§ 3.1

目的与要求 :◆掌握环的概念及相关例子 .

◆掌握几种特殊环的概念以及之间的联系 .

第三章 环与域

§3.1 环的定义

预备知识：加群：设 G 为一个交换群 , 若将 G 中的运算称为加法 , 则称 G 为一个加群 ,G 中的运算用” +” 来表示 .

注意 : 1 加群 G 中的单位元称为零元，记为 0;G中元 素 a 的逆元称为 a 的负元（简称负 a） , 记为－ a.

2 加群 G 中的一些符号和运算规则也将随之发生改变 .

, , ,

, ,

a b S a S a b S

a b S a b S

3 设 S 加群 G 的一个非空子集 , 则 S为 G 一个子群

定义 3.1.1 设 R 为一个非空集合 ,R 中带有两个运算 : 加法 ( 记为” +”) 和乘法 ( 记为” .”). 假如满足 1. R 关于加法是一个加群； 2. R 关于乘法是一个半群； 3. 两个分配律 : 左分配律 : 右分配律 : 则称 R 是一个结合环，简称 R 是一个环 , 记 (R,+,.,0) 是 一个环 .

( )

( ) , , , .

a b c a b a c

b c a b a b c a b c R

；

注 :

(3) 环中的运算顺序为：有括号先算括号，无括号的先算乘法后算加法．

(2) 乘法 a b 通常简写成 ab.

(1) 由于环 R 关于加法是一个加群，故 R 中一定有零元 0 ，即 R ，且对0 , .a R a R 有

例 1 R＝ {0,a ,b ,c }. 加法和乘法由以下两个表给定：

则 R 对于上述两种运算构成一个环．

(1) R 是一个加群 ① 封闭性，② 结合律，③ 零元， ④ 负元， ⑤ 交换律．

证明

(2) R 是一个乘法半群：    ①封闭，结合律 .

(3) 满足左、右分配律．

例 3 数域 F 上的 n 阶方阵的全体关于矩阵的加法和乘法 构成一个环，称为 F 上的 n 阶方阵环，记为 ．( )nM F

例 2 易证 :（ 1 ）全体整数关于数的普通加法和乘法构成 一个环，称为整数环，记为 或简记为 ．( , , ,0,1)Z Z

例 4  设 R＝ {模 m 的剩余类 }={[0],---,[n-1]} ，规定运算为             ，        ． 可以证明 R 关于上述运算构成一个环，称之为模 m 的剩余类环，记为 ，或 ．

nZ/Z nZ

（２）全体有理数（实数、复数）关于数的普通加法 和乘法构成一个环，称为有理数域，记为 （ 、 ）或简记为 （ 、 ）．

( , , ,0,1)Q ( , , ,0,1)R ( , , ,0,1)C CQ R

定义 3.1.2   若环 R 的乘法满足交换律，即 ， ，则称 R 是一个交换环．,a b R

例 、 、 、 、 都是交换环，而 则不是交换环．Z Q R CnZ ( )nM F

注 : 在交换环中，二项式定理成立 , 即 n 为正整数 . 但在一般环中二项式定理未必成立 .

( )n n nab a b

定义 3.1.3 若 R 的乘法半群是一个乘法幺半群，则称 R是 一个有单位元的环，其中乘法单位元 通常记为 1 ， 此时环 R 通常也称为含幺环．例 、 、 、 都是含幺环，单位元就是数 1 ， 、 是 含幺环．单位元分别是 [1]和 n 阶单位矩阵 . 这也说明含 幺环中的单位元 1 并非就是普通整数 1 ．

Z Q R C nZ ( )nM F

nE

注 : （ 1 ）并非所有的环都是含幺环 如 ＝ { 所有偶数 }． R 对于数的普通加法和乘法 作成一个环，但是 R 没有单位元．

2Z

（ 2 ）若 R 是有单位元的非零环，则 R 中的零元与单位元 一定不相等．注意，零环 也是一个含幺环． 故约定在今后的讨论中，含幺环总是指非零环．

{0}R

（ 3 ）含幺环中的单位元总是惟一存在的．（ 4 ）在含幺环 R 中，规定 　0 1, .a a R

注 :（ 1 ）若 b是 a 的一个逆元，则 a 也是 b 的一个逆元．（ 2 ）逆元未必存在，如非零环中的零元．但逆元 若存在，则必是惟一存在的．

定义 3.1.4   一个有单位元环的一个元 叫做元 的一个逆 元，假如 ，此时也称 a 是一个可逆元 , 记 . 1b a

（ 3 ）若 a 可逆，则 ．1( ) ,nna a n Z

（ 4 ）也有左逆、右逆的概念（见第二章）．定义 3.1.5    若是在一个环里 但 则称 是这个环的一个左零因子， 是一个右零因子． 若 a 既是一个左零因子，又是一个右零因子，则 称 a 是一个零因子．

0, 0a b 0ab

注 : （ 1 ）在交换环中，左零因子、右零因子、零因子 的概念是统一的 .

