Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώ-νουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγ-γραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντι-στηρίων μας. Μέσα από τη διαρκή τους αξιοποίη-ση στις τάξεις μας διασφαλίζουμε τον εμπλουτισμό τους, τη συνεχή τους βελτίωση και την επιστημονική τους αρτιότητα, καθιστώντας τα βιβλία των Εκδό-σεών μας εγγύηση για την επιτυχία των μαθητών.

τα βιβλία των επιτυχιών

ΓΙΑΝΝΗΣ ΣΤΑΜΟΥ

τεύχος α΄

Μαθηματικάπροετοιμασία για εισαγωγή στα

Πρότυπα Γυμνάσια

Σειρά: Δημοτικο Σχολειο

Μαθηματικά προετοιμασία για εισαγωγή στα Πρότυπα Γυμνάσια τεύχος α΄ Γιάννης Στάμου ISBN: 978-618-5325-35-0 SET: 978-618-5325-36-7

Επιστημονική επιμέλεια: Νίκος Τάσος Επιμέλεια κειμένου: Βαρβάρα ΠαπαδημητρίουΣχεδιασμός έκδοσης-σελιδοποίηση: Βαρβάρα ΠαπαδημητρίουΠροσαρμογή εξωφύλλου: Ηρώ ΝικολάουΥπεύθυνη έκδοσης: Μαλβίνα Κότο

Copyright 2019 © ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ, Γιάννης Στάμου για την ελληνική γλώσσα σε όλο τον κόσμο

Κυκλοφορία έκδοσης: Σεπτέμβριος 2019

Επικοινωνία με συγγραφέα: jstamou1908@gmail.com

Απαγορεύεται η με οποιονδήποτε τρόπο, μέσο και μέθοδο αναδημοσίευση, αναπαραγωγή, μετάφραση, διασκευή, θέση σε κυκλοφορία, παρουσίαση, διανομή και η εν γένει πάσης φύσεως χρήση και εκμετάλ-λευση του παρόντος έργου στο σύνολό του ή τμηματικά, καθώς και της ολικής αισθητικής εμφάνισης του βιβλίου (στοιχειοθεσίας, σελιδοποίησης κ.λπ.) και του εξωφύλλου του, σύμφωνα με τις διατάξεις της υπάρχουσας νομοθεσίας περί προστασίας πνευματικής ιδιοκτησίας και των συγγενικών δικαιωμάτων περιλαμβανομένων και των σχετικών διεθνών συμβάσεων.

Αριθμός έκδοσης: 1η | Αριθμός αντιτύπων: 1000

Λ. Βουλιαγμένης 46 & Αλεξιουπόλεως, ΤΚ 164 52 ΑργυρούποληΤ. 210 4112507 | www.ekdoseispoukamisas.gr | info@ekdoseispoukamisas.gr

Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα

7

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Ενότητα 1η: ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ

1.1 Φυσικοί και δεκαδικοί αριθµοί 111.2 Πράξεις φυσικών και δεκαδικών αριθµών 271.3 Πράξεις µε µεικτές αριθµητικές παραστάσεις 501.4 Διαιρέτες ενός φυσικού αριθµού – Μ.Κ.Δ. αριθµών 611.5 Πολλαπλάσια ενός φυσικού αριθµού – Ε.Κ.Π. 781.6 Τα κλάσµατα 961.7 Πράξεις κλασµάτων 123Επαναληπτικές ασκήσεις στην 1η ενότητα 143Προβλήµατα πρακτικής αριθµητικής 1471o κριτήριο αξιολόγησης 1502o κριτήριο αξιολόγησης 153

Ενότητα 2η: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

2.1 Η έννοια της µεταβλητής (Ένας φίλος αυτός ο άγνωστος) 1592.2 Εξίσωση 1602.3 Λύση προβληµάτων µε εξίσωση 1631o κριτήριο αξιολόγησης 1712o κριτήριο αξιολόγησης 173

