หน่วยการเรียนรู้ที่ 4...

97

หนวยการเรียนรูที่ 4 การแปลงทางเรขาคณติการแปลงทางเรขาคณติ

มาตรฐานการเรียนรู

มาตรฐาน ค 3.2 : ขอ 2 และ ขอ 3มาตรฐาน ค 4.2 : ขอ 6 มาตรฐาน ค 6.1 : ขอ 1 และ ขอ 2 มาตรฐาน ค 6.2 : ขอ 1 มาตรฐาน ค 6.3 : ขอ 1 มาตรฐาน ค 6.4 : ขอ 1 และ ขอ 2 มาตรฐาน ค 6.5 : ขอ 1

ผลการเรียนรูที่คาดหวัง

1 . วิ เคราะหและอธิบายความสัมพันธระหวางรูปตนแบบและภาพท่ีไดจากการ เ ล่ื อนขนาน การสะท อนและ การหมุนได

2. นําสมบัติเก่ียวกับการเล่ือนขนาน การสะทอน และการหมุนไปใชได

3. บอกพิกัดของรูปเรขาคณิตท่ีไดจาก การเล่ือนขนาน การสะทอน และการหมุนบนระนาบในระบบพิกัดฉากได

สาระการเรียนรู

4.1 การเลื่อนขนาน (4 คาบ) 4.2 การสะทอน (4 คาบ) 4.3 การหมุน (4 คาบ)

พรอมหรอืยงั ? ถาพรอมแลว ก็เริม่เรยีนแลวนะครับ

98 ส่ือเสริมสาระการเรียนรู คณิตศาสตรพื้นฐาน ม.2

ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

44..11 การเล่ือนขนานการเล่ือนขนาน

จุดประสงคการเรียนรู ดานความรู : นักเรียนสามารถ 1. บอกความหมายและสมบัติของการเล่ือนขนานบนระนาบได 2. หาภาพที่ไดจากการเล่ือนขนานรูปตนแบบได 3. หาเวกเตอรของการเล่ือนขนานเม่ือกําหนดรูปตนแบบและภาพท่ีไดจาก

การเล่ือนขนานได 4. บอกพิกัดของภาพที่ไดจากการเล่ือนขนานของรูปตนแบบที่กําหนดใหได 5. เมื่อกําหนดรูปเรขาคณิตสองรูปที่แสดงการแปลงทางเรขาคณิตให

สามารถบอกไดวารูปคูใดแสดงการเล่ือนขนาน

ดานทักษะ / กระบวนการ : นักเรียนมีความสามารถใน 1. การคิดคํานวณ 2. การแกปญหา 3. การใหเหตุผล 4. การสื่อสาร การสื่อความหมาย และการนําเสนอ 5. การเช่ือมโยง 6. ความคิดริเริ่มสรางสรรค

ดานคุณลักษณะ : ปลูกฝงใหนักเรียน

1. มีความรับผิดชอบ

2. มีความสนใจใฝรู

3. มีความรอบคอบ มีระเบียบวินัย

4. มีความเช่ือมั่นในตนเอง

5. มีวิจารณญาณและทํางานอยางเปนระบบ

6. ตระหนักในคุณคา และมีเจตคติที่ดีตอวิชาคณิตศาสตร

MATH

Series

หนวยการเรียนรูท่ี 4 การแปลงทางเรขาคณิต 99


การแปลงทางเรขาคณิต (Transformation)

การแปลงทางเรขาคณิต เปนการจับคูกันแบบหนึ่งตอหนึ่งท่ีสมนัยกันระหวางจุดตาง ๆ บนระนาบของรูปตนแบบกับจุดตาง ๆ บนระนาบของภาพที่เกิดจากรูปตนแบบนั้น อาจเรียกอีกอยางหนึ่งวา การสง (Mapping)

ในทางเรขาคณิต มีการแปลงท่ีกลาวถึงความสัมพันธระหวางรูปเรขาคณิตกอการแปลงและรูปเรขาคณิตหลังการแปลง เรียนรูปเรขาคณิตกอนการแปลงวา รูปตนแบบ และเรียนรูปเรขาคณิตหลังการแปลงวา ภาพท่ีไดจากการแปลง เชน

จุด A ถูกสงไปยังจุด A′ ( A′ เรียกวา เอไพรม)

เรียกจุด A วา รูปตนแบบของจุด A′

เรียกจุด A′ วา ภาพท่ีไดจากการแปลง จุด A

เรากลาววาจุด A และจุด A′ เปนจุดท่ีสมนัยกัน

นักเรียนพิจารณารูปตอไปนี้

กําหนดให A B C′ ′ ′ เปนภาพท่ีไดจากการแปลง ABC

จากรูป จุด A และจุด A′ เปนจุดท่ีสมนัยกัน

จุด B และจุด B′ เปนจุดท่ีสมนัยกัน

และ จุด C และจุด C′ เปนจุดท่ีสมนัยกัน

เรากลาววา AB กับ A B′ ′ เปนดานท่ีสมนัยกัน ……………………เปนดานท่ีสมนัยกัน ……………………เปนดานท่ีสมนัยกัน

A

C

B

A′

B′

C′

A A′ •

100 ส่ือเสริมสาระการเรียนรู คณติศาสตรพื้นฐาน ม.2


กําหนดให P Q R S′ ′ ′ ′ เปนภาพท่ีไดจากการแปลง PQRS

จากรูป จุด P และจุด …… เปนจุดท่ีสมนัยกัน จุด Q และจุด …… เปนจุดท่ีสมนัยกัน จุด R และจุด …… เปนจุดท่ีสมนัยกัน

