わんくま同盟名古屋勉強会 #37...

わんくま同盟名古屋勉強会 #37

ソルバーで

組み合わせ問題を

解いて遊ぶ

H.Hiro

http://hhiro.net/

Twitter: @h_hiro_


自己紹介


H.Hiro

• 情報系の某研究員です。

• 昨年度まで札幌に住んでました。

• 趣味プログラミング19年目です。

現在はRubyやC++を多用します。


サンプル

プログラム等は

こちらにあります http://hhiro.net/wkn37

http://hhiro.net/wkn37


今回行うこと


• いろいろな「組み合わせ」をコンピュータに

試させる


手当たり次第に

候補を探すには

時間がかかりすぎる


• 普通に解こうとすると時間がかかるが

需要がある問題なわけなので

「何とかしたい！」と思う人はたくさんいる

• となると、効率よく解くために努力している

人もたくさんいる

• そういった方々の努力の産物（ソルバー）に、

ありがたく乗っからせていただこう


ソルバー

• 英語 “solver” の意味からすれば

（問題を）解くためのもの

• 一般的にソルバーといえば：事前に定められた

フォーマットに該当する問題について、それを

指定すると解いてくれるもの

–例えば

「●●の形の方程式を解いてくれる」とか

「●●の形の式を最大化するものを

見つける」とか


Excelのソルバーを見てみる

有効化する方法（MS Office 2007の場合）

• 左上のOfficeアイコン

• →「Excelのオプション」

• →「アドイン」

• →「設定」


Excelのソルバーを見てみる


• とりあえず、値を「最大化」「最小化」「特定の値にする」ような計算はできることが

わかった

• ただ、「解きたい問題をExcelのソルバーが

解ける形に変換する」とか、これだと効率的に

解けない問題とかもあるし

• 問題によっては、Excelとは違うソルバーに

任せるべきこともあるし

• 話は単純じゃない


今回やること

• ソルバーを使う際の考え方、すなわち

– 「どんな問題なら解けるのか」

– 「どんな形で問題を与えてあげれば、

望む問題を解いてもらえるか」

を中心に説明します。

• 極力「汎用性の高いソルバー」を紹介します。

• ソルバーの中身までは説明しません。

• 数学的な説明も少し入ります。


今回取り扱う問題


1. 一つでも組み合わせが見つかればよい問題

2. 条件を満たすものの中で最適な結果を

得たい問題

3. すべての可能性を列挙したい問題


の前に

一つだけ

大事な補足


• ここから扱う問題は、主に

「一般には理論的には、計算時間が

爆発するとわかっている問題」を扱います。

（「NP完全」とか「NP困難」とかそれ以上）

• ただ、組み合わせ系の問題が全部それに

該当するわけじゃないです。


例：ある地点からある地点への最短経路

スタ

ート

ゴー

ル

これは、あとで扱う問題に比べれば

「問題サイズの増加に対する計算時間の増加」は

非常に小さい！（「ダイクストラ法」という方法がある。

計算時間は高々、地点数の2乗でしか増えない）


例：ある地点からある地点への最短経路

スタ

ート

ゴー

ル

（時間のかかるような）ソルバーに頼るのは

最後の手段と考えておこう。

問題が大きくなると時間がかかりすぎて解けない。


1.

「一つでも組み合わせが

見つかればよい問題」を解く


「一つでも組み合わせが見つかればよい問題」

が想定される状況：

• ある計画が実行可能であるか

わからないとき、それを確かめたい

• お絵かきロジック（ピクロス）、

数独等のパズル（多くの場合、

問題を作る際に二つ以上の

答えが出ないようにしている）


「一つでも組み合わせが見つかればよい問題」

を解くソルバーの例：SATソルバー

• 論理式を入力する。

• それを満たす真/偽の組み合わせがあれば

一つ返す。なければ「ない」と答える。

例：

A, B, Cが真理値（「真」か「偽」を取る）のとき

[A or B] and [(not A) or C] and [(not B) or (not C)]

