Леденев А.Н.-Физика. Кн. 3. Электромагнетизм-ФМЛ (2005)

УДК 530.1(075.8)

ББК 22.3

Л39

Лед е н е в А. Н. Физика. В 5 кн. Кн. 3. Электромагнетизм. — М.:ФИЗМАТЛИТ, 2005. — 192 с. — ISBN 5-9221-0463-2.

Основу настоящего курса физики составляют лекции, читаемые авторомслушателям Института криптографии, связи и информатики Академии ФСБРоссии. В данном томе рассматриваются основные понятия и закономерностиэлектрических и магнитных явлений: электрическое и магнитное поле в вакуу-ме, свойства проводников и диэлектриков в электрическом поле, магнитное по-ле в веществе, законы постоянного тока, явление электромагнитной индукции.Электрические токи в газах и электролитах практически не затрагиваются.Дается краткое, но достаточно строгое изложение учебного материала в видесистемы физических понятий, определений, законов и теорем.

Для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальности«Информатика и вычислительная техника».

Р е ц е н з е н ты:кафедра физики Московского института радиоэлектроники и автоматики;

проф. А.Н. Сафронов (Научно-исследовательский институт ядерной физикиМГУ им. М.В. Ломоносова)

Учебное издание

ЛЕДЕНЕВ Александр Николаевич

ФИЗИКА

Книга 3

ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ

Редактор Д.А. МиртоваОригинал-макет: О.Б. ШироковаОформление переплета: А.Ю. Алехина

ЛР №071930 от 06.07.99. Подписано в печать 20.04.05. Формат 60�90/16.Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 12. Уч.-изд. л. 13,2. Заказ №

Издательская фирма «Физико-математическая литература»МАИК «Наука/Интерпериодика»117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90E-mail: [email protected], [email protected]; http://www.fml.ru

Отпечатано с готовых диапозитивовв ОАО «Ивановская областная типография»153008, г. Иваново, ул. Типографская, 6.E-mail: [email protected]

ISBN 5-9221-0463-2

�� ISBN 5-9221-0463-2

c© ФИЗМАТЛИТ, 2005

c© А.Н. Леденев, 2005

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 8

Г л а в а I. Электростатическое поле в вакууме . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 9

§ 1. Закон Кулона. Напряженность электрического поля. .. .. .. .. .. .. .. . 9

§ 2. Поток вектора напряженности электрического поля . .. .. .. .. .. .. .. . 15

§ 3. Теорема Гаусса . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 19

§ 4. Напряженность электрического поля заряженной сферическойповерхности . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 25

§ 5. Напряженность электрического поля заряженной бесконечнодлинной нити . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 26

§ 6. Напряженность поля заряженной плоскости . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 28

§ 7. Теорема о циркуляции вектора напряженности электростатиче-ского поля. Потенциал . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 29

§ 8. Потенциал поля точечного заряда и системы зарядов . .. .. .. .. .. .. . 34

§ 9. Связь между потенциалом и напряженностью поля . .. .. .. .. .. .. .. . 36

§ 10. Граничные условия для вектора напряженности электрическогополя . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 39

§ 11. Потенциал и напряженность поля электрического диполя . .. .. .. . 41

§ 12. Диполь во внешнем электрическом поле: сила, момент сил, по-тенциальная энергия . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 44

Задачи . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 46

Г л а в а II. Проводники в электрическом поле . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 48

§ 13. Свойства проводников в электрическом поле . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 48

§ 14. Электрическая емкость. Конденсаторы. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 55

§ 15. Энергия электрического поля . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 60

Задачи . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 63

Г л а в а III. Электростатика диэлектриков . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 65

§ 16. Вектор поляризованности и его свойства . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 65

§ 17. Вектор электрической индукции и его свойства . .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 73

Задачи . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 79

6 Оглавление

Г л а в а IV. Постоянный электрический ток. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 80

§ 18. Закон Ома. Сторонние силы . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 80

§ 19. Закон Джоуля–Ленца . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 92

§ 20. Переходные процессы в электрических цепях . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 95

§ 21. Электрическое поле в проводнике с током . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 97

§ 22. Электрическое сопротивление однородной слабо проводящейсреды. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 100

Задачи . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 102

Г л а в а V. Магнитное поле в вакууме. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 103

§ 23. Магнитный момент и магнитная индукция. Закон Био–Савара 103

§ 24. Закон Ампера . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 107

§ 25. Магнитное поле движущегося заряда. Сила Лорентца . .. .. .. .. .. . 109

§ 26. Теорема Гаусса и теорема о циркуляции вектора магнитной ин-дукции. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 112

§ 27. Контур с током в магнитном поле: сила и момент сил, работапри перемещении контура . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 115

Задачи . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 119

Г л а в а VI. Магнитное поле в веществе . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 120

§ 28. Вектор намагниченности и его свойства. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 120

§ 29. Вектор напряженности магнитного поля. Магнитные свойствавещества . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 125

§ 30. Граничные условия для векторов магнитной индукции и напря-женности магнитного поля . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 131

Задачи . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 134

Г л а в а VII. Электромагнитная индукция . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 136

§ 31. Закон электромагнитной индукции Фарадея. Вихревое электри-ческое поле. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 136

§ 32. Явление самоиндукции. Индуктивность. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 141

§ 33. Энергия магнитного поля . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 145

§ 34. Взаимная индукция . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 146

Задачи . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 149

Г л а в а VIII. Уравнения электромагнитного поля . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 150

§ 35. Теорема о циркуляции вектора напряженности магнитного поляпеременных токов. Ток смещения . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 150

§ 36. Уравнения Максвелла. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 153

Задачи . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 155

Ответы к задачам . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 156

Оглавление 7

П р и л о ж е н и я

I. Системы единиц физических величин . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 158

1. Электрические и магнитные величины в СИ, СГСЭ, СГСМ игауссовой системе . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 158

2. Перевод формул электродинамики из системы СИ в гауссовусистему . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 163

II. Основные определения и формулы электромагнетизма . .. .. .. .. .. .. . 167

1. Электростатическое поле в вакууме . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 167

2. Свойства проводников в электростатическом поле . .. .. .. .. .. .. .. .. . 172

3. Электрическая емкость . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 173

4. Свойства диэлектриков в электростатическом поле . .. .. .. .. .. .. .. . 174

5. Постоянный электрический ток . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 176

6. Магнитное поле в вакууме . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 179

7. Магнитное поле в веществе . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 181

8. Электромагнитная индукция . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 183

9. Уравнения Максвелла . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 185

III. Производные единицы электрических и магнитных величин . .. . 187

Предметный указатель . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 190

ПРЕДИСЛОВИЕ

Основу настоящего курса физики составляют лекции, читаемыеавтором слушателям Института криптографии, связи и информатикиАкадемии ФСБ России. В этой книге излагается раздел курса «Элек-тромагнетизм». Рассматриваются основные понятия и закономерностиэлектрических и магнитных явлений, электрическое и магнитное полев вакууме, свойства проводников и диэлектриков в электрическомполе, магнитное поле в веществе, законы постоянного тока, явлениеэлектромагнитной индукции. Как результат обобщения излагаемых напротяжении всей книги опытных фактов, основных понятий и физи-ческих законов устанавливается система уравнений Максвелла. Элек-трические и магнитные свойства вещества затронуты кратко, так каких полное понимание возможно только на основе квантовой механики,а подробное изложение проводится в курсах специальных разделовфизики. Закономерности электрических токов в газах и электролитахпрактически не затрагиваются.

Автор стремился ограничить объем книги, включив в нее тольконаиболее важные понятия и законы электромагнетизма, изложить ихкратко, достаточно строго и логически последовательно. Несмотря нато, что многие вопросы электрических и магнитных свойств вещества,технических применений электричества не вошли в книгу, составля-ющий ее содержание материал дает достаточно полное и целостноепредставление о разделе «Электромагнетизм» курса общей физики иможет служить основой для его последующего углубленного и болееподробного изучения.

В процессе изложения используется Международная система еди-ниц СИ. Как и в других разделах настоящего курса физики, в этойкниге имеется приложение, в которое включены только определе-ния физических понятий, формулировки законов и соответствующиематематические формулы электромагнетизма. Структура приложенияотражает логику изложения материала основного текста книги. Онополезно как при первом чтении книги, так и в процессе ее повторения.

ГЛАВА I

ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ

§1. Закон Кулона. Напряженность электрическогополя

Электрический заряд. Изучая механику, мы обсуждали вопросо том, что все встречающиеся в природе и известные в настоящеевремя силы сводятся к силам гравитационного притяжения, электро-магнитным силам и силам, действующим между атомными ядрамии элементарными частицами (ядерные силы, слабые взаимодействия).Каждый вид взаимодействия связан с определенной характеристикойтела: гравитационное взаимодействие зависит от масс взаимодейству-ющих тел, электромагнитное — от электрических зарядов и т. д.

Атомы и молекулы всякого вещества построены из элементарныхчастиц — электронов, протонов, нейтронов и др. Электрический зарядявляется одной из фундаментальных, первичных характеристик эле-ментарной частицы. Заряд всякой элементарной частицы либо равеннулю (например, у нейтрона), либо отличен от нуля (например, уэлектрона, протона, позитрона). Заряды всех элементарных частиц,если они отличны от нуля, одинаковы по абсолютной величине и равнытак называемому элементарному заряду e (e ≈ 1, 602 · 10−19 Кл).

Пусть макроскопическое тело обладает зарядом q. Поскольку зарядтела равен сумме зарядов элементарных частиц, из которых оно состо-ит, q является числом, кратным элементарному заряду e:

q = Ne,

где N — целое число.Следовательно, заряд q любого тела может принимать только

определенные дискретные значения, кратные элементарному заря-ду. Однако элементарный заряд настолько мал, что величину макро-скопических зарядов можно считать изменяющейся непрерывно. Вездев дальнейшем дискретностью макроскопических зарядов будем прене-брегать, считая их непрерывно изменяющимися величинами.

Опыт позволяет сформулировать следующие основные свойства за-ряда.

Существуют два вида электрических зарядов — положительныеи отрицательные. Заряды одного вида отталкиваются друг от друга,разных видов — притягиваются.

В электрически изолированной системе алгебраическая суммаэлектрических зарядов не изменяется. Это утверждение выражаетзакон сохранения электрического заряда и является следствием того

10 Электростатическое поле в вакууме [ Гл. I

факта, что элементарные заряды возникают и исчезают (аннигилиру-ют) только парами, включающими положительный и отрицательныйэлементарный заряд.

Величина электрического заряда не зависит от выбора системыотсчета, а значит, не зависит от того, движется заряд илипокоится (заряд инвариантен).

Электрическое поле. Согласно современным представлениям вся-кий электрический заряд q создает в окружающем его пространствеэлектрическое поле. Электрическое поле заряда q проявляет себя втом, что помещенный в какую-либо точку этого поля другой зарядиспытывает действие силы. Таким образом, взаимодействие междузарядами осуществляется через поле. В случае неподвижных зарядовэто поле называется электростатическим. Везде далее в этой книгепод электрическим полем мы будем подразумевать поле неподвижныхзарядов, то есть электростатическое поле, если не оговорено иное.

Закон Кулона. Основной количественный закон электростатикибыл открыт Кулоном в 1785 г. Он формулируется следующим образом.

Сила взаимодействия F двух точечных зарядов q1 и q2 в вакуумепропорциональна их величинам, обратно пропорциональна квадратурасстояния между ними r12 и направлена вдоль прямой, соединяю-щей эти заряды. Сила F является силой притяжения, если знакизарядов разные, и силой отталкивания, если эти знаки одинаковы.

Математическая формула, выражающая закон Кулона, имеет вид

F = k|q1||q2|

r212

, (1.1)

где k — числовой коэффициент. В системе СИ он равен

k =1

4πε0

≈ 9 · 109 м/Ф.

Электрическая постоянная ε0 имеет размерность электрическойемкости, деленной на длину; единицей ее измерения является фарад,деленный на метр:

εо ≈ 0, 885 · 10−11 Ф/м.

Заряд q измеряется в кулонах (Кл). Один кулон — это такойзаряд, который в единицу времени проходит через поперечное сечениепроводника, по которому течет ток силой один ампер (ампер — единицасилы тока в системе СИ, определение которой дается ниже).

Понятие точечный заряд подразумевает, что весь заряд тела со-средоточен в одной геометрической точке. Точечный заряд — этоидеализированная физическая модель, подобная модели материальнойточки. Она применима для реально существующих заряженных тел,размеры которых пренебрежимо малы по сравнению с характернымирасстояниями, на которых электрическое поле изменяется значительно.

§ 1 ] Закон Кулона. Напряженность электрического поля 11

Формула, выражающая закон Кулона, может быть записана в век-торной форме:

F12 =1

4πε0

q1q2

r312

r12 =1

4πε0

q1q2

r212

er, (1.2)

где F12 — сила, действующая со стороны первого заряда на второй

1q

2q

12e12r

12F

Рис. 1

заряд, r12 — вектор, проведенный от пер-вого заряда ко второму, er = r12/r12 —единичный вектор, сонаправленный с r12(рис. 1).

Вся имеющаяся в настоящее времясовокупность экспериментальных фактовсвидетельствует, что закон Кулона спра-ведлив для расстояний между зарядами от10−13 см до нескольких километров. Нет оснований полагать, что этотзакон не выполняется и на больших расстояниях.

Напряженность электрического поля. Напряженностью Eэлектрического поля в некоторой точке пространства называетсясила, действующая со стороны поля на расположенный в этойточке единичный положительный заряд. Для того, чтобы определитьнапряженность поля в некоторой точке пространства, не обязательнопомещать в нее заряд величиной 1 кулон. Достаточно поместить вэту точку небольшой пробный положительный заряд qпр, измеритьдействующую на него со стороны поля силу F и разделить ее навеличину заряда:

E =F

qпр. (1.3)

Величина пробного заряда должна быть настолько малой, чтобыего собственное электрическое поле не приводило к перераспределениюимеющихся в пространстве электрических зарядов.

Применив закон Кулона к описанию взаимодействия расположен-ных на расстоянии r друг от друга зарядов q и qпр, определим напря-женность поля точечного заряда q (рис. 2). Для этого рассчитанную по

q

r

EF

ïðq

Рис. 2

формуле (1.2) силу F кулоновского взаи-модействия зарядов разделим на величинуqпр:

E=F

qпр=

qqпр

4πε0r3qпр

r=q

4πε0r3r, (1.4)

где r — вектор, проведенный от заряда qв точку поля, где размещается пробный

заряд qпр. Формула (1.4) позволяет определить величину и направлениевектора напряженности поля точечного заряда q.

Силовые линии поля. Зная вектор напряженности E в каждойточке пространства, можно наглядно представить электрическое полес помощью линий напряженности (силовых линий).


Силовая линия — это воображаемая линия в пространстве, каса-тельная к которой в каждой точке совпадает по направлению с век-тором E напряженности поля. Густота линий (число линий, пересека-ющих единичную площадку, расположенную перпендикулярно векторунапряженности) пропорциональна модулю вектора E. Положительноенаправление силовой линии совпадает с направлением вектора E.

Электрические силовые линии начинаются на положительных заря-дах и оканчиваются на отрицательных.

q

q

q�

q�

à á â

Рис. 3

На рис. 3 изображены силовые линии положительного (а) и отрица-тельного (б) изолированных точечных зарядов, а также силовые линиидиполя — системы двух равных по величине и противоположных познаку зарядов (в).

Принцип суперпозиции электрических полей. Из опыта следу-ет, что результирующая напряженность поля E системы неподвижныхточечных зарядов равна сумме векторов напряженности поля Ei, со-здаваемых каждым зарядом в отдельности:

E =∑

Ei =∑ 1

4πε0

qi

r3i

ri, (1.5)

где ri — расстояние между зарядом qi и точкой пространства, в которойопределяется поле E, суммирование ведется по всем зарядам системы.

E

1E

2E

2r

1r

1q

2q

Рис. 4

Формула (1.5) представляет собойматематическое выражение принципасуперпозиции электрических полей.

Рисунок 4 иллюстрирует исполь-зование принципа суперпозиции дляопределения поля E системы двух то-чечных зарядов q1 и q2:

E = E1 + E2 =q1

4πε0r31

r1 +q2

4πε0r32

r2.

Принцип суперпозиции и законКулона в виде вытекающего из этого закона выражения (1.4) длянапряженности поля точечного заряда позволяют рассчитывать напря-

§ 1 ] Закон Кулона. Напряженность электрического поля 13

женность поля любой системы зарядов. Если заряд распределен внекоторой области пространства непрерывно, то есть электрическоеполе создается макроскопическим заряженным по объему телом, тообласть пространства, в которой распределен заряд, следует мысленноразделить на множество малых объемов так, чтобы заряд Δqi каждоготакого объема можно было считать точечным. Для определения резуль-тирующей напряженности поля E следует вычислить сумму векторовнапряженности поля, созданного каждым из точечных зарядов Δqi:

E =∑ 1

4πε0

Δqi

r3i

ri ≈ 1

4πε0

∫r

r3dq, (1.6)

где суммирование ведется по всем точечным зарядам Δqi, а интегри-рование — по всей области пространства, где имеется электрическийзаряд, ri — вектор, проведенный от заряда Δqi к точке наблюдения, r —вектор, проведенный от элементарного заряда dq к точке наблюдения.В выражении (1.6) для результирующей напряженности поля E суммуслагаемых можно заменить соответствующим интегралом только пристремлении к бесконечности числа элементарных объемов с зарядамиΔqi, на которые мысленно разбивается вся заряженная область про-странства.

Пр и м е р. В качестве примера совместного использования прин-ципа суперпозиции и закона Кулона для расчета напряженности рас-смотрим электростатическое поле отрезка AB равномерно заряженнойпо длине тонкой прямой нити или иначе говоря, заряженного отрезкапрямой (рис. 5). Пусть длина отрезка AB равна l, линейная плотность

dzz �dq

0�z

z

A

B

z

1�

2�

R

�

�

r

zEd d

d

E

xE

x

Рис. 5

заряда — заряд, приходящийся наединицу длины нити, — равна λ.Точка наблюдения, в которой необ-ходимо вычислить напряженностьполя E, находится на расстоянии Rот нити. Углы, под которыми вид-на точка наблюдения из концов Aи B заряженного отрезка, равны θ1и θ2.

Направим координатную ось zвдоль нити, начало отсчета коорди-наты z, то есть точку, в которойz = 0, поместим напротив точки наблюдения — в основание перпен-дикуляра, опущенного из точки наблюдения на заряженный отрезок.Мысленно разделим нить на элементарные участки так, чтобы зарядdq каждого такого участка можно было считать точечным. Рассмотримзаряд dq, положение которого на нити определяется координатой z,и который сосредоточен на элементарном участке нити длиной dz.Расстояние от заряда dq до точки наблюдения равно r. Угол, подкоторым видна точка наблюдения из места расположения заряда dq,


равен θ. Из рис. 5 очевидны следующие необходимые в дальнейшемсоотношения:

z = − R

tg θ,

dz =Rdθ

sin2 θ,

r =R

sin θ.

Заряд dq порождает в точке наблюдения электрическое поле, модульвектора напряженности dE которого равен

dE =dq

4πε0r2.

Вычислим проекцию dEx вектора dE на перпендикулярную к нитиось x:

dEx = dE sin θ =dq

4πε0r2sin θ =

λdz

4πε0r2sin θ =

=λ

(R/sin2 θ

)dθ

4πε0

(R/sin θ

)2sin θ =

λ sin θdθ

4πε0R.

Проекцию Ex на ось x вектора напряженности E, созданного вточке наблюдения всем заряженным отрезком, найдем путем интегри-рования выражения для dEx по углу θ в пределах от θ1 до θ2:

Ex =∫

dEx =

θ2∫

θ1

λ sin θ dθ

4πε0R=

λ

4πε0R(cos θ1 − cos θ2) . (1.7)

Аналогично, рассчитаем проекцию dEz вектора dE на ось z:

dEz = dE cos θ =dq

4πε0r2cos θ =

λdz

4πε0r2cos θ =

=λ

(R/sin2 θ

)dθ

4πε0

(R/sin θ

)2cos θ =

λ cos θ dθ

4πε0R.

Проекцию Ez на ось z вектора напряженности E, созданного вточке наблюдения всем заряженным отрезком, найдем путем интегри-рования выражения для dEz по углу θ в пределах от θ1 до θ2:

Ez =∫

dEz =

θ2∫

θ1

λ cos θ dθ

4πε0R=

λ

4πε0R(sin θ2 − sin θ1) . (1.8)

В рассматриваемой задаче структура электрического поля обладаетцилиндрической симметрией: поле симметрично относительно прямой,

§ 2 ] Поток вектора напряженности электрического поля 15

на которой лежит заряженный отрезок нити. В силу цилиндрическойсимметрии вектор E в любой точке пространства вне нити лежит вплоскости, проходящей через ось симметрии; составляющие вектора E,перпендикулярные этой плоскости, равны нулю. Формулы (1.7) и (1.8)полностью определяют вектор E напряженности поля отрезка прямойравномерно заряженной нити.

Если нить бесконечно длинная, то углы θ1 и θ2 равны нулю и π со-ответственно. Подставим эти значения в (1.7) и (1.8). Из формулы (1.8)следует, что составляющая напряженности Ez, параллельная нити (па-раллельная оси z), отсутствует: Ez = 0. В этом случае напряженностьполя бесконечно длинной равномерно заряженной нити вычисляетсяс помощью формулы (1.7). Она направлена перпендикулярно нити иравна

E = Ex =λ

4πε0R(cos θ1 − cos θ2) =

λ

2πε0R. (1.9)

§2. Поток вектора напряженностиэлектрического поля

Вектор элементарной площадки. Пусть в пространстве имеетсянекоторая поверхность S произвольной формы. Рассмотрим участокэтой поверхности, площадь dS которого бесконечно мала (рис. 6).

dS

Рис. 6

Вследствие малых размеров рассматрива-емый участок площади dS можно счи-тать плоским. Будем называть такой уча-сток элементарной площадкой на поверх-ности S. Пусть n — вектор единичнойдлины, перпендикулярный к элементарнойплощадке. Поскольку элементарная пло-щадка лежит в плоскости, касательнойк поверхности S, вектор n называетсяединичным вектором нормали к поверхно-сти S. Если элементарная площадка задана, направление вектора n,перпендикулярного к ее поверхности, может быть выбрано, вообще го-воря, одним из двух возможных способов (например, на рис. 6 вектор nможет быть направлен вверх или вниз, выбор произволен).

Вектором dS элементарной площадки называется вектор, длинакоторого равна площади dS элементарной площадки, а направлениесовпадает с выбранным направлением единичного вектора n, перпен-дикулярного к площадке (см. рис. 6):

dS = dSn.

Поток вектора напряженности электрического поля. Пусть впространстве имеется электрическое поле, и в некоторой области этогополя выбрана элементарная площадка dS. Ввиду того, что площад-ка бесконечно малая, вектор напряженности поля E можно считать


одинаковым во всех ее точках. Выбрав единичный вектор нормали n,зададим вектор dS элементарной площадки. Угол между векторами dS

n�

Sd

E

Рис. 7

и E равен α (рис. 7).Поток dΦ вектора напряженности

электрического поля E через элемен-тарную площадку равен скалярномупроизведению векторов E и dS:

dΦ = E dS = E dS cos α. (2.1)

Поток вектора напряженности E че-рез произвольную поверхность S конеч-ных размеров определяется следующим

образом. Разобьем мысленно всю поверхность S на элементарныеучастки (элементарные площадки), общее число которых равно N

d 1S d 2S

dd iS

1E

2E

iE

S

Рис. 8

(рис. 8). Каждому участку с номером i(i = 1, 2, ... ,N) соответствует вектор эле-ментарной площадки dSi и вектор напря-женности электрического поля Ei, взятыйв любой точке этого участка (участок на-столько мал, что напряженность поля вовсех его точках можно считать одинако-вой). Если поверхность S не замкнутая, тонаправление единичного вектора n норма-ли к поверхности, необходимого для по-строения вектора dSi элементарной пло-щадки, выбирается произвольно одним издвух возможных способов; при этом длявсех элементарных участков, на которыеразбивается поверхность S, вектор n должен быть направлен одинаковоотносительно поверхности S.

Поток Φ вектора напряженности электрического поля E черезповерхность S конечных размеров равен пределу при N → ∞ суммыпотоков через все элементарные площадки, на которые мысленноразбита рассматриваемая поверхность:

Φ = limN→∞

N∑i=1

EidSi =∫

S

E dS, (2.2)

где N — число элементарных площадок, интеграл вычисляется поповерхности S.

Поток вектора напряженности E через замкнутую поверхность Sвычисляется аналогично. Вся поверхность мысленно разбивается наэлементарные участки, и вычисляется сумма потоков EidSi через эти

§ 2 ] Поток вектора напряженности электрического поля 17

участки при условии стремления их числа N к бесконечности:

Φ = limN→∞

N∑i=1

EidSi =∮

S

E dS, (2.3)

При вычислении потока вектора E через замкнутую поверхностьпринято использовать внешнюю единичную нормаль n к поверхности,то есть нормаль, направленную наружу по отношению к ограниченномуповерностью объему.

Поток Φ вектора напряженности через произвольную поверхность Sпропорционален модулю вектора E в том смысле, что в соответствии с

S

E

Рис. 9

формулой (2.3) при увеличении моду-ля E во всех точках пространства вn раз поток также возрастает в n раз.В свою очередь, густота силовых ли-ний электрического поля также пропор-циональна модулю вектора E. Учитываяэто обстоятельство, можно утверждать,что поток вектора E через произволь-ную поверхность S пропорционален чис-лу силовых линий, пронизывающих этуповерхность.

В качестве примера на рис. 9 изоб-ражена замкнутая поверхность S и век-торы напряженности электрического по-ля E в точках пересечения силовых линий поля с этой поверхностью.Чем больше векторов «выходит» из поверхности S, тем больше поток

��

R

S

Рис. 10

вектора E через эту поверхность.

Телесный угол и единицы его из-мерения. Телесный угол — это областьпространства, ограниченная коническойповерхностью c замкнутой направляющей(бесконечная воронка). Телесные углы из-меряются в стерадианах (ср). Телесныйугол Ω в стерадианах равен отношениюплощади S, вырезаемой телесным угломна поверхности шара произвольного ради-уса R, описанного из вершины телесногоугла, к квадрату радиуса R2 этого шара(рис. 10):

Ω [ср] =S

R2.

Один стерадиан — это такой телесныйугол, который вырезает на поверхности шара, описанного из его вер-шины произвольным радиусом R, участок площади S = R2, то естьучасток, площадь которого равна квадрату радиуса шара.


Площадь поверхности шара составляет 4πR2, где R — радиус шара.Поэтому полный телесный угол Ω в стерадианах равен

Ω =S

R2=

4πR2

R2= 4π.

Элементарный (бесконечно малый) телесный угол dΩ вырезаетна поверхности шара, описанного произвольным радиусом R из еговершины, бесконечно малый участок площади dSш, величина которой

�dS

R

ødS

�d

Рис. 11

сколь угодно мало отличается от площади dS⊥

основания шарового сегмента, кривая поверхностькоторого совпадает с участком, вырезанным телес-ным углом на поверхности шара (рис. 11):

dSш ≈ dS⊥.

Величину элементарного телесного угла в сте-радианах можно рассчитать по формуле:

dΩ =dSш

R2≈ dS⊥

R2,

где dS⊥ — площадь основания упомянутого вышешарового сегмента. В дальнейшем для краткостибудем называть основание шарового сегмента пло-щади dS⊥ элементарной площадкой, ограниченнойтелесным углом dΩ и перпендикулярной к его оси.

При этом под осью элементарного телесного угла будем понимать оськонуса, образованного телесным углом dΩ и основанием упомянутоговыше шарового сегмента.

Если элементарный телесный угол dΩ вырезает на некоторой про-извольной поверхности S элементарную площадку dS, вектор нормали

S

R

n Îñü

�d�

dS

�dS

Рис. 12

n к которой образует угол α с осьютелесного угла, то для вычислениявеличины dΩ в стерадианах нуж-но найти площадь dS⊥ проекцииплощадки dS на плоскость, перпен-дикулярную к оси телесного угла(dS⊥ — площадь элементарной пло-щадки, ограниченной телесным уг-лом dΩ и перпендикулярной к егооси):

dS⊥ = dS cos α,

и разделить полученную величину dS⊥ на квадрат расстояния R отвершины телесного угла до площадки dS (рис. 12):

dΩ =dS⊥

R2=

dS cos α

R2.

§ 3 ] Теорема Гаусса 19

§3. Теорема ГауссаТеорема Гаусса в интегральной форме. Теорема Гаусса (1777–

1855) является важнейшей теоремой электростатики и формулируетсяследующим образом.

Поток вектора напряженности электрического поля E черезпроизвольную замкнутую поверхность S равен алгебраической сум-ме зарядов

∑qi, расположенных внутри этой поверхности, делен-

ной на ε0: ∮

S

E dS =

∑qi

ε0

. (3.1)

Здесь суммирование ведется по всем зарядам i, расположеннымвнутри поверхности S.

До к а з а т е л ь с т в о. С л у ч а й 1. Пусть внутри поверхности Sрасположен единственный точечный заряд q.

Заряд q порождает электростатическое поле, напряженность кото-рого обозначим через E (рис. 13). Вычислим поток вектора E черезповерхность S. Для этого рассмотрим элементарный телесный уголdΩ с вершиной в точке расположения заряда q. Угол dΩ вырезает назамкнутой поверхности S элементарную площадку dS. Вектор dS этойплощадки составляет угол α с вектором r, проведенным к ней от зарядаq (вектор r совпадает с осью элементарного телесного угла dΩ). Векторнапряженности поля E во всех точках площадки dS приблизительно

r

q

S

�dS

dS

�

E

dS

Рис. 13

одинаков благодаря ее малым раз-мерам, он сонаправлен с вектором rи составляет угол α с вектором dS.Поток dΦ вектора E через площадкуdS равен

dΦ = E dS = E dS cos α = E dS⊥.

С учетом формулы (1.4) напря-женности поля точечного заряда по-лучим для dΦ:

dΦ = E dS⊥ =q

4πε0

dS⊥

r2=

q

4πε0

dΩ,

где dS⊥ — площадь проекции пло-щадки dS на плоскость, перпенди-кулярную к вектору r; dS⊥/r2 = dΩ — телесный угол, вырезающий назамкнутой поверхности S элементарную площадку dS.

Поток Φ вектора E через замкнутую поверхность S найдем инте-грированием по этой поверхности:

Φ =∮

S

dΦ =∮

S

q

4πε0

dΩ =q

4πε0

∮

S

dΩ =q

4πε0

· 4π =q

ε0

.


Интеграл∮S

dΩ, вычисляемый в процессе преобразований, равен

сумме всех элементарных телесных углов dΩ с вершиной в точкерасположения заряда q и вырезающих на замкнутой поверхности Sмножество элементарных площадок dS, совокупность которых образуетэту поверхность. Сумма всех указанных элементарных телесных угловпредставляет собой полный телесный угол, равный 4π стерадианам.

Таким образом, поток через замкнутую поверхность S векторанапряженности поля E заряда q равен

∮

S

E dS =q

ε0

. (3.2)

Выражение (3.2) свидетельствует о том, что теорема Гаусса (3.1)справедлива для электрического поля E единственного точечного заря-да q, расположенного внутри замкнутой поверхности S.

С л у ч а й 2. Внутри замкнутой поверхности S имеется систематочечных зарядов или непрерывно распределенные в пространстве за-ряды.

Пусть внутри поверхности S находится не уединенный точечныйзаряд q, а система зарядов, состоящая из конечного или бесконечнобольшого числа точечных зарядов qi.

Для потока вектора Ei каждого из зарядов qi через поверхность Sсправедлива теорема Гаусса:

∮

S

Ei dS =qi

ε0

.

Складывая подобные равенства, записанные для всех зарядов qi, иприменяя принцип суперпозиции, убедимся в том, что теорема Гауссавыполняется и в рассматриваемом случае, а именно:∑

i

∮

S

Ei dS =∑

i

qi

ε0

,

∮

S

( ∑i

Ei

)dS =

∑i

qi

ε0

,

∮

S

E dS =

∑i

qi

ε0

.

Здесь вектор E =∑i

Ei представляет собой векторную сумму напря-

женностей поля Ei каждого из зарядов системы,∑i

qi — суммарный

заряд, расположенный внутри поверхности интегрирования S. Что итребовалось доказать.


С л у ч а й 3. Точечный заряд q расположен вне замкнутой поверх-ности S (снаружи от этой поверхности).

Покажем теперь, что поток через замкнутую поверхность S векторанапряженности поля заряда q, расположенного вне этой поверхности,

q

�2dS

S

�1dS

1E

2E

2r

1r

d�dS

dS

1�

2�

1

2

Рис. 14

равен нулю (рис. 14). Длявычисления потока необходи-мо мысленно разделить всюповерхность на элементарныеучастки, вычислить поток че-рез каждый из них и сложитьвсе получившиеся величиныдруг с другом. Деление по-верхности S на участки мож-но провести с помощью эле-ментарных телесных углов свершиной в точке расположе-ния заряда q, причем каждыйэлементарный телесный уголdΩ будет вырезать на поверх-ности S две элементарных площадки dS1 и dS2. Поток вектора напря-женности через каждую пару площадок, образованных одним и тем жеэлементарным телесным углом dΩ, равен

dΦ = E1dS1 + E2dS2,

где E1 и E2 — напряженность поля заряда q в любой точке площадкиdS1 и площадки dS2 соответственно (площадки настолько малы, чтовектор E во всех точках каждой из площадок можно считать одина-ковым); dS1 и dS2 — векторы элементарных площадок, направленныенаружу по отношению к замкнутой поверхности S. Векторы dS1 и dS2

составляют углы α1 и α2 с прямой, проведенной через заряд q и пло-щадки dS1 и dS2 (эта прямая является осью элементарного телесногоугла). Если расстояния от заряда q до площадок dS1 и dS2 равны со-ответственно r1 и r2, то модули векторов E1 и E2 напряженности поля

составят величины: E1 =q

4πε0r21

, E2 =q

4πε0r22

. С учетом этого поток dΦ

через рассматриваемую пару площадок, вырезанных на поверхности Sодним и тем же телесным углом dΩ, равен

dΦ = E1dS1 cos α1 + E2dS2 cos(π − α2) = E1dS1⊥ − E2dS2⊥ =

=q

4πε0r21

dS1⊥ − q

4πε0r22

dS2⊥ =q

4πε0

(dS1⊥

r21

− dS2⊥

r22

)=

q

4πε0

(dΩ− dΩ) = 0,

где dS1⊥ и dS2⊥ — площади проекций площадок dS1 и dS2 на плос-кость, перпендикулярную оси бесконечно малого телесного угла dΩ.В ходе преобразований учтено, что величина телесного угла dΩ может


быть выражена как через величину dS1⊥, так и через dS2⊥, а именно:

dΩ =dS1⊥

r21

=dS2⊥

r22

.

Поскольку вся поверхность S поделена бесконечно малыми телес-ными углами на элементарные площадки таким образом, что потоквектора напряженности E через каждую пару площадок, образованныходним и тем же телесным углом dΩ, равен нулю, то поток вектора Eчерез всю замкнутую поверхность S также равен нулю.

Тем самым доказано, что если заряд q расположен вне замкнутойповерхности, то поток вектора напряженности поля этого заряда черезрассматриваемую поверхность равен нулю.

Электростатическая теорема Гаусса (3.1) доказана полностью.

Теорема Гаусса в дифференциальной форме. Рассмотрим по-ток вектора напряженности электрического поля E через некоторуюзамкнутую поверхность S:

∮S

E dS. Будем стягивать поверхность S в

точку, то есть устремим ограниченный поверхностью S объем ΔVк нулю. По определению, дивергенцией вектора E (div E) в точке,в которой стягивается поверхность S, называется величина, равнаяпределу при ΔV → 0 отношения потока

∮S

E dS через поверхность S к

объему ΔV , охватываемому этой поверхностью:

div E = limΔV →0

∮S

E dS

ΔV. (3.3)

Смысл понятия дивергенции, согласно ее определению, состоит вследующем. Дивергенция всякого вектора равна потоку этого векторачерез замкнутую поверхность, охватывающую бесконечно малый объ-ем, деленному на величину этого объема.

Пусть внутри объема ΔV , охватываемого замкнутой поверхностьюS, сосредоточен заряд, который обозначим символом qΔV . ТеоремаГаусса (3.1) для поля заряда qΔV и поверхности S имеет вид

∮

S

E dS =qΔV

ε0

.

Разделим обе части этого равенства на ΔV и устремим ΔV к нулю:

limΔV →0

∮S

E dS

ΔV= lim

ΔV →0

qΔV

ΔV ε0

.

Выражение в левой части полученного равенства представляет со-бой дивергенцию вектора E. Предел отношения при ΔV → 0 заряда


qΔV , сосредоточенного в объеме ΔV , к величине этого объема, равенобъемной плотности заряда ρ:

limΔV →0

qΔV

ΔV= ρ.

С учетом этого получим теорему Гаусса для вектора E в диффе-ренциальной форме:

div E =ρ

ε0

, (3.4)

Равенство (3.4) означает, что дивергенция вектора E в произ-вольной точке поля равна объемной плотности макроскопическогоэлектрического заряда в этой точке, деленной на ε0.

Дивергенция вектора напряженности E в декартовых коорди-натах. Рассмотрим прямоугольный параллелепипед бесконечно ма-лого объема, ребра которого параллельны осям декартовой прямо-угольной системы координат и имеют длины dx, dy и dz. Пустькоординаты вершины параллелепипеда, ближайшей к началу системыкоординат, равны x, y и z. Вычислим поток вектора напряженностиE электрического поля через поверхность такого бесконечно малогопараллелепипеда (рис. 15).

Каждая грань параллелепипеда представляет собой элементарнуюплощадку, во всех точках которой вектор напряженности E практиче-ски одинаков. Поток вектора E через замкнутую поверхность парал-лелепипеда равен сумме шести слагаемых — потоков вектора E черезкаждую из шести граней:

dΦ = E (x + dx, y, z)i dy dz − E (x, y, z)i dy dz + E (x, y + dy, z)j dx dz−− E (x, y, z)j dx dz + E (x, y, z + dz)k dx dy − E (x, y, z)k dx dy, (3.5)

где i, j, k — орты координатных осей, которые одновременно служатединичными векторами нормали к соответствующим элементарным

z

k

k

yj

�j j

i

x

),,( zyxE ),,( zdyyx �E

),,( dzzyx �E

Рис. 15

площадкам — граням паралле-лепипеда. Например, слагаемоеE (x + dx, y, z)i dy dz представля-ет собой скалярное произведениевектора напряженности E, взято-го в любой точке грани паралле-лепипеда, перпендикулярной осиx и расположенной в плоскостис координатой x + dx, и векто-ра i dy dz элементарной площадки,соответствующей этой грани. Нарис. 15 в качестве примера по-казаны векторы напряженности иединичные векторы нормали длятрех граней параллелепипеда.


Все сомножители в правой части выражения (3.5) имеют сле-дующий смысл. Произведения dy dz, dx dz, dx dy равны площадямсоответствующих граней параллелепипеда. Произведения (i dy dz) и(−i dy dz) представляют собой векторы двух элементарных площадок,которые являются гранями параллелепипеда, параллельными плоско-сти yz; (j dx dz) и (−j dx dz) — векторы элементарных площадок, ко-торые являются гранями параллелепипеда, параллельными плоскостиxz; (k dx dy) и (−k dx dy) — векторы элементарных площадок, ко-торые являются гранями параллелепипеда, параллельными плоскостиxy. E (x, y, z) и E (x + dx, y, z) — векторы напряженности поля надвух гранях параллелепипеда, параллельных плоскости yz, E (x, y, z)и E (x, y + dy, z) — векторы напряженности поля на двух гранях па-раллелепипеда, параллельных плоскости xz, E (x, y, z) и E (x, y, z ++ dz) — векторы напряженности поля на двух гранях параллелепипеда,параллельных плоскости xy.

Вычислив в (3.5) скалярные произведения векторов напряженностиполя E = (Ex,Ey,Ez) и орты координатных осей i = (1, 0, 0), j == (0, 1, 0), k = (0, 0, 1) через приведенные в круглых скобках ком-поненты этих векторов, группируя подобные члены и раскладывая спомощью формулы Тейлора функции Ex, Ey, Ez координат x, y, z помалым параметрам dx, dy, dz, получим

dΦ = [Ex(x + dx, y, z) − Ex(x, y, z)] dy dz+

+ [Ey(x, y + dy, z) − Ey(x, y, z)] dx dz+

+ [Ez(x, y, z + dz) − Ez(x, y, z)] dx dy ≈≈ ∂Ex

∂xdx dy dz +

∂Ey

∂ydx dy dz +

∂Ez

∂zdx dy dz =

=

(∂Ex

∂x+

∂Ey

∂y+

∂Ez

∂z

)dx dy dz =

(∂Ex

∂x+

∂Ey

∂y+

∂Ez

∂z

)dV , (3.6)

где dx dy dz = dV — объем рассматриваемого элементарного паралле-лепипеда.

Покажем, как использовалась формула Тейлора при выполнениипреобразований в (3.6), на примере функции Ex(x, y, z):

[Ex(x + dx, y, z) − Ex(x, y, z)] dy dz ≈≈

[Ex(x, y, z) +

∂Ex

∂xdx − Ex(x, y, z)

]dy dz =

∂Ex

∂xdx dy dz.

Согласно определению (3.3) дивергенцию вектора E можно вычис-лить как частное от деления потока dΦ вектора E через замкнутуюповерхность на величину dV охватываемого этой поверхностью объема.Применив определение (3.3) к потоку dΦ (3.6), получим

div E =dΦ

dV=

∂Ex

∂x+

∂Ey

∂y+

∂Ez

∂z. (3.7)

§ 4 ] Напряженность поля заряженной сферической поверхности 25

Формула (3.7) позволяет рассчитать дивергенцию вектора напря-женности электрического поля E, если известна зависимость E откоординат x, y, z.

Дивергенцию вектора E формально можно рассматривать как ска-лярное произведение векторного оператора набла на вектор E:

div E = (∇,E) =

=(

∂

∂xi +

∂

∂yj +

∂

∂zk,Exi + Eyj + Ezk

)=

∂Ex

∂x+

∂Ey

∂y+

∂Ez

∂z. (3.8)

С учетом (3.7) и (3.8) дифференциальная форма теоремы Гаусса(3.4) может быть представлена в следующем виде:

∂Ex

∂x+

∂Ey

∂y+

∂Ez

∂z=

ρ

ε0

, (3.9)

(∇,E) =ρ

ε0

. (3.10)

§4. Напряженность электрического поля заряженнойсферической поверхности

Рассмотрим сферическую поверхность радиуса a, по которой равно-мерно распределен заряд q. Это может быть, например, тонкостеннаяметаллическая заряженная сфера. Определим напряженность электри-ческого поля E в разных точках пространства, используя теоремуГаусса: ∮

S

E dS =q

ε0

.

В качестве поверхности интегрирования выберем сферу радиу-са r � a, концентрическую с заряженной сферой. По соображениям

dS

E

dS

S

raq

Рис. 16

симметрии во всех точках сферы ра-диуса r вектор напряженности по-ля E имеет одну и ту же величи-ну и направлен вдоль радиуса сфе-ры. Мысленно разделим всю поверх-ность интегрирования на элементар-ные площадки dS, вычислим ска-лярное произведение E dS, где E —напряженность поля в произвольнойточке площадки, dS — вектор этойплощадки (рис. 16). Поскольку век-торы E и dS сонаправлены, скаляр-ное произведение равно произведе-нию модулей этих векторов: E dS = E dS. Теперь легко найти потоквектора E через всю сферическую поверхность радиуса r, учитывая,


что модуль E одинаков во всех точках этой поверхности и константуE можно вынести из-под знака интеграла:

∮

S

E dS =∮

S

E dS = E∮

S

dS = E · 4πr2 =q

ε0

.

Отсюда найдем напряженность поля E равномерно заряженной сфе-ры в точках пространства снаружи от этой сферы:

E =q

4πε0r2

при r � a.

Определим теперь напряженность поля внутри заряженной сфе-ры. Для этого выберем в качестве поверхности интегрирования сфе-ру радиуса r < a, концентрическую с заряженной сферой, и вновьвоспользуемся теоремой Гаусса. Поскольку заряд внутри поверхностиинтегрирования отсутствует, в рассматриваемом случае в правой частиуравнения, выражающего теорему Гаусса, стоит нуль:

∮

S

E dS = 0.

Поток вектора E вычисляется аналогично предыдущему случаю:∮

S

E dS =∮

S

E dS = E∮

S

dS = E · 4πr2 = 0.

Отсюда следует, что напряженность поля внутри заряженной сферыравна нулю:

E = 0 при r < a.

Итак, напряженность поля равномерно заряженной сферическойповерхности радиуса a равна

E =q

4πε0r2

при r � a,

E = 0 при r < a.

Поле равномерно заряженной сферической поверхности вне этойповерхности совпадает с полем точечного заряда, а внутри поверхностиполе равно нулю.

§5. Напряженность электрического поля заряженнойбесконечно длинной нити

Выше с помощью закона Кулона и принципа суперпозиции былиполучены выражения для напряженности поля отрезка заряженнойнити (1.5), (1.6) и бесконечно длинной нити (1.7). Значительно прощеформулу (1.7) можно вывести, используя симметрию задачи и теоремуГаусса.

§ 5 ] Напряженность поля заряженной нити 27

По соображениям симметрии, о которых говорилось выше, линиинапряженности поля бесконечно длинной равномерно заряженной тон-

Çàðÿæåííàÿ íèòü

Ïëîñêîñòü, ïåðïåíäè-êóëÿðíàÿ ê íèòè

Ëèíèè íàïðÿ-æåííîñòè

Рис. 17

кой нити перпендикулярны к ни-ти и имеют радиальное направление(см. рис. 17, на котором изображенысиловые линии поля положительнозаряженной нити). При использова-нии теоремы Гаусса для определе-ния напряженности поля всегда при-ходится учитывать симметрию зада-чи и, по возможности, выбирать по-верхность интегрирования так, что-бы длина вектора E во всех точкахповерхности была одинаковой.

