普通高中课程标准实验教科书

数学　必修 4

教材介绍

人教 A 版教材培训讲师团 嘉兴教育学院 / 嘉兴市教育研究院　吴明华

• 第一章　三角函数 　 16 课时• 第二章　平面向量 　 12 课时• 第三章　三角恒等变换 　 8 课时

删去的内容： 余切、正割、余割，已知三角函数值求角，反三角符号。

知识结构

目标定位

　　三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用。

　　在本模块中，学生将通过实例，学习三角函数及其基本性质，体会三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用。

教材分析1.1 任意角和弧度制　　角，具有数、形双重性，所谓“象限角”与“区间角”。 “ 坐标轴上的角”是特殊角，是表示其他角的“基准”。　　弧度制统一了度量弧与半径的单位。

教学要求（ 1 ）任意角、弧度

　　了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化。

理解与建议

• 角的推广：“内涵学习法”

教材分析1.2 任意角的三角函数　　从锐角到任意角，从直角三角形到单位圆。 只讲三个函数：正弦、余弦、正切。 同角三角函数的基本关系：两个。

教学要求（ 2 ）三角函数　　①借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。　　②理解同角三角函数的基本关系式：sin2x+cos2x=1 ， sinx/cosx=tanx 。

用单位圆定义三角函数

（ 1 ）突出三角函数概念的本质；

（ 2 ）简化定义形式，体现数学从简精神；

（ 3 ）加强与几何的联系，便于应用。

单位圆的作用（ 1 ） 1 弧度的大小；（ 2 ）任意角的三角函数定义：任意角 α → 点 P 的纵坐标——正弦任意角 α→ 点 P 的横坐标——余弦（ 3 ）三角函数的图象、基本性质、同角三角函数关系式、诱导公式

　　三角函数的所有内容都可以借助单位圆的直观进行讨论

性质联系

• R=1——

• 圆周长 =2π—— 周期性• 关于 x 轴对称—— cos(-x) ＝ cos x

• 关于 y 轴对称—— cos(π-x) ＝ -cos x

• 关于直线 y ＝ x 对称——• 旋转对称性——和（差）角公式

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教材分析1.3 三角函数的诱导公式　　诱导公式是三角函数的基本性质。 角（终边）的对称性是诱导公式的本质所在。 “ 奇变偶不变，符号看象限”

教学要求（ 3 ）三角函数的诱导公式　　借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式（ π/2±α, π±α 的正弦、余弦、正切。

教材分析1.4 三角函数的图象与性质　　得到图象的方法：“简谐运动”实验、描点作图、电脑演示。 周期性是三角函数最突出的性质，其中，角（终边）的周期性是三角函数周期性的原因所在。

教学要求（ 4 ）三角函数的图象和性质　　①能画出 y=sin x, y=cos x, y=tan x 的图象。 ② 了解三角函数的周期性。 ③借助图象理解正弦函数、余弦函数在 [0， 2π]，正切函数在（ -π/2 ， π/2 ）上的性质（如单调性、最大和最小值、图象与 x 轴交点等）。

思考与建议• 两种方式建构“三角函数性质”知识

教材分析1.5 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象与性质

　　关键是研究参数 A、ω、φ的作用，此处可发挥信息技术的优势。

“五点法”作图中，突出角的地位。

教学要求（ 5）函数 y=Asin(ωx+φ)的图象与性质　　结合具体实例，了解 y=Asin （ωx+φ）的实际意义；能借助计算器或计算机画出 y=Asin （ωx+φ）的图象，观察参数 A，ω，对函数图象变化的影响。

思考与建议

• 变量替换与图形变换 对于曲线 f(x,y)=0 ，若以 (x-a)替换

x ，则方程变为 f(x-a,y)=0 ，而曲线向 x轴正方向平移 a ；若以 kx替换 x ，则方程变为 f(kx,y)=0 ，而曲线横向伸缩（以原点为中心）成原来的 1/k倍。反之亦成立，对于 y也有同样的结论。

教材分析

1.6 三角函数模型的简单应用 给定函数 待定函数 函数拟合

教学要求（ 6 ）三角函数的应用　　会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。

保留了原有教材体系（ 96年引入）

知识结构

目标定位

向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。

目标定位 在本模块中，学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题，发展运算能力和解决实际问题的能力。

教材分析2.1 平面向量的实际背景及基本概念　　物理背景，注意学科整合。 向量的表示及记号，向量的三要素：起点、方向、长度。（自由向量） 零向量、单位向量、平行向量、相等向量、（相反向量）、共线向量。

