§ 4 dft 的快速算法 ——fft

1

§§4 DFT4 DFT 的快速算法的快速算法———— FFTFFT

时域抽取基时域抽取基 -2FFT-2FFT 算法（算法（ DIT-FFTDIT-FFT ））频域抽取基频域抽取基 -2FFT-2FFT 算法（算法（ DIF-FFTDIF-FFT ））逆逆 DFT DFT 的快速算法（的快速算法（ IFFTIFFT ）） NN 为合数的为合数的 FFT FFT 算法（混合基）算法（混合基）

版权所有违者必究第三章第 2 讲 2

DFTDFT 的快速算法（的快速算法（ FFTFFT ）综）综述述 DFTDFT 的运算量的运算量

次）（复数加：，次复数乘： 22

1

0

1

)1,,1,0()()()(

NNNN

NkWnxnxDFTkXN

n

nkN

减少减少 DFTDFT 运算量的方法运算量的方法

①① 将长度将长度 NN 变短变短。例如若将长度变为。例如若将长度变为 N/2N/2 ，则运算量变成，则运算量变成：：

②② 利用的性质利用的性质周期性：周期性：共轭对称性：共轭对称性：可约性：可约性：

次复数加：，次复数乘： 4/4/ 22 NN nk

NW)( rNn

Nn

N WW *)( n

Nn

N WW n

Nrn

rN WW


DFTDFT 的快速算法（的快速算法（ FFTFFT ）综述）综述 FFTFFT 的算法分类的算法分类

FFTFFT 算法首先由算法首先由 Cooly-TukyCooly-Tuky 提出了提出了基－基－ 2FFT2FFT 算法算法，，它对它对 DFTDFT 的发展起到了极大推进作用。随后又出现了的发展起到了极大推进作用。随后又出现了混合基算法混合基算法。。本节仅对本节仅对基－基－ 2FFT2FFT 算法算法作介绍，内容包括：作介绍，内容包括： FFTFFT 的基的基本思想、时域与频域抽取的基－本思想、时域与频域抽取的基－ 2FFT2FFT 算法及其程序实算法及其程序实现。现。基基 -2 FFT-2 FFT 算法（算法（ DIT-FFTDIT-FFT ））指要求长度指要求长度 NN 满足（满足（ MM 为整数），若不满足可为整数），若不满足可将序列补零延长，使其满足长度要求。将序列补零延长，使其满足长度要求。

MN 2

时域抽取与频域抽取时域抽取与频域抽取

），简称算法（按频域抽取），简称算法（按时域抽取

FFT-DIFFreqency-In-Decimation

FFT-DITTime -In- DecimationFFT

FFT


时域抽取基－时域抽取基－ 2FFT2FFT 算法（算法（ DIT-FFTDIT-FFT ））算法的推导算法的推导

时域抽取算法时域抽取算法是按的奇偶把时间序列分解为两个长是按的奇偶把时间序列分解为两个长为为 N/2N/2 点的序列，即：点的序列，即：

)(nxn

)2()(1 rxrx 12/,...,1,0 Nr

)12()(2 rxrx

1

0

)()(N

n

knNWnxkX则

12/

0

22

12/

0

21

12/

0

)12(12/

0

2

)()(

)12()2(

N

r

kN

krN

N

r

krN

N

r

rkN

N

r

krN

WWrxWrx

WrxWrx

krN

krN

jKrN

jkr

N WeeW 2/2/

22

22

12/,...,1,0)()(

)()()(

21

12/

02/2

12/

02/1

NkkXWkX

WrxWWrxkX

kN

N

r

krN

kN

N

r

krN


上式中分别为的上式中分别为的 N/2N/2点点 DFTDFT ，即：，即：X k X k1 2( ) ( )和 x n x n1 2( ) ( )和

12/

02/11 )()(

N

n

knNWnxkX 1

2,...,1,0

Nk

12/

02/22 )()(

N

n

knNWnxkX 1

2,...,1,0

Nk

这是这是前前 N/2N/2点点 DFTDFT)12/,...1,0)(( NkkX

时域抽取基－时域抽取基－ 2FFT2FFT 算法（算法（ DIT-FFTDIT-FFT ））


对于对于后后 N/2N/2 点点的的 DFTDFT)1,2/)(( NNkkX

kN

NkN WW 2/

)()()2

( 21 kXWkXN

kX kN 1

2,...,1,0

Nk

显然，可采用显然，可采用蝶式运算图蝶式运算图来表示上述前来表示上述前 N/2N/2 和后和后 N/2N/2 两式两式，如下图所示：，如下图所示：




例如例如 N=8N=8 时的时的 DFT,DFT, 可以分解为两个可以分解为两个 N/2=4N/2=4点点 DFT, DFT, 如下如下图：图：



同理：同理： , , ∴∴N/2N/2 仍可能是偶数仍可能是偶数 ,, 可以进一步把每个可以进一步把每个N/2N/2 点的序列再按其奇偶部分分解为两个点的序列再按其奇偶部分分解为两个 N/4N/4 的子序列。的子序列。

