量子情報勉強会

2011/11/30田名部　誠一@n_scattering

2013/11/30 # 量子情報勉強会 ｜３ 〉 1

Agenda

• 1.4 量子アルゴリズム• 1.4.1 量子コンピュータ上の古典計算• 1.4.2 量子並列性• 1.4.3 Deutsch のアルゴリズム• 1.4.4 Deutsch-Jozsa のアルゴリズム• 1.4.5 Quantum algorithms summarizes

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Agenda

• 1.4 量子アルゴリズム• 1.4.1 量子コンピュータ上の古典計算• 1.4.2 量子並列性• 1.4.3 Deutsch のアルゴリズム• 1.4.4 Deutsch-Jozsa のアルゴリズム• 1.4.5 Quantum algorithms summarizes

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1.4.2 量子並列性• 量子並列性 ( 量子パラレリズム ) ：

多くの量子アルゴリズムの基本的な特徴。• 自発的に・過単純化するリスクはあるが

量子並列性は、量子コンピュータに対して、

複数の異なる値のに対して、同時に関数を見積もることを許す。

• このセクションでは、量子並列性の動作と、限界について説明。2013/11/30 # 量子情報勉強会 ｜３ 〉 4

• 　を、 1-bit のドメインとレンジを持った関数と仮定します。

• この関数を量子コンピュータ上で計算する便利な方法は、状態で始まる 2-qubit 量子コンピュータを考えること。

• 論理ゲートの適切な順序で状態を変換可能。

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• の変換 (unitary!)• ： modulo2 の加算

first register : 「データ」レジスタsecond resister : 「ターゲット」レジスタ

• のときは 2nd qubit の final state は。• セクション 3.2.5 で、 を計算する古典回路

が与えられた時に、変換を計算する。等価な量子回路があることを示す。

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Figure 1.17

• この回路について考えよう。は計算基底ではない入力に作用されます。

• とを同時に見積もる量子回路。 はのような入力をとる量子回路

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• 代わりに、 にアダマール (Hadamard) ゲートを作用させて作成できる重ね合わせをデータレジスタに用意します。

• 量子回路状態

が得られます。• これは注目に値する状態です！

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|0 , 𝑓 (0) ⟩+|1 , 𝑓 (1) ⟩√2

量子並列性 ( 量子パラレリズム )

• とについての情報が異なる項に含まれている

• 2 つの に対して、同時にを見積もったことを意味する→量子並列性

• 古典並列：同時にを計算するには、 の個数の回路が必要。

• 量子並列：異なる状態の重ねあわせにより、量子コンピュータの能力を利用することにより、 1 回路で複数のに対する関数を見積もれる。2013/11/30 # 量子情報勉強会 ｜３ 〉 9

アダマール変換• この手順は、簡単にアダマール変換 ( また

は時々ウォルシュ - アダマール変換 ) として知られている一般的な操作を用いて、任意の bit 数の関数に一般化することができる。

• この操作は、 個のアダマールゲートを -qubit に並列に作用させるだけ。

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𝐻 (|0 ⟩|1 ⟩ )= 1

√2 (1 11 −1)(|0 ⟩

|1 ⟩)=( (|0 ⟩+|1 ⟩ ) /√2(|0 ⟩−|1 ⟩ )/√2)

のケース• qubit をすべてと初期化すると、出力とし

て

が得られる。• 2 個のアダマール変換の並列作用を記述す

るために、と書く• はテンソル (tensor)2013/11/30 # 量子情報勉強会 ｜３ 〉 11

(|0 ⟩+|1 ⟩√2 )(|0 ⟩+|1 ⟩

√2 )=|00 ⟩ +|01 ⟩+|10 ⟩+|11 ⟩2

より一般的に• -qubit をすべてと初期化すると出力として

はとりうる値についてすべて足し、この作用をと書こう。

• アダマール変換は、すべての計算基底状態の均等な重ね合わせを生成。

• 個のゲートを使用して個の状態の重ね合わせを作成。

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1

√2𝑛∑𝑥|𝑥 ⟩

• 個の bit の入力と 1bit 出力の関数の量子並列評価

• -qubit 状態をを準備• First qubits にアダマール変換、• Followed by 量子回路実装

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1

√2𝑛∑𝑥|𝑥 ⟩|𝑓 (𝑥) ⟩

• ある意味、量子並列性は、一回だけの関数の評価にかかわらず、関数のすべてのとりうる値を同時に評価することを可能になる。

• しかし、すぐに有用となるわけではない。• Single qubit の例では、状態の測定は、 も

しくはのいずれか一方のみしか与えない。• 一般的な場合もしかり

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1.4.2 のまとめ• 古典コンピュータではこういった処理は

