ГЛАВА 3. ПЕРВЫЙ МЕТОД ЛЯПУНОВАГЛАВА 3. ПЕРВЫЙ МЕТОД...

ГЛАВА 3. ПЕРВЫЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА

Под первым методом Ляпунова понимают совокупность приемов и средств исследования устойчивости решений систем дифференциальных урав-нений, основанных непосредственно на анализе общих или частных решений этих систем, а также использующих определенные характеристики указанных решений.

§ 1. Характеристический показатель функции

10. Определение характеристического показателя функции. Рассмот-рим комплекснозначную функцию

f(t) = f1(t) + i⋅f2(t) t ≥ 0,

где f1 и f2 – некоторые вещественные функции. Имеет место представление

tα(t)ef(t) ⋅= , где

.)t(flnt1)t(α =

Из данного представления видно, что, исследуя величину α(t), можно изучать скорость роста функции |f (t)| по сравнению со скоростью роста экспоненты. О п р е д е л е н и е 1. Число (или один из символов –∞ , +∞ ), определяе-мое равенством

[ ] |)f(t|lnt1limfχ

___

t⋅=

+∞→,

называют показателем Ляпунова (характеристическим показателем). З а м е ч а н и е 1. Для обеспечения корректности в приведенном опреде-лении предполагается, что существует последовательность tk → +∞ при k → +∞, такая, что |f(tk)| ≠ 0 для всех натуральных k, начиная с некоторого номера. З а м е ч а н и е 2. Отметим следующий факт, вытекающий из определе-ния верхнего предела: для любой последовательности , такой что

, выполнено неравенство }t{ k

+∞→kt

[ ] |)f(t|lnt1limfχ|)f(t|ln

t1lim

___

tkk

___

k⋅=≤⋅

+∞→+∞→.

ГЛАВА 3. ПЕРВЫЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА_______________________________________________________116

Примеры. 1) Пусть , αte)f(t = R∈α . Тогда и в случае выполнено α]χ[eαt = 0α >

+∞→)f(t , а при верно 0α < 0)f(t → ( +∞→t ).

2) 0tlnt1lim]χ[t m

___

t

m =⋅=+∞→

, R∈m .

3) 1|sintt|t1lim]χ[e

___

t

sintt =⋅⋅=+∞→

⋅ .

4) +∞=⋅=+∞→

22 t___

t

t elnt1lim]χ[e .

20. Свойства характеристических показателей.

1) . ]|f(t)χ[|]χ[f(t) =

2) . ]χ[f(t)]f(t)χ[c =⋅ 0c ≠∀

3) Tt|)F(t||f(t)| >∀≤ ⇒ ]χ[F(t)]χ[f(t) ≤ . □ Это свойство вытекает из определения характеристического показателя и свойства монотонности верхнего предела:

Tt)t(ψ)t( >∀≤ϕ ■ ⇒ )t(ψlim)t(lim___

t

___

t +∞→+∞→≤ϕ

4) Пусть . Тогда для любого выполнено ±∞≠= α]χ[f(t) 0ε >

i) 0e

|)f(t|lim tε)α(t=⋅++∞→

; (1)

ii) +∞=⋅−+∞→ tε)(α

___

t e|f(t)|lim ; это означает существование такой последова-

тельности , }t{ k +∞→kt , что

+∞=⋅−+∞→ ktε)α(k

k e|)f(t|lim . (2)

Обратно, если найдется такое R∈α , что для всякого верно (1), то 0ε >

α]χ[f ≤ ; если найдется такое R∈α , что для всякого верно (2), то 0ε >

α]χ[f ≥ ; если найдется такое R∈α , что для всякого выполнено (1) – (2), то

0ε >α]χ[f = .

□ Необходимость. Выберем произвольное и пусть 0ε >


[ ] R∈=⋅=+∞→

α|)f(t|lnt1limfχ

___

t.

По определению верхнего предела найдется такое T, что

2εα|f(t)|ln

t1

+<⋅ Tt >∀

и

α|)f(t|lnt1lim kkt

=⋅+∞→

для некоторой последовательности +∞→kt при +∞→k . Следовательно, при некотором натуральном N справедливо

t2ε

tε)(αt)2ε(α eee|f(t)|

⋅−⋅+⋅+ ⋅=< Tt >∀ ,

kkk

t2ε

tε)(αt)2ε(α

k eee|)f(t|⋅⋅−⋅− ⋅=> Nk >∀ ,

где

0et

2ε

→⋅−

( +∞→t ) и +∞→⋅ kt

2ε

e ( ). +∞→k

Отсюда вытекают равенства (1) – (2). Достаточность. Из (1) следует

εα]χ[e]χ[f tε)(α +=≤ ⋅+ 0ε >∀ ,

а значит α]χ[f ≤ . С другой стороны, из (2) имеем

εα|)f(t|lnt1lim]χ[f kk

___

k−≥⋅≥

+∞→ 0ε >∀ ,

и поэтому α]χ[f ≥ . Полученные неравенства влекут равенство α]χ[f = ■ Пусть для определенности 0α]χ[f >= (случай разбирается аналогично). Величина характеристического показателя дает возмож-ность сравнить скорости роста данной функции (точнее говоря, ее моду-ля) и экспоненты. А именно, в соответствии с доказанным свойством функция модуля для любого растет медленнее, чем экс-понента , но по некоторой последовательности

0α <

|f(t)|y = 0ε >tε)(α

1 ey ⋅+= +∞→kt бы-стрее, чем экспонента (см. рис. 3.1). tε)(α

2 ey ⋅−=


y1=e(α+ε)⋅t

1t

y

y2=e(α–ε)⋅t

y=|f(t)|

Рис. 3.1. Характеризация скорости роста функции y = |f(t)|.

0

5) Пусть . Характеристический показатель суммы конечного числа функций не превышает наибольшего из ха-рактеристических показателей этих функций и совпадает с ним, если наибольшим характеристическим показателем обладает лишь одно этих из слагаемых:

m,...,2,1k,]χ[fk =∈R)t(f(t),...,f m1

]. (3) χ[fmax]fχ[ kk

m

1kk ≤∑

=

□ Пусть ±∞≠= ]χ[fmax:α kk. Согласно предыдущему свойству (часть

«необходимость») для любого имеем 0ε >

m,,...2,1k,0e

|)(tf|lim tε)α(k

t==⋅++∞→

.

Отсюда

)1(oe

|(t)f|e

|)t(f|0

m

1ktε)(α

ktε)(α

m

1kk

=≤≤ ∑∑

=⋅+⋅+

= ( +∞→t ).

Согласно предыдущему свойству (часть «достаточность»), верно


]χ[fmaxα]fχ[ kk

m

1kk =≤∑

=

. (*)

Тем самым, неравенство (3) установлено. Теперь пусть α]χ[f]χ[fmax pkk

== , причем αα]χ[f kk <= для всех pk ≠ .

В соответствии с частью «необходимость» предыдущего свойства для любо-го существует последовательность 0ε > +∞→qq t:}{t при +∞→q , при-чем

+∞=⋅−+∞→ qtε)α(qp

q e

|)(tf|lim .

Если 2ααminε0 k

pk

−<<

≠, то при −∞≠kα справедливо неравенство

( )4444 34444 2143421

0

t2εααpk

tε)(αqk

tε)(αqp

tε)(α

m

1kqk

qkqkqq e1

e

|)t(f|

e

|)(tf|

e

|)t(f|

→

⋅−−≠

⋅+

+∞→

⋅−⋅−= ⋅−≥ ∑∑

,

где . Поэтому +∞→q

+∞=⋅−=

+∞→

∑qtε)(α

m

1kqk

q e

|)t(f|lim ,

а значит, в соответствии с частью «достаточность» предыдущего свойства, получаем неравенство

α]fχ[m

1kk ≥∑

=

.

Это вместе с неравенством (*) ведёт к требуемому равенству

]χ[fmaxα]fχ[ kk

m

1kk ==∑

=

■

6) Пусть m,...,2,1k,]χ[fk =∈R . Характеристический показатель произве-дения конечного числа функций не превышает суммы харак-теристических показателей этих функций, т.е.

)t(f(t),...,f m1


∑∏==

≤m

1kk

m

1kk ]χ[f]fχ[ .