MN 2

)12()(

)2()(

14

13

lxlx

lxlx)14/(,,1,0 Nl

14/

0

)12(2/1

14/

0

22/11 )12()2()(

N

l

lkN

N

l

klN WlxWlxkX

14/

04/42/

14/

04/3 )()(

N

l

klN

kN

N

l

klN WlxWWlx

)()( 42/3 kXWkX kN 14/,,1,0 Nk

)()()4

( 42/31 kXWkXN

kX kN故



14/

04/444

14/

04/333

)()()(

)()()(

N

l

klN

N

l

klN

WlxlxDFTkX

WlxlxDFTkX其中其中

对也可进行同样的分解：对也可进行同样的分解：X k2 ( ))()()( 62/52 kXWkXkX k

N

)()()4/( 62/52 kXWkXNkX kN 14/,,1,0 Nk

14/

04/555 )()()(

N

l

klNWlxlxDFTkX

klN

N

l

WlxlxDFTkX 4/6

14/

066 )()()(

)2()( 25 lxlx

)14/(,...,1,0)12()( 26 Nllxlx



依次类推：依次类推：经过经过 M-1M-1 次分解后，可将次分解后，可将 NN点点 DFTDFT 分解成分解成N/2N/2 个两点个两点 DFTDFT 。。

这样又一次的分解得到这样又一次的分解得到 44个个 N/4N/4点点 DFTDFT ，见下图。，见下图。


典型例题典型例题例：例：试画出试画出 N=8N=8 时的完整的时的完整的基基 -2 DIT-FFT-2 DIT-FFT 运算流图。运算流图。


运算量运算量


由有关算法的讨论知：当时，总共应有由有关算法的讨论知：当时，总共应有 MM 级分解，级分解，每级有每级有 N/2N/2 个“蝶式运算”。每个“蝶式运算”需一次复个“蝶式运算”。每个“蝶式运算”需一次复数乘、两次复数加运算，这样数乘、两次复数加运算，这样 MM 级总共需要的运算量为：级总共需要的运算量为：

MN 2

NN

MN

2log22

复数乘运算次数

NNMN 2log复数加运算次数

如：若如：若 NN＝＝ 10241024 ，直接计算，直接计算 DFTDFT 与采用与采用 FFTFFT 运算量之比运算量之比约为约为 205205 ，“快速”得以充分体现。，“快速”得以充分体现。

若若 NN 足够大，通过直接计算足够大，通过直接计算 DFTDFT 与采用与采用 FFTFFT 计算其运计算其运算量之比为：算量之比为：

NN

N

NNN

NNNN

223

2

222

2

log

2

loglog

)1(

NN

N

2

2

log)2/(


FFTFFT 算法的特点算法的特点


① ① 倒码倒码观察完整的观察完整的 FFTFFT 流图能发现有两个特点：流图能发现有两个特点：倒码倒码和和原位运算原位运算

倒码即码位倒置：是指将原二进制数的码位倒过来按从低位到高位排倒码即码位倒置：是指将原二进制数的码位倒过来按从低位到高位排列。列。

顺序与倒码顺序对照表顺序与倒码顺序对照表顺序顺序二进制数二进制数倒码倒码倒码顺序倒码顺序 00

11

22

33

4 4

55

66

77

000000

001001

010010

011011

100100

101101

110110

111111

000000

100100

010010

110110

001001

101101

011011

000000

00

44

22

66

11

55

33

77

如：如： N=8N=8 时，序号时，序号 “ “ 4”4” 用三位二进制表示正常码为用三位二进制表示正常码为““ 100”100” ，而其，而其倒码为倒码为 ““ 001”001” ，变成了序号，变成了序号 “ “ 1” 1” 。。



② ② 原位运算原位运算由完整的由完整的 FFTFFT 流图可见：流图可见：从左到右计算下一级蝶式运算时从左到右计算下一级蝶式运算时，仅需要用到本级的数据而不需要前一级的数据，仅需要用到本级的数据而不需要前一级的数据。例如在实。例如在实施第二级蝶式运算时，仅需要第一级蝶式运算的结果，而不施第二级蝶式运算时，仅需要第一级蝶式运算的结果，而不需要用到原来的输入数据。据此就可在数据输入到存储需要用到原来的输入数据。据此就可在数据输入到存储器以后，每一级运算的结果存储在同一组存储单元中。直到器以后，每一级运算的结果存储在同一组存储单元中。直到最后输出，中间无需其他存储器。最后输出，中间无需其他存储器。

