無理数とお友達になろう - 第384回科学勉強会
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無理数とお友達になろう 日曜数学者 辻 順平
ウェブサイト： http://tsujimotter.info/
整数とお友達になろう（第348回 科学勉強会）
http://www.slideshare.net/junpeitsuji/ss-‐39378514
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今日は「無理数」と
お友達になりましょう！
3
ほとんどすべての実数は「無理数」である
4
お友達がたくさんできる
5
今日は全部で１２組のお友達（無理数）をご紹介します
0 5 20 25
p5
p3
p2
⇣(2)
⇣(3)
⇣(4), ⇣(5), ⇣(6), . . .
e ⇡ e⇡0.123 . . . p2p2
本日のお品書き
• 無理数と超越数
• 絶対に覚えたい基本的な無理数３選
「無理数であること」の証明法
• 超越数発見の秘技「ゲルフォント・シュナイダーの定理」
• ゼータ・ファミリー
6
無理数とは
有理数ではない数のこと ・・・・
7
定義
有理数とは
30 384 3.84 = 384
100 3 = 3 1
整数の比（分数）で表すことができる数のこと
8
0.142857 = 1 7 ・ ・
無理数
有理数
実数全体
π = 3.14159265… e = 2.71828182846…
√2 = 1.41421356…
3 3.84
30 384 9
無限
続
循環
小数
無理数
有理数
実数全体
もう少し細かく分類できない？
10
超越数
代数的数 有理数
実数全体
11
有理数 x は分数の形で表せる
（互いに素な）整数
有理数の別の定義
整数係数の一次方程式の解 ・・・・・
12
x =b
a
整数係数の一次方程式
両辺 a をかける
() ax = b
代数的数の定義
整数係数のｎ次方程式の解（ｎは正の整数）
※「代数的数ではない数」のことを超越数という
・・・・・
13
一般化
例： の解
の解
•
•
x
2 = 2
x
-2x
10 + 7x
7 + 6x
3 - 19 = 0
x
超越数
代数的数 有理数
π = 3.14159265… e = 2.71828182846…
√2 = 1.41421356…
3 3.84
30 384 14
絶対に覚えたい 基本的な無理数３選
√2 , e, π 15
√2 （ルート２）
• 代数的数
• 数学史上，最初に発見された「無理数」
の解のうち，正のもの
定義 超
代 有
お友達候補 No. 1
二次方程式
16
x
2 = 2
超
代 有
一辺の長さが 1 の正方形の対角線の長さは √2
ピタゴラスの定理
1
1 17
x
2 = 1
2 + 1
2
) x
2 = 2
超
代 有 18
ピタゴラス「すべての数は整数の比で表せる（有理数）はずだ」
弟子「ピタゴラス先生の定理使ったら
有理数じゃない数できたったwww」
ピタゴラス「・・・」
どうして 無理数だと わかるの？
19
「無理数であること」の証明法
「（証明したい数が）有理数である」
と仮定して矛盾を導く
背理法（はいりほう） 20
「無理数であること」の証明は
たいへん 一般に
21
「√2 は無理数である」の証明（概略）
「 は有理数である」を仮定すると，
とかける（ただし， は互いに素な整数）
いろいろあって，
実は は互いに素ではないことがわかる 仮定と矛盾
背理法により仮定は誤り よって「 は無理数である」 22
・・
a, b
p2 = b
a
p2 = b
a
p2 = b
a
a, b
p2,p3,p4,p5,p6,p7, . . .超
代 有
お友達候補 No. 2
平方数ではない正の整数の平方根
は
すべて「無理数」
23
超
代 有
おぼえかた
ひと よひとよにひとみご ろ
ひと な み に お ご れ や
ふ じさんろくおうむなく
24
p2 = 1.41421356...
p3 = 1.7320508...
p5 = 2.2360679...
e （ネイピア数）
• 微分積分学に登場する基本定数
• 歴史上２番目に超越数であることが示された数
（証明：エルミート，1873年）
定義 超
代 有
お友達候補 No. 3
25
e = limn!1
✓1+
1
n
◆n
超
代 有 26
e = limn!1
✓1+
1
n
◆n
= 2.7182818...
