1

Версія від 03.10.2019

Частина 4. ЗАДАЧІ У КРИВОЛІНІЙНИХ КООРДИНАТАХ

І СПЕЦІАЛЬНІ ФУНКЦІЇ

Розділ 10. РІВНЯННЯ МАТЕМАТИЧНОЇ ФІЗИКИ

У КРИВОЛІНІЙНИХ КООРДИНАТАХ

Ми розглянемо чотири випадки відокремлення змінних (ВЗ), необхідних для розв'язання задач: для рівнянь Лапласа і Гельмгольца в полярних і сферичних координатах. Звертайте увагу на особливості процедури ВЗ і відповідні частинні розв’язки, як змінюється їх вигляд залежно від рівняння (Лапласа чи Гельмгольца) і від розмірності простору (двовимірний (2-D) чи тривимірний (3-D)).

Задачі в криволінійних координатах і багатовимірні задачі відрізняє ряд нових

моментів:

нові умови у формальній постановці задачі, які явно не фігурують у тексті задачі;

нове у техніці ВЗ;

нові диференціальні рівняння;

нові функції (функції Бесселя, ортогональні многочлени, сферичні функції);

нові спектральні задачі і системи ортогональних функцій, у т.ч. багатовимірні.

Завдяки стрімкому розвитку технологій сучасна фізика все активніше освоює і

вводить у практичне використання все нові й нові низькорозмірні системи. Ми живемо у

тривимірному просторі (чотиривимірний простір-час ми зараз не розглядаємо), і реальні

системи є тривимірними (3-D) системами. Вони можуть зводитись до 2-D або 1-D систем

у двох випадках: 1) коли процес є тривимірним, але всі величини не залежать від деяких

координат (наприклад потенціал, створений нескінченною однорідно зарядженою

дротиною, плоска хвиля у необмеженому однорідному середовищі тощо); 2) коли процес,

що вивчається, локалізується поблизу певної поверхні або лінії. Наприклад, дифузія в

тонкому шарі речовини (не обов’язково плоскопаралельному), поширення світла вздовж

одномодового оптоволокна. Подібні квазідвовимірні, квазіодновимірні і навіть нуль-

вимірні системи (наприклад, двовимірний електронний газ у напівпровідникових

гетероструктурах, графен і графеноподібні матеріали, нанотрубки та фулерени,

молекулярні ланцюжки, квантові точки) є передовим краєм сучасної фізики. Їх унікальні

властивості зумовлені в тому числі й нижчою ефективною розмірністю цих систем1. Як

інша розмірність простору змінює перебіг фізичних явищ, видно зокрема на прикладі

задач із цього курсу.

1Фундаментальні закони фізики, такі як закон Кулона, і в низькорозмірних системах завжди залишаються тривимірними.

2

§ 24. ВІДОКРЕМЛЕННЯ ЗМІННИХ У РІВНЯННІ ЛАПЛАСА В ПОЛЯРНИХ

КООРДИНАТАХ, ЗАДАЧА ДІРІХЛЕ ДЛЯ КРУГА

24.1. Задачі на власні функції оператора Лапласа

Загальна постановка задачі на власні функції для оператора Лапласа має наступний

вигляд:

( ),

0D

u u r r D

u u

u

(24.1)

де замість останньої умови може бути інша лінійна однорідна межова умова. Тут

( ) ( )u r u M

є функцією точки простору. Деякі загальні властивості власних функцій і

власних значень оператора Лапласа ми розглянемо у §32. Область D може бути

тривимірною, двовимірною або одновимірною. Ми працюватимемо, наприклад, з такими

областями:

3-D – паралелепіпед, круговий циліндр, куля;

2-D – прямокутник, круг2, бічна поверхня кругового циліндра, сфера;

1-D – відрізок прямої, коло.

До таких спектральні задачі ми будемо постійно приходити в процесі відокремлення

змінних.

Оператор Лапласа (лапласіан, або коротко «лаплас»). Оператор Лапласа від

скалярної функції можна визначити так:

div(grad ) div( )u u u

.

Лаплас і векторні диференціальні операції першого порядку, градієнт, дивергенція і

ротор, є просторовими диференціальними операціями, що діють безпосередньо на

функцію точки простору (тобто поле). Вони можуть бути визначені без використання

будь-якої системи координат і мають інваріантний смисл (!), тобто такий, який не

залежить від вибору системи координат. Тому інваріантний смисл має і задача (24.1).

Використання конкретної системи координат (СК) означає, що від функції точки

простору ми переходимо до функції координат, зокрема, криволінійних. При цьому в

задачу вносяться додаткові риси, зумовлені властивостями конкретної СК.

Явний вигляд оператора Лапласа в різних СК різний. У ПДСК 2 2 2

2 2 2

u u uu

x y z

.

Як би ми не повертали осі декартової системи, його вигляд не змінюється. Це свідчить про те, що оператор Лапласа є сферично симетричним. Тобто оператор Лапласа не має виділених напрямків, симетрія напрямків для нього – це симетрія сфери3. Розмірність оператора Лапласа – одиниця на квадрат довжини. Пам’ятайте про це, коли записуєте оператор Лапласа у полярних або сферичних координатах. Це допомагає уникнути помилок. Відповідно, таку ж розмірність має і спектральний параметр в (24.1).

2Також кільце і область, зовнішня до круга. 3 Включно з відбиваннями відносно будь-якої площини, що проходить через центр.

3

Якщо поле не залежить від координати z , ( , )u u x y , отримуємо з тривимірного

оператора Лапласа двовимірний (іноді позначатимемо 3u і 2u відповідно). Формально

це оператор Лапласа на площині 2 2

2 2

u uu

x y

.

Нарешті, одновимірним оператором Лапласа на прямій є просто друга похідна. Якщо область D є відрізком прямої, і якщо позначити ( ) ( )u r X x

, то задача (24.1) набуває

вигляду вже знайомої одновимірної задачі Штурма-Ліувілля

"

0

0 0

X X

x l

X X l

(24.2)

Отже, вона є одновимірним частинним випадком задачі на власні функції оператора

Лапласа (24.1). Подібним же чином із задач вищої розмірності можна отримати задачі на

власні функції оператора Лапласа нижчої розмірності у криволінійних ортогональних

системах координат - на колі, на сфері і т.д.

24.2. Власні функції оператора Лапласа на одиничному колі

Кільцевий резонатор і задача на замкнутому відрізку. З фізичної точки зору задача (24.2) відповідає власним модам хвильового поля в

одновимірному лінійному резонаторі довжини l. Такий резонатор має два кінці. Таким резонатором може бути, наприклад, тонка трубка, заповнена газом. Тепер зігнемо її в кільце і з’єднаємо кінці так, щоб утворилася замкнута однорідна кільцева порожнина, в якій газ вільно рухається вздовж трубки, але не поперек. Ми отримали кільцевий акустичний резонатор. Кільцевий резонатор може бути механічним (одновимірне пружне середовище), оптичним (наприклад, з’єднане у кільце (котушку) оптичне волокно) і навіть квантовим(для електронів).

Якщо реалізується одновимірний режим поширення хвиль, власним модам кільцевого резонатора відповідає задача на замкнутому відрізку або задача (24.1) для області D , що є колом. Якщо всі довжини обезрозмірити на радіус кола, одержимо задачу на власні функції оператора Лапласа на одиничному колі (тоді спектральний параметр теж стає безрозмірним). Така ж задача виникає при відокремленні змінних у полярних і сферичних координатах у рівняннях Лапласа, Гельмгольца та інших.

Нехай маємо задачу (24.1), де область D є одиничним колом, а функція u u M -

однозначна і достатньо гладка функція точки на колі. Оскільки коло є замкнутою кривою, його межа D є пустою множиною. Тобто межових умову цій задачі немає! Система є безмежною (тобто не має межі), у той же час її розміри скінченні.

Однозначність ( )u M і періодичність ( ) . Циклічні межові умови.

Введемо на колі систему координат. Положення точки M будемо задавати полярним кутом і позначимо ( ) ( )u M . Початок відліку кута вибирається довільно.

Відповідність M є однозначною, а відповідність M - ні: якщо ми обійдемо

повне коло і повернемось у ту ж саму точку, кут зміниться на 2 . Множина значень

4

, 2 , ... , 2 k задає одну й ту ж саму точку. Очевидно, ця неоднозначність є

властивістю вибраної СК і пов’язана з глобальною структурою множини D (коло – замкнута крива).

Таким чином, з однозначності поля ( )u M як функції точки простору випливає його

періодичність як функції кута :

( 2 ) ( ) . (24.3)

Якщо використовувати змінну, що відповідає довжині дуги кола, то умова (24.3) набуває

вигляду x l x , де l - довжина кола. Таку умову називають циклічною межовою

умовою. Циклічні межові умови широко використовуються як модельні в теорії твердого

тіла, теорії поля та ін. розділах теоретичної фізики, щоб врахувати скінченність розмірів

системи.

Явний вигляд задачі на колі. Його можна одержати, скориставшись циліндричною або полярною системою

координат. Нехай , ,u u z . Оператор Лапласа в циліндричній СК має вигляд 2 2

2 2 2

1 1

z

Покладемо 0z , 1 , а похідні по вважаємо рівними нулю: u . Тоді

2

2

du

d

Рівняння на власні значення необхідно доповнити умовою періодичності (24.3),

а область зміни кута зручно вважати необмеженою. При цьому незалежні значення кута

містить будь-який напіввідкритий інтервал довжиною 2 . Задача набуває вигляду

"

2

(24.4)

Зверніть увагу, що умова періодичності не фігурує в явному вигляді у вихідній постановці

задачі (24.1), але обов’язково має долучатись до умов задачі на функцію полярного кута.

Порівняно з задачею (24.2) на відрізку, умова періодичності заміняє межові умови на кінцях відрізка. Точка в умові періодичності довільна, отже умову (24.3) можна

диференціювати довільне число разів. Проте незалежних умов тільки дві: оскільки

задовольняє рівняння другого порядку, вищі похідні виражаються через функцію і першу похідну.