Ενότητα 3η: ΛΟΓΟΙ – ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ

3.1 Λόγος δύο µεγεθών – Αναλογίες 1773.2 Αντιστρόφως ανάλογα ποσά 1943.3 Ποσοστά 204Επαναληπτικές ασκήσεις στην 3η ενότητα 2201o κριτήριο αξιολόγησης 2232o κριτήριο αξιολόγησης 225

Ενότητα 4η: ΣΥΛΛΟΓΗ ΚΑΙ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

4.1 Απεικόνιση δεδοµένων 2294.2 Μέσος όρος (µέση τιµή) 2401o κριτήριο αξιολόγησης 2512o κριτήριο αξιολόγησης 255

8

Ενότητα 5η: ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ – ΜΟΤΙΒΑ

5.1 Βασικά µεγέθη και µονάδες µέτρησης 2615.2 Μοτίβα 2781o κριτήριο αξιολόγησης 2852o κριτήριο αξιολόγησης 288

Ενότητα 6η: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ – ΕΜΒΑΔΑ – ΟΓΚΟΙ

6.1 Γεωµετρικά σχήµατα – Πολύγωνα 2936.2 Μέτρηση επιφανειών 3146.3 Στερεά 332Επαναληπτικές ασκήσεις στην 6η ενότητα 3481o κριτήριο αξιολόγησης 3502o κριτήριο αξιολόγησης 354

Θέματα εισαγωγής στα Πρότυπα Γυμνάσια 2013-2019 361

Λύσεις 381

Βιβλιογραφία 416

Ενότητα 1η: ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ1.1 Φυσικοί και δεκαδικοί αριθμοί

• Κατηγορίες φυσικών αριθμών• Σύγκριση φυσικών αριθμών• Δεκαδικοί αριθμοί• Σύγκριση δεκαδικών αριθμών• Μετατροπή δεκαδικών σε κλάσματα και αντίστροφα• Ασκήσεις – Προβλήματα – Δραστηριότητες

1.2 Πράξεις φυσικών και δεκαδικών αριθμών• Πρόσθεση – Αφαίρεση• Ιδιότητες της πρόσθεσης• Ιδιότητες του πολλαπλασιασμού • Πολλαπλασιασμός • Πολλαπλασιασμός με 10, 100, 1.000, ...• Πολλαπλασιασμός με 0,1 , 0,01 , 0,001, ...• Διαίρεση φυσικών αριθμών• Διαίρεση με δεκαδικούς αριθμούς• Ιδιότητες της διαίρεσης• Διαίρεση με 10, 100, 1.000, ...• Διαίρεση με 0,1 , 0,01 , 0,001, ...• Ασκήσεις – Προβλήματα – Δραστηριότητες

1.3 Πράξεις με μεικτές αριθμητικές παραστάσεις• Προτεραιότητα των πράξεων• Σύνθετα προβλήματα με 4 πράξεις• Στρογγυλοποίηση φυσικών και δεκαδικών αριθμών• Ασκήσεις – Προβλήματα – Δραστηριότητες

1.4 Διαιρέτες ενός φυσικού αριθμού – Μ.Κ.Δ. αριθμών • Διαιρέτες – Κοινοί διαιρέτες – Μέγιστος κοινός

διαιρέτης (ΜΚΔ)• Εναλλακτικοί τρόποι εύρεσης του ΜΚΔ• Κριτήρια διαιρετότητας• Πρώτοι και σύνθετοι αριθμοί

• Το Κόσκινο του Ερατοσθένη• Ανάλυση σε γινόμενο πρώτων παραγόντων• Ασκήσεις – Προβλήματα – Δραστηριότητες

1.5 Πολλαπλάσια ενός φυσικού αριθμού – Ε.Κ.Π.• Πολλαπλάσια - Κοινά πολλαπλάσια – Ελάχιστο

κοινό πολλαπλάσιο (ΕΚΠ)• Εναλλακτικοί τρόποι εύρεσης του ΕΚΠ• Δυνάμεις φυσικών αριθμών • Προτεραιότητα των πράξεων • Ένας άλλος τρόπος εύρεσης ΜΚΔ – ΕΚΠ • Δυνάμεις του 10• Ασκήσεις – Προβλήματα – Δραστηριότητες