)(nx

利用同一存储单元存放蝶式运算输入和输出数据的方法称为利用同一存储单元存放蝶式运算输入和输出数据的方法称为原位运算原位运算。。原位运算可节省存储单元，降低原位运算可节省存储单元，降低 FFTFFT 硬件实现硬件实现的设备成本，从而使得的设备成本，从而使得 FFTFFT 算法简单、快速、高效。算法简单、快速、高效。

DIT-FFTDIT-FFT 算法其他形式的流图算法其他形式的流图由信号流图理论知道：由信号流图理论知道：只要保证各节点所连接的支路及其传只要保证各节点所连接的支路及其传输系数不变，无论各节点相对位置如何排列，所得到的流图输系数不变，无论各节点相对位置如何排列，所得到的流图等效，等效， DFTDFT 的结果相同的结果相同。。



N=8 N=8 时输入是正序、输出是倒码的时输入是正序、输出是倒码的 DIT-FFTDIT-FFT 运算流图运算流图

例如将例如将 N=8N=8 时基－时基－ 2DIT-FFT2DIT-FFT 信号流图中与、水平相信号流图中与、水平相连的所有节点分别同与、水平相连的所有节点对调，连的所有节点分别同与、水平相连的所有节点对调，保持其余节点位置不变，得到新形式的信号流图。保持其余节点位置不变，得到新形式的信号流图。

)4(x)1(x

)6(x)3(x


频域抽取基－频域抽取基－ 2FFT2FFT 算法（算法（ DIF-FFDIF-FFTT ））算法的推导算法的推导

频域抽取算法频域抽取算法是把时间序列前后对半分解为两个长为是把时间序列前后对半分解为两个长为N/2N/2 点的序列，则：点的序列，则：

)(nx

12/

0

2/

12/

0

)2/(12/

0

1

2/

12/

0

1

0

)2/()(

)2/()(

)()(

)()()(

N

n

nkN

NkN

N

n

kNnN

N

n

nkN

N

Nn

nkN

N

n

nkN

N

n

nkN

WNnxWnx

WNnxWnx

WnxWnx

WnxnxDFTkX


频域抽取基－频域抽取基－ 2FFT2FFT 算法（算法（ DIF-FFTDIF-FFT））

12/

02/

212/

0

)2/()(

)]2/()([)2(

N

n

rnN

rnN

N

n

WNnxnx

WNnxnxrX

当当 k k 取偶数时（取偶数时（ k k = 2 = 2 rr，， r r = 0 , 1 , ... , = 0 , 1 , ... , N N / 2/ 2 －－ 11））

为奇数为偶数k

kW kkN

N 1

1)1(2/

∴ ∴ 的的 NN点点 DFT DFT 按按 k k 的奇偶分组可分为两个的奇偶分组可分为两个 N/2N/2的的DFTDFT

)(kX)(nx

当当 k k 取奇数时（取奇数时（ k k = 2 = 2 rr＋＋ 11，， r r = 0 , 1 , ... , = 0 , 1 , ... , N N / 2/ 2 －－ 11））

nN

N

n

rnN

nrN

N

n

WWNnxnx

WNnxnxrX

12/

02/

)12(12/

0

)2/()(

)]2/()([)12(

)2/()()(1 Nnxnxnx 令n

NWNnxnxnx )]2/()([)(2



12/

02/1 )()2(

N

n

rnNWnxrX则

12/

02/2 )()12(

N

n

rnNWnxrX

这一结论表明：这一结论表明：求的求的 NN点点 DFT DFT 再次分解成再次分解成求两个求两个N/2N/2 点点 DFTDFT

)(nx )(kX

DIF-FFTDIF-FFT 的蝶式运算流图的蝶式运算流图)(nx

)2/( Nnx

)2/()( Nnxnx

nNWNnxnx )]2/()([

1n

NW


DIF-FFTDIF-FFT 的一次分解运算流图的一次分解运算流图


先蝶式运算，后先蝶式运算，后 DFTDFT 。例如：。例如： N=8N=8 时时


频域抽取基－频域抽取基－ 2FFT2FFT 算法（算法（ DIF-FFTDIF-FFT）） DIF-FFTDIF-FFT 的二次分解运算流图的二次分解运算流图

通常通常 N/2 N/2 仍然为仍然为 2 2 的整数幂，继续将的整数幂，继续将 N/2 N/2 点点 DFTDFT 分成分成偶数组和奇数组，这样每个偶数组和奇数组，这样每个 N/2 N/2 点点 DFTDFT 又可分解成两个又可分解成两个 N/4 N/4 点点 DFTDFT ，其输入序列分别是和按上下对半分，其输入序列分别是和按上下对半分开后通过蝶式运算构成的开后通过蝶式运算构成的 4 4 个子序列，如下图所示：个子序列，如下图所示：