（ 3 ）乘法可逆元一定不是左、右零因子．

（ 2 ）在非交换环中，左零因子、右零因子、零因子 的概念是不统一的 . 如 在特殊矩阵环 中 , 元素

是一个左零因子 , 但不是右零因子 .

0,

0

aR a b Z

b

0 0

0 1

定义 3.1.6 不含左、右零因子的环称为无零因子环．

例 、 、 、 都是无零因子环，而 (n 是合数 ) 、 不是无零因子环．

Z Q R C nZ ( )nM F

注 :

推论 3.1.2 环 R 的乘法满足左消去律 R 是无零因子环 R 的乘法满足右消去律 .    

定义 3.1.7  有单位元的无零因子的交换环叫做整环 . ( )nM F例 、 、 、 都是整环，而 、 (n 是合数 ) 、

不是整环．nZ2ZZ Q R C

可以证明：R 是无零因子环　　　　　　　　　 R 中非零元素之积仍非零．

" , , 0 0 0"a b R ab a b 有 或

定理 3.1.1 环 R 是无零因子环 R 的乘法满足左、右消 去律 .  

定义 3.1.8   一个环 R 叫做一个除环（或体、斜域），假如

（ 1） R 中至少包含一个不等于零的元　 (即 R 中至少有两个元素 ) ； （ 2） R 有单位元； （ 3） R 的每一个不等于零的元有一个逆元． 交换的除环叫做域．例 、 、 都是域 .Q R C

命题 3.1.3  (1) 除环是无零因子环． (2) 设 R 是一个非零环，记 ， 则 R 是除环 对于 R 的乘法构成一个群，称之 为除环 R 的乘法群． (3) 在除环 R 中， ，方程 和 在 R 中都有惟一解．

*

{ | 0} \{0}R a R a R *

R

( 0) ,a R b R ax b ya b

定理 3.1.4  一个至少含有两个元素的无零因子的有限环 是除环．

注 : 在除环 R 中 ， 与 未必相等． 若 R 是域，则 ，统一记为 ，称为 b 除以 a 的商，易知商具有与普通数相似的一些性质

( 0) ,a R b R 1a b 1ba

1 1a b ba b

a

例 设 是实数域 上 的四维向量空间， 为其一组基，规定基元素 之间的乘法为：

将其线性扩张为 中的元素之间的乘法．则 关于 向量的加法和上面定义的乘法构成一个除环，称之 为（ Hamilton) 四元数除环或四元数体．

0 1 2 3 0 1 2 3{ | , , , }H a a i a j a k a a a a R1, , ,i j k

2 2 2 1i j k (1) , ,ij k jk i ki j (2)

H H

推论 3.1.5  有限整环是除环．

( , ,0)R 是 Abel 加群 左、右分配律

幺半群

无零因子环半群

交换环Abel半群

（含幺环）

群 除环Abel群

域

整环

环的定义示图

* \{0}R R

是乘法半群) ,( R),,( R环

① 环

有单位元的环

交换环②

无零因子环 ④ 非交换环③整

环⑤

除环⑥

域⑦

例①可取偶数环 ；2Z

例②可取数域 F 上的 n阶方阵环 ；( )nM F例③可取模 n 的剩余类环 (n 是合数 ) ；nZ

例④可取四元数除环 的子环

H

例⑤可取整数环 或数域 F 上的一元多项式环

Z

[ ];F x

例⑥可取四元数除环 ;H

例⑦可取 或 或 Z Q .R

环的关系图

§ 3.2- § 3.3 目的与要求 :◆掌握无零因子环的特征的概念及性质． .