Нова спектральна задача (24.4) не повністю підпадає під загальну теорію задачі Штурма-Ліувілля(§23). Відповідно, властивості її власних функцій і власних значень відрізняються від того, з чим ми зустрічались до цього часу.

Властивості задачі(24.4) тісно пов’язані з її симетрію. Вона є інваріантною відносно двох перетворень: 1) (поворот на довільний кут ); 2) (відбивання в

площині 0 (орієнтація якої є довільною).

Розв’язання задачі на власні функції і власні значення.

"

2

5

Випадки 0 і 0 необхідно розглянути окремо.

1) 0 . Рівняння і його розв’язки мають вигляд

"

1 2

0 0

C C

Накладаємо умову періодичності. Прирівнявши коефіцієнти при лінійно незалежних

функціях (по φ це має бути тотожність), отримаємо:

1 2 1 22C C C C 2 2 0C ,

отже 2 0C , а 1C - довільне. Таким чином, існує нульове власне значення:

0 00, 1 . Воно є простим (одне власне значення – одна власна функція).

2) 0 – довільне невідоме комплексне число (на загальну теорію задачі не

посилаємось). Рівняння " 0 , звідси

1 2i iC e C e .

Тут 0 також довільне невідоме комплексне число; обидва частинні розв’язки є

лінійно незалежними. Їх зручно вибрати саме у вигляді експонент. Вимагаємо

періодичності розв’язку

2 2

1 2 1 2

i i i iC e C e C e C e .

Прирівнюємо коефіцієнти при лінійно незалежних функціях:

2 21 1 2 2

21

22

,

0 1

0 1

i i

i

i

C e C С e C

C e

C e

Обидві отримані умови дають однакове характеристичне рівняння на . Розв’язками

рівняння 1ize є 2z m , де m - довільне ціле. Звідси знаходимо корені

характеристичного рівняння

2 2 m , m , 1, 2, ...m .

Для кожного 2 0m отримуємо дві власні функції: , im ime e (незалежно від

знаку m ), які відповідають одному власному значенню. Спектр задачі є дискретним,

оскільки система має скінченні розміри. Ненульові власні значення не є простими. З

фізичної точки зору дві різні власні функції для одного відповідають хвилям у

кільцевому резонаторі з протилежними напрямками поширення (або стаціонарним станам

квантової частинки, яка рухається по колу у протилежних напрямах). Власні частоти

(енергії) станів, що відповідають протилежним напрямам руху, однакові4. У цьому

виродженні проявляється відмінність задачі на колі (замкнутому відрізку) від задач на

лінійному відрізку. Таке ж виродження спостерігаємо і для необмеженої прямої, хоча у

нескінченній системі спектр власних частот (енергій) є неперервним. Звичайно, за

наявністю або відсутністю виродження має стояти причина, якої ми поки що не бачимо.

Ця причина криється у симетрії фізичної системи, яка тягне за собою симетрію

відповідної математичної задачі.

4Внаслідок оборотності руху, і якщо резонатор не обертається!

6

Загальні результати, що стосуються виродження. Нехай L – деякий лінійний

оператор, для якого розв’язується задача на власні функції і власні значення L , де

– задовольняє певні лінійні однорідні крайові умови.

1) Якщо 1 і 2 - дві різні (тобто лінійно незалежні) власні функції, що відповідають

одному власному значенню , то і будь-яка їх лінійна комбінація 1 1 2 2C C з

ненульовими коефіцієнтами теж є власною функцією, що відповідає тому ж власному

значенню . Дійсно, 1 1 2 2C C задовольняє крайові умови задачі в силу їх

лінійності й однорідності і не дорівнює тотожно нулю. Залишається показати, що вона

задовольняє рівняння L з тим же . В силу лінійності оператора L маємо

1 2

1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2( ) ( )L C C C L C L C C

,

тобто L , що і треба було довести.

Отже, для виродженого власного значення власні функції визначені оператором лише

з точністю до лінійних комбінацій. Такі комбінації завжди можна вибрати

ортогональними (якщо вони не є ортогональними "від народження"). Надалі вважатимемо,

що це вже зроблено.

2) Якщо 1 і 2 відповідають різним власним значенням, то будь-яка їх лінійна

комбінація 1 1 2 2C C , де 1 0C і 2 0C , не може бути власною

функцією. Пропонуємо довести це твердження самостійно.

Відмітимо важливий наслідок (див. також п. 32.3). Оскільки не ортогональні власні

функції можуть відноситись тільки до одного власного значення, виявлення таких

функцій (внаслідок симетрії системи, наприклад) вказує на наявність виродження.

Варіанти вибору власних функцій оператора Лапласа на одиничному колі.

Нульове власне значення є простим, йому відповідає функція 0 ( ) 1 . Власні функції

спектральних задач, що відповідають нульовому власному значенню, відіграють особливу

роль; їх називають нульовими модами. У даному випадку нульова мода одночасно є й

основною модою, тобто такою, що відповідає мінімальному власному значенню. Всі

ненульові власні значення задачі двократно вироджені, стандартні варіанти вибору

власних функцій наведені нижче.

Варіант 1. Число m пробігає всі цілі (в т.ч. від’ємні) значення і нумерує власні

функції

( ) imm e , 0, 1, 2,...m (24.5)

Власні значення 2m ;протилежні m відповідають одному ; наприклад,

2, 2m m відповідають 4 .

Варіант 2. Число 0, 1, 2, 3,...m пробігає лише невід’ємні цілі значення і нумерує

власні значення 2m . Власні функції нумеруються двома індексами ( m , ):

m

, 0,1,2,3,... , 1,2m (24.6)

Вони є двох типів:

7

1 ( ) cosm m , 0,1,2,...m ,

2 ( ) sinm m , 1,2,...m .

Зокрема 0m відповідає нульовій моді 1

0 ( ) 1 . При цьому функція 2

0 , фактично

відсутня, оскільки тотожно дорівнює нулю. Для спрощення запису відповідний доданок

може бути формально присутнім у розкладаннях, але за умовчанням вважається рівним

нулю. Нуль є єдиним простим власним значенням задачі. Відповідною власною функцією

є одиниця. Хоча вона формально є частинним випадком косинусів при 0m , але

кардинально відрізняється від них і за поведінкою, і за квадратом норми (див. (24.8)).

Ортогональність власних функцій.

Пари власних функцій з 2 0m , ime і cos m , sin m , є лінійними

комбінаціями одні других, і кожна з пар вибрана ортогональною; таким чином обидві

системи (24.5) і (24.6) є ортогональними. Інтеграли ортогональності легко обчислюються

«в лоб» і мають вигляд:

для системи (24.5)

'

2 2* ( )

0 0

2i m mm m mm

d e d

; (24.7)

для системи (24.6)

' ' '

2( )

0

0

1m mm mmd

. (24.8)

Зауважте, що квадрат норми нульової моди 0m удвічі більше, ніж для інших m

.

Розкладання періодичної з періодом 2 функції у класичний тригонометричний ряд

Фур’є є ні чим іншим, як розкладанням за системою ортогональних функцій (24.6). Таким

чином, система гармонік тригонометричного ряду Фур’є породжується задачею на

власні функції оператора Лапласа на одиничному колі. Розкладання за системою функцій

(24.5) є комплексним тригонометричним рядом Фур’є. Нагадаємо, що всі гармоніки обох

систем (дійсні і комплексні) є періодичними зі спільним періодом 2 ; такий же період

має і сума ряду на всій числовій осі.

Особливості двох систем власних функцій.

Зручність використання першого чи другого вибору власних функцій визначається їх

особливостями. Перші є комплексними, а другі – дійсними. Тому у задачах

теплопровідності, електростатики та ін., де шукані поля є дійсними, краще користуватись

дійсним базисом, а у квантовій механіці, де хвильова функція є комплексною, як правило,

використовують функції (24.5). Проте є і вагоміші мотиви. У хвильових задачах функції

(24.5) відповідають хвилям з певним напрямком поширення (обертання за кутом φ), а

(24.6) - стоячим хвилям. З цим же пов’язана різна симетрія функцій різних наборів

відносно операцій симетрії задачі (24.4) (див. п. 24.2). Перші переходять самі в себе (з

точністю до множника) при поворотах , а другі - при відбиванні

відносно площини 0 (яку ми вибираємо, як нам зручно). Виявляється, що з

перетворенням функції при нескінченно малих поворотах пов’язаний оператор

8

L i

. (24.9)

Легко бачити, що комплексні гармоніки (24.5) є його власними функціями:

im imdi e med

.

Отже число m , як воно визначене в (24.5), є власним значенням саме цього оператора, а

самі функції (24.5) є спільною системою власних функцій двох операторів: 2

2

(див.

(24.4)) і L i

, визначених на множині функцій, періодичних з періодом 2 . У

квантовій механіці важливу роль відіграє оператор моменту кількості руху. Оператор

проекції моменту на вісь Oz у циліндричній і сферичній системах координат має вигляд

zL i

, (24.10)

тобто відрізняється від оператора (24.9) лише множником (стала Планка). Відповідно,

його власними значеннями є m . Тобто функції (24.5) описують стани, в яких проекція

моменту кількості руху на вісь Oz має певне значення.

У станах, що описуються функціями (24.6) (крім 0m ) проекція моменту не має

певного значення. Натомість ці стани мають певну парність відносно відбивання в

площині 0 . Отже, функції (24.6) є спільною системою власних функцій двох інших

операторів:2

2

і відбивання в площині 0 .

24.3. Відокремлення змінних у рівнянні Лапласа в полярних координатах

Розглядаємо двовимірне рівняння Лапласа на площині

2 0u , (24.11)

де u - «потенціал».