超
代 有
自然対数の底 指数関数は微分しても形が変わらない
27
loge x (ex) 0 = ex
超
代 有
テイラー展開が分かりやすい形でかける
無限和の形で書くことが出来る！
e
x = 1+x
1!+
x
2
2!+
x
3
3!+
x
4
4!+
x
5
5!+ · · ·
e = 1+1
1!+
1
2!+
1
3!+
1
4!+
1
5!+ · · ·
x = 1
π （円周率）
• 古代より知られた，円を象徴する定数
• リンデマンにより超越数であることが示された（1882 年）
定義 超
代 有
お友達候補 No. 4
円周
直径 π = 直径 円周
29
超
代 有
どんな円をとってきても，円周と直径の比は一定
《不変なものには名前をつける価値がある》
数学ガール／ガロア理論より引用
超
代 有 31
⇡ = 3.14159265358...
超
代 有
ライプニッツの公式
円周率πも無限和によって表せる
32
⇡ = 4
✓1
1-
1
3+
1
5-
1
7+ · · ·
◆
超
代 有
これら２つの超越数はきれいな無限和で表すことができる
33
⇡ = 4
✓1
1-
1
3+
1
5-
1
7+ · · ·
◆
e = 1+1
1!+
1
2!+
1
3!+
1
4!+
1
5!+ · · ·
絶対に覚えたい 基本的な無理数３選
√2 , e, π Complete!!
34
もっとお友達（無理数）を
増やしたい
35
超越数かどうか不明有理数か無理数か，すらわからない
（未解決問題）
どちらも超越数
36
e ⇡
e+ ⇡ e- ⇡
e⇡ ⇡e
ee ⇡⇡
無理数（超越数）を
見つけるのは難しい 37
超越数発見の
秘技 38
ゲルフォント ・
シュナイダー の定理
ゲルフォント・シュナイダーの定理
0, 1 ではない数
有理数ではない数
のいずれか１つは超越数
超 代 代 40
ab
a, b, ab
オイラーの公式
「世界一美しい式」とよく言われる式
（基本的な定数 がきれいに組み合わされた式）41
ei⇡ = -1
e,⇡, i =p-1
オイラーの公式
「世界一美しい式」とよく言われる式
（基本的な定数 がきれいに組み合わされた式）42
ei⇡ = -1
e,⇡, i =p-1超越数論において実用的な式の１つ
使い方（例）
0,1 ではない代数的数
有理数ではない代数的数
43
e⇡ = (ei⇡)-i
∵オイラーの公式
= (-1)-i
よって，ゲルフォント・シュナイダーの定理より， は超越数 e⇡ = (ei⇡)-i
定義
eπ （ゲルフォントの定数） 超
代 有
お友達候補 No. 5
ゲルフォント・シュナイダーの定理より超越数 44
e⇡ = 23.1406926328...
超
代 有
お友達候補 No. 6
ゲルフォント・ファミリー
45
自然数 n に対する は
ゲルフォント・シュナイダーの定理より，すべて超越数
e⇡pn
e⇡p2, e⇡
p3, e⇡
p4, e⇡
p5, e⇡
p6, e⇡
p7, . . .
超
代 有 46
= 262537412640768743.99999999999925007…
超越数であるにも関わらず，
整数に非常に近い値をとる不思議な定数
（ほとんど整数）
e⇡p163
超
代 有
お友達候補 No. 7
√2√2 （ルート２のルート２乗）
ゲルフォント・シュナイダーより超越数であることが示せる
p2p2
0,1 ではない代数的数
有理数ではない代数的数
47
超
代 有
お友達候補 No. 8
チャンパーノウン数
定義
小数点以下に正の整数を１から順に並べた数
48
単純な形で定められるにも関わらず，無理数かつ超越数
0.12345678910111213...
ゼータ・ファミリー
49
ゼータ関数 ギリシャ文字の
“ゼータ”
50
⇣(x) =1
1
x
+1
2
x
+1
3
x
+1
4
x
+1
5
x
+ · · ·
変数 に整数を入れたときのゼータ関数の値について考えたい x
（ゼータツー） 定義
超
代 有
お友達候補 No. 9
51
⇣(2) =1
12+
1
22+
1
32+
1
42+
1
52+ · · ·
⇣(2)
• オイラーが を証明した（1735年） ⇣(2) = ⇡2
6
• リンデマンが「 は超越数である」を証明し，
超越数であることが明らかに（1882年） ⇡2
超
代 有
偶数のゼータはすべて超越数
お友達候補 No. 10
（奇数のゼータは，ほとんどの場合無理数かどうかさえ不明） ・・・・・・・
⇣(2) =⇡2
6⇣(4) =
⇡4
90⇣(6) =
⇡6
945
⇣(8) =⇡8
9450⇣(10) =
⇡10
93555⇣(12) =
691⇡12
638512875
（ゼータスリー，アペリーの定数）
定義
無
有
お友達候補 No. 11
53
⇣(3)
ロジャー・アペリーが「 は無理数である」を証明（1978年） ⇣(3)
⇣(3) =1
13+
1
23+
1
33+
1
43+
1
53+ · · ·
= 1.2020569...
