ปลุกจิตคณิต ม.4 - ตรรกศาสตร์
TRANSCRIPT
ตรรกศาสตร
ค ำวำ “ตรรกศาสตร” ไดมำจำกศพทภำษำสน
สฤตสองศพท คอ ตรรก และศำสตร
ตรรก หมำยถง กำรตรกตรอง ควำมคด ควำม
นกคด และค ำวำ ศำสตร หมำยถง วชำ ต ำรำ
รวมกนเขำเปน “ตรรกศำสตร” หมำยถง วชำวำ
ดวยควำมนกคดอยำงเปนระบบ ปรำชญท วไป
จงมควำมเหนรวมกนวำ ตรรกศำสตร คอ วชำ
วำดวย กำรใชกฎเกณฑกำรใชเหตผล
ประพจน (Proposition)
ประพจน คอ ประโยคทเปนจรงหรอเปน
เทจเพยงอยำงเดยวเทำนน
* ประโยคเหลำนอำจจะอยในรปประโยค
บอกเลำหรอประโยคปฏเสธกได
ประโยคเปด (Open sentence)
บทนยำม ประโยคเปดคอ ประโยคบอก
เลำ ซงประกอบดวยตวแปรหนงหรอมำกกวำ
โดยไมเปนประพจน แตจะเปนประพจนไดเมอ
แทนตวแปรดวยสมำชกเอกภพสมพทธตำมท
ก ำหนดให นนคอเมอแทนตวแปรแลวจะ
สำมำรถบอกคำควำมจรง
ตวเชอม (connective)
ตวเชอมประพจน ” และ ” ( conjunetion ) ใช
สญลกษณแทน Ù และเขยนแทนดวย P Ù Q แตละประพจนม
คำควำมจรง(truth value) ได 2 อยำงเทำนน คอ จรง(True)
หรอ เทจ(False) ถำท ง P และ Qเปนจรงจะไดวำ PÙQ เปน
จรง กรณอนๆ P Ù Q เปนเทจ
PQ P Q
TTFF
TFTF
TFFF
ตวเชอมประพจน ” หรอ ” ( Disjunction ) ใช
สญลกษณแทน V และเขยนแทนดวย P V Q และเมอ P V Q
จะเปนเทจ ในกรณทท ง P และ Q เปนเทจเทำนน กรณอน P
V Q เปนจรง
PQ P V Q
TTFF
TFTF
TTTF
ตวเชอมประพจน “ ถา….แลว” Conditional) ใช
สญลกษณแทน ® และเขยนแทนดวย P®Q
PQ PQ
TTFF
TFTF
TFTT
ตวเชอมประพจน “กตอเมอ” (Biconditional) ใช
สญลกษณแทน « และเขยนแทนดวย P«Q
นนคอ P«Q จะเปนจรงกตอเมอ ท ง P และ Q เปนจรงพรอม
กนหรอท ง P และ Q เปนเทจพรอมกน
PQ PQ
TTFF
TFTF
TFFT
PQ PQ
TTFF
TFTF
TFFT
นเสธ (Negation) ใชสญลกษณแทน ~ เขยนแทนนเสธของ P ดวย ~P ถำ P
เปนประพจนนเสธของประพจน P คอประพจนทมคำควำมจรงตรงขำมกน P
P P
TF
FT
สจนรนดร (Tautology) และ
ควำมขดแยง (Contradiction)
สจนรนดร (Tautology) คอ
รปแบบประพจนทมคำควำมจรงเปน
จรงเสมอโดยไมขนอยกบคำควำม
จรงของตวแปรของแตละประพจนท
มรปแบบเปนสจนรนดร เรยกวำ
ประพจนสจนรนดร (Tautology
statement)
P Q P v Q P PvQ
TTFF
TTTF
TTTF
TTTT
จำกตำรำงแสดงคำควำมจรงไมวำ P และ Q จะเปนจรง
หรอเทจกตำม ประพจน P® PvQ เปนจรงเสมอ ดงนน
ประพจนน เปน สจนรนดร
ควำมขดแยง (Contradiction)
คอ รปแบบประพจนทมคำควำมจรง
เปนเทจเสมอโดยไมขนอยกบคำควำม
จรงของตวแปรของแตละประพจนยอย
ประพจนทมรปแบบ เปนควำมขดแยง
เรยกวำ ประพจนควำมขดแยง
(Contradicithon statement)
ทฤษฎตรรกสมมล (Logical Equivalences)
ควำมรประพจนตรรกะสมมล (Logical
equivalent statement) มประโยชนมำก ส ำหรบกำร
หำขอโตแยงและขอสรปในทำงคณตศำสตร ซงในทำง
ปฏบตแลวกำรสรปเหตผลในแตละรปจะยงยำกมำก
หำกไมอำศยทฤษฎ ตรรกะสมมลในกำรกลำวอำง
ดงนนจงสรปทฤษฎตรรกะสมมลไวส ำหรบใชอำงอง
ตอไป
ก ำหนดให p , q , r แทนประพจนใดๆ t แทนสจนรนดร c แทน