◆掌握子环的概念及判别准则 ; 掌握同态、同构的定义及基本性质．

§3.2 无零因子环的特征

例 假定 是两个循环群，其中 ， 它们的代数运算用＂＋＂来表示 , 即 . 作集合 . 定义运算为

　 那么 R 显然作成一个环．但这个环的元（ a,0 ）对于加 法来说的阶是 n ，元（ 0， b ）的阶是无穷大．

1 2( ), ( )G a G b ( ) , ( )o a n o b

1 2{ | }, { | }G ka k Z G mb m Z {( , ) | , }R pa qb p q Z

1 1 2 2 1 2 1 2

1 1 2 2 1 2 1 2

( , ) ( , ) ( , );

( , )( , ) (0,0), , , , .

p a q b p a q b p a p a q b q b

p a q b p a q b p p q q Z

上例说明了 : 在一个环中，两个不为零的元素对于加法的 阶可能不相同．

在什么样的特殊环，两个不为零的元素对于加法的阶是相同的？

定理 3.2.1   在一个没有零因子的环 R 中，所有非零元 （对于加法而言）的阶都是相同的 .

证明 如果 R 的每一个非零元的阶都是无限大，那么结论显然成立．

0 a R 若存在 ， a 阶是有限整数 n ． ，则有

( 0)b R

0 ( ) ( ) 0.0

R

na b a nb nba

无零因子

从而， b 的阶 ( ) ( ).o b n o a 同样可得， ．故有 ( ) ( )o a o b ( ) ( ), , .o a o b a b R

定义 3.2.1 　一个无零因子环 R 的非零元的相同（对加法

来说的）阶叫做环 R 的特征，记为 Ch(R) ．如 域 的特征为 p (p 为素数 ) ．p

注 : (1) 若无零因子环的非零元的阶为无穷大，则称其特征为 0. 如 Ch( )=Ch( )=Ch( )=Ch( )=0 .Z Q R C

(2) 对于特征为 0 的环 R ， 成立 .0 0, ( 0)

m

a ma a a m Z

个

定理 3.2.2   如果无零因子环 R 的特征是有限整数 n ，那么

n 一定是个素数．证明 假设 n 不是素数， 0 a R 任意

，

有 ,矛盾 .但

推论 3.2.3  域 F 的特征要么是 0 ，要么是一个素数 p ．

例 设 R 是特征为 p 的交换环，则对 有 ,a b R ( ) .p p pa b a b

证明 由于 R 是交换环，故有1 1 1 1( ) .p p p p p pp pa b a c a b c ab b

| , 1, , 1.ipp c i p 注意

由 Ch(R)=p 可知， 0, 1, , 1.i p i ipc a b i p

于是结论成立 .

§3.3 子环与同态

定义 3.3.1   设 R 是环， S是 R 的一个非空子集．若 S 对于 R 的代数运算来说作成一个环，则称 S是 R 的一个子环， 也称 R是 S 的一个扩环，记做 .S R

类似的，可以定义子整环，子除环，子域的概念 .如 2 .Z Z Q R C

注 : （ 1 ）任意环 R 都至少有两个子环： 0和 R ，称之为 R 的平凡子环 .（ 2 ）设 且 ，则称 S是 R 的一个真子环 .

S RS R

（ 3 ）子环的交仍为子环 .

•判别准则定理 3.3.1 (1)设 R 是环， S是 R 的一个非空子集，则

, , .S R a b S ab S a b S 且

例 1 假设 R 是环，记集合（同每一个元交换的元之集），称为环 R 的中心，则 ．

( ) { | , }C R a R ab ba b R

( )C R R

(2) 设 R 是除环， S是 R 的一个非空子集，则

S是 R 的子除环 1 , , ( 0) .a b S ab S a b S 且

解 由于 的加法群是一个循环群，故剩余类环 的子环关于加法是（ ，＋）的子循环群，共有下面 6 个：

12Z

12Z12Z

1 ([1])S R ； 2 ([2]) {[0],[2],[4],[6],[8],[10]}S ；

3 ([3]) {[0],[3],[6],[9]}S ； 4 ([4]) {[0],[4],[8]}S ；

5 ([6]) {[0],[6]}S ； 6 ([0]) {[0]} 0.S

经检验，它们都是 的子环，从而 有上面的 6 个子环 .

