คณตศาสตร ม.3 เทอม 1 - 1 -

บทท 8 อตราสวนตรโกณมต 1. รปสามเหลยมคลาย บทนยาม รปสามเหลยมใด ๆ ทมขนาดมมเทากน 3 มม เรยกวา รปสามเหลยมทคลายกน มสมบตดงน 1. สามเหลยมสองรปจะคลายกนกตอเมอ สามเหลยมคนนมมมเทากน 3 ค 2. ถาสามเหลยมสองรปคลายกนแลว อตราสวนของดานทอยตรงขามมมทเทากนยอมเทากน

จากรป Δ ABC ~ Δ XYZ ดงนน XYAB

= YZBC

= ZXCA

นนคอ zc

= xa

= yb

จาก xa

= yb

จะไดวา ba

= yx

: จาก yb

= zc

จะไดวา cb

= zy

และจาก xa

= zc

จะไดวา ca

= zx

2. อตราสวนตรโกณมต (Trigonometric Ratio) หมายถง อตราสวนของความยาวของดานของรปสามเหลยมมมฉาก

จากรป Δ ABC เปนสามเหลยมมมฉาก โดยม C เปนมมฉาก และ A เปนมมทเราพจารณา โดยเรยกแตละดานดงน

AB คอ ดานตรงขามมมฉาก แทนความยาวของดาน c AC คอ ดานประกอบมมฉาก แทนความยาวของดาน b BC คอ ดานประกอบมมฉาก แทนความยาวของดาน a อตราสวนของความยาวทงสามของดาน มชอเรยกดงน

sin A = มมมฉากดานตรงขาความยาวของ

A มมมดานตรงขาความยาวของ นนคอ sin A =

ca

cos A = มมมฉากดานตรงขาความยาวของ

A มมดานประชดความยาวของ นนคอ cos A =

cb

tan A = A มมดานประชดความยาวของA มมมดานตรงขาความยาวของ

นนคอ tan A = ba

C

A B

b a

c z

y x

Z

X Y

B

A C b

c a

THAI CADET

คณตศาสตร ม.3 เทอม 1 - 2 -

ตวอยาง กาหนดรปสามเหลยมมมฉาก ABC ม C เปนมมฉาก และ 17 sin B = 8 จงหาคาของ 1.) cos A + sin A 2.) tan A + cos B 3.) sin A + tan B วธทา เนองจาก 17 sin B = 8

ดงนน sin B = 178

วาดรปสามเหลยมมมฉาก ABC จะได AB2 = AC2 + BC2 ดงนน BC2 = AB2 – AC2 = 172 – 82

BC = 22 817 − = 225 ∴BC = 15

1.) cos A = ABAC

= 178

sin A = ABBC

= 1715

ดงนน cos A + sin A = 178

+ 1715

= 1723

2.) tan A = 8

15

cos B = 1715

ดงนน tan A + cos B = 8

15 +

1715

= 15 ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +

171

81

= 136375

3.) sin B = 178

tan B = 158

ดงนน sin B + tan B = 178

+ 158

= 8 ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +

151

171

= 255256

ตอบ

A

8

C B

17

THAI CADET

คณตศาสตร ม.3 เทอม 1 - 3 -

อตราสวนตรโกณมต (Trigonometric Ratio) อก 3 อตราสวน ซงกาหนดดวยบทนยาม ดงน 1. เซแคนตของมม A เขยนวา secant A เขยนยอ sec A คอสวนกลบของ cos A

นนคอ sec A = A cos

1 เมอ cos A ≠ 0

2. โคเซแคนตของมม A เขยนวา cosecant A เขยนยอ cosec A คอสวนกลบของ sin A

นนคอ cosec A = Asin

1 เมอ sin A ≠ 0

3. โคแทนเจนตของมม A เขยนวา cotangent A เขยนยอ cot A คอสวนกลบของ tan A

นนคอ cot A = Atan

1 เมอ tan A ≠ 0

3. อตราสวนตรโกณมตของมม 30°, 45° และ 60° อตราสวนตรโกณมตของมม 45° หาไดจากรปสามเหลยมมมฉากหนาจว ซงดานประกอบมมฉากยาวดานละ 1 หนวย และมมทฐานกางมมละ 45° อตราสวนตรโกณมตของมม 30° และ 60° หาไดจากรปสามเหลยมดานเทา ยาวดานละ 2 หนวย แลวลากเสนแบงครงมมยอดมาตงฉากและแบงครงฐาน สรปคาอตราสวนตรโกณมตของมม 30°, 45° และ 60° ไดดงตารางตอไปน