ควำมขดแยง
1. กฎกำรสลบท (Commutative laws)
p ^ q = q ^p , p ^ q = q v p
2. กฎกำรเปลยนหม (Associative laws)
(p ^ q) ^r = p ^ (q ^ r) , (p ^ q) v r = p v (q ^ r)
3. กฎกำรแจกแจง (Distributive laws)
p ^ (q v r) = (p ^ q) v ( p ^ r) ,
p v (q ^ r) = (p v q) ^ ( p v r)
4. กฎเอกลกษณ (Identity laws)
p v t = t , p ^ t = p
5. กฎนเสธ (Negative laws)
p v ~p = t , p ^ ~ p = c
6.กฎนเสธซอนนเสธ (Double negative laws)
~(~p) = p
7. กฎนจพล (Idempotent laws)
p ^p = p , p = p
8. กฎของเดอมอเกน (demerger’s laws)
~(p ^q) = ~p v ~q , ~(p v q) = ~p v ~q
9. กฎกำรจ ำกดขอบขำย (Universal bound laws)
p v t = t , p ^ c = c
10. กฎกำรซมซบ (Absorption laws)
p v (p ^ q) = p , p ^ (p v q) = p
11. นเสธของ c และ t
~t = c , ~c=t
ตวบงปรมำณ
(Quantified statement)
ตวบงปรมำณ "ท งหมด" หมำยถงทกสงทก
อยำงทตองกำรพจำรณำในกำรน ำไปใชอำจ
ใชค ำอนทมควำมหมำยเชนเดยวกบ
"ทงหมด" ได ไดแก "ทก" "ทก ๆ" "แต
ละ" "ใด ๆ" ฯลฯ เชน คนทกคนตองตำย,
คนทก ๆ คนตองตำย,คนแตละคนตอง
ตำย, ใคร ๆ กตองตำย
ตวบงปรมำณ "บำง" หมำยถงบำงสวน
หรอบำงสงบำงอยำงทตองกำรพจำรณำ
ในกำรน ำไปใชอำจใชค ำอนทม
ควำมหมำยเชนเดยวกนได ไดแก"
บำงอยำง" "มอยำงนอยหนง" เชน สตว
มกระดกสนหลงบำงชนดออกลกเปนไข
, มสตวมกระดกสนหลงอยำงนอยหนง
ชนดทออกลกเปนไข
คำควำมจรงของประพจนทมตวบงปรมำณ
1.∀x[P(x)] มคำควำมจรงเปนจรง เมอ x ทกตวในเอก
ภพสมพทธท ำให P(x) เปนจรง
2. ∀x[P(x)] มคำควำมจรงเปนเทจ เมอม x อยำงนอย
1 ตวทท ำให P(x) เปนเทจ
3. ∃x[P(x)] มคำควำมจรงเปนจรง เมอม x อยำนอย 1
ตวทท ำให P(x) เปนจรง
4.∃x[P(x)] มคำควำมจรงเปนเทจ เมอไมม x ใดๆ ใน
เอกภพสมพทธทท ำให P(x) เปนจรง
กำรใหเหตผล
(Reasoning)
1.กำรใหเหตผลแบบนรนย เปนกำรใหเหต โดยน ำขอควำมทก ำหนดให ซงตอง
ยอมรบวำเปนจรง ท งหมด เรยกวำ เหต และขอควำมจรงใหมทไดเรยกวำ ผลสรป
ซงถำ พบวำเหตทก ำหนดนนบงคบใหเกดผลสรปไมได แสดงวำ กำรใหเหตผล
ดงกลำวสมเหตสมผล แตถำพบวำเหตทก ำหนดนนบงคบใหเกดผลสรปไมไดแสดงวำ
กำรใหเหตผลดงกลำวไมสมเหตสมผล
ตวอยำง เหต 1. คนทกคนตองหำยใจ
2 . นำยเดนตองหำยใจ
ผลสรป นำยเดนตองหำยใจ
2.กำรใหเหตผลแบบอปนย เปนกำรใหเหตผลโดยอำศยขอสงเกตหรอผลกำรทดลองจำก
หลำยๆตวอยำง มำสรปเปนขอตกลง หรอขอคำดเดำท วไป หรอ ค ำพยำกรณและจะตองม
ขอสงเกต หรอ ผลกำรทดลอง หรอ มประสบกำรณทมำกพอทจะปกใจเชอได แตกยงไม
สำมำรถแนใจในผลสรปไดเตมทเหมอนกบกำรใหเหตผลแบบนรนย
ตวอยำงกำรใหเหตผลแบบอปนย เชน เรำเคยเหนวำมปลำจ ำนวนมำกทออกลกเปนไข เรำจง
อนมำนวำ “ปลำทกชนดออกลกเปนไข ” ซงกรณนถอวำไมสมเหตสมผล ท งน เพรำะของสงเกต
หรอ ตวอยำงทพบวำยงไมมำกพอทจะสรป เพรำะโดยขอเทจจรงแลวมปลำบำงชนดทออกลก
เปนตว เชน ปลำหำงนกยง เปนตน