12Z12Z

例 2 求模 12 的剩余类环 的所有子环 ?12Z

附注 设 ， 有下面一些事实：S R1. 在交换性上(1) 若 R 是交换环，则 S 也是交换环；(2) 若 S 是交换环，则 R 未必是交换环．

2. 在有无零因子上(1) 若 R 无零因子，则 S 也是无零因子；(2) 若 S 无零因子，则 R 未必无零因子． 

3. 在有无单位元上(1) 　若 R 有单位元，则 S 未必有单位元；(2) 　若 S 有单位元，则 R 未必有单位元．

定理 3.3.2   设 为环同态．

(1)若 0是 R 中的零元，则 f(0)是 R＇中的零元； (2) (3)若 ，则 ；

(4) 若 ，则

: 'f R R

( ) ( ), ;f a f a a R S R ( ) 'f S R' 'S R 1( ') { | ( ) '} .f S a R f a S R

定义 3.2.2 　设 和 是环， 为映射．若 f保持 运算，即对任意 有

则称 f 是环 到 的一个同态． 同样有单同态、满同态、同构的概念．

: 'f R R,a b R ( ) ( ) ( );

( ) ( ) ( )

f a b f a f b

f ab f a f b

'R

'R

R

R

1. 在交换性上

2. 在有无零因子上

3. 在有无单位元上

注意  设 为环的满同态．则环 R与 R＇在 很多性质上有一定的联系，但并不完全一致． 例如有如下几条：

: 'f R R

(1) 　若 R 是交换环，则 R＇也是交换环；(2) 　若 R＇是交换环，则 R 未必是交换环．

(1) 　若 R 无零因子，则 R＇未必无零因子；(2) 　若 R＇无零因子，则 R 未必无零因子．

(1) 　若 R 有单位元 1 ，则 R＇有单位元 f(1) ；(2) 　若 R＇有单位元，则 R 未必有单位元．

定理 3.3.3   假定 则R 是整环（除环、域） R＇是整环（除环、域）．

'R R

　引理 3.3.4   假定在集合 A与 A ＇之间存在一个一一映 射 f ，并且 A 中有加法和乘法，可以 A ＇中定义加 法和乘法，使得 是同构映射．

: 'f R R定理 3.3.5  （挖补定理）  假定 S 是环 R 的一个子环，S 在 R 里的补足集合（这就是所有不属于 S的 R 的元作 成的集合）与另一个环 S ＇没有共同元，并且 那么存在一个与 R 同构的环 R＇，而且 S＇是 R＇的 子环． 

'S S

注意 : 设 为环同构．则环 R 与 在代数性质上 完全一致 .

: 'f R R 'R

§ 3.4- § 3.5 目的与要求 :◆掌握多项式环的概念 , 理解未定元的定义及存在

性． ◆熟练掌握理想的概念与性质、以及主理想的概念

和特殊环条件下主理想的元素形式．

§3.4 多项式环

定义 3.4.1设 , 记集合 在 中规定运算如下：

则 构成一个环，称之为 R 上的关于 的多项式环 称 中的元素为 R 上的关于 的多项式．

'R

0 1 0 1[ ] { | , , , , }.nn nR a a a a a a R n Z

0 1 0 1 0 0 1 1

0 1 0 1 0 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) );

( ) ( ) , .

n n nn n n n

n m nn m n k i j

i j k

a a a b b b a b a b a b

a a a b b b c c c c a b

其中

[ ]R [ ]R

[ ]R

本节中的环均指有单位元的交换环．设是环 的子环，且二者有相同的单位元 .

R'R

注 : （ 1 ） 是 R＇中包含 R 和 的最小子环 .

[ ]R （ 2 ）与高等代数中类似，对每个 ，可以定义 的次数、系数、首项系数等．

( ) [ ]f R ( )f

定义 3.4.2 设 ，若不存在不全为零的元素 使得 ，则称 是环 R 上的 一个未定元．称 R 上关于 的多项式为 R 上的一元多 项式．

'x R0 1, , , ma a a R

0 1 0,mma a x a x m Z x

x

环 R 上的未定元是否存在？

定理 3.4.1   假设 R 是一个有单位元的交换环，则一定存在 环 R 上的未定元 ，因此 R 上的一元多项式环 是 存在的．

x [ ]R x

定理 3.4.1   假设 R 是一个有单位元的交换环， n 为任意 正整数，则一定存在环 R 上的 n 个无关的未定元 ，因此 R 上的多元多项式环 是存在的．

1, , nx x1[ , , ]nR x x

( 其中无关的意思是指 )1

1 1 1

1

1 0 0, .n

n n n

n

iii i n i i i i

i i

a x x a a R

定理 3.4.2   假设 和 都是有单位元 的交换环 R 上的多元多项式环，若 是 R 上 的 n 个无关的未定元，则一定存在环的同态满射

1[ , , ]nR x x 1[ , , ]nR 1, , nx x

1 1 1 1[ , , ] [ , , ]; ( , , ) ( , , ).n n n nR x x R f x x f

§3.5 理想与商环问题引入： 设 R 是一个环， A 关于 R 中的加法构成 R 的

一个子加群，则有商加群 其加法为： 我们想让其成为一个环，于是引入乘法： .