1.6 Τα κλάσματα• Σύγκριση κλασμάτων με το 1• Ομώνυμα και ετερώνυμα κλάσματα• Το κλάσμα ως ακριβές πηλίκο διαίρεσης• Ισοδύναμα κλάσματα• Απλοποίηση – Ανάγωγα κλάσματα• Σύγκριση και διάταξη κλασμάτων• Ασκήσεις – Προβλήματα – Δραστηριότητες

1.7 Πράξεις κλασμάτων• Πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων• Πολλαπλασιασμός και διαίρεση κλασμάτων• Αντίστροφα κλάσματα – Αντίστροφοι αριθμοί• Κλασματικό μέρος ενός ποσού – Αναγωγή στη μονάδα• Σύνθετα κλάσματα• Ασκήσεις – Προβλήματα – Δραστηριότητες

Επαναληπτικές ασκήσεις στην 1η ΕνότηταΠροβλήματα πρακτικής αριθμητικήςΚριτήρια αξιολόγησης

11

Ενότητα 1η Αριθμοί και πράξεις

Φυσικοί και δεκαδικοί αριθμοί1.1

Φυσικοί λέγονται οι αριθμοί 0, 1, 2, 3, … και συμβολίζονται με το γράμμα N (αρχικό της λέξης Nature που σημαίνει φύση).

Ο συμβολισμός «…» σε μια σειρά αριθμών σημαίνει ότι εκεί υπάρχουν αριθμοί που προκύπτουν με τον ίδιο τρόπο, όπως και αυτοί που είναι ήδη καταγεγραμμένοι. Δεν σημαίνει ότι υπάρχει μόνο ένας αριθμός στη θέση του συμβόλου.Για παράδειγμα, στη σειρά των ζυγών αριθμών 0, 2, 4, …, 12, στη θέση των τριών τε-λειών εννοούνται οι αριθμοί 6, 8 και 10.Χρησιμοποιούμε τους φυσικούς αριθμούς για να εκφράσουμε πλήθος, σειρά, μέγεθος, κώδικα επικοινωνίας και ό,τι άλλο μας διευκολύνει στην καθημερινή επικοινωνία με τους ανθρώπους.

Παραδείγµατα

• Πλήθος: Η τάξη αποτελείται από 24 μαθητές.• Σειρά: Η Γαλλία ήρθε 1η στο Παγκόσμιο κύπελλο του 2018.• Μέγεθος: Το βάρος μου είναι 80 κιλά.• Κώδικα επικοινωνίας: Ο ταχυδρομικός κώδικας της Παιανίας είναι 19002.Για τη γραφή κάθε φυσικού αριθμού, χρησιμοποιούμε τα ψηφία 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.• Κάθε φυσικός αριθμός (εκτός του 0) έχει έναν προηγούμενο φυσικό αριθμό.• Κάθε φυσικός αριθμός (εκτός του 0) προκύπτει αν στον προηγούμενό του προσθέ-

σουμε το 1.• Κάθε φυσικός αριθμός έχει έναν επόμενο φυσικό αριθμό.• Υπάρχουν άπειροι φυσικοί αριθμοί.• Κάθε ψηφίο ενός φυσικού αριθμού έχει μια συγκεκριμένη αξία μέσα στον αριθμό, η

οποία εξαρτάται από τη θέση του ψηφίου μέσα στον αριθμό.Αν ένας φυσικός αριθμός έχει περισσότερα από 3 ψηφία, τον χωρίζουμε από δεξιά προς τα αριστερά σε τριψήφια τμήματα, βάζοντας μια τελεία. Έτσι, η πρώτη από δεξιά τριά-δα αποτελεί τις μονάδες, η δεύτερη τις χιλιάδες, η τρίτη τα εκατομμύρια, η τέταρτη τα δισεκατομμύρια κτλ.