)(1 nx )(2 nx


频域抽取基－频域抽取基－ 2FFT2FFT 算法（算法（ DIF-FFTDIF-FFT））按照以上方法继续分解下去，经过按照以上方法继续分解下去，经过 M - 1M - 1 次分解，最后次分解，最后

分解为分解为 N/2N/2 个两点个两点 DFTDFT ，这，这 N/2 N/2 个个 22点点 DFTDFT 的输出就的输出就是是 N N 点点 DFTDFT 的结果的结果 XX((kk)) ，如下图所示：，如下图所示：


有关说明有关说明


以上给出了以上给出了 N=8 N=8 时完整的时完整的 DIF - FFTDIF - FFT 的运算流图。由的运算流图。由于这种方法是按在频域进行奇偶分解，因此称之于这种方法是按在频域进行奇偶分解，因此称之为为频域抽取基－频域抽取基－ 2 2 ＦＦＴＦＦＴ运算运算。。比较比较ＤＩＦ－ＦＦＴＤＩＦ－ＦＦＴ与与ＤＩＴ－ＦＦＴＤＩＴ－ＦＦＴ相同点：相同点：运算次数与存储量相同运算次数与存储量相同不同点：不同点：①① ＤＩＦ－ＦＦＴ输入序列为自然序列而输ＤＩＦ－ＦＦＴ输入序列为自然序列而输出为码位倒置序列出为码位倒置序列　　　　　　　　②② 蝶式运算过程不同蝶式运算过程不同　ＤＩＴ－ＦＦＴ是序列先乘旋转因子后相加减　ＤＩＴ－ＦＦＴ是序列先乘旋转因子后相加减ＤＩＦ－ＦＦＴ是序列先相加减后乘旋转因子ＤＩＦ－ＦＦＴ是序列先相加减后乘旋转因子

)(kX


逆逆 DFTDFT 的快速算法（的快速算法（ IFFTIFFT ）） IFFTIFFT 算法的推导算法的推导

1

0

1,....,0,)()(:N

n

nkN NkWnxkXDFT定义式

1

0

1,....,0,)(1

)(:N

k

nkN NnWkX

NnxIDFT定义式

比较两式可知：比较两式可知：只要将只要将 FFTFFT 中的旋转因子改为，中的旋转因子改为，再乘以再乘以 1/N1/N 即可得到即可得到 IDFT IDFT 的快速算法的快速算法 IFFTIFFT 。。

nkNW WN

nk

IFFTIFFT 基基本思想本思想

，，∴∴还可将常数还可将常数 1/N 1/N 分配到每级运算中，分配到每级运算中，也就是每级蝶形运算均乘以也就是每级蝶形运算均乘以 ½ ½ 。这样就实现了。这样就实现了 FFT FFT 与与IFFT IFFT 运算的统一。运算的统一。

MN )2/1(/1


11 、纯软件实现、纯软件实现22 、硬件实现、硬件实现33、、 DSPDSP （软硬件结合）（软硬件结合）

逆逆 DFTDFT 的快速算法（的快速算法（ IFFTIFFT ）） FFTFFT（（ IFFTIFFT ）算法的实现）算法的实现


NN 为合数的为合数的 FFTFFT 算法（混合基）算法（混合基）基－基－ 2FFT2FFT 的各种算法要求。的各种算法要求。

若该条件不满足，虽可通过在序列尾部补若该条件不满足，虽可通过在序列尾部补 00 的方法使增的方法使增加到最邻近的一个值，从而采用加到最邻近的一个值，从而采用 DIT-FFTDIT-FFT或或 DIF-FFTDIF-FFT算法。该方法并不影响算法。该方法并不影响 DFTDFT 的结果，只是增加了采样频的结果，只是增加了采样频率点的位置和点数，但该方法至少存在以下两个缺陷：率点的位置和点数，但该方法至少存在以下两个缺陷：

① ① 补补 00 太多，长度增加，运算量加大，效率降低太多，长度增加，运算量加大，效率降低

② ② 若欲求得指定频率点上的若欲求得指定频率点上的 DFT ,DFT , 无法做到无法做到

故必须探索新方法故必须探索新方法

MN 2

NM2


NN 为合数的为合数的 FFTFFT 算法（混合基）算法（混合基）算法的推导算法的推导

若序列的长度是若序列的长度是合数合数，即：，即： N)(nx vppppN 321

11 qpN 令 vpppq 321 其中将每隔点抽取一点，则可形成个长度为点的将每隔点抽取一点，则可形成个长度为点的序列如下：序列如下：

1p)(nx 1p 1q

组共 11

11

1

1

),1(,,1,0

)1(

)1(

)(

pqr

prpx

rpx

rpx

)1(,,1,0),1(,,1,0)()( 111 plqrlrpxrxl 即：


NN 为合数的为合数的 FFTFFT 算法（混合基）算法（混合基）

例如：例如： 1863 N 18,3 11 qp即：按以上的方法将分为按以上的方法将分为 33 组，每组长度为组，每组长度为 6 6 )(nx

)15()12()9()6()3()0(:)(0 0 xxxxxxrx组第)16()13()10()7()4()1(:)(1 1 xxxxxxrx组第)17()14()11()8()5()2(:)(2 2 xxxxxxrx组第


