ГЛАВА 4

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

§1 Множества. Основные определения.

Под множеством понимают совокупность некоторых объектов, объединенных по какому-либо признаку. Объекты, из которых состоит множество, называют его элементами. Множество, не содержащее ни одного элемента, называют пустым и обозначают .

Множества, элементами которых являются числа, называют числовыми. Примерами числовых множеств являются:

N ;......;;3;2;1 n множество натуральных чисел;

Z ;......;;2;1;0 n

множество целых чисел;

Q NnZmnm ,: множество рациональных

чисел;

R множество действительных чисел.

В дальнейшем для сокращения записей будем использовать некоторые логические символы:

означает «для любого», «для всякого», «каждый»;

означает «существует», «найдется»;

: «имеет место», «такое, что»;

«предложения

и

равносильны»;

«из предложения

следует

предложение » .

§2 Числовые промежутки. Окрестность точки.

Пусть a и b

действительные числа, причем .ba Числовыми промежутками (интервалами) называются подмножества всех действительных чисел, имеющих следующий вид

bxaxba :;

отрезок;

bxaxba :;

интервал;

bxaxba :; полуинтервал;

bxaxba :; полуинтервал.

Числа a

и b

называются соответственно левым и

правым концами промежутков.

Пусть 0x

любое действительное число (точка на

числовой оси). Окрестностью точки 0x

называется

любой интервал ,;ba содержащий точку .0xВ частности, интервал

),();( 000 xVxx , где 0называется -окрестностью точки .0x

𝑎 𝑏𝑥0

𝑥0𝑥0−𝜀 𝑥0+𝜀

(𝑎 ;𝑏)

(𝑥0−𝜀 ;𝑥0+𝜀)

𝜀 𝜀

§3 Понятие функции. Способы задания функций.

Пусть даны два непустых множества X

и .Y

Правило ,f по которому каждому элементу Xx

поставлен в соответствие один и только один элемент

,Yy

называется функцией и записывается

)(xfy

или .: YXf При этом множество X

называется областью

определения функции f

и обозначается )( fD

или ),(yD а множество Y

множеством значений

функции f и обозначается )( fE или ).(yE

Пусть функция YXf : такова, что для

).()(:, 212121 xfxfxxXxx

В этом случае любому элементу Yy

может быть

поставлен в соответствие единственный элемент

;)(: yxfXx

тем самым определена новая

функция ,:1 XYf

называемая обратной

заданной функции .fГрафики взаимно обратных функций симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.

Если ,:,: YUFUXf

где

YUX ,, R, то функция xfFy называется сложной функцией или композицией

функций f и .FЧтобы задать функцию ),(xfy необходимо указать

правило, позволяющее, зная ,x находить

соответствующее значение .yСуществуют три способа задания функций:

1) графический: задается график функции;

2) табличный: функция задается таблицей ряда значений аргумента и соответствующих значений функции;

3) аналитический: функция задается в виде одной или нескольких формул или уравнений.

Аналитический способ задания функции является наиболее совершенным, так как к нему приложены методы математического анализа, позволяющие полностью исследовать функцию

).(xfy

§4 Основные характеристики функции.

1) Функция ),(xfy определенная на множестве

,D называется четной, если Dxвыполняются условия: Dx и );()( xfxf нечетной, если Dx выполняются условия:

Dx и ).()( xfxf

Из определения следует, что если функция задана

аналитически и ее область определения D не является

симметричным относительно точки )0,0(O множеством,

то функция не может быть ни четной, ни нечетной.

График четной функции симметричен относительно оси

,Oy а нечетной относительно начала координат.

2) Функция )(xfy называется возрастающей на

на интервале ),,( ba если ,:),(, 2121 xxbaxx выполняется условие ).()( 21 xfxf Функция )(xfy называется убывающей на

на интервале ),,( ba если ,:),(, 2121 xxbaxx выполняется условие ).()( 21 xfxf Возрастающие и убывающие функции называются строго монотонными.

Интервалы, на которых функции монотонны, называются интервалами монотонности.

3) Функцию ),(xfy определенную на множестве

,D называют ограниченной на этом множестве,

если существует такое число :0M.)( MxfDx

§5 Основные элементарные функции и их графики. Понятие элементарной функции.

Основными элементарными функциями называются следующие функции:

1. Степенная функция ,xy R.