12

Ενότητα 1η: Αριθμοί και πράξεις

Για παράδειγμα, τον αριθμό 12589603 τον γράφουμε αρχικά 12.589.603 και τον διαβά-ζουμε 12 εκατομμύρια 589 χιλιάδες 603 μονάδες.

Ψηφίο Εκφράζει Αξία

3 Μονάδες 3 1 3� �

0 Δεκάδες 0 10 0� �

6 Εκατοντάδες 6 100 600� �

9 Μονάδες Χιλιάδες 9 1 000 9 000� �. .

8 Δεκάδες Χιλιάδες 8 10 000 80 000� �. .

5 Εκατοντάδες Χιλιάδες 5 100 000 500 000� �. .

2 Μονάδες Εκατομμύρια 2 1 000 000 2 000 000� �. . . .

1 Δεκάδες Εκατομμύρια 2 10 000 000 20 000 000� �. . . .

Αν σε ένα φυσικό αριθμό υπάρχει τριψήφιο τμήμα (ανάμεσα σε τελείες) που όλα του τα ψηφία είναι 0, τότε δεν το διαβάζουμε.Για παράδειγμα, τον αριθμό 18000154 τον γράφουμε 18.000.154 και τον διαβάζουμε 18 εκατομμύρια 154 μονάδες.

Κατηγορίες φυσικών αριθμών

Οι φυσικοί αριθμοί χωρίζονται σε:• Άρτιους ή περιττούς.• Μονοψήφιους, διψήφιους, τριψήφιους κτλ.

Άρτιος (ή ζυγός) λέγεται κάθε αριθμός που τελειώνει σε 0, 2, 4, 6, 8.Περιττός (ή μονός) λέγεται κάθε φυσικός αριθμός που τελειώνει σε 1, 3, 5, 7, 9.Μονοψήφιος λέγεται κάθε αριθμός που έχει ακριβώς ένα ψηφίο, διψήφιος λέγε-ται κάθε αριθμός που έχει ακριβώς δύο ψηφία, τριψήφιος λέγεται κάθε αριθμός που έχει ακριβώς τρία ψηφία κτλ.

Για παράδειγμα:• Οι αριθμοί 8, 24, 156, 1.002 είναι άρτιοι.• Οι αριθμοί 9, 55, 801, 9.023 είναι περιττοί.• Μονοψήφιοι αριθμοί: 0, 1, 2, …, 9• Διψήφιοι αριθμοί: 10, 11, 12, …, 99• Τριψήφιοι αριθμοί: 100, 101, 102, …, 999

13

1.1 Φυσικοί και δεκαδικοί αριθμοί

Παραδείγµατα

1. Να χωρίσετε τους αριθμούς σε τριψήφια τμήματα και στη συνέχεια να τους γράψετε ολογράφως:α. 5002 β. 66132 γ. 378945 δ. 6912543

Λύση

α. 5002 → 5.002 → 5 χιλιάδες 2 μονάδεςβ. 66132 → 66.132 → 66 χιλιάδες 132 μονάδεςγ. 378945 → 378.945 → 378 χιλιάδες 945 μονάδεςδ. 6912543 → 6.912.543 → 6 εκατομμύρια 912 χιλιάδες 543 μονάδες

2. Να βρείτε την τάξη και την αξία του υπογραμμισμένου ψηφίου:α. 32 β. 9876 γ. 23.443 δ. 659.401 ε. 12.321.489

Λύση

α. 3 δεκάδες = 30β. 8 εκατοντάδες = 800γ. 3 μονάδες χιλιάδες = 3.000δ. 6 εκατοντάδες χιλιάδες = 600.000ε. 2 μονάδες εκατομμύρια = 2.000.000

3. Να αναλύσετε τον αριθμό 3.812.456.Λύση

3.812.456 = 3 ∙ 1.000.000 + 8 ∙ 100.000 + 1 ∙ 10.000 + 2 ∙ 1.000 + 4 ∙ 100 + 5 ∙ 10 + 6 ∙ 1

4. Να συνθέσετε τον αριθμό 3 ∙ 100.000 + 6 ∙ 1.000 + 9 ∙ 100 + 7 ∙ 1.Λύση

3 ∙ 100.000 + 6 ∙ 1.000 + 9 ∙ 100 + 7 ∙ 1 = 306.907

5. Να βάλετε x στο κατάλληλο τετραγωνάκι.