NN 为合数的为合数的 FFTFFT 算法（混合基）算法（混合基）将代入序列的将代入序列的 NN点点 DFTDFT 有：有：)(nxlrpn 1

1,,1,0 Nk

1

0

)1(11

1

01

1

01

1

0

1

11

1

1

1

1

)1(

)1()(

)()(

q

r

rkpN

kpN

q

r

rkpN

kN

q

r

rkpN

N

n

nkN

WWprpx

WWrpxWrpx

WnxkX

1

01

1

0

1

1

1

)(q

r

rkpN

p

l

lkN WlrpxW



1,,1,0)()( 1

1

01

1

1

qkkGWlrpx l

q

r

rkpN 令

1,,1,0)()( 1

1

0

1

1

qkWrxkGq

r

rkqll 则

vpppq 321 221 qpq 同理，继续令 vppq 32 ，其中

如此进行下去直到最后变为点如此进行下去直到最后变为点 DFTDFTvp

显然此算法中采用了不同长度来进行抽取，故有时又将显然此算法中采用了不同长度来进行抽取，故有时又将该算法称为该算法称为混合基混合基 FFTFFT 算法算法。。

例：例：试作出时混合基一次分解为试作出时混合基一次分解为 33个个 66点点 DFTDFT的流程图的流程图

18N


NN 为合数的为合数的 FFTFFT 算法（混合基）算法（混合基）经一次分解后的经一次分解后的 33个个 66点点 DFTDFT ，每个又可分解为，每个又可分解为 33个个 22 点点的的 DFT DFT ，如图：，如图：


算法的运算量算法的运算量


2111 )1( qppN

第一次抽取后的运算量：第一次抽取后的运算量： 22221 )1( qppq

Nq代替1 12 pp 代替

32121 )1()1( ppppNpN 第二次抽取后的运算量：第二次抽取后的运算量：

总运算量总运算量：： )( 21 vpppN v

总乘法运算次总乘法运算次数数

33

§§5 DFT 5 DFT 与与 FFT FFT 的应用的应用

利用利用 FFT FFT 进行频谱分析进行频谱分析用用 FFTFFT 计算线性卷积计算线性卷积线性调频线性调频 Z Z 变换（变换（ Chirp-ZChirp-Z 变换）及快速算变换）及快速算法法


利用利用 FFT FFT 进行频谱分析进行频谱分析

利用利用 FFTFFT 进行频谱分析的基本方法进行频谱分析的基本方法

)()()]([)( kjXkXnxFFTkX IR )(nx设为长为设为长为 N N 的有限长序列，则：的有限长序列，则：

)()( kjekX

)()()( 22 kXkXkX IR 幅度谱：

)(

)()(

kX

kXarctgk

R

I相位谱：

利用利用 FFT FFT 进行频谱分析的实现过程框图为：进行频谱分析的实现过程框图为：


几个常用基本概念几个常用基本概念


11 、数字频率分辨率：、数字频率分辨率：

22 、模拟频率分辨率：、模拟频率分辨率：

33 、用于、用于 FFTFFT 的采样点数：的采样点数：

44 、频率刻度值：、频率刻度值：

55 、模拟信号长度：、模拟信号长度：

66 、分辨率：、分辨率：

2

N

F ff

Nss

2

F

fN s

2/,,1,0 NkkN

ff s

k

NTfNt sp /

ptF /1


典型例题典型例题例：用 FFT 来分析信号的频谱，若已知信号的最高频率为，要求频率分辨率为，试确定： 1 、采样间隔 T ；2 、采用基 -2FFT 的最小样点数 N ，以及与此相对应的最小记录长度；3 、按您确定的参数所获得的实际分辨率。

kHzf h 25.1 HzF 5

解：解： 11 、、据采样定理，采样间隔据采样定理，采样间隔ms

fT

h

4.0105.2

1

2

13

22 、、基基 -2FFT-2FFT 的最小样点数的最小样点数 NN

5005

/1min

T

F

fN s

当采用基当采用基 -2FFT-2FFT 算法时，要求算法时，要求 5122 1]500[log2 N


典型例题典型例题与此相对应的最小记录长度为：与此相对应的最小记录长度为：

smst p 048.24.0512 33 、、按确定的参数所获得的实际分辨率按确定的参数所获得的实际分辨率

HzN

fF s 88.4


用用 FFTFFT 进行频谱分析存在的两个问题进行频谱分析存在的两个问题


11 、频谱泄漏、频谱泄漏在实际应用中，通常将所观测与处理的信号限制在一定的时间间隔内，即在时域对信号进行 “ 截断操作 ” ，或称作加时间窗（用时间窗函数乘以信号）。由卷积定理可知：时域相乘、频域卷积，这就造成 “ 拖尾现象 ” ，称之为频谱泄漏。若序列的长度为无限长，为了利用若序列的长度为无限长，为了利用 FFT FFT 进行频谱分进行频谱分析，首先必须将其截断为有限长序列析，首先必须将其截断为有限长序列