Рассмотрим бесконечно длинную тонкую прямую нить, равномернозаряженную с линейной плотностью λ (λ — заряд нити, приходящий-ся на единицу ее длины). Чтобы воспользоваться теоремой Гаусса,выберем в качестве поверхности интегрирования поверхность прямого

dS

dS

E

El S

r

Рис. 18

кругового цилиндра, ось симметриикоторого совпадает с нитью, длинаобразующей равна l, радиус основа-ния — r (рис. 18). Благодаря цилин-дрической симметрии в любой точкебоковой поверхности цилиндра век-тор напряженности E имеет одну иту же длину (модуль) и направленвдоль радиуса цилиндра. Поток век-тора напряженности через замкну-тую поверхность цилиндра, равный,согласно теореме Гаусса, деленномуна ε0 заряду q той части нити, ко-торая оказалась внутри поверхностиинтегрирования, представляет собойсумму потоков через боковую поверх-ность

∫бок

E dS и через основания ци-

линдра∫осн

E dS. При этом поток вектора E через основания равен нулю

в силу перпендикулярности друг другу вектора E и вектора dS любойэлементарной площадки основания. Таким образом, поток вектора на-пряженности через поверхность цилиндра равен∮

S

E dS =∫

бок

E dS +∫

осн

E dS =∫

бок

E dS =q

ε0

.

На боковой поверхности цилиндра вектор напряженности E и пер-пендикулярный боковой поверхности цилиндра вектор dS оказываютсясонаправленными, так что скалярное произведение этих векторов равно


произведению их модулей, E dS = E dS. Модуль вектора E одинаковво всех точках боковой поверхности, так что константа E может бытьвынесена из-под знака интеграла при вычислении потока:

∫

бок

E dS =∫

бок

E dS = E∫

бок

dS = E · 2πrl =q

ε0

,

где было учтено, что интеграл∫бок

dS представляет собой площадь

боковой поверхности прямого цилиндра радиуса r и высотой l и,следовательно, равен 2πrl.

Заряд q той части нити, которая оказалась внутри поверхностиинтегрирования (внутри цилиндра высотой l), равен λl. С учетом этогопоследнее равенство принимает вид

E · 2πrl =λl

ε0

,

откуда напряженность поля E бесконечно длинной равномерно заря-женной нити на удалении r равна

E =λ

2πε0r.

§6. Напряженность поля заряженной плоскости

Рассмотрим неограниченную (бесконечную) плоскую поверхность,равномерно заряженную положительным зарядом с поверхностнойплотностью σ (положительный знак заряда выбран только для опреде-ленности). По соображениям симметрии вектор напряженности поля E

Рис. 19

в любой точке пространства дол-жен быть направлен перпендикуляр-но плоскости и иметь одну и ту жевеличину (модуль) во всех точках,равноудаленных от плоскости. Сило-вые линии поля заряженной плос-кости изображены на рис. 19. Длявычисления напряженности поля Eиспользуем теорему Гаусса, а в ка-честве поверхности интегрированиявыберем поверхность прямого цилин-

дра, основания которого параллельны заряженной плоскости и распо-ложены по разные стороны на одинаковом расстоянии от нее (рис. 20).Пусть площадь основания цилиндра равна ΔS. Внутри поверхностиинтегрирования окажется часть заряженной плоскости площадью ΔS,заряд которой равен σΔS.Применим теорему Гаусса:

∮

S

E dS =σΔS

ε0

.

§ 7 ] Теорема о циркуляции вектора напряженности 29

Здесь E — напряженность поля в точках поверхности интегрирова-ния S, то есть поверхности цилиндра (см. рис. 20).

Поток вектора напряженности — интеграл по поверхности цилин-дра — равен сумме потоков через боковую поверхность

∫бок

E dS и через

основания цилиндра∫осн

E dS, при этом поток через боковую поверх-

ность равен нулю, поскольку в любой ее точке вектор напряженностиE перпендикулярен вектору элементарной площадки dS (рис. 20):

∮

S

E dS =∫

бок

E dS +∫

осн

E dS =∫

осн

E dS =σΔS

ε0

.

На основаниях цилиндра векторы E и dS сонаправлены, их скаляр-ное произведение равно произведению модулей, E dS = E dS. Модуль

Рис. 20

E в силу симметрии одинаков во всехточках оснований и может быть вынесениз-под знака интеграла:

∫

осн

E dS =∫

осн

E dS = E∫

осн

dS =

= E · 2ΔS =σΔS

ε0

.

Отсюда находим модуль напряженно-сти E:

E =σ

2ε0

. (6.1)

Из полученного выражения видно,что напряженность E поля бесконечнойзаряженной плоской поверхности не зависит от расстояния до этойповерхности. Если заряженная плоская поверхность имеет конечныеразмеры, то, строго говоря, формула (6.1) не справедлива. Однаковыражение (6.1) можно применять и в этом случае для приближенногорасчета напряженности поля в точках пространства, расположенных намалых расстояниях от поверхности (расстояние от точки наблюдениядо поверхности должно быть мало по сравнению с размерами самойзаряженной поверхности).

§7. Теорема о циркуляции вектора напряженностиэлектростатического поля. Потенциал

Работа сил электростатического поля и понятие циркуляции.Пусть точечный заряд q, находящийся в электростатическом поле снапряженностью E, перемещается из произвольной точки 1 в произ-вольную точку 2. Действующая на заряд со стороны поля сила F равна


qE, а работа сил поля на указанном перемещении представляет собойинтеграл:

A =

2∫

1

F dl = q

2∫

1

E dl,

где dl — вектор элементарного перемещения (рис. 21). Пусть началь-ная и конечная точки траектории совпадают между собой, то естьтраектория представляет собой замкнутую линию, которую обозначимбуквой l (замкнутый контур) (рис. 22). Работа сил поля, совершаемая

Рис. 21

при перемещении заряда q по замкнутомуконтуру l, деленная на величину q это-го заряда (иначе говоря, работа поля, от-несенная к единичному положительномузаряду), называется циркуляцией векторанапряженности поля E:

Aед =A

q=

∮

l

E dl.

Окончательно, определение циркуляции вектора E и физический

l

d l

E

Рис. 22

смысл этого понятия таковы.Циркуляция вектора напряженности E электроста-

тического поля равна вычисленному по замкнутомуконтуру l интегралу: ∮

l

E dl.

Циркуляция вектора E численно равна работе силэлектростатического поля, совершаемой при перемеще-нии единичного положительного заряда по замкнутомуконтуру.

Теорема о циркуляции вектора напряженности электростати-ческого поля. Формулировка теоремы следующая.

Циркуляция вектора напряженности E электростатическогополя по произвольному замкнутому контуру l равна нулю:∮

l

E dl = 0. (7.1)

Доказательство этого утверждения основывается на свойствах кон-сервативного поля. При изучении механики было показано, что элек-тростатическое (кулоновское) поле является консервативным. Это озна-чает, что работа сил электростатического поля при перемещении то-чечного заряда из произвольного начального положения в произволь-ное конечное положение не зависит от вида траектории и характерадвижения, а определяется только координатами заряда в начальном иконечном положениях (см. кн. 1 «Механика», гл. III, § 21). Кроме того,


работа сил поля при перемещении заряда по произвольной замкнутойтраектории (замкнутому контуру) равна нулю. Следовательно циркуля-ция вектора напряженности E по произвольному замкнутому контуруравна нулю.

Теорема о циркуляции в дифференциальной форме. Равенство(7.1) представляет собой теорему о циркуляции в интегральной форме.Для записи этой теоремы в дифференциальной форме необходимо

d l

E

l

Sn

A

rot E

Рис. 23

ввести определение ротора вектор-ной величины.

Рассмотрим циркуляцию векто-ра E по замкнутому контуру l(рис. 23). Если размеры контура lвзять достаточно малыми, его мож-но считать плоским. Выберем еди-ничный вектор n нормали к плоско-сти контура l, связанный правиломправого винта с направлением обхо-да контура. Площадь поверхности,охватываемой контуром, равна ΔS.Пусть контур l стягивается в точ-ку A, при этом площадь ΔS стремит-ся к нулю.

Ротором вектора напряженностиэлектрического поля E (rotE) внекоторой точке A пространства на-зывается такой вектор, проекция ко-торого на направление нормали n к плоскости замкнутого контура lравна пределу отношения циркуляции вектора E по контуру l к пло-щади ΔS, ограниченной контуром поверхности при условии, что ΔSстремится к нулю и контур l стягивается к точке A:

(rotE)n = limΔS→0

∮lE dl

ΔS. (7.2)

Разделив обе части равенства (7.1) на величину площади ΔS,охватываемой контуром l поверхности, и вычислив предел обеих частейравенства при стремлении ΔS к нулю, получим теорему о циркуляциивектора E в дифференциальной форме:

limΔS→0

∮lE dl

ΔS= 0,

rotE = 0. (7.3)

Ротор вектора напряженности E в декартовых координатах.Если задана зависимость E = E (x, y, z) вектора напряженности элек-трического поля от декартовых координат x, y, z, ротор вектора E


можно представить как векторное произведение оператора набла навектор E или в виде соответствующего определителя:

rotE = [∇,E] =

∣∣∣∣∣∣∣∣

i j k

∂

∂x

∂

∂y

∂

∂zEx Ey Ez

∣∣∣∣∣∣∣∣. (7.4)

Справедливость представления (7.4) ротора векторной функцииE (x, y, z) в декартовых координатах доказывается в курсе векторногоанализа.

Потенциал электростатического поля. Понятие потенциалаэлектростатического поля тесно связано с понятием потенциальнойэнергии тела в поле консервативных сил. Поскольку электростатиче-ское поле является консервативным, помещенное в него заряженноетело обладает потенциальной энергией. Потенциалом ϕ электро-статического поля в некоторой его точке называется величина,равная потенциальной энергии единичного положительного заряда,помещенного в эту точку. Напомним, что в системе СИ единичныйзаряд равен одному кулону.

Опираясь на понятие потенциальной энергии, которое было введенопри изучении механики, раскроем данное выше определение потенциа-ла электростатического поля так, чтобы получить способ его вычисле-ния.

Потенциал ϕ в точке P электростатического поля равен работе силполя, совершаемой при перемещении пробного положительного заряда

d l

P

O

E

ïðq

Рис. 24

qпр из точки P в точку O, принятуюза начало отсчета потенциала, деленнойна qпр:

ϕ =A

qпр

=

O∫

P

E dl, (7.5)

Здесь P — точка поля, в которой опре-деляется потенциал ϕ, O — точка на-чала отсчета потенциала (в точке O поопределению потенциал ϕ равен нулю),A — работа сил поля по перемещениюпробного положительного заряда qпр из

точки P в точку O (рис. 24). Из выражения (7.5) видно, что потенци-ал ϕ численно равен работе сил поля, совершаемой при перемещенииединичного положительного заряда из точки P в точку O.

Поскольку понятие потенциала ϕ является частным случаем поня-тия потенциальной энергии в применении к электростатическому полю,свойства потенциала аналогичны свойствам функции потенциальнойэнергии и не требуют специального доказательства (см. кн. 1 «Меха-ника», гл. III, § 25).


Свойства потенциала. 1. Потенциал ϕ в данной точке электро-статического поля является функцией только координат x, y, z этойточки:

ϕ = ϕ(x, y, z).

2. Работа сил поля по перемещению единичного положительногозаряда из произвольного начального положения 1 в произвольное ко-нечное положение 2 равна убыли потенциала:

Aед =

2∫

1

E dl = ϕ1 − ϕ2, (7.6)

где ϕ1 — потенциал поля в точке 1, ϕ2 — то же в точке 2.Если точки 1 и 2 расположены достаточно близко одна от другой,

интеграл можно заменить скалярным произведением E dl, где dl —вектор перемещения, проведенный из точки 1 в точку 2, E — напря-женность поля, приблизительно одинаковая во всех точках отрезка dl.В этих условиях соотношение (7.6) между работой поля и изменениемпотенциала можно записать в дифференциальной форме:

E dl = −dϕ, (7.7)

где dϕ — приращение, (−dϕ) — убыль потенциала при перемещениииз точки 1 поля в точку 2.

3. Потенциал ϕ электростатического поля определен с точностью доаддитивной постоянной величины. При замене точки O, принятой заначало отсчета потенциала, на некоторую другую точку O′ потенциалϕ во всех точках поля изменяется на одну и ту же величину C, равнуюработе сил поля при перемещении единичного положительного зарядаиз точки O в точку O′:

ϕ′ = ϕ + C,

где C =O′∫O

E dl.

З а м е ч а н и е о выборе начала отсчета потенциала. Если точечныйзаряд или заряды, которые порождают электростатическое поле, лока-лизованы в ограниченной области пространства, то в качестве положе-ния, принятого за начало отсчета потенциала, обычно выбирают точкипространства, бесконечно удаленные от места локализации зарядов. Вомногих задачах потенциал Земли принимается равным нулю.

Потенциал ϕ, а также разность потенциалов ϕ1 и ϕ2 в двух точкахполя, которая называется электрическим напряжением и обозначаетсябуквой U (U = ϕ1 − ϕ2), измеряются в вольтах (В).

Один вольт — это такая разность потенциалов, при которой длямедленного (квазистатического) перемещения заряда величиной 1 Клиз одной точки в другую требуется совершить работу против сил поля,равную 1 Дж:

1 В = 1 Дж/Кл.

2 А.Н. Леденев


§8. Потенциал поля точечного заряда и системызарядов

Потенциал поля точечного заряда. Вычислим потенциал ϕ по-ля заряда q в точке P , расположенной на расстоянии r от заряда.

Рис. 25

Потенциал ϕ равен работе сил поля,совершаемой при перемещении единич-ного положительного заряда из точкиP в «бесконечность», т.е. в точку O,расположенную на бесконечно большомудалении от заряда q, где потенциал ϕсчитается равным нулю (рис. 25).

Согласно определению (7.5) с учетомвыражения (1.4) для напряженности поля точечного заряда потенциалϕ в точке P равен:

ϕ =

O∫

P

E dl =

O∫

P

q

4πε0r′3r′dr′ =

∞∫

r

q

4πε0r′3

r′ dr′ =q

4πε0r. (8.1)

где r′ — переменная интегрирования — вектор, проведенный от зарядаq к единичному положительному заряду, dl = dr′ —вектор элементар-ного перемещения.

Потенциал поля системы точечных зарядов. Для потенциала ϕэлектростатического поля справедлив принцип суперпозиции. Потен-циал поля системы зарядов q1, q2, . . ., qi, . . . в некоторой точке Pпространства равен алгебраической сумме потенциалов поля, котороесоздавал бы в этой точке каждый из зарядов в отсутствие остальных.Это утверждение следует из определения потенциала и принципа су-перпозиции для вектора напряженности поля:

ϕ =

O∫

P

E dl =

O∫

P

(∑Ei

)dl =

∑ O∫

P

Ei dl =∑

ϕi,

где E =∑

Ei — напряженность поля системы зарядов, ϕ =O∫P

E dl —

потенциал поля системы зарядов, ϕi =O∫P

Eidl — потенциал в точке P

поля заряда qi в отсутствие остальных зарядов.Получим выражение для потенциала поля системы точечных заря-

дов на большом удалении от места их локализации. Пусть q1, q2, ...,qi, ... — точечные заряды, расположенные в некоторой ограниченнойобласти пространства. Точка наблюдения A удалена от всех этихзарядов q1, точка O находится вблизи них (рис. 26). R1, R2, ...,Ri, ... — радиусы-векторы, проведенные из точки O к каждому иззарядов q1, q2, ..., qi, ... ; r1, r2, ..., ri, ... — векторы, проведенные откаждого из рассматриваемых зарядов к точке A; r — радиус-вектор,

§ 8 ] Потенциал поля точечного заряда и системы зарядов 35

проведенный из точки O к точке A, er — вектор единичной длины,сонаправленный с r.

По принципу суперпозиции потенциал ϕ поля в точке A равен сум-ме потенциалов ϕi = kqi/ri (см. 8.1), создаваемых каждым из зарядовqi в отсутствие остальных:

ϕ =∑

ϕi =∑ kqi

ri, (8.2)

где k = 1/(4πε0).Поскольку точка A удалена от всех зарядов q1, q2, ..., qi, ... и

длины векторов ri, а также длина вектора r намного превышают длинывекторов Ri, расстояние ri от любого заряда qi до точки A можнопредставить в следующем виде (см. рис. 26):

ri ≈ r − Rier = r(1− Rier

r

).

Здесь Rier — проекция вектора Ri на направление вектора r, величинаRier/r является параметром, малым по сравнению с единицей.

O

1q

2q

iq

1R

2R

iR

re

ir

r

A

Рис. 26

Подставив ri в (8.2) и выполнив преобразования, включающиеразложение полученного выражения по малому параметру, найдем по-тенциал ϕ поля в точке A:

ϕ =∑ kqi

r(1−Rier/r

) ≈∑ kqi

r

(1+

Rier

r

)=

∑ kqi

r+

∑ kqi

r

Rier

r=

=k

(∑qi

)r

+k

(∑qiRi

)er

r2=

kq

r+

kper

r2. (8.3)

В (8.3) введены следующие обозначения: q =∑

qi — алгебраическаясумма всех зарядов системы, p =

∑qiRi — так называемый дипольный

момент системы зарядов.По определению, дипольный момент p системы зарядов q1, q2, ...,

qi, ... относительно фиксированной точки O пространства равен суммепроизведений заряда qi на радиус-вектор Ri, проведенный к этомузаряду из точки O:

p =∑

qiRi. (8.4)

Здесь суммирование ведется по всем зарядам системы.

2*


Итак, выражение (8.3) позволяет вычислить потенциал ϕ полясистемы точечных зарядов на большом удалении от области их ло-кализации. Если алгебраическая сумма зарядов системы равна нулю,q =

∑qi = 0, то первое слагаемое в правой части (8.3) равно нулю,

и потенциал определяется только вторым слагаемым, зависящим отдипольного момента p системы. При этом потенциал ϕ убывает сувеличением расстояния r от области локализации системы зарядов доточки наблюдения по закону 1/r2, то есть значительно быстрее, чемпотенциал поля точечного заряда (8.1).

Вектор дипольного момента p (8.4) является важной характеристи-кой всякой заряженной физической системы. Можно показать, что еслисуммарный заряд системы равен нулю, т.е. q =

∑qi = 0, то дипольный

момент p не зависит от выбора точки O, относительно которой онвычисляется.

§9. Связь между потенциалом и напряженностьюполя

Пусть в пространстве имеется электростатическое поле, потенциалϕ(x, y, z) которого как функция декартовых координат x, y, z известен.Выразим напряженность поля E через потенциал ϕ.

Согласно свойству потенциала (7.7) при элементарном перемещенииdl единичного положительного заряда в электрическом поле силы полясовершают работу, равную убыли потенциала:

E dl = −dϕ.

Векторы напряженности поля E и элементарного перемещения dl вдекартовой системе координат можно представить в виде

E = Exi + Eyj + Ezk,

dl = dx i + dy j + dz k,

где i, j, k — орты координатных осей.Выразив скалярное произведение E dl через произведение компо-

нент перемножаемых векторов, получим

Ex dx + Ey dy + Ez dz = −dϕ.

Пусть вектор элементарного перемещения dl параллелен коорди-натной оси Ox, то есть единичный положительный заряд смещаетсяпараллельно оси x. Тогда приращения координат dy и dz равны нулю,и из последнего равенства получим

Ex dx = −dϕy,z,

где нижние индексы y, z у знака потенциала ϕ указывают, что коор-динаты y и z единичного положительного заряда при его перемещениине изменяются: y = const, z = const.

§ 9 ] Связь между потенциалом и напряженностью поля 37

Выразим компоненту Ex через приращение потенциала dϕy,z :

Ex = −(

dϕ

dx

)y,z

= −∂ϕ (x, y, z)

∂x. (9.1)

Компонента Ex равна частной производной функции ϕ(x, y, z) покоординате x.

Аналогично можно показать, что компоненты Ey и Ez равны част-ным производным потенциала по координатам y и z:

Ey = −∂ϕ (x, y, z)

∂y, (9.2)

Ez = −∂ϕ (x, y, z)

∂z. (9.3)

Таким образом, компоненты вектора E можно определить, знаязависимость от координат x, y и z потенциала ϕ, а сам вектор Eпредставить в следующем виде:

E = −∂ϕ

∂xi − ∂ϕ

∂yj − ∂ϕ

∂zk = −∇ϕ = − gradϕ. (9.4)

Вектор напряженности поля E равен взятому с противоположнымзнаком градиенту потенциала ϕ. Полученное выражение аналогичноформуле механики, устанавливающей связь между силой, действующейна тело в поле консервативных сил, и потенциальной энергией тела.

Эквипотенциальные поверхности. Пусть в пространстве имеетсяэлектростатическое поле.

Эквипотенциальной поверхностью называется такая воображае-мая поверхность в пространстве, во всех точках которой потенциал ϕ

Рис. 27

имеет одно и то же значение.Рассмотрим при м е ры. Условие по-

стоянства потенциала в поле точечногозаряда q имеет вид:

ϕ =1

4πε0

q

r= const.

Отсюда следует уравнение эквипо-тенциальной поверхности:

r = const.

Следовательно, эквипотенциальныеповерхности представляют собой сферы с центром в точке расположе-ния заряда q (рис. 27).

Эквипотенциальные поверхности в поле бесконечной равномернозаряженной тонкой пластины — это плоскости, параллельные пластине(рис. 28).

Эквипотенциальные поверхности всегда перпендикулярны лини-ям напряженности электростатического поля. Это утверждение ил-люстрируют рисунки 27 и 28. Докажем его в общем случае.


Согласно свойству (7.7) потенциала E dl = −dϕ. В левой части этогоравенства стоит величина, равная элементарной работе сил поля, со-

Рис. 28

вершаемой при перемещении еди-ничного положительного зарядавдоль вектора dl. Пусть вектор dlпринадлежит эквипотенциальнойповерхности (рис. 29). При пере-мещении заряда вдоль эквипотен-циальной поверхности прираще-ние потенциала равно нулю, dϕ == 0. Следовательно, E dl = 0.

Если скалярное произведениеотличных от нуля векторов E и dl

равно нулю, эти векторы должны быть перпендикулярны друг дру-гу: E⊥dl. Поскольку dl принадлежит эквипотенциальной поверхности,

const��d l

E

Рис. 29

вектор E перпендикулярен этой поверхно-сти. Что и требовалось доказать.

Уравнения Пуассона и Лапласа.Пусть распределение объемной плотно-сти электрического заряда в простран-стве описывается функцией ρ(x, y, z). Какпо известному распределению зарядов впространстве найти потенциал ϕ(x, y, z)электростатического поля этих зарядов?

Воспользуемся теоремой Гаусса в дифференциальной форме (3.4):

div E =ρ

ε0

,

а также связью между напряженностью E и потенциалом ϕ поля (9.4):

E = − gradϕ.

В координатной записи эти равенства имеют следующий вид:

∂Ex

∂x+

∂Ey

∂y+

∂Ez

∂z=

ρ

ε0

,

Ex = −∂ϕ

∂x, Ey = −∂ϕ

∂y, Ez = −∂ϕ

∂z.

Подставляя компоненты Ex, Ey, Ez вектора напряженности извторого уравнения в первое, получим:

∂2ϕ (x, y, z)

∂x2+

∂2ϕ (x, y, z)

∂y2+

∂2ϕ (x, y, z)

∂z2= −ρ (x, y, z)

ε0

, (9.5)

Уравнение (9.5) называется уравнением Пуассона (1781–1840).В случае, когда ρ = 0, оно переходит в уравнение Лапласа (1749–1827):

∂2ϕ

∂x2+

∂2ϕ

∂y2+

∂2ϕ

∂z2= 0. (9.6)

§ 10 ] Граничные условия для вектора напряженности 39

Решение уравнений (9.5) и (9.6) позволяет по заданному распре-делению ρ(x, y, z) объемной плотности заряда в пространстве найтипотенциал электростатического поля ϕ(x, y, z), а затем, при необхо-димости, рассчитать и напряженность поля. При заданных граничныхусловиях дифференциальные уравнения (9.5) и (9.6) имеют единствен-ные решения.

С помощью оператора Лапласа Δ, который можно представить какскалярное произведение оператора набла самого на себя:

Δ = ∇2 = (∇,∇) =∂2

∂x2+

∂2

∂y2+

∂2

∂z2,

уравнения (9.5) и (9.6) записываются в компактной форме:

Δϕ = − ρ

ε0

, Δϕ = 0.

§10. Граничные условия для вектора напряженностиэлектрического поля

Пусть имеются две граничащие между собой среды 1 и 2, каждаяиз которых может или проводить электрический ток или быть диэлек-

2

1

1E

2E

Рис. 30

трической; среда может также грани-чить с вакуумом. На поверхности разде-ла (границе) двух сред 1 и 2 распределенс поверхностной плотностью σ электри-ческий заряд (рис. 30); E1 и E2 — векто-ры напряженности электрического поляпервой и второй среды в точках, рас-положенных близко к границе раздела.Найдем связь между тангенциальнымии нормальными составляющими (компо-нентами) векторов E1 и E2.

Граничные условия для тангенциальной компоненты векто-ра Е. Выберем такой прямоугольный контур ABCD малых размеров,чтобы стороны AB и CD прямоугольника располагались в средах 1 и2 на малом расстоянии от границы между средами (рис. 31). Длинысторон прямоугольника равны: AB = CD = dl, AD = BC = h, причемширина h прямоугольника много меньше его длины dl: h � dl (h —величина более высокого порядка малости по сравнению с dl).

Циркуляция вектора напряженности E электрического поля по про-извольному замкнутому контуру, в том числе, по контуру ABCD,равна нулю: ∮

ABCD

E dl = 0.

Представим интеграл по контуру ABCD в виде суммы четырехслагаемых — интегралов по каждой из четырех сторон AB, BC, CD,


DA прямоугольника. В силу условия h � dl величиной интеграловвдоль сторон DA и BC пренебрежем по сравнению с интеграламивдоль сторон AB и CD, а их, в свою очередь, заменим скалярнымипроизведениями векторов напряженности E1 и E2 на векторы элемен-тарных перемещений dl1 и dl2 вдоль сторон AB и CD, учитывая приэтом, что |dl1| = |dl2| = dl. Итак, циркуляция вектора E по контуруABCD равна

∮

ABCD

E dl =∮

AB

E dl +∮

BC

E dl +∮

CD

E dl +∮

DA

E dl ≈

≈∮

AB

E dl +∮

CD

E dl = E1dl1 + E2dl2 = −E1τ dl + E2τdl = 0,

здесь E1τ и E2τ — проекции векторов E1 и E2 на направление единич-ного вектора τττττττττ, лежащего на касательной к поверхности раздела сред

1E

d l

d l

2E

��D

A

2

1B

C2

1

Рис. 31

и сонаправленного с вектором пере-мещения dl2 (рис. 31).

Из последнего равенства получа-ем граничные условия для тангенци-альной компоненты вектора напря-женности электрического поля E:

E1τ = E2τ , (10.1)

Условие (10.1) означает, что припереходе через границу раздела двухсред тангенциальная компонента век-тора E не испытывает скачка, а изме-няется непрерывно.

Граничные условия для нормальной компоненты вектора Е.Чтобы установить связь между нормальными компонентами вектора E

2E

1E

dS

n

2

dS1

2

1

Рис. 32

по разные стороны границы двух сред,воспользуемся теоремой Гаусса. В ка-честве замкнутой поверхности инте-грирования возьмем поверхность пря-мого цилиндра, основания которогорасположенны по разные стороны по-верхности раздела сред 1 и 2, парал-лельны ей и имеют бесконечно малуюплощадь dS. Векторы dS1 и dS2 эле-ментарных площадок, которыми явля-ются основания цилиндра, перпенди-кулярны поверхности раздела сред 1и 2 (рис. 32). Высоту цилиндра устре-мим к нулю, так чтобы потоком век-тора E через его боковую поверхность можно было пренебречь посравнению с потоком через основания. Участок поверхности раздела

§ 11 ] Потенциал и напряженность поля электрического диполя 41

двух сред, расположенный внутри цилиндра, имеет площадь, практи-чески равную площади оснований dS, на нем сосредоточен заряд σdS.Согласно теореме Гаусса, поток вектора напряженности через поверх-ность цилиндра S равен деленному на ε0 заряду σdS, расположенномувнутри цилиндра: ∮

S

E dS =σdS

ε0

,

∮

S

E dS =∮

осн

E dS +∮

бок

E dS ≈∮

осн

E dS = E1dS1 + E2dS2 =

= −E1ndS + E2ndS =σdS

ε0

.

В процессе преобразований было учтено, что так как основанияцилиндра являются элементарными площадками, то поток через осно-вания равен сумме скалярных произведений векторов напряженностиE1 и E2 на векторы элементарных площадок dS1 и dS2 соответственно.Скалярные произведения E1dS1 и E2dS2 были представлены с помо-щью проекций E1n и E2n векторов E1 и E2 на направление общейнормали n к основаниям цилиндра, проведенной из первой среды вовторую (рис. 32).

Из последнего равенства получим граничные условия для нормаль-ной компоненты вектора E:

E2n − E1n =σ

ε0

. (10.2)

Согласно (10.2) при переходе через границу раздела сред нормаль-ная компонента вектора напряженности E испытывает скачок, величи-на которого определяется поверхностной плотностью заряда σ.

§11. Потенциал и напряженность поляэлектрического диполя

Электрическим диполем называется система двух равных по вели-чине, противоположных по знаку зарядов +q и −q, расположенных нанекотором фиксированном расстоянии l друг от друга.

Дипольным моментом электрического диполя называется вектор p,равный

p = ql, (11.1)

где q — модуль каждого из зарядов диполя, l — вектор, проведенныйот отрицательного заряда к положительному.

Определение (11.1) полностью соответствует приведенному ранееопределению (8.4) дипольного момента произвольной системы зарядов.Действительно, если система состоит из двух зарядов +q и −q, тодипольный момент такой системы в соответствии с (8.4) равен

p = qR1 − qR2 = q(R1 − R2) = ql,


где R1 и R2 — радиусы-векторы, проведенные из некоторой точкиотсчета O к зарядам +q и −q; разность векторов R1 и R2 равна

Рис. 33

вектору l, проведенному от отрицатель-ного заряда к положительному (рис. 33).

Точечным электрическим диполемназывается диполь, размер которого lмал по сравнению с расстоянием, на ко-тором определяется поле диполя.

Потенциал электрического поляточечного диполя. Рассмотрим точеч-ный диполь, дипольный момент которогоравен p. Нас интересует потенциал ϕ по-ля диполя в точке A, расположенной нарасстоянии r от центра диполя, причемr много больше l — расстояния междузарядами −q и +q, составляющими ди-

поль (рис. 34). Направим координатную ось z вдоль оси диполя внаправлении от отрицательного заряда к положительному. Угол между

q�lq� z

� �

r�r �r

A

Рис. 34

осью z и радиусом-вектором r, прове-денным из центра диполя в точку на-блюдения A, равен θ; r+ и r− — рассто-яния между зарядами +q и −q и точ-кой A. Ввиду малости l по сравнениюс расстоянием r (l � r) можно считать,что углы, под которыми видна точка Aиз точек, где расположены заряды −qи +q, приблизительно равны друг другуи углу θ; разность расстояний r− и r+

равна l cos θ; произведение r+r− можнозаменить на величину r2. С учетом всех сделанных замечаний рассчи-таем потенциал ϕ в точке наблюдения A как алгебраическую суммупотенциалов зарядов +q и −q:

ϕ =kq

r+

− kq

r−=

kq (r− − r+)

r+r−≈ kql cos θ

r2=

kp cos θ

r2= k

pr

r3.

Итак, потенциал электрического поля точечного диполя равен

ϕ = kpr

r3, (11.2)

где k = 1/(4πε0), pr — скалярное произведение дипольного момента pна радиус-вектор r, проведенный от диполя в точку наблюдения.

Полученное выражение (11.2) позволяет рассчитать потенциал ϕполя диполя в точке A, положение которой в пространстве заданорадиусом-вектором r, проведенным в эту точку из центра диполя. По-тенциал ϕ определяется величиной дипольного момента p, расстояниемr до точки наблюдения и углом θ между осью диполя и радиусом-вектором r. Формула (11.2) является частным случаем выражения

§ 11 ] Потенциал и напряженность поля электрического диполя 43

(8.3) для потенциала поля произвольной системы зарядов на большомудалении.

Напряженность поля точечного диполя. Для определения на-пряженности поля диполя воспользуемся формулами (9.1)–(9.3), уста-навливающими связь между напряженностью и потенциалом электро-статического поля. Рассмотрим диполь с моментом p и точку наблюде-ния A, положение которой в пространстве задано радиусом-вектором r,

�

p

r

A E

rE

�E

y�

x�

Рис. 35

проведенным в эту точку из центра диполяпод углом θ к его оси (рис. 35). Расстоя-ние r много больше размеров диполя (r �� l), так что диполь можно считать точеч-ным. Поместим вспомогательную декартовусистему координат x′Ay′ в плоскости, про-ходящей через ось диполя и радиус-вектор rтаким образом, что начало системы коорди-нат совпадает с точкой наблюдения A, осьAx′ направлена вдоль радиуса-вектора r,ось Ay′ перпендикулярна r′.

Пусть E — напряженность поля диполяв точке A. В силу цилиндрической симмет-рии электрического поля рассматриваемойсистемы двух зарядов (это поле симмет-рично относительно прямой, совпадающейс осью диполя) вектор напряженности E вточке A лежит в плоскости, проходящей через ось диполя. Проекциюна ось Ax′ вектора E обозначим через Er и вычислим ее в соответ-ствии с формулой (9.1) как производную потенциала ϕ = kp cos θ/r2 по

p 0��

Рис. 36

координате x′, или, что то же са-мое, как производную потенциала ϕпо переменной r, поскольку прира-щение координаты x′ равно прираще-нию r (∂x′ = ∂r):

Er = − ∂ϕ

∂x′= −∂ϕ

∂r=

2kp cos θ

r3. (11.3)

Проекцию на ось Ay′ вектора Eобозначим через Eθ и вычислимкак производную потенциала ϕ == kp cos θ/r2 по координате y′, учиты-вая, что бесконечно малое прираще-

ние ∂y′ координаты y′ можно выразить чрез переменные r и θ, аименно:

∂y′ = r∂θ.

Таким образом, проекция Eθ равна

Eθ = − ∂ϕ

∂y′= − ∂ϕ

r∂θ=

kp sin θ

r3. (11.4)


Если известен дипольный момент p, по формулам (11.3) и (11.4)можно рассчитать компоненты Er и Eθ вектора напряженности E полядиполя в любой достаточно удаленной точке A пространства. Картинасиловых линий поля точечного диполя представлена на рис. 36. Штри-ховая прямая обозначает эквипотенциальную поверхность, для которойϕ = 0.

§12. Диполь во внешнем электрическом поле: сила,момент сил, потенциальная энергия

Сила, действующая на диполь. Рассмотрим находящийся вовнешнем электрическом поле точечный электрический диполь, моменткоторого p = ql, где q — модуль каждого из двух точечных зарядовпротивоположного знака, составляющих диполь, l — расстояние междузарядами (рис. 37). Рассчитаем действующую на диполь силу F каксумму сил F+ = qE+ и F− = −qE−, действующих со стороны внешне-го поля на положительный и отрицательный заряды:

F = F+ + F− = qE+ − qE− = q(E+ − E−),

здесь E+ и E− — напряженность внешнего поля в точках расположе-ния положительного +q и отрицательного −q зарядов соответственно.

�F�E

l

�E �F

q�

q�

Рис. 37

Представим разность векторов E+ иE− в следующем виде:

E+ − E− =E+ − E−

ll ≈ ∂E

∂ll.

В преобразованиях было учтено,что расстояние l между зарядами мало,так что величину (E+ − E−)/l можноприблизительно считать равной произ-водной ∂E/∂l напряженности поля Eпо направлению оси диполя.

Напомним, что производная вектор-ной функции координат E (x, y, z) по направлению, заданному некото-рой прямой, равна пределу отношения приращения функции ΔE, взя-той в двух близко расположенных точках этой прямой, к расстоянию lмежду этими точками при l стремящемся к нулю:

∂E

∂l= lim

l→0

ΔE

l.

Итак, действующая на диполь сила F равна

F = q (E+ − E−) ≈ q∂E

∂ll = p

∂E

∂l. (12.1)

В однородном поле вектор напряженности E одинаков во всехточках пространства, так что производная по любому направлениювектора E равна нулю. Следовательно, в однородном поле равна нулюсила F, действующая на диполь (см. (12.1)).

§ 12 ] Диполь во внешнем электрическом поле 45

Момент сил, действующий на диполь. Допустим, что точечныйдиполь, момент которого p = ql, где q — модуль каждого из зарядов,

q�

q�E

O

�F

�F

l

�r

�r

Рис. 38

составляющих диполь, l — расстоя-ние между ними, находится во внеш-нем электрическом поле с напряженно-стью E, причем поле можно считатьпрактически однородным на расстоянияхпорядка l. Силы, действующие на поло-жительный и отрицательный заряды ди-поля, соответственно равны: F+ = qE,F− = −qE. Пусть r+ и r− — радиусы-векторы, проведенные из некоторой точ-ки O к положительному и отрицатель-ному зарядам диполя (рис. 38). Рассчи-тываемый относительно точки O моментсил, действующих на диполь, равен сумме моментов сил, приложенныхсо стороны внешнего поля к каждому из зарядов:

M = [r+,F+] + [r−,F−] = [r+, qE] + [r−,−qE−] =

= [q(r+ − r−),E] = [ql,E] = [p E].

В преобразованиях было учтено, что разность r+ − r− равна векто-ру l, проведенному от отрицательного заряда к положительному, ql == p — вектор дипольного момента.

Итак, момент сил M, действующий на диполь со стороны внешнегоэлектрического поля, равен векторному произведению дипольного мо-мента p на напряженность поля E в той точке поля, где расположендиполь:

M = [p E]. (12.2)

Из рис. 38 видно, что под действием момента сил M свободныйдиполь будет вращаться и стремиться перейти в такое положение, прикотором его ось параллельна линиям напряженности внешнего поля, адипольный момент p расположен параллельно вектору напряженностиE внешнего поля (p ↑↑ E).

Энергия диполя во внешнем поле. Вновь рассмотрим точечныйэлектрический диполь во внешнем электрическом поле.

Потенциал ϕ электростатического поля равен потенциальной энер-гии единичного положительного заряда, помещенного в поле. Потен-циальная энергия Wq заряда q, находящегося в электрическом поле, вq раз отличается от энергии единичного положительного заряда:

Wq = qϕ.

Диполь — это система из двух зарядов: +q и −q. Потенциальнаяэнергия диполя, помещенного во внешнее поле, равна сумме потенци-альных энергий каждого из зарядов:

W = Wq + W−q = qϕ+ − qϕ− = q(ϕ+ − ϕ−),


где ϕ+ и ϕ− — потенциал поля в точках расположения положитель-ного и отрицательного зарядов соответственно. Учтем, что расстояниеl между зарядами мало, и выразим разность потенциалов ϕ+ − ϕ−

в двух близко расположенных точках внешнего электрического полячерез производную ∂ϕ/∂l потенциала ϕ этого поля по направлению осидиполя:

ϕ+ − ϕ− =ϕ+ − ϕ−

ll ≈ ∂ϕ

∂ll.

Тогда потенциальная энергия диполя равна:

W = q (ϕ+ − ϕ−) = q∂ϕ

∂ll = p

∂ϕ

∂l.

Пусть E — вектор напряженности внешнего электрического поля втом месте, где располагается диполь. В соответствии с соотношением,устанавливающим связь между напряженностью поля и его потенциа-лом (см. формулы (9.1)–(9.3)), проекция El вектора напряженности Eна направление оси диполя равна взятой с противоположным знакомпроизводной потенциала ϕ по этому направлению:

El = −∂ϕ

∂l.

С учетом этого соотношения потенциальную энергию диполя Wможно представить в следующем виде:

W = −pEl = −pE,

где pE = pEl — скалярное произведение векторов дипольного моментаp и напряженности E, равное произведению модуля p дипольногомомента и проекции напряженности El на направление оси диполя.

Из соотношения (12.3) следует, что энергия диполя в электрическомполе минимальна, если вектор p сонаправлен с вектором E, то естьp ↑↑ E. Положение диполя, в котором векторы дипольного момента pи напряженности поля E сонаправлены, соответствует минимуму энер-гии системы и поэтому является положением устойчивого равновесия.Если изменить направление дипольного момента, возникнет моментсил, стремящийся вернуть диполь в прежнее положение.

Задачи1.1. В вершинах квадрата со стороной A находятся одинаковые од-

ноименные заряды, равные q. Какой заряд Q противоположного знаканеобходимо поместить в центре квадрата, чтобы результирующая сила,действующая на каждый заряд, была равна нулю?

1.2. Найти силу взаимодействия F между точечным зарядом q иточечным диполем, если расстояние между зарядом и диполем равноd, а дипольный момент p направлен вдоль соединяющей их прямой.

1.3. Тонкий диск радиусом R заряжен равномерно с поверхностнойплотностью σ. Определить напряженность поля E в точке, находящей-ся на расстоянии d от диска, на перпендикуляре, проходящем черезцентр диска.

§ 12 ] Задачи 47

1.4. Три концентрические тонкие металлические сферы радиусамиR1 < R2 < R3, находящиеся в вакууме, заряжены соответственно заря-дами Q1, Q2, Q3. В некоторой точке A между первой и второй сферамиизмеряют потенциал. Найти изменение потенциала в этой точке, есливторую и третью сферы замкнуть между собой.

1.5. Найти, какую максимальную разность потенциалов можноподдерживать между проводами бесконечной двухпроводной линии,если напряженность пробоя воздуха E = 30 кВ/см, диаметр проводовd = 1 см, расстояние между проводами b = 5 м.

1.6. С какой поверхностной плотностью σ(θ) следует распределитьзаряд по поверхности сферы радиусом R, чтобы поле внутри нее былооднородным и равным E0? Здесь θ — полярный угол сферическойсистемы координат с началом в центре сферы. Каково при этом будетэлектрическое поле вне сферы?

ГЛАВА II

ПРОВОДНИКИ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ

§13. Свойства проводников в электрическом поле

Предположим, что некоторое тело находится во внешнем электри-ческом поле. Микрополем Eмикро называется вектор напряженностиэлектрического поля, которое существует в данной точке тела в данныймомент времени и представляет собой сумму напряженностей внешнегополя и поля всех заряженных частиц (электронов, атомных ядер), изкоторых состоит тело. Даже если внешнее поле остается неизменнымво времени, микрополе быстро меняется благодаря непрерывному хао-тическому тепловому движению заряженных частиц. Оно испытываетрезкие изменения и при переходе от одной точки пространства к дру-гой. Величина микрополя достигает огромных значений вблизи местлокализации атомных ядер, электронов и резко спадает в промежуткахмежду заряженными частицами. Таким образом, микрополе являетсяпространственно неоднородным, его неоднородность проявляется нарасстояниях порядка размера атома.

Точное измерение или вычисление микрополя не представляетсявозможным на практике. Кроме того, знание микрополя не являетсянеобходимым для решения задач макроскопической электродинамики.В дальнейших рассуждениях, говоря о напряженности E электрическо-го поля в веществе, мы будем иметь ввиду усредненное микрополе:

E = 〈Eмикро〉. (13.1)

В выражении (13.1) угловые скобки означают усреднение по време-ни и по физически бесконечно малому объему тела, под которым мыпонимаем такую часть занятого телом пространства, линейные размерыкоторой много больше размеров атома, но много меньше характерныхрасстояний, на которых изменяется поле E.

Поле E, определяемое выражением (13.1), называют также элек-трическим макрополем.

Электростатическая индукция. В отсутствие внешнего электри-ческого поля положительные и отрицательные заряды микроскопи-ческих частиц, из которых состоит тело, компенсируют друг друга,т.е. суммарный заряд любого физически бесконечно малого объемаравен нулю. При внесении тела в электрическое поле отрицательнозаряженные частицы (например, электроны) смещаются в направлениипротив поля, а положительно заряженные частицы (атомные ядра,положительные ионы) — по направлению поля. Происходит частичное

§ 13 ] Свойства проводников в электрическом поле 49

разделение положительных и отрицательных зарядов в пространстве.В различных частях тела, в частности, на его поверхности, появляютсямакроскопические заряды. Явление возникновения макроскопическихзарядов противоположных знаков вутри тела и на его поверхности поддействием внешнего электрического поля называется электростати-ческой индукцией.

Макроскопические заряды образуются благодаря пространственно-му разделению микроскопических заряженных частиц вещества. Воз-никающие под действием внешнего поля макроскопические зарядыназываются индукционными.

Индукционные заряды создают дополнительное поле, которое на-кладывается на внешнее поле. Полное электрическое поле в любойточке пространства, в том числе, внутри тела, представляет собой су-перпозицию внешнего поля Eвнешн и поля индукционных зарядов Eинд:

E = Eвнешн + Eинд. (13.2)

Если известно внешнее поле и пространственное распределениеиндукционных зарядов, напряженность электрического поля которыхподдается расчету, этого достаточно для вычисления по формуле (13.2)полного электрического поля E в любой точке пространства, в томчисле, внутри тела.

Если в проводниках имеются свободные заряженные частицы —так называемые носители электрического тока (например, электроны),которые в пределах тела могут перемещаться на любые расстояния,то в диэлектриках свободных заряженных частиц нет. Под действиемвнешнего поля электроны, атомные ядра, ионы в диэлектрике могутсмещаться лишь на расстояния порядка размеров атома. В этом со-стоит основное различие в свойствах проводников и диэлектриков,помещенных в электрическое поле.

Свойства проводников в электрическом поле. Рассмотрим ос-новные свойства, характеризующие проводники в электрическом поле.

1. На поверхности проводника, помещенного в электрическое поле,возникают макроскопические положительные и отрицательные индук-ционные заряды. Их появление обусловлено пространственным разде-лением имеющихся в веществе микроскопических положительных иотрицательных зарядов, которые в отсутствие внешнего поля компенси-руют друг друга. В металлических проводниках свободные электронысмещаются в направлении, противоположном вектору напряженностиэлектрического поля. Положительно заряженные атомные ядра и ионыоказываются частично лишенными своей электронной оболочки, «ого-ленными», так что их положительный заряд не компенсируется отрица-тельным зарядом электронов. В результате на поверхности проводникапоявляются макроскопические отрицательные и положительные заряды(рис. 39).

50 Проводники в электрическом поле [ Гл. II

2. Напряженность электрического поля внутри проводника равнанулю; объемная плотность ρ макроскопических зарядов внутри провод-ника также равна нулю.

