แบบฝึกหัด-ตรีโกณมิติ 4-1a4%d9%e8%c1%d...4 6 4 6 6 4 2 2 2 2 4...

คมอประกอบสอการสอน วชาคณตศาสตร

ตอนท 70

แบบฝกหดเรอง ตรโกณมต (ตอนท 4)

โดย

รองศาสตราจารย จตรจวบ เปาอนทร

สอการสอนชดน เปนความรวมมอระหวาง

คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย กบ

ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน (สพฐ.)

กระทรวงศกษาธการ ปงบประมาณ 2555

http://www.google.co.th/imgres?q=%E0%B8%AA%E0%B8%9E%E0%B8%90&um=1&hl=th&sa=N&rlz=1R2ADRA_enTH425&biw=1051&bih=687&tbm=isch&tbnid=srkh9z1q97NYlM:&imgrefurl=http://www.manager.co.th/Qol/ViewNews.aspx?NewsID=9540000014478&imgurl=http://www.manager.co.th/asp-bin/Image.aspx?ID=1799322&w=300&h=429&ei=oZ_TTbm5I42ougPb-Yi5DQ&zoom=1

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

1

สอการสอน เรอง ตรโกณมต

สอการสอน เรอง ตรโกณมต มจ านวนตอนทงหมดรวม 18 ตอน ซงประกอบดวย

1. บทน า เรอง ตรโกณมต

2. เนอหาตอนท 1 อตราสวนตรโกณมต

- สมบตของรปสามเหลยมมมฉากและทฤษฎบทพทาโกรส

- อตราสวนตรโกณมต

- อตราสวนตรโกณมตของมม 30 , 45 และ 60

3. เนอหาตอนท 2 เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมตและวงกลมหนงหนวย

- เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต

- วงกลมหนงหนวย การวดมมและหนวยของมม

4. เนอหาตอนท 3 ฟงกชนตรโกณมต 1

- ฟงกชนตรโกณมตของคาจรงและของมม

- คาฟงกชนตรโกณมตของมม 30 , 45 และ 60


- ความแตกตางและความสมพนธของอตราสวนตรโกณมต

กบฟงกชนตรโกณมต

- คาฟงกชนตรโกณมตของมมในจตภาคตางๆ


- คาฟงกชนตรโกณมตของผลบวกและผลตางของมม

- สตรผลคณ ผลบวกและผลตางของฟงกชนตรโกณมต


2

7. เนอหาตอนท 6 กฎของไซนและกฎของโคไซน

- กฎของไซน

- กฎของโคไซน

8. เนอหาตอนท 7 กราฟของฟงกชนตรโกณมต

- การเปดตารางหาคาฟงกชนตรโกณมต

- กราฟของฟงกชนตรโกณมต

9. เนอหาตอนท 8 ฟงกชนตรโกณมตผกผน

- ฟงกชนตรโกณมตผกผน

- สมบตและความสมพนธของฟงกชนตรโกณมตผกผน

10. แบบฝกหดตอนท 1 แบบฝกหดเรอง ตรโกณมต (ตอนท 1)

- แบบฝกหดขนพนฐาน

- แบบฝกหดขนสง

- แบบทดสอบ










3









15. แบบฝกหด ตอนท 6 แบบฝกหดเรอง ตรโกณมต (ตอนท 6)




16. สอปฏสมพนธ เรอง มมบนวงกลมหนงหนวย

17. สอปฏสมพนธ เรอง กราฟของฟงกชนตรโกณมตและฟงกชนตรโกณมตผกผน

18. สอปฏสมพนธ เรอง กฎของไซนและกฎของโคไซน

คณะผจดท าหวงเปนอยางยงวาสอการสอนชดนจะเปนประโยชนตอการเรยนการสอน

ส าหรบครและนกเรยนทกโรงเรยนทใชสอชดนรวมกบการเรยนการสอนวชาคณตศาสตรเรอง

ตรโกณมต นอกจากนหากทานสนใจสอการสอนวชาคณตศาสตรในเรองอนๆ ทคณะผจดท าได

ด าเนนการไปแลวทานสามารถดชอเรองและชอตอนไดจากรายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร

ทงหมดในตอนทาย ของคมอฉบบน


4

เรอง ตรโกณมต

หมวด แบบฝกหด

ตอนท 4 (4/6)

หวขอยอย 1. แบบฝกหดขนพนฐาน

2. แบบฝกหดขนสง

3. แบบทดสอบ

จดประสงคการเรยนร

เพอใหผเรยน

1. เขาใจและสามารถหาคาฟงกชนตรโกณมตของผลบวกและผลตางของมมได

2. เขาใจและสามารถหาคาฟงกชนตรโกณมตของมมสองเทาได

3. เขาใจและสามารถหาคาฟงกชนตรโกณมตของมมสามเทาได

4. เขาใจและสามารถหาคาฟงกชนตรโกณมตของมมครงเทาได

5. เขาใจและสามารถประยกตสตรของผลคณ ผลบวก และผลตางของฟงกชนตรโกณมตเพอ

ใชในการแกไขปญหาได


5

1. แบบฝกหดขนพนฐาน

แบบฝกหดขนพนฐาน ใชเพอวดความรความสามารถขนพนฐานของผเรยน ประกอบดวยขอค าถาม

แบบปรนยแบบ 4 ตวเลอก จ านวน 10 ขอ พรอมเฉลย ครอบคลมตามจดประสงคการเรยนรทก าหนด โดย

ผจดท าไดออกแบบใหโปรแกรมสามารถสมขอค าถาม เพอสรางเปนแบบฝกหดทมความแตกตางกนได มาก

ถง 310 แบบ


6

โจทยขอ 1 เนอหาหลก : คาฟงกชนตรโกณมตของผลบวกและผลตางของมม

จดประสงคของโจทยขอ 1 คอ หาคาฟงกชนตรโกณมตของผลบวกหรอผลตางของมม

1.1 จงหาคาของ cos ( )3 4

1. 2

( 1 3 )4

2. 2

( 1 + 3 )4

3. 2

( 3 1 )4

4. 2

( 1 + 3 )2

เฉลย 2

1 2 3 2 2cos = cos cos + sin sin = + = ( 1 + 3 )

3 4 3 4 3 4 2 2 2 2 4

1.2 จงหาคาของ sin + 4 6

1. 2

( 3 1 )4

2. 2

( 3 + 1 )4

3. 2

( 1 3 )4

4. 2

( 3 + 1 )2

เฉลย 2

2 3 1 2 2sin + = sin cos + sin cos = + = ( 3 + 1 )

4 6 4 6 6 4 2 2 2 2 4

1.3 จงหาคาของ tan + 3 4

1. 2 3 2. 2 + 3

3. 2 + 3 4. 2 3

เฉลย 1

2tan + tan 3 + 1 ( 3 + 1 ) 3 + 1 + 2 33 4tan + = = = = = 2 33 4 1 3 1 1 3 21 tan tan

3 4


7


จดประสงคของโจทยขอ 2 คอ หาคาฟงกชนตรโกณมตของผลบวก หรอผลตางของมม

2.1 จงหาคาของ sin 75

1. 6 + 2

4 2.