)(nx)()()(1 nRnxnx N

)()]([)(: jeXnxFFTkX 频谱设

deReXeX

nRnxFFTnxFFTkX

jN

jj

N

)()()(

)]()([)]([)(

)(21

1

11

频谱

则：卷积定卷积定理理

显然，两种频谱是有差别的，该现象就是显然，两种频谱是有差别的，该现象就是频谱泄漏频谱泄漏解决办法解决办法：：① ① 采用其它形式的窗函数（第六章详论）采用其它形式的窗函数（第六章详论）

② ② 对于周期序列，取其过零点截取对于周期序列，取其过零点截取



22 、栅栏效应、栅栏效应利用利用 FFT FFT 进行频谱分析时，只知道离散频率点的整进行频谱分析时，只知道离散频率点的整数倍处的频谱。在两个谱线之间的情况就不知道，这如数倍处的频谱。在两个谱线之间的情况就不知道，这如同通过一个栅栏观察景象一样，故称作同通过一个栅栏观察景象一样，故称作栅栏效应栅栏效应。。解决办法：解决办法：在序列后面补零点加大在序列后面补零点加大 FFTFFT 点数，可使谱线点数，可使谱线间隔变小来提高分辨力，以减少栅栏效应。间隔变小来提高分辨力，以减少栅栏效应。注意：注意：若需要加窗，则应先加窗再补零。若需要加窗，则应先加窗再补零。

kf


用用 FFTFFT 计算线性卷积计算线性卷积线性卷积线性卷积设是和设是和的线性卷积：的线性卷积：

总运算量为：总运算量为：

1

0

)()()(*)()(N

m

mnxmhnhnxny

1)( 1 MNNny 的长度为：

)1(1

)1(

NMN

NMN

）加法：（乘法：

)(ny )1,1,0()( Mnnx )1,1,0()( Nnnh

可见，直接运算时运算量很大，必须寻找新思路。可见，直接运算时运算量很大，必须寻找新思路。思路：思路：利用利用 FFT ,FFT , 通过循环卷积来计算线性卷积通过循环卷积来计算线性卷积


利用循环卷积计算线性卷积的条件利用循环卷积计算线性卷积的条件

用用 FFTFFT 计算线性卷积计算线性卷积

设是设是 x(n)x(n)和和 h(n)h(n) 长为长为 LL 的循环卷积：的循环卷积：

其中其中 L>Max[N,M],L>Max[N,M],

)(nyc

1

0

)())(()()()()(L

mLLc nRmnxmhnhnxny

)())(( rLnxnxr

L

)()()()(1

0

nRmrLnxmhny Lr

L

mc

)()()(1

0

nRmrLnxmh L

L

mr



）（

：范围内取非零值，故有仅在由于

yLny

mrLnxmhmrLnxmh

nhN

m

L

m

Nn

1

0

1

0

)()()()(

)( 10

rL

r

L

mLc

nRrLny

nRmrLnxmhny

)()(

)()()(1

0

）（


用用 FFTFFT 计算线性卷积计算线性卷积上式表明上式表明：是将以：是将以 LL 为周期进行延拓后再取为周期进行延拓后再取主值区间所得的序列。主值区间所得的序列。∴∴利用循环卷积计算线性卷积的利用循环卷积计算线性卷积的条件为：条件为：

）（nyc ）（ny

11 NMNL利用循环卷积计算线性卷积如下图利用循环卷积计算线性卷积如下图


用用 FFTFFT 计算线性卷积计算线性卷积利用利用 FFTFFT 进行线性卷积的步骤进行线性卷积的步骤

①① 、将已知序列（长为、将已知序列（长为 NN ）和（长为）和（长为 MM ）补零）补零延长，使它们的长度。若采用基延长，使它们的长度。若采用基 -2 -2 FFTFFT 算法，还应使算法，还应使大于或等于的大于或等于的 2 2 的最小整数次的最小整数次幂。幂。②② 、做和的长为点的、做和的长为点的 FFT FFT 得到和，得到和，并求它们的积。并求它们的积。③③ 、求的、求的 IFFTIFFT并取前点获得线性卷积的结果为并取前点获得线性卷积的结果为