และ จุด S และจุด …… เปนจุดท่ีสมนัยกัน

เรากลาววา PQ กับ P Q′ ′ เปนดานท่ีสมนัยกัน ……………………เปนดานท่ีสมนัยกัน ……………………เปนดานท่ีสมนัยกัน ……………………เปนดานท่ีสมนัยกัน

ในท่ีนี้จะกลาวถึงการแปลงทางเรขาคณิต 3 แบบ ไดแก การเล่ือนขนาน การสะทอน และ การหมุน ซ่ึงการแปลงทางเรขาคณิตท้ังสามแบบนี้จะไดภาพท่ีมีรูปรางเหมือนกันและขนาดเดียวกันกับรูปตนแบบเสมอ ตัวอยางเชน

การแปลงท่ีเปนการเลื่อนขนาน การแปลงท่ีเปนการสะทอน

การแปลงท่ีเปนการหมุน

P Q R S

P′ Q′

R′ S′

ชวยผมทําหนอย



การเลื่อนขนาน

การเล่ือนขนานบนระนาบ เปนการแปลงทางเรขาคณิตแบบหนึ่งท่ีมีการเล่ือนจุดทุกจุดไปบนระนาบตามแนวเสนตรงในทิศทางเดียวกัน และเปนระยะทางที่เทากันตามท่ีกําหนด

ตัวอยางท่ี 1 กําหนด ABC เปนรูปตนแบบ เ ม่ือเล่ือนขนาน ABC ไปในทิศทางและ

ระยะทางตามท่ีกําหนดดังรูป แลว A B C′ ′ ′ เปนภาพท่ีไดจากการเล่ือนขนาน

A B C′ ′ ′

จากรูป จะพบวา มีการเล่ือนจุด A ไปท่ีจุด A′ เล่ือนจุด B ไปท่ีจุด …………

และ เล่ือนจุด C ไปท่ีจุด ………… ในทิศทางเดียวกันและเปนระยะทางเทากัน

จะไดวา AA′ , ……… และ ……… ขนานกันและยาวเทากัน ถา P เปนจุดใด ๆ บน ABC แลวจะมีจุด P′ บน A B C′ ′ ′ เปนจุด

สมนัยกันกับจุด P และ PP′ จะขนานและยาวเทากับความยาวของ AA′ , ……… และ ……… ดวย

ในการบอกทิศทางและระยะทางของการเล่ือนขนาน จะใช เวกเตอร เปนตัวกําหนด จากตัวอยางขางตน อาจใชเวกเตอร MN เพ่ือบอกทิศทางและระยะทางของการเล่ือนขนาน

ดังรูป

A

P C

B

A′

B′

C′•P′

A

P C

B M N

A′

B′

C′•P′



เวกเตอร MN อาจเขียนแทนดวย MN ซ่ึง MN จะมีทิศทางจากจุดเร่ิมตน M ไปยังจุดส้ินสุด N และมีขนาดเทากับความยาวของ MN

จากตัวอยางการเล่ือนขนานขางตน จะไดวา

1. AA′ , ……… , ……… และ ……… จะขนานกันกับ MN 2. AA′ = ……… = ……… = ……… = MN

สมบัติของการเลื่อนขนาน

1. สามารถเล่ือนรูปตนแบบทับภาพที่ไดจากการเล่ือนขนานไดสนิทโดยไมตองพลิกรูป หรือกลาววารูปตนแบบและภาพท่ีไดจากการเล่ือนขนานจะเทากันทุกประการ

2. สวนของเสนตรงบนรูปตนแบบและภาพท่ีไดจากการเล่ือนขนานของสวนของเสนตรงน้ันจะขนานกัน

ตัวอยางท่ี 2 จงหาภาพท่ีไดจากการเล่ือนขนาน PQRS ดวย QQ′

แนวคิด 1. ลาก PP′ , RR′ และ SS′ ใหขนานและยาวเทากับ QQ′

2. ลาก P S′ ′ , S R′ ′ , R Q′ ′ และ Q P′ ′

จะไดรูป P Q R S′ ′ ′ ′ เปนภาพท่ีไดจากการเล่ือนขนาน PQRS ดวย QQ′

S

R

Q′•

P

Q

S

R

Q′•

P

Q

P′R′

S′



1. กําหนด PQ และ MN จงเขียน P Q′ ′ ซ่ึงเปนภาพท่ีไดจากการเล่ือนขนาน PQ ดวย MN

2. กําหนด ABC จงหาภาพท่ีไดจากการเล่ือนขนาน ABC ดวย MN

ตัวอยางท่ี 3 จงหาพกิัดของภาพท่ีไดจากการเล่ือนจุดตอไปนี ้

1) A(1, 1) เล่ือนไปทางขวาตามแนวแกน X เปนระยะ 5 หนวย

กิจกรรมท่ี 4.1 : ทักษะการใหเหตุผล การส่ือสาร ส่ือความหมาย และนําเสนอ

P

Q

M

N

N

A M

B

C

A(1, 1) เล่ือนไปทางขวาตามแนว แกน X เปนระยะ 5 หนวย จะได

′A (1 + 5,1) = ′A (6,1)



2) B(2, 5) เล่ือนไปทางซายตามแนวแกน X เปนระยะ 6 หนวย

3) C(4, 1) เล่ือนลงตามแนวแกน Y เปนระยะ 3 หนวย

4) D(2, -1) เล่ือนข้ึนตามแนวแกน Y เปนระยะ 4 หนวย

B(2, 5) เล่ือนไปทางซายตามแนว แกน X เปนระยะ 6 หนวย จะได

′B (2 - 6, 5) = ′B (-4, 5)