6 24

3. 6 2

4 4.

2 64

เฉลย 1

sin 75 = sin ( 45 + 30 ) = sin 45 cos 30 + sin 30 cos 45 =

2.2 จงหาคาของ tan 15

1. 2 3 2. 2 3 3. 2 + 3 4. 3 2

เฉลย 2

tan 15 = tan ( 45 30 ) = tan 45 tan 301 + tan 45 tan 30

21

1 3 13 1 3 + 1 2 33 = = = = = 2 31 3 + 1 3 1 21 + 13

2.3 จงหาคาของ cos 15

1. 6 2

4 2.

6 + 24

3. 6 24

4. 2 64

เฉลย 2

cos 15 = cos ( 45 30 ) = cos 45 cos 30 + sin 45 sin 30 =

2 3 2 1 6 + 2

+ = 2 2 2 2 4

2 3 1 2 6 + 2 + =

2 2 2 2 4


8

โจทยขอ 3 เนอหาหลก : สตรผลคณของฟงกชนตรโกณมต จดประสงคของโจทยขอ 3 คอ ใชสตรผลคณของฟงกชนไซน และ/หรอ ฟงกชนโคไซน

3.1 จงหาคาของ sin 11

24 cos

524

1. 3 + 2

2 2.

3 + 22

3. 3 + 2

4 4.

3 + 24

เฉลย 4

11 5 1 16 6 1 2 1 3 2 3 + 2sin cos = sin + sin = sin + sin = + =

24 24 2 24 24 2 3 4 2 2 2 4

3.2 จงหาคาของ 13 5

cos cos 24 24

1. 1 2

2 2.

1 + 22

3. 1 2

4 4.

1 + 24

เฉลย 3

13 5 1 18 8 1 3 1 2 1 1 2cos cos = cos + cos = cos + cos = + =

24 24 2 24 24 2 4 3 2 2 2 4

3.3 จงหาคาของ 13 7

sin sin 24 24

1. 3 + 2

2 2.

3 22

3. 3 + 2

4 4.

3 24

เฉลย 3

13 7 1 20 6 1 5 1 3 2 3 + 2sin sin = cos cos = cos cos = =

24 24 2 24 24 2 6 4 2 2 2 4


9

โจทยขอ 4 เนอหาหลก : คาฟงกชนตรโกณมตของมมสองเทา

จดประสงคของโจทยขอ 4 คอ ใชสตรการหาคาฟงกชนตรโกณมตของมมสองเทา

4.1 ก าหนดให 1

tan 8 = 7

จงหาคาของ tan 16

1. 7

24 2.

725

3. 2425

4. 2524

เฉลย 1

2

122 tan 8 2 49 77tan 16 = tan ( 2 8 ) = = = = 11 tan 8 7 48 241

49

4.2 ก าหนดให 7 2

cos 8 = 10

จงหาคาของ cos 16

1. 7

24 2.

725

3. 2425

4. 17

เฉลย 3

22 7 2 2 49 2 49 24

cos 16 = cos ( 2 8 ) = 2 cos 8 1 = 2 1 = 1 = 1 = 10 100 25 25


sin 8 = 10

จงหาคาของ sin 16

1. 7

24 2.

725

3. 2425

4. 17

เฉลย 2

2 2 2 98 7sin 16 = sin ( 2 8 ) = 2 sin 8 cos 8 = 2 1 = =

10 100 5 10 25


10

โจทยขอ 5 เนอหาหลก : คาฟงกชนตรโกณมตของมมครงเทา

จดประสงคของโจทยขอ 5 คอ ใชสตรการหาคาฟงกชนตรโกณมตของมมครงเทา


sin = 25

เมอ < <0 2

จงหาคาของ sin

2

1. 1

10 2.

210

3. 1425

4. 35

เฉลย 2

ใชสตร 2sin2

= 1 cos

2

=

241 125 =

2 50 ได

2sin =

2 10

5.2 ก าหนดให = 7

cos 25

เมอ < <0 2


1. 34

2. 35

3. 45

4. 1425

เฉลย 3

ใชสตร 2

71 + 1 + cos 3225cos = = =

2 2 2 50 ได

4cos =

2 5


sin = 25

เมอ < <0 2

จงหาคาของ sin

2

1. 45

2. 35

3. 34 4.

15

เฉลย 2

ใชสตร 2sin2 =

1 cos 2

=

71 925 =

2 25 ได

3sin =

2 5

24


11

โจทยขอ 6 เนอหาหลก : สตรผลบวกและผลตางของฟงกชนตรโกณมต จดประสงคของโจทยขอ 6 คอ ใชสตรผลบวก หรอผลตางของฟงกชนไซน หรอฟงกชนโคไซน

6.1 จงหาคาของ cos 105 cos 15

1. 6

2 2. 3 3. 0 4.

62

เฉลย 1

สตร cos A cos B =

A + B A B2 sin sin

2 2

cos 105 cos 15 = 2 sin 60 sin 45 =

3 2 6

2 = 2 2 2

6.2 จงหาคาของ sin 75 + sin 15

1. 6

2 2. 0 3.

62

4. 3

เฉลย 3

สตร sin A + sin B =

A + B A B2 sin cos

2 2

sin 75 + sin 15 = 2 sin 45 cos 30 =

6.3 จงหาคาของ sin 165 sin 75

1. 6

2 2.

22

3. 0 4. 2

2

เฉลย 2

สตร sin A sin B =

A + B A B2 cos sin

2 2

sin 165 sin 75 = 2 cos 120 sin 45 =

2 3 6

2 = 2 2 2

1 2 22 =

2 2 2


12

โจทยขอ 7 เนอหาหลก : คาฟงกชนตรโกณมตของมมสามเทา จดประสงคของโจทยขอ 7 คอ ใชสตรหาคาฟงกชนไซน หรอฟงกชนโคไซนของมมสามเทา

7.1 ก าหนดให sin 18 = 0.31 จงหาคาของ sin 54

1. 0.93 2. 0.85 3. 0.83 4. 0.81

เฉลย 4

สตร sin 3A = 3 sin A 4 sin3 A

sin 54 = 3 sin 18 4 sin3 18 = 3 0.31 4 ( 0.31 )3 = 0.81

7.2 ก าหนดให cos 72 = 0.31 จงหาคาของ cos 216

1. 0.81 2. 0.93 3. 0.81 4. 0.93

เฉลย 1

สตร cos 3A = 4 cos3 A 3 cos A

cos 216 = 4 cos3 72 3 cos 72 = 4 ( 0.31 )3 3 ( 0.31 ) = 0.81

7.3 ก าหนดให sin 54 = 0.81 จงหาคาของ sin 162

1. 0.30 2. 0.30 3. 0.35 4. 0.38

เฉลย 2

สตร sin 3 A = 3 sin A 4 sin3 A

sin 162 = 3 sin 54 4 sin3 54 = 3 ( 0.81 ) 4 ( 0.81 )3 = 0.30


13


จดประสงคของโจทยขอ 8 คอ หาคาฟงกชนตรโกณมตของผลบวก หรอผลตางของมม

8.1 ก าหนดให sec A = 3 เมอ A อยในจตภาคท 4 จงหาคาของ tan + A4

1. 4 2 + 9

7 2.