54
1700年 1800年 1900年 2000年
オイラー（1735年）
リンデマン（1882年）
は超越数
アペリー（1978年）
は無理数
約１００年
⇣(2) =⇡2
6⇣(2n)
⇣(3)
（未解決問題）
以外の奇数ゼータの無理性 ⇣(3)
（ゼータファイブ） （ゼータセブン） （ゼータナイン） （ゼータイレブン）
無
有
お友達候補？ No. 12
のうち，少なくとも１つは無理数（W. Zudilin, 2001年） 55
⇣(5)
⇣(7)
⇣(9)
⇣(11)
奇数ゼータは
超HOT！ 56
なぜ「無理数かどうか」
にこだわるのか 57
無
有
これ以上簡単には表現できない
X がもし無理数であれば・・・
58
「無理数かどうか」が分かれば 「（その数は）どこまで表現可能か」が分かる
x = 1-1
9
+1
81
-1
729
+ · · ·
X がもし有理数であれば・・・
のように分数で表現できる x =
9
10
「無理数であるかどうか」は
「数の理解」についての本質的な問い
59
まとめ • 「無理数であるかどうか」は「数の理解」についての本質的な問いである
• ほとんどすべての実数は「無理数（超越数）」であるにも関わらず，人類がそれと知っている数はごく一部である（未解決問題の宝庫）
• 「ゲルフォント・シュナイダーの定理」をはじめとした「秘技」によって，いくつかのクラスの超越数を見つけることができる
60
ちょっと取っ付きにくいやつらですが，
いいやつらなので，お友達になってあげてください
0 5 20 25
p5
p3
p2
⇣(2)
⇣(3)
⇣(4), ⇣(5), ⇣(6), . . .
e ⇡ e⇡0.123 . . . p2p2
無理数とお友達になろう（完）
61
参考文献 • 塩川宇賢 著「無理数と超越数」森北出版 (定価 2,400 円)
62
補足 63
定義
α （リウヴィルの定数） 超
代 有
お友達候補 No. 0
• 超越数と証明された最初の数（リウヴィル，1844年）
• 「超越数論」の研究はここからはじまった 64
c ↵ =1
2+
1
22!+
1
23!+
1
24!+
1
25!+ · · ·
「√2 は無理数である」の証明
65
例：√2 の場合 「√2 が有理数である」と仮定する
・・・・
とかける
ただし， は互いに素な整数
4 5 6
1 2 3
66
p2 =
b
a
a, b
例：√2 の場合
両辺二乗すると
両辺に a をかけて
左辺は偶数 よって， も偶数
4 5 6
1 2 3
67
p2a = b
2a2 = b2
b2
例：√2 の場合
は偶数より， も偶数
したがって， とかける
整数
4 5 6
1 2 3
68
b2 b2
b = 2b 0
例：√2 の場合 代入すると
右辺は偶数
よって，同様に とかける
4 5 6
1 2 3
69
2a = (2b 0)2
) 2a = 4b 02
) a2 = 2b 02
a = 2a 0
例：√2 の場合 これまでの議論より，
とかけることが分かった。
つまり は互いに素ではない
これは仮定「√2 は有理数である」に矛盾する
4 5 6
1 2 3
70
すなわち はいずれも２で割り切れる。
a = 2a 0
b = 2b 0
a, b
a, b
例：√2 の場合
背理法により，仮定「√2 は有理数である」は誤り
したがって，
「√2 は無理数である」が示された（証明終わり）
4 5 6
1 2 3
71
参考：ヒルベルトの２３の問題（第７問）
『a が 0 でも 1 でもない代数的数で，
b が代数的無理数であるとき，ab は超越数であるか』
72