10)],([)( NnkYIFFTny

)(nh)(nx11 MNNL

L 1N

)(nx )(nh L )(kX )(kH)()()( kHkXkY

)(kY 1N


长序列长序列 FFTFFT 卷积的计算方法卷积的计算方法


实际中常常出现两个待卷积序列长度相差很大的情形，实际中常常出现两个待卷积序列长度相差很大的情形，例如输入序列的长度远远大于滤波器的脉冲响应例如输入序列的长度远远大于滤波器的脉冲响应的长度时的长度时 ,, 若仍然取若仍然取 FFT FFT 的长度的长度 ,, 则则必须对补很多必须对补很多 00 ，同时也做不到 “ 实时处理 ” 。，同时也做不到 “ 实时处理 ” 。此时常采用以下两种分段处理方法。此时常采用以下两种分段处理方法。

)(nx)(nh

NM 1 MNL

)(nh



11 、重叠相加法、重叠相加法

设长度为设长度为 , , 为无限长。取 “ 为无限长。取 “ 段长段长 ”尽可 ”尽可能能与接近。则：与接近。则：

)(nh N )(nx MN

k

k nxnx )()( )()()( kMnRnxnx Mk 其中

k

k nxnhnhnxny )(*)()(*)()(

k

kkk

nynhnx )()](*)([

)()()( nhnxny kk 上式中是两个长度接近且分别为是两个长度接近且分别为M和的序列的线性卷积，可很有效地求其和的序列的线性卷积，可很有效地求其 LL 点的点的 FFT.FFT.N


用用 FFTFFT 计算线性卷积计算线性卷积分别求得各段卷积后再将结果相加，即可求得和分别求得各段卷积后再将结果相加，即可求得和的完整的线性卷积。的完整的线性卷积。

)(nx )(nh

该方法中由于运用了“分段卷积的重叠”和“各段卷积结该方法中由于运用了“分段卷积的重叠”和“各段卷积结果的相加”，故称为果的相加”，故称为重叠相加法重叠相加法。。用重叠相加法计算两个长度悬殊序列线性卷积的步骤如下：用重叠相加法计算两个长度悬殊序列线性卷积的步骤如下：

1 MNL① 将补零延长到，并计算其点 FFT ，得到

)(nh)(kH

L

1 MNL② 分别将各补零延长到，并计算其点 FFT ，得到 )(nxk)(kX k

L

③ ③ 计算，并求其计算，并求其 LL 点的反变换，即：点的反变换，即：)()()( kHkXkY kk )]([)( kYIFFTny kk

④ ④ 将的重叠部分相加，最后得到结果将的重叠部分相加，最后得到结果)(nyk

k

k nyny )()(


用用 FFTFFT 计算线性卷积计算线性卷积重叠相加法卷积示意图重叠相加法卷积示意图


22 、重叠保留法、重叠保留法


设序列的长度为，则对长序列的分段方法如设序列的长度为，则对长序列的分段方法如下：先在序列前补个下：先在序列前补个 00 ，然后对补，然后对补 00 后的序列后的序列进行分段，每段的长度为进行分段，每段的长度为 ,, 即：即：

)(nx)(nh N)(nx 1N

1 NML

0

0, 0,1, , 2( )

( 1), 1, 1

n Nx n

x n N n N L

( 1),0 1( )

0,k

x n kL N n Lx n

n

为其他值对每一段，通过循环卷积，获得对每一段，通过循环卷积，获得俩者的线性卷积。而输入的每段序列俩者的线性卷积。而输入的每段序列重叠重叠 N-1N-1 点，故每段的循环卷积的输出应去掉前面点，故每段的循环卷积的输出应去掉前面 N-1N-1点只保留后面点只保留后面 MM 点，即点，即：：

)(nxk)()()( nhnxny kk

)()()( nhnxny kk



重重叠叠保保留留法法分分段段方方法法示示意意图图



)()(0

kNnyny kk

1,,1,)1('2,,0,0

)(LNnMny

Nnny

kk


线性调频 Z 变换 (Chirp- Z 变换 ) 算法问题的引入问题的引入

仅管采用仅管采用 FFT FFT 可计算出有限长序列的可计算出有限长序列的 DFT DFT ，但它要求，但它要求序列长度为序列长度为 22 的整数幂或合数。实际中的整数幂或合数。实际中①①有时只对信有时只对信号的某一频段感兴趣，即只需要计算单位圆上某一段的号的某一频段感兴趣，即只需要计算单位圆上某一段的频谱值，例如对窄带信号进行频谱分析时，总是要求在频谱值，例如对窄带信号进行频谱分析时，总是要求在窄带范围内的抽样点足够密集，而窄带范围外则不需考窄带范围内的抽样点足够密集，而窄带范围外则不需考虑。此时若依然采样以上方法，则需增加频域抽样点数虑。此时若依然采样以上方法，则需增加频域抽样点数，增加了窄带范围外的不需要的计算量；，增加了窄带范围外的不需要的计算量；②②在语声信号在语声信号处理时信号极点处的频谱十分关键，而极点位置往往离处理时信号极点处的频谱十分关键，而极点位置往往离单位圆较远，此时不能采用单位圆较远，此时不能采用 FFTFFT；；③③若是大素数时也若是大素数时也无法采用无法采用 FFTFFT 。。

