第第 33章 电力电子电路与系统的建模与章 电力电子电路与系统的建模与仿真 仿真

电路与系统建模与仿真的概念

电路的计算机仿真需要解决的基本问题是：① 建立电路方程和仿真模型；② 求解电路方程的算法。 除此之外，可视化电路录入、仿真结果的分析与处理以及波形分析等问题也是计算机仿真必须很好解决的关键问题。

3.1 概述

常常用的电路系统仿真方法有如下五种：

小信号分析 离散时域仿真方法 等效电路法 Laplace 变换法 周期时间序列分析

1. 小信号分析

小信号分析是要建立某一个工作点附近的近似小信号线性模型，该工作点由变换器参数、输入电压和负载决定。这样，就可以采用线性系统分析方法对开关变换器的调节控制回路进行设计。但是当输入电压或者负载发生变化时，由于工作点将发生变化，这时该分析方法将受到限制。当变换器的自然频率远小于开关频率的一半时，该方法带来的误差是可以接受的。

开关电源的小信号分析是分析电源变换器动态性能的有力工具，也是系统动态设计的依据。其显著优点在于物理概念清楚，可用伯德 (Bode) 图设计校正环节，因此该方法在电力电子系统的分析、仿真与设计中得到普遍重视。

2. 离散时域仿真方法

电力电子系统是一种强非线性动态系统，要准确地找到其解析解是相当困难的。为此， 1979 年美国弗吉尼亚电力电子技术中心 (VPEC) 的李泽元教授首先提出了开关 DC-DC 变换器的离散时域仿真方法。 80 年代后期，清华大学蔡宣三教授对该方法进行了深入的研究。离散时域仿真方法是研究拓扑变化及元件参数变化对系统瞬态特性影响的有力工具。离散时域仿真方法的基本思路是：利用状态空间法列出非线性系统的分段线性方程，找出状态转移规律，并得出非线性差分方程，用计算机进行求解。运用该方法可以较精确地对开关电源等电力电子系统进行数字分析。

3. 等效电路法 在开关变换器中，开关元件的作用是使某一支路以一定

的占空比接通或断开，所以这些元件的电压和电流平均值常常与电路中另外某条支路的电流或电压的平均值有关。因此，这些元件可近似用一个与占空比有关的受控源来代替。等效电路法就是应用一个载波周期内平均值的概念，把开

关变换器变为一个含有受控源的线性电路，然后用求解线性电路的方法对开关变换器进行稳态和小信号分析。例如图所示的三端开关器件电路可用图中所示的受控源模

型代替。

三端开关电路及其受控源模型

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

U1 U2 U2U1

T

iT

diLiDD

iL

dU1

iLiT

4. Laplace 变换法

Laplace 变换法首先写出网络的频域方程式，得出所求电压或电流的频域表达式，再将其进行 Laplace 反变换，从而得出网络解的时域表达式。

使用 Laplace 变换法对开关变换器进行仿真时，要写出系统的频域方程式是非常困难的。考虑到开关器件的特殊性，通常用时域频域混合方程式来描述电源变换器。

处理开关器件时，引入开关函数

如果以上图所示的理想开关元件模拟上页图中的开关电路，由图可以写出如下的表达式：

（开关断开）（开关闭合）

0

1x

+ -Uab

a bia S

0)1( aab IxxU

那么图中的三端开关器件电路可以写为如下的时域表达式

式中 [x, y] 定义为：

其中阶段 I指晶体管 T导通，二极管 D不导通，阶段 II指晶体管 T不导通，二极管 D导通，阶段 III指晶体管 T 和二极管D都不导通。

0)1(

0)1(

2

21

D

T

IyyU

IxxUxU

)III(

)II(

)I(

00

10

01

][

阶段阶段阶段

yx

+

-

+

-

U1 U2

T

iT

iDD

iL

例 1-1 如图所示为 BUCK 变换器，试用 Laplace 变换法写出网络的频域方程式，以便得出网络解的时域表达式。

T

iT

iDD

iL

E CR

L

iC+

-

U2

+

-

U1

BUCK 变换器

解：首先写出时域额域混合方程式为

0/)()]()([)(

0)()()(0

0)]()([)()(

0)1(

0)1(

2022

021

1

1

RsUtCussCUsI

sIsIsIIII

tLissLIsUsU

IyyU

IxxUxU

L

LDTLDT

LL

D

TE

或

在这五个方程式中，第一个和第二个方程是考虑晶体管 T为理想开关时的时域方程，第三个和第五个方程是频域方程，第四个方程的时域和频域方程形式是相似的。为了区别，方程中的频域量包含 s 。