簡単。• 量子計算では、単に量子並列性以上のも

のが有用であることが必要です。•

のような重ね合わせ状態から、 の複数の値に関する情報を抽出する機能が必要。

• 次の 2 つのセクションにわたって、これを行うことができる方法の例を調べる。2013/11/30 # 量子情報勉強会 ｜３ 〉 15

∑𝑥

|𝑥 , 𝑓 (𝑥) ⟩

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• 1.4 量子アルゴリズム• 1.4.1 量子コンピュータ上の古典計算• 1.4.2 量子並列性• 1.4.3 Deutsch のアルゴリズム• 1.4.4 Deutsch-Jozsa のアルゴリズム• 1.4.5 Quantum algorithms summarizes

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1.4.3. Deutsch のアルゴリズム• Deutsch アルゴリズムの実装による図 1.17 の

回路の簡単な修正は、量子回路が古典回路を上回ることができる方法を示しています。– （実際には元のアルゴリズムの単純化＋改良さ

れたバージョンを提示。 see ‘History and further reading’ at the end of the chapter. ）

• Deutsch アルゴリズムは、干渉として知られる量子力学の性質と、量子並列性を兼ね備えています。

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History and further reading

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Qubit の準備• First qubit を準備するために、アダマール

ゲートを使おう。重ね合わせ

• Second qubit を準備するために、状態に、アダマールゲートを使おう。重ね合わせ

• この回路で、何が起こるかを見て状態を追ってみよう。

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Figure 1.19

• Quantum circuit implementing Deutsch’s algorithm

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• Input state

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• is sent through two Hadamard gates

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• Input state

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𝑈 𝑓 |𝑥 ⟩ |0 ⟩−|1 ⟩√2

= (−1 ) 𝑓 (𝑥)|𝑥 ⟩ |0 ⟩−|1 ⟩√2

• の値によって場合分け

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|ψ2 ⟩={±[|0 ⟩ ＋|1 ⟩√2 ][ |0 ⟩−|1 ⟩

√2 ] 𝑓 (0 )= 𝑓 (1)

± [|0 ⟩−|1 ⟩√2 ] [|0 ⟩−|1 ⟩

√2 ] 𝑓 (0)≠ 𝑓 (1)

• The final Hadamard gate on the first qubit thus given us

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|ψ3 ⟩={±|0 ⟩ [|0 ⟩−|1 ⟩√2 ] 𝑓 (0 )= 𝑓 (1)

±|1 ⟩ [|0 ⟩−|1 ⟩√2 ] 𝑓 (0)≠ 𝑓 (1)

• Realize that is 0 if and 1 otherwise, we can rewrite this result concisely as

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|ψ3 ⟩=±|𝑓 (0 )⊕ 𝑓 (1)⟩ [|0 ⟩−|1 ⟩√2 ]

Global property

• 先頭の qubit を測定することによって、 を決定することができる。

• これは確かに非常に興味深い： 量子回路はの評価のひとつ と呼ばれるの global property を決める能力を与えている。

• 少なくとも二つの評価を必要とする古典的な装置で可能であるよりも高速である。

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• この例では、量子並列性と古典的な無作為化アルゴリズムの違いを強調しています。

• 単純に、状態は、の確率半分、またはの確率半分を評価する確率論的な古典コンピュータにむしろ密接に対応していることと思うかもしれません。

• だがしかし

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• 古典コンピュータは： 2 つの選択肢を互いに排除しあう。 (→どちらか一方 )

• 量子コンピュータは：異なる選択肢を再結合するアダマールゲートのようなものを使用して関数 f のいくつかの global property を得て互いに干渉するため 2 つの選択肢を選択することが可能。

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• 多くの量子アルゴリズムの設計の本質は、関数と最終変換の賢い選択が効率的に決定できる。

• 古典的なコンピュータ上で迅速に達成することができない情報関数についての有用なグローバル情報

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• 1.4 量子アルゴリズム• 1.4.1 量子コンピュータ上の古典計算• 1.4.2 量子並列性• 1.4.3 Deutsch のアルゴリズム• 1.4.4 Deutsch-Jozsa のアルゴリズム• 1.4.5 Quantum algorithms summarizes

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1.4.4 Deutsch-Jozsa アルゴリズム• Deutsch のアルゴリズムは、 Deutsch-Jozsa

アルゴリズムのより単純なケース

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Deutsch の問題• アムステルダムのアリス (A) が 0～の範囲

の数を一つ選び、ボストンのボブ (B) に封書で手紙を送る。

• B は、何らかの関数を計算し、 0 か１の結果を返信する。 B は関数に対して、次のような約束をしている。関数は constant/balanced

• A の目標は関数の性質がどちらかであるかを早く見極めること。

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古典の場合• A は一つの手紙での一つの値だけを送るこ

とができる。最悪のケースでは、回、 Aは B に照会しなくてはいけない。

• 回、 0 が返ってきて、その次に 1 が返ってくれば balanced 。

• qubit に置き換えると、 1 回のユニタリー変換で、 Deutsch の問題はかたがつく。

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qubit にすると• アルゴリズムの具体的な手順を図 1.20 に

示す。

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• 入力状態は

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|ψ 0 ⟩=|0 ⟩⊗𝑛|1 ⟩