C(4, 1) เล่ือนลงตามแนวแกน Y เปนระยะ 3 หนวย จะได

′C (4,1 - 3) = ′C (4, - 2)

D(2, -1) เล่ือนข้ึนตามแนวแกน Y เปนระยะ 4 หนวย จะได

′D (2, -1 + 4) = ′D (2, 3)



จากตัวอยางขางตนพบวา การเล่ือนจุดดังกลาว จะเห็นวา ถาเล่ือนจุดขนานแกน X จะทําใหคาของพิกัดแรกของแตละจดุเปล่ียนไป แตคาพิกัดหลังคงเดิม ในทํานองเดียวกัน ถาเล่ือนจุด ขนานแกน Y จะทําใหคาพิกัดหลังของแตละจุดเปล่ียนไป แตคาพิกัดหนาคงเดิม ตัวอยางท่ี 4 ใหจุด A(1, -3) และจุด B(4, -2) เปนจุดปลายของ AB และ PQ เปนเวกเตอรของ

การเล่ือนขนาน (นักเรียนกําหนดเอง) จงหา 1) ภาพท่ีไดจากการเล่ือนขนาน AB ดวย PQ

2) พิกัดของจดุ A′ และ B′

……………………………………………………………………………………… ตัวอยางท่ี 5 ใหจุด S(-3, 2) และจุด T(1, 3) เปนจุดปลายของ ST และ MN เปนเวกเตอรของ

การเล่ือนขนาน โดยท่ีมีจุด M(-5, 4) และ N(-2, 4) จงหา จงหา 1) ภาพท่ีไดจากการเล่ือนขนาน ST ดวย MN

2) พิกัดของจดุ S′ และ T′

………………………………………………………………………………………



ตัวอยางท่ี 6 กําหนด A B C′ ′ ′ เปนภาพท่ีไดจากการเล่ือนขนาน ABC

1) จงหาพกิัดของจุดยอดมุมของ A B C′ ′ ′ 2) จงหาเวกเตอรของการเล่ือนขนาน ABC

………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………

ตัวอยางท่ี 7 จงพิจารณาวารูป ข เปนภาพท่ีไดจากการเล่ือนขนานรูป ก หรือไม จงอธิบาย 1)

รูป ก รูป ข 2)


รูป ก รูป ข แนวคิด การพิจารณาวาเปนภาพท่ีไดจากการเล่ือนขนานของอีกรูปหรือไม ใหพิจารณาดังน้ี

1) สามารถเล่ือนรูปหนึ่งไปทับอีกรูปหนึ่งไดสนิทโดยไมมีการพลิกรูป 2) สวนของเสนตรงท่ีเช่ือมระหวางจุดท่ีสมนัยกันแตละคูขนานกันและยาวเทากัน

ทุกเสน ถาผลการแปลงสอดคลองกับเง่ือนไขท้ังสองขอแลว การแปลงนั้นเปนการเล่ือนขนาน

-5 5 X

6

4

2

-2

-4

-6

Y

C'

C

A'

A

B'

B

D

C

A B B'A'

C'

C

A B

C

A BB'

A'

C'

B'A'

C'



………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………

1. กําหนด ABC โดยมีจุด A(1, 1) จุด B(4, 1) จุด C(3, 3) เปนจุดยอดมุม จงเขียน A B C′ ′ ′ ซ่ึง

เปนภาพท่ีไดจากการเล่ือนขนาน ABC ดวย MN (นักเรียนกําหนดเอง) และหาพิกัด A′ , B′และC′

………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………




2. กําหนด PQRS โดยมีจุด P(-4, 3) จุด Q(-6, 1) จุด R(-5, -1) และจุด D(-3, 0) เปนจุดยอดมุม

จงเขียน P Q R S′ ′ ′ ′ ซ่ึงเปนภาพท่ีไดจากการเล่ือนขนาน PQRS ดวย MN โดยท่ีจุด M(-9, 3) และจุด N(-5, 7)

………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………

3. กําหนด A B C′ ′ ′ เปนภาพท่ีไดจากการเล่ือนขนาน ABC

1) จงหาพกิัดของจุดยอดมุมของ A B C′ ′ ′ 2) จงหาเวกเตอรของการเล่ือนขนาน ABC

………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………

-5 X

6

4

2

Y

B'A'

C'

A B

C



4. จงพิจารณาวารูป ข เปนภาพท่ีไดจากการเล่ือนขนานรูป ก หรือไม จงอธิบาย 1)

รูป ก รูป ข ………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………

2)

รูป ก รูป ข ………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………

3)

รูป ก รูป ข ………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………

4)

รูป ก รูป ข ………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………

AB

C C'

B'A'

A

B C

D D'

C' B'

A'

A

B

C

D

A'

D'

C'

B'

A'

D'

C'

B'

A

B

C

D



44..22 การการสะทอนสะทอน

ดานทักษะ / กระบวนการ : นักเรียนมีความสามารถใน 1. การคิดคํานวณ 2. การแกปญหา 3. การใหเหตุผล 4. การส่ือสาร การส่ือความหมาย และการนําเสนอ 5. การเช่ือมโยง 6. ความคิดริเริ่มสรางสรรค ดานคุณลักษณะ : ปลูกฝงใหนักเรียน

1. มีความรับผิดชอบ 2. มีความสนใจใฝรู 3. มีความรอบคอบ มีระเบียบวินัย 4. มีความเช่ือม่ันในตนเอง 5. มีวิจารณญาณและทํางานอยางเปนระบบ 6. ตระหนักในคุณคา และมีเจตคติ ท่ี ดีตอวิชา