教学要求（ 1 ）平面向量的实际背景及基本概念

通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示。

教材分析2.2 平面向量的线性运算 加减法：平行四边形法则、三角形法则。 　 减法用“转化为加法”来定义，事实上，加减法互为逆运算。 数乘，即“倍数”。

教学要求（ 2 ）向量的线性运算（掌握） ① 通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义。 ② 通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义。 ③ 了解向量的线性运算性质及其几何意义。

教材分析2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 基本定理刻画了向量空间的维度。

在平面直角坐标系中，分别取与坐标轴方向相同的单位向量作为基底，则以原点为起点的向量的坐标就是这个向量终点的坐标。

教学要求（ 3 ）平面向量的基本定理及坐标表示 ① 了解平面向量的基本定理及其意义。 ② 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。 ③ 会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算。 ④ 理解用坐标表示的平面向量共线的条件。

教材分析2.4 平面向量的数量积 内容：两个向量的数量积、一个向量在另一个向量方向上的投影、关于数量积的运算律、向量的模和夹角的计算及坐标表示。 核心是数量积的定义：

教学要求（ 4 ）平面向量的数量积 ① 通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义。 ② 体会平面向量的数量积与向量投影的关系。 ③ 掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。 ④ 能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。

教材分析2.5 平面向量应用举例 几何中的应用、物理中的应用。 “ 三步曲”：化归、处理、回馈。 基于基底的处理、基于坐标的处理。

教学要求（ 5）向量的应用 经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力。

向量法：“三步曲”

（ 1 ）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；

（ 2 ）通过向量运算研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；

（ 3 ）把运算结果“翻译”成几何关系。

向量几何——不依赖于坐标系的解析几何

类比• 向量的线性运算及运算律与数的

加减及其运算律的类比；• 向量的坐标表示与数轴上点表示

数的类比；• 向量数量积的运算律与数的乘法

运算律的类比；• 向量法与解析法的类比。

拓展视野

• (a+b)2-(a-b)2=4ab

实验反思

　 1 、重视向量的书写规范。　 2 、可以将相反向量放到“共线向量”一节来讲，这不仅是因为相反向量本身是共线向量，而因为这样的讲法与相反数的讲法一致，也有利于加强向量概念。　 3 、可以将数量积放到“线性运算”之后、“基本定理”之前，更加体现出数量积是向量的一种运算（对实数来说，它是一种新的运算）。

基本保留了原有教材体系，降低了用公式进行变换的要求。

知识结构

目标定位 三角恒等变换在数学中有一定的应用，同时有利于发展学生的推理能力和运算能力。 在本模块中，学生将运用向量的方法推导基本的三角恒等变换公式，由此出发导出其他的三角恒等变换公式，并能运用这些公式进行简单的恒等变换。

教材分析

以两角差的余弦公式为起始，用向量方法推导公式。 引导式探究：实际问题→数学问题→合情推理→构造与证明。

教学要求（ 1 ）经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用。（ 2 ）能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。

教材分析3.2 简单的三角恒等变换　　简单：仅用 11 个公式。 变换：变角、变函数、变运算。 问题：化简、求值、证明。 综合：解三角形、三角函数的图象与性质。

教学要求（ 3 ）能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括引导导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆）。

关于差角余弦公式的推导

（ 1 ）向量法简单，但仍属于构造法；（ 2 ）公式推导方法很多，可以让学生探究。

实验反思

　　为什么在认识三角变换的学习难度上教师与学生有明显的反差？

知识：公式多

能力：预测变换目标

解读模块结构

1. 从定义、图象、性质等角度研究三角函数，不再把三角变换穿插其中，使函数的“味道”更浓。

2. 向量安排在三角变换之前，为推导两角差的余弦公式作准备。

3. 三角恒等变换独立成章，重点在基本公式的推导和简单应用上 ，意在培养推理和运算能力。

模块的地位作用

1．加深对数学与实践关系的认识

　　音乐的旋律、波浪、昼夜的交替、潮汐、钟摆的运动、交流电等，这些现象都可以用三角函数来描述。

　　力、速度、位移等也是实际生活中所常见的，它们是向量的实际背景，也是向量描述的对象。

→体会作用，学习方法

2 ．认识数学内容的联系性，学习数学研究的方法

　　从三角函数及其性质与圆及其性质的联系、向量与代数、几何以及三角函数的联系、和（差）公式及倍角公式之间的联系等，体会不同数学知识在内容与方法上的联系性，学习数学中发现问题、提出问题和解决问题的基本方法。

模块的地位作用

3．发展运算能力和推理能力

　　作为代数对象，向量可以进行运算，这是运算的一次飞跃。

　　与代数恒等变换一样，三角恒等变换也是“只变其形不变其质” 。学习怎样预测变换目标，选择变换，设计变换途径等。

→体会数学运算的意义，学习运算、推理的基本思想 。

模块的地位作用

吴明华　 0573-82069162 　

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