第 4 章 光在各向异性介质中的传播

4.1 晶体的光学各向异性

4.2 理想单色平面光波在晶体中的传播

4.3 平面光波在晶体表面上的反射与折射

4.4 晶体光学元器件

4.1 晶体的光学各向异性

4.1.1 张量的基础知识

4.1.2 晶体的介电张量

4.1.1 张量的基础知识

1. 张量的概念

2. 张量的变换

3. 对称张量

1. 张量的概念

（ 1 ）把一个标量与一个或者多个矢量以等式的形式关

联起来，等式的关联因子就是张量。 （ 2 ）把一个标量与一个张量以等式的形式关联起来，其中的关联因子就是张量。 （ 3 ）把一个矢量与一个或者多个矢量以等式的形式关联起来，其中的关联因子就是张量。 （ 4 ）把一个矢量与一个张量以等式的形式关联起来，其中的关联因子就是张量。

张量就是使一个矢量（或者标量）与另一个及多个

其它矢量（或者张量）相关联的物理量，张量又称为并矢。

qTp�

式中， 是关联 和 的二阶张量。T�

p

q

p

q

例如，矢量 与矢量 有关，则其一般关系应为：

3

2

1

333231

232221

131211

3

2

1

q

q

q

TTT

TTT

TTT

p

p

p

二阶张量有九个分量，每个分量都与一对坐标 ( 按一定顺序 ) 相关。

在直角坐标系 O - x1x2x3 中， 可表示为矩阵形式 ：qTp�

分量形式：

3332321313

3232221212

3132121111

qTqTqTp

qTqTqTp

qTqTqTp

一般形式： 3,2,1, jiqTpj

jiji

按照爱因斯坦求和规则：若在同一项中下标重复两次，则可自动地按该下标求和，上式简化为

pi =Tij qj i,j =1, 2, 3

可以看出：如果 是张量，则 矢量的某坐标分量不仅与 矢量同一坐标分量有关，还与其另外两个分量有关。

T�

q p

321312313331332323333322311

221212213231232223233222211

121112113131132123133122111

TTTTTTTTT

TTTTTTTTT

TTTTTTTTT

Tijk

pi=Tijkujvk i, j, k =1, 2, 3 分量表示式为：

vuTp�

:

为三阶张量，包含 27 个张量元素，其矩阵形式为：T�

u

v

p

如果矢量 与两个矢量 和 相关，其一般关系式为：

标量可看作是零阶张量；矢量可看作是一阶张量。

标记方法：

标量无下标；

矢量有一个下标；

二阶张量有两个下标；

三阶张量有三个下标。

因此，下标的数目等于张量的阶数。

2. 张量的变换

由于张量的分量与坐标有关，所以当坐标系发生变化时，张量表示式也将发生变化。

若在原坐标系中，某张量表示式为 [Tij] ，在新坐标系中，该张量表示式为 [Tij ] ，则当原坐标系 O-x1x2x3 与新坐标系 O-x1x2x3 的坐标变换矩阵为 [aij] 时， [Tij ] 与 [Tij] 的关系为

332313

322212

312111

333231

232221

131211

333231

232221

131211

'33

'32

'31

'23

'22

'21

'13

'12

'11

aaa

aaa

aaa

TTT

TTT

TTT

aaa

aaa

aaa

TTT

TTT

TTT

其分量表示形式为 :

i, j, k, l=1, 2, 3

—— 张量变换定律。

kljlikij TaaT '

'klljkiij TaaT 逆变换 : i, j, k, l=1, 2, 3

i, j =1, 2, 3

如果是矢量，则新坐标系矢量表示式 A 与原坐标系表示式 A 间的矩阵变换关系 :

其分量变换公式 :

3

2

1

333231

232221

131211

'3

'2

'1

A

A

A

aaa

aaa

aaa

A

A

A

jiji AaA '

3. 对称张量

一个二阶张量［ Tij ］，如果有 Tij=Tji ，则称为对称张量，只有六个独立分量。

与任何二次曲面一样，二阶对称张量存在着一个主轴坐标系，在该主轴坐标系中，张量只有三个对角分量非零。于是，当坐标系进行主轴变换时，二阶对称张量可对角化。

可表示为 :

,0

,,'

32'

23'

31'

13'

21'

12

3'

332'

221'

11

TTTTTT

TTTTTT

3

2

1

00

00

00

T

T

T

332313

232212

131211

TTT

TTT

TTT例如一对称张量 :

