第 3章 比與比例式

3-2 比例式

一、章節內容

1. 比的相等：兩個比相等，它們的比值也會相等；而兩個 比的比值相等時，則這兩個比也會相等。

2. 比的性質：一個比的前項與後項同乘或同除一個不為 0 的數 字時，它的比值不變。 即 a ： b=(a ×m) ： (b ×m) ， m≠0 a ： b=(a ÷m) ： (b ÷m) ， m≠0 例 1 ： 15 ： 24 = (15 ÷3) ： (24 ÷3) = 5 ：8 例 2 ： 3 ： 5 = (3 ×2) ： (5 ×2) = 6 ： 10

3. 最簡整數比：如果一個比的各項都是整數，且它們的最大公 因數是 1 ，那麼就說這個比是最簡整數比。

4. 比例式：若兩個比 a ： b 與 c ： d (b≠0 ， d≠0) 的比值相同， 則這兩個比相等，可以寫成 a ： b = c ： d ，這類的 等式就做比例式。 a 和 d 叫做這個比例式的外項， b 和 c 叫做這個比例式的內項。

5. 比例積：比例式中的外項乘積等於內項乘積。也就是 若 a ： b = c ： d ，則 ad=bc 。

6. 比值法：如果 x ： y = a ： b (a≠0) ，則 ，也就是 x ： a =y ： b ，由此可設 x=ar ， y=br (r≠0) 。

by

ax

二、範例講解

1. 若 3(x+y) ： 2y=5 ： 2 ，求 (2x+3y) ： (6x-7y) 的比值。 解 : 3(x+y) ： 2y=5 ： 2 23(x+y)=52y

6x+6y=10y6x=4y

x： y = 2： 3

令 x=2r ， y=3r ，則 (2x+3y) ： (6x-7y) =13r： (-9r) = 13： (-9)

913

答 :9

13

2. 設 x ： y=4 ： 5 ，且 2x-y=12 ，求 (x-1) ： (y+1) 的比值。 解 : x ： y = 4 ：5

令 x=4r， y = 5r2(4r)-(5r)=123r=12r=4

(x-1)： (y+1) = (16-1)： (20+1) = 5： 7 = 5/7

答 :75

3. 設 x 、 y 皆為正整數，求滿足 (x-y+1) ： (x+y-3)=3 ： 2的解。 解 : (x-y+1) ： (x+y-3) = 3 ：2

2(x-y+1)=3(x+y-3)2x-2y+2=3x+3y-911=x+5y

x

y 16

21

答 : x=6 、 y=1

注意： x=1 、 y=2 使得 x-y+1=0 所以， x=1 、 y=2 不合。

4. 若 2x-3y+z=2 ，且 3x-2y+2z=4 。 (1) 求 x ： y= ？ (2) 當 x=8 時，求 z= ？

42z2y3x2z3y2x

解 :

(2)42z2y3x(1)42z6y4x

(1)-(2) 得 x-4y=0 x=4y

x： y = 4 ： 1

x=8 時， y=2 2(8)-3(2)+z=210+z=2z= -8

答 : (1)x ： y = 4 ： 1 (2)z= -8

5. 甲、乙兩人每月收入比為 4 ： 5 ，支出比為 6 ： 7 ，若甲每月結 餘 4000 元，乙每月結餘 6000 元，求兩人每月收入各多少元？ 解 : 設甲、乙兩人每月收入分別為 4x 與 5x

甲、乙兩人每月支出分別為 6y 與 7y ，則

60007y5x40006y4x

(2)3600042y30x(1)2800042y28x

(2)-(1) 得 2x=8000 x=40004x=16000， 5x=20000

答 : 甲每月收入為 16000 元、乙每月收入為 20000元

6. 兄弟原有錢數的比為 7 ： 9 ，各用去 60 元後，兄弟剩下錢數 的比為 2 ： 3 ，則兄原有 元，弟原有 元。 解 : 設兄弟原有錢數分別為 7x 與 9x ，則

(7x-60) : (9x-60) = 2 : 3 21x-180 = 18x-1203x=60x=207x=140， 9x=180

答 : 兄原有 140 元、弟原有 180 元

7. 某公司原有員工若干人，女性人數與男性人數的比例為 4 ： 5 ， 今該公司又新進 26 名員工，其中 6 人為女性，最後女性員工占 全體員工的七分之三。試問該公司原有員工多少人？ 解 : 設女性人數與男性人數分別為 4x 與 5x ，則

最後女性員工有 4x+6

最後全體員工有 9x+26

(4x+6) : (9x+26) = 3 : 7 28x+42 = 27x+78x=369x=324

答 : 公司原有 324 人

8. 兄弟二人 4 年前的年齡比為 4 ： 3 ，距今 4 年後的年齡比為 6 ：5 ， 求兄弟兩人現年各是幾歲？ 解 : 設 4 年前兄的年齡為 4x ，弟的年齡為 3x ，則