4 2 97

3. 1 4. 9 4 2

7

เฉลย 2

2tan + tan A

4tan + A = , tan A = sec A 1 = 9 1 = 84 1 tan tan A

4

21 81 8 1 + 8 2 8 9 4 2 4 2 9

= = = = = 1 + 1 8 1 8 7 7 7

8.2 ก าหนดให cosec A = 3 เมอ A อยในจตภาคท 2 จงหาคาของ cos A3

1. 2 2 + 3

6

2. 2 2 + 3

6 3.

2 6 + 16

4.

2 6 + 16

เฉลย 1

1 8cos A = cos A cos + sin A sin , cos A = 1 =

3 3 3 9 3

8 1 1 3 2 2 + 3

= + = 3 2 3 2 6


14

8.3 ก าหนดให cot A = 2 เมอ A อยในจตภาคท 3 จงหาคาของ sin A6

1. 1 2 3

2 5

2. 2 3 1

2 5

3. 2 3

2 5

4. 3 2

2 5

เฉลย 3

2sin A = sin A cos sin cos A , cosec A = 1 + cot A = 56 6 6

1sin A =

5

และ 1 2

cos A = 1 = 5 5

จะได 1 3 1 2 2 3

sin A = = 6 5 2 2 5 2 5


15


จดประสงคของโจทยขอ 9 คอ ใชสตรฟงกชนตรโกณมตของมมสองเทาในการหาผลเฉลยของสมการตรโกณมต

9.1 จงหา , 2

ทท าให 2 2 3cos sin =

2

1. 23

2. 78

3. 56

4. 1112

เฉลย 4

จาก cos2 sin2 = cos 2 เราไดสมการ 3

cos 2 = 2

ดงนน 11 13

2 = , , , ...6 6 6

แต , 2

ดงนน

11 =

12

9.2 จงหา , 2

ทท าให 2 tan = 1 tan2

1. 34

2. 56

3. 58

4. 78

เฉลย 3

จาก 2 =

2 tan tan 2

1 tan

เราไดสมการ tan 2 = 1

ดงนน 5 9

2 = , , , ...4 4 4

แต , 2

ดงนน

5 =

8

9.3 จงหา , 2

ทท าให 1

sin cos = 4

1. 23

2. 1112

3. 56

4. 78

เฉลย 2

จาก sin 2 = 2 sin cos เราไดสมการ 1

sin 2 = 2

ดงนน 7 11 13

2 = , , , ...6 6 6

แต , 2

ดงนน

11 =

12


16

โจทยขอ 10 เนอหาหลก : ประยกตสตรตางๆ ในการหาความยาวดานของรป มมฉาก จดประสงคของโจทยขอ 10 คอ ใชสตรของคาฟงกชนตรโกณมตของมมครงเทาหรอมมสองเทา ใน

การหาความยาวดานของรป มมฉาก

10.1 ก าหนดรปสามเหลยม ABC ดงน ถา BD เปนเสนแบงครงมม B จงหาความยาว AC

1. 3215

หนวย 2. 1615

หนวย

3. 8

15 หนวย 4.

158

หนวย

เฉลย 1

หา AC จาก AC AC

tan B = = BC 4

นนคอ AC = 4 tan B จากโจทย B 1

tan = 2 4

2

B 1 12 tan 2 82 4 2tan B = = = = B 1 15 151 tan 1

2 16 16

ฉะนน

8 32AC = 4 =

15 15

10.2 ก าหนดรปสามเหลยม ABC ดงน ถา BD เปนเสนแบงครงมม B จงหาความยาว AB

1. 175

หนวย 2. 6815

หนวย

3. 3415

หนวย 4. 5 หนวย

เฉลย 2

หา AB จาก BC 4

cos B = = AB AB

นนคอ 4

AB = cos B

จากโจทย B 4

cos = 2 17

2 B 16 15cos B = 2 cos 1 = 2 1 =

2 17 17

ฉะนน 17 68

AB = 4 = 15 15

D


17

10.3 ก าหนดรปสามเหลยม ABC ดงน ถา BD เปนเสนแบงครงมม B จงหาความยาว AB

1. 5 หนวย 2. 347

หนวย

3. 8 15

7 หนวย 4.