Αριθμός Πλήθος Σειρά Μέγεθος Κώδικας

30 €

Αρ. κινητού 6974845482

4η στήλη

2 μέτρα ύψος

14

Ενότητα 1η: Αριθμοί και πράξεις

Λύση

Αριθμός Πλήθος Σειρά Μέγεθος Κώδικας

30 € x

Αρ. κινητού 6974845482 x

4η στήλη x

2 μέτρα ύψος x

Σύγκριση φυσικών αριθμών

Σύγκριση δύο αριθμών είναι το αποτέλεσμα που μας δείχνει ποιος από τους δύο είναι μεγαλύτερος ή αν οι αριθμοί είναι ίσοι. Για να καταγράψουμε το αποτέλεσμα μιας σύγκρισης, χρησιμοποιούμε:• το ίσον (=), αν οι αριθμοί είναι ίσοι• το μεγαλύτερο από (>), αν ο αριθμός από αριστερά είναι μεγαλύτερος• το μικρότερο από (<), αν ο αριθμός από δεξιά είναι μικρότερος.Για να συγκρίνουμε δύο φυσικούς αριθμούς, αρχικά μετρούμε τα ψηφία τους.• Αν κάποιος έχει περισσότερα ψηφία, τότε αυτός είναι ο μεγαλύτερος.• Αν έχουν το ίδιο πλήθος ψηφίων, τότε συγκρίνουμε τα ψηφία της μεγαλύτερης

τάξης (ξεκινώντας πάντα από αριστερά). Αν κάποιο είναι μεγαλύτερο, τότε ο αριθμός στον οποίο βρίσκεται το ψηφίο αυτό είναι ο μεγαλύτερος. Αν είναι ίσα, τότε συνεχίζουμε την ίδια διαδικασία με το ψηφίο της επόμενης τάξης κτλ.

Με αυτόν τον τρόπο, μας δίνεται η δυνατότητα να τοποθετούμε ένα πλήθος αριθ-μών κατά αύξουσα σειρά (από τον μικρότερο στον μεγαλύτερο) ή κατά φθίνου-σα σειρά (από τον μεγαλύτερο στον μικρότερο). Δεν βάζουμε, όμως, ποτέ σε μια διάταξη διαφορετικά σύμβολα, για παράδειγμα δεν γράφουμε ποτέ 5 < 9 > 7.

Παραδείγµατα

1. Να συγκρίνετε τους αριθμούς:α. 83 και 803 β. 327 και 273 γ. 5032 και 5031 δ. 579 και 0579

Λύσηα. 83 < 803 β. 327 > 273 γ. 5032 > 5031δ. 579 = 0579, αφού το ψηφίο 0 στην αρχή ενός φυσικού αριθμού δεν έχει αξία.

15

1.1 Φυσικοί και δεκαδικοί αριθμοί

2. Να τοποθετήσετε τους αριθμούς 538, 359, 124, 1001, 76, 83:α. κατά αύξουσα σειρά β. κατά φθίνουσα σειρά

Λύση

α. 76 < 83 < 124 < 359 < 538 < 1001 β. 1001 > 538 > 359 > 124 > 83 > 76

Δεκαδικοί αριθμοί

Δεκαδικοί ονομάζονται οι αριθμοί που χρησιμοποιούνται για να εκφράσουν με ακρίβεια ένα μέγεθος, το οποίο δεν μπορούν να εκφράσουν οι φυσικοί αριθμοί.

• Κάθε δεκαδικός αριθμός αποτελείται από δύο μέρη, τα οποία χωρίζονται με ένα κόμ-μα, τη λεγόμενη υποδιαστολή.