Розгляд стосується задач для кругових областей. Це може бути кільце

1 2a a . Шляхом переходу 2a отримуємо з нього область зовнішню до круга:

9

Шляхом переходу 1 0a отримуємо круг:

Перейдемо до полярних координат. З однозначності потенціалу як функції точки

простору слідує його періодичність за кутом

, 2 ,u u (24.12)

Рівняння в явному вигляді 2

2 2

1 10

u u

, (24.13)

або, що те ж саме, 2

20

u u

,

відрізняється від 0xx yyu u тільки виглядом першого члена (крім розмірності).

Шукаємо частинний розв’язок рівняння у вигляді u R . Підставляємо в

рівняння (24.13), відокремлюємо змінні і вводимо константу відокремлення 2

"

2

10

d dRR

d d R

"1 d dR

R d d

.

Умова періодичності (24.12) переноситься на кутову частину

2R R ,

звідки одержуємо умову для функції :

2 .

Змінні відокремлені. Ми отримали:

1) відому спектральну задачу (24.4) за кутом для кутової частини

"

2

; (24.14)

2) рівняння для радіальної функції R

0d dR

Rd d

. (24.15)

Скористаємось результатами попереднього пункту (п. 24.2) для задачі (24.14). Вибираємо

кутові функції згідно (24.6г): 2 , m mm , 0,1,2,3,... , 1,2m .

Знайдені значення константи відокремлення підставляємо в радіальне рівняння (24.15)

10

2 0d dR

m Rd d

. (24.16)

Рівняння такого типу називаються рівняннями Ейлера. Його розв’язок шукаємо у вигляді

степеневої функції R , де підлягає визначенню. Дужки можна розкрити

2 " ' 2 0R R m R , проте це зайвий крок, адже

1d

d

.

Після підстановки маємо:

2 2 0m ,

звідки отримуємо характеристичне рівняння 2 2 0m .

Необхідно розглянути два випадки окремо:

1) 20, 0m - корінь кратності 2, тому краще повернутись безпосередньо до

рівняння, яке у цьому випадку легко інтегрується

0d dR

d d

' ' 11

1 2

;

ln

CR C R

R C C

2) 2 20, m m m ,

m mm mR A B

Отже, в результаті маємо наступні набори радіальних та кутових функцій:

0

1 2

0 : 1, ln | 1

0 : , | cos , sinm mm m

m

m m m

.

Відповідно, при 0m маємо 4 типи частинних розв’язків рівняння Лапласа в полярних

координатах у вигляді добутків u R , а при 0m - два. Загальний розв’язок має

включати всі можливі добутки одержаних радіальних і кутових функцій з довільними

коефіцієнтами

1 1 2 2

0 0

1 1

, ln cos sinm m m m

m m m m

m m

u A B A B m A B m

. (24.17)

Через комплексні кутові функції(24.5) загальний розв’язок запишеться так (коефіцієнти

комплексні!)

0

0

, lnm mim im

m mm m

m

u B C e D e

. (24.18)

Поведінка окремих доданків загального розв’язку в околі нуля і на нескінченності

визначається поведінкою радіальних функцій, яка відображена в таблиці.

Розв’язки Поведінка при 0 Поведінка при

11

1 1 , обмежений 1 , обмежений

m 0 , обмежені m , необмежені

ln , необмежений , необмежений

m , необмежені 0 , обмежені

Обмеженість потенціалу в нулі є важливою в задачах для круга, а поведінка на

нескінченності – для задач в області зовнішній до круга. Видно, що доданок 0 lnu B

виділяється серед інших частинних розв’язків тим, що є необмеженим і в нулі, і на

нескінченності. В той же час поле (тобто градієнт потенціалу = напруженість

електричного поля, густина потоку тепла) для цього розв’язку пропорційне 1 і на

нескінченності прямує до нуля, залишаючись необмеженим в нулі.

24.4. Задача Діріхле для круга

Постановка задачі. Це приклад використання загального розв’язку рівняння

Лапласа. Областю D, в якій розв’язується задача, є круг. Від вихідної задачі на потенціал

як функції точки або двовимірного радіус-вектора

( M - точка на межі області)

переходимо до задачі в полярних координатах:

2 024.19

,

a

u u

u

D a

u f M

0

переходимо до полярної системи

a

2

2 2

1 10 24.20

0

, 24.21

, 2 , 24.22

a

u u

a

u f

u u

Як і раніше, умова (24.22) рівнозначна однозначності потенціалу як функції точки.

Зауваження. Після переходу до полярних координат рівняння в точці 0 не існує,

фактично рівняння розв’язується у двозв’язній області, в крузі з виколотим центром

0 a . Отже, втрачається інформація про те, що вихідне рівняння є однорідним в

центрі круга, тобто що джерел поля там немає. Через це загальний розв’язок (24.17)

містить необмежені в нулі складові, створені точковими джерелами в центрі круга. Вони

не є розв’язками задачі (24.19) у цілому крузі. Адже за означенням такі розв’язки мають

бути достатньо гладкими всюди в заданій області. Для того щоб розв’язок задачі в

полярних координатах був також розв’язком вихідної задачі для цілого круга, необхідно

додати до умов (24.20) – (24.22) умову, яка явно не фігурує у вихідній задачі (24.19). Це

умова обмеженості потенціалу в нулі:

,u при 0 . (24.23)

12

Побудова розв’язку. Загальний розв’язок (24.17) уже враховує рівняння (24.20) і

умову періодичності (24.22). З умови (24.23) слідує (1) (2)

0 0, , 0, 1,2,3,...m mB B B m .

З урахуванням цього загальний розв’язок, що задовольняє умову обмеженості в нулі

(24.23), запишемо у більш зручному вигляді:

01

, cos sinm

m mm

u m ma

. (24.24)

Підставляємо його в умову (24.21):

01

cos sinm mm

f m m

(24.25)

Це не що інше, як розкладання у тригонометричний ряд Фур’є функції, періодичної з

періодом 2 . Враховуючи вигляд інтеграла ортогональності (24.8) разом з квадратами

норми 2

1 2 , 2

sin m , 2

cosm , знаходимо

0

1

2f d

, 1

sinm f m d

, 1

cosm f m d

. (24.26)

Підставляючи знайдені коефіцієнти (24.26) у (24.24), отримуємо відповідь Діріхле задачі

для круга у вигляді ряду Фур’є.

Зауваження про зовнішню задачу для круга a . Коли зовнішню межу області

(наприклад, кільця) ми віддаляємо на нескінченність, вплив умов на цій межі на потенціал

у скінченних точках не зникає повністю. Тому в зовнішніх задачах для рівняння Лапласа

(як просторових, так і двовимірних) необхідно включати умову на нескінченності. ЇЇ

вигляд залежить від реальної фізичної ситуації, вона може бути однорідною, або

неоднорідною. Особливо непростою є ситуація у двовимірному випадку, навіть для

однорідних умов. У 2-D в якості такої умови не завжди можна використовувати умову

обмеженості: розв’язок може бути і необмеженим на нескінченності (в задачі для кругової

області – за рахунок логарифмічного розв'язку). Подібні приклади ви знайдете в задачах.

У кожному конкретному випадку необхідно уточнювати смисл задачі: які реальні фізичні

умовив місці, яке ми формально вважаємо нескінченністю, маються на увазі; відповідно

до цього і формулювати задачу математично. Треба також пам’ятати, що рівняння

Лапласа описує стаціонарні поля, які насправді встановлюються в результаті перехідного

процесу, формально при t . Залежно від послідовності двох граничних переходів до

нескінченності (просторового і часового) результат може бути різним. Математично це

означає, що границя за двома змінними не існує, а фізично – що відповідні фізичні

ситуації нерівнозначні.

24.5. Ядро Пуассона

Отриманому методом ВЗ розв’язку задачі Діріхле для круга (24.24), (24.26) можна

надати іншого вигляду. Підставимо(24.26) у (24.24). Отриманий ряд можна просумувати:

1

cos

1 1, cos cos sin sin *

2

m

mm

u d f m m m ma

13

Вираз у фігурних дужках зводиться до суми нескінченної геометричної прогресії

(розпишемо його окремо):

, 1ta

,

1

1 1 1... 1

2 2 2 1 1

i im im im

i im

te tet e e

te te

2 2 2 2

2 2

1 1 1 1

2 1 2 cos 2 1 2 cos

i i i ite te t te t te t t

t t t t

.

Відповідно

2 2

2 2

1* ,

2 2 cos

af d u

a a

Функція, що інтегрується разом з ( )f , називається ядром Пуассона ( , , )K a ,

тобто

, , ,u K a f d

. (24.27)

Зі структури формули (24.27) видно, що ядро Пуассона є різновидністю функції Гріна.

Адже воно пов’язує джерело поля f з розв’язком u шляхом інтегрування по області, в

якій локалізоване джерело. В даному випадку це коло, інтегрування здійснюється по межі

області (круга), а саме джерело за своїм типом є поверхневим. Тому подібні функції Гріна

називають поверхневими. Поверхнева функція Гріна системи може бути виражена через

об’ємну (яка є більш загальною). При 0a (якщо покласти a , інтеграл буде

розбіжним), тобто при виході на межу області, (24.27) набуває вигляду

0

lim , ,a

f K a f d

Це означає, що при 0a ядро Пуассона прямує до -функції (в розумінні слабкої

границі, див. Частину 5):

, ,K a .

24.6. Симетрія спектральної задачі і симетрія мод

§ 25. ВІДОКРЕМЛЕННЯ ЗМІННИХ У РІВНЯННІ ГЕЛЬМГОЛЬЦА В ПОЛЯРНИХ

КООРДИНАТАХ, РІВНЯННЯ БЕССЕЛЯ І ФУНКЦІЇ БЕССЕЛЯ

25.1. Рівняння Гельмгольца

Рівняння Гельмгольца (РГ) має вигляд

0, 0u сu c .

Найчастіше РГ отримується з рівнянь з більшим числом змінних, наприклад, із

хвильового рівняння

14

2

2 2

10

uu

v t

. (25.1)

Розглянемо монохроматичну хвилю заданої частоти:

*, i t i tu r t u r e u r e

.