11

𝒂¿ 𝑦=𝑥

1

1−1

б ¿ 𝑦=𝑥2

1

1

−1

−1

в ¿ 𝑦=𝑥3

1

1−1

−1

г ¿ 𝑦=𝑥−1=1𝑥

1

1

д ¿ 𝑦=𝑥1 /2=√𝑥

2. Показательная функция .1,0, aaay x

1

𝒂¿ 𝑦=𝑎𝑥(𝑎>1)

1

б ¿ 𝑦=𝑎𝑥 (0<𝑎<1)

3. Логарифмическая функция .1,0,log aaxy a

1

𝒂¿ 𝑦=𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥 (𝑎>1)

1

б ¿ 𝑦=𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥 (0<𝑎<1)

4. Тригонометрические функции

1

−1

𝜋𝜋2

− 𝜋2

−𝜋

𝒂¿ 𝑦=𝑠𝑖𝑛𝑥

1

−1

𝜋−𝜋𝜋2

б ¿ 𝑦=𝑐𝑜𝑠𝑥

𝜋2

3𝜋2− 𝜋

2𝜋−𝜋

в ¿ 𝑦=𝑡𝑔𝑥

𝜋2 𝜋

− 𝜋2

−𝜋3𝜋2

г ¿ 𝑦=𝑐𝑡𝑔𝑥

5. Обратные тригонометрические функции.

xyа arcsin)

xyб arccos)

arctgxyв )

arcctgxyг )

Функция, задаваемая одной формулой и постоянных с помощью конечного числа арифметических операций (сложения, вычитания, умножения, деления) и композиций, называется элементарной функцией.

Примеры элементарных функций:

.

312)4

,7)3

,2arccos)2

,5sin)1

2

xxy

xtgxy

y

xyx

Примеры неэлементарных функций:

...,!...!3!2!1)2

,0,

0,5)1

2

ny

xx

xy

где ....321! nn

§6. Числовая последовательность. Предел числовой последовательности.

Функция, областью определения которой является

множество N натуральных чисел, называется числовой

последовательностью и обозначается

)(nfxn или или 1nnx .nxПри этом nx называется n-ым членом

последовательности.

Геометрически каждому члену последовательности соответствует точка на числовой оси .Ox

Пример. Формула

n1

задает последовательность:

,...1,...,31,

21,1

n

Пусть функция )(nfxn последовательно

принимает значения ,...,,...,, 21 nxxxт.е.пробегает последовательность .nx

Важным случаем такого изменения функции является тот, при котором по мере возрастания номера nсоответствующие значения nx неограниченноприближаются (стремятся) к некоторому постоянномузначению ;а в этом случае говорят, чтопоследовательность nx стремится к пределу .аНо выражения «неограниченно приближаются», «стремятся» неопределенные и поэтому не годятся для точного математического понятия предела.

Для точного определения понятия «предел» введем произвольное малое положительное число ;оно произвольно, его по желанию можно задавать равным 0,01, и 0,001, и вообще

поскольку

.,10 Nkk

Факт неограниченного сближения последовательности

nx с постоянной а можно охарактеризовать так:

каково бы ни было малое положительное число ,в процессе изменения последовательности рано или поздно должен наступить такой момент, начиная с которого все ее дальнейшие значения nx будут отличаться от апо абсолютному значению меньше, чем на это произвольное

.

Пусть этому моменту отвечает значение ;Nn оно, очевидно, зависит от задания числа :чем меньше, тем больше должно быть ;Nзависимость N от записывается в виде ).(NИтак, факт неограниченного приближения

последовательности nx к постоянной аможно математически записать следующим образом:

Число a называется пределом

,nx если для любого

найдется такое натуральное

),(N что для всех номеров )(Nn будет выполняться неравенство . axn

Определение.

последовательности

положительного числа

число

Кратко определение предела можно записать так:

.)(

:)(0lim

axNn

Nax

n

nn(6.1)

Геометрический смысл определения предела последовательности:

Неравенство axn равносильно неравенствам

axn или , axa n

т.е. .),(),(

aV

n aax

Поэтому определение предела последовательности можно

сформулировать так: число a называется пределом

последовательности ,nx если для любой

окрестности точки a найдется такой номер

),(N что все члены последовательности ,nxдля которых ),(Nn попадут в окрестность

точки .a𝑎 𝑎+𝜀𝑎−𝜀

𝑥2 𝑥1𝑥3𝑥𝑛𝑥𝑁 (𝜀 )+1¿ ¿

Ясно, что чем меньше , тем больше число ),(Nно в любом случае внутри окрестности точки aнаходится бесконечное число членов последовательности.