คณิตศาสตร

จุดประสงคการเรียนรู ดานความรู : นักเรียนสามารถ 1. บอกความหมายและสมบัติของการสะทอนบนระนาบได 2. หาภาพท่ีไดจากการสะทอนรูปตนแบบได 3. หาเสนสะทอนของการสะทอนเม่ือกําหนดรูปตนแบบและภาพท่ีได

จากการสะทอน 4. บอกพิกัดของภาพท่ีไดจากการสะทอนของรูปตนแบบท่ีกําหนดใหได 5. เม่ือกําหนดรูปเรขาคณิตสองรูปท่ีแสดงการแปลงทางเรขาคณิตให

สามารถบอกไดวารูปคูใดแสดงการสะทอน

MATH

Series



การสะทอน

การสะทอน เปนการแปลงทางเรขาคณิตแบบหนึ่งท่ีมีการจับคูแตละจุดบนรูปตนแบบกับจุดแตละจุดบนรูปท่ีเกิดจากการสะทอนโดยจุดแตละคูท่ีสมนัยกัน จะมีระยะหางจากเสนของ การสะทอนเปนระยะทางเทากันและต้ังฉากกัน


จะไดวา การสะทอนบนระนาบเปนการแปลงทางเรขาคณิตท่ีมีเสนตรง ท่ีตรึงเสนหนึ่ง

เปนเสนสะทอน แตละจุด P บนระนาบจะมีจุด P′ เปนภาพท่ีไดจากการสะทอนจุด P โดยท่ี

1. ถาจุด P ไมอยูบนเสนตรง แลวเสนตรง จะแบงคร่ึงและต้ังฉากกับ PP′

2. ถาจุด P อยูบนเสนตรง แลวจุด P และจุด P′ เปนจุดเดียวกัน

และพบวา P′ เปนภาพสะทอน ระยะทางจากจุด P กับเสนสะทอน เทากบัระยะจากจดุ

P′ ถึงเสนสะทอน และ P เปนรูปตนแบบ

ตอไปนี้เปนตัวอยางการสะทอนท่ีมีเสนตรง เปนเสนสะทอน

P P′

B'

A'

D'

C'

A

B

C

DB'

A'

D'

C'

A

B C

D



กําหนดให ABC เปนรูปตนแบบ เม่ือสะทอน ABC ดวยเสนสะทอน XY และได

A B C′ ′ ′ เปนภาพท่ีไดจากการสะทอน ดังรูป

ลาก BB′ , AA′ และ CC′ ตัด XY ท่ีจุด D, E และ F ตามลําดับ จากความหมายของการ

สะทอนจะไดวา XY ตั้งฉากและแบงคร่ึง BB′ , AA′ และ CC′ ใหนักเรียนตอบคําถามตอไปนี้

1. BB′ , AA′ และ CC′ ขนานกันและยาวเทากันหรือไม ………………………………………………………………………………………………..

2. AB // A B′ ′ , BC // B C′ ′ และ CA // C A′ ′ ใชหรือไม ……………………………………………………………………………………………….. 3. นักเรียนคิดวาดานแตละดานของรูปตนแบบกับภาพท่ีไดจากการสะทอนของดานนั้น

จําเปนตองขนานกันหรือไม ………………………………………………………………………………………………..

4. AB = A B′ ′ , BC = B C′ ′ และ CA = C A′ ′ ใชหรือไม ………………………………………………………………………………………………..

5. ใชกระดาษลอกลาย ABC แลวเล่ือนไปทับ A B C′ ′ ′ รูปท้ังสองทับกันไดสนิท

หรือไม ถาไมไดใหนักเรียนพลิกกระดาษลอกลายแลวเลือน ABC ไปทับ A B C′ ′ ′ และ

ตรวจสอบดูวา ABC ทับ A B C′ ′ ′ ไดสนิทหรือไม ………………………………………………………………………………………………..


X

C'

B'

A'A

B

CY

D

E

F



จากการทํากิจกรรมขาตนทําใหได สมบัติการสะทอน ซ่ึงสรุปไดดังนี้ 1) สามารถเล่ือนรูปตนแบบทับภาพท่ีไดจากการสะทอนไดสนิทโดยตองพลิกรูป หรือกลาววา

รูปตนแบบและภาพท่ีไดจากการสะทอนเทากันทุกประการ 2) สวนของเสนตรงบนรูปตนแบบและภาพที่ไดจากการสะทอนของสวนของเสนตรงนั้นไม

จําเปนตองขนานกันทุกคู 3) สวนของเสนตรงท่ีเช่ือมจุดแตละจุดบนรูปตนแบบกับจุดท่ีสมนัยกันบนภาพท่ีไดจากการ

สะทอนจะขนานกัน และไมจําเปนตองยาวเทากัน

ทบทวนของเกา รูปเรขาคณิตท่ีสามารถหารอยพับและพับรูปท้ังสองขางของรอยพับใหทับกันสนิทได

เรียกวา …………………………… และเรียกรอยพับนั้นวา ………………………… รูปสมมาตรบนเสนแตละรูปอาจมีจํานวนแกนสมมาตรไมเทากัน เชน

ABCD เปนส่ีเหล่ียมจัตุรัสและเปนรูปสมมาตรบนเสนท่ีมีแกนสมมาตร 4 เสนไดแก AC , BD , EF และ PQ

รูปสมมาตรบนเสน เปนรูปท่ีเกิดจากการสะทอน โดยมีแกนสมมาตรเปนเสนสะทอน

E

A Q B

F

C P D



ตัวอยางท่ี 1 กําหนด ABCD เปนรูปตนแบบ และใหแกน Y เปนเสนสะทอน จงหา 1) ภาพที่ไดจากการสะทอน ABCD