Тут ( )u u r

- просторова частина поля. У кожній точці простору поле ( , )u r t

являє

собою гармонічне коливання з частотою . Відповідно ( )u r

- поле комплексних амплітуд

цих коливань, яке несе інформацію про просторовий розподіл амплітуди і фази

хвильового поля монохроматичної хвилі. Для монохроматичних хвиль на площині поле

комплексних амплітуд є функцією точки на площині ( )u u

і задовольняє рівняння

22 0u k u . (25.2)

Це двовимірне рівняння Гельмгольца. Для монохроматичних хвиль 2

2

20k

v

– задана

додатна константа, де k – модуль хвильового вектора, 2k , – довжина хвилі на

даній частоті.

Працюючи з рівнянням Гельмгольца, звертайте увагу на наступні два моменти.

1) Параметр c може бути заданою величиною (яку розглянутому вище у випадку хвиль

заданої частоти), а може бути і спектральним параметром, що підлягає визначенню. Це

якщо РГ є рівнянням на власні функції для оператора Лапласа u u , яке разом з

однорідними умовами на межі області складає відповідну спектральну задачу. Залежно

від цього, смисл і застосування частинних розв’язків, які ми отримаємо нижче

відокремленням змінних, буде різним.

2) Поведінка розв’язків РГ є істотно різною залежно від знаку константи c , тобто у

випадках

а) 2 0c k ,

б) 2 0c .

Це видно вже на прикладі одновимірного РГ: розв’язки рівняння 2 0y k y осцилюють,

а рівняння 2 0y y має монотонні частинні розв’язки (у вигляді дійсних експонент).

У випадках 2-D і 3-D ситуація є якісно подібною.

При 0c отримуємо з (25.1) рівняння Лапласа, яке якісно відрізняється від рівняння

Гельмгольца тим, що не містить виділеного внутрішнього масштабу довжини, тобто є

масштабно інваріантним. У результаті перетворення подібності r Cr

рівняння Лапласа

вигляду не змінює. Напроти, рівняння Гельмгольца не є масштабно інваріантним. Воно

містить константу розмірності довжини, це 1 2k , або довжина хвилі . Тому

поведінка розв’язків рівняння Гельмгольца на масштабах малих і великих порівняно з

довжиною хвилі (а точніше, 2 ) є різною. Критичне значення мають і абсолютні

розміри області, в якій розв’язується задача. Наприклад, результат дифракції на щілині

малій або великій порівняно з довжиною хвилі буде істотно різним.

15

25.2. Відокремлення змінних у рівнянні Гельмгольца в полярних координатах

Розглядаємо лише кругові області (як і в попередньому параграфі для рівняння Лапласа).

Тому в полярних координатах має виконуватись умова періодичності:

, 2 ,u u . Спираючись на досвід ВЗ для рівняння Лапласа, розкладемо

розв’язок РГ за тією ж системою кутових функцій imm e :

, imm

m

u u e

.

Це рівнозначно тому, щоб шукати частинний розв’язок просто у вигляді

, imu R e . (25.3)

Використовуємо явний вигляд рівняння (для конкретності беремо 2 0c k ) 2

2

2 2

1 10

u uk u

. (25.4)

Підставляємо:

" 2 2im im ime im e m e , результат підстановки в рівняння – радіальне рівняння

22

2

10

d dR mk R

d d

. (25.5)

Прослідкуємо за граничним переходом 0k : 22 2 0u k u u . РГ переходить у

рівняння Лапласа. Пізніше ми переконаємось, що розв’язки радіального рівняння (25.5)

при 0k також переходять у відомі радіальні функції для рівняння Лапласа: 2

2

10

d dR mR

d d

2

0 , 0

0 1, ln

m mm Ru

m R

Повертаємось до рівняння (25.5)

2 2 2

2 " ' 2 2 2

0

0

d dRk m R

d d

R R k m R

(25.6)

Порівняно з рівнянням Ейлера з’являється новий член 2 2k R . Робимо заміну незалежної

змінної: 2

k x

, R y x . Тут x - безрозмірний радіус, - довжина хвилі для

даної частоти поля. Малі 1x рівнозначні . Цей випадок може реалізуватися як

при малих k , так і при малих . Отримали безрозмірне радіальне рівняння

2 " ' 2 2 0x y xy x m y . (25.7)

16

25.3. Рівняння Бесселя та функція Бесселя

Рівняння 2

" '

2

11 0

vy y y

x x

(25.8)

називається рівнянням Бесселя. Його можна записати в кількох рівнозначних формах.

Розв’язки цього рівняння (і деяких близьких за виглядом рівнянь) називають

циліндричними функціями (див. Розділ 11). Природною областю визначення цих функцій є

0x . Поки що не будемо розглядати комплексні v , нехай 0 (в рівняння входить

тільки його квадрат); v називають індексом або порядком.

Функція Бесселя першого роду порядку v , або просто функція Бесселя позначається як

vJ x . Для невід'ємних v це розв’язок рівняння Бесселя(25.8), обмежений в нулі (і

певним чином нормований):

1 vy x J x , 0

0, 0vv

xJ x x

; 0

0

1x

J x

. (25.9)

Функція Бесселя другого роду або функція Неймана vN x (інше позначення - ( )Y x ) –

це певним чином вибраний лінійно незалежний до функції Бесселя розв’язок. Функція

Неймана є необмеженою в нулі при всіх дійсних v :

2 vy x N x ; 0

, 0vv

xN x x

; 0

0ln

xN x x

. (25.10)

Загальний розв’язок рівняння Бесселя можна записати як лінійну комбінацію vJ x і

vN x . Обидві функції є дійсними і осцилюючими, а істотно відрізняються саме

поведінкою в нулі. Графіки перших функцій Бесселя vJ x цілого порядку представлені

на Рис. 25.1.

Рис. 25.1. Графіки функцій Бесселя mJ x для 0,1,2,3,4,5m (підписані біля кривих).

Відмітимо, що похідна '0 1( )J x J x . Тому на рисунку нулі 1( )J x відповідають

екстремумам 0 ( )J x . Зверніть увагу також на характерну степеневу поведінку кожної з

функцій Бесселя в околі нуля: вона відповідає ф-лі (25.9). Існує також інша пара лінійно

незалежних розв’язків рівняння Бесселя, функції Ханкеля (Ганкеля) (1) (2),H x H x , які

17

є комплексно значними, а для дійсних ν і додатних х - комплексно спряженими одна до

другої. Яка пара лінійно незалежних розв'язків рівняння Бесселя буде зручнішою,

залежить від задачі.

25.4. Розв’язки рівняння Гельмгольца у полярних координатах

Частинні розв’язки рівняння Гельмгольца у вигляді добутків.

Частинними розв’язками рівняння для радіальної функції (25.5) є ( ) ( )mR J k і

( ) ( )mR N k , а обмеженими і необмеженими при 0 частинними розв’язками РГ в

полярних координатах вигляду (25.3) є відповідно5

, immu J k e , , im

mu N k e , 0; 1; 2;...m . (25.11)

Можна кутові функції вибрати дійсними, тоді матимемо наступний набір частинних

розв’язків РГ:

cosmJ k m , sinmJ k m , cosmN k m , sinmN k m . (25.12)

Частинні розв’язки у випадку 0c .

Радіальні функції для 2 0c можна отримати із розв’язків для 2 0c k

формальною заміною k i .

Проте замість функцій чисто уявного аргументу ( ), ( )m mJ i N i радіальну частину

записують через іншу пару функцій ( ), ( )m mI K , які є дійсними і називаються

модифікованими функціями Бесселя (див. §36)

( ) ( )m mR AI BK .

Обидві функції є монотонними, функція ( )mI x обмежена в нулі й експоненціально росте

на нескінченності, а функція ( )mK x - необмежена в нулі, а на нескінченності

експоненціально прямує до нуля.

Використання розв’язків рівняння Гельмгольца для розв’язання задач.

Далі виникає бажання записати загальний розв’язок рівняння (25.1) подібно до того, як у

попередньому параграфі ми зробили це для рівняння Лапласа. Він має вигляд:

0 01

0 01

, cos sin

cos sin

m m mm

A

m m mm

B

u A J k J k A m B m

C N k N k C m D m

(25.13)

Тут 0 0 0 0A J k C N k – аксіально симетрична частина,

A – частина загального розв’язку, обмежена при 0 ,

B – частина загального розв’язку, необмежена при 0 .

Усі частинні розв’язки є обмеженими на нескінченності.

5У випадку зміни знаку цілого mна протилежний функції Бесселя і Неймана переходять самі в себе з точністю до знаку, тому фактично радіальна частина розв’язку не залежить від знаку m.

18

Але такий загальний розв’язок може не мати смислу. Справа в тому, що додавати

можна тільки розв’язки одного(!)рівняння. На відміну від рівняння Лапласа, для РГ

можливі дві ситуації.

1) Для РГ розв’язується неоднорідна крайова задача, коли c є заданим параметром (як

у п. 25.1, 2 2 2с k v ). Тоді після відокремлення змінних складаємо загальний

розв’язок (25.13) (для всіх частинних розв’язків k однакове!) і підставляємо в

межові умови задачі (частина з яких обов’язково неоднорідні).

2) РГ є рівнянням на власні функції і власні значення для оператора Лапласа

u u ,

тобто є частиною відповідної однорідної спектральної задачі, а – спектральним

параметром, що визначається у процесі її розв’язання, і для різних m є різними.

Власні функції можна шукати у вигляді добутків , ( )u R , де ( ) -

власні функції кутової частини оператора Лапласа, наприклад ime або cos m ,

sin m . Тоді для кільця радіальна частина має вигляд

m mR AJ BN ,

а для круга (з урахуванням обмеженості розв'язку в нулі) – mR AJ .

Додавати частинні розв’язки (25.11), (25.12) з різними m не можна, оскільки для

різних m власні значення задачі різні. Характеристичне рівняння на знаходимо

з умов на межі області (які є однорідними).