Проводники обладают огромным, практически неограниченным за-пасом свободных зарядов — носителей электрического тока. Если на-пряженность электрического поля внутри проводника отлична от нуля,при наличии свободных зарядов в проводнике обязательно должен течь

��

��

�

++

+++

++

E

Рис. 39

электрический ток. В электростатике изучаютстационарное (неизменное во времени) распре-деление электрических зарядов в телах и приэтом полагают, что тока, который привел ктакому распределению зарядов в проводнике,уже нет, а это возможно лишь при условииравенства нулю напряженности электрическогополя внутри проводника:

E = 0.

Из теоремы Гаусса для вектора напряжен-ности E в дифференциальной форме, согласнокоторой div E = ρ/ε0, где ρ — объемная плот-

ность заряда, при выполнении условия E = 0 следует, что объемнаяплотность ρ макроскопических зарядов также равна нулю: ρ = 0. Такимобразом, макроскопические заряды внутри проводника отсутствуют.

3. Потенциал ϕ электрического поля во всех точках проводникаодинаков. Объем проводника является эквипотенциальным объемом,его поверхность — эквипотенциальной поверхностью.

Доказательство этих утверждений сводится к следующему. Раз-ность потенциалов в двух произвольно выбранных точках 1 и 2 провод-ника равна работе сил поля, совершаемой при перемещении единичногоположительного заряда из одной точки в другую (см. (7.6)):

ϕ1 − ϕ2 =

2∫

1

E dl.

Поскольку напряженность поля E внутри проводника равна нулю,правая часть рассматриваемого выражения равна нулю. Следовательно,потенциалы ϕ1 и ϕ2 равны: ϕ1 = ϕ2. Точки 1 и 2 выбраны произвольно,поэтому можно утверждать, что потенциал всех точек проводникаодинаков.

4. Вектор напряженности E электрического поля снаружи провод-ника в непосредственной близости от его поверхности перпендикуляренк этой поверхности. Модуль вектора напряженности равен

E =σ

ε0

, (13.3)

где σ — поверхностная плотность заряда.


Ранее было показано (см. § 9), что вектор напряженности E влюбой точке электрического поля перпендикулярен эквипотенциаль-ной поверхности, проходящей через эту точку. Поскольку поверхностьпроводника является эквипотенциальной, вектор E перпендикулярен кэтой поверхности.

Найдем величину напряженности поля снаружи расположенногов вакууме проводника вблизи его поверхности, используя граничныеусловия для нормальной компоненты вектора E (см. (10.2)):

E2n − E1n =σ

ε0

. (13.4)

Здесь E2n — нормальная компонента вектора напряженности по-ля E снаружи проводника (проекция вектора E на направление

2

1

E

n

0�âíóòðE

Рис. 40

внешней нормали n к поверхности про-водника), при этом E2n = E, так как по-ле E снаружи проводника перпендикуляр-но к его поверхности, и тангенциальнаякомпонента E2τ этого поля равна нулю;E1n — нормальная компонента вектора на-пряженности поля внутри проводника, приэтом E1n = 0, так как поле внутри про-водника отсутствует; σ — поверхностнаяплотность заряда; n — единичный векторвнешней нормали к поверхности разделамежду проводником и вакуумом (рис. 40). Доказываемое выражение(13.3) непосредственно вытекает из граничного условия (13.4) приE2n = E и E1n = 0:

E2n − E1n = E =σ

ε0

.

Соотношение (13.3) можно записать в векторном виде:

E =σ

ε0

n. (13.5)

5. Найдем силу, действующую на единицу площади поверхностизаряженного проводника.

Рассмотрим небольшой участок поверхности площади ΔS (назовемего площадкой ΔS). Поверхностная плотность заряда на рассматрива-

Рис. 41

емом участке приблизительно постоянна иравна σ (рис. 41). Напряженность поля Eснаружи проводника вблизи площадки ΔSможно вычислить по формуле (13.5).

Вектор E представим как сумму сона-правленных векторов E0 и EΔS :

E = E0 + EΔS . (13.6)

Здесь EΔS — напряженность поля, созда-ваемая заряженной площадкой ΔS; E0 —


напряженность поля, создаваемая всей заряженной поверхностью про-водника за исключением площадки ΔS. Поскольку расстояние отточки наблюдения, в которой определяется поле E, до поверхностипроводника можно взять сколь угодно малым (много меньше размеровплощадки ΔS), вектор EΔS можно рассчитать по формуле напряжен-ности поля бесконечной заряженной плоскости (см. (6.1)):

EΔS =σ

2ε0

n. (13.7)

Подставив в равенство (13.6) E из (13.5) и EΔS из (13.7), получим

σ

ε0

n = E0 +σ

2ε0

n. (13.8)

Отсюда найдем E0:E0 =

σ

2ε0

n. (13.9)

Поле E0 можно рассматривать как внешнее по отношению к распо-ложенной в этом поле площадке ΔS, на которой имеется заряд σΔS.Сила F, действующая на площадку ΔS, равна произведению зарядаплощадки на напряженность внешнего поля:

F = σΔSE0 = σΔSσ

2ε0

n =σ2

2ε0

ΔSn, (13.10)

где значение E0 соответствует выражению (13.9).Силу Fед, действующую на единицу площади поверхности провод-

ника, найдем, поделив F в формуле (13.10) на ΔS:

Fед =F

ΔS=

σ2

2ε0

n, (13.11)

Силу Fед можно выразить через напряженность E электрическогополя вблизи поверхности проводника с учетом (13.6):

Fед =ε0σ

2

2ε20

n =ε0E

2

2n. (13.12)

Из формул (13.11) и (13.12) следует, что независимо от того, яв-ляется ли заряд поверхности проводника положительным или отрица-тельным, т.е. независимо от знака величины поверхностной плотностизаряда σ, сила, приложенная к поверхности, всегда направлена наружу(вдоль вектора нормали n). Если поверхность проводника заряжена, топриложенные к ней силы стремятся растянуть проводник так, чтобыувеличить его объем.

6. Продолжая рассматривать свойства проводников в электрическомполе, приведем так называемую теорему Фарадея (1791–1867), кото-рую можно разделить на две части.

Теорема Фарадея (первая часть). Пусть внутри проводника, по-мещенного во внешнее электрическое поле, имеется полость (рис. 42);проводник при этом может быть заряженным.


Согласно теореме Фарадея, электрическое поле внутри располо-женной в проводнике полости отсутствует, то есть напряжен-ность поля E во всех точках полости равна нулю.

Докажем это утверждение с помощью уравнения Пуассона (9.5):

∂2ϕ

∂x2+

∂2ϕ

∂y2+

∂2ϕ

∂z2= − ρ

ε0

,

где ϕ = ϕ(x, y, z) — потенциал электростатического поля, ρ — объем-ная плотность заряда. Поскольку электрических зарядов внутри по-

�

�

�

�

�

+

+

+

+

+

E = 0

âíåøíE

Рис. 42

лости нет, т.е. ρ = 0, уравнение Пуассонадля потенциала ϕ внутри полости перехо-дит в уравнение Лапласа (9.6):

∂2ϕ

∂x2+

∂2ϕ

∂y2+

∂2ϕ

∂z2= 0.

Граничные условия, при наличии кото-рых решение уравнения Лапласа в даннойзадаче становится единственным, состоят втом, что потенциал ϕ постоянен на стенкахполости: ϕст = C = const. Допустим, чтопотенциал ϕ(x, y, z) имеет одно и то жезначение во всех точках внутри полости,причем его величина совпадает с потенциалом на стенках: ϕ(x, y, z) == C. Функция ϕ(x, y, z) = C, значение которой одинаково во всех точ-ках полости, удовлетворяет как уравнению Лапласа, так и граничнымусловиям к нему. Следовательно, эта функция является единственнымрешением уравнения Лапласа. Потенциал ϕ во всех точках полостиодинаков.

Из равенства (9.4) E = − gradϕ при ϕ = const следует:

E = − gradϕ = 0,

то есть напряженность поля внутри полости равна нулю. Что и требо-валось доказать.

Теорема Фарадея (вторая часть). Пусть в полости, расположен-ной внутри проводника, имеется точечный заряд q. Суммарный зарядна стенках полости обозначим qст. Заряд стенок складывается, вообщеговоря, из стороннего заряда (помещенного на проводник извне), и за-ряда, индуцированного на стенках полем заряда q (рис. 43). На рисункедля определенности заряд q внутри полости взят положительным.

Теорема Фарадея утверждает: а) суммарная напряженность элек-трического поля зарядов q и qст во всем пространстве вне полостиравна нулю; б) заряд на стенках полости равен по величине и про-тивоположен по знаку заряду q, расположенному внутри полости:

qст = −q.


Доказательство утверждения a сводится к следующему. Пусть сна-чала все пространство вне полости заполнено проводником. Макроско-пических зарядов внутри проводника нет (см. свойства 2). Поэтому

++

+

+

+��

��

�

�

�

âíåøíq

0�E 0�E

q

âíåøíE

ñòq

Рис. 43

поле в любой точке пространства, в томчисле, и вне полости, порождается толькозарядами q и qст. Напряженность поля впроводнике равна нулю. Это означает, чтозаряды q и qст, рассматриваемые совмест-но, создают такое электрическое поле, чтоего напряженность во всем пространствевне полости равна нулю. Частичное удале-ние электрически нейтрального проводни-ка из окружающего полость пространства,которое приводит к конфигурации, изоб-раженной на рис. 43, не должно вызвать

никаких изменений в распределении зарядов на стенках полости и,следовательно, не должно привести к изменению порождаемого заря-дами q и qст электрического поля. Таким образом, суммарное поле этихзарядов во всем пространстве вне полости останется равным нулю. Чтои требовалось доказать.

Утверждение пункта б доказывается с помощью теоремы Гаусса.Выберем расположенную внутри проводника замкнутую поверх-

ность S таким образом, чтобы полость с зарядом q оказалась внутриэтой поверхности (рис. 44). Согласно теореме Гаусса, поток векторанапряженности через замкнутую поверхность S равен деленному на ε0

Рис. 44

суммарному заряду, расположенному внут-ри этой поверхности:

∮

S

E dS =q + qст

ε0

.

Так как напряженность поля E внут-ри проводника равна нулю, то интеграл влевой части рассматриваемого уравнениятакже равен нулю. Отсюда следует:

q = −qст,

что и требовалось доказать.З а м е ч а н и е. Утверждение теоремы Фарадея о том, что напря-

женность суммарного поля зарядов q и qст во всем пространстве внеполости равна нулю, не означает, что внешнее поле проводника Eвнешн

вообще отсутствует. Поле Eвнешн создается зарядами qвнешн, располо-женными на внешней поверхности проводника (см. рис. 43). Зарядqвнешн складывается, вообще говоря, из стороннего заряда, помещен-ного на проводник извне, и индукционного заряда, возникающего поддействием поля расположенного в полости заряда q.

§ 14 ] Электрическая емкость. Конденсаторы 55

Например, в случае, если проводник, в котором имеется полость сзарядом q, в целом электрически нейтрален, то есть qвнешн + qст = 0,то qвнешн = −qст = q. Это означает, что заряд на внешней поверхности

Рис. 45

проводника равен заряду q, располо-женному внутри полости. Заряд qвнешн

порождает поле Eвнешн снаружи провод-ника (рис. 45).

В соответствии с теоремой Фарадеясуммарное поле зарядов q и qст равнонулю везде, кроме объема полости, вкоторой расположен заряд q. В част-ности, это поле равно нулю на внеш-ней поверхности проводника. Поэтомураспределение заряда qвнешн на внешнейповерхности проводника определяетсятолько формой самого проводника и независит от места локализации зарядаq внутри полости и от характера распределения заряда qст по стен-кам полости. В рассматриваемом примере проводник, изображенныйна рис. 45, имеет форму шара. Вследствие сферической симметриизаряд qвнешн распределен по поверхности шара равномерно. Поле Eвнешн

снаружи шара в этом случае совпадает с полем однородного (без каких-либо полостей) проводящего заряженного шара, несущего на себезаряд q. При любом изменении положения заряда q внутри полостии сопутствующем перераспределении заряда qст по стенкам полостиполе Eвнешн снаружи шара меняться не будет.

§14. Электрическая емкость. Конденсаторы

Электрическая емкость уединенного проводника. Электриче-ской емкостью (емкостью) уединенного проводника называется отно-

q

�

Рис. 46

шение заряда q проводника к его потенциалу ϕ(рис. 46):

C =q

ϕ. (14.1)

Как показывает опыт, отношение q/ϕ есть ве-личина постоянная, определяемая только формойпроводника и независящая от величины заряда q.При изменении q потенциал ϕ меняется так, чтоотношение q/ϕ остается неизменным.

Емкость измеряется в фарадах (Ф). Емкостьюв один фарад (1 Ф) обладает проводник, потенциал которого равенодному вольту (1 В) при сообщении ему заряда величиной в один кулон(1 К):

1 Ф = 1 Кл/В.


Пр и м е р. Определим емкость проводящего шара радиуса R. Еслина шар поместить заряд q, его потенциал будет равен: ϕ = q/(4πε0R).Емкость C шара найдем, поделив q на ϕ:

C =q

ϕ= 4πε0R.

Электрическая емкость конденсатора. Емкость проводника уве-личивается при приближении к нему других тел. Качественно этоявление можно объяснить на следующем примере. Пусть уединенный

��

++A A Á

èíäq� èíäq��0�

r�r ��

à á

q� q�

Рис. 47

проводник А, несущий на себеположительный заряд q, имеетпотенциал ϕ0 (рис. 47 а). При-близим к этому проводнику дру-гой, незаряженный проводник Б.Под действием электрическогополя на проводнике Б возникнутиндукционные заряды. Для при-ближенной оценки будем счи-тать, что на поверхности провод-

ника Б, обращенной к проводнику А и расположенной на расстоянии отпоследнего приблизительно равном r′, имеется индуцированный полемотрицательный заряд −qинд; на поверхности проводника Б, наиболееудаленной от проводника А и расположенной от него на расстоянииприблизительно равном r′′, имеется заряд +qинд (рис. 47 б). При при-ближении проводника Б к проводнику А потенциал проводника Аизменится. Грубо его можно оценить по формуле:

ϕ ≈ ϕ0 − kqинд

r′+

kqинд

r′′,

где k = 1/(4πε0).Поскольку r′ < r′′, алгебраическая сумма −kqинд/r′ + kqинд/r′′ от-

рицательна. Поэтому потенциал ϕ проводника А в присутствии про-водника Б меньше ϕ0 — потенциала проводника А в отсутствие про-водника Б:

ϕ < ϕ0.

Следовательно, в присутствии Б емкость проводника А увеличива-ется: q

ϕ>

q

ϕ0

.

Конденсатором называется система из двух расположенных рядомпроводников (обкладок).

Наличие двух близко расположенных обкладок позволяет добитьсяследующего. Во-первых, емкость такой системы значительно выше ем-кости уединенного проводника. Во-вторых, на величину емкости кон-денсатора практически не оказывают влияния окружающие тела. Для


этого обкладки располагают друг относительно друга таким образом,чтобы электрическое поле конденсатора было сосредоточено внутриего объема. Благодаря практически полному отсутствию поля снару-жи конденсатора на приближенном к нему проводнике не возникают

à á â

Рис. 48

индукционные заряды, соответ-ственно, не изменяется потенци-ал обкладок конденсатора и егоемкость.

Устройство и форма конден-сатора могут быть различными.Плоский конденсатор представ-ляет собой две близко распо-ложенные тонкие металлическиепластины, пространство междукоторыми заполнено диэлектриком (рис. 48 а); обкладки цилиндри-ческого конденсатора — коаксиальные цилиндрические поверхности,изготовленные из проводящего материала и изолированные друг отдруга диэлектриком (рис. 48 б); сферический конденсатор — две про-водящие изолированные друг от друга концентрические сферы близкихпо величине радиусов (рис. 48 в).

Если обкладки конденсатора подключить к источнику постоянногонапряжения U , на них возникают равные по величине и противопо-ложные по знаку заряды +q и −q. Зарядом конденсатора называютвеличину q, равную модулю заряда каждой из его обкладок.

d

0�E 0�E

)/( 0SqE ��

S

q� q�

��

Рис. 49

Электрической емкостью конденсатораназывается величина, равная отношению за-ряда конденсатора к разности потенциаловего обкладок:

C =q

ϕ1 − ϕ2

=q

U, (14.2)

где q — заряд конденсатора, U = ϕ1 − ϕ2 —разность потенциалов обкладок или иначе —напряжение на конденсаторе.

Емкость плоского конденсатора. Пустьрасстояние между расположенными в ваку-уме или воздухе обкладками плоского кон-денсатора равно d, площадь каждой обклад-ки — S, заряд конденсатора — q (рис. 49).

Расстояние между обкладками много меньше размеров пластин. Впространстве между пластинами векторы напряженности поля обеихпластин сонаправлены, одинаковы по величине и вычисляются по фор-муле напряженности поля заряженной плоскости:

Eплоск =σ

2ε0

=q

2ε0S.


Напряженность поля конденсатора равна удвоенной напряженностиполя одной пластины и составляет величину:

Eконд =q

ε0S.

Разность потенциалов ϕ+ и ϕ− — положительно и отрицательнозаряженной обкладок конденсатора — равна (см. (7.6))

U = ϕ+ − ϕ− = Ed =qd

ε0S.

Отсюда получим емкость плоского конденсатора

C =q

U=

ε0S

d. (14.3)

Емкость сферического конденсатора. Пусть a и b — радиусывнутренней и внешней концентрических проводящих сфер, которыеслужат обкладками конденсатора. Заряд конденсатора q (рис. 50).Напряженность поля в пространстве между обкладками равна:

a

b0�E

0�EE

q�q�

Рис. 50

E =q

4πε0r2,

где r — расстояние от центра сфер до точкинаблюдения.

Разность потенциалов обкладок найдеминтегрированием (см. (7.6)):

U =

b∫

a

Edr =

b∫

a

q

4πε0r2dr =

q (b − a)

4πε0ab.

Емкость сферического конденсатора равна:

C =q

U=

4πε0ab

b − a. (14.4)

Емкость цилиндрического конденсатора. Конденсатор имеет фор-му прямого цилиндра высотой l. Пусть a и b — радиусы внутреннейи внешней цилиндрических обкладок, q — заряд конденсатора. Полев пространстве между обкладками создается только зарядом внутрен-ней обкладки, его напряженность может быть вычислена по формуле,аналогичной формуле напряженности поля бесконечно длинной заря-женной нити:

E =q

2πε0rl,

где q/l — заряд, приходящийся на единицу длины цилиндрическойобкладки конденсатора, r — расстояние от оси конденсатора до точкинаблюдения.


Разность потенциалов между обкладками найдем интегрированием(см. (7.6)):

U =

b∫

a

Edr =

b∫

a

q

2πε0rldr =

q ln (b/a)

2πε0l.

Емкость цилиндрического конденсатора равна:

C =q

U=

2πε0l

ln (b/a). (14.5)

Последовательное и параллельное соединение конденсаторов.Последовательное соединение. Два конденсатора емкостью C1 и C2

соединены последовательно и подключены к источнику напряжения U(рис. 51). Покажем, что при последовательном соединении зарядыконденсаторов одинаковы. Обозначим заряд первого и второго конден-саторов через q1 и q2 соответственно. Знаки зарядов, расположенныхна каждой из обкладок обоих конденсаторов, указаны на рис. 51.Электрически изолированный от источника напряжения участок цепи,который включает правую обкладку конденсатора C1 и левую обкладку

1C 2C

1q�1q� 2q� 2q�

U

Рис. 51

конденсатора C2, в целом электрически ней-трален, то есть алгебраическая сумма зарядовдвух указанных обкладок равняется нулю:

−q1 + q2 = 0.

Отсюда:q1 = q2,

то есть заряды последовательно соединенныхконденсаторов одинаковы.

Найдем заряд q = q1 = q2 каждого из последовательно соединенныхконденсаторов, если на составленную из них цепь подано напряже-ние U . Величина U равна сумме напряжений U1 = q/C1 и U2 = q/C2

U U

qC ,1 qC ,2 qqC �ýêâýêâ ,

Рис. 52

на каждом конденсаторе:

U = U1 + U2 =q

C1+

q

C2

.

Отсюда получаем q:

q =C1C2

C1 + C2

U. (14.6)

Два последовательно со-единенных конденсатора мож-

но заменить одним конденсатором эквивалентной емкости Cэкв, вели-чина которой определяется из условия равенства друг другу зарядаq системы из двух конденсаторов и заряда qэкв эквивалентного кон-денсатора при одинаковом напряжении U , поданном как на системуконденсаторов, так и на эквивалентный конденсатор (рис. 52):

qэкв = q, qэкв = CэквU.


Емкость эквивалентного конденсатора с учетом (14.6) равна:

Cэкв =qэкв

U=

q

U=

C1C2

C1 + C2

. (14.7)

Параллельное соединение. Параллельное соединение конденсато-ров емкостью C1 и C2 показано на рис. 53. Пусть на клеммы поданонапряжение U . Обкладки, соединенные проводником, имеют один и тотже потенциал. Поэтому и разности потенциалов обкладок конденсато-ров (напряжения на конденсаторах) при их параллельном подключенииодинаковы:

U1 = U2 = U.

Вычислим заряды конденсаторов:

q1 = C1U , q2 = C2U.

Два параллельно соединенных конденсатора можно заменить однимконденсатором эквивалентной емкости Cэкв, определяемой из условияравенства суммарного заряда q1 + q2 = (C1 + C2)U системы из двух

1C 2CU

Рис. 53

U U11, qC 22, qC21 qqq ��ýêâ

ýêâC

Рис. 54

конденсаторов заряду qэкв эквивалентного конденсатора при одинако-вом напряжении U , поданном как на систему, так и на эквивалентныйконденсатор (рис. 54):

q1 + q2 = (C1 + C2)U ,

qэкв = CэквU ,

qэкв = q1 + q2.

Отсюда емкость эквивалентного конденсатора равна:

Cэкв =qэкв

U=

q1 + q2

U= C1 + C2. (14.8)

§15. Энергия электрического поляЭнергия взаимодействия системы точечных зарядов. Рассмот-

рим систему точечных зарядов q1, q2, . . ., qi, . . .. Кулоновские силывзаимодействия между зарядами являются консервативными силами.Поэтому для описания свойств электрического поля системы зарядовможно использовать понятие потенциальной энергии. Как указывалосьвыше, потенциал ϕ электростатического поля в некоторой его точкепредставляет собой потенциальную энергию единичного положитель-

§ 15 ] Энергия электрического поля 61

ного заряда, помещенного в эту точку. Потенциальная энергия зарядаq в точке поля с потенциалом ϕ равна произведению qϕ.

Потенциальная энергия Wсистемы тел с консервативными силамивзаимодействия, в частности, системы точечных зарядов, равна:

W =1

2

∑i

Wi, (15.1)

где Wi — потенциальная энергия i-го заряда в поле, созданном всемизарядами, кроме i-го; суммирование ведется по всем зарядам системы(см. в кн. 1 «Механика», гл. III, § 29).

Необходимо сделать замечание по поводу понятия потенциальнойэнергии системы тел. Потенциальная энергия W представляет собойэнергию взаимодействия тел (зарядов), входящих в рассматриваемуюсистему, и не учитывает собственную энергию каждого тела.

Так, изолированный электрический заряд, не взаимодействующийни с какими другими телами или внешними силовыми полями, обла-дает своим собственным электрическим полем, ему можно приписатьнекоторую собственную энергию Wсоб. Однако эта энергия не входит ввыражение для W — потенциальной энергии системы зарядов.

Потенциальная энергия Wi заряда i в поле всех остальных зарядовсистемы равна:

Wi = qiϕi, (15.2)

где ϕi — потенциал поля, созданного всеми зарядами системы, кромеi-го заряда.

Таким образом, выражение для потенциальной энергии W системыточеных зарядов (15.1) с учетом (15.2) имеет вид

W =1

2

∑i

qiϕi. (15.3)

Величина W представляет собой энергию взаимодействия системыточечных зарядов.

Энергия заряженного проводника. Рассмотрим уединенный про-водник, несущий на себе заряд q и обладающий потенциалом ϕ. Элек-трическую энергию такого проводника можно определить, рассчитав

qd �

q�

�� 0��

Рис. 55

работу, которую необходимо затра-тить, чтобы на первоначально неза-ряженный проводник поместить за-ряд q. Представим себе следующийспособ зарядки: бесконечно малыепорции электрического заряда по-следовательно переносятся из «бес-конечности» на проводник до техпор, пока его заряд не достигнетвеличины q. Пусть в данный момент проводник обладает зарядом q′,его потенциал равен ϕ′ (рис. 55). Для квазистатического процесса


переноса (то есть для переноса с практически нулевой постояннойскоростью) из «бесконечности» на рассматриваемый проводник малойпорции заряда dq′ потребуется затратить работу δA, равную по вели-чине и противоположную по знаку работе сил электрического поля,которую они совершат в процессе такого переноса:

δA = −δAполя = dq′(ϕ′ − ϕ∞) = dq′ ϕ′ = dq′q′

C, (15.4)

где ϕ∞ = 0 — потенциал электростатического поля на бесконечно боль-шом удалении от рассматриваемого заряженного проводника. В преоб-разованиях потенциал ϕ′ проводника был выражен через его заряд q′

и емкость C по формуле ϕ′ = q′/C.Работу A по переносу на проводник заряда q найдем интегрирова-

нием правой части равенства (15.4) по параметру q′ в пределах от нулядо q:

A =∫

δA =

q∫

0

q′

Cdq′ =

q2

2C. (15.5)

Полученное выражение (15.5) позволяет вычислить энергию заря-женного проводника.

Энергия проводника, обладающего зарядом q, потенциалом ϕ иемкостью C может быть рассчитана с помощью любой из следующихформул, которые получаются из (15.5) с учетом соотношения q = Cϕ:

W =q2

2C=

qϕ

2=

Cϕ2

2. (15.6)

Энергия конденсатора. Заряженный конденсатор представляетсобой систему двух проводников, один из которых несет заряд q иимеет потенциал ϕ+, другой проводник обладает зарядом −q и ха-рактеризуется потенциалом ϕ−. Рассчитаем энергию конденсатора каксумму энергий двух заряженных проводников с помощью формулы(15.6):

W =qϕ+

2− qϕ−

2=

q(ϕ+ − ϕ−)

2=

qU

2, (15.7)

где U = ϕ+ − ϕ− — напряжение на конденсаторе. Учитывая связьмежду зарядом q, емкостью C и напряжением U конденсатора C == q/U , получим из (15.7) следующие формулы для расчета энергиизаряженного конденсатора:

W =qU

2=

CU 2

2=

q2

2C. (15.8)

Энергия электрического поля. Энергию системы электрическихзарядов можно выразить через параметры электрического поля, порож-даемого этими зарядами. Сделаем это на примере плоского заряженно-го конденсатора. Воспользуемся формулой (15.8) энергии конденсатора:

W =CU 2

2.

§ 15 ] Задачи 63

Подставим в него выражение (14.3) для емкости плоского конден-сатора:

C =ε0S

d,

где S — площадь обкладок, d — расстояние между ними.Учтем также формулу связи напряжения U и напряженности поля E

в применении к плоскому конденсатору:

U = Ed,

где E — напряженность поля внутри конденсатора. Тогда энергияконденсатора W представляется в виде

W =1

2

ε0S

d(Ed)2 =

ε0E2

2Sd =

ε0E2

2V , (15.9)

где V = Sd — объем конденсатора (объем пространства между обклад-ками).

Поле плоского конденсатора практически полностью сосредоточеновнутри конденсатора, между его пластинами. Если пренебречь кра-евыми эффектами, поле в конденсаторе можно считать однородным:характеристики поля — напряженность, объемная плотность энергии —одинаковы во всех точках пространства, где имеется поле. В связис этим объемную плотность энергии w поля плоского конденсатораможно вычислить, разделив полную энергию W конденсатора, опреде-ляемую по формуле (15.9), на объем V конденсатора:

w =W

V=

ε0E2

2. (15.10)

Можно показать, что полученная формула (15.10) объемной плот-ности энергии справедлива не только для однородного, но и дляпроизвольного электрического поля как его характеристика в точке снапряженностью E.

Задачи

2.1. Внутри сферической незаряженной проводящей оболочки нарасстоянии d от ее центра в точке A помещен точечный заряд q. Радиусвнутренней поверхности оболочки — r, внешней — R, d < r. Найти:1) поверхностную плотность индуцированных электрических зарядовна внешней поверхности оболочки; 2) потенциал оболочки, принимаяза нуль потенциал бесконечно удаленной точки; 3) поверхностнуюплотность индуцированных зарядов на внутренней поверхности обо-лочки в точках B и C, лежащих на прямой, проходящей через центроболочки и точку A.

2.2. Металлический шар радиусом R имеет заряд Q. Точечный за-ряд q помещен на расстоянии d от центра шара, d>R. Найти потенциалшара ϕ.


2.3. Две бесконечные плоскопараллельные металлические пласти-ны расположены в вакууме параллельно друг другу. Полный заряд (тоесть сумма зарядов на обеих поверхностях пластины), приходящийсяна единицу площади первой пластины, равен q1, второй пластины —q2. Определить поверхностную плотность электрических зарядов напластинах, а также напряженность электрического поля между пласти-нами и во внешнем пространстве.

2.4. Найти взаимную емкость системы из двух расположенных ввакууме одинаковых металлических шариков радиуса a, расстояниемежду центрами которых равно b, причем b � a.

2.5. Считая, что масса электрона определяется из соотношенияW = mc2, где W — электростатическая энергия заряда электрона,найти значение радиуса электрона при следующих предположениях:1) заряд электрона распределен по всему его объему с постояннойплотностью; 2) весь заряд электрона распределен по его поверхности.

ГЛАВА III

ЭЛЕКТРОСТАТИКА ДИЭЛЕКТРИКОВ

§16. Вектор поляризованности и его свойства

Поляризация диэлектриков. Диэлектрики — это вещества, кото-рые из-за отсутствия в них свободных зарядов, которые могут служитьносителями тока, не проводят электрический ток.

Химический состав и структура диэлектриков многообразны. В ка-честве простой модели, удобной для выяснения основных свойств ди-электриков, рассмотрим диэлектрики только двух типов, а именно,

�4C

�H

�H

�H

�H

0�p

Рис. 56

вещества, состоящие из полярных или непо-лярных молекул.

В молекуле суммарный отрицательный за-ряд электронов по модулю равен суммарно-му положительному заряду всех входящих вее состав атомных ядер. Каждая молекулаявляется в целом электрически нейтральной.В неполярной молекуле пространственное рас-пределение всех имеющихся зарядов таково,что дипольный момент p молекулы равен ну-лю. Примером может служить симметричнаямолекула метана CH4 (рис. 56). В полярноймолекуле положительный и отрицательный за-ряды пространственно разнесены друг относительно друга таким об-разом, что дипольный момент p молекулы отличен от нуля. В ка-честве примера полярной молекулы можно привести несимметричнуюмолекулу воды H2O, в которой электроны атомов водорода смещеныв направлении к атому кислорода. В результате положительный и

�H

�H

�2OP

Рис. 57

отрицательный заряды данной молекулы ока-зываются частично разделенными в простран-стве (рис. 57). На рисунке стрелкой показанонаправление дипольного момента p молекулыводы.

Диэлектрик, как и любое другое вещество,состоит из огромного числа заряженных микро-скопических частиц — электронов, ионов, атом-ных ядер. В отсутствие внешнего электрическо-го поля суммарный заряд всех частиц в любом

физически бесконечно малом объеме вещества равен нулю. Диполь-ный момент любого физически бесконечно малого объема диэлектрикатакже равен нулю либо из-за того, что дипольный момент каждой


66 Электростатика диэлектриков [ Гл. III

молекулы равен нулю, либо вследствие неупорядоченной хаотическойориентации дипольных моментов, которыми обладают молекулы.

Если поместить диэлектрик в электрическое поле, то происходитпространственное разделение положительных и отрицательных заря-дов, в результате на поверхности и, возможно, внутри диэлектрикапоявляются макроскопические заряды. Изменяются дипольные харак-теристики вещества. Это явление называется поляризацией диэлектри-ков.

Поляризационными называются макроскопические заряды, возни-кающие внутри и на поверхности диэлектрика под действием внешнегоэлектрического поля, то есть в результате поляризации. Поскольку вотличие от проводников, где имеются свободные заряды, микроскопи-ческие заряды диэлектрика не могут покинуть пределов той молекулы,в состав которой они входят, поляризационные заряды диэлектриканазываются и, по сути дела, являются связанными зарядами.

В отличие от поляризационных зарядов заряды, помещенные надиэлектрик извне, будем называть сторонними.

Отметим, что существуют кристаллические вещества, которые по-ляризованы, обладают отличным от нуля дипольным моментом и вотсутствие внешнего поля (имеет место самопроизвольная или спон-танная поляризация). Такие вещества называются сегнетоэлектрика-ми. Изучение свойств сегнетоэлектриков выходит за рамки данногопособия.

Рассмотрим механизм поляризации диэлектриков.

Поляризация диэлектрика, состоящего из неполярных моле-кул. В отсутствие внешнего электрического поля суммарный заряд идипольный момент каждой неполярной молекулы, а также любой частии всего диэлектрика в целом равны нулю. На рис. 58 а неполярные

� +

� +� +

� +

� +

� +

� +

� +

� +

� +

0�E 0�E

ñâÿçq� ñâÿçq

à á

Рис. 58

молекулы диэлектрика изобра-жены в виде кружков. Привключении внешнего электриче-ского поля с напряженностьюE каждая молекула диэлектрикаполяризуется: положительно за-ряженные частицы (атомные яд-ра) смещаются в направлениипо полю, отрицательно заряжен-ные частицы (электроны) — внаправлении против поля. Про-исходит пространственное разде-ление положительных и отрица-тельных зарядов. В результате

поляризации дипольный момент молекулы становится отличным отнуля. В этих условиях, как видно из рис. 58 б, поверхность образ-ца диэлектрика становится заряженной, возникает макроскопический

§ 16 ] Вектор поляризованности и его свойства 67

заряд. Та часть поверхности, в направлении которой под действи-ем поля смещаются положительные заряды, оказывается заряженнойположительно. На противоположной стороне диэлектрика возникаетотрицательный макроскопический заряд. Часть поверхности остаетсяэлектрически нейтральной. Если диэлектрик неоднородный, т.е. свой-ства диэлектрического вещества неодинаковы в разных его точках,макроскопические электрические заряды могут появиться не только наповерхности диэлектрика, но и внутри него.

Поляризация диэлектрика, состоящего из полярных молекул.Молекула диэлектрика в целом является электрически нейтральной,однако ее положительный и отрицательный заряды распределены впространстве таким образом, что дипольный момент молекулы отличенот нуля (рис. 59 а, вектор дипольного момента условно обозначенстрелкой). В отсутствие внешнего электрического поля вследствие хао-тического теплового движения молекул не существует преимуществен-

� +� +

� +� +

� +

� +

� +

� +� +

� +

� +

� +�+

0�E 0�E

ñâÿçq� ñâÿçq

à á

��

��

�

�

++

+

+

++

+

Рис. 59

ного направления, вдоль кото-рого ориентировались бы ихдипольные моменты. Диполь-ный момент любого физиче-ски бесконечно малого объемадиэлектрика и всего тела в це-лом равны нулю.

Пусть теперь диэлектрикпомещен во внешнее электри-ческое поле с напряженно-стью E. Обозначим диполь-ный момент отдельной моле-кулы через pi. Поскольку ми-нимуму потенциальной энер-гии обладающей дипольным моментом системы электрических зарядов(в данном случае, молекулы) соответствует такое ее положение, вкотором дипольный момент pi параллелен вектору напряженности Eэлектрического поля (pi ↑↑E, см. § 12), то под действием внешнегополя молекулы преимущественно ориентируются так, чтобы их диполь-ные моменты pi были направлены вдоль поля (рис. 59 б). В результатена поверхности и, вообще говоря, внутри диэлектрика появляютсямакроскопические электрические заряды. Дипольный момент любогофизически бесконечно малого объема и всего диэлектрика в целомстановится отличным от нуля. Диэлектрик поляризуется.

Если диэлектрик имеет кристаллическую структуру и его нельзярассматривать как совокупность изолированных друг от друга, свобод-но движущихся молекул, то и в этом случае сопровождающие поля-ризацию явления (возникновение макроскопических поляризационныхзарядов, изменение дипольных характеристик вещества) объясняютсяпространственным разделением положительных и отрицательных мик-

3*


роскопических зарядов под действием внешнего поля. Условно кри-сталл можно рассматривать как одну большую молекулу, в которой вотсутствие внешнего поля положительно и отрицательно заряженныечастицы (например, ионы) распределены в пространстве равномерно,так что суммарный заряд и дипольный момент любого физическибесконечно малого объема диэлектрика равны нулю. При включениивнешнего поля положительные и отрицательные микроскопическиезаряды смещаются в пространстве друг относительно друга в проти-воположных направлениях. В результате возникает макроскопическийполяризационный заряд, и становится отличным от нуля дипольныймомент кристалла.

Напряженность поля в диэлектрике. Если учесть, что под дей-ствием внешнего электрического поля Eвнешн в диэлектрике возникаютсвязанные макроскопические поляризационные заряды, порождающиесобственное электрическое поле, напряженность которого обозначимчерез Eсв, то электрическое поле E в диэлектрике можно рассмат-ривать как суперпозицию внешнего поля и поля поляризационныхзарядов:

E = Eвнешн + Eсв.

Вектор поляризованности P. Вектор поляризованности P пред-ставляет собой дипольный момент единицы объема вещества диэлек-трика.

Более строгое определение вектора P состоит в следующем. Мыс-ленно выделим в диэлектрике небольшой объем ΔV . Обозначим черезpi дипольные моменты молекул, расположенных в данном объеме.Вектор поляризованности P определяется как предел при ΔV → 0отношения суммы дипольных моментов всех молекул в объеме ΔV квеличине этого объема:

P = limΔV →0

∑Pi

ΔV, (16.1)

где суммирование ведется по всем молекулам внутри объема ΔV .Вектор поляризованности P является локальной характеристикой

вещества, он определяет свойства вещества в точке (точнее, физическибесконечно малом объеме) и, вообще говоря, при переходе из однойобласти диэлектрика в другую может изменяться.

Единица поляризованности — кулон, деленный на метр квадратный(Кл/м2).

Диэлектрическая восприимчивость вещества. Как показываетопыт, для широкого класса диэлектриков поляризованность P линей-но зависит от напряженности поля E в веществе. Для изотропногооднородного диэлектрика связь между поляризованностью P и напря-женностью поля E имеет следующий вид:

P = ε0κE, (16.2)


где κ — безразмерный коэффициент пропорциональности, которыйназывается диэлектрической восприимчивостью вещества.

Напомним, что диэлектрик называется изотропным, если все на-правления в нем одинаковы относительно свойств вещества. В част-ности, соотношение (16.2) между поляризованностью P и напряжен-ностью поля E в изотропном диэлектрике не зависит от направлениявектора E в пространстве и в веществе. Диэлектрик является одно-родным, если свойства всех его пространственных частей одинаковы.В частности, для всех точек диэлектрика справедливо соотношение(16.2) с одинаковым коэффициентом пропорциональности κ (κ — кон-станта, которая характеризует все вещество в целом).

В изотропном однородном диэлектрике направления векторов P и Eсовпадают. Существует большое количество кристаллических веществ,у которых векторы P и E не являются сонаправленными, а связь междуними устанавливается с помощью тензора диэлектрической восприим-чивости. В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением только такихдиэлектриков, для которых справедливо соотношение (16.2).

Теорема Гаусса для вектора поляризованности. Пусть диэлек-трическое вещество помещено в электрическое поле. Поток вектораполяризованности P через произвольную замкнутую поверхность Sравен взятому с обратным знаком поляризационному связанномузаряду −qсв, расположенному внутри этой поверхности:

∮

S

PdS = −qсв. (16.3)

Рассмотрим замкнутую поверхность S, расположенную целикомили частично внутри диэлектрика.

Мысленно выделим в диэлектрике небольшой прямой круговой ци-линдр высоты δl, основания которого имеют площадь δS и находятсяпо разные стороны поверхности S (рис. 60). Ось цилиндра параллельна

Рис. 60

векторам поляризованности P и на-пряженности электрического поля E.Объем выбранного нами цилиндранастолько мал, что вектор поляризо-ванности P можно считать одинако-вым во всех его точках.

Диэлектрик в объеме рассматри-ваемого цилиндра, также как и вовсем теле, поляризован. Векторы ди-польных моментов молекул под дей-ствием электрического поля ориенти-рованы параллельно оси цилиндра.При этом на основаниях цилиндра возникает поляризационный связан-ный заряд — на одном основании положительный, на противополож-ном — отрицательный (см. рис. 60). Обозначим поверхностную плот-


ность связанного заряда на основаниях цилиндра через +σсв и −σсв.В этом случае величина зарядов оснований равна +σсвδS и −σсвδS.

Вычислим дипольный момент δpцил цилиндра двумя способами. По-скольку площади оснований цилиндра малы, заряды +σсвδS и −σсвδSможно считать точечными. Будем рассматривать цилиндр как диполь,в котором точечные заряды +σсвδS и −σсвδS расположены на рассто-янии δl друг от друга. Дипольный момент равен произведению зарядадиполя на расстояние δl между зарядами:

δpцил = +σсв δS δl. (16.4)

С другой стороны, дипольный момент цилиндра можно вычислитькак произведение поляризованности P (P — это дипольный моментединицы объема вещества) на объем цилиндра δS δl:

δpцил = P δS δl. (16.5)

Приравняем вычисленные двумя способами значения дипольногомомента рассматриваемого цилиндра (16.4) и (16.5):

σсв δS δl = P δS δl.

Отсюда получим соотношение:

σсв = P , (16.6)

которое означает, что поверхностная плотность σсв связанного, образо-вавшегося в результате поляризации диэлектрика заряда на основанияхцилиндра равна поляризованности P вещества в том месте, где распо-ложен цилиндр.

Рассматриваемый цилиндр вырезает на поверхности S элементар-ную площадку dS. Пусть вектор dS этой площадки составляет уголα с осью цилиндра и, следовательно, с вектором поляризованности P(см. рис. 60). Площадь основания цилиндра δS можно выразить черезплощадь dS и угол α:

δS = dS cos α. (16.7)

Поляризационный связанный заряд δqсв основания цилиндра, рас-положенного снаружи от поверхности S, с учетом (16.6) и (16.7) равен

δqсв = σсвδS = PdS cos α = PdS. (16.8)

Соотношение (16.8) означает, что заряд δqсв основания цилиндраравен скалярному произведению вектора поляризованности P на век-тор элементарной площадки dS. Такой же по величине, но противо-положный по знаку заряд имеется на втором основании цилиндра,расположенном внутри поверхности интегрирования S.

Появление поляризационных зарядов на основаниях рассматривае-мого цилиндра можно объяснить с помощью следующей модели. Заряд


δqсв в процессе поляризации диэлектрика (разделения микроскопиче-ских положительных и отрицательных зарядов при включении внеш-него поля) прошел через участок dS замкнутой поверхности S, то естьпокинул ограниченный поверхностью S объем. Поскольку диэлектрикв целом и любая его часть, в том числе, рассматриваемый элементар-ный цилиндр, электрически нейтральны, то такой же по величине, нопротивоположный по знаку заряд −δqсв возник в процессе поляризациина противоположном основании цилиндра; этот заряд остался внутриповерхности S после выхода заряда δqсв наружу.

Всю замкнутую поверхность S можно мысленно разбить на элемен-тарные участки dS и построить на каждом из них описанным вышеспособом элементарный цилиндр, ось которого параллельна вектору P,а основания располагаются по разные стороны от поверхности S.Связанный заряд, который обозначим через qсв.наружн, всех оснований,расположенных снаружи поверхности S, можно вычислить интегриро-ванием правой части выражения (16.8) по этой поверхности:

qсв.наружн =∮

S

δqсв =∮

S

PdS. (16.9)

Согласно рассматриваемой модели заряд qсв.наружн в процессе поля-ризации прошел через поверхность S, то есть покинул ограниченныйповерхностью S объем. Такой же по величине, но противоположный познаку заряд qсв.внутр остался внутри поверхности S:

qсв.внутр = −qсв.наружн = −∮

S

PdS. (16.10)

Переобозначим заряд qсв.внутр, расположенный внутри поверхностиинтегрирования S, как qсв (опустим индекс «внутр»). Тогда из равен-ства (16.10) получим выражение (16.3) доказываемой теоремы Гауссадля вектора поляризованности P:

qсв = −∮

S

PdS.

Что и требовалось доказать.

Теорема Гаусса для вектора поляризованности в дифферен-циальной форме. Пусть объем части диэлектрика, охватываемыйповерхностью интегрирования S, равен ΔV . Связанный заряд, заклю-ченный в этом объеме, обозначим через Δqсв. Согласно (16.3) теоремаГаусса в интегральной форме для потока вектора поляризованностичерез рассматриваемую поверхность S имеет вид

∮

S

PdS = −Δqсв.


Разделим обе части этого равенства на ΔV и вычислим пределыполученных отношений при стремлении ΔV к нулю:

limΔV →0

∮S

PdS

ΔV= − lim

ΔV →0

Δqсв

ΔV. (16.11)

Предел левой части по определению равен дивергенции вектора P,предел правой части представляет собой объемную плотность поля-ризационного связанного заряда ρсв в точке диэлектрика, к которойстягивается поверхность S при стремлении к нулю объема ΔV . Из(16.11) получаем теорему Гаусса для вектора P в дифференциальнойформе:

div P = −ρсв. (16.12)

Итак, дивергенция вектора поляризованности P равна взятой спротивоположным знаком объемной плотности поляризационного свя-занного заряда.

Граничные условия для вектора поляризованности P на по-верхности раздела диэлектриков. Рассмотрим поверхность раздела(границу) двух однородных изотропных диэлектрических сред, которыеобозначим цифрами 1 и 2 (рис. 61). Среды находятся в электрическом

n

dS

dS

2

1

2P

1P

ñâq

1

2

Рис. 61

поле и, следовательно, поляризо-ваны. Поверхностную плотностьсвязанных зарядов на поверхно-сти раздела диэлектриков обо-значим через σсв.

Для вывода граничныхусловий воспользуемся теоремойГаусса в форме (16.3). В качествеповерхности интегрирования Sвыберем поверхность прямогоцилиндра малого объема, осно-вания которого площадью dSрасположены по разные стороны

границы сред 1 и 2 и параллельны поверхности раздела. Высотуцилиндра возьмем настолько малой, что потоком вектора P через егобоковую поверхность можно пренебречь. Внутри рассматриваемогоцилиндра расположена площадка dS поверхности раздела сред, накоторой имеется связанный заряд σсвdS.