求解时可以总体求解，也可以分阶段求解。分阶段求解可得出三个阶段的解分别是：阶段 I

1/

)(/)()(

1/

)(/))(/())(/()()(

0

2002

2

20200

1

RsLLCs

tLisUtsLCusU

RsLLCs

tCuRtLisUtLisUsCsIsI

I

UU

LE

LELETL

D

E

阶段 II

1/

)()()(

1/

)(/)()()()(

0

0

2002

2

20200

1

RsLLCs

tLitsLCusU

RsLLCs

tCuRtLitsCLisIsI

I

U

L

LLDL

T

阶段 III

RsC

tCusU

RsC

tCutLisU

II

U

L

LT

/1

)()(

/1

)()()(

0

0

022

0201

1

5. 周期时间序列分析

周期时间序列分析仿真方法是一个稳态仿真方法。由该方法可以获得变换器在一个开关周期的稳态响应波形，由此可以对其进行稳态特性研究及谐波分析。

开关变换器由于开关的接通和断开使得在不同的时刻变换器中各处的电流电压关系完全不同，不能够用一个解析表达式来描述。但是，在每一个时间点处，电流电压的关系却有着确定的关系，因此，如果我们将电流和电压量用一个周期时间序列来表示，则可以得出一个固定的矩阵方程式来描述变换器的特性。

周期时间序列分析仿真方法将随时间变化的有源电路部分单独进行处理，而非时变线性无源网络则单独处理，很容易得出它的矩阵方程式，其方法如下：

对于一个 M 端非时变线性无源网络，正弦稳态方程式的一般形式如下：

1

0

,0;1,0;M

mmkimkik NkMiIZU

式中 i ， m 为节点编号； k 为谐波次数； Uik 为第 i 个节点电位的第 k次谐波电压相量， k=0 时为直流分量； Zimk 为第 i个节点与第m个节点之间的阻抗； Imk 为流入第m个节点的电流。同时将 Ui 表示为傅氏级数，即

NkeUUuN

k

tjkikii ,0)Im(

10

)Im(1

1

00

N

k

tjkM

mmkimkii eIZUu

其中：

2

0

2

0)(cos

1)(sin

1ttdkijttdkiI mmmk

(1)

(2)

(3)

则可以得到：

tktdtkZtkZi

tktdtkZtkZiUu

imkimkm

N

k

M

mimkimkmii

sin)(cos)Im(sin)Re(

cos)(cos)Re(sin)Im(1

2

0

1

1

0

2

00

可以看出，上式包括直流分量和与开关时变有源电路接口处电流作用分量，同时完成了频域到时域的转换。

在进行计算机仿真分析时，计算机能够处理的都是离散量，因此，还必须对上式进行离散化处理，以满足计算机仿真的需要。为此，在每一个基波周期中对端口电流进行 P次采样，以（ ）表示采样值，则上式中的直流分量时域离散值可表示为：

,Pb imb 1,

1

0 10 )(

M

m

P

b

immbi P

RiU

(4)

式 (4) 中的第二项表示与开关时变有源电路接口处电流，该分量进行时域离散后为：

1

0 1 1

1

1

1

0 1

2)(cos)Re(

2)(sin)Im(

2

2sin

22cos)Im(

2sin)Re(

2cos

22cos)Re(

2sin)Im(

1

M

m

P

b

N

kimkimkmb

P

bimkimkmb

N

k

M

m

P

bimkimkmb

PabkZ

PabkZi

P

Pka

PPkbZ

PkbZi

Pka

PPkbZ

PkbZi

式中， P为一个周期的离散点数； N 为谐波次数；M 为电压或电流的个数； uia 表示第 i 个电压量的第 a 个离散值； imb 表示第 m 个电流量的第 b 个离散值。