が真になるA, B, Cの組み合わせは存在する？

Satisfiability Problem

（充足可能性問題）から


• ソフトウェア多数

• ただ、Excel標準のソルバーでは解けない（？）

• ここでは「minisat」の例を示す http://minisat.se/

※Windowsではcygwinが必要（mingwでは不可）

[A or B] and [(not A) or C] and [(not B) or (not C)]

p cnf 3 3 /* “3変数・式3行”の意味 */

1 2 0 /* 0が1つの式の終わり */

-1 3 0 /* マイナスはnotの意味 */

-2 -3 0

↓ “dimacs”というフォーマットで記述（上記のような “[… or …] and …” の形の式に特化）

→

解かせる

SAT /* 組み合わせあり */

-1 2 -3 0

http://minisat.se/


• 例えば数独を解く場合


• 例えば数独を解く場合

各マスには1から9の数字を入れる。

しかし、論理式の変数一つ一つは真偽値。

• なので、「マスAに1が入る」「マスAに2が入る」 …「マスAに9が入る」という真偽値をそれぞれ

用意する。参考：http://d.hatena.ne.jp/ku-ma-me/20080108/p1

真偽値だけで条件を書ければ、解いてもらえる

※もちろん、変数が増えると遅くなる

http://d.hatena.ne.jp/ku-ma-me/20080108/p1






“[このマスは4] or [このマスは7] or

[このマスは9]” という式を書く

• 縦の制約：1, 2は不可

• 横の制約：1, 2, 3, 5, 8は不可

• 3×3正方形の制約：1, 2, 3, 6は不可


• 真偽値だけで全部条件を書こうとすると

大変だったもの：お絵かきロジック（ピクロス）


• 真偽値だけで全部条件を書こうとすると

大変だったもの：お絵かきロジック（ピクロス）

例えばこの列を表現しようとすると

「全部の可能性を列挙するしかない」。

• [あ]と[う]は塗る、他は塗らない

• [あ]と[え]は塗る、他は塗らない

• [あ]と[お]は塗る、他は塗らない

• [い]と[え]は塗る、他は塗らない

• [い]と[お]は塗る、他は塗らない

• [う]と[お]は塗る、他は塗らないうえおあい

•論理式では、「個数」は

扱いにくい

•マス数が増えるともっと大変


この節のまとめ

• 「一つでも組み合わせが見つかればよい問題」を考えた

• SATソルバーを使うのが一つの手段

• SATソルバーは、問題を適切な数の論理式で

表現できるなら使ってみるとよいだろう


2.