ตารางแสดงอตราสวนตรโกณมตของมม 30°, 45° และ 60° มม

อตราสวน 30° 45° 60°

sin 21

22

23

cos 23

22

21

tan 33

1 3

cosec 2 2 3

32

sec 3

32 2 2

cot 3 1 33

1 2

1 45°

45°

2 2 1 1 60° 60°

30° 30°

3

THAI CADET

คณตศาสตร ม.3 เทอม 1 - 4 -

สาหรบมมทกมมทมขนาดระหวาง 0° และ 90° ( 0° < A < 90° ) สามารถหาคาของ sinθ, cosθ และ tanθ จากตารางตอไปน

อตราสวน sinθ cosθ tanθ cosecθ secθ cotθ มม 0° 0 1 0 – 1 – – หมายถง หาคาไมได มม 90° 1 0 – 1 – –

อตราสวนตรโกณมตของ มม 30 และ 60 องศา อตราสวนตรโกณมตของ มม 45 องศา ตวอยาง จงหาคาของจานวนทกาหนดใหตอไปน

1.) sin 30° + cos 60° 4.) (sin 45°) (cos 45°) – (sin 30°) (cos 60°)

2.) o

o

45cos45sin

+ tan 45° 5.) 2)30(tan 2)60(tan °°

3.) 2)45(sin 30(tan 3 °+°

sin 30° = 21

; cos 30° = 23

; tan 30° = 3

1

sin 60° = 23

; cos 60° = 21

; tan 60° = 13

sin 45° = 2

1 ; cos 45° =

21

; tan 45° = 1

เราทราบคาตรโกณมตหมดทกขอแลว มาเรมทาแบบฝกหดกนไดเลยครบ.

1.) sin 30° + cos 60°

วธทา sin 30° + cos 60° = 21

+ 21

= 1

2.) o

o

45cos45sin

+ tan 45°

วธทา o

o

45cos45sin

+ tan 45° = 12

12

1+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ÷ = 1 + 1 = 2

2 2 1 1 60° 60°

30° 30°

3 1 2

1 45°

45°

45°

30° 2

3

1

1

1 45°

60°

2 THAI CADET

คณตศาสตร ม.3 เทอม 1 - 5 -

3.) 2)45(sin 30(tan 3 °+°

วธทา 2)45(sin )30(tan 3 °+° = 3 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

31

+ 2

21⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ =

21

33+ โดยท

33

= 3

3.3 = 3

= 21

13+ =

2132 +

4.) (sin 45°) (cos 45°) – (sin 30°) (cos 60°)

วธทา (sin 45°) (cos 45°) – (sin 30°) (cos 60°) = ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

21

.21

21

.2

1 =

41

21− =

412−

= 41

5.) 22 )30(tan )60(tan °°

วธทา 22 )30(tan )60(tan °° = 22

31

13

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ =

31

13− =

319−

= 38

ตอบ

ความสมพนธของอตราสวนตรโกณมต sin A . cosec A = 1 cos A . sec A = 1 tan A . cot A = 1