Последовательность, имеющая предел, называется

сходящейся. В противном случае расходящейся.

Пример. Доказать, что 111lim

nn

n

Решение. Воспользуемся определением (6.1):

.111)(:)(01

11lim

nnNnN

nn

n

Преобразуем последнее неравенство

.122112

11

21

21

1111

nnnn

nnnn

nn

Таким образом, )(N можно взять

,2112

равным

ближайшему по избытку к 12

натуральному числу, т.е.

равным где

Итак, для 0 указано соответствующее значение

.2)(

N Это и доказывает, что 111lim

nn

n

x целая часть числа ,x т.е. наибольшее целое

число, не превосходящее .x

Например, для 01,0 соответствующее значение

,200)( N т.е. все члены последовательности,

начиная с 200x попадут в интервал

).01,1;99,0()01,01;01,01(

§7 Предел функции в точке. Бесконечно большая и бесконечно

малая функция.

Рассмотрим функцию )(xfy непрерывно изменяющегося аргумента xи предположим, что аргумент x стремится к

некоторому числу .aМожет случиться, что при неограниченном приближении

xаргумента к числу а соответствующие

значения функции )(xf неограниченно

приближаются к некоторому числу .A

𝑎

𝐴

𝑦= 𝑓 (𝑥 )

Определение. Число А называется пределом функции

)(xf при ,ax если при всяком положительном

числе можно указать другое положительное число

, зависящее от выбора , такое, что абсолютная

величина разности Axf )( будет меньше ,когда абсолютная величина разности ax будет меньше , т.е. если числовые значения функции

)(xf будут заключены в произвольной -окрестности

числа А при условии, что числовые значения аргумента x взяты в достаточно малой -окрестности числа а(исключая само число а ):

.)(0::)(0

)(lim

Axfaxx

Axfax

Бесконечно большая функция (б.б.ф).

Определение. Функция )(xfy называется б.б.ф. при

,ax если для любого числа 0Mнайдется такое положительное число ,зависящее от выбора ,M что для всех ,xудовлетворяющих условию ax0будет выполняться: .)( Mxf

MxfaxxMM

xfax

)(0:0)(0

)(lim

Бесконечно малая функция (б.м.ф.). Связь между б.м.ф. и б.б.ф.

)(xfy Определение. Функция называется б.м.ф.

при ,ax если для любого числа 0найдется такое положительное число , зависящее отвыбора , что для всех ,x удовлетворяющих условию

ax0 будет выполняться: .)( xf

)(0:0)(0

0)(lim

xfaxx

xfax

Теорема. 1) Если )(xfy б.м.ф. в ),(aV то

)(1xf

y б.б.ф. в ),(aV

),(aV),(aV

т.е.

.)(

1lim0)(lim xf

xfaxax

2) Если )(xgy б.б.ф. в то

)(1xg

y б.м.ф. в т.е.

.0)(

1lim)(lim xg

xgaxax

Символически это утверждение можно записать так:

01

и 1 0,

где символы 0 и следует понимать как

неограниченно близкое приближение к нулю и к бесконечности соответственно.

§8 Вычисление пределов.

Практическое вычисление пределов основывается на связи между б.м.ф. и б.б.ф. и на следующей теореме.

Теорема. Если lim ( ),x a

f x

)(lim xgax

и ,C const то:

1) ;lim CCax

2) );(lim))((lim xfCxfCaxax

3) );(lim)(lim))()((lim xgxfxgxfaxaxax

4) );(lim)(lim))()((lim xgxfxgxfaxaxax

5) );0)(lim(,)(lim

)(lim

)()(lim

xg

xg

xf

xgxf

axax

ax

ax

6) lim( ( )) (lim ( )) ;n n

x a x af x f x

7) .)(lim)(lim)(lim)( xg

ax

xg

axaxxfxf

При применении этой теоремы необходимо иметь в виду, что для любого ненулевого числа С справедливо:

1)

2)

3)

5)

4)

6)

9)

8)

7)

;00 С0 ;C C

;0

C

;00

C;C

;C;0

C

;C

;000 ;

., Nnn 10)

11)

А если условия этой теоремы не выполнены, то могут возникнуть неопределенности вида

0 00 , ,0 ,0 , ,1 , ,0

которые в простейших случаях раскрываются с помощью алгебраических преобразований данного выражения и отыскание предела в таких случаях называют раскрытием неопределенностей.