7 158

หนวย

เฉลย 3

หา AB จาก BC 15

cos B = = AB AB

นนคอ 15

AB = cos B

จากโจทย B 15

cos = 2 4

2 B 15 14cos B = 2 cos 1 = 2 1 =

2 16 16

ฉะนน 16 8 15

AB = 15 = 14 7


18

2. แบบฝกหดขนสง

แบบฝกหดขนสง ใชเพอวดความรความสามารถขนสงของผเรยน ครอบคลมตามจดประสงคการ

เรยนรทก าหนด ประกอบดวยขอค าถามแบบปรนยแบบ 4 ตวเลอก จ านวน 15 ขอ พรอมเฉลยทผใชสอ

สามารถเลอกดค าอธบายไดจากสอการสอน


19

โจทยขอ 1 เนอหาหลก : คาฟงกชนตรโกณมตของผลตางของมม

จดประสงคของโจทยขอ 1 คอ ใหนกเรยนน าสตรคาฟงกชนโคไซนของผลตางของมมมาใช และ

พจารณาคาฟงกชนตรโกณมตของมมในจตภาคตางๆ พรอมทงใชทฤษฎบทพทาโกรส เพอหาความยาวดาน

ของรปสามเหลยมมมฉาก ประกอบการหาคาฟงกชนตรโกณมต หรอนกเรยนอาจใชเอกลกษณตรโกณมต

แทนกได


20

โจทยขอ 2 เนอหาหลก : คาฟงกชนตรโกณมตของผลบวกของมม

จดประสงคของโจทยขอ 2 คอ ใหนกเรยนเลอกทจะน าสตรคาฟงกชนตรโกณมตของผลบวกของ

มมมาใช และถาเลอกใชสตรถก กจะไดค าตอบทโจทยตองการเพยงค าตอบเดยว

ในสอการสอนทไดแสดงใหดน น เลอกสตรหาคาฟงกชนโคไซนของผลบวกมาใช เนองจาก

ผลบวกของมมแหลม อาจจะเปนมมแหลม หรอมมปานกได แตโคไซนสามารถแยกไดวา โคไซนของมม

แหลมมคาเปนบวก และโคไซนของมมปานมคาเปนลบ ถาโจทยขอน หาคาโคไซนของมมไดคาเปนบวก ก

สามารถระบมมทตองการวาอยในจตภาคใดระหวาง 1 กบ 2 แตถาใชสตรหาคาฟงกชนไซนของผลบวกของ

มม และไดคาออกเปนบวก เราไมสามารถสรปไดวา มมทตองการจะอยในจตภาคใดระหวาง 1 กบ 2 ซงท า

ใหไดค าตอบ 2 คา คอ 4

หรอ 34 และถาตองการค าตอบเดยวตองใชความรอนเพมเตม จงจะไดคาท

ตองการ


21

โจทยขอ 3 เนอหาหลก : คาฟงกชนตรโกณมตของผลตางของมม

จดประสงคของโจทยขอ 3 คอ ใหนกเรยนใชสตรหาคาฟงกชนแทนเจนตของผลตางของมม

ประกอบกบทฤษฎบทพทาโกรสในการหาความยาวดานของรปสามเหลยมมมฉาก หรอใชเอกลกษณ

ตรโกณมตประกอบแทน


22

โจทยขอ 4 เนอหาหลก : สตรผลคณของฟงกชนตรโกณมต

จดประสงคของโจทยขอ 4 คอ ใหนกเรยนน าสตรผลคณของฟงกชนโคไซนของมมตางๆ มาใช

โดยจบคทละค และใชความรวา cos ( 180 A ) = cos A


23


จดประสงคของโจทยขอ 5 คอ ใหนกเรยนเลอกใชสตรคาฟงกชนแทนเจนตของผลบวกของมม

ประกอบการพจารณาหาคาทโจทยตองการ


24


จดประสงคของโจทยขอ 6 คอ ใหนกเรยนไดใชสตรหาคาฟงกชนโคไซนของมมครงเทา และใช

ทฤษฎบทพทาโกรสชวยในการหาความยาวดานของรปสามเหลยมมมฉาก ซงนกเรยนอาจใชเอกลกษณ

ตรโกณมตแทนได


25

โจทยขอ 7 เนอหาหลก : คาฟงกชนตรโกณมตของมมสามเทา

จดประสงคของโจทยขอ 7 คอ ใหนกเรยนไดใชสตรหาคาฟงกชนไซนของมมสามเทา และใช

ทฤษฎบทพทาโกรสชวยในการหาความยาวดานของรปสามเหลยมมมฉาก ซงท าใหหาคาฟงกชนไซนของ

มมทตองการได


26


จดประสงคของโจทยขอ 8 คอ ใหนกเรยนน าเอกลกษณตรโกณมตมาใชรวมกบสตรหาคาฟงกชน

ไซนของมมสองเทา เพอหาคาทตองการ


27


จดประสงคของโจทยขอ 9 คอ ใหนกเรยนใชความรเรองคาฟงกชนตรโกณมตของมมครงเทา

หรอมมสองเทา ประกอบกบคาฟงกชนตรโกณมตของมมในจตภาคตางๆ


28


จดประสงคของโจทยขอ 10 คอ ใชสตรหาคาฟงกชนตรโกณมตของผลบวกของมม และของมม

สองเทา ประกอบกบทฤษฎบทพทาโกรส ซงจะชวยหาความยาวดานของรปสามเหลยมมมฉาก


29

โจทยขอ 11 เนอหาหลก : คาฟงกชนตรโกณมตของผลบวก และตางของมม

จดประสงคของโจทยขอ 11 คอ ใหนกเรยนไดใชสตรหาคาฟงกชนแทนเจนตของผลบวกของมม

และของผลตางของมม พรอมกบความรทวา tan 90 เปนคาทไมไดก าหนด ( กลาววา tan 90 ไมมคา หรอ

tan 90 หาคาไมได ) เนองจากฟงกชนแทนเจนตนยามจากผลหารของฟงกชนไซนกบฟงกชนโคไซน และ

cos 90 = 0 จงมองไดวา tan 90 คอ ผลหารของ 1 กบ 0 ดงนน จ านวนเศษสวนใดเทากบ tan 90

โดยทเศษไมเปน 0 หมายถง สวนของจ านวนเศษสวนนนมคาเปน 0

นอกจากวธหาคา tan 70 tan 20 ในสอการสอนนนกเรยนอาจใชความสมพนธ

tan ( 90 A ) = cot A

แลวจะได tan 70 tan 20 = tan ( 90 20 ) tan 20

= cot 20 tan 20 = 1


30


จดประสงคของโจทยขอ 12 คอ ใหนกเรยนหาผลเฉลยของสมการตรโกณมต โดยใชเอกลกษณ

ตรโกณมต และสตรหาคาฟงกชนไซนของมมสองเทารวมดวย


31


จดประสงคของโจทยขอ 13 คอ ใหนกเรยนหาผลเฉลยของสมการตรโกณมต โดยใชสตรหาคา

ฟงกชนแทนเจนตของมมสองเทารวมดวย


32

โจทยขอ 14 เนอหาหลก : สตรผลบวกของฟงกชนตรโกณมต

จดประสงคของโจทยขอ 14 คอ ใหนกเรยนใชสตรผลบวกของคาฟงกชนไซนของผลตางของมม

คหนงกบคาฟงกชนไซนของผลบวกของมมนน หรอสตรผลคณของฟงกชนไซนกบฟงกชนโคไซนของมม

ทตางกน


33


จดประสงคของโจทยขอ 15 คอ ใหนกเรยนหาผลเฉลยของสมการตรโกณมต โดยใชความรเรอง

คาฟงกชนโคไซนของมมสองเทา


34

3. แบบทดสอบ

แบบทดสอบ ใชเพอทดสอบความรความสามารถขนสงของผเรยน ประกอบดวยขอค าถามแบบ

ปรนยแบบ 4 ตวเลอก จ านวน 10 ขอ พรอมเฉลย ครอบคลมตามจดประสงคการเรยนรทก าหนด โดยผจดท า

ไดออกแบบใหโปรแกรมสามารถสมขอค าถาม เพอสรางเปนแบบฝกหดทมความแตกตางกนไดมากถง 310

แบบ


35

โจทยขอ 1 เนอหาหลก : คาฟงกชนตรโกณมตของผลบวกและผลตางของมม จดประสงคของโจทยขอ 1 คอ หาคาฟงกนตรโกณมตของผลบวกหรอผลตางของมม


sin = , cot = 5 7

เมอ , เปนมมในจตภาคท 3

จงหาคาของ tan ( + )

1. 2524

2. 2425

3. 43

4. 34

เฉลย 3

tan ( + ) = tan + tan 3

, tan = 1 tan tan 4

และ

7tan =

24

=

3 7 + 25 96 44 24 = = 3 7 24 75 31 4 24


cos = , sec = 5 24


จงหาคาของ sin ( )

1. 4

5

2. 7

25

3. 35

4. 3

5

เฉลย 4

sin ( ) = 4 24 7

sin cos sin cos , sin = , cos = , sin = 5 25 25

= 4 24 7 3 96 21 75 3

= + = = 5 25 25 5 125 125 125 5


36


tan = , cosec = 3 7


จงหาคาของ cos ( + )

1. 44

125

2. 44

125 3.