• Το μέρος αριστερά από την υποδιαστολή ονομάζεται ακέραιο μέρος.• Το μέρος δεξιά από την υποδιαστολή ονομάζεται δεκαδικό μέρος.

Δεκαδικός

αριθμός

ΥποδιαστολήΔεκαδικό

μέρος

Ακέραιο

μέρος

• Το πρώτο ψηφίο του δεκαδικού μέρους ονομάζεται δέκατο, το δεύτερο ψηφίο ονο-μάζεται εκατοστό, το τρίτο χιλιοστό κτλ.

• Κάθε φυσικός αριθμός μπορεί να γίνει δεκαδικός με την προσθήκη της υποδιαστολής και μηδενικών μετά από αυτήν.

• Όπως στους φυσικούς αριθμούς, έτσι και στους δεκαδικούς, δέκα μονάδες μιας τά-ξης είναι μια μονάδα της αμέσως μεγαλύτερης τάξης. Δηλαδή:

Δέκατα

2 7, 8 3 9

Χιλιοστά

Εκατοστά

10 χιλιοστά = 1 εκατοστό10 εκατοστά = 1 δέκατο10 δέκατα = 1 μονάδα

Για να ονομάσουμε ένα δεκαδικό αριθμό, ενεργούμε ως εξής:• Χωρίζουμε το ακέραιο μέρος, από δεξιά, ανά τρία

ψηφία.• Διαβάζουμε το ακέραιο μέρος όπως στους φυσι-

κούς και στη συνέχεια προσθέτουμε «και» ή «κόμμα» και, ανάλογα με τη θέση και την αξία του τελευταίου δεκαδικού ψηφίου, προσθέτουμε το ανάλογο συνθετικό.

Για παράδειγμα, τον αριθμό 56,032 τον διαβάζουμε: 56 και (ή κόμμα) 32 χιλιοστά (αφού η τάξη του τελευταίου ψηφίου είναι τα χιλιοστά).

16

Ενότητα 1η: Αριθμοί και πράξεις

Παραδείγµατα

1. Να τοποθετήσετε κατάλληλα την υποδιαστολή στους αριθμούς 8045, 14, 4, 10402, ώστε το 4 να σημαίνει:α. δέκατα β. εκατοστά γ. χιλιοστά

Λύση

α. 80,45 1,4 0,4 10,402 β. 8,045 0,14 0,04 1,0402γ. 0,8045 0,014 0,004 0,10402

2. Να βρείτε την τάξη και την αξία του υπογραμμισμένου ψηφίου:α. 22,01 β. 1,908 γ. 7,394

Λύση

α. 1 εκατοστό = 0,01β. 9 δέκατα = 0,9γ. 4 χιλιοστά = 0,004

3. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα.

Αριθμός Χ Ε Δ Μ δ ε χ

35,2

1.028,705

9,054

486,1

Λύση

Αριθμός Χ Ε Δ Μ δ ε χ

35,2 0 0 3 5 2 0 0

1.028,705 1 0 2 8 7 0 5

9,054 0 0 0 9 0 5 4

486,1 0 4 8 6 1 0 0

4. Να γράψετε ολογράφως τους αριθμούς:α. δεκαοκτώ και έξι εκατοστάβ. οκτώ και εκατόν δύο χιλιοστάγ. εκατό και επτά δέκαταδ. ογδόντα τρία χιλιοστά

17

1.1 Φυσικοί και δεκαδικοί αριθμοί

Λύση

α. δεκαοκτώ και έξι εκατοστά = 18,06β. οκτώ και εκατόν δύο χιλιοστά = 8,102γ. εκατό και επτά δέκατα = 100,7δ. ογδόντα τρία χιλιοστά = 0,083

5. Να συμπληρώσετε τους δεκαδικούς που λείπουν:α. 55 λεπτά του € = ………..€β. 8 λεπτά του € = ………..€γ. 105 λεπτά του € = ………..€δ. 44 χιλιοστά του μέτρου = ………..μ.ε. 701 εκατοστά του μέτρου = ………..μ.στ. 3 δέκατα του μέτρου = ………..μ. 1€ = 100 λεπτά

1 μ. = 10 δεκ. = 100 εκ. = 1000 χιλ.Λύση

α. 55 λεπτά του € = 0,55 €β. 8 λεπτά του € = 0,08 €γ. 105 λεπτά του € = 1,05 €δ. 44 χιλιοστά του μέτρου = 0,044 μ.ε. 701 εκατοστά του μέτρου = 7,01 μ.στ. 3 δέκατα του μέτρου = 0,3 μ.