Теорема Гаусса для вектора P имеет вид

∮

S

PdS = −σсвdS, (16.13)

где интеграл вычисляется по поверхности S рассматриваемого цилин-дра.

§ 17 ] Вектор электрической индукции и его свойства 73

Поток∮S

PdS вектора P через поверхность S равен сумме пото-

ка через основания цилиндра∫осн

PdS и потока через его боковую

поверхность∫бок

PdS. Величиной последнего, как указывалось выше,

можно пренебречь. Основания цилиндра представляют собой элемен-тарные площадки одинаковой площади dS, векторы которых обозначимчерез dS1 и dS2. Поток вектора P через основания цилиндра можнопредставить в следующем виде:

∫

осн

PdS = P1dS1 + P2dS2,

где P1 и P2 — векторы поляризованности соответственно в первой ивторой средах, взятые в произвольных точках оснований рассматри-ваемого цилиндра. С учетом всех сделанных замечаний левая частьуравнения (16.13), выражающего теорему Гаусса, преобразуется следу-ющим образом:

∮

S

PdS =∫

осн

PdS +∫

бок

PdS ≈∫

осн

PdS = P1dS1 + P2dS2.

Скалярные произведения P1dS1 и P2dS2 выразим через проекцииP1n и P2n векторов P1 и P2 на общую нормаль n к поверхностираздела, проведенную из первой среды во вторую (см. рис. 61):

∮

S

PdS = P1dS1 + P2dS2 = −P1ndS + P2ndS. (16.14)

Из уравнения (16.13) с учетом (16.14) получим

−P1ndS + P2ndS = −σсвdS.

Отсюда найдем связь между нормальными компонентами вектораполяризованности P при переходе из одной среды в другую, котораяназывается граничными условиями для нормальной компоненты век-тора P:

P2n − P1n = −σсв. (16.15)

На границе раздела сред нормальная компонента вектора P испы-тывает скачок, величина которого определяется поверхностной плотно-стью связанного заряда σсв.

§17. Вектор электрической индукции и его свойства

Вектор электрической индукции D (электрического смещения)определяется выражением:

D = ε0E + P, (17.1)


где E — напряженность электрического поля, P — вектор поляризо-ванности в рассматриваемой точке вещества.

Как указывалось выше, в однородном изотропном диэлектрике век-торы P и E связаны соотношением:

P = ε0κE,

где κ — диэлектрическая восприимчивость вещества.С учетом этого вектор D можно представить в следующем виде:

D = ε0E + ε0κE = ε0(1 + κ)E = ε0εE,

где величина 1 + κ обозначена буквой ε.Диэлектрической проницаемостью ε вещества называется величи-

на:ε = 1 + κ, (17.2)

где κ — диэлектрическая восприимчивость.Диэлектрическая проницаемость ε является безразмерной величи-

ной, ε > 1.Итак, связь между вектором электрической индукции D и напря-

женностью электрического поля E в однородном изотропном диэлек-трике устанавливается с помощью диэлектрической проницаемостисреды:

D = ε0εE. (17.3)

Теорема Гаусса для вектора D. Рассмотрим однородный изо-тропный диэлектрик, поляризованный под действием электрическогополя. В диэлектрике имеются поляризационные (связанные) заряды и,возможно, сторонние заряды. Согласно теореме Гаусса, поток вектораэлектрической индукции D через произвольную замкнутую поверх-ность S равен стороннему заряду qст, расположенному внутри этойповерхности: ∮

S

DdS = qст. (17.4)

Док а з а т е л ь с т в о. Воспользуемся интегральной формой теоремыГаусса для вектора напряженности E электрического поля:

∮

S

E dS =qст + qсв

ε0

, (17.5)

где qст + qсв — полный заряд внутри поверхности интегрирования S,равный сумме стороннего qст и связанного qсв зарядов. Преобразуем по-следнее равенство с учетом теоремы Гаусса для вектора P (см. (16.3)),


согласно которой величину связанного заряда qсв можно выразить черезпоток вектора поляризованности P:

qсв = −∮

S

PdS.

Тогда из (17.5) получим∮

S

ε0E dS − qсв = qст,

∮

S

ε0E dS +∮

S

PdS =∮

S

(ε0E + P) dS = qст.

Величина в скобках под знаком интеграла представляет собойвектор электрической индукции D. Тем самым утверждение (17.4)теоремы Гаусса для вектора D доказано.

Теорема Гаусса для вектора D в дифференциальной форме.Пусть поверхность интегрирования S в (17.4) ограничивает объем ΔV ,внутри которого расположен сторонний заряд Δqст:

∮

S

DdS = Δqст.

Разделив обе части равенства на ΔV и вычислив пределы получен-ных отношений при стремлении ΔV к нулю, найдем:

limΔV →0

∮S

DdS

ΔV= lim

ΔV →0

Δqст

ΔV,

Здесь, по определению дивергенции, limΔV →0

( ∮S

DdS)/ΔV = div D;

limΔV →0

Δqст/ΔV = ρст — объемная плотность стороннего заряда. С уче-

том этих соотношений получаем теорему Гаусса для вектора D вдифференциальной форме:

div D = ρст, (17.6)

согласно которой дивергенция вектора D в некоторой точке диэлектри-ка равна объемной плотности стороннего заряда в этой точке.

Прим е р. Целесообразность введения понятия вектора электриче-ской индукции D при изучении электростатики диэлектриков пояснимна следующем примере. Допустим, все пространство заполнено диэлек-триком с проницаемостью ε. В некоторой точке пространства находитсяточечный сторонний заряд qст. Требуется определить напряженностьполя E в произвольной точке пространства, расположенной на рассто-янии r от заряда qст.


Можно попытаться воспользоваться теоремой Гаусса для вектора E,выбрав в качестве поверхности интегрирования S сферу радиуса rс центром в точке расположения заряда qст. При этом необходимоучесть, что внутри сферы имеется не только сторонний заряд qст, но иполяризационный связанный заряд qсв. В этом случае теорема Гауссазаписывается в следующей форме:

∮

S

E dS =qст + qсв

ε0

.

Из этого интегрального уравнения не удастся определить напря-женность поля E, поскольку величина связанного заряда qсв неизвест-на.

При определении напряженности поля E в диэлектрике нужносначала найти электрическую индукцию D. При этом достаточно знатьраспределение в пространстве только сторонних зарядов и нет необхо-димости интересоваться связанным зарядом (см. (17.4)). В этом и за-ключается удобство введения и использования вектора электрическойиндукции D. После определения D по известному соотношению (17.3)вычисляется вектор напряженности электрического поля E. В рассмат-риваемом примере теорема Гаусса для вектора D имеет вид

∮

S

DdS = qст,

где интегрирование ведется по сфере радиуса r с центром в точке,где расположен сторонний заряд qст. В силу симметрии задачи во всехточках рассматриваемой сферической поверхности модуль вектора Dодинаков. Поэтому поток вектора D равен произведению его модуля Dна площадь сферы:

D · 4πr2 = qст, D =qст

4πr2.

Чтобы найти напряженность поля, воспользуемся соотношением (17.3):

E =qст

4πε0εr2. (17.7)

Рассмотренный пример иллюстрирует также физический смысл ди-электрической проницаемости ε. Величина ε показывает, во сколькораз по сравнению с вакуумом ослабляется диэлектриком напряжен-ность E электрического поля сторонних зарядов. Действительно, рас-считанное по формуле (17.7) поле в диэлектрике в ε раз меньше полязаряда qст в вакууме: Eвак = qст/(4πε0r

2).Можно показать, что поле E в диэлектрике ослабляется в ε раз

по сравнению с полем в вакууме только при условии, что диэлектри-ческое вещество заполняет все пространство или целиком заполняетпространство между двумя эквипотенциальными поверхностями.


Граничные условия для вектора D. Рассмотрим поверхностьраздела двух однородных изотропных диэлектриков 1 и 2 (рис. 62).Поверхностную плотность сторонних зарядов обозначим через σст.

Для вывода граничных условий воспользуемся теоремой Гаусса длявектора D в интегральной форме (17.4). В качестве поверхности инте-грирования S выберем поверхность прямого цилиндра малого объема,основания которого — элементарные площадки dS — расположены поразные стороны границы сред 1 и 2 и параллельны поверхности раз-дела. Высота цилиндра настолько мала, что потоком вектора D через

2

1

Рис. 62

его боковую поверхность можнопренебречь. Внутри рассматрива-емого цилиндра находится эле-ментарная площадка dS поверх-ности раздела сред 1 и 2, на ко-торой имеется сторонний зарядσстdS. Теорема Гаусса для векто-ра D в этом случае имеет вид

∮

S

DdS = σстdS, (17.8)

где интеграл вычисляется по по-верхности S цилиндра.

Поток∮S

DdS вектора D через поверхность S равен сумме

потоков через основания цилиндра∫осн

DdS и через его боковую

поверхность∫бок

DdS, причем последним можно пренебречь благодаря

тому, что высота цилиндра и площадь его боковой поверхностистремятся к нулю. Основания цилиндра представляют собойэлементарные площадки, векторы которых обозначим через dS1 и dS2.Представим поток вектора D через основания в следующем виде:

∫

осн

DdS = D1dS1 + D2dS2,

где D1 и D2 — векторы электрической индукции соответственно впервой и второй средах вблизи границы раздела, взятые в произ-вольных точках двух оснований цилиндра. С учетом всех сделанныхзамечаний левая часть уравнения (17.8), выражающего теорему Гаусса,преобразуется следующим образом:

∮

S

DdS =∫

осн

DdS +∫

бок

DdS ≈∫

осн

DdS ≈ D1dS1 + D2dS2.

Скалярные произведения D1dS1 и D2dS2 выразим через проекцииD1n и D2n векторов D1 и D2 на общую нормаль n к основаниям


цилиндра (к поверхности раздела сред), проведенную из первой средыво вторую. Тогда получим

∮

S

DdS = D1dS1 + D2dS2 = −D1ndS + D2ndS. (17.9)

Теорема Гаусса (17.8) с учетом (17.9) будет иметь вид

−D1ndS + D2ndS = σстdS.

Сократив на dS, получим связь между нормальными компонентамиD1n и D2n вектора электрической индукции D при переходе черезграницу раздела сред. Это соотношение называется граничными усло-виями для нормальной компоненты вектора D:

D2n − D1n = σст. (17.10)

На границе раздела двух диэлектриков нормальная компонентавектора D испытывает скачок, величина которого определяется поверх-ностной плотностью стороннего заряда σст.

На практике часто встречаются задачи, в которых сторонние зарядына границе раздела диэлектриков отсутствуют, σст = 0. В этом случаенормальная компонента вектора D при переходе через границу разделане изменяется:

D2n = D1n при σст = 0. (17.11)

Преломление линий вектора E. В качестве примера использова-ния граничных условий для векторов E и D рассмотрим преломление

n2E

n1E

1E

�1E

�2E

2E

n2

1

2�

1�

Рис. 63

линий вектора напряженности поля E наплоской поверхности раздела однородныхизотропных диэлектриков 1 и 2 с диэлек-трическим проницаемостями ε1 и ε2 соот-ветственно. Диэлектрики находятся в од-нородном электрическом поле, линии ко-торого составляют с нормалью n к поверх-ности раздела в первой среде угол α1, вовторой среде — угол α2 (рис. 63). Найдемсоотношение между α1 и α2.

Пусть E1 и E2 — напряженность поля впервой и второй среде. Разложим векторыE1 и E2 на составляющие: E1τ и E2τ па-раллельны поверхности раздела сред, E1n

и E2n перпендикулярны к этой поверхно-сти. Учтем, что из граничных условий для тангенциальной компонентывектора напряженности E (см. (10.1)) следует:

E1τ = E2τ . (17.12)

Из граничных условий (17.11) для нормальной компоненты вектораэлектрической индукции D при отсутствии на поверхности раздела

§ 17 ] Задачи 79

сторонних зарядов и с учетом соотношения D = ε0εE для каждой изсред 1 и 2 получим соотношение между нормальными компонентамивектора E:

D2n = D1n, ε1E1n = ε2E2n. (17.13)

Как видно из рис. 63, тангенсы углов α1 и α2 равны отношениямтангенциальных и нормальных компонент векторов E1 и E2. Вычислимотношение тангенсов углов α1 и α2 с учетом соотношений (17.12) и(17.13):

tg α1

tg α2

=E1τ/E1n

E2τ/E2n=

E1τE2n

E2τE1n=

ε1

ε2

. (17.14)

Выражение (17.14) представляет собой закон преломления линийнапряженности электрического поля на поверхности раздела двух од-нородных изотропных диэлектриков.

Задачи

3.1. Металлический шар радиусом 5 см окружен шаровым слоемдиэлектрика (ε = 7) толщиной 1 см и помещен концентрично в метал-лическую сферу с внутренним радиусом 7 см. Чему равна емкость Cтакого конденсатора?

3.2. В плоский конденсатор параллельно обкладкам введена пла-стина из оптического стекла (ε = 9) так, что остался воздушный за-зор d1 = 1 мм. Расстояние между обкладками конденсатора d = 1 см.К конденсатору приложена разность потенциалов V = 100 В. Какойбудет разность потенциалов U , если после отключения конденсатораот источника напряжения убрать стеклянную пластину?

3.3. В диэлектрической среде с диэлектрической проницаемостьюε имеется однородное поле напряженностью E. Внутри среды распо-ложена сферическая полость. Найти напряженность поля E′ в центресферы, созданного индуцированными на поверхности сферы поляри-зационными зарядами, считая, что вектор поляризованности P всюду(за исключением полости) имеет постоянное значение.

3.4. Плоскопараллельная пластина толщины h из однородного ста-тически поляризованного диэлектрика расположена внутри плоскогоконденсатора параллельно его обкладкам. Обкладки конденсатора со-единены между собой проводником. Поляризованность диэлектрикаравна P и направлена перпендикулярно пластине и обкладкам кон-денсатора. Расстояние между обкладками конденсатора — d (d > h).Найти векторы E и D внутри и вне пластины.

3.5. Точечный заряд q находится в вакууме на расстоянии l отплоской поверхности однородного изотропного диэлектрика, заполняю-щего все полупространство. Проницаемость диэлектрика равна ε. Най-ти: 1) поверхностную плотность σсв связанных зарядов как функциюрасстояния r от точечного заряда q; 2) суммарный связанный заряд qсвна поверхности диэлектрика.

ГЛАВА IV

ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК

§18. Закон Ома. Сторонние силы

Поляризация диэлектриков. В электростатике рассматривалисьсвойства электрического поля неподвижных электрических зарядов.В данной главе нам предстоит изучение движущихся зарядов и связан-ных с этим явлений.

Электрическим током называется упорядоченное движение элек-трических зарядов.

Различают токи двух видов. Конвекционными называются токи,которые сопровождаются переносом вещества. Пример конвекционноготока — перемещение в пространстве несущих на себе заряд макро-скопических тел, например, заряженных пылинок, капелек жидкости.В отличие от конвекционных токов токи проводимости не сопро-вождаются переносом вещества. Так, при движении под действиемэлектрического поля свободных электронов в проводнике, которыйвходит в состав электрической цепи, электроны перемещаются вдольпроводника на большие расстояния. Однако в целом в результатетакого перемещения переноса вещества не происходит, поскольку влюбой части проводника имеет место непрерывный процесс замещенияодних заряженных частиц другими.

Ток проводимости может течь в твердых телах (металлы, полупро-водники), в жидкостях (электролиты) и в газах. Для протекания токанеобходимо наличие в данном теле или среде заряженных частиц, ко-торые могут перемещаться на макроскопические расстояния в пределахвсего тела. Такие частицы называются носителями тока. Ими могутбыть электроны или ионы.

Ток возникает при условии, что в проводящей среде существуетэлектрическое поле. Носители тока участвуют в хаотическом тепловомдвижении, благодаря которому через любую поверхность S проходитв обе стороны в среднем одинаковое число носителей. Ток через по-верхность S, обусловленный тепловым движением, равен нулю. Приналичии электрического поля на хаотическое тепловое движение носи-телей накладывается упорядоченное движение с некоторой постояннойсредней скоростью, и через поверхность S течет ток.

В настоящей главе рассматриваются закономерности, которым под-чиняются токи проводимости.

Сила тока. Количественной характеристикой электрического токаслужит сила тока, которую будем обозначать буквой I. Сила тока I

§ 18 ] Закон Ома. Сторонние силы 81

через заданную поверхность S численно равна заряду, переносимомучерез эту поверхность в единицу времени:

I =dq

dt, (18.1)

где dq — заряд, прошедший через поверхность S за промежуток вре-мени dt.

При практических расчетах силы тока выше упомянутая поверх-ность S нередко представляет собой поперечное сечение металличе-ского провода (рис. 64). Например, важно знать силу тока, текущегопо проводам, изготовленным из меди или алюминия и используемымдля подачи электроэнергии потребителям. При расчетах и измеренияхтоков в проводящих средах — растворах электролитов, заполняющих

S dq

Рис. 64

аккумуляторы или электролитические ванны,в поверхностном слое Земли (токи заземле-ния), в газах — поверхность S может иметьдовольно сложную форму.

Носителями тока в электролитах являют-ся положительно заряженные ионы и отри-цательно заряженные электроны, которые поддействием электрического поля одновременно движутся в проводя-щей среде в противоположных направлениях. При протекании тока вметаллах по объему проводника перемещаются только отрицательнозаряженные частицы — электроны. На схемах электрических цепей вкачестве направления тока принято указывать направление движенияположительно заряженных носителей. Если таковые отсутствуют, занаправление тока принимается направление, противоположное направ-лению движения отрицательных носителей.

Единица силы тока в системе СИ — ампер (А). Один ампер опре-деляется следующим образом. При протекании тока силой один амперпо двум прямолинейным параллельным бесконечно длинным тонкимпроводникам, расположенным в вакууме на расстоянии 1 м друг отдруга, в расчете на один метр длины проводника действует сила,равная 2 · 10−7 Н. Сила взаимодействия двух проводников с токомимеет магнитную природу (см. гл. V).

Плотность тока. Для детальной характеристики распределениятоков в проводящей среде вводится понятие вектора плотности тока j.

Везде ниже, если не оговорено иное, будем полагать, что протека-ние тока в среде обеспечивается движением носителей одного знака,например, электронов. Пусть ρн — объемная плотность заряда носите-лей. Так, в случае металлического проводника отнесенный к единицеобъема проводника заряд электронов проводимости равен

ρн = limΔV →0

Δqн

ΔV,

82 Постоянный электрический ток [ Гл. IV

где Δqн — усредненный заряд электронов проводимости в объеме ΔVпроводника.

Среднюю скорость упорядоченного движения носителей тока обо-значим через u. Вектор плотности тока j определяется следующимобразом:

j = ρнu. (18.2)

Если в проводящей среде имеются носители тока нескольких типов,полная плотность тока вычисляется суммированием вычисленных поформуле (18.2) векторов j для каждого из носителей.

Если средняя концентрация носителей тока (число частиц в едини-це объема) в среде равна n, а заряд каждой частицы-носителя равен qн,то объемная плотность ρн заряда равна:

ρн = nqн.

С учетом этого вектор плотности тока j можно представить в виде:

j = ρнu = qнnu. (18.3)

Установим связь между силой тока I через некоторую поверх-ность S в проводящей среде и плотностью тока j. Пусть через элемен-тарный участок площади dS поверхности S (в дальнейшем — площад-ка dS), единичный вектор нормали n к которому составляет угол α с

u

u

n dS

�

90

udt

�

�

dI

udt cos�

í�

Рис. 65

направлением скорости u носителейтока, течет ток силой dI (рис. 65).Заряд dq, прошедший через площад-ку dS за промежуток времени dt, ра-вен заряду всех носителей в объеменаклонного цилиндра с длиной об-разующей udt и площадью основа-ния dS. Действительно, расположен-ные внутри такого цилиндра носителитока движутся со скоростью u вдольбоковой поверхности по направлениюк основанию цилиндра и за проме-жуток времени dt пересекут площад-ку dS. Носители, расположенные отплощадки на расстоянии, превышаю-

щем udt, не успеют за время dt достичь площадки. Заряд dq носителейвнутри рассматриваемого цилиндра равен произведению их объемнойплотности ρн на объем цилиндра udt cos α dS (здесь udt cos α — высотацилиндра):

dq = ρнudt cos α dS.

С учетом этого соотношения силу тока dI через площадку dSпредставим в следующем виде:

dI =dq

dt= ρнu cos α dS = ρнu dS = j dS,


где dS — вектор элементарной площадки, j = ρнu — вектор плотноститока вблизи площадки dS.

Итак, сила тока dI через элементарную площадку равна скалярномупроизведению плотности тока j и вектора dS элементарной площадки:

dI = j dS. (18.4)

Зная плотность тока j в каждой точке проводящей среды, можновычислить силу тока I через произвольную поверхность S. Для этогонеобходимо мысленно разделить всю поверхность S на малые участ-ки так, чтобы в пределах каждого участка (элементарной площадки)соответствующий вектор плотности тока j можно было считать посто-янным, вычислить для каждой элементарной площадки скалярное про-изведение dI = j dS — силу тока через данную площадку, и наконец,сложить все полученные величины. Результат сложения при устрем-лении к бесконечности числа элементарных площадок, на которые

Sd

Рис. 66

разделена вся поверхность S (интеграл по по-верхности S), равен силе тока через поверх-ность:

I =∫

S

j dS. (18.5)

Пусть ток силой I течет по тонкому одно-родному цилиндрическому проводнику, неболь-шой участок которого показан на рис. 66. Но-сители тока движутся параллельно боковой по-верхности проводника вдоль его оси. Плот-ность тока j одинакова во всех точках поперечного сечения провод-ника. Вычислим силу тока в проводнике с помощью формулы (18.5),учитывая, что скалярное произведение j dS равно произведению моду-лей j dS перемножаемых векторов:

I =∫

S

j dS =∫

S

j dS = j∫

S

dS = jS.

Из полученного выражения видно, что плотность тока j равна силетока I, деленной на площадь поперечного сечения S проводника:

j =I

S.

Иначе говоря, плотность тока равна силе тока, отнесенной к едини-це площади поперечного сечения проводника.

Рассмотренный пример позволяет уяснить смысл понятия плотноститока, который состоит в следующем: модуль плотности тока j равенсиле тока, протекающего через единичную площадку, расположен-ную перпендикулярно направлению тока.

При изучении электрических явлений используется понятие линиитока. Это линия, касательная к которой в каждой точке совпадает по


направлению с вектором j плотности тока. Густота линий пропорцио-нальна модулю вектора j. Линии тока представляют собой траектории

j

Ëèíèÿ òîêà

Рис. 67

движения носителей заряда при стационар-ном протекании тока по проводнику (рис. 67).

Уравнение непрерывности. Рассмотримзамкнутую поверхность S, внутри которойрасположен некоторый заряд q (рис. 68). Ве-личина q с течением времени изменяется:

q = q(t).

В соответствии с законом сохранения за-ряда (см. § 1) уменьшение или увеличение за-ряда q внутри ограниченного поверхностью S

объема может быть обусловлено только переходом заряда через этуповерхность. Действительно, если бы поверхность S была непроница-емой для электрических зарядов, величина заряда q в электрическиизолированном от окружающей среды ограниченном поверхностью Sобъеме с течением времени оставалась бы неизменной.

Скорость изменения заряда q внутри поверхности S, то есть произ-водная dq/dt по модулю равна силе тока I через поверхность S:

dq

dt= −

∮

S

j dS = −I, (18.6)

где j — плотность тока. Знак «минус» перед интегралом и силой токаI в равенстве (18.6) имеет следующий смысл. Если заряд q внутри

j

qS

Рис. 68

замкнутой поверхности S положительный иуменьшается с течением времени, то dq/dt << 0. При этом положительный заряд пересе-кает поверхность S в направлении изнутри на-ружу, выходя из ограниченного поверхностьюS объема во внешнюю среду. Электрическийток через поверхность S в этом случае поопределению считается положительным, I >> 0. Учитывая противоположные знаки вели-чин dq/dt и силы тока I, в (18.6) перед однойиз них необходимо поставить знак «минус».

Равенство (18.6) называется уравнением непрерывности в инте-гральной форме.

Уравнение непрерывности в дифференциальной форме получим,разделив обе части уравнения (18.6) на величину ΔV ограниченногоповерхностью S объема и вычислив пределы при стремлении ΔV кнулю:

limΔV →0

∮S

j dS

ΔV= − lim

ΔV →0

(1

ΔV

∂Δq

∂t

). (18.7)


В этом выражении заряд внутри ограниченного замкнутой поверх-ностью S объема ΔV обозначен через Δq (вместо обозначения q вравенстве (18.6)), чтобы подчеркнуть то обстоятельство, что объем ΔVявляется малым. Кроме того, производную по времени заряда Δqзаписали в виде частной производной ∂Δq/∂t, указывая тем самым назависимость величины Δq не только от времени, но и от координат x,y, z, определяющих положение объема ΔV в пространстве. Предел ле-вой части равенства (18.7) представляет собой дивергенцию плотноститока j, предел правой части равен производной по времени объемнойплотности ρ макроскопического заряда в точке с координатами x,y, z, в которую стягивается поверхность S при стремлении к нулюобъема ΔV :

limΔV →0

(1

ΔV

∂Δq

∂t

)=

∂

∂t

(lim

ΔV →0

Δq

ΔV

)=

∂ρ

∂t. (18.8)

С учетом (18.8) из (18.7) получим уравнение непрерывности вдифференциальной форме:

div j = −∂ρ

∂t. (18.9)

При протекании постоянных токов имеет место установившееся,неизменное во времени пространственное распределение макроскопи-ческих электрических зарядов в проводящей среде. Величина заряда влюбом фиксированном объеме среды постоянна. В этих условиях, на-зываемых стационарными, производная по времени заряда q, располо-женного внутри произвольной замкнутой поверхности S, и производнаяпо времени объемной плотности ρ заряда в любой точке проводящейсреды равны нулю:

dq

dt= 0, (18.10)

∂ρ

∂t= 0. (18.11)

В частном случае протекания в проводящей среде постоянных токовс учетом равенств (18.10) и (18.11) уравнения непрерывности (18.6) и(18.9) записываются в следующей форме:

∮

S

j dS = 0, (18.12)

div j = 0. (18.13)

Закон Ома для однородного участка цепи. Рассмотрим однород-ный проводник, к концам которого приложено напряжение U = ϕ1 −− ϕ2, где ϕ1 и ϕ2 — значения потенциала электростатического поляу концов проводника (рис. 69). Согласно полученному опытным путем


закону Ома сила тока I, текущего по однородному проводнику, про-порциональна разности потенциалов (напряжению) на его концах:

I =ϕ1 − ϕ2

R=

U

R. (18.14)

В этом выражении R — константа, называемая электрическим сопро-тивлением (сопротивлением) проводника. Закон Ома в форме (18.14),связывающий между собой силу тока и напряжение на концах одно-родного проводника, одновременно служит определением понятия егосопротивления.

Единица сопротивления — ом (Ом). Сопротивление однородногопроводника равно одному ому, если при напряжении в 1 В, приложен-

I

1�

2�

Рис. 69

ном к концам проводника, по нему течетток силой 1 А:

1 Ом = 1 В/А.

Закон Ома не является фундамен-тальным (всеобщим) законом физики.Он справедлив лишь для определенныхклассов проводящих материалов и сред,например, металлических проводников,

растворов электролитов. Существуют проводящие электрический токматериалы, для которых связь между током и напряжением не опи-сывается законом Ома (18.14). К ним относится, например, изготов-ленный на основе полупроводниковых материалов так называемый p–n-переход (см. кн. 5 «Основы квантовой физики»). В данной главерассматриваются только проводники, для которых справедлив законОма.

Опытным путем установлено, что сопротивление однородного про-водника пропорционально его длине и обратно пропорционально пло-щади поперечного сечения. Сопротивление R проводника длиной l иодинакового по всей длине сечения площадью S, равно

R = ρудl

S, (18.15)

где ρуд — коэффициент пропорциональности, называемый удельнымэлектрическим сопротивлением (удельным сопротивлением) матери-ала, из которого изготовлен проводник.

Единица удельного сопротивления — ом·метр (Ом·м). Удельное со-противление хороших проводников составляет при комнатной темпера-туре: 1, 5 · 10−8 Ом·м у серебра, 1, 6 · 10−8 Ом·м у меди, 2, 5 · 10−8 Ом·му алюминия. Удельное сопротивление изоляторов много выше, напри-мер, у бумаги 1010 Ом·м, у янтаря 1017 Ом·м.


Величина, обратная удельному сопротивлению, называется удель-ной электрической проводимостью вещества:

λ =1

ρуд

. (18.16)

Сопротивление металлических проводников возрастает с увеличе-нием температуры. Эта зависимость описывается выражением:

R = R0(1 + αt), (18.17)

где R0 — сопротивление при 0 ◦С, R — сопротивление при темпе-ратуре t, выраженной в ◦С, α — так называемый температурныйкоэффициент сопротивления.

Закон Ома в локальной форме. Пусть в проводящей среде течетток с плотностью j. Мысленно выделим внутри среды небольшойпрямой цилиндр, высота которого dl, площадь основания dS, плоскости

dS dl

dI

j E,

Рис. 70

оснований перпендикулярны направлению упо-рядоченного движения носителей тока, то естьвектору j и линиям тока. Объем цилиндра на-столько мал, что вектор j плотности тока вовсех точках среды в пределах рассматривае-мого элементарного цилиндра можно считатьодинаковым. Это же относится к вектору на-пряженности E электрического поля (рис. 70).Движение носителей тока осуществляется снекоторой постоянной средней скоростью в на-правлении действия на заряды носителей силы со стороны электриче-ского поля, т.е. в направлении вектора E. Векторы j и E сонаправлены.

Применим закон Ома (18.14) к рассматриваемому элементарномуцилиндру:

dI =ϕнач − ϕкон

dR, (18.18)

где dI — сила тока, текущего через основания цилиндра, ϕнач − ϕкон —разность потенциалов на его основаниях, dR — сопротивление ограни-ченной цилиндрической поверхностью части проводящей среды.

Выразим силу тока dI через плотность тока j и площадь dS осно-вания цилиндра:

dI = j dS, (18.19)

разность потенциалов ϕнач − ϕкон на основаниях цилиндрического про-водника — через напряженность E электрического поля внутри цилин-дра:

ϕнач − ϕкон = E dl. (18.20)

Кроме того, представим сопротивление dR в виде

dR = ρудdl

dS. (18.21)


Подставим силу тока, разность потенциалов и сопротивление из(18.19)–(18.21) в равенство (18.18) и выполним преобразования:

j dS =E dl

ρудdl/dS,

j =1

ρудE.

Как указывалось выше, векторы j и E сонаправлены. Поэтомупоследнее равенство можно записать в векторном виде:

j =1

ρудE = λE, (18.22)

где ρуд и λ — удельные сопротивление и электрическая проводимостьсреды.

Выражение (18.22) устанавливает связь между характеристикамитока (плотность j), среды (удельная электрическая проводимость λили удельное сопротивление ρуд) и электрического поля (напряжен-ность E). Связь (18.22) между плотностью тока j и напряженностьюэлектрического поля E называется законом Ома в локальной форме.

Закон Ома для неоднородного участка цепи. Сторонние силы,ЭДС. Если при протекании тока в проводнике на подвижные носителитока не действуют никакие другие силы, кроме сил электростатиче-ского поля, через некоторое время ток в цепи прекратится. Это про-изойдет, как только вследствие пространственного перераспределениязарядов напряженность поля в проводнике станет равна нулю, как этоимеет место в электростатике.

Для поддержания тока в цепи должны существовать силы, которыеосуществляют пространственное разделение имеющихся в проводникеположительных и отрицательных микроскопических зарядов, препят-ствуя тем самым установлению такого состояния, в котором электри-ческое поле и ток в проводнике отсутствуют. Разделяя в пространствезаряды противоположных знаков, эти силы перемещают положитель-ные носители тока в направлении возрастания потенциала, а отри-цательные носители тока — в направлении уменьшения потенциалаэлектростатического поля, то есть в обоих случаях заряды перемеща-ются против сил электростатического поля. Силы, осуществляющиепространственное разделение зарядов противоположных знаков в опи-санных условиях, называются сторонними.

Сторонние силы — это силы не электростатического происхож-дения, способные осуществлять пространственное разделение положи-тельных и отрицательных зарядов, перемещая положительные носите-ли тока в направлении возрастания, а отрицательные — в направленииуменьшения потенциала электростатического поля, то есть против силэтого поля.

Так, в источнике тока, например, аккумуляторной батарее, вхо-дящей в состав замкнутой электрической цепи, действуют сторон-


ние силы, благодаря которым по цепи течет ток I (рис. 71). Приэтом внутри источника положительные носители тока перемещаютсяот отрицательного к положительному электроду (от клеммы «минус»к клемме «плюс»), то есть в направлении возрастания потенциалаэлектростатического поля. Поддерживая ток в цепи, сторонние силы

� +

I

Рис. 71

совершают положительную работу.Участок электрической цепи, на котором

действуют сторонние силы, называют неодно-родным участком.

Сторонние силы разнообразны. Это, напри-мер, силы химического происхождения, возни-кающие при протекании химических реакцийв гальванических элементах. Роль стороннихмогут выполнять магнитные силы, действую-щие на движущиеся заряды в генераторах то-ка. Пространственное разделение электриче-ских зарядов под действием сторонних сил происходит в электрическойцепи, состоящей из нескольких разнородных проводников, контак-ты между которыми имеют различную температуру (термоэлементы)и т. д.

По аналогии с напряженностью электростатического поля вводитсяпонятие напряженности поля сторонних сил Eст. Вектор напряженно-

1

2

ñòEd l

Рис. 72

сти поля сторонних сил Eст в некото-рой точке пространства (проводящей сре-ды) представляет собой стороннюю силу,отнесенную к единичному положительно-му заряду.

Пусть на участке электрической це-пи, начальную и конечную точки которогообозначим через 1 и 2, действуют сторон-ние силы с напряженностью Eст (рис. 72).Электродвижущей силой (ЭДС) на учас-

тке цепи 1–2 называется работа сторонних сил, совершаемая приперемещении единичного положительного заряда из точки 1 в точку 2:

�12 = A12 =

2∫

1

Eст dl. (18.23)

Электродвижущая сила, как и потенциал электростатического поля,измеряется в вольтах.

При наличии в проводнике помимо сил электростатического полясторонних сил закон Ома в локальной форме записывается следующимобразом:

j = λ(E + Eст), (18.24)


где E — напряженность электростатического поля, Eст — напряжен-ность поля сторонних сил. Выражение (18.24) представляет собойзакон Ома в локальной форме для неоднородного участка цепи.

Получим выражение закона Ома для неоднородного участка це-пи в интегральной форме. Рассмотрим участок цепи, на которомпомимо сил электростатического поля с напряженностью E дей-ствуют сторонние силы, напряженность которых Eст. Для упроще-ния вычислений будем полагать, что участок цепи представляет со-бой проводник цилиндрической формы длиной l и площадью по-перечного сечения S. Удельное сопротивление материала провод-ника равно ρуд. Вектор j плотности тока одинаков во всех точ-ках проводника и параллелен его боковой поверхности (рис. 73).То же относится к векторам напряженности электростатического

Рис. 73

поля E и напряженности поля сторон-них сил Eст. Применим к рассматрива-емому участку закон Ома (18.24), за-писав его в скалярной форме:

j = λ(E + Eст),

где E и Eст — проекции векторов на-пряженности на направление тока.

Подставим сюда плотность тока j == I/S, выраженную через силу токаI и площадь поперечного сечения S,

удельную электрическую проводимость λ = 1/ρуд и умножим обе частиполученного равенства на длину участка l. В результате получим

Iρудl

S= El + Eстl. (18.25)

Учитывая, что величина ρудl/S представляет собой электрическоесопротивление проводника, величина El = ϕ1 − ϕ2 — разность потен-циалов на его концах, величина Eстl = �12 — работу сторонних силпо переносу единичного положительного заряда по участку, то естьдействующую на данном участке ЭДС, запишем (18.25) в следующемвиде:

IR = ϕ1 − ϕ2 + �12. (18.26)

Равенство (18.26) представляет собой закона Ома для неоднород-ного участка цепи в интегральной форме. Эта формула применима

R1 2

I

E12

Рис. 74

к произвольному неоднородному участку, со-противление которого R, разность потенциаловна концах ϕ1 − ϕ2 и на котором действуютсторонние силы с ЭДС �12. Схематично про-извольный неоднородный участок цепи можноизобразить в виде, показанном на рис. 74, гдевеличиной R обозначено полное сопротивлениеучастка, включающее как внутреннее сопро-


тивление источника тока, так и сопротивление подключенных к источ-нику проводников.

Правила Кирхгофа. Первое правило Кирхгофа (1824–1887). Ал-гебраическая сумма токов в узле электрической цепи, то есть в точкесоединения нескольких проводников, равна нулю:

∑k

Ik = 0. (18.27)

где индекс k — условный номер проводника, Ik — сила текущего поk-му проводнику тока; токи, текущие в направлении к рассматривае-

1I

2I

3I

S

Рис. 75

мому узлу и в направлении от узла, учи-тываются в сумме (18.27) с противопо-ложными знаками.

Правило Кирхгофа (18.27) иллюстри-рует рис. 75. Сила тока I1, втекающегов узел, равна сумме сил токов I2 и I3,вытекающих из узла:

I1 = I2 + I3.

Алгебраическая сумма токов в точкеразветвления проводников равна нулю:

I1 − I2 − I3 = 0.

Первое правило Кирхгофа является прямым следствием уравнениянепрерывности для постоянных токов (см. (18.12)). В соответствиис этим уравнением суммарный ток через произвольную замкнутуюповерхность, в частности, через изображенную на рис. 75 охватываю-щую область соединения нескольких проводников поверхность S, равеннулю: ∮

S

j dS = 0.

Ток через поверхность S равен алгебраической сумме токов всехпересекающих эту поверхность проводников:

∮

S

j dS =∑k

Ik.

Из двух последних равенств следует правило (18.27).Согласно второму правилу Кирхгофа в любом замкнутом элек-

трическом контуре в составе разветвленной электрической цепи, ал-гебраическая сумма падений напряжений равна алгебраической суммедействующих в этом контуре ЭДС:

∑k

IkRk =∑k

�k. (18.28)


Здесь Ik — сила тока на k-м участке, Rk — сопротивление, IkRk —падение напряжения, �k — ЭДС этого участка. При вычислении суммв равенстве (18.28) необходимо выбрать направление обхода контура.Ток Ik и ЭДС �k любого участка учитываются в сумме (18.28) сознаком «плюс», если на этом участке направление тока и направлениедействия сторонних сил совпадают с выбранным направлением обходаконтура. В противном случае перед соответствующим слагаемым ста-вится знак «минус».

Второе правило Кирхгофа является следствием закона Ома. Рас-смотрим в качестве примера состоящий из трех неоднородных участ-

1� 2�

3�3I 2I

1I1R

2R

3R

+�

+�

+�

E

E1

E 2

3

Рис. 76

ков цепи замкнутый контур в составесложной разветвленной цепи (рис. 76).Для каждого участка запишем законОма:

I1R1 = ϕ1 − ϕ2 + �1,

I2R2 = ϕ2 − ϕ3 − �2,

I3R3 = ϕ3 − ϕ1 + �3.

Здесь I1, I2, I3 — силы токов; R1, R2,R3 — сопротивления; �1, �2, �3 — ЭДСкаждого участка; ϕ1, ϕ2 и ϕ3 — потен-циалы точек соединения участков другс другом. Сложив все три уравнения,

получим математическое выражение второго правила Кирхгофа (18.28)в рассматриваемом конкретном примере:

I1R1 + I2R2 + I3R3 = �1 − �2 + �3.

На рис. 76 указано направление обхода контура, в соответствии скоторым необходимо учитывать знаки падений напряжения и ЭДС приих суммировании по правилу Кирхгофа. Например, величина ЭДС �2

входит в сумму со знаком «минус», поскольку направление обходапротивоположно направлению действия сторонних сил в источникетока на данном участке контура.

§19. Закон Джоуля–Ленца

Пусть по длинному тонкому проводнику, потенциалы начальнойи конечной точек которого равны соответственно ϕ1 и ϕ2, течет по-стоянный ток силой I. Сторонних сил в проводнике нет. Потенциалэлектростатического поля изменяется только при перемещении вдольпроводника, а во всех точках любого его поперечного сечения онодинаков. За промежуток времени dt через любое поперечное сечениеперемещается один и тот же заряд dq, причем dq =Idt. На малом(элементарном) перемещении заряда dq вдоль проводника силы элек-

§ 19 ] Закон Джоуля–Ленца 93

тростатического поля совершают работу, равную произведению зарядана убыль потенциала, а именно:

dq(−dϕ),

где dϕ — приращение, а (−dϕ) — убыль потенциала электростатиче-ского поля (рис. 77). За тот же промежуток времени dt силы электро-статического поля на всем проводнике между точками 1 и 2 совершаютработу δA, равную сумме элементарных работ на всех элементарныхучастках, из которых состоит проводник. Если число таких участковстремится к бесконечности, указанная сумма представляет собой ин-теграл, вычисляемый вдоль проводника между точками 1 и 2:

δA = −2∫

1

dq dϕ = −dq

2∫

1

dϕ = dq (ϕ1−ϕ2) = Idt (ϕ1−ϕ2) . (19.1)

При интегрировании было учтено, что за промежуток времени dtчерез любое поперечное сечение проводника проходит один и тот же

1

2

I

1�

2�

dq

�d

Рис. 77

заряд dq, и поэтому величина dq былавынесена из-под знака интеграла.

Работой тока на участке элек-трической цепи называется работа силэлектростатического поля, совершае-мая при перемещении заряда dq по это-му участку. В соответствии с опреде-лением работа δA в выражении (19.1)представляет собой работу тока научастке цепи 1–2. Она равна произве-дению заряда dq на разность потенци-алов на концах участка.

Мощностью тока N называется работа тока, отнесенная к единицевремени. Из (19.1) следует, что мощность тока N на участке 1–2 равна:

Nт =δA

dt= I (ϕ1 − ϕ2) . (19.2)

Если на участке цепи не действуют сторонние силы и, кроме того,энергия электростатического поля не затрачивается на совершениемакроскопической механической работы (работу тока можно превра-тить в механическую работу, например, за счет включенного в цепьэлектродвигателя), то совершенная силами поля работа δA полностьюпревращается во внутреннюю энергию проводника. Проводник приэтом получает количество теплоты, равное работе поля: δQ = δA).Механизм превращения энергии поля во внутреннюю энергию провод-ника состоит в следующем. Заряженная частица (носитель тока) поддействием сил внешнего электростатического поля движется внутрипроводника в пространстве между его атомами ускоренно и приоб-ретает за счет работы поля дополнительную кинетическую энергию.


Затем частица испытывает столкновение с атомом (ионом) веществапроводника, и отдает ему частично или полностью свою кинетическуюэнергию. Этот процесс многократно повторяется. Энергия поля такимобразом переходит в энергию движения атомов проводника, то есть вего внутреннюю энергию. При протекании тока по проводнику в немвыделяется тепло.

Итак, количество теплоты δQ, выделившееся за время dt наоднородном участке цепи, равно работе тока δA на этом участке(см. (19.1)):

δQ = δA = dq(ϕ1 − ϕ2) = Idt(ϕ1 − ϕ2). (19.3)

Тепловая мощность тока, т.е. количество теплоты, выделяющеесяна участке цепи за единицу времени, с учетом (19.3) равна:

N =δQ

dt= I (ϕ1 − ϕ2) . (19.4)

Отметим, что полученная формула для тепловой мощности сов-падает с формулой мощности тока (19.2) при условии, что участокцепи является однородным в смысле отсутствия на нем сторонних сил,электродвигателей и т.п.

С учетом закона Ома: U = IR, где U = ϕ1 − ϕ2 — напряжениена концах цепи, R — его сопротивление, I — сила тока, тепловуюмощность тока можно представить в следующем виде:

N = I(ϕ1 − ϕ2) = IU = I2R =U 2

R. (19.5)

В соответствии с установленным опытным путем в 1841 г. закономДжоуля-Ленца выделяющееся за время t в проводнике с сопротивле-

E

dI

j

dl

dS

Рис. 78

нием R при протекании по нему токасилой I количество теплоты Q равно:

Q = I2Rt. (19.6)

Выражение (19.6) может быть по-лучено из (19.5) умножением тепловоймощности тока I2R на время t.

Закон Джоуля–Ленца в локаль-ной форме. Применим формулу теп-ловой мощности тока N = I2R (19.5)к небольшому участку тонкого про-

водника цилиндрической формы длиной dl и площадью поперечногосечения dS (рис. 78). Векторы плотности тока j и напряженностиэлектростатического поля E параллельны оси проводника. Тепловаямощность тока δN в рассматриваемом проводнике равна:

δN = (dI)2 dR, (19.7)

где dI — сила тока, текущего по проводнику, dR — его сопротивление.

§ 20 ] Переходные процессы в электрических цепях 95

Выразив силу тока dI через плотность тока j и площадь сеченияdS по формуле

dI = j dS,

сопротивление dR — через удельное сопротивление материала провод-ника ρуд, длину dl и площадь сечения dS по формуле

dR = ρудdl

dS,

и подставив dI и dR в (19.7), получим

δN = (j dS)2 ρудdl

dS= j2ρудdSdl = j2ρудdV ,

где dV = dSdl — объем цилиндрического проводника.Удельная тепловая мощность тока Nуд, то есть выделяющееся в

единицу времени в единице объема проводника количество теплотыравно

Nуд =δN

dV= j2ρуд. (19.8)

Формула (19.8) выражает закон Джоуля–Ленца в локальной фор-ме. Величина Nуд характеризует тепловую мощность тока в точкепроводника, где плотность тока равна j, удельное сопротивление — ρуд.

Используя закон Ома j = (1/ρуд)E (см. (18.22)), удельную тепловуюмощность Nуд (19.8) можно представить в следующей форме:

Nуд = j2ρуд = (jj) ρуд = j1

ρуд

Eρуд = (jE) .

Окончательно:Nуд = jE. (19.9)

§20. Переходные процессы в электрических цепях

Законы Ома и Джоуля–Ленца экспериментально были установленыв опытах с постоянным током. Однако они оказываются применимымии в случае медленно меняющихся токов, называемых квазистационар-ными.