tan A = A cosAsin

cot A = Asin A cos

AcosAsin 22 + = 1

ntansec 22 − = 1

AcotAcosec 22 − = 1

ตวอยาง กาหนด 13 cos A = 5 จงหาคา sin A และ cot A

วธทา จาก 13 cos A = 5 จะได cos A = 135

แลวลองวาดรป จะไดรปดงน

จากทฤษฎบทของพทาโกรส ; 132 = x2 + 52 x2 = 132 – 52 = 144 x = 144 = 12 หนวย

ดงนน sin A = 1312

และ cot A = Atan

1 =

5121

= 125

ตอบ

13 x

θ 5 A

THAI CADET

คณตศาสตร ม.3 เทอม 1 - 6 -

ตวอยาง จงหาคา x จากสมการ x sin 60° cos 30° = 43

วธทา จากรป sin 60o = 23

และ cos 30o = 23

โจทยกาหนดให x sin 60o cos 30o = 43

x ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

23

23

= 43

x ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

43

= 43

ดงนน x = 43

x 34

= 1

จะได x = 1 ตอบ

4. การนาไปใช ตวอยาง เสาตนหนงทอดเงายาว 28 เมตร แนวของเสนตรงทลากผานจดปลายของเงาเสาธง และยอดเสาธงทามม 30°

กบเงาของเสาธงน จงหาความสงของเสาธงน วธทา เขยนรปเพอใหเขาใจงาย ๆ ไดดงน เงาเสาธง ยาว 28 เมตร

กาหนดใหเสาธงสง x เมตร จากอตราสวนตรโกณมตเทยบความยาว 2 ดานทเราทราบ และตองการหา ตามลาดบ

tan 30° = 3

1 =

เมตร 28 หรอ เงาเสาธงx หรอ ธงความสงเสา

3

1 =

28x

จะได x = 3

28

ดงนน เสาธงสง 3

28 เมตร ตอบ

30° 3

1 60°

2

30°

60°

x

2

3

30°

60°

1

THAI CADET

คณตศาสตร ม.3 เทอม 1 - 7 -

ตวอยาง ชายคนหนงอยบนหนาผารมทะเล ซงสงจากระดบนาทะเลอย 92 เมตร เขามองเหนเรอลาหนงเปนมมกม 45° จงหาวาเรออยหางจากยอดหนาผากเมตร

วธทา สมมตใหเรออยหางจากหนาผา x เมตร

จากอตราสวนตรโกณมต tan 45° = หนาผาความสงของ

บหนาผาหวางเรอกระยะหางระ = tan 45° =

11

92x

= 1

ดงนน เรออยหางจากหนาผาเปนระยะ 92 เมตร ตอบ ตวอยาง นตท.รกสงบ ยนอยบนตกหลงหนง เมอมองลงไปยงถนนหนาตก เหนรถมอเตอรไซตคนหนงแลนชา ๆ ขณะท

รถแลนถงจด A มมมกม 15° อก 6 วนาท แลนถงจด B มมมกม 30° ถารถมอเตอรไซตแลนไปไดชวโมงละ 60 กโลเมตร จงหาวา 1.) A และ B หางกนกเมตร 2.) ตกนสงกเมตร

วธทา ตอบ พจารณาความเรวของรถ คอ 60 กม. / ชม. หมายความวา ใน 1 ชม. หรอ 3,600 วนาท แลนไดระยะทาง 60 กม.

ถารถวง 6 วนาท แลนไดระยะทาง 600,3

606× =

101

กม. หรอ 100 เมตร

ดงนน A และ B หางกน 0.1 กโลเมตร หรอ 100 เมตร

พจารณารปตอไปน

ระยะหางระหวางเรอและหนาผา 1

1 45° 2

45°

92 m.

45°

1

A

75°

15°

C

B 15°

30° 15°

15°

75° 30°

2

C

B A 3 ground

60°

30°

B A

30°

15°

ground ระยะทาง x กโลเมตร

เวลา 6 วนาท

แนวระดบสายตา

THAI CADET

คณตศาสตร ม.3 เทอม 1 - 8 -

จากอตราสวนตรโกณมต tan 30° = 3

1 =

m. 100 ABงตกบความสงขอซงเทาก CB

=

ดงนน ความสงของตก = 3

100 m.