Σύγκριση δεκαδικών αριθμών

Για να συγκρίνουμε δύο δεκαδικούς αριθμούς, ενεργουμε ως εξής:• Συγκρίνουμε τα ακέραια μέρη (όπως στους φυσικούς) και ο δεκαδικός με το μεγαλύ-

τερο ακέραιο μέρος είναι ο μεγαλύτερος.• Αν τα ακέραια μέρη είναι ίσα, τότε συγκρίνουμε τα δεκαδικά μέρη αρχίζοντας από το

ψηφίο στα δέκατα. Αν κάποιο είναι μεγαλύτερο, τότε ο αριθμός στον οποίο βρίσκε-ται είναι ο μεγαλύτερος. Αν και αυτά είναι ίσα, συνεχίζουμε την ίδια διαδικασία στα εκατοστά, στα χιλιοστά κτλ.

Παραδείγµατα

• 18,93 < 20,01• 44,502 < 44,503 • 36,8 < 36,803

18

Ενότητα 1η: Αριθμοί και πράξεις

Παραδείγµατα

1. Να τοποθετήσετε σε αύξουσα σειρά τους αριθμούς:5,032 0,701 10,9 5,03 1,8

Λύση

0,701 < 1,8 < 5,03 < 5,032 < 10,9

2. Να συμπληρώσετε τα κενά με έναν δεκαδικό αριθμό:α. 7,8 <…..< 7,9 β. 0,43 <…..< 0,44 γ. 11,9 <…..< 12

Λύση

α. 7,8 < 7,82 < 7,9 β. 0,43 < 0,435 < 0,44 γ. 11,9 < 11,98 < 12

3. Με τα ψηφία 2, 1, 5, 8, να σχηματίσετε το μεγαλύτερο και το μικρότερο δεκαδι-κό αριθμό με τρία δεκαδικά ψηφία.

Λύση

Μεγαλύτερος αριθμός: 8,521Μικρότερος αριθμός: 1,258

Μετατροπή δεκαδικών σε κλάσματα και αντίστροφα

Δεκαδικό κλάσμα ονομάζεται κάθε κλάσμα που έχει παρονομαστή 10, 100, 1000 κτλ.

Για παράδειγμα, τα κλάσματα 7

10

37

100

208

1000, , είναι δεκαδικά.

• Για να μετατρέψουμε έναν δεκαδικό αριθμό σε δεκαδικό κλάσμα, τοποθετούμε στη θέση του αριθμητή τον αριθμό χωρίς την υποδιαστολή και στη θέση του παρονομα-στή τοποθετούμε το 1 με τόσα μηδενικά, όσα και τα δεκαδικά ψηφία του αριθμού.Για παράδειγμα:

5 08508

100, =

• Για να μετατρέψουμε ένα δεκαδικό κλάσμα σε δεκαδικό αριθμό, γράφουμε τον αριθ-μό στον αριθμητή και, ξεκινώντας από δεξιά, χωρίζουμε με την υποδιαστολή τόσα δεκαδικά ψηφία, όσα και τα μηδενικά του παρονομαστή.Για παράδειγμα:

567

1005 67= ,

19

1.1 Φυσικοί και δεκαδικοί αριθμοί

Παραδείγµατα

1. Να μετατρέψετε τους δεκαδικούς αριθμούς σε δεκαδικά κλάσματα:

α. 3 7, ..........

== β. 10 92, ..........

== γ. 0 074, ..........