这样 uia 可写为：

1

0 1 1

2)(cos)Re(

2)(sin)Im(

2M

m

P

b

N

kimkimk

immbia P

abkZP

abkZPP

Riu

如果记：

N

kimkimk

imiamb P

abkZP

abkZPP

Rz

1

2)(cos)Re(

2)(sin)Im(

2

则

1

0 1

M

m

P

biambmbia ziu

上式写为矩阵形式为：

1

0

21

22212

12111

2

1

M

m

iPmPiPmiPm

mPimimi

mPimimi

iP

i

i

zzz

zzz

zzz

u

u

u

时变线性无源网络稳态时的周期时间序列模型

如果按上式直接进行计算，其数据存储量是十分惊人的。对一个 M 端非时变线性无源网络，一个周期的离散点数为 P ，数据存储量为M2P2 。事实上，该矩阵具有一个很好的性质，它的对角元素是相等

的，可写为如下形式：

0)2()1(

)2(0)1(

)1(10

imPimPim

Pimimim

Pimimim

zzz

zzz

zzz

这样，对一个 M 端非时变线性无源网络，一个周期的离散点数为 P，数据存储量变为M2(2P 一 1)，其数据存储量大大减少。

3.2 3.2 通用电路建模与仿真方法通用电路建模与仿真方法 1. 网络分析的基本概念和基本定律

任何集中参数网络都服从三条基本定律：基尔霍夫电压定律（ KVL）、基尔霍夫电流定律（ KCL）和元件定律（支路特性）。 KVL 和 KCL 是网络中各支路电压、电流的约束。元件定律通常指元件的伏安特性。根据三条基本定律就可以建立求解网络的方程式。 网络拓扑分析从理论上已经十分成熟，电路的计算机仿真程序就是在此基础上建立的。为了便于计算机的存储和加工，通常将网络拓扑图用矩阵来描述，常用的有关联矩阵、回路矩阵和割集矩阵。

2 改进节点法

节点分析法在处理独立电压源和受控电压源时，由于支路的导纳为无穷大，不能直接写出支路导纳矩阵 Yb ，所以现在通常采用所谓“改进节点法”或混合节点法。改进节点分析法在节点分析法的基础上，保留原来的未知量节点电压，增加独立电压源和受控电压源支路的电流作为电路的另一组未知量。利用改进节点分析法的一个方便之处是，欲求得流过某一条支路的电流，只要在该支路中串联一个零值独立电压源就行。即零值独立电压源具有电流表的功能。该方法成为目前电路的计算机辅助分析中应用最为广泛的一种， PSpice 就是采用改进节点分析法。

改进节点分析法最终列出的方程式具有形式： WX ＝ K ，其中 W 为系数矩阵， K 为右端向量， X 为未知向量。

把支路电流方程分块成 0T

EVCVVVECCCVCEJYEVCVVVECCCVCEJY IIIIIIIIIAAAAAAAAA

式中下标代表电路器件： Y 为导纳元件； J 为电流源； E 为电压源； VC 为电压控制电流源 VCCS； CC 为电流控制电流源 CCCS； EC 为电压源支路电流控制的电流源 IECCS； VV

为电压控制电压源 VCVS； CV 为电流控制电压源 CCVS；EV 为电压源支路电流控制的电压源 IECVS 。

I1

0

1 2

4

3

R1R2 R3

R4

R5

E1

E2

5

G(v1-v2)iE1

iE2

以下图为例，进行方程列写

0)0(1

)()(1

0)()(1

)(1

)(1

0)(1

)(1

0)(1

)(1

254

121345

21435

233

131

1323

122

1212

311

E

E

E

ivR

IvvGvvR

vvGvvR

vvR

vvR

ivvR

vvR

ivvR

vvR

按基耳霍夫电流定律列出各节点的电流平衡方程

方程组的未知变量除了五个节点电位 v1~v5 外，尚有 iE1 ， iE2

，共 7 个未知变量，因此需根据电压源支路特性再补上两个支路电压方程：

252

11 0

Evv

Ev

合并成一个方程组，并将各支路电阻用电导表示写成矩阵形式：

2

1

1

2

1

5

4

3

2

1

4

55

553131

3322

1221

0

0

0

0

0010010

0000001

100000

00

000

1000

0100

E

E

I

i

i

v

v

v

v

v

G

GGGG

GGGGGGGG

GGGG

GGGG

E

E

②

④⑤

⑥

⑦

③

①

② ④ ⑤ ⑥ ⑦③①

记做： BAx TEn ivx TEIB

vn 为电路的各节点（除参考节点外）电位矢量， iE 是电压源支路电流矢量， I 为独立电流源的电流矢量， E 是独立电压源的电压矢量。系数矩阵 A 可以写成分块形式