□ Используя свойство верхнего предела, легко получаем требуемое

∑∑

∑∏∏

== +∞→

=+∞→=+∞→=

=⋅≤

≤⋅=⋅=

m

1kk

m

1kk

___

t

m

1kk

___

t

m

1kk

___

t

m

1kk

)]t(χ[f|)(tf|lnt1lim

|)(tf|lnt1lim|)(tf|ln

t1lim])t(fχ[

■

Следствие 1. Характеристический показатель конечной линейной ком-бинации функций с ограниченными коэффициентами

не превышает наибольшего из характеристических показате-лей данных функций:

)t(f(t),...,f m1

(t)c(t),...,c m1

)]t(χ[fmax)]t(f(t)cχ[ kk

m

1kkk ≤⋅∑

=

.

□ В самом деле, с учётом 0(t)]χ[ck ≤ имеем

)]t(χ[fmax)]}t(χ[f(t)]χ[cmax{)]t(f(t)χ[cmax)]t(f(t)cχ[ kkkkk

kkk

m

1kkk ≤+≤⋅≤⋅∑

=

■

Если ck(t) ≡ ck, то получаем следующий результат.

Следствие 2. Пусть в линейной комбинации )t(fcm

1kkk∑

=

⋅ с отличными от

нуля постоянными коэффициентами есть единственная функция с наиболь-шим характеристическим показателем. Тогда

)]t(χ[fmax)]t(fcχ[ kk

m

1kkk =⋅∑

=

.

Упражнения

1) Вычислить характеристические показатели следующих функций:

(i) 2tety ⋅=

(ii) t0.1100

ety ⋅=

(iii) tsin)e1(yte ⋅+=

−


(iv) t

)21ln(yt+

= .

2) Существуют ли ограниченные на промежутке ),0[ +∞ функции, имеющие бесконечные характеристические показатели ∞+ или ? ∞−

§ 2. Характеристический показатель функциональной матрицы

Введенное в предыдущем параграфе понятие характеристического пока-зателя функции здесь распространяется на векторные функции, а также функ-циональные матрицы. При этом основные из установленных ранее свойств со-храняются. 10. Определение. О п р е д е л е н и е 1. Пусть ))(t(f(t) jk=F – матрица, определенная на

. Число (или один из символов ),0[ +∞ ∞−∞+ , ) определяемое равенством

(t)]χ[fmax(t)]χ[ jkkj,=F ,

называется характеристическим показателем матрицы . (t)F Очевидно, . (t)]χ[(t)]χ[ T FF =

20. Свойства характеристических показателей матриц. 1) Характеристический показатель матрицы ))t((f(t) jk=F совпадает с характеристическим показателем ее нормы1, т.е.

||](t)χ[||(t)]χ[ FF = . (1)

□ Для любого 0t ≥ и всех kj, верно неравенство , от-куда следует , а значит

||(t)|||(t)f| jk F≤||](t)χ[||(t)]χ[f jk F≤

||](t)χ[||(t)]χ[ FF ≤ . (*)

С другой стороны, для всех 0t ≥ можно записать . Следовательно, согласно свойству 5) характеристиче-

ских показателей, получаем

∑≤kj,

jk |(t)f|||(t)|| F

(t)]χ[]χ[fmax||](t)χ[|| jkkj,FF =≤ . (**)

1 Определение нормы матрицы (три варианта) см. в § 3 гл. 1.


Из неравенств (*) – (**) вытекает равенство (1) ■

2) Пусть N,...,2,1s,]χ[ s =∈RF . Характеристический показатель суммы конечного числа матриц Fs не превышает наибольшего из характери-стических показателей этих матриц.

□ Пусть – матрицы размера N)1,2,...,s ( (t) =sF nm × и

)(t:(t)N

1ss∑

=

= FF .

Для всех 0t ≥ верно . Поэтому ∑=

≤N

1ss ||(t)||||(t)|| FF

(t)]χ[max||](t)χ[||max||](t)||χ[||](t)χ[||(t)]χ[ sssss

N

1sFFFFF =≤≤= ∑

=

■

Следствие 1. Если среди матриц N)1,2,...,s ( (t) =sF имеется лишь одна, обладающая наибольшим характеристическим показателем, то характеристический показатель суммы данных матриц равен этому наибольшему характеристическому показателю.

□ В самом деле, пусть для всех , , s = 1,2,...,N, и

||](t)χ[||(t)]χ[ s1 FF > 1s >))t((f(t) (s)

jks =F

)(t)f()(t:(t) jk

N

1ss == ∑

=

FF .

Кроме того, пусть . Поскольку (t)]χ[f(t)]χ[fmax(t)]χ[ (1)pq

(1)jkkj,1 ==F

(t)]χ[f(t)]χ[(t)]χ[f (1)pqs

(s)pq <≤ F 1s >∀ ,

с использованием свойства 5) характеристических показателей получаем

(t)]χ[(t)]χ[f(t)]χ[f 1(1)pqpq F== .

Следовательно,

(t)]χ[max(t)]χ[(t)]χ[ ss1 FFF =≥ .

Отсюда, в силу доказанного выше свойства 2), следует

(t)]χ[max(t)]χ[ ssFF = ■


3) Пусть N,...,2,1s,]χ[ s =∈RF . Характеристический показатель произве-дения конечного числа матриц Fs не превышает суммы характеристи-ческих показателей этих матриц.

□ Пусть . Норма произведения матриц не превышает про-

изведения норм этих матриц: . Поэтому с использова-

нием свойства 6) характеристических показателей, получаем

)(t:(t)N

1ss∏

=

= FF

||)(t||||(t)||N

1ss∏

=

≤ FF

∑∑==

=≤=N

1ss

N

1ss ])(tχ[]||)(t||χ[||](t)||χ[(t)]χ[ FFFF ■

Следствие 2. Характеристический показатель линейной комбинации

нескольких матриц с постоянными ко-

эффициентами не превышает наибольшего из характеристических этих матриц и равен ему, если наибольшим характеристическим показателем обладает лишь одна из данных матриц.

)N,...,2,1,0c()t(c s

N

1sss =≠⋅∑

=

sF

Упражнение

1. Вычислить характеристический показатель матрицы

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

++=

++

−++−−++

)t3ln(1t)2ln(1

ttttt11tt

)2(131

ee(t)

t

222

t

F .

§ 3. Спектр линейной однородной системы Рассмотрим линейную дифференциальную систему

xAx⋅= )t(

dtd , (1)

матрица которой составлена из непрерывных на промежутке и в общем случае комплекснозначных функций.

),0[ +∞

Теорема 1. Если матрица линейной системы (1) ограничена на

, т.е. существует такое число c, что

(t)A

),0[ +∞


+∞<≤ c)t(A 0t ≥∀ ,

то каждое вещественное или комплексное ненулевое решение систе-мы (1) имеет конечный характеристический показатель.

)(txx =

□ Пусть – произвольное ненулевое решение сис-темы (1),

Tn1 ))t(x),...,t(x()t( =x

0t ≥ . Заметим, что 0)0( ≠x , так как в противном случае благодаря единственности решения с начальными данными оно должно было быть нулевым.

))0(,(0 x

Из (1) вытекает

( ) ( )dτττ(0)(t)t

0∫ ⋅+= xAxx .


( ) ( ) |dτ||τ||||τ|||||(0)||||(t)||t

0∫ ⋅+≤ xAxx 0t ≥∀ .

Применяя обобщенную лемму Гронуолла-Беллмана (см. § 9 гл. 1), при 0t ≥

получим

( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅≤≤⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅ ∫∫ dτ||τ||exp||(0)||||(t)||dτ||τ||exp||(0)||

t

0

t

0

AxxAx .

Предварительно разделив эти неравенства на положительное число )0(x , с учетом равенства

)]t([χ)0()t(

χ xxx

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

находим

( ) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≤≤

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− ∫∫ dτ||τ||expχ(t)][χdτ||τ||expχ

t

0

t

0

AxA .

Отсюда

A)]t([χA ≤≤− x ,

где


( ) cdτ||τ||t1limA

t

0t≤⋅= ∫

+∞→A , ( ) cdτ||τ||

t1limA

t

0t

≤⋅= ∫+∞→A ,

т.е. ]cc,[)]t([χ −∈x ■ Лемма 1. Если матрица A(t) линейной системы (1) вещественна и не-которое её комплексное решение (t)2i(t)1 ξξz + ⋅= имеет характеристиче-ский показатель χ α][ =z

α][χ =x, то найдётся такое вещественное решение x(t)

системы (1), что . □ Имеем

zAz⋅= )t(

dtd ⇔ )i()t(

dt)id(

2121 ξξAξξ

⋅+⋅=⋅+ ⇔

2121 )t(i)t(

dtdi

dtd ξAξAξξ

⋅⋅+⋅=⋅+ ⇔ .2,1i,)t(dtd

ii =⋅= ξAξ

Следовательно, вещественная и мнимая части решения z также являются решениями системы (1).