Кроме того, будем пользоваться тем фактом, что для всех основных элементарных функций в любой точке их области определения имеет место равенство

).()lim()(lim afxfxfaxax

Последнее равенство можно понимать так: вычисление любого предела нужно начинать с непосредственной подстановки предельного значения, и, если нет неопределенностей, то сразу записать ответ.

Также при нахождении пределов полезно иметь в виду следующие свойства показательной функции:

,1,10,0

lim

a

aa x

x

.1,0

10,lim

a

aa x

x

Пример.

1) 2

2 1 2 2 1 3lim ;3 5 3 2 5 11x

xx

2)

2

2

2 : 2 2 2

22

2 2 2

2

2

2 12 1lim lim

3 73 7

2 1 2 11 1 1 0 0 1lim ;1 7 1 7 3 0 0 33 3

x

x x

x

x xx x x x x

x xx xx x x

x x

x x

3) 3

2

2 : 3 3 3

3 23 2

3 3 3

2 3

3

5 105 10lim lim

7 17 1

5 1 10 5 1 100 0 0 0lim 0;1 1 1 1 7 0 0 77 7

x

x x

x

x xx x x x x

x xx xx x x

x x x

x x

4) 4

4 2

4 2 : 4 4 4

4 4

2 4

3 4

2 12 1lim lim 3 13 1

1 1 1 12 2 2 0 0 2lim ;3 1 3 1 0 0 0

x

x x

x

x xx x x x x

xxx x

x x

x x

5) 2

21 1

1

2 1 0 ( 1)(2 1)lim lim3 2 0 ( 1)(3 2)

2 1 2 1 1 3lim ;3 2 3 1 2 5

x x

x

x x x xx x x xxx

Примечание: ),)(( 212 xxxxacbxax

где 1x и 2x корни соответствующего квадратного

уравнения.

6) 2

3 24 4

2 24

2 7 4 0 ( 4)(2 1)lim lim64 0 ( 4)( 4 16)

2 1 2 ( 4) 1 9 3lim ;4 16 ( 4) 4 ( 4) 16 48 16

x x

x

x x x xx x x x

xx x

Примечание:

).)(( 2233 babababa

7) 2 23 3

23 3

1 2 0 ( 1 2)( 1 2)lim lim3 0 ( 3 )( 1 2)

1 4 3lim lim( 3 )( 1 2) ( 3)( 1 2)

x x

x x

x x xx x x x x

x xx x x x x x

;121

431

)21(1lim

3

xxx

8) 4 4

4

2 0 ( 2)( 2)( 6 1 5)lim lim06 1 5 ( 6 1 5) 6 1 5 ( 2)

( 4)(( 6 1 5)lim(6 1 25)( 2)

x x

x

x x x xx x x x

x xx x

4

( 4)( 6 1 5)lim6( 4)( 2)x

x xx x

4

6 1 5 10 5lim .24 126( 2)x

xx

9)

3 lim ( 3)4 4lim lim2 5 2 5

41lim 52

xx x

x x

x

x xx x

x

x

;021

0201

52

41

10)

5 lim 5422 4 2 4lim lim lim 35 3 5 3 5

42 2 0 2 5 .3 5 0 5 25

xx x

x x x

x x xx x

x

§9 Первый и второй замечательные пределы.

Замечательными (ввиду большого числа их применений) назвали следующие два предела

Первый:

1sinlim0

x

xx

или 1)(

)(sinlim0)(

x

xx

Второй:

ex xx

1

0)1(lim или ex x

x

)(1

0)())(1(lim

или ex

x

x

11lim

или

( )

( )

1lim 1 ,( )

x

xe

x

где e экспонента, 2,7.e

Первый замечательный предел применяется для раскрытия

неопределенности вида 00

при вычислении пределов,

содержащих тригонометрические функции.

Второй замечательный предел используется для раскрытия

неопределенности вида .1

Пример.

1) 0 0

0 0

0

5 sin 5 1lim limcos5

5sin 5 1lim lim5 cos5

sin 55 lim 1 5 1 1 5;5

x x

x x

x

tg x xx x x

xx x

xx

2) 2

2 20

2 2

220 0

1 cos 2 2sin1 cos 0lim0 1 cos 2sin

2

2sin 2sin2 2lim lim

44

x

x x

xxx x

x x

xx

2 2

2

0 0

sin sin2 1 1 12 2lim lim 1 ;4 2 2 2

2 2x x

x x

x x

3) 0 0

0

0

sin 3 3sin 3 0 3lim lim sin 7sin 7 0 77

sin 3lim3 3 1 33 ;sin 77 7 1 7lim7

x x

x

x

x xx xxx x

xx

xx

x

4)

323232

454lim

4144lim1

41lim

x

x

x

x

x

x xx

xx

xx

)32(4

55

432

451lim

45

44lim

xx

x

x

x

x xxxx

10 15lim4 410 155 lim

4

1510lim

4 101 10110

5lim 14

1 .

x

x

x

xx x

xx

x

x

x

ex

e e ee

§10 Односторонние пределы.