/ { | }R A x A x R ( ) ( ) ( )x A y A x y A

( )( ) , , .x A y A xy A x y R

上述定义的乘法是否有意义？即：

若 1 2 1 2 1 1 2 2, , ?x A x A y A y A x y A x y A 是否定义 3.5.1 设 R 是一个环， 是 R 的一个非空子集，若满足 （ i）      （ ii） 则称 是环 R 的一个理想（ Ideal ），记为 ．

, , ;a b I a b I .ar I ra I a I r R 且 ， ，I R

I

I

注 : (1) 理想一定是子环，反之未必．

(3) 有左、右理想的概念．(2)设 R 是有单位元的环， ，则　 I R 1 .I R I

(4) 对于任意环 R， {0}和 R 都是理想，分别称之为 零理想和单位理想 .

(5) 任意多个理想的交仍为理想，但并则未必 .

定义 3.5.2 　只有零理想和单位理想的环称为单环．

定理 3.5.1   除环是单环．

证明 假设 R 是除环 {0} I R 则存在非零元素 a I

于是有 11 a a I ，从而 .I R

例 1设 R 是整数环 ，则 n 的所有倍数之集 构成 R 的一个理想．

,Z n Z ( ) { | }n nk k Z

例 2 设 R[x] 为环 R 上的一元多项式环，则所有如下形式的 多项式 之集作成 R[x] 的一 个理想．定义 3.5.3 　设 R 是一个环， T是 R 的一个非空子集，则

称 R 中所有包含 T 的理想的交为由 T 生成的理想，记为

(T), 即 . 特别地，若 T={a} ，则简记 (T)为 (a) ，称 之为由 a 生成的主理想．

( )T I R

T I

．

显然， (T)是 R 中包含 T 的最小的理想 .

定理 3.5.2 　设 R 是环， 则 a R

1 1( ) {( ) | , , , , , }.m m i ia x ay x ay sa at na x y s t R n Z m Z

推论 3.5.3 　设 R 是环， 则 （ 1 ）当 R 是交换环时， （ 2 ）当 R 有单位元时， （ 3 ）当 R 是有单位元的交换环时，

a R ( ) { | , }.a sa na s R n Z

1 1( ) { | , }.m m i ia x ay x ay x y R ( ) { | } .a Ra ra r R aR

1{ , }nT a a R 推论 3.5.4 　设 R 是环， , 则 1 1( ) { | ( ), 1, , } ( ) ( ).n i i nT x x x a i n a a

此时记 (T) 为 1( , , ).na a

例 假定 是整数环 上的一元多项式环，求理想 ， 并判断其是否为 的主理想．

[ ]Z x (2, )x[ ]Z x

解 因为 是有单位元的交换环，故[ ]Z x

1 2 1 2

0 0

(2, ) {2 ( ) ( ) | ( ), ( ) [ ]}

{2 ( ) | ( ) [ ], },

x f x xf x f x f x Z x

a xf x f x Z x a Z

即 刚好包含所有常数项是偶数的整系数多项式 . ． (2, )x

下面证明 不是一个主理想： (2, )x

事实上，若存在 ( ) [ ], (2, ) ( ( )),p x Z x x p x 使得

则存在 ( ), ( ) [ ]h x g x Z x 使得2 ( ) ( ), ( ) ( ).p x h x x p x g x

考虑次数和系数可得 ( ) 1p x ，于是(2, ) [ ],x Z x

矛盾 .

I R

x I [ ]x

定理 3.5.3 设 R 是环， ，则 R/I 构成一个环，称之

通常也记为

，称之为 x 所在的等价类或

为 R 关于理想 I 的商环（剩余类环）．其中元素

x模 I 的剩余类．例 任意 n∈Z， (n)={nk|k∈Z} 整数环 的一个理想， 则有商环 / ( ) { ( ) | } {[0], ,[ 1]},Z n k n k Z n

[ ] { | }, 0, , 1.i i kn k Z i n 其中称之为模 n 的剩余类环，一般记为 / .nZ nZ Z或

练习： 求 /12Z Z的所有理想？ (提示：考虑 的所有子加群 .)/12Z Z

§ 3.6- § 3.7 目的与要求 :◆掌握环的同态基本定理、极大理想的概念与相关

性质． ◆了解商域的概念以及它的存在与唯一性．

§3.6 同态与理想

定理 3.6.1 设 是环， ，则存在自然的满同态

R I R : / ; [ ], .R R I a a a R

定理 3.6.2 （同态基本定理）设 是环 到环 的一个 同态映射，则 (1) ，称 为同态 的核；　　 (2) ； (3) .