(t)1ξ (t)2ξ

Рассмотрим решение (t)sξx = , где (t)]χ[max(t)]χ[ iis ξξ = . В силу

||||i 2121 ξξξξξ +≤⋅+≤s имеем

(t)]χ[(t)]χ[max](t)i(t)χ[][χ(t)]χ[ sii21s ξξξξzξ =≤+=≤ ,

что влечёт равенство α][χ][χ s == zξ ■ З а м е ч а н и е 1. Не ограничивая общности рассуждений, в лемме 1 все-гда можно считать, что zξx Re(t)s == , так как в противном случае (т.е. когда

) вместо z можно рассмотреть решение zξ Ims = (t)i(t))(tiˆ 12 ξξzz ⋅−=−= . Лемма 2. Вектор-функции , k = 1,2,...,m, определённые на проме-жутке и обладающие различными характеристическими показателя-ми, линейно независимы.

(t)(k)x),0[ +∞

□ Пусть , k=1,2,...,m. Для определённости примем ]χ[:α (k)k x=

m21 α...αα <<< . (*)

Предположим противное: найдутся одновременно не равные нулю коэф-фициенты , такие, что m21 c,...,c,c

0x =⋅∑=

m

1k

(k)k (t)c 0t ≥∀ . (**)


Обозначим через p максимальный номер отличного от нуля коэффициента в (**). Из (**) получаем

∑−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅−=

1p

1k

(k)

p

k(p) (t)cc)t( xx ,

а значит, в соответствии со следствием 1 из § 1 и неравенствами (*) при неко-тором q < p выполнено

q(k)

pk

(p)p α(t)][χmax(t)][χα =≤=

<xx ,

что противоречит (*) ■ О п р е д е л е н и е 1. Совокупность всех конечных (т.е. отличных от +∞ и – ) характеристических показателей решений линейной дифференциальной системы (1) называют её спектром.

∞

Согласно замечанию 1, спектр линейной системы (1) с вещественной матрицей A(t) может быть реализован на множестве вещественных функций. Теорема 2. Спектр линейной однородной системы (1) с непрерывной, ог-раниченной и в общем случае комплекснозначной матрицей A(t) состоит из конечного числа элементов:

m21 α...αα <<< (m ≤ n).

□ Доказательство теоремы прямо следует из леммы 2 и известного из курса дифференциальных уравнений того факта, что линейная система порядка n имеет не более n линейно независимых решений ■ Следующее утверждение показывает, что понятие характеристического показателя решения линейной однородной системы с переменными коэффици-ентами является прямым обобщением вещественной части собственного значе-ния матрицы линейной однородной системы с постоянными коэффициентами. Следствие 1. Характеристические показатели ненулевых решений линейной системы (1) с постоянной матрицей A совпадают с веще-ственными частями характеристических (собственных) значений этой мат-рицы, т.е. , i = 1,2,...,m, где – корень характеристического урав-нения

m21 α...,,α,α

ii λReα = iλ0)λdet( =− EA .

□ Как известно, фундаментальную совокупность решений линейной сис-темы (1) с постоянными коэффициентами образуют функции вида

)t()]t)λsin((Imi)t)λ[cos((Ime iiit)λ(Re i P⋅⋅⋅+⋅⋅⋅ ,


где – векторные полиномы, степень которых не превосходит кратности кор-ня . Характеристический показатель такой функции совпадает с

iPiλ ii λReα = ,

i = 1,2,...,m. Далее, никакое другое число, кроме , не может быть харак-теристическим показателем решения, поскольку любое решение системы (1) есть линейная комбинация упомянутой фундаментальной совокупности, а ха-рактеристический показатель такой линейной комбинации равен одному из ха-рактеристических показателей ■

m21 α...,,α,α

m21 α...,,α,α Пример 1. Рассмотрим нелинейное уравнение

xln1t

xdtdx

⋅+

= (t ≥ 0).

Оно имеет общее решение 1)t(cex +⋅= , а значит, обладает сплошным спектром мощности континуума: +∞<<∞− α .

§ 4. Достаточное условие асимптотической устойчивости линейной системы с переменными коэффициентами

Теорема 1 (Ляпунов). Пусть задана линейная система

xAx⋅= )t(

dtd (t ≥ 0) (1)

с непрерывной, ограниченной и в общем случае комплекснозначной матрицей , причем – спектр этой системы (m ≤ n). Для асимптотиче-

ской устойчивости системы (1) достаточно, чтобы все её характеристиче-ские показатели были отрицательными, т.е.

(t)A m21 α...,,α,α

0αk < , m,...,2,1k = . □ Пусть 0x ≠)t( – произвольное ненулевое решение системы (1). Выбе-рем настолько малым, чтобы для числа 0ε > 0αmax:α kk

<= имело место не-

равенство 0 . В соответствии со свойством 4) характеристических пока-зателей справедлива импликация

εα <+

εα)]t([χ +<x ⇒ 0e

)t(ttε)(α +∞→⋅+ →

x.

Следовательно, , что согласно результатам § 3 главы 1 влечёт асим-

птотическую устойчивость линейной системы (1) ■

0x+∞→

→t

)t(


§ 5. Нормальная фундаментальная совокупность решений Пусть задана линейная однородная система дифференциальных уравне-ний

xAx⋅= )t(

dtd (t ≥ 0) (1)

c непрерывной, ограниченной и в общем случае комплекснозначной матрицей , причем (t)A

+∞<<<<<∞− m21 α...αα (m ≤ n)

– спектр этой системы, записанный в порядке возрастания. Обозначим через

)}(t(t),...,{(t) (n)(1) xxX =

некоторую фундаментальную совокупность решений (ф.с.р.) этой системы. Она является базисом в пространстве решений. Рассмотрим произвольную линейную комбинацию заданной фундамен-тальной совокупности решений с постоянными коэффициентами. Являясь ре-шением системы (1), она будет иметь характеристический показатель, который всегда меньше, либо равен наибольшему из характеристических показателей функций, участвующих в данной линейной комбинации. В случае реализации равенства получаем следующее понятие. О п р е д е л е н и е 1. Ф.с.р. X(t) системы (1) называется нормальной фундаментальной совокупностью решений (н.ф.с.р.), если для каждого

}n,...,2,1{k∈ и для любых k,...,2,1l,0cli =≠ , выполняется равенство

, (2) ](t)[χmax(t)cχ )(i

k}1,2,...,{l

k

1l

)(ii

lll

xx∈=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅∑

где совокупность попарно различных номеров является подмноже-ством множества .

}i,...,i,{i k21

n}{1,2,..., З а м е ч а н и е 1. В определении 1 вместо включения можно написать , так как характеристический показатель линейной комбинации, содержащей лишь одно слагаемое, заведомо удовлетворяет усло-вию максимума (2).

}n,...,2,1{k∈}n,...,2{k∈

В следующей теореме устанавливается одно экстремальное свойство н.ф.с.р. Теорема 1. Пусть – н.ф.с.р. системы (1) и – число решений из X(t), имеющих характеристический показатель , а

)}(t(t),...,{(t) (n)(1) xxX = snsα sN –


максимальное возможное число линейно независимых решений системы (1) с характеристическим показателем , sα m1,2,...,s = . Тогда

ss21 Nn...nn =+++ , m1,2,...,s = . (3)

□ Обозначим через x = x(t) произвольное решение системы (1) с харак-теристическим показателем . Как и всякое решение, оно может быть пред-

ставлено в виде линейной комбинации x = некоторых k реше-

ний из ф.с.р. X(t) (k ≤ n) с отличными от нуля коэффициентами. Так как по условию X(t) – н.ф.с.р., то

sα

∑=

⋅k

1l

)(ii (t)c ll

x

](t)[χ](t)[χmax][χα )(i)(i

k}1,2,...,{l

)2(

spl xxx ≥==

∈, p = 1,2,...,k.