经主轴变换

张量与矩阵的区别：张量代表一种物理量，因此在坐标变

换时，改变的只是表示方式，其物理量本身并不变化；而

矩阵则只有数学意义。因此，有时把张量写在方括号内，

把矩阵写在圆括号内，以示区别。

4.1.2 晶体的介电张量

ED r

0

= 0r 是标量， 与 的方向相同，即 的每个分量只与 的相应分量线性相关。

D

E

E D

介电常数 是表征介质电学特性的参量。

在各向同性介质中，电位移矢量 与电场矢量 满足关系：

D

E

i, j =1, 2, 3jiji ED 0

r0��

介电常数 是二阶张量。其分量形式为：

即 的每个分量均与 的各个分量线性相关。在一般情况下， 与 的方向不同。D

ED

E

ED r

� 0

对于各向异性介质 ( 如晶体 ) :

rn

在主轴坐标系，电位移矢量的分量形式：3,2,10 iED iii

晶体的介电张量 是对称张量，有六个独立分量。 经主轴变换后为对角张量，只有三个非零对角分量：

�

1, 2, 3 称为主介电系数。

3

2

1

00

00

00

由麦克斯韦关系式：

可相应定义三个主折射率 n1, n2 , n3 。

此外，由固体物理学知道，不同晶体的结构具有不同的空间对称性，自然界中存在的晶体按其空间对称性的不同，分为七大晶系：

立方晶系；四方晶系；六方晶系；三方晶系；正方晶系；单斜晶系；三斜晶系。

七大晶系的光学性质简介 晶 系 主轴坐标系 非主轴坐标系 光学分类

三斜

双轴单斜

正交

三方四方六方

单轴

立方 各向同性

33

22

11

00

00

00

333213

232212

131211

3313

22

1311

0

00

0

33

22

11

00

00

00

33

11

11

00

00

00

11

11

11

00

00

00

11

11

11

00

00

00

33

11

11

00

00

00

由于它们的对称性不同，所以在主轴坐标系中介电张量的独立分量数目不同。

由该表可见，三斜、单斜和正交晶系中，主介电系数

123 ，这几类晶体在光学上称为双轴晶体；

三方、四方、六方晶系中，主介电系数 1=23 ，这几类晶体在光学上称为单轴晶体；

立方晶系在光学上是各向同性的， 1=2=3 。

4.2 理想单色平面光波在晶体中的传播

4.2.1 光在晶体中传播的解析法描述

4.2.2 光在晶体中传播的几何法描述

4.2.1 光在晶体中传播的解析法描述

1. 麦克斯韦方程组

2. 光波在晶体中传播特性的一般描述

3. 光在几类特殊晶体中的传播规律

1. 麦克斯韦方程组

根据光的电磁理论，光在晶体中的传播特性由麦克斯韦方程组描述。

在均匀、不导电、非磁性的各向异性介质 ( 晶体 ) 中，若

没有自由电荷存在，麦克斯韦方程组为：

t

DH

0

0

D

B

t

HE

0

为简单起见，只讨论单色平面光波在晶体中的传播特性。

这样处理，可不考虑介质的色散特性；同时，任意复杂光波可分解为许多不同频率的单色平面光波的叠加，所以也不失其普遍性。

物质方程ED

HB�

0

2. 光波在晶体中传播特性的一般描述

(1) 单色平面光波在晶体中的传播特性

(2) 光波在晶体中传播特性的描述

（ 1 ）单色平面光波在晶体中的传播特性

A. 晶体中光电磁波的结构

B. 能量密度

C. 相速度和光线速度

A. 晶体中光电磁波的结构

是波法线方向的单位矢量k

麦克斯韦方程组变为：

)(i

000 e)(rk

c

nt

HDEHDE

、、、、

Dn

ckH

Hn

ckE

0

0

0

Hk

Dk

设晶体中传播的单色平面波为：

平面光波的电磁结构

D

s

k

E

H

vp

vr

波阵面波阵面

重要结论：在晶体中，光的能量传播方向通常与光波法线方向不同。

即 共面。一般情况下， 与 不在同一方向。D

E

kDE

、、

kHD

、 kEH

、 kDEH

、、① ，所以；

一般情况下， 和 不在同一方向。s

k

间夹角与 间夹角相同。DE

、ks

、

② HES

sEH

、 ksDE

、、、； ，即 共面。

B. 能量密度 根据电磁能量密度公式有：

|| Sc

nw

对于各向同性介质：

kHEc

nkHE

c

nDEwe

)(

2)(

22

1

kkEc

nkEH

c

nHBwm

)(

2)(

22

1

ksSc

nwww me

||

C. 相速度和光线速度

关系：

光线速度——光波能量的传播速度

相速度——光波等相位面的传播速度

kn

ckvv

pp

sw

Ssvv

||rr

cosrrp vksvv

vp 与 vr 的关系

A'vpvr

ks

BA

B'