R 'R

{ | ( ) 0}Ker x R x G Ker( ) 'R R

/ ( )R Ker R

推论 3.6.3 设 是环 到环 的一个同态满射，则 .

R 'R/ 'R Ker R

注 : 和群论中一样，还有其他一些同构定理（如方块定理、对应定理、分式定理等）．

定理 3.6.4 设 是环 到环 的一个同态满射，则 R R

( ) ⅰ 则 （即子环的象是子环）；,S R ( )S R

( ) ⅱ 则 （即理想的象是理想）；,I R ( )I R

( ) ⅲ 则 （即子环的原象是子环）；,S R 1( )S R

( ) ⅳ 则 （即理想的原象是理想） 且

I R 1( )I R

1/ / ( ).R I R f I

证明 完全类似于第二章定理 2.9.4．

定义 3.6.1 　假设 R 是环， ．若不存在 R 的理想 I使得 ，则称 M是 R 的一个极大理 想（最大理想）．记作 ．

M R M R 且M I R

max

M R

注 :（ 1）M是 R 的一个极大理想当且仅当只有 R 是真正 包含 M 的理想．（ 2 ）一个环可能没有极大理想，也可能有很多个极 大理想．

例 1 设 p 是一个素数，则由 p 生成的主理想 (p) 是整数环 的 一个极大理想 .

证明

故 (p) 是一个极大理想．

由于 ，则 设 N 是包含 (p) 的一个理想1 ( )p ( ) .p Z

若 ，则 ．

( )p N \ ( )q N p

由 p 是素数知， q与 p互素，于是可以找到整数 s和 t ，使得 .1sp tq 注意 ，而且 N 是理想，所以p N 1 ,N N Z

注 : 在下章我们将会看到， 整数环 R 的极大理想一定具有形式 (p)， p 是一个素数．

命题 3.6.5 　假设 R 是环， ,则 是单环．

M R M R 且

max

/M R R M

证明

所以 M是 R 的极大理想．

( ) 设M是 R 的极大理想， ，则有 0 /I R M 1 I R

又由 知 ，( ) 0M 1M I

再由 M 的极大性得 ，从而 1 I R /I R M

即有 是单环．/R M

假设存在 R 的理想 I使得 ,则 ,

( ) M I R

0 /I R M

由条件知 ．于是 I=R ． /I R M

引理 3.6.6 　假设 R 是有单位元的交换环．若 R 是单环， 则 R 一个域．证明

所以 R 是一个域．

，则 . 于是 ,( 0)a R 0 ( )a R ( )a R

故由条件知单位元 ，从而存在元素 ，使得 , 即 可逆 .

1 ( )a b R1ab ba a

命题 3.6.7 　假设 R 是有单位元的交换环， , 则 是域．

M R M R 且

max

/M R R M

例 2 设 p 是一个整数，则 R/(p) 是域 是素数．p

§3.7 商域

众所周知， ．Z Q

1936年， A.Makev 给出了一例子：存在一个无零因子的非交换环 R， R 不被任何除环包含．从而也否定了上述问题 2.

由于域中无零因子，因此上述问题 1 的答案是否定的 .

对于任意环 R ，是否存在域 F ，使得  ？R F

对于任意无零因子环 R, 是否存在域 F ，使得 ?R F

对于任意整环 R ，是否存在域 F ，使得  ？R F

定理 3.7.1 任意整环 R 都可以扩充成一个域 F ，即存在 一个域 F ，使得 

.R F

定理 3.7.2设 R 整环，记集合 ， Q 中的 运算类似于普通数的运算，则 Q 是一个域，且 称 Q为 R 的商域．

| , , 0a

Q a b R bb

R Q

该定理说明了整环的商域是存在的．注 :

定理 3.7.3 　同构的整环的商域也是同构的．

注 : 该定理说明了整环的商域在同构的意义下是惟一存在的．