2) พิกัดของจุด A′ , B′ , C′ และ D′ วิธีทํา

จากรูป จุด A และจุด D อยูบนแกน Y ท่ีเปนเสนสะทอน จะไดจุด A′ เปนจุด

เดียวกันกับจุด A และจุด D′ เปนจุดเดียวกันกับจุด D

สําหรับจุด B และจุด D จะมีจุด B′ และ C′ เปนภาพท่ีไดจากการสะทอนซ่ึงจุด แตละคูท่ีสมนัยกันจะมีพิกัดท่ีหนึ่งเปนจํานวนตรงขาม เพราะอยูคนละขางของแกน Y เปนระยะท่ีเทากันและจะมีพิกัดท่ีสองเปนจํานวนเดียวกัน เพราะอยูหางจากแกน X เปนระยะทางท่ีเทากัน

1) ภาพที่ไดจากการสะทอน ABCD ไดดังนี้

2) พิกัดของจุด A′ , B′ , C′ และ D′ ไดดังนี้ ……………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………..

-4 -2 2 4 X

4

3

2

1

-1

-2

YB

C

A

D

-4 -2 2 4 X

4

3

2

1

-1

-2

Y

C'(3, 1)

B'(2, 3)

A'(0, 2)

D'(0, -1)

B(-2, 3)

C(-3, 1)

A(0, 2)

D(0, -1)



ตัวอยางท่ี 2 กําหนด ABC เปนรูปตนแบบ และใหแกน X เปนเสนสะทอน จงหา 1) ภาพที่ไดจากการสะทอน ABC

2) พิกัดของ จุด A′ , B′ และ C′ วิธีทํา 1) ภาพที่ไดจากการสะทอน ABC ไดดังนี ้

2) พิกัดของ จุด A′ , B′ และ C′ ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… …………………………………………

ตัวอยางท่ี 3 กําหนด ABC เปนรูปตนแบบ และใหเสนตรง เปนเสนสะทอนท่ีขนานกับแกน X อยูใตแกน X เปนระยะทาง 3 หนวย จงหา

1) ภาพที่ไดจากการสะทอน A B C′ ′ ′

2) พิกัดของจุด A, B, C, A′ , B′ และ D′ วิธีทํา

-2 2 4 6X

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4

YB

CA

-4 -2 2 4 6X

1

-1

-2

-3

-4

-5

-6

Y

B

C

A



-2 2 4 6X

4

3

2

1

-1

-2

-3

Y

Q

R

P

1) ภาพที่ไดจากการสะทอน A B C′ ′ ′ ไดดังนี้

2) พิกัดของจุด A, B, C, A′ , B′ และ D′ ไดดังนี้ ……………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………..

ตัวอยางท่ี 4 กําหนด PQR เปนรูปตนแบบ และใหเสนตรง เปนเสนสะทอน จงหา

1) ภาพที่ไดจากการสะทอน P Q R′ ′ ′

2) พิกัดของจุด P, Q, R, P′ , Q′ และ R′ วิธีทํา 1) ภาพที่ไดจากการสะทอน P Q R′ ′ ′ ไดดังนี ้

2) พิกัดของจุด P, Q, R, P′ , Q′ และ R′ ไดดังนี้ ……………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………..

-4 -2 2 4 6X

1

-1

-2

-3

-4

-5

-6

Y

B

C

A

-2 2 4 6X

4

3

2

1

-1

-2

-3

Y R'

P'

Q'

Q

R

P



ตัวอยางท่ี 5 กําหนด P Q R′ ′ ′ เปนภาพท่ีไดจากการสะทอน PQR ดังรูป จงหาเสนสะทอน

วิธีทํา ข้ันท่ี 1 ลาก PP′ และ QQ′

ข้ันท่ี 2 หาจุดกึ่งกลางของ PP′ และ QQ′

ข้ันท่ี 3 ลาก XY ผานจุดกึ่งกลางของ PP′ และ QQ′ ดังนั้น XY เปนเสนสะทอน

ข้ันท่ี 1 ข้ันท่ี 2 ข้ันท่ี 3 ตัวอยางท่ี 6 จงหาเสนสะทอนของการสะทอนขอตอไปนี้

วิธีทํา ข้ันท่ี 1 ………………………………………………………

ข้ันท่ี 2 ……………………………………………………… ข้ันท่ี 3 ……………………………………………………… ดังนั้น ………………………………………………………

P'

Q'

R'

Q

R

P

P'

Q'

R'

Q

R

P

P'

Q'

R'

Q

R

P

X

YP'

Q'

R'

Q

R

P

B'

C'

A'B

C

A

B'

C'

A'B

C

A



ตัวอยางท่ี 7 จงพิจารณาวารูป ข เปนภาพท่ีไดจากการสะทอนรูป ก หรือไม จงอธิบาย 1)



รูป ก รูป ข แนวคิด การพิจารณาวาเปนภาพท่ีไดจากการสะทอนของอีกรูปหรือไม ใหพิจารณาดังน้ี

1) ตองมีการพลิกรูปจึงจะสามารถเล่ือนรูปหนึ่งไปทับอีกรูปหนึ่งไดสนิท 2) สามารถหาเสนสะทอนของการสะทอนรูปตนแบบได ถาผลการแปลงสอดคลองกับเง่ือนไขท้ังสองขอแลว การแปลงนั้นเปนการสะทอน

………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………



1. จงหาเสนสะทอนของการสะทอนในแตละขอตอไปนี้ 1)

2)

3)

2. กําหนด ABCD เปนรูปตนแบบ และใหแกน Y เปนเสนสะทอน จงหา 1) ภาพที่ไดจากการสะทอน ABCD

2) พิกัดของจุด A′ , B′ , C′ และ D′ 1) ภาพที่ไดจากการสะทอน ABCD ไดดังนี้

2) พิกัดของจุด A′ , B′ , C′ และ D′ ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… …………………………………………


4

3

2

1

-1

-2

-3

-4

Y

-4 -2 2 4 X

D

C

B

A



3. กําหนด ABC เปนรูปตนแบบ และใหเสนตรง เปนเสนสะทอนท่ีขนานกับแกน X อยูบนแกน X เปนระยะทาง 1 หนวย จงหา

1) ภาพที่ไดจากการสะทอน A B C′ ′ ′ ไดดังนี้

2) พิกัดของจุด A, B, C, A′ , B′ และ D′ ไดดังนี้ ……………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………..