45

4. 45

เฉลย 2

cos ( + ) =

= 3 24 4 7 72 28 44

= = 5 25 5 25 125 125 125

4 3 7 24cos cos sin sin , sin = , cos = , sin = , cos =

5 5 25 25


37

โจทยขอ 2 เนอหาหลก : คาฟงกชนตรโกณมตของผลบวกและผลตางของมม จดประสงคของโจทยขอ 2 คอ หาคาฟงกชนตรโกณมตของผลบวก หรอผลตางของมม


cos A = 10

และ tan ( A + B ) = 2 เมอ A + B เปนมมแหลม

จงหาคาของ sin B

1. 7

5 2 2.

12

3. 1

5 2 4.

35 2

เฉลย 2 sin B = sin ( A + B A ) = sin ( A + B ) cos A cos ( A + B ) sin A ,

จากโจทยได 1 2

sin A = , sin ( A + B ) = 10 5

และ 1

cos ( A + B ) = 5

ดงนน 2 3 1 1 6 1 5 1

sin B = = = = 5 10 5 10 5 2 5 2 5 2 2

2.2 ก าหนดให cosec A = 10 และ 1

tan ( A + B ) = 2 เมอ A + B เปนมมแหลม

จงหาคาของ cos B

1. 7

5 2 2.

12

3. 1

5 2 4.

35 2

เฉลย 1 cos B = cos ( A + B A ) = cos ( A + B ) cos A + sin ( A + B ) sin A ,

จากโจทยได 1 3 1

sin A = , cos A = , sin ( A + B ) = 10 10 5

และ 2

cos ( A + B ) = 5

ดงนน 2 3 1 1 6 1 7

cos B = + = + = 5 10 5 10 5 2 5 2 5 2


38


tan A = 3 และ

12sin ( A + B ) =

13 เมอ A + B เปนมมแหลม

จงหาคาของ cos B

1. 3

13 10 2.

3113 10

3. 27

13 10 4.

4113 10

เฉลย 3

cos B = cos ( A + B A ) = cos ( A + B ) cos A + sin ( A + B ) sin A

จากโจทย 1 3 12

sin A = , cos A = , sin ( A + B ) = 10 10 13

และ 5

cos ( A + B ) = 13

ดงนน 5 3 12 1 15 12 27

cos B = + = + = 13 10 13 10 13 10 13 10 13 10


39

โจทยขอ 3 เนอหาหลก : คาฟงกชนตรโกณมตของมมสองเทา จดประสงคของโจทยขอ 3 คอ ใชสตรการหาคาฟงกชนตรโกณมตของมมสองเทา


cos = 3

เมอ < <0 2

จงหาคาของ sin 2

1. 1 + 2 2

9 2.

49

3. 79

4. 4 2

9

เฉลย 4

sin 2 = 2 sin cos และจากโจทย 1 8 2 2

sin = 1 = = 9 3 3

ได sin 2 = 2 2 1 4 2

2 = 3 3 9


sin = 5

เมอ < < 2


1. 1 2. 23

25

3. 2325

4. 1

เฉลย 3 2

2 1 2 23cos 2 = 1 2 sin = 1 2 = 1 =

5 25 25


cos = 5

เมอ < <3

2

จงหาคาของ tan 2

1. 24

25

2. 2425

3. 247

4. 247

เฉลย 4

2

2 tan tan 2 =

1 tan

และจากโจทย 25 25 4

tan = 1 = 1 = 3 9 3

ได

42

8 9 243tan 2 = = = 16 3 7 719


40

โจทยขอ 4 เนอหาหลก : คาฟงกชนตรโกณมตของมมสามเทา

จดประสงคของโจทยขอ 4 คอ ใชสตรการหาคาฟงกชนตรโกณมตของมมสามเทา


tan A = 2

เมอ A เปนมมในจตภาคท 3 จงหาคาของ cos 3A

1. 2

5 5

2. 26

5 5

3. 38

5 5 4.

225 5

เฉลย 1

33 2 2 32 6 32 + 30 2

cos 3 A = 4 cos A 3 cos A = 4 3 = + = = 5 5 5 5 5 5 5 5


cos A = 5

เมอ A เปนมมในจตภาคท 4 จงหาคาของ sin 3A

1. 2

5 5

2. 2

5 5 3.

225 5

4. 22

5 5

เฉลย 2

33 2 2 6 32 30 + 32 2

sin 3 A = 3 sin A 4 sin A = 3 4 = + = = 5 5 5 5 5 5 5 5 5


sin A = 5

เมอ A เปนมมในจตภาคท 2 จงหาคาของ cos 3A

1. 11

5 5 2.

115 5

3. 1

5 5

4. 1

5 5

เฉลย 1

33 1 1 4 3 4 + 15 11

cos 3 A = 4 cos A 3 cos A = 4 3 = + = = 5 5 5 5 5 5 5 5 5


41

โจทยขอ 5 เนอหาหลก : สตรผลบวกและผลตางของฟงกชนตรโกณมต จดประสงคของโจทยขอ 5 คอ ใชสตรผลบวก หรอผลตางของฟงกชนไซน หรอฟงกชนโคไซน

5.1 ถา cos ( 40+ A ) + cos ( 40 A ) = 0 จงหาคาของ cos A

1. 0 2. 1 3. 1 4. 12

เฉลย 1

จากสตร cos ( + ) + cos ( ) = 2 cos cos ไดสมการ 2 cos 40 cos A = 0

แต cos 40 ≠ 0 ดงนน cos A = 0

5.2 ถา sin ( 70+ A ) + sin ( 70 A ) = 0 จงหาคาของ sin A

1. 0 2. 1 3. 1 4. 12

เฉลย 1

จากสตร sin ( + ) sin ( ) = 2 cos sin ไดสมการ 2 cos 70 sin A = 0

แต cos 70 ≠ 0 ดงนน sin A = 0

5.3 ถา cos ( A + 20 ) cos ( A 20 ) = 0 จงหาคาของ sin A

1. 0 2. 1 3. 1 4. 12

เฉลย 1

จากสตร cos ( + ) cos ( ) = 2 sin sin ไดสมการ 2 sin A sin 20 = 0

แต sin 20 ≠ 0 ดงนน sin A = 0


42

โจทยขอ 6 เนอหาหลก : ประยกตสตรตางๆ ในการหาความยาวดานของรป มมฉาก

จดประสงคของโจทยขอ 6 คอ ใชสตรฟงกชนตรโกณมตของมมครงเทาในการหาความยาวดานของรป มมฉาก

6.1 ก าหนดรปสามเหลยม ABC ดงน ถา AD เปนเสนแบงครงมม A จงหาความยาว DC

1. 15

หนวย 2. 25

หนวย

3. 1 หนวย 4. 5

2 หนวย

เฉลย 2

ใช A DC DC

tan = = 2 AC 2

ได DC = A

2 tan 2

จาก 2

21A 1 cos A 13sin = = =

2 2 2 6

และ 2

21 + A 1 + cos A 53cos = = =

2 2 2 6

ได 2 A 1tan =

2 5 ดงนน

1 2DC = 2 =

5 5

6.2 ก าหนดรปสามเหลยม ABC ดงน ถา BD เปนเสนแบงครงมม B จงหาความยาว AD

1. 43 หนวย 2.

