1

Лекция 3. Показатели формы распределения случайной величины

Для получения приблизительного представления о форме распределения

строят графики распределения (полигон и гистограмму). В практике

статистических исследований приходится встречаться с самыми различными

распределениями.

Симметричным является распределение, в котором частоты любых двух

вариантов, равноотстоящих в обе стороны от центра распределения, равны между

собой. Для симметричных распределений имеет место равенство средней

арифметической, моды и медианы.

Степень асимметрии кривой плотности распределения можно оценить с

помощью показателя (коэффициента) асимметрии.

Величина коэффициента асимметрии As может быть положительной и

отрицательной. Положительная величина коэффициента асимметрии указывает

на наличие правосторонней асимметрии (правая ветвь относительно

максимальной ординаты вытянута больше, чем левая, рис. 1). При

правосторонней асимметрии между показателями центра распределения

существует соотношение: Мо< Me < X .

Рис. 1. Распределение с правосторонней асимметрией

Отрицательный знак коэффициента асимметрии свидетельствует о

наличии левосторонней асимметрии (рис. 2). Между показателями центра

распределения в этом случае имеется такое соотношение: Мо > Me > X .

Рис. 2. Распределение с левосторонней асимметрией

Коэффициент асимметрии можно рассчитать на основе центрального

момента третьего порядка по формуле:

2

3

3

As ,

где

K

k

k

K

k

kk

f

fXx

1

1

3

3 – центральный момент третьего порядка.

В симметричном распределении величина As равна нулю. Если As>0, то

асимметрия правосторонняя, если As<0 – левосторонняя.

Для симметричного распределения ̅ и Ка=0.

Если Ка>0, т. е. ̅ , то имеет место правосторонняя асимметрия.

Если Ка<0, т. е. ̅ , то имеет место левосторонняя асимметрия.

По величине Ка можно судить о степени асимметрии кривой плотности

распределения.

Если |Ка |<0,25, то асимметрия считается незначительной;

если 0,25 <|Ка |<0,5, то асимметрия считается умеренной;

если |Ка |>0,5, асимметрия значительна.

Для симметричных распределений рассчитывается показатель эксцесса

(островершинности) Ex. Чаще всего показатель эксцесса рассчитывается на

основе центрального момента четвертого порядка:

34

4

Ex ,

где

K

k

k

K

k

kk

f

fXx

1

1

4

4 – центральный момент четвертого порядка.

3

На рис. 3 представлены два распределения: одно – островершинное

(величина эксцесса положительная), второе – плосковершинное (величина

эксцесса отрицательная).

В нормальном распределении отношение 34

4

и 0Ex .

Рис. 3

4

5

Можно говорить о том, что распределение низковершинное, так как

получилось отрицательное значение эксцесса.

Построение кривой нормального распределения по эмпирическим

данным

6

Для проверки близости теоретического и эмпирического распределений

используются специальные показатели, называемые критериями согласия.

Наиболее распространенным является критерий согласия К. Пирсона 2 («хи-

квадрат»), вычисляемый по формуле:

,

2

2

f

ff

где f - эмпирические частоты (частости) в интервале;

f ' - теоретические частоты (частости) в интервале.

Полученное значение критерия (2

расч) сравнивается с табличным значением

(2

табл). Последнее определяется по специальной таблице в зависимости от

принятой вероятности (Р) и числа степеней свободы k (для нормального

распределения k равно числу групп в ряду распределения минус 3).

Если 2

расч <=2

табл, то гипотеза о близости эмпирического распределения к

нормальному не отвергается.

При расчете критерия Пирсона необходимо соблюдать условия: число

наблюдений должно быть достаточно велико (n > 50); если теоретические частоты

в некоторых интервалах меньше 5, то интервалы объединяют так, чтобы частоты

были больше 5.

7

Рассчитаем по известным формулам средний рост призывников и среднее

квадратическое отклонение, получим ̅ =6,05 см

Определим нормированное отклонение t =(x - ̅) / (графа 4 таблицы).

По таблице распределения функции (t) определим её значения (графа 5

таблицы). Таблица значений функции (t) приводится в конце текста лекции

(Приложение 4).

Полученные значения округляем до целых.

Определим критерий Пирсона. Расчёты показаны в таблице ниже.

8

9

10

11

12

13

14

15