4. กําหนดใหเสนตรง เปนเสนสะทอน จงหาภาพท่ีไดจากการสะทอนรูปตอไปนี้ พรอมท้ังหาพิกัดของจุดยอดมุมของภาพน้ัน 1)

……………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………..

5

4

3

2

1

-1

-2

-3

Y

-2 2 4 6 X

C

BA

6

5

4

3

2

1

-1

Y

-6 -4 -2 2 4 X

C

B

A



2)

……………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………..

3)

……………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………..

6

5

4

3

2

1

-1

Y

2 4 6X

D

C

B

A

-2 2 4 6X

5

4

3

2

1

-1

-2

-3

YD

C

B

A



44..33 การหมุนการหมุน

ดานทักษะ / กระบวนการ : นักเรียนมีความสามารถใน 1. การคิดคํานวณ 2. การแกปญหา 3. การใหเหตุผล 4. การส่ือสาร การส่ือความหมาย และการนําเสนอ 5. การเช่ือมโยง 6. ความคิดริเริ่มสรางสรรค ดานคุณลักษณะ : ปลูกฝงใหนักเรียน

1. มีความรับผิดชอบ 2. มีความสนใจใฝรู 3. มีความรอบคอบ มีระเบียบวินัย 4. มีความเช่ือม่ันในตนเอง 5. มีวิจารณญาณและทํางานอยางเปนระบบ 6. ตระหนักในคุณคา และมีเจตคติ ท่ี ดีตอวิชา

คณิตศาสตร

จุดประสงคการเรียนรู ดานความรู : นักเรียนสามารถ 1. บอกความหมายและสมบัติของการหมุนบนระนาบได 2. หาภาพที่ไดจากการหมุนรูปตนแบบได

3. หาจุดหมุน ขนาดของการหมุน บอกทิศทางของการหมุน เม่ือกําหนดรูปตนแบบและภาพท่ีไดจากการหมุนได

4. บอกพิกัดของภาพท่ีไดจากการหมุนของรูปตนแบบท่ีกําหนดใหได 5. เมื่อกําหนดรูปเรขาคณิตสองรูปที่แสดงการแปลงทางเรขาคณิตให สามารถ

บอกไดวารูปคูใดแสดงการหมุน

MATH

Series



การหมุน

การหมุน เปนการแปลงท่ีจุดทุกจุดของรูปตนแบบเคล่ือนท่ีไปเปนมุมเดียวกัน รอบจุดคงท่ีท่ีกําหนดซ่ึงเรียกวา จุดหมุน ภาพท่ีเกิดจากการหมุนจะเทากันทุกประการกับรูปตนแบบ


การหมุนบนระนาบเปนการแปลงทางเรขาคณิตท่ีมีจุด O ท่ีตรึงจุดหนึ่งเปน จุดหมุน แตละจุด

P บนระนาบมีจุด P′ เปนภาพท่ีไดจากหมุนจุด P รอบจุด O ตามทิศทางท่ีกําหนดดัวยมุมท่ีมีขนาด k โดยท่ี

1) ถาจุด P ไมใชจุด O แลว OP = OP′ และขนานของ เทากับ k 2) ถาจุด P เปนจุดเดียวกันกับจุด O แลว P เปนจุดหมุน

กําหนดให ABC เปนรูปตนแบบ มี A B C′ ′ ′ เปนภาพท่ีไดจากการหมุนรอบ ABC จุดหมุน P ตามเข็มนาฬิกาดวยมุมท่ีมีขนาด 60 องศา ดังรูป

P P′

k


B'

A'

C'

P

A

B

C

60๐



ลาก PA , PB , PC , PA′ , PB′ และ PC′ จากความหมายของการหมุนจะได m( ˆAPA′ ) = m( ˆBPB′ ) = m( ˆCPC′ ) = 60๐

และ

PA = PA′ , PB = PB′ และ PC = PC′

ใหนักเรียนตอบคําถามตอไปนี้

1. AB // A B′ ′ , BC // B C′ ′ และ CA // C A′ ′ ใชหรือไม ……………………………………………………………………………………………….. 2. นักเรียนคิดวาดานแตละดานของรูปตนแบบกับภาพท่ีไดจากการหมุนของดานนั้น

จําเปนตองขนานกันหรือไม ………………………………………………………………………………………………..

3. AB = A B′ ′ , BC = B C′ ′ และ CA = C A′ ′ ใชหรือไม ………………………………………………………………………………………………..

4. ใชกระดาษลอกลาย ABC แลวเล่ือนไปทับ A B C′ ′ ′ โดยไมพลิกกระดาษลอกลาย

แลวตรวจสอบดูวา ABC ทับ A B C′ ′ ′ ไดสนิทหรือไม ………………………………………………………………………………………………..