53

หนวย

3. 73

หนวย 4. 2 หนวย

เฉลย 2

ใช B DC DC

tan = = 2 BC 4

ได B

DC = 4 tan 2

จาก 2

41B 1 cos B 15sin = = =

2 2 2 10

และ 2

41 + B 1 + cos B 95cos = = =

2 2 2 10

ได 2 B 1tan =

2 9 ดงนน

1 4DC = 4 =

3 3

ฉะนน 4 5

AD = 3 = 3 3


43

6.3 ก าหนดรปสามเหลยม ABC ดงน ถา BD เปนเสนแบงครงมม C จงหาความยาว CD

1. 3 10

4 หนวย 2.

4 103

หนวย

3. 1210

หนวย 4. 4 10 หนวย

เฉลย 2

ใช C BC 4

cos = = 2 CD CD

ได 4

CD = Ccos

2

จาก 2

41 + C 1 + cos C 95cos = = =

2 2 2 10 ดงนน

10 4 10CD = 4 =

3 3


44

โจทยขอ 7 เนอหาหลก : คาฟงกชนตรโกณมตของผลบวก และผลตางของมม จดประสงคของโจทยขอ 7 คอ หาคาฟงกชนตรโกณมตของผลบวก หรอผลตางของมม

7.1 ถา 1

sin + = 4 2

จงหาคาของ sin + cos

1. 12

2. 2

2 3.

32

4. 2

เฉลย 2

ใช

ไดสมการ 2 1

( sin + cos ) = 2 2

ดงนน 2

sin + cos = 2

7.2 ถา 3

cos = 4 2

จงหาคาของ sin + cos

1. 6

3 2. 3 3.

62

4. 1

เฉลย 3

ใช


( sin + cos ) = 2 2

ดงนน 6

sin + cos = 2

7.3 ถา 1

sin = 4 2

จงหาคาของ cos sin

1. 2

2

2. 2

2 3.

12

4. 3

2

เฉลย 1

ใช 2 2

sin = sin cos sin cos = sin cos 4 4 4 2 2


( sin cos ) = 2 2

ดงนน 2

cos sin = 2

2 2 2sin + = sin cos + sin cos = sin + cos = ( sin + cos )

4 4 4 2 2 2

2 2cos = cos cos + sin sin = cos + sin

4 4 4 2 2


45

โจทยขอ 8 เนอหาหลก : สตรผลคณของฟงกชนตรโกณมต จดประสงคของโจทยขอ 8 คอ ใชสตรผลคณของฟงกชนไซน และ/หรอ ฟงกชนโคไซน

8.1 จงหาคาของ cos 15 cos 75 cos 105 cos 195

1. 1 2. 14

3. 18

4. 1

16

เฉลย 4

หา cos 15 cos 75 = 1 1 1 1

( cos 90 + cos 60 ) = ( 0 + ) = 2 2 2 4

หา cos 105 cos 195 = 1 1 1

( cos 300 + cos 90 ) = ( cos 60 + 0 ) = 2 2 4

8.2 จงหาคาของ sin 20 sin 40 sin 60 sin 80

1. 3

16 2.

38

3. 14

4. 18

เฉลย 1

หา 1 1 1 1 1

sin 20 sin 40 = ( cos 20 cos 60 ) = ( cos 20 ) = cos 202 2 2 2 4

ได 1 1 3

( sin 20 sin 40 ) sin 60 sin 80 = cos 20 sin 802 4 2

3 3

= cos 20 sin 80 sin 804 8

หา 1 1 3

cos 20 sin 80 = ( sin 100 + sin 60 ) = ( sin 80 + )2 2 2

ได 3 1 3 3 3 3 3

sin 20 sin 40 sin 60 sin 80 = sin 80 + sin 80 = = 4 2 4 8 4 4 16

8.3 จงหาคาของ sin 40 sin 60 sin 80 sin 160

1. 3

16 2.

38

3. 14

4. 18

เฉลย 1

คณกนได 1

16


46

เนองจาก sin 160 = sin ( 180 160 ) = sin 20 ดงนน ขอนจะเหมอนกบ 8.2

โจทยขอ 9 เนอหาหลก : คาฟงกชนตรโกณมตของมมสองเทา จดประสงคของโจทยขอ 9 คอ ใชสตรฟงกชนตรโกณมตของมมสองเทา ในการหาผลเฉลยของสมการตรโกณมต

9.1 ถา และ เปนผลเฉลยของสมการ 2 cos2 x + cos 2x = 0

จงหาคาของ 3 เมอ , [ 0 , ] และ

1. 3

2. 2

3. 23

4.

เฉลย 1

จาก cos 2x = 2 cos2x 1 ไดสมการ ( cos 2x + 1 ) + cos 2x = 0

แลว 2 4

2x = , , ...3 3

แต 2

, [ 0 , ]3 3

และ 2

3 3

ดงนน = 3

และ

2 =

3

จะได

23 = 3 =

3 3 3

9.2 ถา และ เปนผลเฉลยของสมการ sin x cos 2x = 0

จงหาคาของ 2 + เมอ ,

0 2

และ [ , 2 ]

1. 43

2. 11

6

3. 13

6

4. 53

เฉลย 2

จาก cos 2x = 1 2 sin2 x ไดสมการ sin x ( 1 2 sin2 x ) = 0

แลว 2 sin2 x + sin x 1 = 0 ได ( 2 sin x 1 ) ( sin x + 1 ) = 0

ฉะนน sin x = 12

หรอ 1 จากโจทย จะได = 6

และ

3 =

2


47

ดงนน 3 2 + 9 11

2 + = 2 + = = 6 2 6 6

9.3 ถา และ เปนผลเฉลยของสมการ cos 2x 3 cos x + 2 = 0

จงหาคาของ + เมอ , [ , 0 ]

1. 3

2. 23

3. 0 4. 3

เฉลย 1

จาก cos 2x = 2 cos2 x 1 ไดสมการ ( 2 cos2 x 1 ) 3 cos x + 2 = 0

แลว 2 cos2 x 3 cos x + 1 = 0 ได ( 2 cos x 1 ) ( cos x 1 ) = 0

ฉะนน cos x = 12

หรอ 1 จากโจทยได + = + 0 = 3 3


48

โจทยขอ 10 เนอหาหลก : คาฟงกชนตรโกณมตของมมสองเทา และผลบวก และผลตางของมม จดประสงคของโจทยขอ 10 คอ หาคาฟงกชนตรโกณมตของมมสองเทา และผลบวก และผลตางของมม


tan = 3

เมอ 3

, 2

จงหาคาของ cos 2 +

3

1. 7 24 3

50

2. 7 24 3

50

3. 7 12 3

25

4. 7 + 12 3

25

เฉลย 2

2 2 1 3cos 2 + = cos 2 cos sin 2 sin = cos sin 2 sin cos

3 3 3 2 2

แทน sin ดวย 4

5

และ cos ดวย 3

5

จะได


sin = 5

เมอ , 2

จงหาคาของ tan 2 +

4

1. 17

31

2. 1731

3. 317

4. 317

เฉลย 1

+ tan

tan

tan 2 tan 2 +14tan 2 + = = 4 1 tan 21 tan 2

4

และ 2

2 tan tan 2 =

1 tan

จากโจทย 3

tan = 4

จะได

32 244tan 2 = = 9 71

16

9 16 1 4 3 3 7 24 3 2 =

25 25 2 5 5 2 7


49

แลว

24 + 1 177tan 2 + = = 244 311 + 7


sec = 4

เมอ 3

, 22

จงหาคาของ sin 2 +

6

1. 7 + 24 3

50 2.