Перехід розв’язків рівняння Гельмгольца у розв’язки рівняння Лапласа.

При 0 0k РГ формально переходить у рівняння Лапласа

2 0 0u k u u , а розв’язок (25.11) при 1k (тобто в околі нуля, на відстанях,

значно менших за довжину хвилі 2 ) переходить у (24.17):

0 01 1

, cos sin ln cos sinm mm m m m

m m

u A A m B m C C m D m

,

Те ж саме стосується і кожного окремого частинного розв’язку РГ: як функції , ,в

області малих вони переходять у відповідні частинні розв’язки рівняння Лапласа (з

точністю до множника).

§ 26. ВІДОКРЕМЛЕННЯ ЗМІННИХ У РІВНЯННІ ЛАПЛАСА

В СФЕРИЧНИХ КООРДИНАТАХ

Тривимірний випадок рівняння Лапласа для сферичних областей має багато спільного з простішим двовимірним, розглянутим у § 24. Задача для на власні функції оператора Лапласа на одиничній сфері(двовимірна) приводить до складнішої система кутових функцій – сферичних функцій. Вони з'являються в розв'язках багатьох інших рівнянь, зокрема у квантовій механіці. Так, систематика станів атома водню тісно пов'язана зі сферичними функціями.

19

26.1. Сферична система координат

Означення сферичної системи координат (і одночасно – циліндричної)

представлено на рис. 26.1. Зверніть увагу на: геометричний зміст криволінійних

координат; їхній зв’язок з декартовими; координатні лінії; координатні поверхні; вектори

локального базису.

Рис. 26.1. Сферична і циліндрична системи координат (в американських позначеннях).

У європейських позначеннях, якими користуються в Україні, позначення кутів і

переставлені місцями порівняно з показаними на рисунку: кут на рисунках – це наш кут

азимутальний , а кут - це наш кут зенітний . Полярний радіус в ЦСК (позначений

на рис. як r ) ми позначаємо у цьому курсі через . Важливо, що кут (на Рис. 26.1 це

) у сферичній і циліндричній СК є одним і тим же кутом. Перехід від ЦСК до сферичної

СК фактично зводиться до переходу до полярних координат в площині ( , )z :

cos , sinr z r .

Явний вигляд оператора Лапласа у сферичній СК: 2

2

2 2 2 2 2

1 1 1 1 1sin

sin sinr

u u uu r u u

r r r r r

(26.1)

Останній вираз відображає структуру оператора Лапласа в ССК. Його радіальна частина

r діє тільки на радіус r і залежить тільки від радіусу, а кутова - тільки на , і

залежить тільки від них же.

Зауважте, що оператор фактично є оператором Лапласа на одиничний сфері. Як і

сам оператор Лапласа, він є сферично симетричним. Але ССК прив’язана до певного напрямку у просторі: це довільна вісь, яку ми вибрали за вісь Оz. Тому після переходу до ССК повна сферична симетрія оператора нібито втрачається, а в явному вигляді зберігається лише симетрія відносно цієї осі: кут явно не входить до виразу (26.1), при

заміні оператор Лапласа не змінюється.

20

Якобіан переходу до ССК дорівнює добутку параметрів Ламе 1 sin

r

r r

I H H H

, через

них виражаються елементи довжини на відповідних координатних лініях, наприкладdl H d . Маємо 0I там, де 0r і sin 0 , а отже, де sin 0r z . Отже, якобіан

обертається в нуль у початку координат і на всій осіOz , тут оператор Лапласа не існує. Як і в полярних координатах, це веде до появи необмежених розв’язків: а) при 0r ; б) при

0, .

26.2. Відокремлення змінних. Власні функції оператора Лапласа на одиничній сфері

Відокремлення радіальної і кутової частин. Частинний розв’язок рівняння Лапласа в сферичних координатах

2

10ru u

r

(26.2)

шукаємо у вигляді , , ,u r R r Y .

Увага! Завжди три і більше змінних розділяємо за один раз виключно на дві групи(а не три або більше!). Це загальне правило при відокремленні кількох змінних. У даному випадку відокремлюємо радіус r від кутів , .

З радіальною і кутовою частинами оператора Лапласа оперуємо як із цілісними блоками, не розкриваючи їх:

2

2

10r

rY R R Y

r RY

2

,

r

r

r R Y

R Y

Змінні відокремлені, вводимо константу відокремлення і отримуємо два рівняння - для

радіальної і кутової частин: 2 0rr R R , (26.3)

Y Y . (26.4)

Розглядаємо далі тільки сферичні області (куля, сферичний шар, зовнішня область відносно сфери або необмежений простір). Тоді область зміни кутів , відповідає

повному тілесному куту. Тоді спектральну задачу, з якої визначатиметься константа відокремлення , отримуємо саме для кутової частини Y . Це нова спектральна задача, що приводить до так званих сферичних функцій.

Задача на власні функції оператора Лапласа на одиничній сфері. Тут ми наводимо

лише постановку цієї задачі та її готовий розв’язок, який буде отримано згодом у Розділі 12. Функцію Y можна розглядати як функцію точки на одиничній сфері

, Y Y n n r r

- одиничний вектор, що вказує напрям на точку спостереження. На

одиничній сфері оператор Лапласа збігається з його кутовою частиною . Тому

спектральна задача на функцію Y є задачею на власні функції оператора Лапласа на одиничній сфері:

21

достатньо гладка і однозначна на одиничній сфері

Y Y

Y Y n

(26.5)

Сфера є замкнутою областю, а отже функція Y є обмеженою на всій сфері.

Після переходу до сферичних кутів , замість задачі (26.5) на функцію точки на

одиничній сфері отримуємо задачу на функцію сферичних кутів ,Y Y :

,

, 2 ,

, , 0,

Y Y

Y Y

Y

. ( 26.5 )

З подібними двома версіями задачі для кола ми вже зустрічались у § 24. Кут в

полярній, циліндричній і сферичній СК є одним і тим же кутом, тому (як і в задачі для кола (див. п. 24.2)), умова періодичності в задачі ( 26.5 ) рівнозначна однозначності функції точки на сфері. Інваріантна постановка (26.5) зберігає симетрію задачі відносно будь-яких поворотів, всі точки сфери в цій постановці є еквівалентними. Переходячи до сферичних кутів ми вибираємо певний напрям осі Oz (причому довільно). А після цього полюси сфери (точки 0, ) стають виділеними точками. При 0, якобіан

переходу до сферичних координат обертається в нуль, і оператор Лапласа (26.1) в сферичних координатах у цих точках не існує. Як ми вже бачили на прикладі задач у полярних координатах, це може спричиняти появу необмежених розв’язків. Тому задача (26.5 ) включає умови обмеженості у крайніх точках інтервалу зміни кута . Адже необмежені в полюсах сфери розв’язки не відповідають задачі (26.5) і тому не мають фізичного змісту.

Розв’язок задачі (не рівняння, а саме задачі, адже рівняння без умов обмеженості і періодичності має безліч розв’язків при будь-якому λ!) на власні функції оператора Лапласа на одиничній сфері (див. Розділ 12) є наступним. Власні значення нумеруються одним числом l :

1l l l , 0,1, 2,3,...l (26.6а)

Усі власні значення крім 0 0 є виродженими, тому власні функції при даному 0l

вибираються неоднозначно. Виберемо їх у вигляді так званих сферичних функцій

,lmY Y ,

де при даному l число m пробігає 2 1l значення від l до l : , 1, 0, ..., 0, 1, 2,...,m l l l l . (26.6б)

Число l має зміст максимального значення m при даному . Власне значення не залежить від m . Кратність виродження дорівнює 2 1l . Будь яка ненульова лінійна комбінація сферичних функцій з однаковим l і різними m також є власною функцією .

Число m називають азимутальним(або магнітним квантовим числом у квантовій механіці), оскільки воно пов’язане із залежністю від кута (з обертанням квантової

частинки навколо осі Oz). Сферичні функції називають також сферичними гармоніками. Вони є осцилюючими за обома змінними. Їх можна інтерпретувати як хвильові моди двовимірного резонатора у вигляді сфери, наприклад сферичної мембрани. Вони вибрані так, що вони є ортогональними не тільки за числом l (при різних ), але й за числом m . Сферичні функції ортогональні при інтегруванні по одиничній сфері і нормовані на одиницю. Інтеграл ортогональності має вигляд

*lm l m ll mmY n Y n d

, (26.7)

22

де інтегрування здійснюється по повному тілесному куту; в ССК sind d d .

Маючи результат спектральної задачі для кутової частини розв’язку, повернемось до радіальної частини.

Радіальні функції та частинні розв’язки рівняння Лапласа.

Знайдені значення (26.6а) підставляємо у радіальне рівняння (26.3): 2 0r lr R R .

Тепер настав час скористатись явним виглядом радіальної частини оператора Лапласа

2 2

2

11 0

d dRr r l l R

r dr dr

. (26.8)

Дужки в першому доданку хочеться розкрити

2 " '2 1 0r R rR l l R ,

але це зайвий крок. Незалежно від форми запису, це рівняння є рівнянням Ейлера.

Розв’язок його шукаємо у вигляді: ' 1, R r R r

Скоротивши на r , отримаємо характеристичне рівняння:

1 1l l .

Звідки одержуємо:

1 2, 1l l .

Перший корінь є очевидним,а другий знаходимо за теоремою Вієта. Отримали два типи

радіальних функцій 1, l lR r R r . (26.9)

Відповідно, маємо два типи частинних розв’язків рівняння Лапласа у ССК у вигляді

добутків вигляду , , ,u r R r Y :

(1) , , ,llm lmu r r Y ,

(2)

1

,, , lm

lm l

Yu r

r

. (26.10)

Перші є обмеженими при 0r , а другі прямують до нуля при r , але є

необмеженими в нулі ( (1)00u є константою, а вона обмежена і у нулі, і на нескінченності). Як

і в полярних координатах (див. §§24, 25), причиною появи необмежених розв’язків є

відсутність рівняння в точці 0r .