「条件を満たすものの

中で、最適な結果を

得たい問題」を解く


「条件を満たすものの中で、最適な結果を

得たい問題」が想定される状況：

• 最短（最長）の経路を求めたい、

最大の利益（または最小のコスト）となる

組み合わせを求めたい、など

• 「地域内のすべての家（または道路）を

検査して回る最短経路」など


さっきの「ある地点からある地点への最短経路」

は比較的容易に解ける問題ということだったので

もっと難しい問題を扱います。

スタ

ート

ゴー

ル


• 例：「最大単語数でのしりとり」（事前に与えられた単語集合をなるべく多く

利用し、しりとりになるようにする） http://nlab.itmedia.co.jp/nl/articles/1107/19/news080.html

http://chiraura.hhiro.net/shiritori/

http://nlab.itmedia.co.jp/nl/articles/1107/19/news080.html

http://chiraura.hhiro.net/shiritori/


• 例：「最長片道切符」（JRの切符として買える

最長のものを求める。

「同じ駅を二度通ったら

それ以上進めない」と

いう制約がある） http://www.swa.gr.jp/lop/

http://www.swa.gr.jp/lop/index.html


「条件を満たすものの中で、最適な結果を得たい

問題」を解くソルバーの例：線形計画ソルバー

• 線形の式（定数×変数＋定数×変数＋…）で

条件式ならびに最大化したい式を書く。

• それを最大化するものを返してくれる。

• Excelのソルバーの一つにこれが入っている

例：

制約条件 2x + y ≦ 100, x + 2y ≦ 140 のもとで、

x + y の最大値は？


• 高校数学で出てくる問題です

例：

制約条件 2x + y ≦ 100, x + 2y ≦ 140 のもとで、


x

y

140

100

2x + y ≦ 100 を満たす範囲

x + 2y ≦ 140 を満たす範囲

実際に x, y が存在できる範囲

50

70



例：

制約条件 2x + y ≦ 100, x + 2y ≦ 140 のもとで、


x

y

140

100

50

70

x + y = 20 である箇所の集合



→ x + y の最大値はこれ！



例：

制約条件 2x + y ≦ 100, x + 2y ≦ 140 のもとで、


x

y

70

140

100

50

• これを、変数や条件の数が

増えてもちゃんと解いてくれるのが

線形計画ソルバー


• で、しりとりや鉄道路線の問題って線形の式で

書けるの？

• 書けるには書けるけど、完全ではない

制約条件： 1. [X で始まって Y で終わる単語数]は0以上Z以下

（与えられた単語の総数） 2. ΣX [“あ”で始まって X で終わる単語数]

= ΣY [Y で始まって“あ”で終わる単語数]

（しりとりになる条件） ※最初・最後の単語は別扱いが必要 ※“あ”以外も同様

最大化したい式： ΣX, Y [X で始まって Y で終わる単語数]

「単語数」は

整数。

でも

さっきの方法

だと答えが

小数になりうる


• 線形計画問題の、変数の値を整数に

限定したもの（整数計画問題）は、

単なる線形計画問題に比べて大幅に遅い

• ただ、それでも変数や条件が極端に多く

なければ解いてくれる


線形計画問題・整数計画問題を解いてくれる

ソルバーの例：

• Excelのソルバー

（変数は整数に限る、という指定もできる）

• GLPK https://www.gnu.org/software/glpk/

（オープンソース、私の実装でも利用）

https://www.gnu.org/software/glpk/


補足：Excelのソルバーで「変数は整数に限る」

という指定をする方法


例題（Excelファイル参照）

制約条件 2x + y ≦ 100, x + 2y ≦ 130 のもとで、


（さっきと微妙に値が違う。きれいな値にはならない）

制約条件 2x + y ≦ 100, x + 2y ≦ 130 のもとで、

x + y の最大値は？（ただしx, yは整数に限る）


3.

「すべての可能性を

列挙したい問題」を解く


「すべての可能性を列挙したい問題」が

想定される状況：

• 実際にどの結果を採用するか、人の目で見て

判断したい

• 例えば、最短経路以外も見つけておいて

実際によさそうなものを選ぶ


「すべての可能性を列挙したい問題」の難しい

ところは、その結果も巨大になりうること。

結果を適切に圧縮して出力・保持できることを

想定する。


「すべての可能性を列挙したい問題」を解く

ソルバー（どちらかといえば、すべての可能性を

効率よく表現するライブラリ）の例：Graphillion https://github.com/takemaru/graphillion/wiki

• グラフ構造を対象に、条件を満たすものを

すべて列挙する

• 参考：「おねえさんが経路数を数え上げる動画」 https://youtu.be/Q4gTV4r0zRs

これの技術的バックグラウンド

https://github.com/takemaru/graphillion/wiki

https://youtu.be/Q4gTV4r0zRs


左上から右下への「同じ点を二度

通らない」行き方：2通り








Graphillionの技術的な特徴：

“ZDD”という「集合の集合」を圧縮表現する

データ構造を用いている

• 扱う対象が集合として書ければ、

ZDDで表現できるので、グラフ構造以外でも

表現を圧縮できる可能性はある

• ただし、それが効率よく表現できる（圧縮率が

高い）かは、その集合の性質に依存する

（サイズが爆発する場合もある）


おわりに


多くの組み合わせを調べたいときは、先人の

知恵の詰まったソルバーに頼ってみよう。

• ただし、それがなくても十分高速に

解けるかもしれないことは留意を。

• 頼っても解けない場合もあることにも留意を。

• うまく解いてもらうには、問題の特徴を

押さえたり、問題を変形してあげないと

ならない。

わんくま同盟 名古屋勉強会 #37...

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