จากการทํากิจกรรมขาตนทําใหได สมบัติการหมุน ซ่ึงสรุปไดดังนี้

1) สามารถเล่ือนรูปตนแบบทับภาพท่ีไดจากการหมุนไดสนิทโดยไมตองพลิกรูป หรือกลาววารูปตนแบบกับภาพท่ีไดจากการหมุนเทากันทุกประการ

2) สวนของเสนตรงบนรูปตนแบบและภาพท่ีไดจากการหมุนสวนของเสนตรงนั้น ไมจําเปนตองขนานกันทุกคู



ตัวอยางท่ี 1 กําหนด ABC เปนรูปตนแบบ จุด P เปนจุดหมุน จงหา A B C′ ′ ′ ซ่ึงเปนภาพท่ีไดจากการหมุน ABC ทวนเข็มนาฬิกาดวยมุมท่ีมีขนาด 60 องศา

วิธีทํา

1. ลาก PA 2. สราง ˆAPF ใหมีขนาด 60 องศา

3. ใช P เปนจุดศูนยกลางรัศมี PA เขียนสวนโคงตัด PF ท่ีจุด A′ 4. ลาก PB 5. สราง ˆBPG ใหมีขนาด 60 องศา

6. ใช P เปนจุดศูนยกลางรัศมี PB เขียนสวนโคงตัด PG ท่ีจุด B′ 7. ลาก PC 8. สราง ˆCPE ใหมีขนาด 60 องศา

9. ใช P เปนจุดศูนยกลางรัศมี PC เขียนสวนโคงตัด PE ท่ีจุด C′

10. ลาก A B′ ′ , B C′ ′ และ A C′ ′

จะได A B C′ ′ ′ เปนภาพท่ีไดจากการหมุน ABC ทวนเข็มนาฬิกาดวยมุมท่ีมีขนาด 60 องศา

จากตัวอยางท่ี 1 จะเห็นวา เม่ือกําหนดรูปตนแบบ จุดหมุน ทิศทางการหมุน และขนาดของ

มุมท่ีหมุนให เราสามารถหาภาพท่ีไดจากการหมุน ในทางกลับกัน ถามีรูปตนแบและภาพที่ไดจากการหมุน เราสามารถหาจุดหมุน ทิศทางการ

หมุน และขนาดของมุมท่ีใชในการหมุนได ดังน้ี

P

A B

C



ตัวอยางท่ี 2 กําหนด A B C′ ′ ′ เปนภาพท่ีไดจากการหมุน ABC จงหาจุดหมุน ทิศทาง การหมุน และขนาดของมุมท่ีใชในการหมุน


1. ลาก AA′

2. สราง PQ แบงคร่ึงและต้ังฉากกับ AA′

3. ลาก CC′

4. สราง XY แบงคร่ึงและต้ังฉากกับ ลาก CC′ 5. ให PQ ตัดกับ XY ท่ีจุด R จะไดจุด R เปนจุดหมุน

6. ลาก RC และ RC′ จะไดขนาดของ ˆCPC′ เปนขนาดของมุมท่ีใชในการหมุน นั่นคือ ABC หมุนรอบจุด R ทวนเข็มนาฬิกาดวยขนาดของมุมเทากับ

m( ˆCPC′ )

A'

B'

C'

A

BC



ตัวอยางท่ี 3 ถา A B C′ ′ ′ เปนภาพท่ีไดจากการหมุน ABC ท่ีกําหนดให รอบจุดกําเนิด ตามเข็มนาฬิกาดวยมุมขนาด 180 องศา จงหา

1) A B C′ ′ ′ ซ่ึงเปนภาพท่ีไดจากการหมุน ABC

2) พิกัดของจุด A′ , B′ และ C′ ซ่ึงเปนภาพท่ีไดจากการหมุนจุด A, B และ C ตามลําดับ

วิธีทํา 1) หา A B C′ ′ ′ ซ่ึงเปนภาพท่ีไดจากการหมุน ABC ไดดังนี ้

1. ลาก OA , OB และ OC

2. ใช O เปนจุดศูนยกลางรัศมี OA เขียนสวนโคงตัด OA ท่ีจุด A′

3. ใช O เปนจุดศูนยกลางรัศมี OB เขียนสวนโคงตัด OB ท่ีจุด B′

4. ใช O เปนจุดศูนยกลางรัศมี OC เขียนสวนโคงตัด OC ท่ีจุด C′

5. ลาก A B′ ′ , B C′ ′ และ A C′ ′ จะได A B C′ ′ ′ เปนภาพท่ีไดจาก การหมุน ABC รอบจุดกําเนิด ตามเข็มนาฬิกาดวยมุมขนาด 180 องศา

2) พิกัดของจุด A′ , B′ และ C′ ซ่ึงเปนภาพท่ีไดจากการหมุนจุด A, B และ C ตามลําดับ ไดดังนี้ ……………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………..

5

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4

Y

-4 -2 2 4 6 X

A B

C

O



ตัวอยางท่ี 4 จงพิจารณาวารูป ข เปนภาพท่ีไดจากการหมุนรูป ก หรือไม จงอธิบาย 1)



รูป ก รูป ข แนวคิด การพิจารณาวาเปนภาพท่ีไดจากการหมุนของอีกรูปหรือไม ใหพิจารณาดังน้ี

1) สามารถเล่ือนรูปหนึ่งไปทับอีกรูปหนึ่งไดสนิทโดยไมมีการพลิกรูป 2) สามารถหาจุดหมุน ทิศทางการหมุน และขนาดของมุมท่ีหมุนได ถาผลการแปลงสอดคลองกับเง่ือนไขท้ังสองขอแลว การแปลงนั้นเปนการหมุน

………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………

A'

B'

C'

A

BC

C'

A' B'

D' C

A B

D

C'

B'