現年兄的年齡為 4x+4 ，弟的年齡為 3x+4

4 年後兄的年齡為 4x+8 ，弟的年齡為 3x+8

(4x+8) : (3x+8) = 6 : 5 20x+40 = 18x+482x=8

x=4

答 : 兄現年 20 歲，弟現年 16 歲

9. 甲、乙二國中男女生人數之比分別為 5 ： 3 及 3 ： 2 ，二國中 合併後，男女生人數之比為 11 ： 7 ，求甲、乙二國中學生 總數之比為多少？ 解 : 設甲國中男生有 5x ，女生有 3x

乙國中男生有 3y ，女生有 2y

合併後男生有 5x+3y ，女生有 3x+2y

(5x+3y) : (3x+2y) = 11 : 7 35x+21y=33x+22y2x=y

甲、乙二國中學生總數之比 = 8x : 5y = 8x : 10x =4 : 5

答 : 4 : 5

10. 某國中應屆畢業生，參加高中升學考試男女生人數之比為 15 ： 8 ，錄取者男女生之比為 3 ： 2 ，未錄取者男女生之比為 2 ： 1 ，求男生錄取率為多少？ 解 : 設錄取的男生有 3x ，女生有 2x

未錄取的男生有 2y ，女生有y 男生總共有 3x+2y ，女生有 2x+y

(3x+2y) : (2x+y) = 15 : 8 24x+16y=30x+15yy=6x

男生錄取率 =51

12x3x3x

2y3x3x

=20 ﹪

答 : 20 ﹪

三、自我測驗

1. 下列何式中的 x 的值最小？ (A)(x-1) ： 3=(x+1) ： 6 (B)9 ： 15=3 ： x (C)3 ： 5=x ： 20 (D)24 ： x=12 ： 7 。

解 : (x-1) ： 3=(x+1) ：6

6x-6=3x+3 x=3

9：15=3： x

9x=45 x=5

3： 5=x： 20 60=5x

x=14 24： x=12： 7 168=12x

x=12

答 : A

2. 設 x ： y=3 ： 7 ，則 (A)(x+y) ： y=10 ： 7 (B)(x-y) ： y= -4 ： 7 (C)(x+y) ： (x-y)=5 ： (-2) (D) 以上全對 。 解 : (x+y) ： y = (3r+7r) ： 7r = 10 ：7 (x-y)： y = (3r-7r)： 7r = -4： 7

(x+y)： (x-y) = (3r+7r)： (3r-7r) = 5：(-2)

答 : D

3. 若 7 ： 3=7×5 ： 3×a=35 ： b ，則 a 、 b 的大小關係為 (A)a ＞ b (B)a=b (C)a ＜ b (D) 以上皆非 。 解 : a=5 ， b=15

答 : C

4. 下列選項中，那兩個比相等？ (A)11 ： 8 ， 4 ： 3 (B)0.4 ：1.2 ，

0.5 ： 1.3 (C)6 ： 8 ， ： (D)7 ： 6 ， 6 ： 5 。 21

32

11： 8 = 33： 24 ， 4： 3 = 32：24

解 :

0.4： 1.2 = 0.52： 1.56， 0.5： 1.3 = 0.6： 1.56

6 ： 8 = 3 ： 4 ， ： = 3 ： 4

21

32

7： 6 = 35： 30， 6： 5 = 36： 30

答 : C

5. 設 a ： b=8 ： 5 ，且 a-b=1500 ，則 a+b= (A)6300 (B)6500 (C)3400 (D)1200 。

解 : 令 a=8r ， b=5r

8r-5r=15003r=1500r=500

a=4000， b=2500a+b=6500

答 : B

6. 某校共有學生 4607 人，其中男生人數與女生人數的比為 9 ：8 ， 則男生有多少人？ (A)2166 (B)2439 (C)2176 (D)2451 人。 解 : 令男生有 9r ，女生有 8r ，則

9r+8r=4607 r=2719r=2439

答 : B

7. 一條鐵線長 60 公分，按 2 ： 3 的比剪成兩段，每段折成正方形， 則這兩正方形的面積和為多少平方公分？ (A)24 (B)36 (C)117 (D)119 平方公分。 解 : 設兩段鐵線長為 2r 與 3r ，則

2r+3r=60 r=12兩段鐵線長為 24 公分與 36 公分兩正方形的邊長為 6 公分與 9 公分兩正方形的面積和為 36+81=117

答 : C

8. 設 x 、 y 皆不為 0 ，若 5x=4y ，則 (x2+y2) ： (x2-y2) 的比值=

(A) (B) (C) (D) 。 9

41

9

41

41

9

41

9

解 : 5x=4y x : y = 4 : 5

令 x=4r， y=5r (x2+y2) ： (x2-y2)

=(16r2+25r2) ： (16r2-25r2)

=41r2： (-9r2)