CD

DYA

1

n

Yn称为节点导纳矩阵。为了便于计算机自动形成 A 和 B

，下面详细讨论一下各电路元件的参数对 A 和 B 的贡献。

当一个节点上有几个电阻相连接时，矩阵 Yn 中与该节点相关的元素值为各电阻分别对该元素贡献值的代数和。可见， Yn

中各对角元素的值为与该对应节点相连的各电阻值倒数（电导）之和，而非对角元素值为对应两节点间所接电阻值倒数的负值。

（ 1）电阻 R

假设电阻 R1 接在节点 1 和 3之间 对节点 1 ：其电流对节点 3 ：其电流 31113111 )( vGvGvvGi

11311313 )( vGvGvvGi

因此，它对 a11 ， a13 ， a31 ， a33四个元素有贡献，其贡献值为：a11=a13= G1 ， a31=a33=-G1 ，即：

11

11

GG

GGe f

e

fe fG=1/R

对于接在任意两个节点 e 和 f之间的电导 G=1/R ，对矩阵 A 的贡献

       (2) 独立电压源参照例子，有电压方程 v2-v5=E2 ，同样可以推得接在任意

节点 e， f间的电压源将对子阵 D， D1 以及 B有贡献。

nEn Ei11

1

1e f

e

fe fEn

iEn

iEn

En

（ 3）独立电流源按上述相同的方法可以推得独立电流源仅对 B 中与它相连的

节点所对应的行的元素有贡献，见下图。

i

i

I

IB

e

fe f

Ii

（ 4）电压控制电流源 VCCS

例子中的 VCCS 对节点 e 和 f 的电流贡献分别为 G(vj-vk)

和 - G(vj-vk) ，所以它对 Yn 中相应元素的贡献如下所示。

e

f

e f

G(vj-vk)

j k

ve vf

vj vk

GG

GGj k

（ 5）电压控制电压源 VCVS如下图所示，若 Eef 是受控源，受 (vj-vk) 的控制，即

与独立电压源相仿，需增加一个未知变量 iE 。因此矩阵应相应地也应增加一个方程，即上式。同时在与节点 e 和 f 相应的节点方程中也应增加 iE 的贡献。因此，上述电压控制电压源对 A 和 B 的贡献见下。

)( kifeef vvvvE

e

fe f

Eef

j k

ve vf

vj vk

011

1

1

Bk+ -

Eef

e f j iEiE

（ 6）电流控制电流源 CCCS设支路 e， f是一个受控电流源。它的电流受支路 j， k的电

流 ijk 控制，控制系数为 β。对于一般的阻抗支路， ijk 并不包含在式 (3-25) 的未知变量中，为方便起见且不是一般性，可以在支路 j， k中插入一个电势为零值的独立电压源 E，这样并不影响原电路的特性和解。但是增加一个零值电压源 E后， ijk 作为流经 E 的电流就成为式 (3-25) 的一个未知变量，当然方程组也相应地增加了一个方程，控制支路也相应地由支路 j， k变为支路m， k了。 CCCS 对 A 的贡献也可以方便地求得。

E=0

e f

j k

jki

ijk

m

e

f

11

1

1

m

m k ijk

k

E

（ 7）电流控制电压源 CCVS与 CCCS 相仿，对于 CCVS 也可以在控制支路中插入一个零

值电势的电压源 E ，由于受控电压源的存在，式 (3-25) 的未知变量中也应包括它的电流，所以这时 ief 及 ijk都包含在未知变量中。因为 ve-vf=γijk ，很容易推得 CCVS 对 A 的贡献。

E

e f

j k

jki

ijk

m

e

f

11

11

1

1

1

1

m

m k ijk

k

E

+ -

ief

Eef

iefe f