Διαγώνισμα 4ο: Τύπου Δ΄

(γενικά θέματα)

2ο Κεφάλαιο Άλγεβρας – Μιγαδικοί Αριθμοί

Παράγραφοι: 2.1 – 2.2 – 2.3

Διάρκεια διαγωνίσματος: … ώρες

Ημερομηνία Εξέτασης: ………. Οκτωβρίου 2014

Στοιχεία μαθητή:

……………………………….……………………………

Βαθμός (100) …………

Βαθμός (20) …………..

2015

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος για το http://lisari.blogspot.gr 1/1/2015

ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ΄ ΤΑΞΗ

ΤΕΛΟΣ 2ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ΄ ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

………………….. ……. ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ 2014 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ

ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4)

ΘΕΜΑ Α

Α1. Να δείξετε ότι η διανυσματική ακτίνα της διαφοράς των μιγαδικών α βi και γ δi είναι η

διαφορά των διανυσματικών ακτίνων τους..

Μονάδες 8

Α2. Τι ονομάζουμε μέτρο μιγαδικού αριθμού z; Να αποδείξετε ότι:

2 2z Re z Im z

Μονάδες 7

Α3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη

Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. Για κάθε μιγαδικό αριθμό z ,

w ισχύει:

α. Αν 2z τότε z .

β. 2 2Re z Re z

γ. v μi i ν μ, ν,μ

δ. Im z w Im z Im w

ε. Αν z w z w , τότε OA OB , όπου Α, Β εικόνες των μιγαδικών z,w αντίστοιχα.

Μονάδες 10

ΘΕΜΑ Β

Δίνονται οι αριθμοί *

1 2z ,z τέτοιοι ώστε 1 2

2 1

z z1

z z .

Να αποδείξετε ότι:

Β1. 3 3

1 2 1 1z z και z z

Μονάδες 6

Β2. 1

2

z 1 3i

z 2 2

Μονάδες 6

ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ΄ ΤΑΞΗ

ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

Β3.

1822 775 3

1 2 1

2 1 2

z z z

z z z

Μονάδες 7

Β4. Το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ισόπλευρο, όπου Α, Β είναι οι εικόνες των μιγαδικών

1 2z , z αντίστοιχα και Ο η αρχή των αξόνων στο μιγαδικό επίπεδο.

Μονάδες 6

ΘEMA Γ

Έστω οι μιγαδικοί z,w τέτοιοι ώστε:

zw 0

z w

2w z zi .

Να δείξετε ότι:

Γ1. Im w Re z

Μονάδες 5

Γ2. Αν w φανταστικός, να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος της εικόνας του z είναι κύκλος κέντρου

1K 0,

2

και ακτίνας 1

2.

Μονάδες 7

Γ3. z i 1 και w 1 1

Μονάδες 7

Γ4. 2 2

z 2i z 4

Μονάδες 6

ΘΕΜΑ Δ

Έστω *

1 2z ,z με Α και Β οι εικόνες του στο μιγαδικό επίπεδο αντίστοιχα, τέτοια ώστε

1 2 1 2z z z z

1 2 1 2z 2015 z 2015 z z 2015

.

Να δείξετε ότι:

Δ1. 1 2 1 2z z z z ή 1

2

z

z

Μονάδες 12

Δ2. 2 11 2Re z z Re z z OA OB

ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ΄ ΤΑΞΗ

ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

Μονάδες 4

Δ3. AB OΓ , όπου 1 2O 0,0 ,Γ z z και Ο, Α, Β όχι συνευθειακά σημεία του μιγαδικού

επιπέδου.

Μονάδες 9

ΟΔΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζόμενους)

1. Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, κατεύθυνση, εξεταζόμενο

μάθημα). Τα θέματα να μην τα αντιγράψετε στο τετράδιο. Τα σχήματα που θα

χρησιμοποιήσετε στο τετράδιο, μπορούν να γίνουν και με μολύβι.

2. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων μόλις σας

παραδοθούν. Καμιά άλλη σημείωση δεν επιτρέπεται να γράψετε.

Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα

φωτοαντίγραφα, τα οποία και θα καταστραφούν μετά το πέρας της εξέτασης.

3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα.

4. Κάθε λύση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή.

5. Διάρκεια εξέτασης: Τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων.

6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: Μιάμιση (1 1/2) ώρα μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων.

KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