24 3 750

3. 7 24 3

50

4. 7 24 3

50

เฉลย 3

= 3 1

sin 2 + = sin 2 cos + sin cos 2 sin 2 + cos 26 6 6 2 2

จากโจทย = 2 sin cos = 2 3 4 24

sin 2 = 5 5 25

และ

แลว 24 3 + 7

sin 2 + = 6 50

2 2

= 4 3 7

cos 2 = 5 5 25

ผ-1

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จานวน 77 ตอน

ประจาปงบประมาณ 2555

ผ-2

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จานวน 77 ตอน (ประจาปงบประมาณ 2555)

เรอง ตอน

คณตศาสตรกบการพฒนาประเทศ บทนาเรองคณตศาสตรกบการพฒนาประเทศ ขอสอบวดความรคณตศาสตรระดบสง แบบฝกหดเรอง ขอสอบวดความรคณตศาสตรระดบสง (ตอนท 1) แบบฝกหดเรอง ขอสอบวดความรคณตศาสตรระดบสง (ตอนท 2) เซต แบบฝกหดเรอง เซต (ตอนท 1) แบบฝกหดเรอง เซต (ตอนท 2) การใหเหตผลและตรรกศาสตร แบบฝกหดเรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร (ตอนท 1) แบบฝกหดเรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร (ตอนท 2) แบบฝกหดเรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร (ตอนท 3) ทฤษฎจานวน แบบฝกหดเรอง ทฤษฎจานวน (ตอนท 1) แบบฝกหดเรอง ทฤษฎจานวน (ตอนท 2) จานวนจรง แบบฝกหดเรอง จานวนจรง (ตอนท 1) แบบฝกหดเรอง จานวนจรง (ตอนท 2) แบบฝกหดเรอง จานวนจรง (ตอนท 3) แบบฝกหดเรอง จานวนจรง (ตอนท 4) แบบฝกหดเรอง จานวนจรง (ตอนท 5) แบบฝกหดเรอง จานวนจรง (ตอนท 6) เรขาคณตวเคราะหและภาคตดกรวย บทนาเรองเรขาคณตวเคราะหและภาคตดกรวย จดและสวนของเสนตรง ความชนและเสนตรง ระยะทางระหวางจดกบเสนตรง วงกลม พาราโบลา วงร ไฮเพอรโบลา การตรวจสอบสมการภาคตดกรวย ความสมพนธและฟงกชน แบบฝกหดเรอง ความสมพนธและฟงกชน (ตอนท 1) แบบฝกหดเรอง ความสมพนธและฟงกชน (ตอนท 2) แบบฝกหดเรอง ความสมพนธและฟงกชน (ตอนท 3) แบบฝกหดเรอง ความสมพนธและฟงกชน (ตอนท 4) แบบฝกหดเรอง ความสมพนธและฟงกชน (ตอนท 5) เมทรกซ บทนาเรองเมทรกซ ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ การคณและอนเวอรสการคณของเมทรกซขนาด 2x2 ดเทอรมแนนต อนเวอรสการคณและการดาเนนการตามแถว การใชเมทรกซแกระบบสมการเชงเสน

ผ-3

เรอง ตอน เวกเตอร บทนาเรองเวกเตอร เวกเตอรในเชงเรขาคณต

เวกเตอรในระบบพกดฉาก

การคณเวกเตอรเชงสเกลาร

การคณเวกเตอรเชงเวกเตอร จานวนเชงซอน บทนาเรองจานวนเชงซอน จานวนเชงซอน

สงยคและคาสมบรณของจานวนเชงซอน

พกดเชงขว

รากของจานวนเชงซอน ตรโกณมต แบบฝกหดเรอง ตรโกณมต (ตอนท 1) แบบฝกหดเรอง ตรโกณมต (ตอนท 2)




แบบฝกหดเรอง ตรโกณมต (ตอนท 6) คณตศาสตรกบการเงนในชวตประจาวน ภาษและเครดต ดอกเบยและคางวด

ผลตอบแทนและความเสยงในการลงทน ลาดบและอนกรม แบบฝกหดเรอง ลาดบและอนกรม (ตอนท 1) แบบฝกหดเรอง ลาดบและอนกรม (ตอนท 2)

แบบฝกหดเรอง ลาดบและอนกรม (ตอนท 3)

แบบฝกหดเรอง ลาดบและอนกรม (ตอนท 4)

แบบฝกหดเรอง ลาดบและอนกรม (ตอนท 5) แคลคลส บทนาเรองแคลคลส ลมต

ความตอเนอง

อตราการเปลยนแปลงและบทนยามของอนพนธ

อนพนธ

คาสดขดสมพทธและคาสดขดสมบรณ

การประยกตคาสดขด

ปรพนธ 1

ปรพนธ 2 หลกคณตศาสตร หลกการพสจนเบองตน หลกอปนยเชงคณตศาสตร แบบจาลองทางคณตศาสตรเบองตน แบบจาลองทางคณตศาสตรเบองตน ความสมพนธเวยนเกดและการประยกต

ผ-4

เรอง ตอน สถต แบบฝกหดเรอง สถต (ตอนท 1) แบบฝกหดเรอง สถต (ตอนท 2)

แบบฝกหดเรอง สถต (ตอนท 3)

แบบฝกหดเรอง สถต (ตอนท 4)

ผ-5


ปงบประมาณ 2554-2555

ผ-6


คณตศาสตรกบการพฒนาประเทศ ขอสอบวดความรคณตศาสตรระดบสง บทนา คณตศาสตรกบการพฒนาประเทศ แบบฝกหด ขอสอบวดความรคณตศาสตรระดบสง (ตอนท 1) ขอสอบวดความรคณตศาสตรระดบสง (ตอนท 2)

เซต บทนา เซต การใหเหตผลและตรรกศาสตร เนอหา ความหมายของเซต บทนา การใหเหตผลและตรรกศาสตร เซตกาลงและการดาเนนการบนเซต เนอหา การใหเหตผล เอกลกษณของการดาเนนการบนเซตและ ประพจนและการสมมล แผนภาพเวนน-ออยเลอร สจนรนดรและการอางเหตผล แบบฝกหด เซต (ตอนท 1) ประโยคเปดและวลบงปรมาณ เซต (ตอนท 2) แบบฝกหด การใหเหตผลและตรรกศาสตร (ตอนท 1) สอปฏสมพนธ แผนภาพเวนน-ออยเลอร การใหเหตผลและตรรกศาสตร (ตอนท 2) การใหเหตผลและตรรกศาสตร (ตอนท 3)