Отже, для кожної кутової гармоніки (кожного значення пари індексів l і m ) маємо наступний частинний розв’язок рівняння Лапласа:

1, , ,l ll l lmu r A r B r Y , (26.11)

а загальним розв’язком є формальний ряд

1

0

, , ,l

l ll l lm

l m l

u r A r B r Y

. (26.12)

Серед знайдених частинних розв’язків рівняння Лапласа в ССК є й такі, що залежать

насправді від меншого числа змінних: , , ,u r u r – аксіально симетричні,

, ,u r u r – сферично симетричні. Складніші розв'язки найзагальнішого вигляду

потрібні не завжди, а отримати їх простіше. Враховуючи важливість таких випадків, розглянемо їх окремо.

23

26.3. Сферично симетричний випадок

Розв’язок у вигляді ( )u u r R r (це відповідає частинному випадку 1Y ,

R r u r і 0 , див. п.26.2) підставляємо безпосередньо в (26.2). Рівняння Лапласа

співпадає з радіальним рівнянням (26.3) при 0 , яке набуває вигляду 2 0d dR

rdr dr

і

легко інтегрується двічі

2 11 2,

Cr R C R

r , 1

2

CR C

r .

Серед розв’язків (26.11) сферично симетричний розв’язок відповідає випадку

0, 0l m . При цьому кутова функція є константою, а саме 00 1 4Y , оскільки

сферичні функції нормовані умовою2

1lmY d . Отже, сферично симетричний

розв’язок рівняння Лапласа має вигляд

00

Bu r A

r . (26.13)

26.4. Аксіально симетричний випадок

Аксіально симетричний випадок відповідає 0m ; при 0l він включає сферично симетричний випадок. Частинний розв’язок рівняння Лапласа шукаємо у вигляді

,u u r R r T . Кутова частина залежить тільки від , ,Y T ,

рівняння (26.4) для кутової частини 0Y Y є звичайним диференціальним

рівнянням:

1sin 0

sin

d dTT

d d

.

У цьому рівнянні звичайно роблять заміну незалежної змінної cos , t T y t ,

sin d dt . Полюсам сфери відповідають такі значення змінних 0, 1t , а

задача 26.5 на власні функції кутової частини оператора Лапласа перетворюється на

таку:

21 0

1 1

( ) , 1

d dyt y

dt dt

t

y t t

(26.14)

Зверніть увагу: розв'язок задачі має бути обмеженим в обох точках 1t одночасно. Диференціальне рівняння в задачі (26.14) є частинним випадком так званого рівняння

Лежандра. Власними функціями цієї задачі (тобто рівняння разом з умовами обмеженості!) є многочлени, які називають поліномами Лежандра (див. розділ 12, §39)

ly t P t , 0,1, 2,3,...l

24

(число l є порядком многочлена). Власні значення 1l l l , 0,1, 2,3,...l є такими

ж, як у загальному випадку довільних m. Перші поліноми мають вигляд:

0 1P t , 1P t t , 22

3 1

2 2P t t , … .

Деякі спостереження стосовно задачі (26.14). 1) Рівняння (26.14) (умовно - «рівняння для поліномів Лежандра») є рівнянням

другого порядку, тобто має два лінійно незалежні розв’язки при будь-якому . Його загальний розв’язок легко знайти в частинному випадку 0

1 2

1( ) ln

1

ty t C C

t

. (26.15)

При 2 0С він є необмеженим, при 1t він має логарифмічні особливості. Такі ж

особливості має розв'язок загального вигляду і при довільних . Такі розв’язки не мають смислу у задачі на сфері, тому постановка задачі (26.14) вимагає обмеженості розв’язку в околі обох точок 1t одночасно. Значення 0 є власним значенням, що відповідає 0l . Власній функції, поліному

0 1y P t , відповідає перший доданок розв’язку (26.15). Як і має бути згідно умов

задачі (26.14),власна функція є обмеженою при 1t , в той час як всі розв’язки (26.15)

з 2 0C є необмеженими. Для інших власних значень 1l l , 1,2,3,...l поведінка

розв’язків рівняння (26.14) є такою ж: власна функція (поліном Лежандра ly P t ) є

обмеженою, а всі лінійно незалежні до неї розв’язки – необмеженими. Якщо не є власним значенням, то розв’язків, обмежених в околі обох точок 1t одночасно,не існує: якщо розв’язок є обмеженим в околі однієї точки, то він є необмеженим в околі іншої. 2) Формула (26.6а) для власних значень негайно слідує з того, що власними функціями є саме многочлени(останнє не є очевидним, але зараз приймемо це як факт). Якщо підставити в рівняння розв’язок у вигляді многочлена степеня l 0...l

ly a t a і зібрати

коефіцієнти при lt , то отримаємо, що 1l l . Пропонуємо проробити це самостійно.

Аксіально симетричні розв’язки рівняння Лапласа мають вигляд:

(1) , cosll lu r r P ,

(2)

1

cos, l

l l

Pu r

r

. (26.16)

Серед розв’язків (26.10), (26.11) розв’язки, що не залежать від кута , відповідають

випадку 0m , тоді сферичні функції зводяться до поліномів Лежандра:

0 0, cosl l lY C P .

1) Обмежені в нулі розв’язки cosllr P :

000 1l r P – константа, з точністю до якої визначений потенціал;

111 cos cosl r P r z – потенціал однорідного поля, направленого вздовж

осі Oz;

2 2

2 2 2 2 2 2 2 22

1 12 3cos 1 2 cos sin

2 2 2

x yl r P r r r z

.

Це однорідні многочлени степеня l відносно декартових координат x,y,z.

2) Не обмежені в нулі і обмежені на нескінченності розв’язки 1 cosllr P :

25

10

10 cosl r P

r – потенціал точкового заряду;

1

2 2 3 3

,cos cos1 , z

p rP zl p e

r r r r

– потенціал диполя, паралельного

осі Oz;

2l – потенціал квадруполя (аксіально симетричного);

3, 4, ...l – потенціали вищих мультиполів(аксіально симетричних).

26.5. Загальний випадок задачі на власні функції оператора

Лапласа на одиничній сфері, відокремлення кутів і

Загальне рівняння (26.4) для кутової частини 0Y Y має вигляд:

22

2 2

1 1sin 0 sin

sin sin

Y YY

.

Шукаємо власні функції задачі 26.5 у вигляді добутків Y T :

"21

sin sin sind dT

TT d d

Змінні в рівнянні відокремлені. Вимога періодичності Y за кутом переноситься на її

азимутальну частину , умова обмеженості за кутом – на T . Двовимірна

спектральна задача розпадається на дві одновимірні. Задача за кутом є відомою

задачею на колі, яка виникає у полярних координатах(див. §24):

"

2

Серед варіантів вибору її власних функцій вибираємо саме експоненти im

m e , 2 , 0, 1, 2,...m m ,

Тоді власні функції задачі 26.5 матимуть вигляд

, imY T e (26.17)

Отже, азимутальне число m визначається саме залежністю ( , )Y від кута . Може

виникнути сумнів, чи не занадто обмежили ми вигляд власних функцій, коли шукали їх

лише у вигляді добутків T ? Щоб зняти це питання, періодичну по (і достатньо

гладку) функціюY можна розкласти в комплексний тригонометричний ряд Фур’є

, imm

m

Y T e

і шукати власні функції у вигляді такого розкладання. Пропонуємо самостійно

переконатись у тому, що власні функції у будь-якому випадку можна вибрати у вигляді

(26.17). З урахуванням знайдених з азимутальної задачі власних значень 2 , 0, 1, 2,...m m , для T отримуємо рівняння

26

2

2

1sin 0

sin sin

d dT mT

d d

.

Після заміни cos , t T y t спектральна задача за кутом набуває вигляду

2

2

21 0

1

d dy mt y

dt dt t

(26.18)

, 1y t t . (26.19)

Диференціальне рівняння (26.18) називається рівнянням Лежандра.

Частинним випадком цієї задачі при 0m є задача (26.14). Задача (26.18) – (26.19)

буде розв’язана у Розділі 12, §41 «Приєднані функції Лежандра». Наведемо зараз лише

результати.

Фактично ми маємо набір спектральних задач, тобто задачу (26.18) – (26.19) для

кожного фіксованого m. Для власних значень маємо незалежно від m : 1l l l , де

l – ціле,але від m залежить інтервал значень числа l: l m . Сукупність двох чисел l і m

відповідає формулам (26.6а), (26.6б) п. 26.2. Отже, має місце виродження за числом m ,

кратність виродження дорівнює 2 1l .

Такий результат виглядає як парадокс: можна було б чекати, що власні значення

залежать від числа m , адже при різних значеннях 2m маємо різні рівняння на власні

значення (див. (26.18)). Ґрунтуючись на явному вигляді функцій і рівнянь в сферичній СК,

пояснити цей факт вдається. В дійсності причина полягає у сферичній симетрії вихідної

задачі (26.5).

Власними функціями при фіксованому m є m

ly t P t – приєднані функції

Лежандра. Вони існують тільки при m l . При 0m вони співпадають з поліномами

Лежандра, а в загальному випадку визначаються через похідні від поліномів Лежандра:

221m

mm ll m

d P xP x x

dx

coscos sin

cos

mmm l

l m

d PP

d

де 0 m l . (26.20)

Тут верхній індекс за означенням є цілим невід'ємним числом.

Остаточно, для задач 26.5 і (26.5) маємо наступні власні функції:

, cosm im

lm lm lY C P e , 0, 1, 2, ...l , , 1, ..., 0, ..., m l l l . (26.21)

Це і є явний вигляд сферичних функцій. Вони ж є lmY n

– функції точки на одиничній

сфері. Множники lmC за абсолютною величиною вибираються з умови нормування

(див.(26.7)) 2

( ) 1lmY n d

, (26.22)

а їхній знак – за домовленістю (див. Розділ 12)).