В определении предела Axfax

)(lim

считается, что x стремится к a любым способом:

оставаясь меньшим, чем

aaa (слева от

a),

большим, чем (справа от ) или колеблясь

около точки .a Но бывают случаи, когда способ

приближения к a существенно влияет на значение

предела функции, поэтому вводят понятие односторонних

пределов.

Определение. Число 1A называется пределом функции

)(xfy слева в точке ,ax если

1)(),(:0)(0

Axfaax

и обозначается

10)(lim Axf

ax

или .)0( 1Aaf

Определение. Число 2A называется пределом функции

)(xfy справа в точке ,ax если

2)(),(:0)(0

Axfаax

и обозначается

20)(lim Axf

ax

или .)0( 2Aaf

Пределы слева и справа называются односторонними пределами.

Примечание. Для 0а используется особая запись:

вместо 00 x и 00xпишут соответственно 0x и .0xСимволы 0 )0( следует понимать как

бесконечно близкое приближение к нулю, оставаясь при

этом левее (правее) нуля.

Пример.

1) ;0

5202302

23lim

02

xx

x

2)

.05155

555lim

01

0331

)03(31

31

03

xx

§11. Непрерывность функции. Классификация точек разрыва.

Пусть функция )(xfy определена в ).( 0xVДля )( 0xVx

0xxx называют приращением аргумента x в точке ;0xа )()( 0xfxfy приращением функции в точке .0x

Очевидно, что x и y могут быть как

положительными, так и отрицательными.

Определение 1. Функция )(xfy называется непрерывной в точке ,0xx если

,0lim0

yx

т.е. бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Определение 2. Функция )(xfy называется непрерывной в точке ,0xx если

1) )(xf определена в точке 0x и ее окрестности;

2)

)0()(lim 000

xfxfxx

;)0()(lim 000

xfxfxx

и

3) ;)0()0( 00 Axfxf

4) ).( 0xfA

Если функция )(xfy непрерывна в каждой точке

некоторого множества, то она называется непрерывной

на этом множестве.

Точка 0xx называется точкой разрыва, если

хотя бы одно из условий определения 2. Если нарушено

условие 2), то точка 0x называется точкой разрыва

второго рода; а если нарушены условия 3) или 4), то точка

0x называется точкой разрыва первого рода

(при нарушении условия 3) 0x называется точкой

скачка и скачок равен ),0()0( 00 xfxf

0xа при нарушении условия 4) называется точкой

устранимого разрыва).

Свойства непрерывных функций.

1) Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке своей области определения.

2) Сумма и произведение конечного числа непрерывных функций есть непрерывная функция.

3) Частное от деления двух непрерывных функций есть функция, непрерывная во всех точках, в которых знаменатель не равен нулю.

4) Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значения.

Пример. Найти точки разрыва функции и установить их характер

а) ;61xy б)

.1,12

,1,2

xxxx

y

Решение.

а) Функция xy1

6 является элементарной,

а следовательно, по свойству 1, и непрерывной на всем

множестве R, за исключением точки .0xЗначит, 0x является точкой разрыва данной функции.

Выясним характер точки разрыва, для чего найдем

односторонние пределы в этой точке:

.666lim

,061666lim

011

0

011

0

xx

xx

Поскольку один из односторонних пределов равен

бесконечности, т.е. не выполняется условие 2)

определения 2, то 0x точка разрыва второго рода.

б) Данная функция непрерывна для ),;1()1;( xтак как на каждом из этих интервалов формулы, задающие

функцию, определяют элементарные функции. Точкой

разрыва может быть лишь точка ,1xв которой меняется аналитическое выражение функции

).(xf Найдем односторонние пределы:

.3112)12(lim)(lim)01(

,11lim)(lim)01(

0101

22

0101

xxff

xxff

xx

xx

Так как )01(,)01( ffи

),01()01( ffто в точке 1x исходная функция имеет точку разрыва

первого рода, а именно точку скачка, скачок равен

.213)01()01( ff