จานวนจรง สอปฏสมพนธ หอคอยฮานอย บทนา จานวนจรง ตารางคาความจรง เนอหา สมบตของจานวนจรง การแยกตวประกอบ ทฤษฎจานวนเบองตน ทฤษฎบทตวประกอบ บทนา ทฤษฎจานวนเบองตน สมการพหนาม เนอหา การหารลงตวและจานวนเฉพาะ อสมการ ตวหารรวมมากและตวคณรวมนอย เทคนคการแกอสมการ แบบฝกหด ทฤษฎจานวน (ตอนท 1) คาสมบรณ ทฤษฎจานวน (ตอนท 2) การแกอสมการคาสมบรณ กราฟคาสมบรณ เรขาคณตวเคราะหและภาคตดกรวย แบบฝกหด จานวนจรง (ตอนท 1) บทนา เรขาคณตวเคราะหและภาคตดกรวย จานวนจรง (ตอนท 2) เนอห จดและสวนของเสนตรง จานวนจรง (ตอนท 3) ความขนและเสนตรง จานวนจรง (ตอนท 4) ระยะทางระหวางจดกบเสนตรง จานวนจรง (ตอนท 5) วงกลม จานวนจรง (ตอนท 6) พาราโบลา สอปฏสมพนธ ชวงบนเสนจานวน วงร สมการและอสมการพหนาม ไฮเพอรโบลา กราฟคาสมบรณ การตรวจสอบสมการภาคตดกรวย

ผ-7

ความสมพนธและฟงกชน ฟงกชนเลขชกาลงและฟงกชนลอการทม บทนา ความสมพนธและฟงกชน บทนา ฟงกชนเลขชกาลงและฟงกชนลอการทม เนอหา ความสมพนธ เนอหา เลขยกกาลง โดเมนและเรนจ ฟงกชนเลขชกาลง อนเวอรสของความสมพนธและบทนยามของ ฟงกชนลอการทม ฟงกชน อสมการเลขชกาลง ฟงกชนเบองตน อสมการลอการทม พชคณตของฟงกชน อนเวอรสของฟงกชนและฟงกชนอนเวอรส ตรโกณมต ฟงกชนประกอบ บทนา ตรโกณมต แบบฝกหด ความสมพนธและฟงกชน (ตอนท 1) เนอหา อตราสวนตรโกณมต ความสมพนธและฟงกชน (ตอนท 2) เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต ความสมพนธและฟงกชน (ตอนท 3) และวงกลมหนงหนวย ความสมพนธและฟงกชน (ตอนท 4) ฟงกชนตรโกณมต 1 ความสมพนธและฟงกชน (ตอนท 5) ฟงกชนตรโกณมต 2 ฟงกชนตรโกณมต 3

เมทรกซ กฎของไซนและโคไซน บทนา เมทรกซ กราฟของฟงกชนตรโกณมต เนอหา ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ ฟงกชนตรโกณมตผกผน การคณและอนเวอรสการคณของเมทรกซ แบบฝกหด ตรโกณมต (ตอนท 1) ขนาด 2×2 ตรโกณมต (ตอนท 2) ดเทอรมแนนต ตรโกณมต (ตอนท 3) อนเวอรสการคณและการดาเนนการตามแถว ตรโกณมต (ตอนท 4) การใชเมทรกซแกระบบสมการเชงเสน ตรโกณมต (ตอนท 5) ตรโกณมต (ตอนท 6)

เวกเตอร สอปฏสมพนธ มมบนวงกลมหนงหนวย บทนา เวกเตอร กราฟของฟงกชนตรโกณมต เนอหา เวกเตอรในเชงเรขาคณต กฎของไซนและกฎของโคไซน เวกเตอรในระบบพกดฉาก การคณเวกเตอรเชงสเกลาร กาหนดการเชงเสน การคณเวกเตอรเชงเวกเตอร บทนา กาหนดการเชงเสน เนอหา การสรางแบบจาลองทางคณตศาสตร

จานวนเชงซอน การหาคาสดขด บทนา จานวนเชงซอน เนอหา จานวนเชงซอน คณตศาสตรกบการเงนในชวตประจาวน สงยคและคาสมบรณของจานวนเชงซอน สารคด ภาษและเครดต พกดเชงขว ดอกเบยและคางวด รากของจานวนเชงซอน ผลตอบแทนและความเสยงในการลงทน

ผ-8

ลาดบและอนกรม สถตและการวเคราะหขอมล บทนา ลาดบและอนกรม บทนา สถตและการวเคราะหขอมล เนอหา ลาดบ เนอหา บทนา เนอหา การประยกตลาดบเลขคณตและเรขาคณต แนวโนมเขาสสวนกลาง 1 ลมตของลาดบ แนวโนมเขาสสวนกลาง 2 ผลบวกยอย แนวโนมเขาสสวนกลาง 3 อนกรม การกระจายของขอมล ทฤษฎบทการลเขาของอนกรม การกระจายสมบรณ 1 แบบฝกหด ลาดบและอนกรม (ตอนท 1) การกระจายสมบรณ 2 ลาดบและอนกรม (ตอนท 2) การกระจายสมบรณ 3 ลาดบและอนกรม (ตอนท 3) การกระจายสมพทธ ลาดบและอนกรม (ตอนท 4) คะแนนมาตรฐาน ลาดบและอนกรม (ตอนท 5) ความสมพนธระหวางขอมล 1 ความสมพนธระหวางขอมล 2

แคลคลส โปรแกรมการคานวณทางสถต 1 บทนา แคลคลส โปรแกรมการคานวณทางสถต 2 เนอหา ลมต แบบฝกหด สถต (ตอนท 1) ความตอเนอง สถต (ตอนท 2) อตราการเปลยนแปลงและบทนยามของอนพนธ สถต (ตอนท 3) อนพนธ สถต (ตอนท 4) คาสดขดสมพทธและคาสดขดสมบรณ การประยกตคาสดขด แบบจาลองทางคณตศาสตร ปรพนธ 1 สารคด แบบจาลองทางคณตศาสตรเบองตน ปรพนธ 2 ความสมพนธเวยนเกดและการประยกต

การนบและความนาจะเปน โครงงานทางคณตศาสตร บทนา การนบและความนาจะเปน วจย การลงทน SET50 โดยวธการลงทนแบบถวเฉลย เนอหา การนบเบองตน ปญหาการวางตวเบยบนตารางจตรส การเรยงสบเปลยน การถอดรากทสาม การจดหม เสนตรงลอมเสนโคง ทฤษฎบททวนาม กระเบองทยดหดได การทดลองสม ความนาจะเปน 1 ความนาจะเปน 2

หลกคณตศาสตร เนอหา หลกการพสจนเบองตน หลกอปนยเชงคณตศาสตร

แบบฝึกหัด-ตรีโกณมิติ 4-1a4%d9%e8%c1%d...4 6 4 6 6 4 2 2 2 2 4...

Documents