Διαγώνισμα 3ο: Επίπεδο Γ΄

(παλιά θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων)

2ο Κεφάλαιο Άλγεβρας – Μιγαδικοί Αριθμοί

Παράγραφοι: 2.1 – 2.2 – 2.3

Διάρκεια διαγωνίσματος: … ώρες

Ημερομηνία Εξέτασης: ………. Οκτωβρίου 2014

Στοιχεία μαθητή:

……………………………….……………………………

Βαθμός (100) …………

Βαθμός (20) …………..

2015

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος για το http://lisari.blogspot.gr 1/1/2015

ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ΄ ΤΑΞΗ

ΤΕΛΟΣ 2ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ΄ ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

………………….. ……. ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ 2014 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ

ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4)

ΘΕΜΑ Α

Α1. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί 1 2z ,z . Να αποδείξετε ότι: 1 2 1 2z z z z .

Μονάδες 11

Α2. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη

Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση.

Για κάθε μιγαδικό αριθμό z ισχύει:

α. 2

z z z β. 2 2z z γ. z - z δ. z z ε. i z z

Μονάδες 5

Α3. Έστω ο μιγαδικός αριθμός z = α + β i με α, β R, να γράψετε στο τετράδιό της τα γράμματα

της Στήλης Ι του επόμενου πίνακα, και δίπλα σε κάθε γράμμα τον αριθμό της Στήλης ΙΙ που

αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

Στήλη Ι Στήλη ΙΙ

A. Re(z)

Β. Im(z)

Γ. -z

Δ. z

Ε. z

ΣΤ. z z

1. -α – βi

2. α – βi

3. α + β

4. α

5. 2 2α β

6. α2 + β

2

7. β

Μονάδες 9

ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ΄ ΤΑΞΗ

ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

ΘΕΜΑ Β

Δίνεται ότι ο μιγαδικός αριθμός 1

1 i 3z

2

είναι ρίζα της εξίσωσης z

2+βz+γ=0,

όπου β και γ πραγματικοί αριθμοί.

Β1 . Να αποδείξετε ότι β = –1 και γ = 1.

Μονάδες 9

Β2 . Να αποδείξετε ότι 3

1z 1

Μονάδες 8

Β3 . Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του μιγαδικού αριθμού w, για τον

οποίο ισχύει:

11w z z

Μονάδες 8

ΘEMA Γ

Έστω ότι οι μιγαδικοί αριθμοί z1, z2 είναι οι ρίζες εξίσωσης δευτέρου βαθμού με πραγματικούς

συντελεστές για τις οποίες ισχύουν

z1 + z2 = –2 και z1⋅z2

= 5

Γ1. Να βρείτε τους μιγαδικούς αριθμούς z1, z2

Μονάδες 5

Γ2. Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς w ισχύει η σχέση

|w – z1|2 +|w – z2|

2 = |

z1 − z2|

2

να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των w στο μιγαδικό επίπεδο είναι ο κύκλος με

εξίσωση 2 2x 1 y 4

Μονάδες 8

Γ3. Από τους μιγαδικούς αριθμούς w του ερωτήματος Γ2 να βρείτε εκείνους για τους οποίους

ισχύει 2⋅Re(w) + Im(w) = 0

Μονάδες 6

Γ4. Αν w1, w2 είναι δύο από τους μιγαδικούς w του ερωτήματος Γ2 με την ιδιότητα

|w1 – w2|=4,

να αποδείξετε ότι |w1 + w2|=2.

Μονάδες 6

ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ΄ ΤΑΞΗ

ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

ΘΕΜΑ Δ

Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z1 = α + βi και 12

1

2 zz

2 z

, όπου α, β IR με β 0. Δίνεται επίσης

ότι z2 z1 IR .

Δ1. Να αποδειχθεί ότι 2 1z z 1 .

Μονάδες 9

Δ2. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z1 στο μιγαδικό επίπεδο.

Μονάδες 8

Δ3. Αν ο αριθμός 2

1z είναι φανταστικός και α β 0 , να υπολογισθεί ο z1 και να δειχθεί ότι:

2020

11z 1 i z 1 i 0 .

Μονάδες 8

ΟΔΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζόμενους)

1. Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, κατεύθυνση, εξεταζόμενο

μάθημα). Τα θέματα να μην τα αντιγράψετε στο τετράδιο. Τα σχήματα που θα

χρησιμοποιήσετε στο τετράδιο, μπορούν να γίνουν και με μολύβι.

2. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων μόλις σας

παραδοθούν. Καμιά άλλη σημείωση δεν επιτρέπεται να γράψετε.

Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα

φωτοαντίγραφα, τα οποία και θα καταστραφούν μετά το πέρας της εξέτασης.

3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα.

4. Κάθε λύση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή.

5. Διάρκεια εξέτασης: Τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων.

6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: Μιάμιση (1 1/2) ώρα μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων.

KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