== δ. 98 65, ..........

==

Λύση

α. 3 737

10, = β. 10 92

1092

100, = γ. 0 074

74

1000, = δ. 98 65

9865

100, =

2. Να μετατρέψετε τα δεκαδικά κλάσματα σε δεκαδικούς αριθμούς:

α. 80910

== ..... β. 11100

== ..... γ. 70021000

== ..... δ. 1100

== .....

Λύση

α. 809

1080 9= , β. 11

1000 11= , γ. 7002

10007 002= , δ. 1

1000 01= ,

3. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα.

Δεκαδικό κλάσμα Δεκαδικός αριθμός Διαβάζω

23

100

Τριάντα πέντε χιλιοστά

0,1

Εκατόν τρία δέκατα

6

1 000.

0,42

20

Ενότητα 1η: Αριθμοί και πράξεις

Λύση

Δεκαδικό κλάσμα Δεκαδικός αριθμός Διαβάζω

23

100 0,23 Είκοσι τρία εκατοστά

351 000.

0,035 Τριάντα πέντε χιλιοστά

110

0,1 Ένα δέκατο

10310

10,3 Εκατόν τρία δέκατα

6

1 000. 0,006 Έξι χιλιοστά

42100

0,42 Σαράντα δύο εκατοστά

4. Να κάνετε τις πράξεις:

α. 310

5100

0 001++ ++ , β. 0 6 2100

91000

, ++ ++ γ. 0 55 44100

, −−

Λύση

Μετατρέπουμε αρχικά τα δεκαδικά κλάσματα σε δεκαδικούς αριθμούς και κάνουμε τις πράξεις.

α. 3

10

5

1000 001 0 3 0 05 0 001 0 351� � � � � �, , , , ,

β. 0 62

100

9

10000 6 0 02 0 009 0 629, , , , ,� � � � � �

γ. 0 5544

1000 55 0 44 0 11, , , ,� � � �

Αρχαίοι ελληνικοί αριθµοί

21

1.1 Φυσικοί και δεκαδικοί αριθμοί

Αρχαίοι ελληνικοί αριθµοί

Μετατροπή από αραβικά ψηφία σε αρχαιοελληνικά σημεία

22

Ασκήσεις – Προβλήματα – Δραστηριότητες

Ασκήσεις

1. Να γράψετε με ψηφία τους παρακάτω αριθμούς:α. Εκατόν πενήντα δύο β. Δύο χιλιάδες έντεκαγ. Τετρακόσια οκτώ δ. Πέντε χιλιάδες εννιακόσια είκοσι επτά

2. Με τα ψηφία 7, 3 και 2 να σχηματίσετε όσους τριψήφιους αριθμούς μπορείτε, χρη-σιμοποιώντας κάθε ψηφίο μια φορά. Στη συνέχεια, σημειώστε τον μεγαλύτερο και τον μικρότερο αριθμό που σχηματίσατε.

3. Να χωρίσετε τους παρακάτω αριθμούς σε τριψήφια τμήματα και να τους γράψετε ολογράφως.α. 123456789 β. 32056 γ. 78902 δ. 1002

4. Να συμπληρώσετε τις τριάδες διαδοχικών φυσικών αριθμών.

α. 1209

β. 750

γ. 5032

5. Να τοποθετήσετε στην αριθμογραμμή τους αριθμούς: 1.258, 1.272, 1.249, 1.266, 1.277.

12781248

6. Να αναλύσετε τους αριθμούς:α. 789.023 β. 63.178 γ. 3.901.452

7. Να συνθέσετε τους αριθμούς:α. 3 ∙ 100.000 + 5 ∙ 1.000 + 8 ∙ 100 + 6 ∙ 1β. 9 ∙ 1.000.000 + 8 ∙ 100.000 + 1 ∙ 10.000 + 4 ∙ 100

8. Να γράψετε ολογράφως τους αριθμούς:α. 125,36 β. 77,013 γ. 1.002,301 δ. 0,987 ε. 29.034,26