В частности, всякое решение системы (1), имеющее характеристический показатель и входящее в набор из максимального возможного числа линейно независимых решений с характеристическим показателем , может быть представлено в виде линейной комбинации не более чем

sα sNsα

s21 n...nn +++ решений из X(t). Поэтому максимальное возможное число линейно неза-висимых решений с характеристическим показателем не может быть боль-ше числа функций, на основе которых они строятся, т.е.

sNsα

s21s n...nnN +++≤ . (*)

С другой стороны, располагая набором s21 n...nn +++ функций из X(t) с характеристическими показателями, не превосходящими , всегда можно сделать так, чтобы этот набор остался линейно независимым и все функции входящие в него, имели максимальный возможный характеристический показа-тель, т.е. равный . Для этого к каждой функции указанного набора с характе-ристическим показателем, меньшим , достаточно прибавить одну и ту же функцию с характеристическим показателем, равным ; при этом линейная независимость, очевидно, не нарушится. Следовательно,

sα

sαsα

sα

s21s n...nnN +++≥ . (**)

Неравенства (*) – (**) влекут (3) ■ В обычной ф.с.р. число решений, имеющих тот или иной фиксированный характеристический показатель, может варьироваться в зависимости от вы-бранной ф.с.р. В частности, все элементы такой ф.с.р. могут иметь один и тот же характеристический показатель.


В нормальной ф.с.р. число решений, имеющих фиксированный характе-ристический показатель, является инвариантом, причем в каждой н.ф.с.р. будут представлены решения всего спектра этой системы. Это положение подтвер-ждают следующие два утверждения. Следствие 1. Во всякой н.ф.с.р. системы (1) количество решений с ха-рактеристическим показателем одно и то же, sα m1,2,...,s = . □ В самом деле, количество решений с характеристическим показателем

благодаря (3) равно sα 1sss NNn −−= , m1,2,...,s = , где ■ 0N0 = Следствие 2. Каждая н.ф.с.р. реализует весь спектр линейной системы (1), т.е. , 1ns ≥ m1,2,...,s = . □ Требуемые неравенства вытекают из строгих неравенств

m10 N...NN0 <<<=

и равенств , 1sss NNn −−= m1,2,...,s = ■ Как показывает следующая теорема, из данной ф.с.р. системы (1) при по-мощи некоторого линейного преобразования с треугольной матрицей всегда получить некоторую н.ф.с.р. Теорема 2 (теорема Ляпунова о построении н.ф.с.р.). Пусть

( ))(t),...,(t)t( (n))1( zzZ = 2

есть некоторая фундаментальная матрица решений (ф.м.р.) системы (1) с не-прерывной и ограниченной по норме на [0,+∞) матрицей коэффициентов A(t). Тогда существует такая постоянная треугольная матрица

, (4)

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

1cc

01c

001

C

n2n1

21

K

KKKKK

K

K

что

X(t) = Z(t)⋅C (5)

является нормальной фундаментальной матрицей решений (н.ф.м.р.) системы (1). □ 1) Сначала, на основе матрицы Z построим определенную матрицу

( ))(t),...,(t)t( (n))1( xxX = ,


столбцы которой образуют ф.м.р. системы (1). Матрицу X будем строить в виде (5), т.е.

(*)

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+=

⋅+++=

⋅++⋅+=

).(t(t)

),(tc)(t(t)

),(tc)(tc(t)(t)

(n)(n)

(n)n2

(2)(2)

(n)n1

(2)21

(1)(1)

zx

zzx

zzzx

KKKKKKKKKKKKKKKKKK

K

K

Подберем в (*) числа cjk (k < j) так, чтобы выполнялись равенства

, ](t)c...(t)c(t)χ[min](t)χ[ (n)ns

1)(ss1,s

(s)

c,...,c

(s)

nss1,szzzx ⋅++⋅+= +

++

m1,2,...,s = . (**)

Заметим, что минимум здесь всегда достигается, так как спектр линейной сис-темы конечен и в правой части равенства (**) в квадратных скобках записана линейная комбинация решений системы, а значит, некоторое решение этой сис-темы. По построению матрица X(t) с выбранными коэффициентами cjk удов-летворяет равенству (5). Ясно, что столбцы (их ровно n) этой матрицы являют-ся решениями системы (1). Кроме того,

det(X(t)) = det(Z(t))⋅det(C) = det(Z(t)) ≠ 0 att 0 >≥∀ .

Следовательно, X(t) – ф.м.р. системы (1). 2) Теперь установим, что X(t) – н.ф.м.р. системы (1). С этой целью через (m ≤ n) обозначим полную совокупность различных характеристических показателей системы решений X(t) и, зафик-сировав произвольно выбранное

m1 α,...,α

m}1,2,...,{s∈ , рассмотрим произвольную группу решений , )(t(t),..., )(n)(n ks1s xx n}{1,2,...,nis ∈ , k1,2,...,i = , из X(t), имеющих один и тот же характеристический показатель: . s

)(n α](t)[χ is =x Для всякой линейной комбинации

∑ ⋅=i

)(ni (t)a)t( isxx ( 0ai ≠∀ )

этих решений с отличными от нуля коэффициентами имеем

sα](t)[χ ≤x .

С другой стороны, полагая isips nminn = , на основании (*) получаем

2 Векторы z(k) в матрице Z являются столбцами.


⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⋅′+⋅=⋅+⋅= ∑∑

>> ps

ps

psis

isps

ni

(i)i

)(np

nn

)(ni

)(np (t)c(t)a(t)a(t)a(t) zzxxx ,

где ap ≠ 0 и – некоторые (не обязательно отличные от нуля) константы. От-сюда с учётом (**) будем иметь

ic′

,α(t)]χ[(t)c(t)χmin

(t)c(t)χ(t)]χ[

s)n(

ni

(i)i

)(n

)ni(c

ni

(i)i

)(n

ps

ps

ps

psi

ps

ps

==⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⋅′+≥

≥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⋅′+=

∑

∑

>>′

>

xzz

zzx

что вместе с установленным ранее неравенством

si

)(ni α(t)aχ)]t([χ is ≤⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅= ∑ xx

влечёт равенство

(si

)(ni α(t)aχ is =⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅∑ x 0ai ≠∀ ). (***)

Для завершения доказательства рассмотрим произвольную линейную комбинацию (где ): }n{1,2,...,ni ∈

∑ ⋅i

)(ni (t)b ix ( 0bi ≠∀ )

решений из X(t) с отличными от нуля коэффициентами. Группируя из данных решений максимальные (по числу решений) совокупности , обладаю-щие одинаковыми характеристическими показателями , обозначая полу-чающиеся при этом коэффициенты через b

(t)}{ )(nisxsα

is, и, учитывая (***), будем иметь

.(t)]χ[maxαmax(t)bχmax

(t)bχ(t)bχ

)n(

iss

*)*(*

i

)(niss

s i

)(nis

i

)(ni

ii

isi

xx

xx

==⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅

∑

∑∑∑

Следовательно, X(t) – н.ф.м.р. ■ Как известно, произведение двух треугольных матриц является треуголь-ной матрицей, поэтому справедливо


Следствие 3. Если линейная система (1) имеет треугольную ф.м.р., то для этой системы существует треугольная н.ф.м.р.


1. Убедиться, что – н.ф.м.р. линейной системы (1), в которой A(t) ≡ A = J, где J – матрица Жордана.

JX )tt( 0e)t( −=

§ 6. Правильные линейные системы 10. Неравенство Ляпунова. Вновь обратимся к линейной однородной системе дифференциальных уравнений

xAx⋅= )t(

dtd (t ≥ 0) (1)

с непрерывной, ограниченной и в общем случае комплекснозначной матрицей , обозначив через (t)A

+∞<<<<<∞− m21 α...αα (m ≤ n)

спектр этой системы. О п р е д е л е н и е 1. Пусть – некоторая н.ф.с.р. системы (1) и есть число решений этой совокупности, имеющих характеристический показа-тель ,

(t)X sn

sα m1,2,...,s = . Множество всех характеристических показателей нетри-виальных решений системы (1), где каждый характеристический показатель встречается столько раз, сколько ns линейно независимых решений с характе-ристическим показателем, равным , содержится в , называют полным спектром системы (1), а сумму

sα (t)X

∑=

⋅=m

1sss αnS

именуют суммой характеристических показателей системы (1). Нетрудно понять, что полный спектр и сумма характеристических пока-зателей системы (1) не зависят от выбора н.ф.с.р. З а м е ч а н и е 1. Понятие суммы характеристических показателей мож-но использовать и применительно к набору линейно независимых решений сис-темы (1), в частности, для ф.с.р. В этом случае сумма характеристических пока-зателей может меняться в зависимости от набора решений, даже если число решений набора сохраняется.