จะไดวาตกท นตท.รกสงบ ชะโงกหนามาดรถวง มความสง 3

100 เมตร ตอบ

ตวอยางแบบฝกหด เรองอตราสวนตรโกณมต

1. จงหาคา x จากสมการ tan 45° – °60cos2 = x sin 45° cos 45° tan 60° ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

23

ตอบ

2. จงหาคา x จากสมการ x sin 30° °45cos2 = °°°°

60cos.30sin45tan.60tan2

(16) ตอบ

3. จงหาคา x จากสมการ °−° 453xcot30cosec 22 = °60sec2 2 ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−

34

ตอบ

4. จงหาคาของ 8 2)30(cos ° – 3 2)60(tan ° + 4 2)60(sin ° (0) ตอบ

5. จงหาคาของ °°+°°°

−°°

30tan60sin245cos

45tan45sin60tan30cos2

(1) ตอบ

6. นตท.กลาหาญ ยนหางจากตกหลงหนง 165 เมตร สงเกตเหนยอดตกเปนมมเงย 30° เมอเขาเดนไปอกระยะหนงแลว

สงเกตเหนยอดตกหลงเดมเปนมมเงย 45° อยากทราบวา เขาเดนเขาไปอกประมาณกเมตร (กาหนดให 3

1 ⋍ 0.577)

(ตอบ 96.7 หรอประมาณ 70 เมตร)

7. นตท.ศกดชาย สง 5 ฟต ยนอยหางเสาโทรเลข 14 ฟต มองดยอดเสาโทรเลขเปนมมเงย 72° เสาโทรเลขสงกเมตร (กาหนดให

tan 72° = 3.078) (ตอบ 48.092 ฟต หรอ 12.93 เมตร)

8. นตท.ภกด ยนอยกลางสนาม สงเกตเหนยอดเสาธงเปนมมเงย 30° ถาเขาเดนไปหาเสาธงอก 50 เมตร เขาสงเกตเหนยอดเสา

ธงเปนมมเงย 45° ถา นตท.ภกดสง 160 เซนตเมตร เสาธงสงกเมตร (กาหนดให 3 ⋍ 1.732) (ตอบ 69.9 เมตร หรอประมาณ 70 เมตร)

9. เงาของเสาโทรเลขตนหนง ยาว 15 ฟต เมอมมเงยของดวงอาทตยเปน 58° จงหาความยาวของเงาเสาโทรเลขตนน เมอมมเงย

เปน 27° (กาหนดให tan 58° = 1.6 และ tan 27° = 0.5) (ตอบ 48 ฟต) 10. เสาไฟฟาสองตนสงเทากน อยหางกน 100 ฟต ชายคนหนงยนอย ณ จดหนงระหวางเสาไฟสองตนนบนแนวเสาตนเดยวกน

กบโคนเสาไฟฟาทงสองตน เขามองดยอดเสาไฟฟาเปนมมเงย 30° และ 60° จงหาวาเขายนอยหางจากเสาไฟฟาตนแรกกฟต (ตอบ 25 ฟต)

11. สเหลยมผนผารปหนง กวาง 8.72 นว และยาว 14.3 นว จงหามมทเสนทแยงมมทากบฐาน วากางประมาณกองศา

(กาหนดให tan 59° = 1.64) (ตอบ 31 องศา)

12. ถา 1x , 2x เปนคาตอบของสมการ 060sec30cot45tan 2222 =+°−° xx แลว 1x และ 2x มคาเทาใด (ตอบ 1x = 1, 2x = 2)

13. คาของ x จากสมการ 160sec30tan530cos45sin 222 −=°°−°° xecx มคาเทาใด (ตอบ 3 และ 31

)

14. จงหาคา x จากสมการ °°°

°°=°°

60cos45sec45cot

30sin60tan30cos60sin 22

2

ecx (ตอบ

31

)

THAI CADET

ถงนองๆ ทกคนครบ ทกเดอนมนาคม เดอนททกโรงเรยนปดเทอม หลายๆ คนหยดอยบานอยางสบายใจ หลายคน

ไปเทยวตางจ งหวด ในขณะท เดกผชายมฝนอกหลายๆ คนเกบกระเปาและหอบหนงสอกองโตไปฝงต ว

ทโรงเรยนกวดวชาเตรยมทหารตามทแตละคนไดไปสมครเรยนไว เพอวงตามความฝนของแตละคน จรงๆ แลว

การเตรยมตวสอบเขาเตรยมทหารนนไมใชเรองงายๆ เพราะในแตละปจะมเดกๆ ม.3 หรอเทยบเทา (จบ ม.3 แลว