A'

C

A

B

D



1. กําหนด ABC เปนรูปตนแบบ จุด P เปนจุดหมุน จงหา A B C′ ′ ′ ซ่ึงเปนภาพท่ีไดจากการ

หมุน ABC ตามเข็มนาฬิกาดวยมุมท่ีมีขนาด 90 องศา


1. ………………………………………………………………………………… 2. ………………………………………………………………………………… 3. ………………………………………………………………………………… 4. ………………………………………………………………………………… 5. ………………………………………………………………………………… 6. ………………………………………………………………………………… 7. ………………………………………………………………………………… 8. ………………………………………………………………………………… 9. ………………………………………………………………………………… 10. …………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………

กิจกรรมท่ี 4.4 : ทักษะการใหเหตุผล การส่ือสาร ส่ือความหมาย การนําเสนอ และเชื่อมโยง

A

B

C

P



2. กําหนด ABC เปนรูปตนแบบ จุด P เปนจุดหมุน จงหา A B C′ ′ ′ ซ่ึงเปนภาพท่ีไดจากการหมุน ABC ทวนเข็มนาฬิกาดวยมุมท่ีมีขนาด 180 องศา


1. ………………………………………………………………………………… 2. ………………………………………………………………………………… 3. ………………………………………………………………………………… 4. ………………………………………………………………………………… 5. ………………………………………………………………………………… 6. ………………………………………………………………………………… 7. ………………………………………………………………………………… 8. ………………………………………………………………………………… 9. ………………………………………………………………………………… 10. …………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………

P

A

B

C



3. กําหนด A B C′ ′ ′ เปนภาพท่ีไดจากการหมุน ABC จงหาจุดหมุน ทิศทางการหมุน และขนาดของมุมท่ีใชในการหมุน

1) วิธีทํา ………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… 2)

วิธีทํา ………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………

A'

B'

C'A

B

C

A'

B'

C'

A

B

C



4. ถา A B C′ ′ ′ เปนภาพท่ีไดจากการหมุน ABC ท่ีกําหนดให รอบจุดกําเนิด ทวนเข็มนาฬิกาดวยมุมขนาด 90 องศา จงหา

1) A B C′ ′ ′ ซ่ึงเปนภาพท่ีไดจากการหมุน ABC

2) พิกัดของจุด A′ , B′ และ C′ ซ่ึงเปนภาพท่ีไดจากการหมุนจุด A, B และ C ตามลําดับ

วิธีทํา ………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………

-2 2 4 6 X

5

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4

Y

C

A

B

O



เม่ือมีรูปเรขาคณิตสองรูปท่ีเทากันทุกประการและเกิดจากการแปลงทางเรขาคณิตท่ีเปนการ

เล่ือนขนาน การสะทอน หรือการหมุนแบบใดแบบหนึ่ง ถาตองการจะหาวารูปนั้นเปนผลของการแปลงแบบใด ใหพิจารณาดังนี้

1. ถาตองมีการพลิกรูปหนึ่งไปทับอีกรูปหนึ่งไดสนิท การแปลงนั้นเปนการสะทอน 2. ถาสามารถเล่ือนรูปหนึ่งไปทับอีกรูปหนึ่งไดสนิทโดยไมตองพลิกรูปแลว ใหพิจารณาวา

เปนการเล่ือนขนานหรือไม ถาไมใชการเล่ือนขนาน การแปลงนั้นเปนการหมุน

ในกรณีท่ีรูปเรขาคณิตแตละรูปเปนเพียงจุดจุดเดียว จะสามารถกลาวไดวา การแปลงนั้นเปนผลจาการเล่ือนขนาน การสะทอน หรือการหมุน แบบใดแบบหนึ่งก็ได

การแปลงทางเรขาคณิตท้ังสามแบบ คือ การเล่ือนขนาน การสะทอน และการหมุน ท่ีกลาวมานั้น มีลักษณะสําคัญท่ีเหมือนกันประการหน่ึงคือ ภาพท่ีไดจากการแปลงจะเทากันทุกประการกับ รูปตนแบบเสมอไมวาจะเปนภาพจากการแปลงแตละแบบเพียงคร้ังเดียว การแปลงแตละแบบซํ้ากันหลายคร้ัง หรือการแปลงแบบใดแบบหน่ึงแลวตามตองการดวยการแปลงอีกแบบหนึ่ง ท้ังนี้เพราะวา

การแปลงทางเรขาคณิตเหลานี้เปนการเปล่ียนตําแหนงของรูปเรขาคณิตบนระนาบโดยท่ีระยะระหวางจุดสองจุดใด ๆ ของรูปเรขาคณิตนั้นไมเปล่ียนแปลง

ขอผมสรุปหนอยนะครับ



1. จงออกแบบลวดลายศิลปะโดยใชความรูเกี่ยวกับการเล่ือนขนาน การสะทอน และการหมุน

ตัวอยางลวดลาย

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. จงออกแบบโลโกมา 1 แบบ โดยใชความรูเกี่ยวกับการแปลงทางเรขาคณิต พรอมท้ังอธิบายความหมายของโลโกนั้น ตัวอยางโลโก

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

กิจกรรมที่ 4.5 : ทักษะการใหเหตุผล การนําเสนอ การเชื่อมโยง และความคิดสรางสรรค



จงหาพื้นท่ีโดยประมาณของรูปส่ีเหล่ียม 1.

……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… 2.

……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………

ชวนคิดคณิตศาสตรชวนคิดคณิตศาสตร

หาไดอะเปลา??

ลองทํากิจกรรมดู แลวคุณจะรู

4

5

3

3

หน่วยการเรียนรู้ที่ 4...

Documents