Теорема 1. Пусть } – произвольная ф.с.р. системы (1) с вещественной матрицей и

,...,{(t) (n)(1) xxX =(t)A

(2) ∑∑==

⋅==m

1sss

n

1k

)k( αn][χS xX

– сумма характеристических показателей решений из X, где ns (ns ≥ 1) – чис-ло вектор-функций данной ф.с.р. с характеристическим показателем , sα

m1,2,...,s = . Имеет место неравенство Ляпунова

. (3) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≥ ∫

t

0

)dτ(τSpexpχS AX

□ Для определителя Вронского

))t(det()t(W X=

справедливо представление

)t(x...)t(x)1()t(W npP

1pω

n1⋅⋅⋅−= ∑ ,

где , – p}1,1{)1( ω −∈− (t)x kpi i-я компонента k-го решения , а P = (p

Xx ∈)k(

1,...,pn) – перестановка чисел 1,2,...n. Используя свойства характеристических показателей (для суммы и про-изведения функций) с учётом (2), получаем

{ } { }

{ } .S)]t([χ...)]t(χ[)]t(x[χmax...

...)]t(χ[xmax)]t(x[χ...)]t(χ[xmax)]t(χ[W

)2((n)(1)

npP

1pPnp1pP

n

1n1

Xxx =++=+

+≤++≤

(**)

Вспомним формулу Остроградского-Лиувилля:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅= ∫

t

00 )dτ(τSpexp)W(tW(t) A .


.)dτ(τSpt1lim|W(t)|ln

t1limχ[W(t)]

t

0tt ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=⋅= ∫+∞→+∞→

A


Подставляя найденное для выражение в (**), придём к неравенству Ляпунова ■

χ[W(t)]

З а м е ч а н и е 2. В случае комплекснозначной матрицы A(t) имеем AAA SpImiSpReSp ⋅+= . А так как согласно формуле Эйлера мнимая часть

следа матрицы ограничена, то неравенство Ляпунова принимает вид

∫∫ ⋅=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛≥

+∞→

t

tt

t

t 00

)dτ(τSpRet1lim)dτ(τSpReexpχS AAX .

20. Равенство Ляпунова. Следствие 1. Если для ф.с.р. линейной системы (1) с непрерывной, ограниченной вещественной матрицей имеет место равенство Ляпуно-ва

(t)X(t)A

∫∫ ⋅=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=

+∞→

t

tt

t

t 00

)dτ(τSpt1lim)dτ(τSpexpχS AAX ,

то такая ф.с.р. является нормальной. □ Для доказательства, не ограничивая общности, предположим, что в фундаментальной совокупности решения записаны в по-рядке возрастания их характеристических показателей.

},...,{(t) (n)(1) xxX =

Если ф.с.р. , напротив, не является нормальной, то найдётся (t)X}n,...,2{k∈ и линейная комбинация решений

, (*) ∑=

⋅=k

1l

)(ii )(tc ll

xz

k1k1 i...i},n,...,2,1{}i,...,i{ <<⊂ , с отличными от нуля коэффициентами (в ча-стности, ), для которой 0c

ki ≠

. (**) )](tχ[)](tχ[max][χ )(i)(i

k1,...,ikl

lxxz =<

=

Рассмотрим совокупность решений

},...,,,,...,{ (n)1)(i1)(i(1) kk xxzxxZ +−= .

Она является ф.с.р., так как если предположить обратное, т.е.

0zx ≡⋅+⋅∑≠

)t(a)(tak

k

iij

(j)j при некоторых aj: ∑

=

≠n

1jj 0|a| ,


то в силу линейной независимости системы { }kij

(j) (t) ≠x верно ≠ 0, а значит с учетом (*) получаем

kia

0xxx ≡⋅+⋅+⋅+ ∑∑><

)(ta)(tca)(t)ca(a (j)

ijj

)(iii

(j)ji

ijj

k

kkkk

k

.

Отсюда, благодаря линейной независимости системы векторов { , сле-дует равенство = 0, которое невозможно в силу , .

}n 1j(j) (t) =x

kk ii ca ⋅ 0cki ≠ 0a

ki ≠ Полученное противоречие говорит о том, что Z является ф.с.р., причём благодаря (**) выполнено

∫∫ ⋅=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=<

+∞→

t

0t

t

0

)dτ(τSpt1lim)dτ(τSpexpχSS AAXZ .

Это неравенство не совместимо с неравенством Ляпунова для ф.с.р. Z ■ Пример 1. Приведем пример ф.с.р. линейной однородной системы урав-нений

⎪⎩

⎪⎨⎧

+⋅=

+⋅=

sin(lnt)],[cos(lnt)xy

cos(lnt)],[sin(lnt)yx

&

& ( +∞<≤ t1 ),

для которой равенство Ляпунова не выполняется. После сложения и вычитания уравнений данной системы, находим

sin(lnt)t1 e2Cyx ⋅⋅=+ , , sin(lnt)t

2 e2Cyx ⋅−⋅=−

откуда получаем её общее решение

⎪⎩

⎪⎨⎧

⋅−⋅=

⋅+⋅=

⋅−⋅

⋅−⋅

.eCeCy

,eCeCx

sin(lnt)t2

sin(lnt)t1

sin(lnt)t2

sin(lnt)t1

Нетрудно вычислить, что 1]χ[y]χ[x == (при ). Поэтому ф.с.р. 0CC 22

21 ≠+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−=

⋅−⋅

⋅−⋅

sin(lnt)tsin(lnt)t

sin(lnt)tsin(lnt)t

ee

eeX является нормальной и 2S =X . Однако для матрицы

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

+=

0sin(lnt)cos(lnt)

cos(lnt)sin(lnt)0)t(A


данной системы верно 0(t)Sp ≡A , а значит равенство Ляпунова нарушается:

∫ =⋅>=+∞→

t

1t

0)dτ(τSpt1limS2 AX .

30. Правильные системы. Существует известная связь между верхним и нижним пределами одной и той же функции. Благодаря этой связи и неравенству Ляпунова, получаем

∫∫ ⋅≥⋅≥+∞→+∞→

t

0t

t

0t

)dτ(τSpt1lim)dτ(τSp

t1limS AA ,

а значит,

∫⋅≥+∞→

t

0t)dτ(τSp

t1limS A .

Линейная система, для которой в последнем неравенстве имеет место ра-венство, носит специальное название. О п р е д е л е н и е 2. Линейную систему (1) с непрерывной, ограничен-ной, вещественной матрицей A(t) и спектром (m ≤ n) называют пра-вильной по Ляпунову (или просто правильной), если

m1 α,...,α

∫⋅=+∞→

t

0t)dτ(τSp

t1limS A , (4)

где

∑=

⋅=m

1sss αnS

есть сумма характеристических показателей (с учётом кратностей ns ) некото-рой н.ф.с.р. системы (1). З а м е ч а н и е 3. В аналогичном определении для системы (1) с ком-плекснозначной матрицей A(t) равенство (4) следует заменить на

∫⋅=+∞→

t

0t)dτ(τSpRe

t1limS A .

Пример 2 (неправильная система). Рассмотрим линейную систему второ-го порядка

⎪⎩

⎪⎨⎧

⋅+⋅=

⋅+⋅=

cos(lnt),ysin(lnt)xy

sin(lnt),ycos(lnt)xx

&

& (t ≥ 1).


При помощи подстановки нетрудно убедиться, что вектор-функции

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=

⋅

⋅

cos(lnt)t

sin(lnt)t

e

e)t(x , ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−=

⋅

⋅

cos(lnt)t

sin(lnt)t

e

e)t(y

являются решениями данной системы. Более того, они образуют линейно неза-висимую систему и, тем самым, представляют собой ф.с.р. Кроме того, в силу

1]}χ[],χ[max{]Cχ[C 21 ==+ yxyx ,

это будет н.ф.с.р. Для такой н.ф.с.р. верно равенство S = 2. С другой стороны, имеем

( )

S.22))tcos(ln)t(sin(lnlim

))τcos(ln)τ(sin(lnτt1lim)dτ2cos(lnτ

t1lim

t

tτ1τt

t

1t

=≠−=+=

=+⋅⋅=⋅

+∞→

==+∞→+∞→

∫

Полученное в итоге неравенство свидетельствует о том, что данная система не-правильная. 40. Приводимые системы. О п р е д е л е н и е 3. Пусть , . Ли-нейное преобразование

Tn21 )x,...,x,(x=x T

n21 )y,...,y,(y=y

xLy ⋅= )(t (5)

называют преобразованием Ляпунова, если непрерывно дифференцируемая при 0t ≥ матрица n-го порядка )(tL удовлетворяет следующим условиям: 1) +∞<

≥)t(sup

0tL ;

2) +∞<≥

)t(sup0t

L& ;

3) 0K >∃ , 0t ≥∀ : K))t(det( ≥L . Важное свойство преобразования Ляпунова раскрывает следующая

Лемма 1. Преобразование Ляпунова сохраняет значение характеристи-ческого показателя, т.е.

xLy ⋅= )(t ⇒ ][χ][χ xy = .