结论：

在一般情况下，光在晶体中的相速度和光线速度分离，其大小和方向均不相同。

在各向同性介质中，单色平面波的相速度即是其能量传播速度（光线速度）。

(2) 光波在晶体中传播特性的描述

A. 晶体光学的基本方程

B. 菲涅耳方程

A. 晶体光学的基本方程

由矢量恒等式 ACBBCACBA

)()()(

Hn

ckE

Dn

ckH

0

得： )]([20 EkkEnD

（ 4.2-20 ）

所以 EnD

20 （ 4.2-21 ）

kkEnkkEc

nD

)()( 2

020

2

EEkkE

)(因为：

E⊥和 D⊥的定义

EE

D

(sD)s

s

k

D

(kE)k

由折射率的定义 类似地定义“光线折射率”：

coscospr

r nv

c

v

cn

pv

cn

20

20

20 )cos()cos(

cos

coscos

n

D

n

D

n

DEE 又：

则： D

nE

2r0

1

（ 4.2-26 ）

)]([1

20

DssDn

Er

或

（ 4.2-27 ）

给出了沿某一 方向传播的光波电场 与晶体 特性n(nr) 的关系，是描述晶体光学性质的基本方程。

)(sk

)(ED

B. 菲涅耳方程

① 波法线菲涅耳方程 ( 波法线方程 )

② 光线菲涅耳方程 ( 光线方程 )

① 波法线菲涅耳方程（波法线方程）

)]([20 EkkEnD

3,2,10 iED iii

2

0

11)(

n

EkkD

i

ii

（ 4.2-30 ）

选取主轴坐标系

3,2,1)]([20 iEkkEnD iii

iii ED 0

0332211 kDkDkD

2

0

11)(

n

EkkD

i

ii

0kD

描述了晶体中传播的光波法线方向 与相应折射率 n

和晶体光学参量（主介电张量） 之间的关系。k

�

（ 4.2-31 ）0

111111

32

23

22

22

12

21

n

k

n

k

n

k

即光波场沿 x1 、 x2 、 x3 三个主轴方向的相速度。

3

3

2

2

1

1 ,,c

vc

vc

v 定义

ncvp /因为

（ 4.2-33 ）则 023

2

23

22

2

22

21

2

21

vv

k

vv

k

vv

k

ppp

描述了晶体中传播的光波法线方向 与相应相速度 vp

和晶体光学参量（主速度） vp1 、 v2 、 v3 之间的关系。k

由波法线菲涅耳方程可见，对于一定的晶体，光的折射率 ( 或相速度 ) 随 方向变化。k

波法线方程是 n2 或 的二次方程，一般有两个独立实根 n 、 n 或 ，因而对应每一个波法线方向 ，有两个具有不同的折射率或不同相速度的光波。

k

pp vv 、

2pv

波法线菲涅耳方程确定了波法线方向 上，特许的两个线偏振光（本征模式）的折射率（或相速度）和偏振态。

k

这种沿不同方向传播的光波具有不同的折射率 ( 或相速度 ) 的特性就是晶体的光学各向异性。

确定与 相应的光波场 和 ：k

D

E

0)]1([

0)]1([

0)]1([

323

23223

2113

2

3322

222

22112

2

3312

2212

12

12

1

EknEkknEkkn

EkknEknEkkn

EkknEkknEkn

（ 4.2-30 ）

n vp

n vp

(E1, E2, E3) (D1, D2, E3)E

D

E

(E1, E2, E3) (D1, D2, D3)D

s

s

对于每一个波法线方向 ，有：k

可以证明： 0 DD

与给定的 k 相应的 D 、 E 和 s

E

ks

DE

D

s

通常称这两个线偏振光为相应于给定 方向的两个可以传播的本征模式。

k

结论：

不同的光线方向 ss 、

rr vv 、不同的光线速度

不同的折射率或相速度

对于晶体中给定的波法线方向 ，只允许有两个特定振动方向的线偏振光传播，其 矢量相互垂直，因而振动面相互垂直，且有：

k

D

② 光线菲涅耳方程 ( 光线方程 )

由（ 4.2-27 ）得

（ 4.2-36 ）03

2

23

22

22

12

21

rrr n

s

n

s

n

s

（ 4.2-37 ）

0111111

23

2

23

22

2

22

21

2

21

vv

s

vv

s

vv

s

rrr

结论：

不同的波法线方向

不同的折射率

不同的光线速度

在给定的晶体中，相应于每个光线方向 ，只允许有两个特定振动方向的线偏振光（两本征模）传播，其 矢量相互垂直，所以振动面相互垂直。一般情况下有：

s

E

光线菲涅耳方程确定了光线方向 上，两特许线偏振光的光线速度和偏振态。

s

作 业

2 ， 3