Текущий по проводнику ток называется квазистационарным, еслимгновенное значение силы тока одинаково во всех поперечных сечени-ях проводника в один и тот же момент времени.

Выясним условие квазистационарности тока на простом примере.Рассмотрим проводник с током, сила которого изменяется с течени-ем времени. Например, через рассматриваемый проводник заряжаетсяконденсатор, или по нему течет переменный синусоидальный ток и т. д.Обозначим характерное время изменения тока в цепи через τ . В случаесинусоидального тока величина τ равна периоду колебаний тока.

Пусть приложенное к концам проводника напряжение мгновенноизменилось, то есть произошел скачок напряжения. Новому значению


напряжения или разности потенциалов на концах проводника будетсоответствовать новая величина напряженности поля E, а также плот-ности тока j (j = λE) и силы тока I (I = jS) в проводнике. Чтобытекущий в проводнике ток можно было считать квазистационарным,изменение тока во всех сечениях проводника в ответ на изменениеприложенного к его концам напряжения должно произойти быстро,а именно: время tуст установления новой величины силы тока в про-воднике должно быть мало по сравнению с характерным временем τизменения силы тока:

tуст � τ. (20.1)

Величину tуст можно оценить как время распространения вдольпроводника электромагнитного возмущения — скачка напряженностиэлектрического поля. Скорость распространения возмущения равнаскорости c электромагнитной волны в вакууме. В этом случае tуст попорядку величины равно времени распространения электромагнитнойволны на расстояние, равное длине l проводника:

tуст ∼ l

c. (20.2)

Из (20.1) и (20.2) получим условие квазистационарности тока впроводнике:

tуст ∼ l

c� τ. (20.3)

Оценим время tуст. При длине проводника l ∼ 3 м и скорости рас-пространения электромагнитных волн c ∼ 3 · 108 м/с время установле-ния в проводнике новых стационарных значений напряженности элек-трического поля и силы тока равно: tуст ∼ l/c ≈ 10−8 с. Таким образом,в проводнике длиной порядка нескольких метров ток можно считатьквазистационарным, если характерное время τ его изменения многобольше величины tуст ∼ 10−8 с.

Разрядка конденсатора. Рассмотрим пример использования зако-на Ома для описания переходных процессов в электрических цепях, тоесть процессов, в результате которых сила тока изменяется от одногостационарного значения до другого после скачкообразного изменениявнешних параметров цепи. Будем считать, что условие (20.3) квазиста-ционарности тока при этом выполнено.

Пусть обкладки заряженного конденсатора емкостью C замыкаютсяна проводник с сопротивлением R с помощью ключа K в некоторыймомент времени, который будем называть начальным (рис. 79). Найдемзависимость от времени силы тока I в рассматриваемой цепи.

Запишем закон Ома для однородного участка цепи, содержащегосопротивление R:

IR = ϕ1 − ϕ2,

§ 21 ] Электрическое поле в проводнике с током 97

где ϕ1 и ϕ2 — потенциалы обкладок конденсатора, на которых имеютсязаряды q и −q соответственно. Выразим разность потенциалов обкла-док и силу тока в цепи через заряд q конденсатора:

ϕ1 − ϕ2 =q

C,

I = −dq

dt.

Решая совместно три полученных уравнения, придем к дифферен-циальному уравнению относительно переменной величины — заряда q

R

C

IK

q� q

Рис. 79

конденсатора:

dq

dt+

1

RCq = 0.

Решение этого уравнения имеет вид

q = q0e−t/τ , (20.4)

где q0 — заряд конденсатора в начальныймомент времени, τ = RC.

Величина τ = RC называется постоянной времени цепи. Она равнапромежутку времени, в течение которого заряд конденсатора уменьша-ется в «e» раз.

Для того чтобы ток зарядки конденсатора можно было считатьквазистационарным, параметры R и C в соответствии с (20.3) должны

t0

0I

I

Рис. 80

удовлетворять условию:

tуст ∼ 10−8 c � τ = RC.

Зависимость от времени силы тока I вцепи найдем, дифференцируя по временизаряд q в (20.4):

I = −dq

dt=

q0

RCe−t/τ = I0e

−t/τ . (20.5)

Здесь I0 = q/(RC) — сила тока в начальный момент времени.Характерное время изменения тока, как и заряда конденсатора, равноτ = RC. Качественный график зависимости силы тока от временипредставлен на рис. 80.

Закона Ома позволяет получить уравнения, описывающие разнооб-разные переходные процессы в электрических цепях, а также уравне-ния электрических колебаний (см. кн. 4 «Колебания и волны. Оптика»настоящего курса физики).

§21. Электрическое поле в проводнике с током

Если проводник, по которому течет постоянный или квазистацио-нарный электрический ток, является однородным, то макроскопический



заряд в любой точке внутри проводника равен нулю. Отличным от нуляможет быть только заряд на поверхности проводника.

Доказательство этого утверждения основывается на законе Ома иуравнении непрерывности для стационарных токов и заключается вследующем.

Однородность проводника подразумевает, что свойства материала,из которого он изготовлен, в различных точках проводника одинако-вы. В частности, все части проводника характеризуются одинаковойудельной электрической проводимостью λ. Дифференциальная формауравнения непрерывности для стационарных токов (18.13) имеет вид

div j = 0, (21.1)

где j — вектор плотности тока. Вектор j связан с вектором напряжен-ности электрического поля E в проводнике (см. (18.22)):

j = λE. (21.2)

Подставив j из (21.2) в (21.1) и учитывая, что параметр λ дляоднородного проводника является величиной постоянной, получим

div j = div (λE) = λ divE = 0.

Итак, дивергенция вектора E внутри проводника с током равнанулю:

div E = 0. (21.3)

В соответствии с теоремой Гаусса для вектора E (см. (3.4)) дивер-генция E равна деленной на ε0 объемной плотности ρ макроскопиче-ского заряда:

div E =ρ

ε0

. (21.4)

Сравнивая между собой равенства (21.3) и (21.4), приходим квыводу о том, что объемная плотность ρ макроскопических зарядоввнутри однородного проводника с током равна нулю:

ρ = 0.

Последнее утверждение не означает, что в проводнике с токомвообще отсутствуют заряды (в таком случае не было бы и тока). В про-воднике имеются положительно и отрицательно заряженные частицывещества, которые служат носителями тока. Однако положительные иотрицательные заряды компенсируют друг друга, так что суммарныйзаряд любого объема проводника строго равен нулю.

В представленном выше доказательстве равенства нулю объемнойплотности ρ макроскопических зарядов использовалось то обстоятель-ство, что электрическая проводимость λ одинакова во всех точкахпроводника (см. вывод формулы (21.3)). Любой физически бесконечномалый объем, расположенный вблизи поверхности, отделяющей про-водник от окружающей его среды, и включающий часть этой поверх-

§ 21 ] Электрическое поле в проводнике с током 99

ности, является неоднородным по своим свойствам. В частности, припереходе через поверхность проводника электрическая проводимость λиспытывает скачок. Следовательно, основанное на свойствах однород-ности проводника доказательство равенства нулю объемной плоскостимакроскопического заряда в этом случае не годится. На поверхностипроводника с током возможно наличие отличных от нуля макроскопи-ческих зарядов.

Электрическое поле внутри и снаружи проводника с током.Внутри проводника, по которому течет ток, вектор напряженности E1

электрического поля отличен от нуля и сонаправлен с вектором плот-ности тока j. Модуль E1 напряженности поля можно выразить черезмодуль j вектора плотности тока с помощью закона Ома в локальнойформе (18.22):

E1 =j

λ= ρудj, (21.5)

где λ и ρуд — соответственно удельная электрическая проводимость иудельное сопротивление материала, из которого изготовлен проводник.

Рассмотрим расположенный в вакууме тонкий длинный цилин-дрический проводник постоянного сечения, по которому течет ток.В таком проводнике векторы плотности тока j и напряженностиэлектрического поля E1 направлены вдоль оси проводника и парал-лельны его поверхности (рис. 81). Определим направление вектора

n2E 2E

�2E

1Ej

�

Рис. 81

напряженности электрического поля снаружипроводника вблизи его поверхности.

Пусть вектор напряженности поля E2 сна-ружи проводника составляет угол α с норма-лью к поверхности (рис. 81). Поверхность про-водника с током (как и его объем) не являют-ся эквипотенциальными. Поэтому вектор E2

не перпендикулярен к поверхности проводни-ка, как это имело место в электростатике.Разложим E2 на составляющие E2τ и E2n

вдоль двух направлений — по касательной(параллельной оси проводника) и по нормалик поверхности проводника. Из граничных условий для тангенциальнойкомпоненты вектора напряженности поля на границе раздела двухсред, в данном случае, на границе проводника с вакуумом, с учетом(21.5) получим

E2τ = E1τ = E1 =j

λ= ρудj.

где E1τ = E1 — напряженность поля внутри проводника вблизи егоповерхности.

Из граничных условий для нормальной компоненты вектора напря-женности электрического поля на границе раздела двух сред найдем

E2n − E1n = E2n =σ

ε0

,

4*


где E1n — нормальная компонента напряженности электрического полявнутри проводника, σ — поверхностная плотность макроскопическогозаряда на поверхности проводника. Поскольку напряженность поля E1

внутри проводника с током направлена по касательной к его поверхно-сти, то E1n = 0;

Зная тангенциальную и нормальную компоненты вектора E2, опре-делим тангенс угла α между вектором напряженности электрическогополя и нормалью к поверхности проводника с током:

tg α =E2τ

E2n=

ε0ρудj

σ. (21.6)

Итак, в отличие от электростатики, когда в отсутствие токов впроводниках напряженность электрического поля внутри проводникаравна нулю, а напряженность поля снаружи проводника вблизи егоповерхности перпендикулярна к этой поверхности, при протеканиитока по проводнику напряженность поля внутри проводника отличнаот нуля, вектор напряженности поля снаружи проводника вблизи егоповерхности составляет с нормалью к поверхности угол α, величинакоторого определяется соотношением (21.6).

§22. Электрическое сопротивление однородной слабопроводящей среды

Поместим в безграничную однородную диэлектрическую слабо про-водящую электрический ток среду с удельной электрической про-

,

Рис. 82

водимостью λ и диэлектрической про-ницаемостью ε два расположенныхна большом удалении друг от другаметаллических проводника, на кото-рые подано напряжение U (рис. 82).Рассматриваемая физическая систе-ма в какой-то мере служит моде-лью реально существующих техниче-ских устройств электрической защи-ты различных объектов бытового ипромышленного назначения («зазем-

ление»). С этой целью массивный металлический проводник зарываютв землю на большую глубину, обеспечивая его электрический контактс защищаемым объектом.

Найдем сопротивление среды между проводниками.Поскольку электрическая проводимость среды мала, конфигурация

электрического поля в среде практически такая же, как в однородномдиэлектрике. Рассмотрим один из двух проводников, положительныйзаряд которого обозначим через q. С поверхности проводника в окружа-ющую среду стекают электрические заряды. По цепи, в состав которойвходят источник напряжения, подводящие провода, рассматриваемые

§ 22 ]Электрическое сопротивление однородной слабо проводящей среды101

проводники и среда между ними, течет ток силой I. Сопротивлениесреды обозначим через R.

В соответствии с законом Ома сопротивление R равно деленномуна силу тока I напряжению U :

R =U

I. (22.1)

Рассмотрим замкнутую поверхность S, расположенную в среде иохватывающую проводник (см. рис. 80). Согласно (18.5) сила тока Iчерез поверхность S равна

I =∮

S

j dS, (22.2)

где j — плотность тока в точках поверхности S.Вектор j плотности тока в среде связан с вектором напряженности

электрического поля E законом Ома (18.22):

j = λE. (22.3)

Напряженность поля E в однородной изотропной диэлектрическойсреде можно выразить через вектор электрической индукции D (см.(17.3)):

E =D

ε0ε. (22.4)

Воспользуемся теоремой Гаусса для вектора D (см. (17.4)):∮

S

DdS = qст = q, (22.5)

где qст = q — сторонний заряд, расположенный внутри поверхности Sи равный заряду q проводника.

Учтем, что взаимная емкость C проводников равна:

C =q

U. (22.6)

Преобразуем формулу закона Ома (22.1) с учетом соотношений(22.2)–(22.6):

R =U

I=

U∮j dS

=U

λ∮E dS

=U

λ∮S

D/(ε0ε) dS=

εε0U

λ∮D dS

=εε0U

λq=

εε0

λC.

Итак, сопротивление диэлектрической слабо проводящей однород-ной среды (сопротивление «заземления») равно

R =εε0

λC. (22.7)

Из формулы (22.7) видно, что сопротивление R тем меньше, чембольше удельная электрическая проводимость среды λ и чем большеемкость C проводников. В устройствах заземления стремятся сделать


сопротивление R как можно меньше. С этой целью обычно используютметаллические проводники больших размеров, обладающе большойемкостью, и располагают их в земле ниже уровня грунтовых вод с тем,чтобы электрическая проводимость среды была достаточно высокой.

Задачи

4.1. Источники тока с различными ЭДС соединены, как пока-

A

B

К задаче 4.1

зано на рис. 4.1. ЭДС источников пропорци-ональны их внутренним сопротивлениям: � == αR, где α — постоянная. Сопротивлениепроводов пренебрежимо мало. Найти: 1) ток Iв цепи; 2) разность потенциалов между точка-ми A и B.

4.2. Аккумулятор с ЭДС � = 2, 6 В, за-мкнутый на внешнее сопротивление, дает токI = 1, 0 А. При этом разность потенциаловмежду полюсами аккумулятора U = 2, 0 В.

Найти тепловую мощность Q, выделяемую в аккумуляторе, и мощ-

1

2 1R

2R

C

Ý

К задаче 4.2

ность P , которую развивают в нем сторон-ние силы.

4.3. Конденсатор емкости C = 5 мкФподключили к источнику постояннойЭДС � = 200 В (рис. 4.2). Затем ключ Kперевели из положения 1 в положение 2.Найти количество тепла Q, выделившеесяна сопротивлении R1 = 500 Ом, если R2 == 330 Ом.

4.4. Два одинаковых металлическихшарика радиуса a находятся в однороднойслабо проводящей среде с удельным сопро-тивлением ρ. Найти сопротивление средымежду шариками при условии, что расстояние между ними значитель-но больше a.

ГЛАВА V

МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ

§23. Магнитный момент и магнитная индукция.Закон Био–Савара

Магнитное поле тока. Движущиеся в пространстве заряды итекущие по проводам токи порождают магнитное поле. В основе пред-ставлений о существовании магнитного поля лежат следующие экспе-риментальные факты.

1. Опыт показывает, что два тонких прямолинейных параллельныхпроводника, по которым текут электрические токи, взаимодействуютдруг с другом. Проводники притягиваются, если токи в них имеютодинаковое направление, и отталкиваются, если токи противоположнонаправлены. Сила взаимодействия проводников пропорциональна силетоков и обратно пропорциональна расстоянию между проводниками.Закон взаимодействия токов бы установлен Ампером в 1820 г. Взаимо-

Рис. 83

действие проводников объясняется наличием вокружающем пространстве магнитного поля.

2. В опытах Эрстеда (1777–1851) в 1820 г.было установлено, что провод с текущим понему током ориентирует расположенную поблизо-сти стрелку магнитного компаса в направлении,перпендикулярном направлению тока (рис. 83).Определенная ориентация стрелки относительно провода объясняетсяналичием в пространстве магнитного поля, порождаемого током.

3. Если вместо магнитной стрелки рядом с прямолинейным про-водом с током расположить изготовленную из проволоки рамку, покоторой течет электрический ток, рамка будет испытывать действие ме-

Рис. 84

ханического момента сил и установит-ся так, что нормаль к плоскости рам-ки будет перпендикулярна направлениютока в проводе (рис. 84). Ориентирую-щее действие провода с током на рамкуможно объяснить существованием маг-нитного поля.

Описанные опыты позволяют пред-положить, что в окружающем провод-ники с токами пространстве существу-

ет магнитное поле, которое способно оказывать силовое ориентиру-ющее действие на другие токи. В качестве силовой характеристики

104 Магнитное поле в вакууме [ Гл. V

магнитного поля вводится векторная величина, называемая магнитнойиндукцией B (определение см. ниже).

Магнитный момент контура с током. Магнитная индукция.Тонкий достаточно длинный проводник (толщина проводника многоменьше его длины) кольцеобразной формы будем называть замкнутымпроводящим контуром. Если все участки проводника принадлежатодной плоскости, то контур называется плоским. Элементарным будемназывать проводящий контур, размеры которого малы по сравнениюс расстоянием, на котором магнитное поле существенно изменяется.Под размером контура в этом случае нужно понимать характерный ли-нейный размер ограниченной контуром поверхности. Благодаря малымразмерам ограниченную элементарным контуром поверхность или, го-воря иначе, поверхность, натянутую на контур, можно считать плоской.

Магнитным моментом pм плоского проводящего контура с теку-щим по нему током силой I называется вектор, модуль которого равен

I

S

n p

Рис. 85

произведению силы тока I на площадь конту-ра S, а направление вектора pм совпадает с на-правлением единичной нормали n к плоскостиконтура, причем направление n и направлениетока в контуре связаны правилом правого винта(рис. 85):

pм = Isn. (23.1)

Единица магнитного момента — ампер,умноженный на квадратный метр (А·м2).

Из опыта известно, что на помещенный вмагнитное поле контур с током действует меха-

нический момент сил M. Дадим следующее количественное определе-ние индукции B магнитного поля.

Пусть на помещенный в магнитное поле элементарный контур стоком, магнитный момент которого равен pм, действует механическиймомент сил M. Магнитная индукция B — это вектор, удовлетворяю-щий равенству:

M = [pм B]. (23.2)

Равенство (23.2) подразумевает, что приложенный к элементарномуконтуру с током момент сил M равен векторному произведению маг-нитного момента контура pм на вектор магнитной индукции B.

Единицей магнитной индукции служит тесла (Тл). Магнитнойиндукцией 1 тесла обладает однородное магнитное поле, в которомна плоский контур с током, магнитный момент которого равен 1 А·××м2, действует максимальный момент сил 1 Н·м. Поскольку величинадействующего на контур момента сил зависит от ориентации контураотносительно магнитного поля (см. § 27), в определении единицы маг-нитной индукции подразумевается такое расположение контура, прикотором момент сил имеет наибольшее возможное значение.

§ 23 ] Магнитный момент и магнитная индукция 105

Силовой линией магнитного поля или линией магнитной индукцииназывается линия, касательная к которой в каждой точке совпадаетпо направлению с вектором магнитной индукции B. Густота линийпропорциональна модулю вектора B.

С помощью силовых линий можно наглядно представить структурумагнитного поля, порожденного различными источниками. Силовыелинии магнитного поля прямолинейного провода с током — это кон-центрические окружности с центром на оси провода, расположенныев перпендикулярной к проводу плоскости (рис. 86). Густота линийуменьшается по мере удаления от центра. На рис. 87 показаны силовые

I

B

Рис. 86 Рис. 87

линии магнитного поля кругового витка с током (кругового тока).Соленоид представляет собой навитой на круглый цилиндрическийкаркас тонкий провод (рис. 88а). Витки расположены вплотную иизолированы друг от друга. При пропускании тока по проводу, изкоторого изготовлен соленоид, возникает магнитное поле, которое,

B

I

à á

Рис. 88

если соленоид достаточно длинный, можно считать однородным внутрисоленоида на большом удалении от его концов. Здесь линии магнитнойиндукции параллельны оси соленоида и расположены на одинаковомрасстоянии друг от друга (рис. 88 б).

Закон Био–Савара. Рассмотрим тонкий проводник, по которомутечет ток силой I. Выберем малый участок (элемент) проводникадлиной dl и определим вектор dl следующим образом: длина вектораdl равна длине рассматриваемого участка проводника, направлениеdl совпадает с направлением тока (рис. 89). Вектор Idl называют


элементом тока. Проведем от рассматриваемого участка проводникав точку наблюдения вектор r.

Текущий по проводнику ток создает в окружающем пространстве(вакууме) магнитное поле. Экспериментально установлено, что элементтока Idl порождает в точке наблюдения, положение которой в про-

I

r

dB

dl

Рис. 89

странстве определено вектором r, магнитноеполе с индукцией dB, которая равна

dB = kI [dl, r]

r3= μ0

4π

I [dl, r]

r3, (23.3)

где k — коэффициент пропорциональности,который в системе СИ равен μ0/4π, μ0 — такназываемая магнитная постоянная, μ0 ≈≈ 1, 257 · 10−6 Гн/м (генри на метр).

Формула (23.3) представляет собой математическое выражение за-кона Био (1774–1862) и Савара (1791–1841) (закон Био–Савара).

Магнитное поле подчиняется принципу суперпозиции, в соответ-ствии с которым магнитную индукцию B тонкого проводника с токомможно рассчитать как сумму (интеграл) векторов dB, порождаемыхвсеми элементами тока, на которые можно мысленно разделить про-водник:

B = μ0

4π

∫

L

I [dl, r]

r3. (23.4)

Интеграл (23.4) вычисляется вдоль линии, совпадающей с провод-ником.

Применим формулу (23.3), выражающую закон Био–Савара, ипринцип суперпозиции для расчета магнитной индукции прямого про-вода с током.

Магнитное поле прямого провода с током. Рассмотрим тонкийбесконечно длинный провод, по которому течет ток силой I (рис. 90).

0�zR

z

I

r

dB

�

ld

Рис. 90

Определим магнитную индукцию Bв точке, расположенной на расстоя-нии R от провода.

Направим координатную ось zвдоль тока. Пусть точка z = 0 сов-падает с основанием перпендикуляра,опущенного на провод из точки, вкоторой определяется магнитное по-ле. Положение элемента провода dlопределяется координатой z, причемz = −R/tg θ, где θ — угол между по-ложительным направлением оси z ивектором r, проведенным от элемента

§ 24 ] Закон Ампера 107

провода dl в точку наблюдения. Длина элемента dl равна

dl = dz = R

sin2 θdθ. (23.5)

Длину вектора r также можно выразить через расстояние R иугол θ:

r = R

sin θ. (23.6)

Вектор магнитной индукции dB, порожденный в точке наблюденияэлементом тока Idl, равен

dB = μ0

4π

I [dl, r]

r3. (23.7)

Вектор dB принадлежит плоскости, перпендикулярной проводу стоком, он направлен по касательной к окружности с центром на осипровода. Данная окружность совпадает с линией магнитной индукции.Все векторы dB, порожденные различными элементами dl провода,независимо от их координаты z, сонаправлены друг с другом.

Раскрыв векторное произведение в (23.7) и подставив выражениядля r и dl из (23.5) и (23.6), получим модуль dB

dB = μ0

4π

Idl sin θ

r2= μ0

4π

I sin θ dθ

R. (23.8)

Магнитную индукцию B в точке наблюдения найдем, интегрируяправую часть равенства (23.8) по параметру θ в пределах от нулядо π. При этом будет учтен вклад в магнитную индукцию B всехэлементов тока Idl, из которых состоит бесконечно длинный провод.Итак, магнитная индукция, порожденная прямым тонким бесконечнодлинным проводом с током, равна

B =

π∫

0

μ0

4π

I sin θ dθ

R= μ0I

2πR. (23.9)

Как упоминалось выше, вектор B, модуль которого вычисляется поформуле (23.9), направлен по касательной к окружности с центром наоси провода, расположенной в перпендикулярной к проводу плоскости.Направление вектора B связано правилом правого винта с направлени-ем тока в проводе.

§24. Закон Ампера

На проводник с током, помещенный во внешнее магнитное поле,действует сила, которую называют силой Ампера (1775–1836).

Рассмотрим помещенный в магнитное поле тонкий провод с токомсилой I (рис. 91). Мысленно выделим на этом проводе малый участок


длиной dl. Элемент тока Idl испытывает на себе со стороны внешнегомагнитного поля действие силы dF, которая равна

dF = I[dl,B]. (24.1)

Формула (24.1) представляет собой математическое выражение за-кона Ампера.

Рассмотрим теперь расположенную во внешнем магнитном поле синдукцией B проводящую среду, вектор плотности тока в каждойточке которой известен и равен j. Выделим в среде объем в формепрямого кругового цилиндра высотой dl и площадью основания dS,расположенный так, что ось цилиндра параллельна вектору j (рис. 92).

I

B

dl

dF

Рис. 91

dIB

j

dl

dF

dS

Рис. 92

Объем цилиндра мал, так что вектор j во всех его точках можносчитать одинаковым. Будем рассматривать цилиндр с текущим по немутоком dI как элемент тока dIdl, где dl — вектор длины dl, направ-ленный по току (dl � j). Ток dI выразим через плотность тока j иплощадь основания цилиндра dS: dI = j dS. Тогда элемент тока dIdlможно представить в виде

dIdl = j dSdl = j dSdl = j dV , (24.2)

где dV = dSdl — объем цилиндра.Сила Ампера, действующая на элемент тока dIdl в рассматривае-

мом цилиндре, в соответствии с (24.1) и с учетом (24.2) равна

dF = dI[dl,B] = [dIdl,B] = [jdV ,B] = [j B]dV.

Окончательно, сила Ампера dF, действующая со стороны внешнегомагнитного поля с индукцией B на элемент тока плотностью j, теку-щего в объеме dV проводящей среды, определяется формулой:

dF = [j B]dV. (24.3)

Сила взаимодействия параллельных токов. По двум тонкимпрямолинейным бесконечно длинным параллельным проводникам (про-водам), расположенным в вакууме на расстоянии r друг от друга, текуттоки силой I1 и I2 (рис. 93). Найдем силу, действующую на каждыйиз проводников.

§ 25 ] Магнитное поле движущегося заряда 109

Провод с током силой I2 расположен в магнитном поле, порожден-ном прямым током силой I1. Индукция поля тока I1 в месте располо-

dF

dl

1I 2I

1B

r

Рис. 93

жения провода с током I2 в соответ-ствии с формулой (23.9) равна

B1 = μ0I12πr

. (24.4)

На участок провода с током I2длиной dl будет действовать силаАмпера dF, равная

dF = I2[dl,B1].

Поскольку вектор dl перпендикулярен вектору магнитной индук-ции B1, модуль силы dF с учетом (24.4) можно представить в виде

dF = I2 dl B1 = I2 dl μ0I12πr

. (24.5)

Разделив обе части равенства (24.5) на dl, найдем силу Ампера,отнесенную к единице длины провода:

Fед = dF

dl= μ0I1I2

2πr. (24.6)

§25. Магнитное поле движущегося заряда.Сила Лорентца

Магнитное поле движущегося заряда. Поскольку электрическийток представляет собой упорядоченное движение свободных зарядов —носителей тока, магнитное поле тока, по существу, является полем дви-

Рис. 94

жущихся электрических зарядов.Пусть по очень тонкому провод-нику с площадью поперечного се-чения dS течет ток силой I. Эле-мент тока Idl создает в точке на-блюдения, положение которой впространстве задано вектором r(рис. 94), магнитное поле dBт,равное согласно (23.3):

dBт = μ0

4π

I [dl, r]

r3. (25.1)

Преобразуем вектор элементатока Idl, выразив силу тока I че-рез плотность тока j и площадь поперечного сечения проводника dS(I = j dS), учитывая, что в тонком проводнике вектор j сонаправлен с


вектором dl:Idl = jdSdl = jdSdl = jdV , (25.2)

где dV = dSdl — объем элемента проводника длины dl.Вектор плотности тока j в соответствии с его определением равен:

j = nнqнu, (25.3)

где nн — концентрация носителей тока в проводнике (например, кон-центрация электронов), qн — величина заряда каждого носителя, u —средняя скорость упорядоченного движения носителя тока. С учетомсоотношения (25.3) элемент тока Idl (25.2) равен

Idl = jdV = nнqнudV. (25.4)

Подставим выражение (25.4) в формулу (25.1) для магнитного поляэлемента тока:

dBт = μ0

4π

I [dl, r]

r3= μ0

4π

nнqн [u r]

r3dV. (25.5)

Величина nнdV представляет собой число носителей тока в объемеdV проводника. Поделив вектор dBт на это число, получим вклад dBодного носителя в магнитную индукцию dBт тока в целом:

dB = dBт

nнdV= μ0

4π

qн [ur]

r3. (25.6)

Полученная формула позволяет вычислить индукцию магнитногополя dB, порожденного движущимся со скоростью u точечным зарядомqн в точке пространства, положение которой определяется вектором r,проведенным от заряда qн. Аналогичная формула справедлива дляиндукции магнитного поля dB всякого изолированного движущегосясо скоростью u точечного заряда q.

Сила Лорентца. Рассмотрим один из элементов Idl тонкого про-водника, по которому течет ток силой I. Проводник имеет площадьпоперечного сечения dS и помещен в магнитное поле с индукцией B.На элемент тока Idl действует сила Ампера dF:

dF = I[dl,B] = [Idl,B]. (25.7)

Представим вектор элемента тока Idl в следующем виде (см. выводформулы (25.4) с помощью соотношений (25.2) и (25.3)):

Idl = jdV = nнqнudV . (25.8)

Здесь j = nнqнu — вектор плотности тока, nн — концентрация,qн — заряд, u — средняя скорость упорядоченного движения носителейтока, dV = dl dS — объем элемента проводника длины dl и площадипоперечного сечения dS. С учетом (25.8) сила Ампера, действующаяна элемент тока Idl в выражении (25.7), равна

dF = [Idl,B] = [nнqнudV ,B] = nнqнdV [uB]. (25.9)

§ 25 ] Магнитное поле движущегося заряда 111

Множитель nнdV представляет собой число носителей тока в объ-еме dV . Разделив действующую на элемент тока I dl силу dF начисло движущихся заряженных частиц nнdV внутри соответствующегоэлемента проводника, найдем силу, действующую на каждую частицус зарядом qн:

FЛор = dF

nнdV= qн [uB] . (25.10)

Формула (25.10) справедлива для произвольного изолированноготочечного заряда q, движущегося в магнитном поле B со скоростью u.Сила, действующая со стороны магнитного поля на движущийся в немзаряд и вычисляемая по формуле (25.10), называется силой Лорентца(1853–1828).

Отметим, что при наличии в пространстве, помимо магнитного поляс индукцией B, еще и электрического поля с напряженностью E, надвижущийся со скоростью u точечный заряд q будет действовать сила:

F = qE + q[uB], (25.11)

которую также называют силой Лорентца. В таком случае сила Ло-рентца включает две составляющие — силу qE, действующую на зарядсо стороны электрического поля, и силу q[uB], действующую на зарядсо стороны магнитного поля. В дальнейшем мы будем подразумеватьпод силой Лорентца только магнитную составляющую.

Приме р. Определим, как соотносятся между собой силы электри-ческого и магнитного взаимодействия двух заряженных частиц, движу-

uu

l

Рис. 95

щихся в вакууме с одинаковыми скоростямиu на расстоянии l друг от друга (рис. 95).Пусть заряд каждой частицы q. Сила элек-трического взаимодействия Fэл определяетсязаконом Кулона:

Fэл = q2

4πε0l2.

Сила магнитного взаимодействия Fм

представляет собой силу Лорентца, действу-ющую на один из зарядов q со стороны магнитного поля B, порожден-ного другим зарядом q:

Fм = quB = quμ0qu

4πl2= μ0q

2u2

4πl2.

Найдем отношение магнитной и электрической сил:

Fм

Fэл= μ0ε0u

2 =(

u

c

)2

,

где c = 1/√

ε0μ0 ≈ 3 · 108 м/с — скорость света в вакууме. Если ско-рости частиц u малы по сравнению со скоростью света c, то величина


отношения Fм/Fэл много меньше единицы, то есть сила Лорентца малапо сравнению с силой Кулона.

§26. Теорема Гаусса и теорема о циркуляции векторамагнитной индукции

Теорема Гаусса. Поток вектора магнитной индукции B черезпроизвольную замкнутую поверхность равен нулю:∮

S

B dS = 0. (26.1)

Это утверждение, которое называют теоремой Гаусса для векто-ра B, является результатом обобщения опытных данных. До насто-ящего времени в природе не обнаружены так называемые магнитныезаряды, которые могли бы служить источниками магнитного поля.Если бы магнитные заряды существовали, на них должны начинатьсяили заканчиваться линии магнитной индукции. Как известно из опыта,линии магнитной индукции (силовые линии магнитного поля) явля-ются замкнутыми или начинаются и заканчиваются в бесконечности.Вследствие этого число силовых линий, «входящих» в ограниченныйпроизвольной замкнутой поверхностью объем, равно числу силовыхлиний, «выходящих» из этого объема. Таким образом, поток вектора Bчерез произвольную замкнутую поверхность всегда оказывается рав-ным нулю. В качестве примера на рис. 96 изображены силовые линии

I

B

S

Рис. 96

прямого провода с током, пересекаю-щие замкнутую поверхность S, рас-положенную вблизи провода.

Теорему Гаусса для вектора B вдифференциальной форме легко по-лучить, разделив обе части равен-ства (26.1) на объем ΔV , ограни-ченный замкнутой поверхностью ин-тегрирования S, и вычислив затемпределы при ΔV → 0 обеих частей:

limΔV →0

∮S

B dS

ΔV= 0.

Выражение в левой части полученного равенства представляет со-бой дивергенцию вектора магнитной индукции, то есть

div B = 0. (26.2)

Равенство (26.2) выражает теорему Гаусса для вектора B в диффе-ренциальной форме.

Теорема о циркуляции. Циркуляция вектора магнитной ин-дукции B по произвольному замкнутому контуру L равна умножен-


ной на μ0 алгебраической сумме токов, охватываемых контуром L,или, говоря иначе, пересекающих ограниченную контуром поверх-ность: ∮

L

Bdl = μ0

(∑k

Ik

). (26.3)

Слагаемое Ik учитывается в правой части выражения (26.3) со зна-ком «плюс», если направление тока Ik связано правилом правого винтас направлением обходя контура L, которое произвольно выбираетсяпри вычислении циркуляции

∮L

B dl. В противном случае слагаемое Ik

входит в сумму со знаком «минус». Токи, не охватываемые контуром L(токи, которые не пересекают «натянутую» на контур L поверхность),

Рис. 97

при вычислении суммы вообще не учиты-ваются.

В конкретном примере токов и замкну-того контура L, показанных на рис. 97,теорема о циркуляции вектора B записы-вается в следующем виде:

∮

L

Bdl = μ0 (I1 − I2 − I3) .

Покажем, что теорема о циркуляциисправедлива в частном случае магнитногополя прямого тока. Пусть по прямолинейному бесконечно длинномупроводу течет ток силой I. Возьмем в качестве контура обхода Lокружность радиуса r, лежащую в перпендикулярной проводу плоско-сти, с центром на оси провода (рис. 98). С учетом того, что магнитная

I

dlB

L

r

Рис. 98

индукция на расстоянии r от оси провода равнаB = μ0I/(2πr) (см. (23.6)) и направлена покасательной к окружности, выбранной в каче-стве контура обхода L, вычислим циркуляциювектора B:

∮

L

Bdl=∮

L

Bdl = B∮

L

dl = μ0I

2πr· 2πr =μ0I. (26.4)

Согласно (26.4) циркуляция вектора B рав-на умноженной на μ0 силе тока I, охватывае-

мого контуром, что соответствует утверждению теоремы о циркуляции.Опираясь на закон Био–Савара и принцип суперпозиции, теорему о

циркуляции вектора B можно доказать в общем случае произвольногораспределения токов в пространстве.

Циркуляция по произвольному замкнутому контуру вектора напря-женности E электростатического поля равна нулю. Это утверждениеявляется следствием того факта, что электростатическое поле явля-ется полем консервативных сил (см. § 7). Для описания свойств


электростатического поля вводятся понятия потенциальной энергии ипотенциала; поле это потенциальное. В отличие от электростатическогопотенциального поля магнитное поле, для которого циркуляция векто-ра магнитной индукции, вообще говоря, отлична от нуля (см. (26.3)),называется соленоидальным.

Дифференциальную форму теоремы о циркуляции вектора B мож-но вывести из ее интегральной формы (26.3) предельным переходом,стягивая контур обхода L в точку. Приведем теорему о циркуляциивектора B в дифференциальной форме без вывода:

rotB = μ0j. (26.5)

Согласно (26.5) ротор вектора B в произвольной точке поля равенумноженной на μ0 плотности тока j в этой же точке.

Магнитное поле соленоида. Тонкий проводник, навитой на круг-лый цилиндрический каркас, представляет собой соленоид; проводник,по которому пропускают ток, называется обмоткой соленоида. Расчети опыт показывают, что чем длиннее соленоид, тем меньше величи-на магнитной индукции в пространстве вне соленоида. У бесконечнодлинного соленоида магнитное поле снаружи вообще отсутствует.

Рассмотрим бесконечно длинный соленоид с числом витков проводана единицу его длины равным n. Сила тока в проводе, из которогоизготовлен соленоид, равна I. Внутри соленоида в любой точке вектор

1 2

3

45

6

I

L

dl

B

Рис. 99

индукции магнитного поля B направ-лен вдоль оси соленоида, то естьвдоль оси цилиндрического каркасас намотанным на него проводом. На-правление B связано правилом право-го винта с направлением тока в об-мотке. Определим величину магнит-ной индукции с помощью теоремы оциркуляции вектора B.

Выберем контур обхода 1–2–3–4–5–6–1 в виде прямоугольника(рис. 99), обозначим его через L. Сто-рона прямоугольника 1–2, имеет дли-ну l и параллельна оси соленоида.

Циркуляцию вектора B по замкнутому контуру L можно представитькак сумму интегралов вдоль отдельных участков контура:

∮

L

Bdl =

2∫

1

Bdl +

3∫

2

Bdl +∫

3−4−5−6

Bdl +

1∫

6

Bdl. (26.6)

На участке 1–2 вектор магнитной индукции B и все векторы dlэлементов контура сонаправлены. Поэтому первый интеграл в правой

§ 27 ] Контур с током в магнитном поле 115

части (26.6) равен

2∫

1

Bdl =

2∫

1

Bdl = B

2∫

1

dl = Bl. (26.7)

На участках контура 2–3 и 6–1 векторы B и dl перпендикулярныдруг другу, а на участке 3–4–5–6, расположенном снаружи соленоида,магнитная индукция B равна нулю. Поэтому интегралы в правой частиравенства (26.6), вычисляемые по всем участкам контура обхода, кроме1–2, равны нулю. С учетом (26.6), (26.7) и всех сделанных замечанийтеорема о циркуляции вектора B в применении к контуру L имеет вид

∮

L

Bdl =

2∫

1

Bdl = Bl = μ0nlI , (26.8)

где величины nl и nlI — соответственно полное число витков проводаи полный ток, пересекающие ограниченную контуром обхода L по-верхность. Отсюда найдем магнитную индукцию B внутри бесконечнодлинного соленоида:

B = μ0nI. (26.9)

Из полученной формулы следует, что величина магнитной индук-ции B не зависит от расстояния между точкой, в которой определяетсяполе, и осью соленоида. Следовательно, магнитное поле во всех точкахвнутри бесконечно длинного соленоида, одинаковое (однородное).

§27. Контур с током в магнитном поле: сила и моментсил, работа при перемещении контура

Сила, действующая на контур с током. С помощью законаАмпера вычислим силу, действующую на помещенный во внешнеемагнитное поле замкнутый проводящий контур.

Рассмотрим случай, когда магнитное поле однородное, то есть оди-наковое во всех точках пространства.

Пусть замкнутый контур L, изготовленный из тонкого провода,находится в однородном магнитном поле с индукцией B. По контурутечет ток силой I. Мысленно разделим весь контур на бесконечномалые участки — элементы dl. Длина вектора dl равна длине элемен-тарного участка контура, а направление dl совпадает с направлениемтока в проводе (рис. 100). Согласно закону Ампера сила, действующаяна элемент dl контура с током, равна:

dF = [dl,B]. (27.1)


Силу F, действующую со стороны магнитного поля на контур вцелом, найдем интегрированием dF (27.1) по контуру L:

F =∮

L

I [dl,B] = I[ ∮

L

dl,B]

= 0. (27.2)

Вычисленная в (27.2) сила F равна нулю, поскольку равна нулюсумма элементарных векторов dl, образующих любую замкнутую ли-

B

I

1ld

2ld

idl

Рис. 100

нию, то есть равен нулю интеграл по замкну-тому контуру:

∮

L

dl = 0.

Таким образом, показано, что сила, дей-ствующая на произвольный замкнутый кон-тур с током, помещенный в однородное маг-нитное поле, равна нулю.

Рассмотрим случай, когда магнитное по-ле неоднородное.

Если элементарный контур с током, маг-нитный момент которого pм, находится в

магнитном поле с индукцией B, то можно показать, что действующаяна контур сила, равна:

F = pм∂B

∂l, (27.3)

где pм — модуль магнитного момента, ∂B/∂l — производная векторамагнитной индукции B по направлению магнитного момента pм.

Напомним, что контур можно считать элементарным, если егоразмеры малы по сравнению с характерным расстоянием, на котором

2B

1B

ìp

B�

FI

Рис. 101

изменяется магнитная индукция B. Доказа-тельство формулы (27.3) мы не приводим.Рассмотрим примеры применения этой фор-мулы.

П р и м е р 1. Элементарный контурс током, магнитный момент которого ра-вен pм, расположен около тонкого бесконеч-но длинного прямого провода с током силой I(рис. 101). Магнитный момент pм элементар-ного контура сонаправлен с вектором магнит-ной индукции B поля прямого тока в той точке пространства, где рас-положен элементарный контур. Согласно (27.3) сила F, действующаяна элементарный контур, совпадает по направлению с приращением∂B вектора B при перемещении вдоль направления вектора pм. Каквидно из рис. 101, вектор приращения ∂B = B2 − B1 и вектор силы Fнаправлены к проводу с током.

§ 27 ] Контур с током в магнитном поле 117

Приме р 2. Вектор pм магнитного момента элементарного контуранаходится в плоскости, проходящей через тонкий прямой бесконечно

I

B�

1B

F

2B

ìp

Рис. 102

длинный провод с током силой I, pм перпен-дикулярен к этому проводу (рис. 102). Приперемещении вдоль вектора pм вектор прира-щения магнитной индукции ∂B = B2 − B1 со-направлен с самим вектором B в той точке про-странства, где расположен элементарный кон-тур, то есть сонаправлен с каждым из векторовB1 и B2. Следовательно, в рассматриваемомпримере действующая на элементарный контурсила F, сонаправленная согласно (27.3) с векто-ром ∂B, совпадает по направлению с вектором B индукции магнитногополя прямого провода с током.

Момент сил, действующий на контур с током в магнитном поле.Формулу, позволяющую вычислять момент сил, получим на примерепрямоугольного проволочного контура с током (рамки с током), поме-щенного во внешнее однородное магнитное поле.

Пусть a и b — соответственно длина и ширина рамки, I — сила токав ней, B — вектор магнитной индукции однородного магнитного поля,θ — угол между единичным вектором нормали n к плоскости рамкии направлением вектора B (рис. 103). Магнитный момент pм рамкисонаправлен с вектором n, его модуль равен pм = Iab, где произведениеab — площадь рамки. На рис. 103 показаны силы Ампера F1, F2,F3, F4, приложенные к сторонам рамки. Силы F2 и F4 стремятся рас-тянуть рамку в вертикальном направлении, не создавая момента сил.

a

�

�

1F

B

2F

ìp3F

4FIb

Рис. 103

Момент сил, который стремится по-вернуть рамку вокруг вертикальнойоси, создают силы F1 и F3, модуликоторых равны (см. (24.1)):

F1 = F3 = IaB sin 90 ◦ = IaB. (27.4)

Здесь I — сила тока; a — длина про-водников, к которым приложены силыF1 и F3; угол между направлениемтока I и вектором B равен 90 ◦.

Сумма сил F1 и F3 равна нулю (па-ра сил), поэтому суммарный момент

этих сил не зависит от выбора оси, относительно которой он вычис-ляется. Удобно вычислить момент силы F1, приложенной к сторонерамки длиной a, относительно оси, совпадающей с противоположнойстороной рамки, то есть со стороной, к которой приложена сила F3.При этом момент силы F3 равен нулю, так что действующий на рамкусуммарный момент M сил F1 и F3 равен моменту только силы F1:

M = F1b sin θ = IaBb sin θ = |[Iabn,B]| = |[pм B]|. (27.5)


В цепочке преобразований (27.5) модуль силы F1 = IaB, взятыйиз формулы (27.4), умножается на плечо b sin θ этой силы. Результатумножения представляет собой модуль векторного произведения маг-нитного момента pм = Iabn и вектора B. Как легко проверить, век-тор M суммарного момента сил F1 и F3 и вектор [pм B] сонаправлены.Поэтому имеет место не только равенство модулей векторов (27.5), нои равенство самих указанных векторов:

M = [pм B]. (27.6)

Таким образом, момент сил M, действующий на рамку с током воднородном магнитном поле с индукцией B, равен векторному произ-ведению магнитного момента pм рамки и вектора B.

Момент M стремится повернуть рамку таким образом, чтобы век-тор pм располагался параллельно вектору магнитной индукции B.Такое положение является положением устойчивого равновесия рамки.

Формулу (27.6) можно использовать и для вычисления моментасил M, действующих на расположенный в неоднородном магнитномполе с индукцией B элементарный контур с магнитным моментом pм.

Работа амперовых сил при перемещении контура в магнитномполе. При перемещении в магнитном поле проводника с током, втом числе, замкнутого проводящего контура, силы Ампера совершают

I

B

l

dx

F

Рис. 104

работу. Получим формулу, позволяющуювычислять эту работу, на примере замкну-того проводящего прямоугольного контура,одна из сторон которого представляет собойподвижную перемычку длины l. Контур на-ходится в однородном магнитном поле, век-тор индукции B которого перпендикуляренк его плоскости (рис. 104). Сила тока вконтуре равна I.

Модуль силы Ампера, действующей наподвижную перемычку, равен (см. (24.1)):

F = IlB. (27.7)

При перемещении перемычки на расстояние dx сила F (27.7) совер-шает работу:

δA = Fdx = IlBdx = IBdS = IdΦ, (27.8)

где dS = ldx — приращение площади контура, dΦ = BdS — прираще-ние потока вектора B через поверхность, ограниченную контуром.

Как следует из (27.8), элементарная работа δA амперовых сил приизменении положения в пространстве проводящего замкнутого контурас током (проводника с током) равна произведению силы тока I навеличину dФ приращения потока вектора магнитной индукции B черезповерхность, ограниченную контуром:

δA = IdΦ. (27.9)

§ 27 ] Задачи 119

Если в магнитном поле перемещается незамкнутый проводник стоком, величина dФ в формуле (27.9) равна потоку вектора B черезповерхность, описываемую («заметаемую») этим проводником при егодвижении.