□ Из (5) на основе условия 3) получаем . Поэтому yLx ⋅= − )(t1


⎪⎩

⎪⎨⎧

==+≤=

==+≤=⇒

⎪⎭

⎪⎬⎫

⋅≤

⋅≤

−− ].[χ||][||χ||][||χ||])(t[||χ||][||χ][χ

][χ||][||χ||][||χ||])(t[||χ||][||χ][χ

||||||)(t||||||

||||||)(t||||||

11 yyyLxx

xxxLyy

yLx

xLy

Следовательно, ][χ][χ xy = ■ О п р е д е л е н и е 4. Линейная система (1) называется приводимой, если при помощи некоторого преобразования Ляпунова (5) (с вообще говоря ком-плексной матрицей L ) её можно привести к системе

yBy⋅=

dtd (6)

с постоянной матрицей B. Как показывает следующая теорема, класс приводимых систем содержит-ся в классе правильных систем. Теорема 2. Всякая приводимая линейная система (1) является правиль-ной. □ Пусть система (1) является приводимой и X(t) – некоторая её н.ф.м.р. По определению приводимой системы найдётся матрица : )(tL

X(t) = L(t)⋅Y(t), (*)

где Y(t) – ф.м.р. линейной системы (6) с постоянной матрицей B. Из (*) сле-дует

det(X(t)) = det(L(t))⋅det(Y(t)).

Отсюда с использованием формулы Остроградского-Лиувилля (см. п.10 в §6) получаем

( ) BYLAX Sptt

0

e(0))det())t(det(dττSpexp(0))det( ⋅⋅⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅ ∫ ,

откуда

( ) BLA Sptt

0

e|))t(det(|)c(0dττSpexp ⋅⋅⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∫ ,

где

( ) |)0()0(det|)c(0 1−⋅= XY .

Поэтому


( ) [ ]

.SpSpt1|))t(det(|ln

t1)lnc(0

t1

Spt1|))t(det(|)c(0ln

t1dττSp

t1

t

огр.const

t

0

BBL

BLA

+∞→→⋅+⋅+⋅=

=⋅+⋅⋅=⋅ ∫

4484476876

Таким образом,

( ) ( ) BAA SpdττSpt1limdττSp

t1lim

t

0t

t

0t

=⋅=⋅ ∫∫+∞→+∞→

. (**)

Обозначим через SX и SY суммы характеристических показателей ф.с.р. X и Y соответственно. Согласно лемме 1 справедливо равенство

SX = SY, (***)

причём, так как по условию X – н.ф.с.р., то и Y – н.ф.с.р. Но для Y характе-ристическими показателями являются вещественные части корней характери-стического уравнения det(B – λE) = 0, где каждый корень считается столько раз, какова его кратность. Поэтому

SY BB SpSpReλReλRek

kk

k ==== ∑∑ .

Отсюда вместе с учетом (**)–(***) следует

SX S*)*(*= Y = SpB ∫⋅=

+∞→

t

0t

(**))dτ(τSp

t1lim A ,

т.е. система (1) действительно правильная ■ Из доказанной теоремы очевидным образом вытекает Следствие 2. Любая линейная однородная дифференциальная система с постоянной матрицей является правильной. Можно доказать (см. [3]), что в случае, когда матрица A(t) линейной системы (1) является периодической, эта система также будет правильной.


1. Доказать, что линейная система (1) второго порядка с матрицей


⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

0t2

10)t(

2

A (при t ≥ 1)

неприводима.

§ 7. Теорема Перрона 10. Взаимно сопряжённые системы. Рассмотрим линейную однородную систему дифференциальных уравнений

xAx⋅= )t(

dtd (t ≥ 0) (1)

матрица A(t) которой в общем случае может быть комплекснозначной. О п р е д е л е н и е 1. Линейную однородную систему

yAy⋅−= )t(

dtd * (t ≥ 0), (2)

где )t()t( T* AA = есть сопряжённая матрица для A(t) , называют сопряжённой системой для системы (1). Если A(t) – вещественная матрица, то и сопряжённая сис-тема для системы (1) принимает вид

)t()t( T* AA =

yAy⋅−= )t(

dtd T .

Нетрудно проверить, что система (1), в свою очередь, является сопряжён-ной для системы (2). На этом основании о системах (1) и (2) говорят как о вза-имно сопряжённых системах. Лемма 1. 1) Для любых решений x и y взаимно сопряжённых систем (1) и (2) выполняется

, (3) const C,* −=⟩⟨=⋅ yxxy

где y* – вектор, сопряжённый для y. 2) Для любых ф.м.р. X=X(t) и Y=Y (t) указанных систем имеет место равенство

, (4) матрицапостоянная−=⋅ CXY*


где Y* – сопряжённая для Y матрица. Обратно, из выполнения равенства (4) с неособой матрицей C и ф.м.р. X системы (1) следует, что Y – есть ф.м.р. сопряженной системы (2). □ 1) Зафиксируем произвольные решения x =( и y =( взаимно сопряжённых систем (1) и (2).

Tn1 )x,...,x T

n1 )y,...,y

Поскольку

AyyyAy ⋅−=⇒⋅−= ***** )()( && ,

строка y* является решением системы

)t(dt

d **

Ayy⋅−= . (5)

Из равенств (1) и (5) следует

xAyxy ⋅⋅=⋅ )t(dtd ** , xAyxy

⋅⋅−=⋅ )t(dt

d **

.

Складывая почленно последние два равенства, получим

0dt

ddtd *

* =⋅+⋅ xyxy ,

или

0)(dtd * =⋅xy .

Отсюда вытекает равенство (3). 2) Первая половина этого утверждения для матриц X и Y устанавлива-ется так же, как и для векторов x и y. Для доказательства обратного предположим, что имеет место равенство (4). Из него следует

( ) ( ) *1**1 CXXCY ⋅=⋅=−− , (6)

где матрица X* такова, что

) . (7) t(*** AXX ⋅=&

Дифференцируя (6) по правилу дифференцирования обратной матрицы, с учётом (7) получаем


YACXAXXCXXXYEX

⋅−=⋅⋅⋅⋅−=⋅⋅⋅−= −−−−

−

)t()()t()()()( *)6(

*1***1*)7(

*

)(dtd

1**1*

1*

43421444 3444 21&& ,

причём

( )( ) ( ) ( ) 0)det(det)det(detdet)det( 1*1**1* ≠⋅=⋅=⋅= −−−CXCXCXY .

Полученное означает, что Y является ф.м.р. системы (2) ■ 20. Критерий правильности системы. Лемма 2. Линейная однородная система (1) с непрерывной, ограниченной и в общем случае комплекснозначной матрицей является правильной то-гда и только тогда, когда

(t)A

( ) SdττSpRet1lim

t

0t

=⋅ ∫+∞→A , (8)

где S – сумма всех характеристических показателей данной системы. □ Часть «достаточность» вытекает из определения правильной системы. Для доказательства необходимости введём обозначения

( )dττSpRet1limσ

t

0t ∫⋅=

+∞→A , ( )dττSpRe

t1limσ

t

0t∫⋅=

+∞→A .

Согласно неравенству Ляпунова S ≥ σ . Но из-за того, что система (1) пра-вильная, верно равенство S = σ . Следовательно, σ ≥ σ , что вместе с неравен-ством σ ≤ σ , связывающим нижний и верхний пределы, влечёт равенство σ = σ . Отсюда с учётом S = σ приходим к (8) ■ 30. Теорема Перрона. Теорема 1 (О. Перрон). Линейная система (1) с непрерывной, ограничен-ной и в общем случае комплекснозначной матрицей является правильной тогда и только тогда, когда полный спектр

(t)A

n21 α...αα ≤≤

этой системы и полный спектр

n21 β...ββ ≥≥≥

сопряжённой системы (2) симметричны относительно нуля, т.е.