9

41

答 : B

9.(x+y) ： (x+2y)=2 ： 3 ，則 (A)x ： y=2 ： 3 (B)(x+3y) ： (x+4y)=5 ： 4 (C)(x+3y) ： (x+2y)=3 ： 4 (D) (2x+3y) ： (x+2y) =5 ： 3 。 解 : (x+y) ： (x+2y) = 2 ： 3 3x+3y=2x+4y

x=y

x： y=1： 1

(x+3y)： (x+4y)=4 ：5(x+3y)： (x+2y)=4： 3

(2x+3y)： (x+2y)=5： 3

答 : D

10. 設 a 、 b 、 c 、 d 都不是 0 ，若 a ： b=c ： d ，則下列何者不成立？ (A)a ： c=b ： d (B)d ： b=c ： a (C)b ： a=d ： c (D)a ： d=c ： b 。 解 : a ： b=c ： d bc=ad

a： c=b： d bc=ad

d： b=c： a bc=ad

b： a=d： c bc=ad

a： d=c： b dc=ab

答 : D

11. 父子兩人五年前年齡比為 3 ： 1 ，若五年後年齡比為 a ： b ，則 (A) (B) (C) (D) 以上皆非 。 1

3ba

13

ba

13

ba

解 : 設 5 年前父的年齡為 3x ，子的年齡為 x ，則 現在父的年齡為 3x+5 ，子的年齡為 x+5

5 年後父的年齡為 3x+10 ，子的年齡為 x+10

13

10x20

310x

2010)3(x10x103x

ba

答 : C

( 假分數分子分母同加正數愈加愈小 )

12. 某公司原有員工若干人，女性人數與男性人數的比率為 5 ：7 ，今該公司又新進 32 名員工，其中 5 人為女性，最後女性員工 佔全體員工的 ，試問該公司原有員工多少人？ (A)100 (B)108 (C)120 (D)140 人。

145

解 : 設女性人數與男性人數分別為 5x 與 7x ，則最後女性員工有 5x+5

最後全體員工有 12x+32

(5x+5) : (12x+32) =5 :14 70x+70=60x+16010x=90x=9

答 : 公司原有 108 人12x=108

13. 已知酒精溶液中，若酒精與水的比為 5 ： 7 ，若水比酒精多 300 公克，則溶液中含酒精 公克。

解 : 設酒精溶液中，酒精重為 5x ，水重 7x ，則 7x-5x=300 2x=300

x=150 5x=750

答 : 750 公克

14. 父子現年年齡比為 10 ： 3 ，五年前父子年齡比為 9 ： 2 ，則 父親現在 歲。

解 : 設現在父的年齡為 10x ，子的年齡為 3x ，則 5 年前父的年齡為 10x-5 ，子的年齡為 3x-5

(10x-5) ： (3x-5) = 9 ： 2

20x-10=27x-4535=7x x=510x=50

答 : 50 歲

15. 兄弟二人經商，最初資本額的比是 7 ： 4 。以後兄損失 5600 元 ，弟獲利 5600 元，則兄弟資本額的比是 5 ： 6 。則兄原有資本 額 元；弟原有資本額 元。 解 : 設兄弟原有資本額分別為 7x 與 4x ，則

(7x-5600) : (4x+5600)=5 : 6

42x-33600 = 20x-28000

後來兄弟資本額分別變為 7x-5600 與 4x+5600 ，則

42x-33600 = 20x+2800022x = 61600 x = 2800 7x=19600； 4x=11200

答 : 兄原有資本額 19600 元；弟原有資本額 11200元

16. 在一群男女生中，男生走了 15 人時，剩下來的男女生之 比為 3 ： 4 ，之後女生走了 11 人時，男女生之比變為 5 ： 3 ，則最初男女生各有多少人？ 解 : 依題意設原有男生有 3x+15 ，女生有 4x

最後男生有 3x ，女生有 4x-11

3x : (4x-11) = 5 : 3 9x = 20x-5555 = 11x x = 53x+15=30； 4x=20

答 : 最初男生有 30 人；女生有 20 人

17. 某年度，報考高中與五專升學考試的人數比為 2 ： 1 ，高中與 五專錄取者之比為 4 ： 1 ，落榜者比為 3 ： 2 ，則高中的錄取率 = 。 解 : 設錄取高中的人數為 4x ，五專的人數為 x未錄取高中的人數為 3y ，五專的人數為 2y

考高中的人數為 4x+3y ，五專的人數為 x+2y

(4x+3y) : (x+2y) = 2 : 1 4x+3y = 2x+4y2x = y

高中錄取率 = 104

6x4x4x

3y4x4x

= 40 ﹪

答 : 40 ﹪

18. 甲、乙兩個人調酸梅湯。甲用 5 杯酸梅原汁加 7 杯水調成， 乙用 4 杯酸梅原汁加 6 杯水調成，則 (1) 甲、乙兩個人所調出的酸梅湯，誰的較酸？ (2) 若甲再添加 7 杯酸梅原汁，則甲需再加多少杯水才和

乙 的酸梅湯一樣酸？ 解 : 甲調出的酸梅湯濃度 =

60

25

12

575

5

乙調出的酸梅湯濃度 =60

24

10

464

4

設甲需再加 x 杯水，則 (5+7) : (12+7+x) = 4 : 10 120 = 76+4x x = 11

答 : (1) 甲 (2)11