Можно показать, что формулой (27.9) можно пользоваться и длявычисления работы амперовых сил при перемещении проводящего за-мкнутого контура (проводника) произвольной формы в неоднородноммагнитном поле.

Если сила тока в контуре поддерживается постоянной, работа при-ложенных к контуру амперовых сил при перемещении контура равна

A =

2∫

1

IdΦ = I (Φ2 − Φ1) , (27.10)

где Φ1 и Φ2 — поток вектора B через ограниченную контуром поверх-ность в начальном и конечном положении контура.

Задачи5.1. Найти индукцию B магнитного поля на оси соленоида в точ-

ке A, из которой диаметры торцов видны под углами 2α и 2β (рис. 5.1).Соленоид состоит из N витков провода, равномерно намотанных по

A

I2�

2�

l

К задаче 5.1

длине l, и по нему течет ток силой I.5.2. Длинный проводник с током

I = 5, 0 А изогнут под прямым уг-лом. Найти магнитную индукцию Bв точке, которая отстоит от плоско-сти проводника на l = 35 см и на-ходится на перпендикуляре к про-водникам, проходящем через точкуизгиба.

5.3. Внутри однородного длинного прямого провода круглого се-чения имеется круглая длинная цилиндрическая полость, ось кото-рой параллельна оси провода и смещена относительно последней нарасстояние, заданное вектором l. По проводу течет постоянный токплотности j. Найти индукцию магнитного поля внутри полости.

5.4. Длинный тонкий многовитковый соленоид с поверхностнойплотностью тока i и площадью поперечного сечения S = πr2 согнуттак, что его ось образует половину окружности радиусом R. Найтивеличину магнитного поля B в центре этой окружности.

5.5. Постоянный ток I течет по длинному прямому проводу идалее растекается радиально-симметрично по проводящей плоскости,перпендикулярной к проводу. Найти индукцию магнитного поля вовсех точках пространства.

ГЛАВА VI

МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВЕЩЕСТВЕ

§28. Вектор намагниченности и его свойства

Намагничивание вещества. Все тела, с которыми мы сталки-ваемся в повседневной жизни, можно разделить по их способностиили неспособности притягивать к себе предметы из железа, например,канцелярские скрепки, кнопки и т. д. О телах, притягивающих к себетакие предметы, мы говорим как о намагниченных веществах илипостоянных магнитах. Далеко не все вещества способны приобретатьи проявлять свойства постоянных магнитов.

Если тело намагничено, в окружающем его пространстве суще-ствует магнитное поле, источником которого служат текущие внутривещества замкнутые токи. Характеристикой всякого замкнутого кон-тура с током служит его магнитный момент. Тело из намагниченноговещества обладает магнитным моментом. При внесении во внешнеемагнитное поле все вещества намагничиваются в той или или степени.При выключении внешнего поля у некоторых веществ намагниченностьсохраняется (ферромагнетики), у других — пропадает (парамагнетикии диамагнетики).

Явление намагничивания — это способность вещества приобретатьмагнитный момент при его внесении во внешнее магнитное поле. Маг-нетиками называются вещества, способные намагничиваться.

Рассмотрим вещество, которое в отсутствие внешнего магнитногополя не обладает свойствами постоянного магнита, то есть не порож-дает в окружающем пространстве магнитное поле и его магнитныймомент равен нулю. Механизм намагничивания под действием внеш-него магнитного поля можно представить следующим образом.

Рассмотрим случай парамагнитных веществ или парамагнетиков.Каждая молекула такого вещества обладает собственным магнитныммоментом pмi, наличие которого обусловлено внутримолекулярнымдвижением заряженных частиц. Так, движущийся вокруг атомногоядра электрон можно рассматривать как круговой ток, который харак-теризуется определенным магнитным моментом. В отсутствие внешнегомагнитного поля благодаря хаотическому тепловому движению моле-кул их собственные магнитные моменты pмi ориентированы беспоря-дочно. В среднем суммарный магнитный момент всех молекул и, следо-вательно, магнитный момент вещества в целом равны нулю (рис. 105).При включении внешнего магнитного поля с индукцией B собственныемагнитные моменты молекул ориентируются преимущественно вдоль

§ 28 ] Вектор намагниченности и его свойства 121

линий магнитной индукции (см. § 27). В результате вещество намаг-ничивается, его магнитной момент становится отличным от нуля.

Рис. 105

Рассмотрим другой слу-чай — намагничивание диа-магнитных веществ. Соб-ственный магнитный моментмолекул диамагнитного веще-ства в отсутствие внешнегомагнитного поля равен нулю.Это означает, что сумма всехмикроскопических внутреннихтоков в каждой молекуле ве-щества равна нулю. При вклю-чении внешнего магнитного поля у каждой молекулы появляется маг-нитный момент pмi, ориентированный вдоль линий магнитной индук-

0�B B

Рис. 106

ции в направлении, про-тивоположном вектору B(рис. 106). Таким образом ве-щество намагничивается, егомагнитной момент становитсяотличным от нуля.

Вектор намагниченно-сти J. Для количественнойхарактеристики намагничен-ности вещества вводитсявектор намагниченности J.

Рассмотрим физически бесконечно малый объем ΔV вещества.Магнитные моменты молекул, расположенных внутри этого объема,обозначим через pмi. Вектор намагниченности J определяется выра-жением:

J = limΔV →0

∑pмi

ΔV, (28.1)

где суммирование ведется по всем молекулам в объеме ΔV (по ин-дексу i). Вектор J представляет собой характеристику вещества вточке. Физический смысл намагниченности состоит в том, что модульвектора J численно равен магнитному моменту вещества, отнесенномук единице объема.

Единица намагниченности — ампер, деленный на метр (А/м).Вещество называется однородно намагниченным, если вектор J

одинаков во всех его точках.

Токи намагничивания. Молекулярными токами называются ло-кализованные в каждой молекуле вещества микроскопические круго-вые токи, обусловленные внутренним движением заряженных частиц(электронов).

122 Магнитное поле в веществе [ Гл. VI

Молекулярные токи определяют величину собственного магнитно-го момента молекулы. Полезно помнить, что вектор магнитного мо-мента pмi молекулы перпендикулярен плоскости, в которой движутсязаряженные микроскопические частицы, порождающие молекулярныйток, то есть pмi перпендикулярен плоскости молекулярного тока. Поддействием внешнего магнитного поля молекулы ориентируются такимобразом, что вектор магнитного момента pмi преимущественно распо-лагается вдоль линий поля. Хаотическое тепловое движение молекулстремится нарушить упорядоченную ориентацию молекулярных маг-нитных моментов. Степень упорядоченности тем выше, чем большевеличина внешнего поля.

Токами намагничивания называются макроскопические токи, ко-торые возникают на поверхности и в объеме намагниченного телаи представляют собой результат совместного действия (эффективнуюсумму) всех молекулярных токов. Возбуждаемое токами намагничива-ния макроскопическое магнитное поле такое же, как магнитное полемолекулярных токов вместе взятых. Токи намагничивания отличаютсяот токов проводимости тем, что они не связаны с перемещением ввеществе свободных зарядов — носителей тока.

На рис. 107 изображены молекулярные токи в однородно намагни-ченном теле. В окрестности любой точки внутри тела локализованымолекулярные токи одинаковой величины, но противоположно направ-ленные. Поэтому суммарный молекулярный ток, и, следовательно, токнамагничивания внутри тела равны нулю. Во всех молекулах, распола-гающихся вблизи поверхности тела, молекулярные токи, соприкасаю-щиеся с этой поверхностью, имеют одинаковое направление. Их можнозаменить одним эффективным поверхностным макроскопическим то-ком Iм, который и называется током намагничивания. Ток намагничива-ния отличается от обычного тока проводимости тем, что порождающиеего заряженные частицы не переносятся по всему объему тела, ихдвижение осуществляется только в пределах одной молекулы.

Рис. 107

ìI

ìI

ìI

JJ

Рис. 108

На рис. 108 схематически изображено неоднородно намагниченноетело. Неоднородность подразумевает, что молекулярные токи и вектор

§ 28 ] Вектор намагниченности и его свойства 123

намагниченности J изменяются при переходе от одной точки тела кдругой, так что локализованные в соседних молекулах микроскопиче-ские токи не компенсируют друг друга. В любой точке внутри теласуммарный молекулярный ток и, следовательно, ток намагничивания Iмотличны от нуля. В рассматриваемом случае поверхностные молеку-лярные токи, как и в однородно намагниченном теле, можно заменитьэффективным макроскопическим током намагничивания Iм.

Рисунки 107 и 108 демонстрируют, как соотносятся между собойнаправление вектора намагниченности J и направление тока намаг-ничивания в намагниченном веществе. Поскольку плоскости молеку-лярных круговых токов перпендикулярны соответствующим векторамpмi магнитных моментов молекул, а ток намагничивания Iм являет-ся эффективной суммой молекулярных токов, направление тока на-магничивания перпендикулярно вектору намагниченности J вещества,который в свою очередь является суммой магнитных моментов моле-кул pмi.

Удобство введения понятия тока намагничивания определяется сле-дующим обстоятельством. Если известны текущие по проводникам то-ки проводимости, а также токи намагничивания, которые существуюткак на поверхности, так и внутри магнитного вещества (магнетика),то индукция магнитного поля в любой точке пространства, в томчисле, внутри магнетика, может рассчитываться с помощью законаБио–Савара с учетом токов проводимости и токов намагничивания.

Теорема о циркуляции вектора намагниченности. Формулиров-ка теоремы состоит в следующем.

Циркуляция вектора намагниченности J по произвольному за-мкнутому контуру L равна току намагничивания Iм, охватываемо-

1

3

2

S

L

Рис. 109

му этим контуром или, иначе говоря,пересекающему ограниченную конту-ром поверхность:

∮

L

Jdl = Iм. (28.2)

До к а з а т е л ь с т в о. Рассмотримпроизвольный замкнутый контур L,расположенный внутри намагниченноговещества (магнетика) и ограниченнуюэтим контуром, «натянутую» на негоповерхность S (рис. 109). В правую часть выражения (28.2) теоремыо циркуляции входит величина Iм тока намагничивания, пересекаю-щего поверхность S. Ток намагничивания представляет собой суммумолекулярных круговых токов. Всякий молекулярный круговой ток,который непосредственно не охватывает в каком-либо месте линию L,обладает следующим свойством: пересекает рассматриваемую поверх-ность S дважды, причем направления тока в точках его пересечения


с поверхностью противоположны друг другу (ток 1), либо вообще непересекает поверхность S, находясь вне контура (ток 2). Молекулярныетоки, подобные токам 1 и 2, не вносят вклад в величину тока намагни-чивания Iм. Следовательно, для определения Iм в правой части (28.2)достаточно рассмотреть только молекулярные токи, непосредственно

L

ìdI

l� S

J�

ld

Рис. 110

охватывающие в каком-либо месте кон-тур L (ток 3). Величина Iм равна суммеподобных токов.

Мысленно выделим внутри рассматри-ваемого магнетика бесконечно малый объ-ем в форме диска с площадью основанияΔS и высотой δl, ось симметрии которогосонаправлена с вектором J в том месте,где расположен диск, а боковая поверх-ность охватывает один из участков конту-ра обхода L (рис. 110). Объем диска на-столько мал, что вектор J можно считатьодинаковым во всех его точках. Внутри

диска, между его основаниями расположен бесконечно малый участокконтура обхода L длиной dl. Угол между этим отрезком и вектором Jравен α. По боковой поверхности диска течет ток намагничивания dIмв направлении, перпендикулярном вектору J. Силу тока dIм можновыразить через плотность iм поверхностного тока намагничивания ивысоту диска δl:

dIм = iмδl. (28.3)

Диск можно рассматривать в качестве замкнутого контура с теку-щим по нему током силой dIм (ток, текущий по боковой поверхностидиска). Модуль магнитного момента ΔJ такого контура равен произ-ведению силы тока (28.3) на площадь контура ΔS:

ΔJ = dIмΔS = iмδlΔS. (28.4)

С другой стороны, модуль ΔJ магнитного момента диска можнорассчитать, умножив магнитный момент J единицы объема магнетикана объем диска ΔSδl:

ΔJ = JΔSδl. (28.5)

Приравняв правые части равенств (28.4) и (28.5), найдем:

iмδlΔS = JΔSδl.

Отсюда:J = iм. (28.6)

Равенство (28.6) означает, что модуль вектора намагниченности Jчисленно равен поверхностной плотности тока намагничивания iм.

§ 29 ] Вектор напряженности магнитного поля 125

Используя (28.6), представим силу тока намагничивания dIм в(28.3) в виде скалярного произведения векторов намагниченности J иэлемента dl контура обхода L, расположенного внутри рассматривае-мого бесконечно малого диска (см. рис. 110):

dIм = iмδl = Jdl cos α = Jdl, (28.7)

где высота δl диска выражена через длину dl элемента контура и уголα: δl = dl cos α.

Весь контур L можно мысленно разделить на множество элемен-тарных участков длиной dl, каждый из которых находится внутри эле-ментарного диска из магнитного вещества, подобного рассмотренномувыше. Формула (28.7) справедлива для любого элемента dl контура Lи позволяет рассчитать ток намагничивания, охватывающий этот эле-мент.

Суммарный ток намагничивания Iм, охватываемый контуром L,равен сумме токов dIм, вычисляемых по формуле (28.7) для всехэлементов контура. Таким образом, искомый ток намагничивания Iмравен интегралу по замкнутому контуру L от правой части равенства(28.7):

Iм =∮

L

dIм =∮

L

Jdl. (28.8)

Формула (28.8) совпадает с выражением (28.2). Тем самым теоремао циркуляции вектора намагниченности J доказана.

Дифференциальную форму теоремы о циркуляции вектора J можнополучить из (28.8) делением обеих частей этого равенства на площадьповерхности, охватываемой замкнутым контуром L и последующимпредельным переходом при стремлении этой площади к нулю (то естьпри стягивании контура обхода L в точку). Теорема о циркуляциивектора J в дифференциальной форме имеет вид

rotJ = jм, (28.9)

где jм — объемная плотность тока намагничивания.

§29. Вектор напряженности магнитного поля.Магнитные свойства вещества

Напряженность магнитного поля. Вектор напряженности маг-нитного поля H определяется выражением:

H = B

μ0

− J, (29.1)

где B — вектор магнитной индукции поля, J — вектор намагниченно-сти вещества, μ0 — магнитная постоянная.

Единица напряженности H магнитного поля — ампер, деленный наметр (А/м).


Магнитная восприимчивость. Количественная связь между на-магниченностью вещества J и параметрами магнитного поля устанав-ливается экспериментально. Вектор намагниченности J принято связы-вать функциональной зависимостью с напряженностью H магнитногополя, а не с магнитной индукцией B. В основном мы будем рассмат-ривать такие способные к намагничиванию вещества (магнетики), длякоторых связь между векторами J и H является линейной.

Опытным путем показано, что для многих веществ намагничен-ность J пропорциональна напряженности H магнитного поля:

J = χH, (29.2)

где χ — коэффициент пропорциональности, называемый магнитнойвосприимчивостью вещества. Магнитная восприимчивость χ являетсябезразмерной величиной.

Пара-, диа- и ферромагнетики. По характеру связи (29.2) междувекторами J и H вещества делятся на три класса.

Парамагнетиками называются вещества, для которых магнитнаявосприимчивость χ является положительной величиной: χ > 0. Векто-ры J и H в парамагнетиках сонаправлены. Парамагнетиком является,например, алюминий, для которого магнитная восприимчивость χ ≈≈ 2, 1 · 10−5.

Диамагнетиками называются вещества, для которых величина χотрицательна: χ < 0. В диамагнетиках векторы J и H направлены про-тивоположно. Представителем класса диамагнетиков является серебро,для которого χ ≈ −2, 6 · 10−5.

У веществ, называемых ферромагнетиками, связь между намаг-ниченностью J и напряженностью поля H не описывается простой

Рис. 111

формулой (29.2), зависимость J от Hнеоднозначная. График зависимости Jот H у ферромагнетиков называетсяпетлей гистерезиса. Пример петлигистерезиса представлен на рис. 111.

Если размагниченный образец фер-ромагнетика, у которого J = 0, поме-стить во внешнее магнитное поле, тос увеличением модуля напряженностиполя H намагниченность J сначалаплавно увеличивается, а затем прак-тически перестает меняться, достигнув

насыщения при H = Hнас (см. участок OA графика на рис. 111). Припервоначальном намагничивании исходно размагниченного веществапод действием внешнего магнитного поля H векторы J и H сонаправ-лены.

Рассмотрим изменение состояния вещества, которому соответству-ет участок ABC графика. При уменьшении напряженности внешнего


магнитного поля H от величины Hнас до нуля намагниченность неисчезает, а имеет значение Jост, называемое остаточной намагни-ченностью. При последующем постепенном увеличением вектора H внаправлении, противоположном первоначальному, намагниченность Jвещества плавно уменьшается до нуля, а затем растет в направлении,противоположном первоначальному, вновь достигая насыщения, когдамодуль H равен Hнас (точка C).

Явление гистерезиса проявляется, в частности, в том, что участокAB кривой размагничивания не совпадает с кривой OA первоначаль-ного намагничивания. Так, при уменьшении внешнего магнитного поляот величины Hнас до нуля (H = 0) вещество остается частично на-магниченным (Jост �= 0). Чтобы полностью размагнитить вещество, тоесть перевести его из состояния с намагниченностью Jост в состояниес J = 0, вектор напряженности внешнего поля H должен изменить на-правление на противоположное первоначальному (при котором проис-ходило намагничивание), достигнув при этом по модулю величины Hк.Значение поля Hк, при котором вещество полностью размагничивается,называется коэрцетивной силой. При увеличении модуля внешнегомагнитного поля от нуля до Hк в направлении, противоположномпервоначальному, векторы H и J противоположны друг другу.

Пусть намагниченность образца вещества достигла насыщения вточке C. Процесс изменения направления вектора J на противополож-ное — перемагничивание образца — можно повторить, сначала умень-шая поле H до нуля, затем увеличивая его по модулю в противопо-ложном направлении. Участок CDA графика, соответствующий этомупроцессу, не совпадает с участком ABC. Таким образом, на графикезависимости намагниченности J вещества от величины и направлениянапряженности магнитного поля H возникает петля гистерезиса, ха-рактерная для ферромагнитных материалов.

График зависимости J от H, представленный на рис. 111, позволяетсделать следующие выводы. Во-первых, у ферромагнетиков намагни-ченность J зависит не только от величины напряженности магнитногополя H, но и от предыстории образца. Во-вторых, при намагничиванииобразца (участок OA графика) зависимость J(H) не является строголинейной. Соответственно, магнитная восприимчивость χ ферромагне-тика, если рассматривать ее как отношение J к H, не является посто-янной величиной. По порядку величины магнитная восприимчивостьχф ферромагнетика составляет ∼ 103 ÷ 104 и многократно превышаетмагнитную восприимчивость пара- и диамагнетиков (χп ∼ 10−5, χдиа ∼∼ −10−5). Примерами веществ из класса ферромагнетиков являютсяжелезо, кобальт, никель.

Если образец ферромагнитного вещества нагреть до температуры,превышающей так называемую температуру Кюри (точка Кюри),то остаточная намагниченность образца исчезает, вещество размагни-чивается. В состояниях с температурой, превышающей точку Кюри,


ферромагнитное вещество становится парамагнитным. Точка Кюри со-ставляет для железа 1043 К, для кобальта 1403 К, для никеля 631 К.

Магнитная проницаемость вещества. Существует простая связьмежду индукцией B и напряженностью H магнитного поля для одно-родных и изотропных пара- и диамагнетков. Выразив B из формулы(29.1) и подставив в полученное выражение j = χH из (29.2), найдем:

B = μ0(H + J) = μ0(H + χH) = μ0(1 + χ)H. (29.3)

Магнитной проницаемостью μ вещества называется величина,равная:

μ = 1 + χ. (29.4)

С учетом определения (29.4) связь (29.3) между B и H для пара- идиамагнетиков выглядит так:

B = μ0μH. (29.5)

Магнитная проницаемость μ, как и магнитная восприимчивость χ,безразмерная величина. Для парамагнетиков μ незначительно превы-шает единицу, а для диамагнетиков μ несколько меньше единицы.

Теорема о циркуляции вектора напряженности магнитного по-ля. Рассмотрим намагниченное вещество. В присутствии такого веще-ства магнитная индукция B в любой точке пространства, в том числе,внутри вещества, определяется не только текущими в проводникахтоками проводимости, если таковые имеются, но и токами намагни-чивания, которые существуют в магнетике. В отличии от магнитнойиндукции B при расчете напряженности магнитного поля H необхо-димо учитывать только токи проводимости. Это следует из теоремы оциркуляции вектора H, которую предстоит рассмотреть.

Циркуляция вектора напряженности H магнитного поля попроизвольному замкнутому контуру L равна алгебраической сумметоков проводимости, охватываемых этим контуром или, иначеговоря, пересекающих поверхность, ограниченную контуром:

∮

L

H dl = Iпр, (29.6)

где Iпр =∑k

Ik — алгебраическая сумма токов проводимости. При

вычислении величины Iпр любое слагаемое в сумме (сила тока Ik) учи-тывается со знаком «плюс», если направление тока Ik и направлениеобхода контура L, которое было выбрано для вычисления интеграла∮L

Hdl, связаны правилом правого винта. Слагаемое Ik учитывается в

сумме со знаком «минус» в противном случае.


До к а з а т е л ь с т в о. Выберем произвольный контур обхода L ивоспользуемся теоремой о циркуляции вектора магнитной индукции B(см.(26.3)): ∮

L

B dl = μ0

(Iпр + Iм

), (29.7)

где Iпр — ток проводимости, Iм — ток намагничивания, оба токаохватываются контуром L. Преобразуем это равенство:

∮

L

B

μ0

dl − Iм = Iпр. (29.8)

Согласно теореме о циркуляции вектора намагниченности J (28.2)ток намагничивания Iм равен:

Iм =∮

L

J dl. (29.9)

Подставив выражение для Iм (29.9) в равенство (29.8), получим:∮

L

(B

μ0

− J)dl = Iпр,

или с учетом определения (29.1) напряженности магнитного поля H:∮

L

H dl = Iпр,

что совпадает с (29.6). Теорема доказана.Дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора H:

rotH = jпр, (29.10)

где jпр — плотность тока проводимости. Равенство (29.10) означает,что ротор вектора напряженности магнитного поля H в любой точкевещества равен плотности тока проводимости в этой точке. Дифферен-циальная форма рассматриваемой теоремы может быть получена из ееинтегральной формы (29.6) (см. текст перед формулой (28.9)).

В качестве примера использования теоремы о циркуляции векто-ра H рассчитаем индукцию магнитного поля в бесконечно длинномсоленоиде, заполненном однородным изотропным пара- или диамагне-тиком. По обмотке соленоида течет ток силой I. Магнитная прони-цаемость вещества, заполняющего соленоид, равна μ; число витковсоленоида на единицу его длины — n.

Пусть длина соленоида много больше его диаметра, так что со-леноид можно считать бесконечно длинным, а поле внутри него —однородным. Вектор напряженности H параллелен оси соленоида. Вы-берем плоский прямоугольный контур обхода 1–2–3–4–5–6–1, которыйобозначим через L (рис. 112).



Теорема о циркуляции вектора H в применении к выбранномуконтуру L имеет вид ∮

L

H dl = Iпр, (29.11)

где Iпр — суммарный ток проводимости, пересекающий ограниченнуюконтуром L поверхность.

Циркуляцию вектора H по контуру L можно представить как суммуинтегралов по различным участкам контура обхода 1–2–3–4–5–6–1, аименно:

∮

L

H dl =

2∫

1

H dl +

3∫

2

H dl +∫

3−4−5−6

H dl +

1∫

6

H dl. (29.12)

На участках 2–3 и 6–1 вектор H перпендикулярен вектору dl

любого элемента контура, поэтому равны нулю интегралы3∫2

H dl =

= 0 и1∫6

H dl = 0. На участке 3–4–5–6 контура обхода, расположенном

снаружи соленоида, поле H равно нулю. Соответствующий данному

учаску интеграл также равен нулю:∫

3−4−5−6

H dl = 0. На участке 1–2

вектор H одинаков во всех точках и сонаправлен с вектором dl любого

�

Рис. 112

элемента контура. Соответствующийинтеграл равен

2∫

1

H dl=

2∫

1

H dl = H

2∫

1

dl = Hl, (29.13)

где l — длина участка 1–2 контураобхода.

Из (29.12) с учетом (29.13) найдемциркуляцию вектора H:

∮

L

H dl =

2∫

1

H dl = Hl. (29.14)

Сила тока Iпр в правой части (29.11) равна произведению числавитков соленоида nl, пересекающих ограниченную контуром L поверх-ность, и силы тока I в каждом витке:

Iпр = nlI. (29.15)

Подставив величины циркуляции (29.14) и силы тока проводимости(29.15) в (29.11), получим

Hl = nlI.

§ 30 ] Граничные условия для векторов B и H 131

Отсюда напряженность поля H в бесконечно длинном соленоидеравна

H = nI. (29.16)

Учитывая соотношение (29.5) между индукцией B и напряженно-стью H магнитного поля в однородном изотропном магнетике:

B = μ0μH,

и подставив в него H из (29.16), получим формулу для расчета магнит-ной индукции B поля в бесконечно длинном соленоиде, заполненномвеществом с магнитной проницаемостью μ:

B = μ0μnI. (29.17)

§30. Граничные условия для векторов магнитнойиндукции и напряженности магнитного поля

Рассмотрим поверхность раздела двух однородных изотропных маг-нетиков, которые обозначим через 1 и 2. Установим, как меняетсянормальная компонента вектора B и тангенциальная компонента век-тора H при переходе через эту поверхность.

Граничные условия для нормальной компоненты вектора маг-нитной индукции. Согласно теореме Гаусса, поток вектора магнит-

1

2n

2Sd

1Sd

1B

2B

Рис. 113

ной индукции через произвольнуюзамкнутую поверхность S равен ну-лю: ∮

S

B dS = 0. (30.1)

Выберем в качестве поверхно-сти интегрирования S прямой кру-говой цилиндр с площадью основа-ний dS, высота которого мала на-столько, что потоком вектора маг-нитной индукции через боковую по-верхность цилиндра можно прене-бречь. Основания цилиндра параллельны поверхности раздела сред ирасположены по разные стороны от нее (рис. 113). Основания цилиндрапредставляют собой элементарные площадки, в пределах каждой изкоторых магнитная индукция постоянна. Индукция магнитного поляв первой и второй среде в точках, расположенных на основанияхцилиндра, соответственно равна B1 и B2. Поток вектора B через

5*


поверхность S цилиндра приблизительно равен сумме потоков черезоснования и может быть представлен в виде:

∮

S

B dS =∫

бок

B dS +∫

осн

B dS ≈∫

осн

B dS = B1 dS1 + B2 dS2 =

= B2ndS − B1ndS, (30.2)

где dS1 и dS2 — векторы элементарных площадок, которыми являютсяоснования цилиндра; B1n и B2n — проекции векторов B1 и B2 на на-правление общей нормали n, проведенной из первой среды во вторую.С учетом (30.1) из (30.2) получим

B2ndS − B1ndS = 0,

B2n = B1n. (30.3)

Выражение (30.3) представляет собой граничные условия для нор-мальной компоненты вектора магнитной индукции B на поверхностираздела магнетиков. Согласно (30.3) при переходе через поверхностьраздела нормальная компонента вектора B не претерпевает скачка(изменяется непрерывно).

Граничные условия для тангенциальной компоненты векторанапряженности магнитного поля. Пусть поверхностная плотностьтока проводимости, который течет по поверхности раздела магнетиков1 и 2, равна i.

Циркуляция вектора H напряженности магнитного поля по произ-вольному замкнутому контуру L равна току проводимости Iпр, охваты-ваемому этим контуром: ∮

L

H dl = Iпр. (30.4)

Применим теорему о циркуляции вектора H (30.4), выбрав в ка-честве контура обхода L прямоугольник 1–2–3–4, у которого длина

1H

2H

4

1 2

3

Рис. 114

1–2 равна dl, а ширина явля-ется величиной более высоко-го порядка малости по срав-нению с dl (рис. 114). Участ-ки контура 1–2 и 3–4 парал-лельны поверхности разделасред 1 и 2 и расположены поразные стороны от нее. Что-бы не перегружать расчетыгеометрическими построения-ми, будем считать, что вектор

плотности тока проводимости i, текущего по поверхности раздела сред,перпендикулярен плоскости прямоугольника 1–2–3–4. Напряженностьмагнитного поля по разные стороны границы раздела магнетиков в

§ 30 ] Граничные условия для векторов B и H 133

точках, принадлежащих отрезкам 1–2 и 3–4 контура, равна H1 иH2 соответственно. В пределах каждого из этих отрезков бесконечномалой длины dl векторы напряженности магнитного поля H1 и H2

можно считать приблизительно постоянными.Вычислим циркуляцию вектора H по контуру L:

∮

L

H dl =

2∫

1

H dl +

3∫

2

H dl +

4∫

3

H dl +

1∫

4

H dl ≈

≈2∫

1

H dl +

4∫

3

H dl = H1 dl1 + H2 dl2 = H2τdl − H1τdl. (30.5)

В преобразованиях (30.5) использованы обозначения: dl1 и dl2 —векторы длиной dl, направления которых совпадают с направлениемобхода контура L на участках 1–2 и 3–4 соответственно; H1τ и H2τ

— проекции векторов H1 и H2 на направление касательной к поверх-ности раздела, заданной единичным вектором τττττττττ, который сонаправленс вектором dl2. Величиной интегралов на участках 2–3 и 4–1 контурапренебрегаем, поскольку по условию выбора контура L их длина малапо сравнению с длиной dl двух других участков 1–2 и 3–4.

Сила тока проводимости, охватываемого контуром обхода L 1–2–3–4, равна (см. рис. 114):

Iпр = i dl, (30.6)

где i — модуль вектора i.Подставив циркуляцию вектора H из (30.5) и силу тока проводимо-

сти Iпр из (30.6) в (30.4), получим

H2τdl − H1τ dl = i dl.

Отсюда найдем граничные условия для тангенциальной компонентывектора H:

H2τ − H1τ = i. (30.7)

Если на поверхности раздела магнетиков токи проводимости отсут-ствуют, то есть i = 0, граничные условия для тангенциальной компо-ненты принимают следующий вид:

H2τ = H1τ . (30.8)

Преломление линий вектора магнитной индукции. В качествепримера использования граничных условий для векторов B и H рас-смотрим преломление линий вектора магнитной индукции B одно-родного магнитного поля на плоской границе раздела двух веществ,магнитные проницаемости которых равны μ1 и μ2.

Пусть в первой среде вектор магнитной индукции равен B1, линиимагнитной индукции составляют с нормалью к поверхности раздела


угол α1, во второй среде вектор магнитной индукции равен B2, аугол между нормалью к поверхности раздела и линиями магнитной

�1B

�2B

nB2

nB1

1B

2B2�

1�

1�

2�

Рис. 115

индукции α2 (рис. 115). Найдем связьмежду α1 и α2.

Тангенсы углов α1 и α2 равны отноше-ниям тангенциальных и нормальных ком-понент векторов B1 и B2. Вычислим отно-шение:

tg α2

tg α1

= B2τ /B2n

B1τ /B1n= B2τ B1n

B2nB1τ. (30.9)

Из (30.3) следует:

B1n = B2n. (30.10)

Граничные условия (30.8) для танген-циальной компоненты вектора H запишем

с учетом соотношений: B1 = μ0μ1H1, B2 = μ0μ2H2, которые справед-ливы и для тангенциальных компонент B и H. Итак:

H1τ = H2τ ,

B1τ

μ1

= B2τ

μ2

. (30.11)

Отношение (30.9) с учетом (30.10) и (30.11) равно

tg α2

tg α1

= B2τB1n

B2nB1τ= B2τ

B1τ= μ2

μ1

. (30.12)

Равенство (30.12) выражает закон преломления линий магнитнойиндукции на плоской границе магнетиков.

Задачи

6.1. Ток какой силы I нужно пустить по длинному тонкому од-нослойному соленоиду с числом витков на единицу длины n, чтобы

A

C

D

h

à á

К задаче 6.2

магнитная индукция B поля в соленоидебыла равна индукции постоянного магнитатех же размеров? Намагниченность J по-стоянного магнита одинакова во всех еготочках и направлена вдоль оси симметрии.

6.2. Длинный цилиндр изготовлен изматериала с замороженной однородной на-магниченностью, направленной вдоль егооси (рис. 6.2а). Магнитная индукция вточке A оказалась равной BA. Найти при-ближенно индукцию BC в точке C вблизи

§ 30 ] Задачи 135

основания короткого цилиндра, изготовленного из того же материала,если h � D, где h — высота, D — диаметр цилиндра (рис. 6.2 б).

2�

1�

d

К задаче 6.4

6.3. Постоянный ток I течет вдоль длин-ного однородного цилиндрического проводакруглого сечения. Провод сделан из пара-магнетика с магнитной восприимчивостью χ.Найти: а) поверхностный ток намагничива-ния Iпов; б) объемный ток намагничивания Iоб.

6.4. Тороидальный сердечник составлениз двух половинок, сделанных из различ-ных материалов с магнитными проницаемо-стями μ1 и μ2 (рис. 6.4). Общая длина сер-дечника, включая два небольших зазора ве-личиной d, равна L. По обмотке сердечника,имеющей N витков, течет ток I. Определитьвеличину магнитной индукции B в зазоре. Рассеянием магнитногополя в зазоре пренебречь.

ГЛАВА VII

ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ

§31. Закон электромагнитной индукции Фарадея.Вихревое электрическое поле

Магнитный поток. Магнитным потоком через некоторую по-верхность S называется поток вектора магнитной индукции B черезэту поверхность:

Ф =∫

S

BdS. (31.1)

Единица магнитного потока — вебер (Вб). Один вебер равен маг-нитному потоку через поверхность плоского контура площадью 1 м2,

B

n

S

dS

dS

Рис. 116

расположенного в однородном магнитномполе с индукцией в 1 Тл, вектор которойперпендикулярен плоскости контура (1Вб == 1Тл · м2). Магнитный поток Ф являетсяскалярной алгебраической величиной, знаккоторой зависит от направления единичнойнормали n к поверхности S (рис. 116). Приизменении направления n знак потока из-меняется на противоположный.

Закон электромагнитной индукцииФарадея. Рассмотрим замкнутый прово-дящий контур L в магнитном поле с индук-

цией B (рис. 117). Магнитный поток Ф через поверхность, ограничен-ную контуром, можно вычислить с помощью формулы (31.1).

n

B

S

L

Рис. 117

Согласно закону электромагнитной индук-ции, открытому Фарадеем в 1831 г., приизменении магнитного потока через по-верхность, ограниченную замкнутым про-водящим контуром, в контуре возникаетэлектрический ток, называемый индукци-онным. Величина электродвижущей силы ин-дукции (ЭДС индукции) равна

�и = −dФ

dt. (31.2)

Как указывалось выше, для расчета маг-нитного потока Ф через поверхность S, ограниченную контуром L,необходимо определиться с направлением нормали n к поверхности S.

§ 31 ] Закон электромагнитной индукции Фарадея 137

Если направление нормали n задано, то тем самым определено положи-тельное направление обхода контура: положительное направление об-хода замкнутого контура связано правилом правого винта с направле-нием нормали n к поверхности, ограниченной контуром (см. рис. 117).Если при расчете по формуле (31.2) ЭДС индукции, действующей вконтуре, величина �и положительная, это означает, что индукционныйток течет в направлении, совпадающем с положительным направлениемобхода контура. Если же �и — отрицательная величина, индукционныеток течет в направлении, противоположном положительному направле-нию обхода контура.

Правило Ленца. В соответствии с установленным опытным пу-тем правилом Ленца (1804–1865) индукционный ток направлен так,чтобы противодействовать причине, его вызывающей. Например, еслимагнитный поток Ф через поверхность замкнутого контура по каким-либо причинам увеличивается, индукционный ток будет течь в такомнаправлении, чтобы магнитное поле индукционного тока, складываясьс внешним магнитным полем, приводило к уменьшению потока Ф.

Природа электромагнитной индукции. Существуют две прин-ципиально разные причины, которые могут вызвать изменение потокаФ через поверхность замкнутого контура: 1) при неизменном магнит-ном поле изменение положения контура в пространстве (перемещениеконтура, изменение его формы, вращение и т. д.); 2) при неизменнойформе контура и неизменном его положении в пространстве изменениес течением времени индукции B магнитного поля. Природа электро-магнитной индукции в этих двух случаях различна.

Природа электромагнитной индукции в движущемся контуре.Рассмотрим на частном примере явление электромагнитной индукциив движущемся контуре. Плоский проводящий прямоугольный контур,одна из сторон которого представляет собой подвижную перемычку

V

nB,

qëF

Рис. 118

длиной l, находится в однородном магнит-ном поле с индукцией B, перпендикулярнойплоскости контура (рис. 118). Перемычкадвижется со скоростью V так, что площадьконтура увеличивается. За счет чего возни-кает ЭДС индукции в контуре?

В материале, из которого изготовленаподвижная перемычка, как в любом провод-нике, имеются заряженные микроскопиче-ские частицы — носители тока. Если зарядчастицы равен q и частица вместе с перемычкой движется со скоростьюV в магнитном поле с индукцией B, на нее будет действовать силаЛорентца:

Fл = qV B. (31.3)

138 Электромагнитная индукция [ Гл. VII

На рис. 118 указано направление силы Лорентца Fл, действующейна положительный заряд q. Силу Лорентца нужно рассматривать вкачестве сторонней силы, благодаря действию которой в контуре течетиндукционный ток. Работа силы Лорентца (31.3) при перемещениизаряда q вдоль проводника длиной l равна

Aст = Fлl = qV Bl. (31.4)

ЭДС индукции на участке контура длиной l, который представляетсобой движущуюся перемычку, равна работе сторонних сил по переме-щению единичного положительного заряда вдоль этого участка. Длявычисления ЭДС индукции разделим работу Aст (31.4) на величинузаряда q:

|�и| = Aст

q= V Bl = dx

dtBl = dФ

dt, (31.5)

где dФ = B dx l — приращение магнитного потока через поверхностьконтура за промежуток времени dt, |�и| — модуль ЭДС индукции.

Определим знак вычисленной по формуле (31.5) ЭДС индукции.Если выбрать единичный вектор нормали n к поверхности контурасонаправленным с вектором B, то магнитный поток Ф и его при-ращение dФ в рассматриваемом примере являются положительнымивеличинами. При этом сторонняя сила — сила Лорентца — противопо-ложна положительному направлению обхода контура, которое связаноправилом правого винта с направлением n. Следовательно, ЭДС индук-ции — отрицательная величина. С учетом этого обстоятельства ЭДСиндукции �и, модуль которой рассчитывается по формуле (31.5), можетбыть записана в виде

�и = −dФ

dt,

что полностью соответствует формуле (31.2), выражающей закон элек-тромагнитной индукции Фарадея.

Можно показать, что во всех случаях, когда ЭДС индукции воз-никает за счет изменения положения в пространстве или формы за-мкнутого проводящего контура в постоянном магнитном поле, природаэтого явления заключается в действии силы Лорентца на движущиесявместе с проводниками микроскопические заряды.

Природа электромагнитной индукции в покоящемся контуре.Если замкнутый проводящий контур, расположенный в магнитномполе, неподвижен, а само поле изменяется с течением времени, то вконтуре возникает ЭДС индукции, течет индукционный ток. ВеличинаЭДС индукции рассчитывается по формуле (31.2).

Для объяснения этого явления Максвелл предположил, и это былоподтверждено результатами многочисленных опытов, что изменяюще-еся с течением времени магнитное поле с индукцией B порождаетв пространстве (независимо от наличия или отсутствия проводящегоконтура) электрическое поле с напряженностью E, которое называется

§ 31 ] Закон электромагнитной индукции Фарадея 139

вихревым электрическим полем. Силовые линии вихревого электри-ческого поля замкнуты (рис. 119).

Если силовая линия поля замкнута, работа поля при перемеще-нии заряда по совпадающему с силовой линией замкнутому контуру

B

B

E

Рис. 119

отлична от нуля. Учитывая, что цирку-ляция вектора напряженности равна ра-боте поля, совершаемой при перемеще-нии единичного положительного заря-да по замкнутой траектории, приходимк следующему выводу. Справедливаядля электростатического поля теоремао циркуляции, согласно которой цир-куляция вектора напряженности элек-тростатического поля по произвольномузамкнутому контуру равна нулю, не вы-полняется для вихревого электрического поля. В этом состоит принци-пиальное отличие вихревого электрического поля от поля электроста-тического.

Если в области пространства, где порождается вихревое электриче-ское поле, расположен замкнутый проводящий контур, то имеющиеся впроводнике носители тока под действием сил вихревого электрическогополя будут перемещаться по контуру и потечет индукционный ток.Проводящий контур, в котором с помощью гальванометра регистри-руется индукционный ток, позволяет косвенно доказать наличие впространстве вихревого электрического поля. Однако сам контур неявляется необходимым условием возникновения такого поля.

Уравнение Максвелла. Пусть в покоящемся замкнутом проводя-щем контуре L в результате изменения поля B наблюдается явление

S

L

B

E

ld

Рис. 120

электромагнитной индукции (рис. 120).ЭДС индукции равна

�и = −dФ

dt. (31.6)

Причина возникновения электро-магнитной индукции в покоящемсяконтуре заключается в действии вихре-вого электрического поля E на свобод-

ные носители тока в проводнике. Силы вихревого поля в этом случаенужно рассматривать как сторонние, порождающие индукционный ток.ЭДС индукции равна работе сторонних сил по переносу единичногоположительного заряда вдоль замкнутого контура L и вычисляется последующей формуле:

�и=

∮

L

E dl, (31.7)

где E — напряженность вихревого электрического поля.


Магнитный поток через поверхность S, ограниченную контуром L,равен

Ф =∫

S

B dS.

Производную по времени потока Ф можно представить в следую-щем виде:

dФ

dt= d

dt

∫

S

B dS =∫

S

dB

dtdS =

∫

S

∂B

∂tdS. (31.8)

В преобразованиях (31.8) производную dB/dt заменили частнойпроизводной ∂B/∂t, учитывая зависимость вектора B не только отвремени t, но и от пространственных координат x, y, z: B = B(x, y, z, t).

Подставив выражения (31.7) и (31.8) в равенство (31.6), получим∮

L

E dl = −∫

S

∂B

∂tdS. (31.9)

Если помимо вихревого электрического поля в пространстве суще-ствует электростатическое электрическое поле, под напряженностью Eв уравнении (31.9) можно подразумевать сумму вихревого и электро-статического полей.

Действительно, циркуляция вектора напряженности электростати-ческого поля Eэл.-ст по произвольному замкнутому контуру равна нулю:

∮

L

Eэл.-ст dl = 0.

Прибавление к левой части записанного для вихревого электри-ческого поля Eвихр уравнения (31.9) интеграла

∮L

Eэл.-ст dl, значение

которого равно нулю, не нарушает равенства левой и правой частейэтого уравнения:

∮

L

Eвихрdl = −∫

S

∂B

∂tdS,

∮

L

Eэл.-ст dl +∮

L

Eвихр dl = −∫

S

∂B

∂tdS,

∮

L

E dl = −∫

S

∂B

∂tdS, (31.10)

где E = Eэл.-ст + Eвихр.Уравнение (31.10) называется уравнением Максвелла (1831–1879).

Это уравнение является обобщением теоремы о циркуляции векторанапряженности электростатического поля для случая произволных по-лей.

§ 32 ] Явление самоиндукции. Индуктивность 141

Уравнение Максвелла (31.10) можно представить в дифференци-альной форме:

rotE = −∂B

∂t. (31.11)

§32. Явление самоиндукции. Индуктивность

Пусть замкнутый проводящий контур находится в свободном отвнешних магнитных полей пространстве. Если по контуру пропускатьток, вокруг него возникнет собственное магнитное поле, порождаемоетоком (рис. 121). Можно показать, используя закон Био–Савара (23.3),что магнитный поток Ф через ограниченную контуром поверхность

Рис. 121

пропорционален силе тока I в контуре:

Ф = LI, (32.1)

где L — коэффициент пропорциональ-ности, называемый индуктивностьюконтура.

Индуктивность контура L — это ко-эффициент пропорциональности междумагнитным потоком Ф через ограни-ченную контуром поверхность, которыйвозникает благодаря магнитному полютока в контуре, и силой тока I. При вычислении магнитного потокаФ единичный вектор нормали n к ограниченной контуром поверхностиинтегрирования следует выбирать так, чтобы он был связан правиломправого винта с направлением тока в контуре.

Единица индуктивности — генри (Гн). Индуктивностью в 1 Гнобладает контур, магнитный поток через который равен одному веберупри пропускании по контуру тока силой в один ампер:

1 Гн = 1 Вб/1 А = 1 Вб/А.

Магнитный поток Ф через ограниченную контуром поверхность Sвычисляется по формуле (31.1):

Ф =∫

S

B dS. (32.2)

Магнитная индукция B в любой точке поверхности интегрированияS в соответствии с законом Био–Савара равна (см. (23.4)) равна

B = μ0

4π

∮

l

I [dl, r]

r3. (32.3)

Здесь интеграл вычисляется вдоль замкнутого контура l, по кото-рому течет ток силой I.


Из формулы (32.3) следует, что при увеличении силы тока I вконтуре в N раз магнитное поле B в любой точке пространствавозрастает в N раз пропорционально току. Соответственно, в N разувеличивается магнитный поток Ф, вычисляемый по формуле (32.2).Таким образом магнитный поток Ф через ограниченную замкнутымпроводящим контуром поверхность и сила тока I в этом контуре связа-ны прямой пропорциональной зависимостью. Следовательно, введениепонятия индуктивности L как коэффициента пропорциональности меж-ду Ф и I (32.1) является обоснованным.

