第四章 平面

§4-1 平面的表示法§4-1 平面的表示法

§4-2 各种位置平面的投影特性§4-2 各种位置平面的投影特性

§4-3 属于平面的点和直线§4-3 属于平面的点和直线

基本要求 基本要求

§ 1.4 平面的投影

§1.4.1 平面的表示法§1.4.1 平面的表示法

§1.4.2 各种位置平面的投影特性§1.4.2 各种位置平面的投影特性

§1.4.3 属于平面的点和直线§1.4.3 属于平面的点和直线

§1.4.4 圆的投影§1.4.4 圆的投影

一、用几何元素表示平面

用几何元素表示平面有五种形式：不在一直线上的三个点；一直线和直线外一点；相交二直线；平行二直线；任意平面图形。

二、平面的迹线表示法

平面的迹线为平面与投影面的交线。特殊位置平面可以用在它们所垂直的投影面上的迹线来表示。

1.4.1 1.4.1 平面的表示法平面的表示法

●

●

●

●

●

●

a

b

c

a

b

c

不在同一直线上的三个点

●

●

●

●

●

●

a

b

c

a

b

c

直线及线外一点

a

b

c

a

b

c

●

●

●

●

●

●

d●

d●

两平行直线

a

b

c

a

b

c

●

●

●

●

●

●

两相交直线

●

●

●

●

●

●

a

b

c

a

b

c

平面图形

一、用几何元素表示平面一、用几何元素表示平面

二、 平面的迹线表示法

PPV

PH

PV

PH

QV

QHQH

QV

Q

平行 垂直 倾斜

实形性 类似性积聚性

一、 平面对一个投影面的投影特性一、 平面对一个投影面的投影特性

§2.4.2 平面对投影面的相对位置

二、 各种位置平面的投影特性（一）、投影面的垂直面

1 ．铅垂面

2 ．正垂面

3 ．侧垂面

（二）、投影面的平行面

1 ．水平面

2 ．正平面

3 ．侧平面

（三）、一般位置平面

P

PH

1 ．铅垂面

投影特性 (1) abc 积聚为一条线 (2) abc 、 abc 为 ABC 的类似形 (3) abc 与 OX 、 OY 的夹角反映、角的真实大小

A

B

Ca

cb

a'

b'

a"b"

b

a

b"

c

c"c'

铅垂面迹线表示法

PH

P

PH

Q

QV

2 ．正垂面

投影特性 (1) abc 积聚为一条线 (2) abc 、 abc 为 ABC 的类似形 (3) abc 与 OX 、 OZ 的夹角反映 α 、 角的真实大

小

Ac

C

a

b

B

b"

a'

b'

a"

b

a

c"c'

c

正垂面的迹线表示法

Q

QV

α

γQV

SWS

3 ．侧垂面

投影特性 (1) abc积聚为一条线 (2) abc 、 abc为 ABC 的类似形 (3) abc与 OZ 、 OY 的夹角反映 α 、 β 角的真实大小

Ca"

b"

A

B

c"

b"

β

a'

b'

a"

b

a

c" c'

c

侧垂面的迹线表示法

V

W

SwS

Z

X O

Y

Sw

Yα

β

a

bc

ac

b

c

b

a

类似性 类似性

积聚性

铅垂面

投影面垂直面的投影特性： 在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。

另外两个投影面上的投影有类似性。

为什么？

γ

β

是什么位置的平面？

小结：

1 ．水平面

投影特性： (1) abc 、 abc 积聚为一条线，具有积聚性 (2) 水平投影 abc 反映 BC 实形

C

A B a"b"

c'

ba

c

a' b'

c"

c

a b' b"

b

a

a"c c"Pv Pw

2 ．正平面

投影特性： (1) abc 、 abc 积聚为一条线，具有积聚性 (2) 正平面投影 abc 反映 ABC 实形

c"

a"

b"b'

a'

c'

bc a

b'

a'

c'a"

b"

c"

bc a

C

B

A

投影特性： (1) abc 、 abc 积聚为一条线，具有积聚性 (2) 侧平面投影 abc 反映 ABC 实形

3 ．侧平面

a'

b' b"

b

a"

c' c"

c

a

b"c'

b

a

c

a'b'

c"C

A

B

a"

三、一般位置平面

投影特性 (1) abc 、 abc 、 abc 均为 ABC 的类似形 (2) 不反映、、 的真实角度

a"

b"

c"

c

a'

b'

b

a

a"a'

b' b"

c'c"

b

a

c

A

B

C

§1.4.3 平面上的直线和点

一、 平面上取任意直线

二、 平面上取点二、 平面上取点

三、三、属于特殊位置平面的点和直线

在平面上取点、直线的作图，实质上就是在平面内作辅助线的问题。利用在平面上取点、直线的作图，可以解决三类问题：

1 、判别已知点、线是否属于已知平面；

2 、完成已知平面上的点和直线的投影；

3 、完成多边形的投影。

1 ．取属于平面的直线

取属于定平面的直线，要经过属于该平面的已知两点；或经过属于该平面的一已知点，且平行于属于该平面的一已知直线。

E

D

F d'

d

e'

ef

f '

2 ．取属于平面的点

取属于平面的点，要取自属于该平面的已知直线

E

D

d'

d

e'

e

[ 例题 1] 已知 ABC 给定一平面，试判断点 D 是否属于该平面。

d'

de

e'

[ 例题 2] 已知点 D 在 ABC 上，试求点 D 的水平投影 。

d

d'

b

cka

d

a

d

b

c

a

d

a

d

b

ck

b

c

[ 例题 3] ：已知 AC 为正平线，补全平行四边形ABCD 的水平投影。

解法一 解法二

三、属于特殊位置平面的点和直线

1 ．取属于投影面垂直面的点和直线

2 ．过一般位置直线总可作投影面的垂直面

迹线表示法

3. 属于平面的投影面平行线

b

b

1 ． 取属于投影面垂直面的点和直线

a

a

e

f

f

e

ab

b

aS

b

a

ab

A

B

2 ．过一般位置直线总可作投影面的垂直面

过一般位置直线 AB作铅垂面 PH

过一般位置直线 AB 作正垂面 SV

P

PH

SVA

B

过一般位置直线作投影面的垂直面( 迹线表示法 )

b"

a"

SV QW

PH

3. 属于平面的投影面平行线

属于平面的水平线和正平线

例题4

P

属于平面的水平线和正平线

PV

PH

[ 例题 4] 已知 ABC 给定一平面，试过点 C 作属于该平面的正平线，过点 A 作属于该平面 的水平线。

m

n'

n

m

1.4.4 1.4.4 圆的投圆的投影影

圆的投影特性：圆的投影特性：11 、圆平面在所平行投影面上的投影反映实形；、圆平面在所平行投影面上的投影反映实形；22 、圆平面在所垂直的投影面上的投影是直线，其长度等于圆、圆平面在所垂直的投影面上的投影是直线，其长度等于圆的直径；的直径；33 、圆平面在所倾斜的投影面上的投影是椭圆。其长轴是圆的、圆平面在所倾斜的投影面上的投影是椭圆。其长轴是圆的平行于这个投影面的直径的投影；短轴是圆的与上述直径垂直平行于这个投影面的直径的投影；短轴是圆的与上述直径垂直的直径的投影；的直径的投影；