แตอายยงไมเกน 17 ป) จากท วประเทศลงสนามสอบแขงขนรวมกบนองๆ เหลาละประมาณ 20,000 – 25,000 คน

แตมคนทพรอมสาหรบการสอบจรงๆ เพยงเหลาละไมเกน 1,000 – 1,500 คนเทานน สงเกตไดอยางชดเจนถงผลสอบ

รอบแรกของทกๆ เหลา (เนองจากแตละเหลาทพเปดโอกาสใหคน 1 คน สามารถสมครและเขาสอบไดมากกวา 1 เหลา) วา

คนทสอบตดเหลาหนงแลว มกจะสอบตดเหลาอนๆ ดวย แนนอนมคนสอบตดรอบแรก 4 เหลา ในขณะทอกมมหนง

เปนมมทใหญมากๆ นนคอคนทสอบไมตดกจะสอบไมตดสกเหลา ซงมเยอะมากๆ คดเปนประมาณ 92% - 95%

ของผสมครสอบเลยทเดยว คาถามคอ สอบเตรยมทหารมนยากขนาดนนเลยหรอ ??? ใชครบ สาหรบคนทไมเคยสมผสสนามสอบระดบประเทศลกษณะน จะยงไมเขาใจความรสกของการทา

ขอสอบวชาหลกท ง 5 วชา ทมท งความยากและจานวนขอทมากมาย ภายใตระยะเวลาทจากด แลวเราตองทาใหได

มากกวาคนอนๆ ดวย มนใหความรสกกดดนขนาดไหน และยงกวานน เมอประกาศผลสอบแลว ถาคนทเรารจก หรอ

เพอนของเราสอบตดแตเราสอบไมตด เมอเพอนเรากาวเดนตอไปในเสนทางทท งเขาและเราเลอกทจะฝาฟนแลว

ท งเขาและเรากอยากทาใหได แตเราทาไมได ความรสกทเกดขนมนเปนอยางไร ??? ดงนน การจะเรยนกวดวชา เฉพาะเพยงไมก ว น ก เดอน แลวจะมาคาดหว งว า เราจะทา ไดน น

มนเปนไปไมไดครบ ยกเวนนองๆ จะเรยนเกงโครตๆ เกงจรงๆ ประเภทเหนโจทยป บแลวสามารถตความและแกปญหา

โจทยขอนนๆ ไดอยางรวดเรวและไมมขอผดพลาด แตการจะไปใหถงจดนนไดเราตองอาศยการฝกฝนอยางตอเนอง

ตงแตการทาความเขาใจความรพนฐานในวชาทใชในการทาการสอบ การทาแบบฝกหดใหมากทสดเทาทจะทาได และ

การตะลยทาโจทยขอสอบเกา รวมท งขอสอบจากแหลงอนๆ ทมความยากในระดบทใกลเคยงกนใหเยอะทสดเทาท

จะทาได เพอใหเราเชยวชาญและมความม นใจวา เราสามารถทาขอสอบจรงไดดไมแพกบสงทเราฝกฝนเชนกน

เพราะคาวา อยากได กบ ทาได มน “สะกดตางกนนดเดยว”

แตเมอตองทาจรง ๆ แลว … “ไมใชทกคนทจะทาได”

THAI CADET

thaicadet จงใหความสาคญกบการเตรยมตวต งแตแรกๆ เปนอยางมาก เปรยบเสมอนเรามเวลา 1 ป สาหรบ

การสรางบานหลงเลกๆ หลงหนง หลายคนคดวา เดยวคอยทา เดยวคอยทา ไปทาเอาตอนเดอนตลาคม 2555 และ

เดอนมนาคม 2556 กทน ในขณะทถาเราเรมทา ณ วนน เดอนน แลวทาไปเรอยๆ เตรยมพนดน ตงเสาเอก เทพน

กอผนง เดนสายไฟฟา นบจากวนน, กลางเดอนมถนายน 2555, จนถงเดอนตลาคม, พฤศจกายน 2555 เรากไดสราง

