演算子 qを用いるとハミルト

ン演算子 H は

H =1

2mp2 +

mω2

2q2 (i)

と表される。ここで、交換関係 [q, p] = qp− pq = ihである。ただし、iを虚数単位、プランク定数 hを

2πで割ったものを hとする。2つの演算子

a =

√mω

2h(q +

i

mωp), a† =

√mω

2h(q − i

mωp) (ii)

を考える。この演算子を用いるとハミルトン演算子は

H = (a†a+1

2)hω (iii)

となる。次にエルミート演算子 n = a†aを用いると

H = (n+1

2)hω (iv)

となる。nの固有値を n、規格化された固有関数を |n〉とすると、固有方程式 H|n〉 = En|n〉のエネルギー固有値 En は

En = (n+1

2)hω, ただし n = 0, 1, 2, · · · (v)

で与えられる。以下の問に答えよ。

(a) 交換関係 [a, a†] = 1となることを示せ。

(b) 式 (i)と式 (ii)から式 (iii)を導け。

(c) 状態 |n〉に演算子 a†、aを作用すると

a|n〉 = √n|n− 1〉 (vi)

a†|n〉 = √n+ 1|n+ 1〉 (vii)

となることを示せ。

(d) n = 0の状態を |0〉とするとき、|n〉状態を演算子 a† と |0〉で表せ。

＜次ページに続く＞

– 2 –

[3] 温度 T で熱平衡状態にある粒子 C1、C2からなる系について考える。C1、C2にはそれぞれ無磁場でスピ

ン縮退した 1電子エネルギー準位が 3つあり（図 2参照）、これら C1、C2のエネルギー準位をそれぞれ

n1個、n2個の電子が占めているとする。無磁場における基底状態、第 1励起状態、第 2励起状態のエネ

ルギーがそれぞれ 0, ε, 2εであるとして、以下の問に答えよ。ただし、3つの 1電子状態にスピン縮退以

外の縮退はないとし、また、ボルツマン定数を kB、電子スピンの磁気モーメントの大きさを μB とせよ。

(a) 粒子 C1に電子が 1個あり、粒子 C2に電子がない場合（n1 = 1、n2 = 0のとき）について考える。磁場

B の中でのこの系の分配関数を求めよ。

(b) (a)のとき、ヘルムホルツ自由エネルギー F を求めよ。

(c) (a)のとき、磁化M = −∂F/∂B および磁化率 χ = limB→0

(∂M/∂B)を求めよ。

(d) 2個の粒子に合計で 2個の電子がある場合（n1 + n2 = 2のとき）について考える。それぞれの粒子に電

子が 1個ずつある場合（n1 = n2 = 1のとき）、磁場 B の中でのこの系の分配関数と磁化率を求めよ。

0

2

　

-

– 3 –

1

8 1

2

[ 1]

1) (11) 1,5- (22) 5

a) 1 2 A b) 3 4 c) 3 4 (TLC)

RfRf

i) TLCI – VI

50 TLCTLC 3

TLC 100

ii) LiAlH4

TLC80

3

2) 11 5

a) 1 2 . b) 3 4 c) 1 4 1

4 50

d) 4 56 50

e) 4 5

4

1)

a) A A'

b)

c) B a b d) C Birch D

e) DD D' D' E

5

2) TGT

a) 3

[2.2.2]

[2.2.2]

i) TTGT ii)

iii)

b) TTGT aa ~ dd c) b 2 3 .

200 d) A, BB, C

6

3

1)

A

B

C D E

F G

H

(I) (II) (I)

N2H4 + H2O N2H5+ + OH– (I) N2H5+ + H2O N2H62+ + OH– (II)

a) (1s)2(2s)2(2p)1

b) ( )

c) A H

i) A H ii)

d) C G

i)

ii)

e) ( )

7

i)

ii) i) 1.77 V

f) (I), (II) i)

ii) pKb 15.05 N2H62+ pKa

iii) ii) pKa

2)

1/8 1/6 1/4 1/3 1/2

p n

a) ,

b) ( ) i) pn

ii)

8

E 2C3 3C2 σh 2S3 3σv h = 12 A1’ 1 1 1 1 1 1 x2+y2, z2

A2’ 1 1 –1 1 1 –1 Rz E’ 2 –1 0 2 –1 0 (x,y) (x2–y2, xy)

A1” 1 1 1 –1 –1 –1 A2” 1 1 –1 –1 –1 1 z E” 2 –1 0 –2 1 0 (Rx, Ry) (zx, yz)

[ 4]

1) 1, 22, 33

1, 22, 33

1 B–Br

1 22 2

2

1, 22, 33

Cr(CO)6, Mn2(CO)10, Fe(CO)5, Co2(CO)8, Ni(CO)4

9

2)

a) trans-Pt(X)2(PR3)2 Y trans-Pt(X)(Y) (PR3)2

b) trans-Pt (H)(Br) (PPh3)2 1H NMR

31P 195Pt 1/2 31P195Pt 100, 34 % －

JP‒H = 26 Hz, JPt–H = 1240 Hz

c) PtII (5d)8 16

d

d) [Ni(CN)4]2– [NiBr4]2–

e) Wacker [(cis-CHD=CHD)PdCl2]2

OH–

10

1) ΔSΔG R 1 mol T Vi

Vf pi pf

a) w q

b) a)

c) T

p 1 2

1 M1 2

M2

i) 1 2

ii)

V1

p

n1 mol

V2

p

n2 mol

V1 V2 p (n1 n2) mol

11

2)

a) CmHn

CmHn CmHn 2 H2

i) p0

Kp p0

xe

ii) p0

b)

A B C

A B 1 t 0 A B [A]0 [B]0 t τ

[A] [B]

i) A [A]0, [B]0, k, t 0 t τ x

ii)

12

13

2)

a)

i) Nernst

ii) a(H+) = 1.0 –0.090 V

R = 8.3 J K–1 mol–1, T =

300 K, F = 97000 C mol–1 ln10 = 2.3

iii) io α η

i Butler-Volmer A, B

Butler-Volmer

i = i0 [exp(A /RT)－exp(B /RT)]

iv) T = 290 K −0.1 V −0.2 V

α = 0.5,

e = 2.7, −0.1 V

14

[ 7]

1) a)~c)

2)

3) 2 2 2 A B

2 A-A B-B

A B NA NB NA/NB = rt A PA

a)

b) t A B

c) t

4) a)~c) 100

a) b) c)

15

[ 8]

1)

100 2) HDPE LDPE

100

3) a)~b) ( )

a)

<R2><S2> l n

<R2>- l 1.54×10-10 m 5000

<R2>1/2 m b)

4) a)~c) 100

a) b) c)