Индуктивность соленоида. В качестве примера вычислим ин-дуктивность соленоида, длина которого равна l, площадь поперечногосечения S, число витков на единицу длины соленоида n. Соленоидзаполнен магнетиком с магнитной проницаемостью μ. Длина соленоидавелика по сравнению с его диаметром, так что справедлива формула(29.17) для магнитной индукции B поля бесконечно длинного солено-ида:

B = μ0μnI, (32.4)

где I — сила тока в проводе, из которого сделана обмотка соленоида.Если полное число витков соленоида равно nl, магнитные поток Ф

через соленоид в целом равен магнитному потоку BS через поверх-ность, ограниченную одним витком, умноженному на nl:

Ф = BSnl = μ0μnISnl = μ0μn2SlI. (32.5)

Здесь магнитную индукцию B подставили из формулы (32.4).Из (32.5) следует, что индуктивность соленоида L — коэффициент

пропорциональности между магнитным потоком Ф и силой тока I —равна

L = μ0μn2Sl = μ0μn2V , (32.6)

где V = Sl — объем соленоида.

Явление самоиндукции. Рассмотрим замкнутый проводящийконтур с индуктивностью L, по которому течет ток силой I. Магнит-ный поток Ф через ограниченную контуром поверхность равен:

Ф = LI.

При изменении силы тока I магнитный поток Ф также будет ме-няться, и в соответствии с законом электромагнитной индукции Фара-дея в контуре возникнет ЭДС индукции, потечет индукционный ток.Явление электромагнитной индукции в контуре возникает вследствиеизменения силы тока в этом же контуре. В таком случае явлениеэлектромагнитной индукции называется самоиндукцией.

Самоиндукция — это явление возникновения ЭДС индукции и ин-дукционного тока в замкнутом проводящем контуре за счет изменениясилы тока в этом контуре.

§ 32 ] Явление самоиндукции. Индуктивность 143

ЭДС самоиндукции �с.и как частный случай ЭДС индукции рас-считывается по формуле (31.2):

�с.и = −dФ

dt= −d (LI)

dt= −LdI

dt. (32.7)

Знак минус в правой части выражения (32.7) показывает, чтоиндукционный ток и ЭДС самоиндукции имеют такое направление,чтобы противодействовать изменению тока силы I, которое служитпричиной возникновения самоиндукции. Например, если сила тока Iувеличивается, то, согласно (32.7), ЭДС самоиндукции � с.и являетсяотрицательной величиной, то есть индукционный ток будет течь внаправлении, противоположном направлению тока I.

Установление тока в цепи, содержащей большую индуктив-ность. Если электрическая цепь, по которой течет ток, обладаетбольшой индуктивностью, то при размыкании цепи резкое уменьшениесилы тока до нуля приводит к возникновению ЭДС самоиндукциибольшой величины. В том месте, где происходит разрыв цепи (междуконтактами выключателя), проскакивает искра, то есть в воздушномпространстве возникает искровой разряд. Рассмотрим на простом при-мере причины этого явления.

Размыкание цепи, по которой в этот момент течет ток, можнорассматривать как включение в цепь очень большого сопротивления(сопротивления воздушного промежутка между контактами выключа-теля). Рассмотрим цепь, содержащую идеальную катушку индуктивно-сти L (омическое сопротивление катушки равно нулю), сопротивленияr и R (R � r), источник тока с ЭДС � и пренебрежимо малым внутрен-ним сопротивлением, ключ K (рис. 122). Сначала ключ K находится вположении 1, так что сопротивление цепи равно r, и по цепи течет токсилой I0 = �/r. Затем ключ K переводится в положение 2, в результатечего источник тока практически мгновенно отключается, сопротивле-ние цепи становится равным R, то есть многократно увеличивается посравнению с первоначальным (рис. 123). Через катушку индуктивностипродолжает течь ток.

R

L

2

1

K

r0I

E

Рис. 122

R

L

2

1

K

r

I

E

Рис. 123


Закон Ома для рассматриваемой цепи с ключом K в положении 2имеет вид

IR = � с.и, (32.8)

где I — сила тока, � с.и = −L dI/dt — ЭДС самоиндукции в катушке,возникающая при изменении силы тока.

Решив дифференциальное уравнение (32.8), записанное в следую-щей форме:

IR = −LdI

dt,

найдем зависимость силы тока I в катушке индуктивности от времени:

I = I0 e−Rt/L = �

re−Rt/L. (32.9)

где I0 = �/r — cила тока в цепи в начальный момент времени (сразупосле перевода ключа K в положение 2).

Как следует из (32.9), время τ , в течение которого сила тока в цепиуменьшится в e раз, составляет величину:

τ = L

R. (32.10)

Вычислим напряжение U на концах катушки индуктивности, рав-ное возникающей в ней ЭДС самоиндукции:

U = −LdI

dt= �

R

re−Rt/L. (32.11)

Падение напряжения на сопротивлении R равно напряжению U(32.11) на концах катушки индуктивности.

Поскольку сопротивление R в рассматриваемом примере служитмоделью воздушного промежутка между контактами выключателя ре-ально существующих цепей, выражение (32.11) дает возможность про-анализировать различные факторы, способствующие электрическомупробою воздушного промежутка. Согласно (32.11) напряжение U про-порционально R/r — отношению сопротивления воздушного проме-жутка между контактами выключателя R к сопротивлению цепи доее разрыва r. Поскольку отношение R/r представляет собой огромнуювеличину, напряжение U между контактами выключателя сразу послеразрыва цепи, равное согласно (32.11) �R/r, также очень велико:многократно превышает ЭДС � источника тока. Вместе с тем, ве-личина �R/r не зависит от индуктивности L катушки. Почему жеискрение между контактами выключателя тем больше, чем большеиндуктивность цепи?

Чтобы произошел пробой воздушного промежутка (искрение), вы-сокое напряжение между контактами выключателя должно поддержи-ваться в течение определенного (достаточного для лавинообразного на-растания тока в газовой среде) времени. Согласно (32.10) характерноевремя τ , в течение которого после переключения ключа из положения 1

§ 33 ] Энергия магнитного поля 145

в положение 2 в цепи течет ток и поддерживается высокое напряже-ние на сопротивлении R, тем больше, чем больше индуктивность Lкатушки. С увеличением L время τ , и, соответственно, вероятностьвозникновения искрового разряда в воздушном промежутке междуконтактами выключателя возрастают.

§33. Энергия магнитного поляМагнитная энергия контура с током. Рассмотрим процесс нарас-

тания тока в цепи, содержащей катушку индуктивности L, сопротив-ление R, источник тока с ЭДС � , после замыкания ключа K (рис. 124).Согласно закону Ома падение напряжения IR на сопротивлении R,где I — сила тока, равно сумме действующих в контуре ЭДС: посто-

R

L

K

I

E

Рис. 124

янной ЭДС � и ЭДС самоиндукции�с.и = −L dI/dt:

IR = � − LdI

dt.

Умножив это уравнение на величинуI и выполнив преобразования, получим

I� = I2R + LI dI

dt,

I� = I2R + d

dt

(LI2

2

). (33.1)

Равенство (33.1) по существу является выражением закона сохра-нения энергии. Входящие в него величины имеют следующий смысл:I� — мощность сторонних сил, которая затрачивается на выделениетеплоты на сопротивлении R и увеличение энергии катушки индук-тивности, I2R — тепловая мощность тока, LI2/2 — магнитная энергия

катушки, d

dt

(LI2

2

)— приращение энергии катушки в единицу време-

ни.Итак, величина

W = LI2

2, (33.2)

представляет собой энергию катушки с током или магнитную энергиюконтура.

Учитывая, что магнитный поток Ф через катушку индуктивностиравен LI, можно представить магнитную энергию W в другой форме:

W = LI2

2= IФ

2= Ф2

2I. (33.3)

Энергия магнитного поля и ее плотность. Магнитную энергиюкатушки LI2/2 можно интерпретировать как энергию имеющегося вкатушке магнитного поля и выразить ее через параметры поля —магнитную индукцию B и напряженность H.


Воспользуемся формулой (32.6) индуктивности бесконечно длин-ного соленоида: L = μ0μn2V , где μ — магнитная проницаемость ве-щества, заполняющего соленоид, n — число витков на единицу егодлины, V — объем соленоида; формулой (29.17) индукции магнитногополя соленоида: B = μ0μnI, где I — сила тока, и формулой (29.16) на-пряженности магнитного поля в соленоиде: H = nI. Тогда магнитнуюэнергию можно представить в виде

W = LI2

2= μ0μn2V I2

2= BH

2V. (33.4)

Магнитное поле внутри бесконечно длинного соленоида являетсяоднородным. Разделив энергию W поля в соленоиде на его объем V ,найдем объемную плотность энергии магнитного поля w:

w = W

V= BH

2. (33.5)

Можно показать, что в общем случае магнитного поля с индукциейB и напряженностью H объемная плотность энергии рассчитываетсяпо формуле:

w = BH

2. (33.6)

Объемная плотность энергии w является характеристикой поля вточке. Если параметры поля B и H от точки к точке меняются, фор-мула (33.6) остается справедливой. Формула (33.5) является частнымслучаем выражения (33.6) для плотности энергии магнитного поля воднородном изотропном магнетике, где B и H связаны соотношением(29.2): B = μμ0H.

Расчет энергии магнитного поля в конечном объеме V пространствавыполняется с помощью интегрирования объемной плотности w:

W =∫

V

w dV =∫

V

BH

2dV . (33.7)

§34. Взаимная индукция

Пусть в пространстве расположены два неподвижных проводящихзамкнутых контура 1 и 2, между которыми имеется магнитная связь,а именно: магнитное поле, порожденное током в одном из контуров,пронизывает поверхность другого контура, и наоборот (рис. 125). Еслисила тока I1 в первом контуре равна нулю, I1 = 0, а сила тока I2 вовтором контуре отлична от нуля, I2 �= 0, магнитный поток Ф1 черезповерхность, ограниченную первым контуром, пропорционален силетока I2:

Ф1 = L12I2, (34.1)

где L12 — коэффициент пропорциональности, называемый взаимнойиндуктивностью контуров 1 и 2. Если сила тока во втором контуре

§ 34 ] Взаимная индукция 147

равна нулю, I2 = 0, а в первом — отлична от нуля, I1 �= 0, то маг-нитный поток Ф2 через поверхность, ограниченную вторым контуром,

21

1I

2I

Рис. 125

пропорционален силе тока в первомконтуре:

Ф2 = L21I1, (34.2)

где L21 — коэффициент пропорцио-нальности, также называемый вза-имной индуктивностью контуров1 и 2. Константы L12 и L21 зависятот формы каждого из контуров и отих взаимного расположения. Прямая пропорциональная зависимость(34.1) и (34.2) между величинами потоков Ф1 и Ф2 и силой токов I2 иI1, соответственно, доказываются аналогично соотношению (32.1).

Согласно теореме взаимности, для любых двух контуров, междукоторыми имеется магнитная связь, взаимные индуктивности L12 и L21

одинаковы:L12 = L21.

Доказательство данной теоремы мы не приводим.Отметим, что в соответствии с определением индуктивности L

контура (см. (32.1)), благодаря такому выбору направления нормали nк поверхности контура, при котором поток Ф и сила тока I в контуреимеют одинаковые знаки, индуктивность L всякого контура являетсявеличиной положительной. Напротив, взаимная индуктивность двухконтуров может быть как положительной, так и отрицательной вели-чиной.

Взаимная индукция. Взаимной индукцией называется явлениевозникновения ЭДС индукции в одном из двух контуров, между кото-рыми имеется магнитная связь, за счет изменения силы тока в другомконтуре.

Если в контурах 1 и 2, между которыми имеется магнитная связь(см. рис. 125), силы токов равны I1, I2, величина I2 с течениемвремени изменяется, и при этом магнитный поток через ограниченнуюпервым контуром поверхность, согласно (34.1), равен Ф1 = L12I2, то вконтуре 1 возникнет ЭДС взаимной индукции �1 вз:

�1 вз = −dФ1

dt= −L12

dI2dt

.

Аналогично, если величина I1 с течением времени изменяется, исогласно (34.2) Ф2 = L21I1, то в контуре 2 возникнет ЭДС взаимнойиндукции �2 вз:

�2 вз = −dФ2

dt= −L21

dI1dt

.

Магнитная энергия двух контуров с током. Рассмотрим двазамкнутых проводящих контура 1 и 2, индуктивности которых L1 и L2,


сопротивления R1 и R2. В каждом из контуров имеются источникитока с ЭДС �1 и �2, а также ключи К1 и К2, которые первоначально

2I

1I2K

1K

E1 E2

Рис. 126

разомкнуты (рис. 126). Взаимная ин-дуктивность контуров L12. Замкнемоба ключа К1 и К2 в момент време-ни t = 0. По контурам потекут токисилой I1 и I2, которые, вообще го-воря, меняются с течением времени.В каждом контуре, помимо постоян-ных ЭДС �1 и �2, будут действоватьЭДС самоиндукции �1 с.и и �2 с.и, а

также ЭДС взаимной индукции �1 вз и �2 вз. Запишем закон Ома дляконтура 1:

I1R1 = �1 + �1 с.и + �1 вз, (34.3)

где �1 с.и = −L1I1dI1/dt, �1 вз = −L12dI2/dt.В течение промежутка времени dt сторонние силы источника тока,

имеющегося в контуре 1, совершат работу δA1 = I1�1dt, которая сучетом выраженной из (34.3) величины �1 равна

δA1 = I1�1dt = I1(I1R1 − �1 с.и − �1 вз)dt =

= I21R1dt + L1I1

dI1dt

dt + L12I1dI2dt

dt = I21R1dt + L1I1dI1 + L12I1dI2 =

= δQ1 + L1I1dI1 + L12I1dI2, (34.4)

где δQ1 — выделившаяся в контуре 1 за время dt теплота.Аналогично можно показать, что сторонние силы источника тока,

имеющегося в контуре 2, за промежуток времени dt совершат работуδA2, равную

δA2 = δQ2 + L2I2dI2 + L21I2dI1. (34.5)

Суммарная работа сторонних сил источников тока обоих контуровсоставит величину:

δA = δA1 + δA2 = δQ1 + L1I1dI1 +L12I1dI2 + δQ2 +L2I2dI2 + L21I2dI1 =

= δQ1 + δQ2 + L1I1dI1 + L2I2dI2 + L12d(I1I2). (34.6)

В преобразованиях (34.6) учтено, что L12 = L21.Интегрируя обе части равенства (34.6), найдем работу сторонних

сил к некоторому моменту времени, когда сила тока в контурах 1 и 2достигнет величины I1 и I2 соответственно:

A = Q1 + Q2 +L1I

21

2+

L2I22

2+ L12I1I2. (34.7)

Смысл полученного соотношения (34.7) состоит в следующем. Ра-бота A сторонних сил источников тока затрачивается на выделениетеплоты Q1 и Q2 и на накопление магнитной энергии L1I2

1/2 и L2I22/2

контурами 1 и 2, соответственно. Слагаемое L12I1I2 представляет со-

§ 34 ] Задачи 149

бой выражение для взаимной магнитной энергии контуров, междукоторыми имеется магнитная связь и в которых текут токи I1 и I2.

Задачи

7.1. В длинном воздушном соленоиде с радиусом намотки r0 иплотностью витков n течет ток, нарастающий с постоянной скоро-стью I. Какова форма силовых линий вихревого электрического по-ля E? Найти величину E на расстоянии 2r0 от оси соленоида.

gR

R

R

BV

К задаче 7.2

7.2. По двум вертикальным рейкам, со-единенным вверху и внизу сопротивления-ми R, может скользить без трения провод-ник длиной l, массой m и сопротивлениемR (рис. 7.2). Система находится в однород-ном магнитном поле, индукция которого Bперпендикулярна плоскости рисунка. Най-ти максимальную скорость V проводника вполе силы тяжести. Сопротивлением реекпренебречь.

7.3. Один и тот же ток течет по двумдлинным параллельным проводам в проти-воположные стороны. Провода имеют круг-лые сечения радиусом r, а расстояние между ними d, причем r �� d. Найти индуктивность единицы длины этой системы, учитываямагнитное поле только вне проводов.

7.4. В схеме (рис. 7.4) известны ЭДС � источника, сопротивле-ние R и индуктивности L1 и L2 катушек. Внутреннее сопротивление

R

1L

2L

KE

К задаче 7.4

источника и сопротивления катушек пренебре-жимо малы. Найти установившиеся токи в ка-тушках после замыкания ключа K.

7.5. Тонкое кольцо из магнетика имеетсредний диаметр d = 30 см и несет на себеобмотку из N = 800 витков. Площадь попе-речного сечения кольца S = 5, 0 см2. В коль-це сделана поперечная прорезь шириной b == 2, 0 мм. Когда по обмотке течет некоторыйток, магнитная проницаемость магнетика μ == 1400. Пренебрегая рассеянием магнитногопотока на краях зазора, найти:

а) отношение магнитной энергии в зазоре к магнитной энергии вмагнетике;

б) индуктивность системы.

ГЛАВА VIII

УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

§35. Теорема о циркуляции вектора напряженностимагнитного поля переменных токов. Ток смещения

Сначала введем определения, которые потребуются для описаниясвойств электромагнитного поля. Напомним, что сила тока I, текущегочерез некоторую поверхность S, вычисляется как интеграл от плотно-сти тока j по поверхности S:

I =∫

S

j dS.

Плотностью тока смещения jсм называется производная по вре-мени вектора электрической индукции D:

jсм = ∂D

∂t. (35.1)

Отметим, что вектор D зависит не только от времени t, но и отпространственных координат x, y, z, а именно: D(x, y, z; t).

Обозначим через jпр плотность тока проводимости, то есть тока,обусловленного упорядоченным движением свободных зарядов в про-водящей среде.

Плотностью полного тока будем называть сумму плотностей токапроводимости и тока смещения:

jполн = jпр + jсм = jпр + ∂D

∂t. (35.2)

Сила полного тока Iполн, текущего через произвольную поверх-ность S, и плотность jполн полного тока в точках этой поверхностисвязаны соотношением:

Iполн =∫

S

jполн dS =∫

S

(jпр + jсм

)dS =

∫

S

(jпр + ∂D

∂t

)dS. (35.3)

Теорема о циркуляции вектора H. Рассмотрим участок элек-трической цепи, в состав которой входит плоский конденсатор. Пустьконденсатор заряжается. Величина зарядов пластин +q и −q и силатока в подводящих проводах I зависят от времени (рис. 127). Будемполагать, что размеры пластин конденсатора велики по сравнению срасстоянием между ними, так что электрическое поле конденсаторасосредоточено между пластинами и является однородным, а электри-

§ 35 ] Ток смещения 151

ческое поле снаружи конденсатора равно нулю. Применим теорему оциркуляции вектора напряженности магнитного поля H к плоскому

Рис. 127

замкнутому контуру L, охватываю-щему один из подводящих проводов(рис. 127).

В соответствии с этой теоремой(см. (29.6)) циркуляция вектора H поконтуру L равна силе тока проводи-мости, который пересекает ограничен-ную контуром поверхность. Рассмот-рим две ограниченные контуром L по-верхности S1 и S2. Поверхность S1

плоская, она «натянута» на контур L.Поверхность S2 такова, что часть еерасполагается между обкладками конденсатора, не касаясь их.

Проводник с током силой I (ток зарядки конденсатора) пересекаетповерхность S1. Теорема о циркуляции вектора H для поверхности S1

в соответствии с (29.6) записывается в следующем виде:∮

L

H dl = I. (35.4)

Проводники, по которым текут токи проводимости, не пересекаютповерхность S2. Следовательно, для поверхности S2 теорема о цирку-ляции вектора H должна быть записана в следующей форме:

∮

L

H dl = 0. (35.5)

Сравнение равенств (35.3) и (35.5) показывает, что они противо-речат друг другу. Кроме того, если справедливо равенство (35.5), изнего следует, что H = 0, то есть поле H в пространстве около проводас током силой I вообще отсутствует. Однако такое утверждение несогласуется с опытом.

Причина противоречий состоит в следующем. Теорема о циркуля-ции вектора H в форме (29.6), справедливая для магнитного поля, по-рождаемого постоянными токами, не применима для описания свойствмагнитного поля переменных токов. В рассматриваемом примере силатока I в подводящих проводах в процессе зарядки конденсатора изме-няется с течением времени. Поэтому применять теорему о циркуляциив форме (29.6) нельзя.

Необходимо подвергнуть формулировку теоремы изменению. С этойцелью введены понятия плотности тока смещения (35.1) и полного токакак суммы токов проводимости и смещения (см. (35.3)).

Теорема о циркуляции вектора H, справедливая для описаниясвойств магнитного поля как постоянных, так и изменяющихся с те-чением времени (переменных) токов, имеет следующую формулировку:

152 Уравнения электромагнитного поля [ Гл. VIII

циркуляция вектора H по произвольному замкнутому контуру Lравна силе полного тока, охватываемого этим контуром или, иначеговоря, пересекающего ограниченную контуром поверхность S:

∮

L

H dl = Iполн =∫

S

(jпр + ∂D

∂t

)dS. (35.6)

Вернемся к расчету тока, пересекающего поверхность S1

(см. рис. 127). Поскольку электрическое поле конденсатора полностьюсосредоточено в пространстве между его пластинами, а вне конденса-тора оно равно нулю, поверхность S1 токами смещения не пересекается(во всех точках поверхности S1 jсм = ∂D/∂t = 0). Математическоевыражение теоремы о циркуляции вектора H для поверхности S1

имеет вид ∮

L

H dl =∫

S1

jпр dS = I. (35.7)

Рассмотрим токи, пересекающие поверхность S2 (см. рис. 127).Текущий по подводящему проводнику ток проводимости силой I по-верхность S2 не пересекает. Плотность тока смещения jсм = ∂D/∂t(35.1) на поверхности S2 отлична от нуля только там, где поверхностьнаходится в электрическом поле, то есть в пространстве между об-кладками конденсатора. Модуль вектора D электрической индукции впространстве между обкладками конденсатора равен

D = q

Sконд, (35.8)

где Sконд — площадь обкладок. Выражение (35.8) несложно получить,применив теорему Гаусса для вектора D (см. (17.4)), при этом внутризамкнутой поверхности интегрирования должна содержаться одна изобкладок плоского конденсатора.

Дифференцируя обе части равенства (35.8), найдем модуль вектораплотности тока смещения:

jсм = ∂D

∂t= q

Sконд= I

Sконд, (35.9)

где q = I — производная по времени заряда q конденсатора, равнаясиле тока I в подводящих проводах.

Теорема о циркуляции вектора H в применении к поверхности S2 сучетом (35.9) имеет вид

∮

L

Hdl =∫

S2

jсмdS =∫

Sконд

jсмdS = I

Sконд

∫

Sконд

dS = I. (35.10)

В преобразованиях (35.10) скалярное произведение jсмdS предста-вили как произведение модулей jсмdS перемножаемых векторов, по-скольку векторы D электрической индукции и jсм = ∂D/∂t плотности

§ 36 ] Уравнения Максвелла 153

тока смещения перпендикулярны плоскости пластин конденсатора исонаправлены с вектором dS любой элементарной площадки поверхно-сти S2, расположенной между обкладками конденсатора.

Сопоставление формул (35.7) и (35.10) показывает, что применениетеоремы о циркуляции вектора H в форме (35.6) к поверхностям S1

и S2 приводит к одинаковому для обеих поверхностей результату. Вэтом случае противоречащие друг другу уравнения, подобные (35.3) и(35.5), не возникают. Рассмотренный пример с зарядкой конденсатораиллюстрирует справедливость теоремы о циркуляции вектора H маг-нитного поля переменных токов, математическим выражение которойявляется уравнение (35.6).

Уравнение (35.6) впервые было предложено Максвеллом при по-строении теории электромагнитного поля и имеет глубокий физическийсмысл. Из него следует, что в пространстве, где токи проводимостиотсутствуют (jпр = 0), но существует изменяющееся со временем элек-трическое поле, и ток смещения отличен от нуля (jсм = ∂D/∂t �= 0),циркуляция вектора напряженности H магнитного поля не равна нулю.Следовательно, магнитное поле может существовать и в отсутствиетоков проводимости. Оно порождается изменяющимся со временемэлектрическим полем. Это открытие Максвелла подобно открытиюэлектромагнитной индукции Фарадеем, согласно которому изменяю-щееся с течением времени магнитное поле порождает в пространствевихревое электрическое поле.

Теорема о циркуляции вектора H в дифференциальной форме имеетвид

rotH = jпр + jсм = jпр + ∂D

∂t. (35.11)

§36. Уравнения Максвелла

Английским ученым Максвеллом (1831–1879) была создана теорияэлектрических и магнитных явлений. Она с единой точки зрения объ-яснила разрозненные явления электричества и магнетизма, предска-зала ряд новых явлений, существование которых было подтвержденовпоследствии.

Всю картину электромагнитных явлений можно представить в видесистемы фундаментальных уравнений электродинамики, называемыхуравнениями Максвелла. Эти уравнения нельзя вывести, они являют-ся основными аксиомами, постулатами электродинамики, полученнымипутем обобщения опытных фактов.

Приведем эти уравнения в интегральной и дифференциальной фор-мах.

1. Поток вектора электрической индукции D через произвольнуюзамкнутую поверхность S равен стороннему заряду qст, расположенно-

154 Уравнения электромагнитного поля [ Гл. VIII

му внутри этой поверхности):

∮

S

DdS = qст. (36.1)

Дифференциальная форма этого уравнения:

div D = ρст, (36.2)

где ρст — объемная плотность сторонних зарядов.Уравнение Максвелла в форме (36.1) и (36.2) является следствием

теоремы Гаусса для вектора напряженности электрического поля. Этоуравнение по существу эквивалентно закону Кулона и принципу су-перпозиции электрических полей.

2. Поток вектора магнитной индукции B через произвольную за-мкнутую поверхность S равен нулю:

∮

S

B dS = 0. (36.3)


div B = 0. (36.4)

Уравнения Максвелла (36.3) или (36.4) отражают тот факт, что вприроде не обнаружены магнитные заряды, и силовые линии магнит-ного поля являются замкнутыми.

3. Циркуляция вектора напряженности электрического поля E попроизвольному замкнутому контуру L равна:

∮

L

E dl = −∫

S

∂B

∂tdS, (36.5)

где интеграл от производной по времени вектора магнитной индукцииB вычисляется по произвольной поверхности S, ограниченной конту-ром L.


rotE = −∂B

∂t. (36.6)

Уравнения Максвелла (36.5) или (36.6) являются следствием законаэлектромагнитной индукции Фарадея, согласно которому ЭДС индук-ции в произвольном замкнутом контуре равна скорости изменениямагнитного потока Ф через ограниченную контуром поверхность: �и == −dФ/dt.

4. Циркуляция вектора напряженности магнитного поля H по про-извольному замкнутому контуру L равна силе полного тока, охватыва-

§ 36 ] Задачи 155

емого этим контуром или, иначе говоря, пересекающего поверхность S,ограниченную контуром:∮

L

H dl =∫

S

(jпр + ∂D

∂t

)dS. (36.7)

Дифференциальная форма этого уравнения имеет вид

rotH = jпр + ∂D

∂t. (36.8)

Уравнения (36.7) или (36.8) являются математическим выражениемоткрытия Максвелла, в соответствии с которым изменяющееся вовремени электрическое поле порождает магнитное поле.

Материальные уравнения. Уравнения Максвелла не составляютполной системы уравнений электромагнитного поля. Этих уравненийнедостаточно для расчета полей по заданным распределениям в про-странстве зарядов и токов. Для решения этой задачи необходимо до-полнить систему уравнений Максвелла так называемыми материаль-ными уравнениями, которые характеризуют индивидуальные свойствазаполняющей пространство материальной среды.

Для изотропных однородных сред, не содержащих сегнетоэлектри-ков и ферромагнетиков, в случае не слишком сильных электрическихи магнитных полей материальные уравнения имеют следующий вид:

D = ε0εE,

B = μ0μH,

jпр = λE,

где ε — диэлектрическая проницаемость, μ — магнитная проницае-мость, λ — удельная электрическая проводимость среды.

Из уравнений Максвелла вытекает существование электромагнит-ных волн, то есть такого электромагнитного поля, которое способносуществовать самостоятельно, в отсутствие электрических зарядов итоков. Изучение этого явления предстоит нам в разделе курса физики,посвященном электрическим колебаниям и волнам.

Задачи8.1. Доказать с помощью уравнений Максвелла, что:а) переменное во времени магнитное поле не может существовать

без электрического поля;б) однородное электрическое поле не может существовать при на-

личии переменного во времени магнитного поля.8.2. Показать, что из уравнений Максвелла следует закон сохра-

нения электрического заряда: div j = −∂ρ/∂t.8.3. Показать, что уравнения Максвелла rotE = −∂B/∂t и div B =

= 0 являются совместимыми, то есть первое из них не противоречитвторому.

ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ

1.1. Q =2√2 + 1

4q.

1.2. F =2qp

4πε0d3. Диполь притягивается к заряду, если он обращен к нему

противоположно заряженным концом, и отталкивается в противном случае.

1.3. E =σ

2ε0

(1− d√

d2 + R2

).

1.4. Δϕ =Q2R2 − Q1 (2R3 − R2)

4πε0R2R3

.

1.5. U = Eмакс d(1− d

2b

)ln

(2b

d− 1

)≈ Ed ln

(2b

d

)≈ 207 кВ, где Eмакс —

напряженность поля пробоя воздуха.1.6. σ=3ε0E0 cos θ; поле вне сферы — поле точечного диполя с дипольным

моментом p=4πε0R3E0.

2.1. 1) σ =q

4πR2; 2) ϕ =

q

4πε0R; 3) σB =

q

4π (r − d)2

(1 +

d

r

); σC =

=q

4π (r + d)2

(1− d

r

).

2.2. ϕ =1

4πε0

( q

d+

Q

r

).

2.3. σ1= −σ2=(q1 − q2)/2 — поверхностная плотность заряда на внутрен-них обращенных друг к другу поверхностях первой и второй пластин;

σ′

1 = σ′

2 = (q1 + q2)/2 — то же на внешних поверхностях первой и второйпластин;

E = (q1 − q2)/2ε0; E′ = (q1 + q2)/2ε0 — напряженность поля соответствен-но между пластинами и во внешнем пространстве.

2.4. C ≈ 2πε0a.

2.5. 1) R =3

20πε0

e2

mc2≈ 1, 7 · 10−15 м; 2) R =

1

8πε0

e2

mc2≈ 1, 4 · 10−15 м.

3.1. C ≈ 3, 9 · 10−11 Ф.

3.2. U =εV

1 + (ε − 1) d1/d= 500 В.

3.3. E′ =ε − 1

3E.

3.4. E1 = Ph/ε0d (в зазоре), E2 = −(1− h/d)P/ε0, D1 = D2 = Ph/d.

3.5. 1) σсв = − ql(ε − 1)

2πr3(ε + 1); 2) qсв = −q

ε − 1

ε + 1.

4.1. 1) I = α; 2) ϕA − ϕB = 0.

4.2. Q = I(� − U) = 0, 6 Вт, P = I� = 2, 6 Вт.

Ответы к задачам 157

4.3. Q =C�2R1

2(R1 + R2)= 60 мДж.

4.4. R =ρ

2πa.

5.1. B = μ0nIcos β − cos α

2l.

5.2. B =

√2 μ0I

4πl= 2, 0 мкТл.

5.3. B =1

2μ0 [j l], поле в полости однородное.

5.4. B =μ0i

2

( r

R

)2

.

5.5. В полупространстве, где находится прямой провод: B = μ0I/(2πr),где r — расстояние от провода; в другом полупространство: B = 0.

6.1. I =J

n.

6.2. BC =2BAh

D.

6.3. а) Iпов = χI; б) Iоб = χI; токи направлены в противоположные сторо-ны.

6.4. B =μ0μ1μ2NI(

L/2− d)(μ1 + μ2) + 2dμ1μ2

.

7.1. E =1

4μ0r0nI.

7.2. V =3mgR

2B2l2.

7.3. Lед ≈ μ0

πln

d

r.

7.4. I1 =�L2

R(L1 + L2), I2 =

�L1

R(L1 + L2).

7.5. а)Wз

Wм≈ μb

πd= 3, 0; б) L ≈ μ0SN2

b + πd/μ= 0, 15 Гн.

8.1. а) Если B = B(t), то rotE = −∂B/∂t �=0, то есть не равны нулюпространственные производные электрического поля, что возможно только приналичии электрического поля.

б) Если B = B(t), то rotE = −∂B/∂t �= 0. В однородном же поле rotE == 0.

8.2. Возьмем дивергенцию от обеих частей уравнения rotH = j + ∂D/∂t.Имея ввиду, что дивергенция ротора всегда равна нулю, получим 0 = div j ++ ∂(divD)/∂t. Учитывая, что divD = ρ, получим уравнение непрерывности(закон сохранения электрического заряда).

8.3. Возьмем дивергенцию от обеих частей первого уравнения rotE == −∂B/∂t. Так как дивергенция ротора равна нулю, то ∂(divB)/∂t = 0.Отсюда divB = const, что не противоречит второму уравнению.

ПРИЛОЖЕНИЯ

I. Системы единиц физических величин

1. Электрические и магнитные величины в СИ, СГСЭ, СГСМ игауссовой системе. Изложение материала настоящего курса физикиведется с использованием Международной системы единиц (сокра-щенно СИ). Поскольку кроме единиц СИ допускается применение внекоторых случаях системы СГС рассмотрим основные отличия этойсистемы от СИ.

В системе СИ вводятся 7 основных единиц: длины (метр), мас-сы (килограмм), времени (секунда), силы электрического тока (ам-пер), термодинамической температуры (кельвин), количества вещества(моль), силы света (кандела) и 2 дополнительных единицы: плоскогоугла — радиан (рад), телесного угла — стерадиан (ср).

В системе СГС в рамках механики использованы 3 основные еди-ницы: длины — сантиметр (см), массы — грамм (г), времени — секунда(с) и 2 дополнительных единицы: плоского угла — радиан (рад), телес-ного угла — стерадиан (ср). Основные и дополнительные механическиеединицы системы СГС либо совпадают с соответствующими единицамиСИ, либо являются дольными от них: 1 см = 10−2 м, 1 г = 10−3 кг.

В физике применяются следующие три системы единиц электриче-ских и магнитных величин, построенных на основе системы СГС длямеханических величин: абсолютная электростатическая система(СГСЭ), абсолютная электромагнитная система (СГСМ) и абсо-лютная или гауссова система единиц. Гауссова система есть систе-ма единиц СГС для механических величин, дополненная единицамиэлектрических и магнитных величин. Она является комбинацией двухсистем единиц: СГСЭ и СГСМ. Единицы электрических величин (за-ряд, напряженность электрического поля, электрический потенциал,сила электрического тока, сопротивление проводника и пр.) в гауссовойсистеме совпадают с единицами СГСЭ, а единицы магнитных величин(напряженность и индукция магнитного поля, магнитный момент, ин-дуктивности проводов и пр.) — с единицами СГСМ.

Система СГСЭ. Математическое выражение закона Кулона длясилы взаимодействия двух точечных зарядов q1 и q2, расположенных ввакууме на расстоянии r12 друг от друга, имеет вид

F = k q1q2r212

, (П.1)

где k — постоянная (числовой коэффициент).

I. Системы единиц физических величин 159

Числовое значение постоянной k в законе кулона (П.1) можновыбрать произвольно и приписать этой постоянной любую размерность.Поскольку размерности силы F (дин) и длины (см) уже определены,в зависимости от размерности k будет меняться размерность электри-ческого заряда q. В системе СГСЭ и гауссовой системе коэффициентпропорциональности k в законе Кулона считается безразмерным иполагается равным единице. Закон Кулона записывается в виде

F = q1q2r212

. (П.2)

В соответствии с (П.2) размерность заряда определяется формулой:

[q] = [F 1/2L] = M1/2L3/2T−1,

размерность напряженности электрического поля — формулой:

[E] = [Fq−1] = M1/2L−1/2T−1.

За единицу заряда в СГСЭ принимается величина такого точечногозаряда, который действует на такой же точечный заряд в вакууме ссилой в одну дину, если расстояние между обоими зарядами равноодному сантиметру. За единицу напряженности электрического поляпринимается напряженность такого поля в вакууме, которое действуетна единичный точечный заряд с силой в одну дину. Эти единицы неполучили специальных названий. Их называют электростатическимиили СГСЭ-единицами заряда и напряженности электрического поля.

В отличие от СГСЭ в системе СИ электрическому заряду (илитоку) приписывается самостоятельная размерность, не зависящая отразмерности длины, массы и времени: единица тока — ампер (А),единица заряда — кулон (Кл) или ампер-секунда. Кулон — оченьбольшая единица:

1 Кл ≈ 3 · 109 СГСЭ-ед. заряда.

Гауссова система. Закон, определяющий силу Fл, действующуюна движущийся со скоростью V точечный заряд q в магнитном поле(Fл — сила Лорентца), получен обобщением опытных фактов и выра-жается формулой:

Fл = q

c[VB] , (П.3)

где вектор B характеризует только магнитное поле и называется на-пряженностью магнитного поля, c — постоянная (числовой коэффи-циент). Формула (П.3) указывает принципиальный способ измерениямагнитного поля B по силе, действующей на движущийся заряд, ипозволяет определить единицу напряженности магнитного поля.

Постоянную c можно выбрать произвольно. Выбором числовогозначения и размерности этой постоянной определяется та или инаясистема единиц. В гауссовой системе единиц величине c приписывают

160 Приложения

размерность скорости. Тем самым добиваются того, что напряжен-ность B магнитного поля и напряженность E электрического поляв этой системе имеют одинаковую размерность (ср. формулу (П.3) сформулой Fкул = qE).

Закон, определяющий магнитное поле B движущегося со скоро-стью V точечного заряда q, получен обобщением опытных фактов ивыражается формулой:

B = q

c′r3[Vr] , (П.4)

где r — радиус-вектор, проведенный от заряда q к точке наблюдения,c′ — постоянная (числовой коэффициент), значение и размерностькоторой зависят от выбора системы единиц. В гауссовой системе еди-ниц постоянная c′ выбирается равной постоянной c, применяемой вравенстве (П.3):

c′ = c. (П.5)

Тем самым вновь достигают совпадения размерностей напряженно-сти B магнитного и напряженности E электрического поля (ср. фор-мулу (П.4) с вытекающей из закона Кулона формулой E = q/(r3)r).Таким образом, имеем

B = q

cr3[Vr] . (П.6)

Определенная таким способом постоянная c, которая имеет раз-мерность скорости и входит в соотношения (П.3) и (П.6), называетсяэлектродинамической постоянной.

Исходя из формул (П.3) и (П.6) нетрудно рассчитать силу взаимо-действия двух бесконечно длинных параллельных постоянных токов I1и I2. Эта сила равна

F = 2I1I2c2R

l, (П.7)

где R — расстояние между токами, l — длина участка провода с током,для которого рассчитана сила F . Формулу (П.7) можно использоватьдля измерения опытным путем числового значения электродинамиче-ской постоянной c. Измерения показали, что в пределах погрешностиопыта значение c совпадает со скоростью света в вакууме и равно

c = 2, 99792458 · 1010 см/с. (П.8)

Система СГСМ. Опытное определение числового значения посто-янной c открывает возможность построения системы СГСМ. Введемобозначение:

qm = q

c, (П.9)

где q — электрический заряд, выраженный в СГСЭ-единицах заряда,c — электродинамическая постоянная (П.8). По определению величи-на qm в (П.9) называется электрическим зарядом в единицах СГСМ-системы. Поскольку c имеет размерность скорости, согласно (П.9),


размерность СГСМ-единицы заряда отличается от размерности СГСЭ-единицы заряда. Постоянная c показывает, во сколько раз заряд, вы-раженный в СГСЭ-единицах, больше того же самого заряда, выражен-ного в СГСМ-единицах: q/qm = c.

В системе СГСМ формулы (П.3) и (П.6) имеют следующий вид:

Fл = qm[VB], (П.10)

B = qm

r3[Vr] . (П.11)

В гауссовой системе дается следующее точное определение единицызаряда кулон и единицы силы тока ампер, а именно: кулон равендесятой доле СГСМ-единицы заряда, ампер равен десятой доле СГСМ-единицы силы тока:

1 Кл = 0, 1 СГСМ-ед. заряда,

1 А = 0, 1 СГСМ-силы тока.

Теперь можно дать определение единицы напряженности магнит-ного поля B — гаусса — в системах СГСМ и гауссовой системе.Пусть вектор B напряженности магнитного поля и вектор V скоро-сти движущегося заряда, величина которого qm = 1 СГСМ-ед. заряда,взаимно перпендикулярны. При этом V = 1 см/с, а вычисляемая поформуле (П.10) сила Fл, действующая на рассматриваемый движущий-ся заряд, равна одной дине: Fл = 1 дин. Тогда величина напряженностимагнитного поля B равна одному гауссу: B = 1 Гс. Итак, гаусс естьнапряженность такого магнитного поля, которое действует на зарядв одну СГСМ-единицу с силой в одну дину, если заряд движетсяперпендикулярно к магнитному полю со скоростью 1 см/с.

Связь между системой СИ и гауссовой системой. В системеСИ закон Кулона, выражающий силу взаимодействия в вакууме двухточечных зарядов q1 и q2, расположенных на расстоянии r друг отдруга, записывается так (см. (1.1)):

Fкул = q1q24πε0r2

, (П.12)

где ε0 — электрическая постоянная.В этой же системе сила Ампера — сила взаимодействия в вакууме

двух тонких параллельных бесконечно длинных проводников, по кото-рым текут токи силой I1 и I2, равна (см. 24.5):

FА = μ0I1I22πR

l, (П.13)

где l — длина участка провода, для которого вычисляется сила F , R —расстояние между проводами, μ0 — магнитная постоянная.

Выразим постоянные ε0 и μ0 через электродинамическую постоян-ную c, используемую для записи соотношений (П.3) и (П.6).



Пусть в формуле (П.12) q1 = q2=1 Кл, r=1 м. Тогда находим, чтокулоновская сила Fкул в ньютонах численно равна:

Fкул = 1

4πε0Н. (П.14)

Вычислим эту же силу Fкул по закону Кулона (П.2), записанному вгауссовой системе. В этом случае расстояние между зарядами равно:

r = 100 см,

величина зарядов q1 и q2 в единицах СГСЭ:

q1 = q2 = 0, 1 СГСМ-ед. заряда = 0, 1c [см/с] СГСЭ-ед. заряда =

= 10c [м/с] СГСЭ-ед. заряда.

Здесь c [см/с] ≈ 3 · 1010 см/с и c [м/с] ≈ 3 · 108 м/с. Рассчет по фор-муле (П.2) дает числовое значение кулоновской силы Fкул в динах,которое легко перевести в ньютоны:

Fкул =(10c [м/с] СГСЭ-ед. заряда)2

(100 см)2= 10−2 (c [м/с])2 дин =

= 10−7 (c [м/с])2 Н. (П.15)

Сравнивая (П.14) с (П.15), находим:

ε0 = 107

4π (c [м/с])2. (П.16)

Расчет по этой формуле при подстановке в нее значения постоян-ной c дает:

ε0 ≈ 0, 8854 · 10−11 Ф/м.

Аналогично определим магнитную постоянную по формуле (П.13).Полагаем I1 = I2 = 1 А, l = R = 1 м. Тогда из (П.13) числовое значениеамперовой силы FA, выраженной в ньютонах, равно:

FА = μ0

2πН. (П.17)

Воспользуемся теперь для вычисления той же силы FА формулой(П.7), записанной в гауссовой системе единиц:

FА = 2I1I2

(c [см/с])2 Rl. (П.18)

Полагая в (П.18):

l = R = 100 см,

I1 = I2 = 0, 1 СГСМ-силы тока = 0, 1 c [см/с] СГСЭ-ед. силы тока,


где c [см/с] ≈ 3 · 1010 см/с, получим числовое значение силы FA вдинах, которое легко перевести в ньютоны:

FА =2 · 0, 1c [м/с] · 0, 1c [м/с]

(c[см/с])2 · 100 см· 100 см = 2 · 10−2 дин = 2 · 10−7 Н. (П.19)

Сравнивая результаты расчета FА в (П.17) и (П.19), находим маг-нитную постоянную:

μ0 = 4π · 10−7 ≈ 1, 256 · 10−6 Г/м. (П.20)

Как следует из равенства (П.16) и строгого равенства в (П.20),электрическая ε0 и магнитная μ0 постоянные связаны с электродина-мической постоянной c точным соотношением:

ε0μ0 = 1

c2, (П.21)

где c измеряется в м/с. Комбинация (ε0μ0)−1/2 имеет реальный физи-

ческий смысл — она равна скорости света в вакууме.

2. Перевод формул электродинамики из системы СИ в гауссовусистему. Каждой физической величине в системе СИ сопоставимопределенный переводной коэффициент. После замены каждой физиче-ской величины такой же величиной, умноженной на соответствующийпереводной коэффициент, уравнения системы СИ переходят в уравне-ния гауссовой системы.

Так как уравнения механики в обеих системах единиц записыва-ются одинаково, нет надобности вводить переводные коэффициентыдля чисто механических величин. Коэффициенты нужны только дляэлектрических и магнитных величин. Умножение любой электрическойили магнитной величины на произвольную механическую величинуоставляет переводной коэффициент без изменения. Например, напря-женности электрического поля E и потенциалу ϕ сопоставляется одини тот же переводной коэффициент, так как в силу соотношения E == − gradϕ поле E получается из потенциала ϕ путем деления намеханическую величину — длину. По аналогичной причине заряд q, егоплотность ρ, сила тока I, его плотность j, поляризованность P и т. д.будут иметь одинаковые переводные коэффициенты из СИ в гауссовусистему.

В соответствии с (П.21) комбинация 1/√

ε0μ0 заменяется на ско-рость света в вакууме c при переходе от уравнения, записанного вСИ, к уравнению в гауссовой системе. Диэлектрическая и магнитнаяпроницаемости ε и μ, как величины, одинаковые в обеих системах, непреобразуются.

Обозначим переводные коэффициенты, сопоставляемые физическимвеличинам E, D, B, H, I, q и т. д., малыми латинскими буквами e, d,b, h, i согласно следующей схеме:

6*


E D B H I, j, q, ρ, P 1/√

ε0μ0

e d b h i c

Переводные коэффициенты найдем, сравнивая между собой выра-жения для плотности энергии, потока энергии и силы, записанные всистеме СИ и гауссовой системе.

В СИ объемная плотность энергии электрического поля:

we = 1

2ED,

объемная плотность энергии магнитного поля:

wm = 1

2HB,

вектор S плотности потока энергии электромагнитного поля(см. кн. 4 «Колебания и волны. Оптика»):

S = [EH],

сила F, действующая на заряд q в поле напряженностью E:

F = qE.