บานเลก ๆ ของเราไปไดมากแลว เราไดเจอปญหาตางๆ และแกปญหาทเราไมเขาใจนนๆ ไปมากมาย ทาใหม

ประสบการณในการแกโจทยปญหาตางๆ ไมวาจะเปนรปแบบใดกตาม นองๆ ลองคดงายๆ วา เมอถงปลายเดอน

พฤศจกายน 2555 ทมการสอบโครงการชางเผอกของโรงเรยนนายเรออากาศแลว คนทเตรยมตวต งแตวนน กบคนท

ไมไดเตรยมตวอะไรเลย ใครจะทาผลสอบไดดกวากน ??? และเพราะเวลาเดนไวมาก เมอถงเดอนมนาคม 2556 บานหลงเลกๆ ทเราพยายามสรางต งแตวนน กเสรจ

สมบรณ เปรยบเสมอนความร ความคด ประสบการณในการแกโจทยปญหาของเรานนมมากมายเตมเปยม เราจงพรอม

สาหรบการสอบเตรยมทหารจรง ในชวงปลายเดอนมนาคม 2556 เปนตนไป ในขณะทคนอก 95% ทเพงจะมาขยน

ในเดอนมนาคม 2556 เขาเหลานนจงไมมทางทสรางบาน, ทตองใชเวลาทาจรงๆ 1 ปเตม, ใหเสรจภายในเวลา

1 เดอนได จรงไหมครบ ??? สทธพเศษ : สาหรบนองๆ ทเรยนพเศษกบ thaicadet.org 1. พวกเราจะเปนทปรกษา แนะแนวทาง และรวมกนวางแผนการเตรยมตวสอบ รวมทงแผนการอานหนงสอตลอดทงป 2. ไดรบสวนลดคาเรยนพเศษลดลง 2,000 บาท ในคอรสเรยนตอ ๆ ไป 3. สาหรบคอรสเรยนปดเทอมเดอนตลาคม : ลดคาเรยน 50% ใหแกนอง ๆ ทผานการสอบคดเลอกเขาเปนนกเรยนเตรยมทหาร ภาควชาการ

ในปทผานมา 4. สาหรบคอรสเรยนปดเทอมเดอนมนาคม : ลดคาเรยน 50% ใหแกนอง ๆ ทผานการสอบคดเลอกเขาเปนนกเรยนเตรยมทหาร ภาควชาการ

ในปทผานมา หรอนองทสอบผานเกณฑไดรบคดเลอกเขาเปนนกเรยนโครงการชางเผอก โรงเรยนนายเรออากาศ ประจาป 2556 5. สาหรบคอรสเรยนปดเทอมเดอนมนาคม : นอง ๆ ทสามารถสอบตดเปนนกเรยนเตรยมทหารได “thaicadet คนเงนคาเรยนใหท งหมด” หมายเหต : ทกคอรสเปดรบสมครตลอดเวลา ... ทงนเพอเปนการลดภาระของทานผปกครอง thaicadet จะคดคาเรยนลดหลนตามจานวนวนท

เหลออยเทานน และยนดทบทวนเนอหาวชาใหกบนองๆ ทมาเรยนทหลงดวยครบ

คอรสตวเขมปดเทอมเดอนตลาคม 2555 ราคา 17,000 บาท (หนงหมนเจดพนบาทถวน) เรมเรยน วนอาทตยท 7 ตลาคม ถง วนอาทตยท 28 ตลาคม 2555 (รวม 22 วน)

“เกดมาชวตหนง จะมโอกาสสกกคร ง” ตวนองเทานน ทจะตอบคาถามนไดครบ

เวบไซตนายรอยไทย : บนไดขนแรกสรวโรงเรยนเตรยมทหาร “เราจะปนเดกธรรมดาคนหนง ใหเปนนกเรยนเตรยมทหาร”

www.thaicadet.org www.facebook.com/thaicadet www.youtube.com/thaicadet

e-mail : hat3744@hotmail.com โทร. 087 561 2511 และ 086 571 4623

THAI CADET

THAI CADET

THAI CADET

THAI CADET