0βα ss =+ , n1,2,...,s = .


□ Необходимость. Пусть система (1) правильная и – её

н.ф.м.р., состоящая из столбцов , , таких, что , причём характеристические показатели упорядочены по возрастанию (как в условиях теоремы).

nnjk )(x(t) ×=XT

nk1k)k( )(t)x(t),...,x(=x n1,2,...,k =

k)k( α][χ =x kα

Согласно лемме 1 матрица

[ ] nnjk*1 )y()t(t)( ×

− == XY (9)

является ф.м.р. сопряжённой системы (2), так как Y*⋅X = E. Введём обозначение для столбцов матрицы Y:

Tnk1k

)k( (t))y(t),...,y(=y , , k)k( β][χ =y n1,2,...,k = ,

причём характеристические показатели упорядочены в порядке убывания (как в условиях теоремы).

kβ

Равенство Y*⋅X = E влечёт , 1)s(*)s( =⋅xy n1,2,...,s = . Переходя в этом равенстве к характеристическим показателям, получим

. (*) ss)s(*)s()s(*)s( βα]χ[]χ[]xχ[0 +=+≤⋅= xyy ⇒ 0βα ss ≥+

С другой стороны, обозначая через алгебраическое дополнение элемента матрицы X , согласно правилу обращения матрицы получаем

(t)X jk

(t)x jk

(t))det()t(

))t(det((t)X

)(ty js*

sjjs X

XX

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= , n1,2,...,j = ,

где в соответствии с формулой Остроградского-Лиувилля

0)dττ(Spexp))0(det())t(det(t

00

≠⋅= ∫≠

AXX 43421 .

Поэтому

](t)[χ)dττ(Spexpχ))0(det(

1χ)](tχ[y js

t

0js XA

X+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡≤ ∫ , . (**) n1,2,...,j =

Первое слагаемое в правой части (**) равно нулю. Рассмотрим подробнее второе и третье слагаемые. Прежде всего заметим, что система (1) правильная, а значит, в силу леммы 2


( )dττSpRet1limαS

t

0t

n

1ss ∫∑ ⋅==

+∞→=

A .

Поэтому

S.)dττ(SpReexpχ

)dττ(SpImsini)dττ(SpImcos)dττ(SpReexpχ

)dττ(SpImi)dττ(SpReexpχ)dττ(Spexpχ

t

0

огр.

t

0

t

0

t

0

t

0

t

0

t

0

−=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

∫

∫∫∫

∫ ∫∫

A

AAA

AAA

44444444 344444444 21

Учитывая, что при составлении алгебраического дополнения Xjs(t) вы-чёркивается s-й столбец, содержащий решение x(s), будем иметь

sjsjs αS)]t(χ[X)]t(Xχ[ −≤= , n1,2,...,j = .

На основе полученного из (**) следует

ssjs α)α(SS)(0(t)]χ[y −=−+−+≤ , n1,2,...,j = ,

а значит

sα−≤= ](t)χ[ymaxβ jsjs ⇒ 0βα ss ≤+ (*)⇒ 0βα ss =+ , . n1,2,...,s =

Остаётся убедиться, что ф.с.р. Y(t) – нормальная и, следовательно, набор чисел реализуют весь спектр сопряжённой системы. Действительно, из равенства следует

n1 β,...,β0βα ss =+

( ) ( ) dτ]τ[SpRet1limdττSpRe

t1limαβS

t

0

*

t

t

0t

n

1ss

n

1ssY ∫∫∑∑ −⋅=⋅−=−==

+∞→+∞→==

AA .

Это означает, что для ф.м.р. Y(t) сопряжённой системы (2) выполнено равен-ство Ляпунова. Согласно следствию 1 из § 6, Y(t) – н.ф.с.р. Достаточность. Пусть

n21 α...αα ≤≤ и n21 β...ββ ≥≥≥


суть спектры взаимно сопряжённых систем, причём , 0βα ss =+ n1,2,...,s = . Согласно неравенству Ляпунова

( ) σ:dττSpRet1limα

t

0t

n

1ss =⋅≥ ∫∑

+∞→=

A

и

( ) ( ) σ:dττSpRet1limdτ]τ[SpRe

t1limβ

t

0t

t

0

*

t

n

1ss −=⋅−=−⋅≥ ∫∫∑

+∞→+∞→=

AA .

Складывая почленно последние два неравенства, получаем

σσ0)α(βn

1s 0

ss −≥=+∑= =

43421.

Отсюда с учётом σσ ≥ следует равенство верхнего и нижнего пределов: σσ = . Поэтому существует предел

( )dττSpRet1lim:σ

t

0t ∫⋅=

+∞→A .

Кроме того, , так как если предположить , то благодаря не-

равенству выполнено , что невозможно.

σαn

1ss =∑

=

σαn

1ss >∑

=

σβn

1ss −≥∑

=

0)α(β0n

1sss∑

=

>+=

В таком случае лемма 2 гарантирует, что система (1) – правильная ■ Следствие 1. Сопряжённая система для правильной линейной системы является правильной линейной системой. Следствие 2. Если система (1) – правильная и – её н.ф.м.р., то (t)X

[ ]*1(t)−= XY

является н.ф.м.р. сопряжённой системы (2).

Упражнение 1) Записать сопряжённую систему для системы второго порядка


⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⋅+

−−⋅−+=

⋅⋅+⋅⋅+=

.y))1(t

i(1xt))cos(1(idtdy

y,)t(sinix3)i(2dtdx

2

2

§ 8. Оценка нормы матрицы Коши для правильной линейной системы

Теорема 1. Предположим, что линейная однородная система дифферен-циальных уравнений

xAx⋅= )t(

dtd (t ≥ 0) (1)

с непрерывной, ограниченной и вещественной матрицей является пра-вильной и

(t)A

nnjk )(x(t) ×=X (2)

её н.ф.м.р. Пусть – характеристические показатели решений n21 α,...,α,α

Tnk1k

)k( )(t)x(t),...,x(=x , n1,2,...,k = ,

образующих фундаментальную матрицу , и – мат-рица Коши при всех

(t)X )(τ(t))τt,( 1−⋅= XXK]t[0,τ∈ .

Тогда если все характеристические показатели отрица-тельны, то для любого и для любого

n21 α,...,α,α0ε > ]t[0,τ∈ при некотором

выполнено неравенство 0c0 >

. (3) ετ0 ec||)τt,(|| ⋅≤K

□ Введём диагональную матрицу )α,...,diag(α n1=Δ . Имеем

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅⋅

⋅⋅

=⋅=

−−

−−

⋅−

tαnn

tαn1

tα1n

tα11

t

n1

n1

e(t)xe(t)x

e(t)xe(t)x

et)()t(

K

KKKKKKKKKKK

K

ΔXΦ .

Отсюда следует


[ ] [ ] 0exχmax)t(χ tαjkkj,

k =⋅= −Φ . (*)

Рассмотрим обратную матрицу

nnjk1 (t))(y(t) ×− =X .

В силу следствия 2 из предыдущего параграфа её вектор-строки

)(t)y(t),...,y( jnj1)j( =y

имеют характеристические показатели . Поэтому j)j( α][χ −=y

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅⋅

⋅⋅

=⋅= −⋅−−

(t)ye(t)ye

(t)ye(t)ye

t)(e)t(

nntα

n1tα

1ntα

11tα

1t1

n1

n1

K

KKKKKKKKKKK

K

XΦ Δ

и [ ] [ ] 0yeχmax)t(χ jk

tα

kj,

1 j =⋅=−Φ .

На основании полученного имеем

( ) t,τ0,eeceeec

||)τ(e)t(||||)τ(eee)t(||||)τt,(||

τε)τt(εατ2ε)τt(

2εαt

2ε

1τ)t(1τtτ)t(

≤≤⋅⋅=⋅⋅⋅≤

≤⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=

⋅−⋅+⋅−⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅

−⋅−−⋅⋅−⋅− ΦΦXXK ΔΔΔΔ

где kkαmaxα = , положительное произвольно и c – положительная кон-

станта, зависящая от . Отсюда, благодаря тому, что для любых достаточно малых чисел > 0 верно

ε

εε 0εα <+ , приходим к оценке (3) ■

§ 9. Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению Рассмотрим вещественную нелинейную систему

),t()t(dtd xfxAx

+⋅= (t ≥ 0) (1)


с непрерывной, ограниченной и вещественной матрицей , где (t)A 00f =),t( для всех 0t ≥ , в области (0,1)

tC),t( xxf ∈ 0t ≥ , h<x , причём справедливо неравенство

m)t(ψ||),t(|| xxf ⋅≤ (m > 1) (2)

с некоторой непрерывной положительной функцией )t(ψ ( 0t ≥ ), такой, что 0)]t(χ[ψ = . В качестве нормы матрицы здесь выступает ∑=

kjkj

|a|maxA .