В левой части каждого из четырех уравнений, записанных в СИ,стоят механические величины, которые при переводе этих уравненийв гауссову систему не преобразуются. После умножения физическихвеличин в правых частях уравнений на переводные коэффициентыуравнения приобретают вид:

we = ed

2ED, (П.22)

wm = hb

2HB, (П.23)

S = eh [EH], (П.24)

F = ieqE. (П.25)

Эти же соотношения в гауссовой системе выглядят так:

we = 1

8πED, (П.26)

wm = 1

8πHB, (П.27)

S = c

4π[EH] = 1

4π√

ε0μ0

[EH] , (П.28)

F = qE. (П.29)


Приравнивая правые части уравнений (П.22) и (П.26), (П.23) и(П.27), (П.24) и (П.28), (П.25) и (П.29), получим:

ed

2= 1

8π, hb

2= 1

8π, eh = 1

4π√

ε0μ0

, ie = 1. (П.30)

Учтем, что задача нахождения переводных коэффициентов не одно-значна. Если найден какой-либо один набор коэффициентов, то послеумножения их на одну и ту же величину получится другой набор,также пригодный для выполнения требуемого преобразования от однойсистемы единиц к другой. Один из искомых коэффициентов можновыбрать произвольно, что равносильно какому-либо дополнительномуусловию, связывающему переводные коэффициенты между собой. При-нято использовать следующее дополнительное условие:

e√

ε0 = h√

μ0 . (П.31)

Из системы уравнений (П.30) с учетом (П.31) найдем требуемыепереводные коэффициенты от СИ к гауссовой системе:

e = 1√4πε0

, h = 1√4πμ0

, i =√

4πε0 , d =

√ε04π

, b =

√μ0

4π.

Пусть, например, соотношение системы СИ, определяющее векторэлектрической индукции D = ε0E + P, требуется перевести в гауссовусистему. Для этого запишем уравнение с переводными коэффициента-ми:

dD = ε0eE + iP,√ε04π

D = ε01√4πε0

E +√

4πε0 P,

после сокращения получим соотношение гауссовой системы:

D = E + 4πP.

Аналогичным приемом переведем из СИ в гауссову систему урав-нение Максвелла:

rotH = j + ∂D

∂t,

1√4πμ0

rotH =√

4πε0 j +

√ε04π

∂D

∂t,

rotH = 4π

cj + 1

c

∂D

∂t.

Коэффициенты обратного преобразования от гауссовой системы кСИ равны обратным значениям коэффициентов, служащих для прямогопреобразования. Пользуясь найденными коэффициентами, легко найти


переводные коэффициенты для других физических величин. Некоторыеиз них приведены в табл. 1.

Т а б л и ц а 1

Таблица перевода формул и уравнений электродинамики, связывающихфизические величины, из системы СИ в гауссову систему

Наименование Система СИ Гауссова система

Скорость света 1/√

ε0μ0 c

Напряженность электрического поля,потенциал

E, ϕ(1/

√4πε0

)(E,ϕ)

Электрическая индукция D√

ε0/4π D

Заряд, плотность заряда, сила тока,плотность тока, поляризованность

q, ρ, I, j, P√

4πε0 (q, ρ, I, j,P)

Магнитная индукция, магнитный поток B, Ф√

μ0/4π (B, Ф)

Напряженность магнитного поля H(1/

√4πμ0

)H

Магнитный момент, намагниченность pм, J√

4π/μ0 (pм,J)

Диэлектрическая проницаемость,магнитная проницаемость

ε, μ ε, μ

Диэлектрическая восприимчивость,магнитная восприимчивость

κ, χ 4π(κ,χ)

Удельная электрическая проводимость λ 4πε0λ

Электрическое сопротивление R (1/4πε0)R

Электрическая емкость C 4πε0C

Индуктивность L (μ0/4π)L

II. Основные определения и формулы

электромагнетизма

1. Электростатическое поле в вакууме. Электрический зарядлюбого тела принимает только кратные элементарному заряду e зна-чения (e ≈ 1, 602 · 10−19 Кл); электрический заряд существует в двухвидах: положительный и отрицательный; в электрически изолирован-ной системе алгебраическая сумма зарядов остается неизменной стечением времени; величина заряда не зависит от того, движется онили покоится (не зависит от системы отсчета).

Закон Кулона (сила взаимодействия двух точечных зарядов):

F = k|q1||q2|

r2,

где |q1| и |q2| — модули зарядов, r — расстояние между ними, k == 1/(4πε0) ≈ 9 · 109 м/Ф, ε0 = 0, 885 · 10−11 Ф/м — электрическая по-стоянная.

Напряженность E электрического поля в некоторой точке про-странства равна силе, действующей на расположенный в этой точкеединичный положительный заряд, и определяется выражением:

E =F

qпр,

где qпр — величина пробного положительного заряда, F — действующаяна пробный заряд сила.

Напряженность поля точечного заряда q:

E =q

4πε0r3r,

где r — вектор, проведенный от заряда q в точку, где определяетсянапряженность E.

Силовая линия электрического поля — воображаемая линия впространстве, касательная к которой в каждой точке совпадает понаправлению с вектором E напряженности поля; густота линий про-порциональна величине напряженности (модулю вектора E).

Принцип суперпозиции. Напряженность поля E системы неподвиж-ных точечных зарядов равна сумме векторов напряженности поля Ei,создаваемых каждым зарядом в отдельности:

E =∑

Ei =∑ 1

4πε0

qi

r3i

ri,


где ri — вектор, проведенный от заряда qi в точку наблюдения (точкупространства, в которой определяется поле E); суммирование ведетсяпо всем зарядам системы.

Вектором dS элементарной площадки называется вектор, дли-на которого равна площади dS элементарного участка поверхности(элементарной площадки), а направление совпадает с направлениемединичной нормали n к площадке:

dS = dSn.

Поток dΦ вектора напряженности электрического поля E черезэлементарную площадку равен скалярному произведению векторов Eи вектора элементарной площадки dS:

dΦ = EdS = E dS cos α.

Поток Ф вектора напряженности электрического поля E черезконечную поверхность S:

Φ = limN→∞

N∑i=1

EidSi =∫

S

E dS,

где N — число элементарных участков (элементарных площадок), накоторые мысленно разделена поверхность S, Ei — напряженность поляв любой точке i-й площадки, dSi — вектор i-й площадки; интегралвычисляется по поверхности S.

Поток вектора напряженности E через замкнутую поверхность S:

Φ = limN→∞

N∑i=1

EidSi =∮

S

E dS,

интеграл вычисляется по замкнутой поверхности S.Теорема Гаусса в интегральной форме. Поток вектора напряжен-

ности электрического поля E через произвольную замкнутую поверх-ность S равен алгебраической сумме зарядов

∑qi, расположенных

внутри этой поверхности, деленной на ε0:∮

S

E dS =∑

qi

ε0

.

Дивергенция вектора E в некоторой точке поля:

div E = limΔV →0

∮S

E dS

ΔV,

где ΔV — ограниченный замкнутой поверхностью S объем, в пределеповерхность S стягивается в точку, в которой определяется диверген-ция.

II. Основные определения и формулы электромагнетизма 169

Представление дивергенции вектора E(x, y, z) в декартовых коор-динатах:

div E = (∇,E) =∂Ex

∂x+

∂Ey

∂y+

∂Ez

∂z.

Теорема Гаусса в дифференциальной форме:

div E =ρ

ε0

,

где ρ — объемная плотность заряда.Напряженность поля равномерно заряженной сферической поверх-

ности радиуса a на расстоянии r от ее центра:

E =q

4πε0r2

при r � a,

E = 0 при r < a.

Напряженность поля E бесконечно длинной тонкой равномернозаряженной нити на расстоянии r от ее оси:

E =λ

2πε0r.

Напряженность поля бесконечной равномерно заряженной плоскойповерхности:

E =σ

2ε0

,

где σ — поверхностная плотность заряда.Циркуляция вектора напряженности электрического поля E по за-

мкнутому контуру l: ∮

l

E dl;

данный интеграл равен работе, совершаемой силами электрическогополя при перемещении единичного положительного заряда по замкну-тому контуру l.

Теорема о циркуляции вектора E в интегральной форме. Цирку-ляция вектора напряженности электростатического поля E по произ-вольному замкнутому контуру l равна нулю:

∮

l

E dl = 0.

Ротор вектора напряженности электрического поля E определяетсяравенством:

(rotE)n = limΔS→0

∮l

E dl

ΔS.

где (rotE)n — проекция вектора rotE на направление нормали n кповерхности, ограниченной контуром l (натянутой на контур l), ΔS —площадь этой поверхности.


Представление ротора вектора E(x, y, z) в декартовых координатах:

rotE = [∇ E] =

∣∣∣∣∣∣∣∣

i j k

∂

∂x

∂

∂y

∂

∂zEx Ey Ez

∣∣∣∣∣∣∣∣.

Теорема о циркуляции вектора напряженности электростати-ческого поля E в дифференциальной форме:

rotE = 0.

Потенциал ϕ в точке P электростатического поля равен работесил поля, совершаемой при перемещении единичного положительногозаряда из точки P в точку O — положение, принятое за начало отсчетапотенциала:

ϕ =

O∫

P

E dl.

Потенциал ϕ представляет собой потенциальную энергию единич-ного положительного заряда.

Свойства потенциала:1. Потенциал ϕ в некоторой точке поля является функцией только

координат x, y, z этой точки:

ϕ = ϕ(x, y, z).

2. Работа Aед сил поля по перемещению единичного положитель-ного заряда из произвольного начального положения 1 в произвольноеконечное положение 2 равна убыли потенциала:

Aед =

2∫

1

E dl = ϕ1 − ϕ2.

Это свойство справедливо и для бесконечно малого перемещения dlзаряда:

Edl = −dϕ.

3. Потенциал ϕ определен с точностью до аддитивной постояннойC: при замене точки O, принятой за начало отсчета потенциала, надругую точку O′ потенциал ϕ во всех точках поля изменяется на однуи ту же величину C:

ϕ′ = ϕ + C,

где C =O′∫O

E dl — работа сил поля при перемещении единичного поло-

жительного заряда из точки O в точку O′.


Потенциал поля точечного заряда q на растоянии r от зарядаравен

ϕ =q

4πε0r.

Потенциал системы зарядов на большом удалении r от местарасположения зарядов:

ϕ =kq

r+

kper

r2,

где q =∑

qi — алгебраическая сумма всех зарядов, p =∑

qiRi —дипольный момент системы зарядов, k = 1/(4πε0).

Связь между напряженностью E и потенциалом ϕ(x, y, z) электро-статического поля:

E = −∂ϕ

∂xi − ∂ϕ

∂yj − ∂ϕ

∂zk = −∇ϕ = − grad ϕ.

Уравнение Пуассона:Δϕ = − ρ

ε0

,

где ϕ(x, y, z) — потенциал, ρ — объемная плотность заряда, Δ == (∇ ∇) = ∂2/∂x2 + ∂2/∂y2 + ∂2/∂z2 — оператор Лапласа.

Уравнение Лапласа:Δϕ = 0.

Граничные условия для вектора напряженности электрического по-ля E на заряженной поверхности раздела двух сред:

E1τ = E2τ ,

E2n − E1n =σ

ε0

,

где E1τ , E2τ — проекции на направление касательной к поверхностираздела сред, а E1n, E2n — проекции на направление общей нормалиn к поверхности раздела, проведенной из первой среды во вторую,векторов E1 и E2 напряженности поля в первой и второй средах, σ —поверхностная плотность электрического заряда.

Дипольный момент системы двух равных по величине, противо-положных по знаку зарядов, расположенных на расстоянии l друг отдруга (электрический диполь):

p = ql,

где q — модуль каждого из зарядов, l — вектор, проведенный ототрицательного заряда к положительному. Если расстояние l стремитсяк нулю, диполь называется точечным.

Потенциал поля точечного диполя:

ϕ = kpr

r3=

kp cos θ

r2,


где k = 1/(4πε0), p — дипольный момент, r — радиус-вектор, прове-денный от диполя в точку наблюдения, θ — угол между векторами pи r.

Напряженность поля точечного диполя:

Er =2kp cos θ

r3,

Eθ =kp sin θ

r3.

Сила, действующая на помещенный в электрическое поле с напря-женностью E точечный диполь:

F = p∂E

∂l,

где p — модуль дипольного момента, ∂E/∂l — производная напряжен-ности внешнего поля E по направлению дипольного момента.

Момент сил, действующий на помещенный в электрическое поле снапряженностью E точечный диполь:

M = [pE].

Энергия диполя в электрическом поле с напряженностью E:

W = −pE.

2. Свойства проводников в электростатическом поле. 1. Наповерхности помещенного в электростатическое поле проводника воз-никают макроскопические индукционные заряды вследствие простран-ственного разделения микроскопических положительных и отрицатель-ных зарядов проводника(электростатическая индукция).

2. Напряженность электрического поля внутри проводника равнанулю:

Eвнутр = 0.

Объемная плотность ρ макроскопических зарядов внутри проводни-ка равна нулю:

ρ = 0.

3. Потенциал ϕ электрического поля во всех точках проводника ина его поверхности одинаков:

ϕ = const.

4. Вектор напряженности E электрического поля снаружи провод-ника вблизи его поверхности перпендикулярен к этой поверхности:

E =σ

ε0

n.

Здесь σ — поверхностная плотность заряда, n — единичный векторнормали к поверхности.


5. Сила Fед, действующая на единицу площади поверхности про-водника:

Fед =σ2

2ε0

n,

где σ — поверхностная плотность заряда, n — единичный векторнормали к поверхности.

6. Теорема Фарадея. Напряженность электрического поля во всехточках полости, расположенной внутри проводника, равна нулю.

Если в полость, расположенную внутри проводника, помещен зарядq, на ее стенках возникает индукционный заряд qст; при этом во всемпространстве вне полости суммарная напряженность электрическогополя зарядов q и qст равна нулю; индукционный заряд на стенкахполости равен по величине и противоположен по знаку заряду q внутриполости: qст = −q.

3. Электрическая емкость. Электрическая емкость (емкость)уединенного проводника равна отношению заряда q проводника к егопотенциалу ϕ:

C =q

ϕ.

Емкость конденсатора равна отношению заряда конденсатора кразности потенциалов его обкладок:

C =q

ϕ1 − ϕ2

=q

U,

где q — заряд конденсатора, U = ϕ1 − ϕ2 — разность потенциаловобкладок или иначе напряжение на конденсаторе.

Размерность электроемкости — фарад (Ф).Емкость проводящего шара радиуса R:

C = 4πε0R.

Емкость плоского конденсатора с площадью обкладок S и рас-стоянием между пластинами d:

C =ε0S

d;

такой же конденсатор, заполненный диэлектриком с диэлектричскойпроницаемостью ε, обладает емкостью:

C =ε0εS

d.

Свойства последовательного соединения конденсаторов:1) заряды конденсаторов одинаковы и равны заряду эквивалентного

конденсатора q1 = q2 = qэкв;2) напряжение, поданное на батарею последовательно соединенных

конденсаторов, равно сумме напряжений на каждом конденсаторе, вчастности, для двух конденсаторов: U = U1 + U2;


3) емкость эквивалентного конденсатора для двух последовательносоединенных конденсаторов определяется из формулы

1

Cэкв=

1

C1+

1

C2

.

Свойства параллельного соединения конденсаторов:1) напряжения на параллельно соединенных конденсаторах одина-

ковы;2) заряд батареи параллельно соединенных конденсаторов равен

сумме зарядов каждого конденсатора, в частности, для двух конденса-торов q = q1 + q2;

3) емкость эквивалентного конденсатора Cэкв = C1 + C2.Энергия системы точечных зарядов:

W =1

2

∑i

qiϕi,

где ϕi — потенциал электрического поля всех зарядов, кроме заряда qi.Энергия проводника, имеющего заряд q, потенциал ϕ и емкость C:

W =q2

2C=

1

2qϕ =

Cϕ2

2.

Энергия заряженного конденсатора:

W =q2

2C=

1

2qU =

CU2

2.

Объемная плотность энергии w электрического поля в вакууме:

w =ε0E

2

2,

то же в среде с диэлектрической проницаемостью ε:

w =ε0εE

2

2.

4. Свойства диэлектриков в электростатическом поле. Поддействием электрического поля в диэлектрическом веществе проис-ходит пространственное разделение положительных и отрицательныхмикроскопических связанных зарядов, в результате на поверхности и,вообще говоря, внутри диэлектрика возникает макроскопический поля-ризационный заряд, изменяются дипольные характеристики вещества(поляризация диэлектриков).

Вектор поляризованности P:

P = limΔV →0

∑pi

ΔV,

где pi — дипольный момент i-й молекулы, находящейся в объеме ΔVдиэлектрика, суммирование ведется по всем молекулам объема ΔV .


В изотропном однородном диэлектрике связь между поляризован-ностью и напряженностью поля:

P = ε0κE,

где κ — диэлектрическая восприимчивость вещества.Теорема Гаусса для вектора поляризованности P в интегральной

форме. Поток вектора P через произвольную замкнутую поверхностьравен взятому с обратным знаком поляризационному связанному заря-ду, расположенному внутри этой поверхности:

∮

S

PdS = −qсв.

Теорема Гаусса для вектора поляризованности P в дифференци-альной форме:

div P = −ρсв.

Граничные условия для нормальной компоненты вектора P на по-верхности раздела двух сред 1 и 2:

P2n − P1n = −σсв,

где P2n, P1n — проекции на направление общей нормали n к поверх-ности раздела сред, проведенной из первой среды во вторую, векторовполяризованности P1 и P2 в первой и второй средах; σсв — поверх-ностная плотность связанного поляризационнго заряда на поверхностираздела сред.

Вектор электрической индукции D:

D = ε0E + P,

где E — напряженность электрического поля, P — вектор поляризо-ванности.

В однородном изотропном диэлектрике связь между векторамиэлектрической индукции D и напряженности электричесакого поля E:

D = ε0εE,

где ε = 1 + κ — диэлектрическая проницаемость вещества.Теорема Гаусса для вектора электрической индукции D в ин-

тегральной форме. Поток вектора D через произвольную замкнутуюповерхность равен стороннему заряду qст, расположенному внутри этойповерхности: ∮

S

DdS = qст.

Теорема Гаусса для вектора электрической индукции D в диф-ференциальной форме:

div D = ρст.


Граничные условия для нормальной компоненты вектора D:

D2n − D1n = σст,

где D1n, D2n — проекции на направление общей нормали n к поверх-ности раздела сред, проведенной из первой среды во вторую, векторовD1 и D2 электрической индукции в первой и второй средах, σст —поверхностная плотность стороннего заряда на поверхности разделадвух сред.

5. Постоянный электрический ток. Электрический ток — этоупорядоченное движение электрических зарядов (носителей тока).

Сила тока через некоторую поверхность S численно равна заряду,переносимому через эту поверхность в единицу времени:

I =dq

dt,

где dq — заряд, прошедший через поверхность S за промежуток вре-мени dt.

Сила тока измеряется в амперах (А).Плотность тока:

j = ρнu = qнnu,

где ρн — объемная плотность заряда носителей тока в проводнике; u —средняя скорость упорядоченного движения носителей тока, qн — зарядодного носителя, n — концентрация носителей.

Связь силы тока через произвольную поверхность S и плотноститока j:

I =∫

S

j dS.

Уравнение непрерывности в интегральной форме:∮

S

j dS = −dq

dt,

где q — величина расположенного внутри замкнутой поверхности Sзаряда.

Уравнение непрерывности в дифференциальной форме:

div j = −∂ρ

∂t,

где ρ — объемная плотность заряда.Уравнение непрерывности в стационарных условиях (постоянный

ток):∮

S

j dS = 0,

div j = 0.


Закон Ома для однородного участка цепи:

I =U

R,

где I — сила тока; U = ϕ1 − ϕ2 — напряжение или разность потенци-алов на концах участка, R — сопротивление участка. Сопротивлениеизмеряется в омах (Ом).

Сопротивление R однородного проводника цилиндрической формыдлиной l и площадью поперечного сечения S равно:

R = ρудl

S,

где ρуд — удельное сопротивление материала проводника (удельноесопротивление измеряется в омах на метр (Ом·м)).

Удельная электрическая проводимость материала проводника:

λ =1

ρуд.

Зависимость сопротивления R металлического проводника от тем-пературы:

R = R0(1 + αt),

где R0 — сопротивление при 0 ◦С, R — сопротивление при темпе-ратуре t, α — температурный коэффициент сопротивления, t —температура в градусах Цельсия.

Закон Ома в локальной форме:

j = λE.

Сторонние силы — силы не электростатической природы, которыеосуществляют пространственное разделение положительных и отрица-тельных зарядов — носителей тока, перемещая их в направлении, про-тивоположном направлению действия сил электростатического поля.

Неоднородный участок цепи — это участок, на котором действуютсторонние силы.

Напряженность поля сторонних сил Eст — сторонняя сила, дей-ствующая на единичный положительный заряд.

Если на некотором участке цепи 1–2 действуют сторонние силы,электродвижущая сила �12 равна работе сторонних сил, совершаемойпри перемещении единичного положительного заряда вдоль данногоучастка:

�12 =

2∫

1

Eстdl.

Электродвижущая сила, как напряжение и потенциал, измеряетсяв вольтах.

Закон Ома для неоднородного участка цепи в локальной форме:

j = λ(E + Eст),


где E — напряженность электрического поля, Eст — напряженностьполя сторонних сил.

Закон Ома для неоднородного участка цепи в интегральной фор-ме:

IR = ϕ1 − ϕ2 + �12,

где ϕ1, ϕ2 —потенциалы начала и конца рассматриваемого участкацепи, I — сила тока, R — сопротивление участка, �12 — действующаяна участке ЭДС.

Правила Кирхгофа. П е р в о е п р а в и л о . Алгебраическая сумматоков в узле электрической схемы (в точке соединения несколькихпроводников электрической цепи) равна нулю:

∑k

Ik = 0.

В т о р о е п р а в и л о . В замкнутом контуре в составе разветвлен-ной цепи алгебраическая сумма падений напряжений равна алгебраи-ческой сумме действующих в контуре ЭДС:

∑k

IkRk =∑k

�k,

здесь Ik — сила тока, Rk — сопротивление, �k — ЭДС, действующаяна k-м участке.

Закон Джоуля–Ленца в интегральной форме:

Q = I2Rt =U 2

Rt = IUt,

где Q — количество теплоты, выделяющееся за время t на однородномучастке цепи с сопротивлением R, силой тока I и напряжением наконцах участка u.

Закон Джоуля–Ленца в локальной форме:

Nуд = j2ρуд = jE,

где Nуд — тепловая мощность тока, отнесенная к единице объема про-водника; j — плотность тока, ρуд — удельное сопротивление материалапроводника; E — напряженность поля.

Текущий в проводнике ток называется квазистационарным, если вкаждый момент времени сила тока имеет одинаковое значение во всехсечениях проводника. Условие квазистационарности тока:

tуст ∼ l

c� τ ,

где tуст— время распространения вдоль проводника электромагнитноговозмущения, l — длина проводника, c — скорость распространенияэлектромагнитного возмущения (электромагнитной волны), τ — харак-терное время изменения силы квазистационарного тока, текущего попроводнику.


6. Магнитное поле в вакууме. Магнитный момент pм плоскогоконтура с током равен:

pм = Isn,

где I — сила тока в контуре, S — площадь контура, n — единичнаянормаль к плоскости контура, направление которой связано правиломправого винта с направлением тока в контуре.

Единица магнитного момента — ампер на метр квадратный (А·м2).Магнитной индукцией называется вектор B, удовлетворяющий

равенству:M = [pм B],

где M — момент сил, действующий на помещенный в магнитное полеэлементарный контур с током, магнитный момент которого равен pм.

Единица магнитной индукции — тесла (Тл). Магнитной индукци-ей в один тесла обладает однородное магнитное поле, в котором наплоский контур с током, магнитный момент которого равен 1 А·м2,действует максимальный вращающий момент 1 Н·м.

Силовой линией или линией магнитной индукции называется во-ображаемая линия в пространстве, касательная к которой в каждойточке совпадает по направлению с вектором магнитной индукции B.Густота линий пропорциональна модулю вектора B.

Закона Био–Савара. Элемент тока Idl порождает в точке простран-ства, положение которой задается вектором r, проведенным в точку отэлемента тока, магнитное поле с индукцией dB:

dB =μ0

4π

I [dl, r]

r3,

где μ0 — магнитная постоянная, μ0 ≈ 1, 257 · 10−6 Гн/м (генри наметр), dl — вектор элементарного участка тонкого проводника, покоторому течет ток силой I.

Магнитная индукция прямого тонкого бесконечно длинного провод-ника с током силой I на расстоянии R от него равна:

B =μ0I

2πR.

Закон Ампера. На элемент тока Idl со стороны внешнего магнит-ного поля с индукцией B действует сила dF:

dF = I[dl,B].

В проводящей среде на элемент тока jdV , где j — плотность тока,dV — элементарный объем, со стороны внешнего магнитного поля синдукцией B действует сила Ампера dF:

dF = [jB]dV.


Сила магнитного взаимодействия между двумя расположенными ввакууме на расстоянии r друг от друга тонкими прямыми бесконечнодлинными проводниками, по которым текут токи силой I1 и I2, равна:

Fед =μ0I1I22πr

,

здесь Fед — сила, отнесенная к единице длины провода.Индукция dB магнитного поля, порожденного движущимся со ско-

ростью V точечным зарядом q в точке пространства, положение кото-рой задается проведенным в эту точку от заряда q вектором r, равна:

dB =μ0

4π

q [Vr]

r3.

Сила Лорентца, действующая на движущийся со скоростью V вмагнитном поле с индукцией B точечный заряд q равна:

Fлор = q[V,B].

Теорема Гаусса для вектора магнитной индукции B в интеграль-ной форме. Поток вектора B через произвольную замкнутую поверх-ность S равен нулю: ∮

S

B dS = 0;

Теорема Гаусса для вектора магнитной индукции B в дифферен-циальной форме:

div B = 0.

Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции B в инте-гральной форме. Циркуляция вектора B по произвольному замкнутомуконтуру L равна умноженной на μ0 алгебраической сумме токов, охва-тываемых контуром L:

∮

l

B dl = μ0

( ∑k

Ik

),

Слагаемое Ik учитывается в сумме со знаком «плюс», если направле-ние тока Ik связано правилом правого винта с направлением обходаконтура L при вычислении циркуляции

∮L

B dl.

Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции B в диффе-ренциальной форме:

rotB = μ0j,

где j — плотность тока.


Индукция B однородного магнитного поля бесконечно длинногосоленоида, в обмотке которого течет ток силой I:

B = μ0nI,

где n — число витков провода на единицу длины соленоида.Сила, действующая на произвольный замкнутый контур с током в

однородном магнитном поле, равна нулю.Сила F, действующая на элементарный контур с током, магнитный

момент которого pм, равна

F = pм∂B

∂n,

где pм — модуль магнитного момента, ∂B/∂n — производная по направ-лению магнитного момента pм магнитной индукции B поля в точке,где расположен контур.

Момент сил M, действующий на расположенный в магнитном полес индукцией B контур с током, магнитный момент которого pм:

M = [pм B].

Работа сил Ампера при перемещении в пространстве контура с то-ком силой I из произвольного начального положения 1 в произвольноеконечное положение 2 равна

A = I(Φ2 − Φ1),

где Φ1 и Φ2 — поток вектора B через ограниченную контуром поверх-ность в начальном и конечном положении контура.

7. Магнитное поле в веществе. Явление намагничивания — этоспособность тела (вещества) намагничиваться, то есть приобретатьмагнитный момент под действием внешнего магнитного поля. Магне-тиками называются вещества, способные намагничиваться.

Вектор намагниченности J равен

J = limΔV →0

∑i

pмi

ΔV.

Здесь pмi — магнитный момент i-й молекулы, находящейся в объ-еме ΔV , суммирование ведется по всем молекулам объема ΔV . На-магниченность J численно равна магнитному моменту единицы объемавещества.

Единица намагниченности — ампер, деленный на метр (А/м).Молекулярными токами называются локализованные внутри моле-

кулы вещества микроскопические круговые токи, обусловленные дви-жением заряженных частиц — электронов.

Токи намагничивания — это макроскопические токи, текущие поповерхности и в объеме намагниченного тела (вещества), эквивалент-ные всей совокупности молекулярных токов в том смысле, что воз-


буждаемое токами намагничивания макроскопическое магнитное полетакое же, как магнитное поле молекулярных токов вместе взятых. Токинамагничивания отличаются от токов проводимости тем, что они несвязаны с перемещением свободных зарядов по всему объему тела.

Теорема о циркуляции вектора намагниченности J в интеграль-ной форме. Циркуляция вектора J по произвольному замкнутому кон-туру L равна току намагничивания Iм, охватываемому этим контуром,или, иначе говоря, пересекающему ограниченную контуром L поверх-ность: ∮

l

J dl = Iм;

Теорема о циркуляции вектора намагниченности J в дифферен-циальной форме:

rotJ = jм,

где jм — объемная плотность тока намагничивания.Вектор напряженности магнитного поля H равен

H =B

μ0

− J,

где B — магнитная индукция, J — намагниченность вещества, μ0 —магнитная постоянная.

Единица напряженности магнитного поля — ампер, деленный наметр (А/м).

Связь между J и H в однородном изотропном магнетике:

J = χH,

где χ — магнитная восприимчивость вещества (безразмерная вели-чина). Для пармагнетиков χ > 0, для диамагнетиков χ < 0, в обоихслучаях |χ| ∼ 10−5.

У ферромагнетиков намагниченность J отлична от нуля в от-сутствие внешнего магнитного поля (J �= 0 при H = 0). Во внешнеммагнитном поле намагниченность J не является однозначной функциейнапряженности H, а зависит от предшествующего состояния образца.Петля гистерезиса — это график зависимости J(H). Эффективнаямагнитная восприимчивость χф ∼ 103–104.

Точка Кюри — это температурная точка, в которой вещество теряетферромагнитные свойства, становясь парамагнетиком.

Магнитная проницаемость μ вещества:

μ = 1 + χ.

Связь между B и H для однородных изотропных пара- и диамагне-тиков:

B = μ0μH.

Теорема о циркуляции вектора H в интегральной форме. Цирку-ляция вектора напряженности магнитного поля H по произвольному


замкнутому контуру L равна алгебраической сумме токов проводимо-сти, охватываемых этим контуром или, иначе говоря, пересекающихограниченную контуром поверхность:

∮

l

H dl = Iпр,

где Iпр =∑k

Ik — алгебраическая сумма токов проводимости, при вы-

числении которой сила тока Ik учитывается со знаком «плюс», еслинаправление тока и направление обхода контура L при вычислениицркуляции

∮L

H dl связаны правилом правого винта.

Дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора напря-женности магнитного поля H:

rotH = jпр,

где jпр — плотность тока проводимости.Напряженность H и индукция магнитного поля B в бесконечно

длинном соленоиде, заполненном магнетиком с магнитной проницае-мостью μ, равны:

H = nI,

B = μ0μnI,

где I — сила тока в обмотке соленоида, n — число витков провода наединицу длины соленоида.

Граничные условия для нормальной компоненты вектора B на по-верхности раздела магнетиков:

B2n = B1n,

где B1n, B2n — проекции векторов магнитной индукции B1 и B2 в пер-вой и второй средах на направление общей нормали n к поверхностираздела магнетиков.

Граничные условия для тангенциальной компоненты вектора H наповерхности раздела магнетиков:

H2τ − H1τ = iпр,

где H1τ , H2τ — проекции векторов напряженности магнитного поляH1 и H2 в первой и второй средах на направление касательной кповерхности раздела магнетиков, iпр — плотность поверхностного токапроводимости. Если токи проводимости на поверхности раздела средотсутствуют (iпр = 0), то граничные условия имеют вид

H2τ − H1τ = 0.


8. Электромагнитная индукция. Магнитный поток через по-верхность S равен:

Ф =∫

S

B dS.

Единица магнитного потока Ф — вебер (Вб).Закон электромагнитной индукции Фарадея. При изменении маг-

нитного потока Ф через поверхность, ограниченную замкнутым прово-дящим контуром, в контуре возникает электрический ток, называемыйиндукционным. Величина ЭДС индукции равна:

�и = −dФ

dt.

В постоянном магнитном поле ЭДС индукции в движущемся конту-ре возникает за счет действия силы Лорентца на движущиеся вместес проводником носители тока.

Если контур неподвижен, а магнитное поле с течением времениизменяется, ЭДС индукции возникает за счет действия вихревого элек-трического поля на носители тока.

Теорема о циркуляции вектора напряженности электрическогополя E при наличии переменного магнитного поля (уравнение Макс-велла): ∮

l

E dl = −∫

S

∂B

∂tdS.

Дифференциальная форма этой теоремы:

rotE = −∂B

∂t.

Индуктивность L контура — это коэффициент пропорционально-сти между магнитным потоком Ф и силой тока I в контуре:

Φ = LI.

Единица индуктивности — генри (Гн): 1 Гн = 1Вб/А.Индуктивность бесконечно длинного соленоида:

L = μ0μn2V ,

где μ — магнитная проницаемость магнетика, заполняющего соленоид,n — число витков соленоида на единицу его длины, V — объемсоленоида.

Явление самоиндукции — возникновение ЭДС индукции и индук-ционного тока в замкнутом проводящем контуре за счет изменениясилы тока в этом контуре. ЭДС самоиндукции �с.и равна:

� с.и = −LdI

dt,

где L — индуктивность контура, I — сила тока.


Магнитная энергия катушки индуктивности L, в которой течетток силой I:

W =LI2

2=

IФ

2=

Ф2

2I,

где Ф — магнитный поток через катушку.Объемная плотность энергии магнитного поля с индукцией B и

напряженностью H:

w =BH

2.

9. Уравнения Максвелла. Плотность тока смещения jсм:

jсм =∂D (x, y, z, t)

∂t,

где D(x, y, z, t) — вектор электрической индукции.Теорема о циркуляции вектора напряженности магнитного по-

ля H переменных токов. Циркуляция вектора H по произвольномузамкнутому контуру L равна силе полного тока (сумма тока прово-димости и тока смещения), пересекающего ограниченную контуромповерхность S: ∮

l

H dl =∫

S

(jпр +

∂D

∂t

)dS,

где jпр — плотность тока проводимости.Дифференциальная форма этой теоремы:

rotH = jпр +∂D

∂t.

Уравнения Максвелла в интегральной форме:1. Поток вектора электрической индукции D через произвольную

замкнутую поверхность S равен суммарному стороннему заряду qст,расположенному внутри поверхности:

∮

S

D dS = qст.

2. Поток вектора магнитной индукции B через произвольную за-мкнутую поверхность S равен нулю:

∮

S

B dS = 0.

3. Циркуляция вектора напряженности электрического поля E попроизвольному замкнутому контуру L равна взятому со знаком «ми-нус» интегралу от производной по времени вектора магнитной индук-ции B по ограниченной контуром L поверхности S:

∮

l

E dl = −∫

S

∂B

∂tdS.


4. Циркуляция вектора напряженности магнитного поля H по про-извольному замкнутому контуру L равна силе полного тока (сумматока проводимости и тока смещения), пересекающего ограниченнуюконтуром L поверхность S:

∮

l

H dl =∫

S

(jпр +

∂D

∂t

)dS.

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме:

div D = ρст,

где ρст — объемная плотность сторонних зарядов,

div B = 0,

rotE = −∂B

∂t,

rotH = jпр +∂D

∂t,

где jпр — плотность тока проводимости.Материальные уравнения однородной изотропной среды с диэлек-

трической проницаемостью ε и магнитной проницаемостью μ:

D = ε0εE,

B = μ0μH,

jпр = λE,

здесь λ — удельная электрическая проводимость среды.

III. Производные единицы электрических и

магнитных величин

Производные единицы СИ электрических и магнитных величинобразованы в соответствии с так называемой рационализованной фор-мой уравнений, выражающих закон Кулона и закон Био–Савара (см.формулы (1.1) и (23.3) настоящей книги). Важнейшие производныеединицы СИ электрических и магнитных величин приведены в табл. 2.


Производные единицы СИ электрических и магнитных величин

Наименованиефизической величины

Размерность

Наименованиеединицы

физическойвеличины

Обо-значе-ние

Примечание

Плотностьэлектрического тока

L−2Iампер на квад-ратный метр

А/м2 −

Электрический заряд TI кулон Кл 1 Кл=1 А·сОбъемная плотностьэлектрическогозаряда

L−3TIкулон на куби-ческий метр

Кл/м3 −

Поляризованность,электрическаяиндукция

L−2TIкулон наквадратный метр

Кл/м2 −

Электрическийдипольный момент

LTI кулон–метр Кл·м −

Электрическийпотенциал,напряжение, ЭДС

L2MT−3I−1 вольт В 1В=1Дж/Кл

Напряженностьэлектрического поля

LMT−3I−1 вольт на метр В/м −

Электрическаяемкость

L−2M−1T4I2 фарад Ф 1 Ф=1 Кл/В

Электрическаяпостоянная

L−3M−1T4I2 фарад на метр Ф/м −

Электрическоесопротивление

L2MT−3I−2 ом Ом 1 Ом=1 В/А

Удельное электричес-кое сопротивление

L3MT−3I−2 ом–метр Ом·м −

Удельная электри-ческая проводимость

L−3M−1T3I2 сименс на метр См/м −

Магнитный поток L2MT−2I−1 вебер Вб 1Вб=1Тл·м2=1В·сМагнитная индукция MT−2I−1 тесла Тл 1 Тл=1Н/(А·м)


П р о д о л ж е н и е т а б л и ц ы 2

Наименованиефизическойвеличины

РазмерностьНаименованиеединицы физи-

ческой величины


Примечание

Напряженностьмагнитного поля

L−1I ампер на метр А/м −

Индуктивность,взаимнаяиндуктивность

L2MT−2I−2 генри Гн 1 Гн=1 Вб/А

Магнитнаяпостоянная

LMT−2I−2 генри на метр Гн/м −

Магнитный моменттока

L2Iампер–квадратныйметр

А·м2 −

Намагниченность L−1I ампер на метр А/м −

В системе СГСЭ коэффициент пропорциональности k в законеКулона (см. (1.1)) полагается безразмерным и равным 1. В системеСГСМ коэффициент пропорциональности k в законе Био–Савара (23.3)полагается безразмерным и равным 1. Величина c, которая называетсяэлектродинамической постоянной, численно равна электрическомузаряду в единицах системы СГСЭ, эквивалентному одной единицеэлектрического заряда в системе СГСМ. Электродинамическая посто-янная равна скорости света в вакууме: c ≈ 3 · 1010 см/с.

В физике часто употребляется гауссова система единиц, в кото-рой единицы всех электрических величин такие же, как в системеСГСЭ, а единицы всех магнитных величин такие же, как в системеСГСМ. В гауссовой системе, как и в системе СГСЭ, коэффициентпропорциональности k в законе кулона (1.1) полагается безразмерными равным 1. В то же время коэффициент пропорциональности k взаконе Био–Савара (23.3) полагается равным k=1/c, где c — электро-динамическая постоянная.

Производные единицы гауссовой системы СГС для электрических имагнитных величин приведены в табл. 3


Производные единицы СГС электрических и магнитных величин






Значение вединицах СИ

Сила электрическоготока

L3/2M1/2T−2 − − 10/c А

Плотностьэлектрического тока

L−1/2M1/2T−2 − − 105/c А

Электрический заряд L3/2M1/2T−1 − − 10/c Кл

Объемная плотностьэлектрического заряда

L−3/2M1/2T−1 − − 107/c Кл/м3

III. Производные единицы электрических и магнитных величин 189

П р о д о л ж е н и е т а б л и ц ы 3






Значение вединицах СИ

Поляризованность L−1/2M1/2T−1 − − 105/c Кл/м2

Электрическийдипольный момент

L5/2M1/2T−1 − − 1/(10c) Кл·м

Электрическоесмещение

L−1/2M1/2T−1 − − 105/(4π�) Кл/м2

Электрическийпотенциал,напряжение, ЭДС

L1/2M1/2T−1 − − 10−8� В

Напряженностьэлектрического поля

L−1/2M1/2T−1 − − 10−6� В/м

Электрическаяемкость

L сантиметр см 109/c2 Ф

Электрическоесопротивление

L−1T − − 10−9c2 Ом

Удельноеэлектрическоесопротивление

T − − 10−11c2 Ом·м

Магнитный поток L3/2M1/2T−1 максвелл Мкс 10−8 Вб

Магнитная индукция L−1/2M1/2T−1 гаусс Гс 10−4 Тл

Напряженностьмагнитного поля

L−1/2M1/2T−1 эрстед Э 103/(4π) А/м

Индуктивность,взаимнаяиндуктивность

L сантиметр см 10−9 Гн

Магнитный моменттока

L5/2M1/2T−1 − − 10−3 A·м2

Намагниченность L−1/2M1/2T−1 − − 103 А/м

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Ампер 81

Вебер 136Вектор элементарной площадки 15Взаимная индуктивность 146Вихревое электрическое поле 139Вольт 33Восприимчивость диэлектрическая

69— магнитная 126

Генри 141Гистерезис 126Градиент потенциала электрическо-

го поля 37Граничные условия для вектора P

73— — — — электрической индук-

ции D 78— — — — B 132— — — — E 40, 41— — — — H 133

Диамагнетики 126Дивергенция вектора магнитной ин-

дукции 112— — напряженности электрического

поля 22— — поляризованности 72— — электрической индукции 75— плотности тока 85Дипольный момент 35, 41Диполь электрический 41— — точечный 42Диэлектрики 49, 65Диэлектрическая восприимчивость

69— проницаемость 74

Емкость конденсатора 57— — плоского 57— — сферического 58

Емкость конденсатора цилиндриче-ского 58

— — эквивалентного 60— проводника 55— проводящего шара 56

Закон Джоуля–Ленца 94— — в локальной форме 96— Кулона 10— Ома 86— — для неоднородного участка це-

пи 90— — в локальной форме 88— сохранения электрического заря-

да 9— электромагнитной индукции Фа-

радея 136Заряд электрический 9— точечный 10— пробный 11Заряды индукционные 49— поляризационные 66— связанные 66— сторонние 66

Индуктивность взаимная 146— контура 141— соленоида 142— магнитная 104— электрическая 74— электромагнитная 136— электростатическая 49

Квазистационарный электрическийток 95

Конденсатор 56— плоский 57— сферический 57— цилиндрический 57Коэрцетивная сила 127Кулон 10

Предметный указатель 191

Линия магнитной индукции 105— тока 84

Магнетики 121Магнитная индукция 104— восприимчивость 126— постоянная 103— проницаемость 128— энергия контура с током 145— — контуров с током, взаимная

148Магнитный момент 104— поток 137Магнитное поле 103— — витка с током 105— — движущегося заряда 110— — прямого провода с током 105,

107— — соленоида 105, 114, 115, 131Макрополе электрическое 48Материальные уравнения 155Микрополе 48Молекулярные токи 121Мощность тока 93— — тепловая 94, 95

Напряжение электрическое 33Напряженность поля магнитного

125— — сторонних сил 89— — электрического 11— — — заряженной бесконечной ни-

ти 28— — — — — плоской поверхности 29— — — — сферической поверхности

26Намагниченность, вектор 121— остаточная 127Намагничивание вещества 121— , насыщение 126— , токи 122Неоднородный участок цепи 89Неполярные молекулы 65Носители тока 80

Обкладки конденсатора 56Оператор Лапласа 39— набла 39Ом 86

Парамагнетики 120, 126Петля гистерезиса 126Плотность заряда 23— — внутри проводника 50, 98— — поляризационного связанного

72— тока 82— энергии магнитного поля 146— — электрического поля 63Поле консервативное 30— магнитное 103— потенциальное 32— соленоидальное 114— электрическое 10— электромагнитное 155— электростатическое 10Полярные молекулы 65Поляризация диэлектриков 66Поляризованность, вектор 68Постоянная времени цепи 97— электрическая 10Потенциал поля системы точечных

зарядов 35— — точечного диполя 42— — — заряда 34— — электростатического 32Поток вектора магнитной индукции

112— — напряженности электрического

поля 16— магнитный 136Правило Кирхгофа, первое 91— — , второе 91— Ленца 137Принцип суперпозиции 12Проводимость, ток 80Проводники 49Проводящий контур 104Проницаемость диэлектрическая 74— магнитная 128

Работа амперовых сил 118, 119— тока 93Ротор вектора магнитной индукции

114— — напряженности магнитного по-

ля 129— — — электрического поля 31, 32

192 Предметный указатель

Самоиндукция 142Сегнетоэлектрики 66Сила Ампера 107, 108— Лорентца 111— тока 80— электродвижущая 89— — индукции 136— — самоиндукции 143Силовая линия магнитного поля 105— — электрического поля 12Силы сторонние 88Система единиц физических вели-

чин 158Соленоид 114Соленоидальное поле 114Сопротивление проводника 86— слабо проводящей однородной

среды 102— электрическое 86— , температурный коэффициент 87Стерадиан 17Сторонние силы 88

Температура Кюри 127Теорема Гаусса для вектора B 112— — — — D 74, 75— — — — E 19, 23— — — — P 71, 72— взаимности 147— о циркуляции вектора B 112, 113— — — — E 30, 31, 140— — — — H 128, 129— — — — H магнитного поля пере-

менных токов 151, 153— — — — J 123, 124— Фарадея 52Тепловая мощность тока 94— — — удельная 96Тесла 104Токи молекулярные 121— намагничивания 122Ток квазистационарный 95— конвекционный 80— полный 150— постоянный 85— проводимости 80

Ток смещения 150Точка Кюри 127

Угол телесный 17Уравнение Лапласа 38— Максвелла 140— непрерывности 84, 85— Пуассона 38Уравнения Максвелла 140, 153— материальные 155

Фарад 55Фарадея теорема 52Ферромагнетики 126

Циркуляция вектора E 30, 140— — B 112, 114— — H 128, 129, 151, 153

ЭДС 89— индукции 136— самоиндукции 143Эквипотенциальная поверхность 37Электрическая емкость 55— постоянная 10— проводимость удельная 87Электрический ток 80— — конвекционный 80— — проводимости 80Электрическое поле 10— — заряженной бесконечной нити

28— — — — плоской поверхности 29— — — сферической поверхности 26— смещение 73Электромагнитная индукция 136Электромагнитное поле 155Электромагнитные волны 155Элементарный проводящий контур

104Элемент тока 107Энергия заряженного проводника 62— — конденсатора 63— магнитного поля 146— системы точечных зарядов 61— электрического поля 63

Леденев А.Н.-Физика. Кн. 3. Электромагнетизм-ФМЛ (2005)

Documents