Таким чином, сферичні функції є власними функціями кутової частини оператора

Лапласа, обмеженими і однозначними на одиничній сфері

27

1lm lmY l l Y . (26.23)

Зауваження. Ще раз підкреслимо, що власні функції задачі 26.5

вибираються

неоднозначно, оскільки має місце виродження: не залежить від m , і для кожного

власного значення, тобто для кожного l (крім 0l ) існує декілька власних функцій з

різними m . Тому довільна ненульова лінійна комбінація сферичних функцій з однаковим

l l

l m lmm l

Y A Y

(26.23)

є власною функцією, що відповідає власному значенню ( 1)l l . Сферичні функції є не

просто власними функціями кутової частини оператора Лапласа, а певним чином

вибраними власними функціями, які мають вигляд (26.17), тобто залежать від φ як ime .

Питання про неоднозначність вибору власних функцій має й іншу сторону. Набір

таких же сферичних функцій вигляду (26.21) можна побудувати і для будь-якого іншого

напряму осі Oz, для якого сферичні кути матимуть інший зміст. Функції одного набору

виражаються через функції іншого набору. Детальніше про це –в Розділі 12.

Повертаємось до розв’язків рівняння Лапласа. Виділимо в явному вигляді сферично симетричну й аксіально симетричну частини загального розв’язку:

1 00

0

1 11 1 0

, , ,

cos cos

ll l

lm lm lml m l

ml l iml lml l lm ll l

l l m

Bu r C r D r Y A

r

B BA r P A r P e

r r

(26.24)

Розв’язуючи задачі для рівняння Лапласа з неоднорідними межовими умовами, що

мають аксіальну або сферичну симетрію, слід зберігати лише ту частину загального

розв’язку, симетрія якого відповідає симетрії джерел поля.

§27. ВІДОКРЕМЛЕННЯ ЗМІННИХ В РІВНЯННІ ГЕЛЬМГОЛЬЦА

В СФЕРИЧНИХ КООРДИНАТАХ. СФЕРИЧНІ ФУНКЦІЇ БЕССЕЛЯ

Подібно до того, як ми перейшли від 2-D рівняння Лапласа (§24) до рівняння

Гельмгольца (§25) у полярних координатах, перейдемо тепер від 3-D рівняння Лапласа

(§26) до рівняння Гельмгольца у сферичних координатах.

27.1. Рівняння Шредингера і рівняння Гельмгольца

Розв'язки рівняння Гельмгольца (РГ) мають особливе значення у квантовій механіці.

У §25 показано, як РГ отримується із хвильового рівняння. Може зводитися до РГ і

рівняння Шредингера. У загальному випадку рівняння Шредингера має вигляд

ˆi Ht

, (27.1)

де H – оператор Гамільтона (або гамільтоніан) системи, а – хвильова функція, яка

залежить від координат усіх частинок і від часу. Для однієї частинки ( , )r t

. Якщо

гамільтоніан H не залежить явно від часу, то час і координати у рівнянні Шредингера

28

(27.1) можна розділити. Це рівнозначно тому, щоб шукати хвильову функцію (для однієї

частинки) у вигляді

( , ) ( )E

i t

r t r e

, (27.2)

де E– константа відокремлення, яка має смисл повної енергії частинки, а ( )r

–

просторова частина її хвильової функції. Стани системи, які описуються хвильовими

функціями вигляду (27.2), називають стаціонарними станами, а рівняння, з якого

знаходиться ( )r

і енергія системи E - рівнянням Шредингера для стаціонарних станів; це

рівнянням на власні функції і власні значення для оператора Гамільтона

H E , (27.3)

яке разом з додатковими умовами на хвильову функцію ( )r

(звичайно – обмеженість,

неперервність і однозначність) утворює спектральну задачу, в якій спектральним

параметром є енергія E. Для частинки, що рухається у потенціальному полі ( )U r

,

рівняння для стаціонарних станів можна записати у вигляді

2

2( ) 0

mE U r

. (27.4)

Його ви неодноразово будете розв’язувати в курсі квантової механіки для різних

потенціалів ( )U r

: осциляторного, кулонівського та ін.

Якщо ( )U r const

всюди (вільна частинка) або в деякій області простору, то рівняння

(27.4) у даній області перетворюється на рівняння Гельмгольца

0.c (27.5)

Знак сталої c може бути різним, залежно від того, що у даній області більше: повна

енергія чи потенціальна. Для класично дозволеної області6 ( ( )E U r

) маємо 2 0c k ,

а для класично забороненої ( ( )E U r

), відповідно 2 0c . Рух квантової частинки

у довільному потенціалі, який на нескінченності прямує до нуля, має велике значення у

теорії розсіяння. Тоді рівняння Шредингера переходить у рівняння Гельмгольца на

великих відстанях від центра розсіяння. Незалежно від конкретного вигляду потенціалу

поведінка хвильових функцій стаціонарних станів на великих відстанях від центра

розсіяння буде описуватись розв’язками рівняння Гельмгольца

2

20

mE

. (27.6)

Причому для розсіяння 2

20

mc E

, а для зв’язаних станів 2

20

mc E

. Подібна

ситуація може реалізуватись, наприклад, для хвильових полів наночастинок на достатньо

великих відстанях від них.

Отримати 3-D РГ можна також з рівняннь теплопровідності і хвильового у просторі,

але смисл РГ тоді буде іншим.

27.2. Відокремлення змінних у ССК

Просторове РГ

6Класично дозволена область - це область простору, в якій може перебувати класична частинка з даною

енергією, тобто область ( )E U r

. В області, де ( )E U r

, класична частинка знаходитись не може, це -

класично заборонена область.

29

0u cu (27.7)

розв'язуємо у сферичній СК, ( , , )u u r . Як і в попередньому параграфі, ми шукаємо

розв’язки рівняння для таких областей як куля, сферичний шар, або область, зовнішня до

кулі. Тобто область зміни кутів , відповідає повному тілесному куту. Кутові змінні

можна відокремити так само, як і в рівнянні Лапласа (див. §26), умови на кутову частину

(періодичність по φ і обмеженість по θ) залишаються таким ж. Відповідно, кутовою

частиною розв’язку будуть власні функції кутової частини оператора Лапласа, які можна

вибрати у вигляді сферичних функцій. Отже, скориставшись досвідом §26, одразу будемо

шукати частинні розв’язки рівняння (27.7) у вигляді

, , ,lmu r R r Y . (27.8)

Для конкретності, почнемо з випадку 2 0c k . З урахуванням структури оператора

Лапласа у ССК, РГ (27.7) має вигляд

2

2

10ru u k u

r ,

після підстановки (27.8) отримаємо

2

2

10lm r lm lmY R R Y k R Y

r .

Тепер треба врахувати, що таке ,lmY – це власні функції кутової частини

оператора Лапласа (див. п. 26.2), вони задовольняють рівняння

( 1)lm lmY l l Y

для всіх θ і φ. Тому всі доданки пропорційні ,lmY , і ми одразу отримуємо рівняння

для радіальної функції

2

2

( 1)0r

l lR k R R

r

.

Тепер час розписати радіальну частину оператора Лапласа в ССК:

2 2

2 2

1 ( 1)0

d dR l lr k R

r dr dr r

,

або, якщо розкрити дужки, 2

2

2 2

2 ( 1)0

d R dR l lk R

dr r dr r

. (27.9)

Власне, відокремлення змінних на цьому закінчене. Питання в тепер у тому, якими є

розв’язки цього рівняння. Порівняємо його з радіальним рівнянням у випадку РГ у

полярних координатах (див. п. 25.2) 2 2

2

2 2

10

d R dR mk R

d d

. (27.10)

По суті вони відрізняються лише чисельним коефіцієнтом 2 замість одиниці при члені

з першою похідною, що пов’язано з іншою розмірністю простору. Тому не дивно, що

розв’язки рівняння (27.9) також виражаються через циліндричні функції, як і розв’язки

рівняння(27.10).

30

Враховуючи важливість розглядуваного випадку, для відповідних функцій існують

окремі позначення. Так само, як і в §25, приведемо радіальне рівняння до безрозмірного

вигляду, перейшовши до безрозмірного радіусу за формулами:

kr x , R r y x .

Найпростіше зробити це, помноживши радіальне рівняння на 2r . У результаті отримаємо

рівняння

2 " ' 22 ( 1) 0x y xy x l l y

(27.11)

яке дуже схоже на рівняння Бесселя:

2 " ' 2 2 0x y xy x y . (27.12)

Рівняння (27.11), де 0,1, 2,3,...l , називається рівнянням для сферичних функцій Бесселя.

Його загальний розв’язок можна записати у вигляді (один з варіантів)

( ) ( ) ( )l ly x aj x bn x , (27.13)

де ( )lj x – сферична функція Бесселя першого роду, а ( )ln x – сферична функція Бесселя

другого роду. Перша є обмеженим в нулі розв’язком рівняння(27.11), а друга – лінійно

незалежним до ( )lj x , який є необмеженим в нулі. Сферичні функції Бесселя виражаються

через звичайні з півцілим індексом (див. наступний підпункт).

Відповідно, частинними розв’язками рівняння (27.9) є ( ) ( )lR r j kr і ( ) ( )lR r n kr , а

обмеженими і необмеженими при 0r частинними розв’язками РГ у ССК у вигляді

добутків є відповідно

, , ,l lmu r j kr Y , , , ,l lmu r n kr Y , (27.14)

де індекси l і m пробігають звичайні для сферичних функцій значення. Використовуються

вони у двох варіантах.

1) Спектральна задача. Власні функції оператора Лапласа

u u

(λ – спектральний параметр!) для сферичних областей (кулі, сферичного шару) можна

шукати у вигляді

, , ,l l lmu r aj r bn r Y .

Додавати власні функції з різними λ не можна.