Теорема 1 (Ляпунов). Если система первого приближения

ξAξ⋅= )t(

dtd (3)

правильная и все её характеристические показатели отрица-тельны, причём выполнено условие нелинейности (2), то нулевое решение

n21 α,...,α,α0x =

системы (1) экспоненциально устойчиво3. □ Введём положительное число α таким образом, чтобы 0ααk <−< ,

n1,2,...,k = . Выполним над решением x системы (1) преобразование:

γte−⋅= yx , αγ0 << .

Получим следующую систему относительно y:

),t()t(dtd ygyBy

+⋅= , (4)

где EAB ⋅+= γ)t()t( ,

, (5) )e,t(e),t( γtγt −⋅⋅= yfyg

причём

0)0()0( xyx == , ()1,0(tC),t( yyg ∈ γteh,0t ⋅<≥ y ).

Рассмотрим систему первого приближения для (4):

yBy⋅= )t(

dtd . (6)

Обозначим через характеристические показатели системы (6). Оче-видно, , . Поскольку система (3) – правильная, име-ем

n1 β,...,β0γαβ kk <+= n1,2,...,k =

3 Определение экспоненциально устойчивого решения см. в § 5 гл. 2.


( ) ∑∫=+∞→

=⋅n

1kk

t

0tαdττSp

t1lim A .

Поэтому

( ) ( ) ∑∑∫∫==+∞→+∞→

=+=+⋅=⋅n

1kk

n

1kk

t

0t

t

0tβnγαdτ]nγτ[Sp

t1limdττSp

t1lim AB .

Это означает, что система (6) – правильная. Обозначим через )t(H ( EH =)0( ) нормированную ф.м.р. системы (6). Нелинейную систему (6) с начальным условием )0(y можно заменить равно-сильным интегральным уравнением

, (7) ))dτy(τ,(τ)τ(t,)0()t()t(t

0

gKyHy ⋅+⋅= ∫где . )τ((t))τ(t, -1HHK ⋅= В соответствии с локальной теоремой о существовании решений системы дифференциальных уравнений для любой пары , такой, что )x0,( 0 h0 <x , существует решение y(t) системы (4), а значит и интегрального уравнения (7), удовлетворяющее начальному условию 0)0()0( xyx == , определённое на про-межутке lt0 <≤ и удовлетворяющее на этом промежутке неравенству

h||t)(|| <y , где l, вообще говоря, зависит от y(t). Из неравенств , 0βk < n1,2,...,k = , следует существование положитель-ной константы c1, такой, что

1c||)t(|| <H 0t ≥∀ (c1 ≥ 1). (8)

Кроме того, благодаря теореме 1 предыдущего параграфа, для любого выполнено неравенство

0ε >

(ετ2 ec||)τ(t,|| ⋅<K +∞<≤≤ tτ0 ). (9)

Далее, на основании (2) и (5) при lt0 <≤ получаем

mt]1)γ(m[ε3

γtγt ||||ec||)e,t(||e||),t(|| yyfyg ⋅⋅<⋅⋅= ⋅−−− ,

где c3 – достаточно большая положительная константа. Оценивая по норме при lt0 <≤ левую часть интегрального уравнения (7), находим

dτ||))(τ,(τ||||)τ(t,||||)0(||||)t(||||)t(||t

0

ygKyHy ⋅+⋅≤ ∫ ,


или (с учетом полученной выше оценки для ||),t(|| yg )

. (10) dτ||(t)||ecc||)0(||c||)t(|| mτ]1)γ(m[2εt

0321 yyy ⋅⋅⋅+⋅≤ ⋅−−∫

Выберем положительное настолько малым, чтобы ε 2ε1)γ(m:δ −−= > 0. То-гда из (10) при lt0 <≤ следует неравенство

, (11) dτ||)τ(||e||)0(||c||)t(|| mt

0

δτ41 ∫ ⋅⋅+⋅≤ − yyy c

где . 324 ccc ⋅= Неравенство (11) согласно следствию 1 из леммы Бихари (см. § 9, гл. 1) влечёт неравенство

1m

1

mt

0

δτ4

1m1m1

1

dτ||)τ(||ec||0)(||c1)m(1

||)0(||c||)t(||−

−−−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅⋅⋅⋅−−

⋅≤

∫ yy

yy , (12)

если только

. (13) 1dτ||)τ(||ec||0)(||c1)m( mt

0

δτ4

1m1m1 <⋅⋅⋅⋅⋅− ∫ −−− yy

Но так как

+∞<<⋅−= −−∫ δ1e

δ1

δ1dτe δt

t

0

δτ

неравенство (13) всегда можно считать выполненным за счёт выбора достаточ-но малой окрестности начальных данных )0()0( yx = . Из (12) следует, что если величина ||)0(|| y достаточно мала, то для лю-бого lt0 <≤ точка )t(y является внутренней точкой области

}h2h||||,t{0Z <≤+∞<≤= y .

Следовательно, решение )t(y бесконечно продолжимо вправо, т.е. можно счи-тать, что . Тем самым, +∞=l

2h||)0(||N||)t(|| <⋅≤ yy 0t ≥∀ , (14)


где N – некоторая константа. Возвращаясь к исходной переменной x в (14), при полу-чаем

hΔ||)0(|| <<x

γte||)0(||N||)t(|| −⋅⋅≤ xx 0t ≥∀ ,

где положительная константа достаточно мала. Это означает, что нулевое решение нелинейной системы (1) экспоненциально устойчиво ■

Δ

Из асимптотической устойчивости линейной системы с постоянной мат-рицей следует, что вещественные части собственных значений этой матрицы отрицательны. Поэтому доказанная теорема с учётом следствия 1 из § 3 влечёт следующее утверждение. Следствие 1 (Ляпунов). Пусть дана вещественная нелинейная система

),t(dtd xfxAx

+⋅= (t ≥ 0), (15)

где A – постоянная матрица, вектор-функция в области (0,1)

tC),t( xxf ∈ 0t ≥ , h<x , 00f =),t( 0t ≥∀ , существуют константы , при которых 0αc, >

α1||||c||),t(|| +⋅≤ xxf 0t ≥∀ , h||||: <∀ xx .

Тогда если система линейного приближения

xAx⋅=

dtd

асимптотически устойчива, то нулевое решение системы (15) экспоненциаль-но устойчиво.

Упражнения С помощью следствия 1 исследовать на экспоненциальную устойчивость нулевые решения следующих систем

1) ⎪⎩

⎪⎨⎧

−+=

−+=

.y)sin(xxy

2x,yxx

2

22

&

&

2) ⎪⎩

⎪⎨⎧

−+−=

+= −

.6x112yy

),eln(5yx

4

3x

&

&


Литература

1. Александров А.Ю., Александрова Е.Б., Екимов А.В., Смирнов Н.В. Сбор-

ник задач и упражнений по теории устойчивости. СПб.: ООО «СОЛО», 2003.

2. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1984.

3. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. М.: ИЛ, 1954.

4. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967.

5. Зубов В. И. Методы Ляпунова и их применение. Л.: Изд-во ЛГУ, 1957. 6. Зубов В. И. Устойчивость движения. М.: Высшая школа, 1973. 7. Зубов В. И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975. 8. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. В кн. А. М. Ля- пунова «Избранные труды» , Изд-во АН СССР, 1948. 9. Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. М.–Л., 1952. 10. Меркин Д. Р. Введение в теорию устойчивости движения. М.: Наука, 1971. 11. Харитонов В. Л. Асимптотическая устойчивость семейства систем ли-

нейных дифференциальных уравнений//Дифференциальные уравнения. 1978, т. 14, № 11, С. 2086 – 2088.

12. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. М.: Нау-ка, 1979.

13. Четаев Н. Г. Устойчивость движения. М.–Л.: ОГИЗ, 1946.

ГЛАВА 3. ПЕРВЫЙ МЕТОД ЛЯПУНОВАГЛАВА 3. ПЕРВЫЙ МЕТОД...

Documents