2) Неоднорідна задача. Розв’язок задачі для РГ 2 0u k u

( 2k – задана константа!) у сферичній області з неоднорідними умовами на межі, шукаємо у

вигляді суперпозиції всіх частинних розв'язків (27.14), тобто у вигляді загального

розв’язку РГ у ССК:

0

, , ,l

lm l lm l lml m l

u r c j kr d n kr Y

.

Як і для розв’язку рівняння Лапласа (26.24), в ньому можна виділити сферично

симетричну й аксіально симетричну частини. Пропонуємо читачеві зробити це

самостійно.

27.3. Сферичні функції Бесселя

31

Рівняння для сферичних функцій Бесселя(27.11) можна звести до звичайного рівняння

Бесселя (27.12). У довільному лінійному диференціальному рівнянні 2-го порядку можна

змінити або виключити повністю член з першою похідною шляхом заміни невідомої

функції y v вигляду

( ) ( ) ( )y x g x v x . (27.15)

Функцію ( )g x треба вибрати так, щоб досягти бажаного результату. Підстановка (27.15) в

(27.11) показує, що у даному випадку необхідна заміна

( ) ( )y x v x x (27.16)

або

( ) ( )v x y x x . (27.17)

Для спрощення викладок скористаємось тим, що радіальну частину оператора Лапласа в

сферичних координатах можна подати аж у трьох різних формах:

2 2

2

2 2 2

1 2 1r

u u uu r ru

r r r r r r r r

. (27.18)

Остання рівність не є очевидною, але перевіряється простим розкриттям дужок. Вона

буде корисною для нас і в подальшому. Скориставшись нею, рівняння(27.11) запишемо у

вигляді

2

1 ( 1)1 0

l lxy y

x x

. (27.19)

Тепер помножимо на x і перепишемо через нову невідому функцію (27.17):

1 2

1 2 2

1 ( 1)1 0

l lx v v

x x

.

Залишається розкрити другу похідну за відомою формулою

2uv u v u v uv . (27.20)

Маємо 2

2

1 1 4)1 0

l lv v v

x x

,

або остаточно 2

2

1 ( 1 2)1 0

lv v v

x x

.

Це рівняння Бесселя з півцілим індексом, адже 0,1, 2,3,...l . Його загальним розв’язком

є

1 2 1 2( ) ( ) ( )l lv x AJ x BN x .

Повертаючись до ( )y x за допомогою (27.16), отримуємо загальний розв’язок рівняння

для сферичних функцій Бесселя у вигляді

1 2 1 2( ) ( )( ) ( ) ( )

l l

l l

J x N xy x A B aj x bn x

x x

.

Сферичні функції Бесселя I і II роду визначаються рівностями:

32

1 2 ( ) ( )2

l lJ x j xx

, 1 2 ( ) ( )

2l lN x n x

x

. (27.21)

При 0x вони поводять себе наступним чином 1 2

( )l

ll

xj x x

x

, 1 2

1( )l

ll

xn x x

x

.

Це відповідає поведінці радіальної частини розв’язків рівняння Лапласа в ССК lr і 1lr

(див. п. 26.2). Таким чином, при 1kr частинні розв’язки РГ (27.14) переходять у

відповідні розв’язки рівняння Лапласа у ССК.

При великих x сферичні функції Бесселя осцилюють, а амплітуда осциляцій спадає як

1 x (для звичайних функцій Бесселя – як 1 x ). Числові множники в (27.21) вводяться

для того, щоб спростити формули, які описують поведінку сферичних функцій Бесселя

при x , яку ми дослідимо згодом (п. 34.1).

27.4. Сферично симетричний випадок

Якщо , ,u r R r , тобто не залежить від кутів, РГ зводиться до звичайного

диференціального рівняння, яке легко розв’язується в елементарних функціях. Ніякі

спеціальні функції(сферичні функції, сферичні функції Бесселя)в цьому випадку не

потрібні. РГ набуває вигляду 2 0r R k R ,

або

2 2

2

10

d dRr k R

r dr dr

.

Проте краще скористатись іншою формою запису радіальної частини оператора Лапласа

(див. (27.18)) і записати рівняння так:

2

2

2

10

drR k R

r dr .

Тоді очевидна заміна rR w приводить до рівняння 2 0w k w ,

звідки остаточно маємо

sin coskr kru A B

kr kr .

Обмеженим в нулі є тільки перший доданок.

Звичайно, серед усіх частинних розв'язків РГ (27.14)є і сферично симетричні (вони

відповідають 0l ), які рівнозначні цьому результату. Це означає, що сферичні функції

Бесселя нульового порядку зводяться до елементарних функцій, а саме

0

sin( )

xj x

x , 0

cos( )

xn x

x . (27.22)

Ці формули можна отримати, користуючись означеннями (27.21) і результатами

наступного розділу.

33

27.5. Розв’язки рівняння Гельмгольца 2 0u u ,

модифіковані функції Бесселя

Поведінка розв’язків рівнянь Гельмгольца 2 0u k u і 2 0u u якісно

відрізняється. Це видно вже з найпростіших розв’язків, що залежать від однієї декартової

координати. Так маємо cos , sin , ikxC kx C kx Ce для першого рівняння і

ch , sh , xC x C x Ce для другого. Отже для другого рівняння замість осциляцій

отримуємо експоненціальне наростання або спадання в просторі. І рівняння, і їхні

розв’язки переходять одні в другі в результаті заміни k i , але вибирають розв’язки

кожного з рівнянь дійсними (за рахунок вибору довільного множника). Так само можна

отримати частинні розв’язки рівняння 2 0u u у полярних і сферичних координатах

із частинних розв’язків, які ми отримали вище для рівняння 2 0u k u (див. (25.11),

(25.12) і (27.14) відповідно). Кутова частина розв’язків не змінюється, а радіальна буде

іншою.

Двовимірне рівняння. Про цей випадок ми вже говорили коротко в §25.

Розділяючи змінні в полярних координатах так само, як у п. 25.2, приходимо до

радіального рівняння, яке можна отримати з (25.5) заміною 2 2k

22

2

10

d dR mR

d d

. (27.23)

Переходячи до безрозмірного радіусу , ( ) ( )x R y x , отримуємо рівняння

(порівняйте з (25.7))

2 " ' 2 2 0x y xy x m y . (27.24)

Рівняння 2

" '

2

11 0

vy y y

x x

(27.25)

називається рівнянням для модифікованих функцій Бесселя. Воно відрізняється від

рівняння Бесселя (25.8) тільки знаком перед одиницею в дужках. Для малих х цей член у

рівнянні є несуттєвим (див. п. 25.3), тому поведінка розв’язків при 0x для р. (27.25) є

такою ж, як і для рівняння Бесселя. Навпаки, при x цей член в рівнянні стає

визначальним, тому модифіковані функції Бесселя не осцилюють (як звичайні), і на

нескінченності вони або експоненціально ростуть, або експоненціально прямують до

нуля. загальний розв’язок р. (27.25) записують у вигляді

( ) ( )v vy AI x BK x (27.26)

Тут ( )vI x - модифікована функція Бесселя першого роду, а ( )vK x - функція

Макдональда, або модифікована функція Бесселя другого роду. Перша обмежена в нулі

(для 0 ), а друга – необмежена; на нескінченності перша експоненціально росте, а

друга експоненціально прямує до нуля. Таку поведінку модифікованих функцій Бесселя

відображають їх графіки, наведені в §36 (Розділ 11), в якому модифіковані функції

Бесселя розглядаються детальніше.

Загальний розв’язок радіального рівняння (27.23) має вигляд

34

( ) ( )m mR AI BK . (27.26)

Для внутрішньої крайової задачі для круга треба виключити другий доданок внаслідок

умови обмеженості в нулі, а для зовнішньої – перший, внаслідок умови обмеженості на

нескінченності. Дійсні частинні розв’язки рівняння Гельмгольца 2 0u u у полярних

координатах у вигляді добутків мають вигляд

cosmI m , sinmI m , cosmK m , sinmK m , (27.27)

де 0,1,2,...m .

Тривимірне рівняння. Розділяючи змінні у сферичних координатах, приходимо до

радіального рівняння, яке отримується з (27.9) заміною 2 2k

22

2 2

2 ( 1)0

d R dR l lR

dr r dr r

. (27.28)

Переходячи до безрозмірного радіусу , ( ) ( )x r R r y x , отримуємо рівняння

2 " ' 22 ( 1) 0x y xy x l l y .

(27.29)

Воно відрізняється від рівняння для сферичних функцій Бесселя (27.11) тільки знаком

перед членом 2x у дужках, і заміною ( ) ( )y x v x x зводиться до рівняння для

модифікованих функцій Бесселя (27.25) з півцілим індексом 1

2l . Таким чином,

частинні розв’язки рівняння Гельмгольца 2 0u u у сферичних координатах у

вигляді добутків мають вигляд

1 2, , ,l

lm

I ru r Y

r

,

1 2, , ,l

lm

K ru r Y

r

, (27.30)

Обмеженими в нулі тут є перші, а обмеженими на нескінченності – другі.

27.6. Заключні зауваження: спільне й відмінне в чотирьох

розглянутих випадках відокремлення змінних

Корисно порівняти розглянуті вище чотири випадки відокремлення змінних і

подивитись, як видозмінюються розв’язки, їх радіальні й кутові частини, в залежності від

рівняння і розмірності простору. Для наочності результати зведені в Таблиці 27.1.

Таблиця 27.1. Частинні розв’язки рівнянь Лапласа і Гельмгольца в полярних і сферичних

координатах.

Розмірність простору, змінні

Рівняння Лапласа 0u Гельмгольца 2 0u k u

2-D, ( , ) 0m : 1, ln ;

0m : m ime ,

m ime

( ) im

mJ k e , ( ) im

mN k e

3-D, ( , , )r ( , )llmr Y ,

1 ( , )llmr Y

( ) ( , )l lmj kr Y , ( ) ( , )l lmn kr Y