上述几种情形可采用上述几种情形可采用线性调频 Z 变换 (Chirp- Z 变换 )算法加以解决。

N

N


算法的基本原理算法的基本原理

线性调频 Z 变换 (Chirp- Z 变换 ) 算法

1

0

)()(N

n

nznxzX

)(nx设是有限长序列，设是有限长序列， 10 Nn

沿沿 ZZ 平面上的一段螺线做平面上的一段螺线做 MM 点抽样，得到以下抽样点点抽样，得到以下抽样点：： 10 MkAWz k

k

其中其中 AA和和 WW 为复数为复数 ,, 极坐标形式分别为：极坐标形式分别为：A A e j 0

0 W W e j 0

0

0000

jkjk eWeAz 则

式中和为实数，当式中和为实数，当 K=0K=0 时有时有A0 W0z A e j

0 00

可见，决定谱分析起始点的位置；的值决定分析可见，决定谱分析起始点的位置；的值决定分析路径的盘旋趋势；表示两个相邻分析点之间的夹角路径的盘旋趋势；表示两个相邻分析点之间的夹角

A0 z0 W0 0


线性调频 Z 变换 (Chirp- Z 变换 ) 算法如果，则的抽样点位于半径为如果，则的抽样点位于半径为 r r 的的圆上；如果，则的抽样点位于单位圆上圆上；如果，则的抽样点位于单位圆上（常规的（常规的 DFTDFT 变换）；如果，则随着变换）；如果，则随着 kk增大，分增大，分析点以为步长向外盘旋；时向内旋。析点以为步长向外盘旋；时向内旋。

1, 00 wrA zk100 WrA zk

10 Wzk 0 10 W

Ch

irp-Z

Ch

irp-Z

变换的频率抽样

变换的频率抽样

点点



10)(

])[()(

1

0

1

0

MkWAnx

AWnxzX

N

n

knn

N

n

nkk

])([2

1 222 nkknnk

1

0

2/])([ 222

)()(N

n

nkknnk WAnxzX则

10,)(1

0

2/)(2/2/ 222

MkWWAnxWN

n

nknnk


Chirp- Z 变换的方框图


2/2

)()( nnWAnxny 令 2/2

)(, nWnh

10)()()(1

0

2/2

MknkhnyWzXN

n

kk ，则：

∴∴Chirp-ZChirp-Z 变换变换的方框图如下：如下：


说明说明

线性调频 Z 变换 (Chirp- Z 变换 ) 算法①① 上面框图中，可看成一个数字网络的单上面框图中，可看成一个数字网络的单

位脉冲响应。位脉冲响应。

②② 所对应的系统的输出为：所对应的系统的输出为：

③③

2/2

)( nWnh

)(nh

)()()(*)()(1

0

mnhmynhnynVN

m

02 )2/(

0 )(1 njenhW 时当这可以设想为频率随时间线性增长的复指数序列这可以设想为频率随时间线性增长的复指数序列 ,,即即线性调频线性调频 (Chirp)(Chirp) 信号信号。故将上述变换称为。故将上述变换称为线性调频 Z 变换 (Chirp- Z 变换 ) （简称为 CZT ）


Chirp-Z变换的实现


① 确定线性卷积的区间。∵序列的长度为 N ，∴ 的长度也应是 N ，而是无限长的，需而是无限长的，需截取。但因谱分析点数仅为截取。但因谱分析点数仅为 MM 点，故只需要计算点，故只需要计算在在 [0[0，， M-1]M-1]上上 MM 个值。个值。

)(nx )(ny

h n e j n( ) ( / ) 202

1

0

)0()()0(N

m

mhmyV

)(nV

1

0

)1()()1(N

m

mMhmyMV

∴ 为计算出 V(n) 在区间 [0,M-1] 上的 M 个值，只要截取 h(n) 在区间 [-(N-1),(M-1)] 上的 (N+M-1) 个值。这时经线性卷积所得 V(n) 的非零值区间为 [-(N-1)， (N+M-2)] ，长度为 2N+M-2 。



② 确定用循环卷积计算线性卷积时的循环卷积计算线性卷积时的 FFT FFT 长度长度 L L 。。

q

L nRqLnVnhny )()()()(

为了用循环卷积代替线性卷积计算出 V(n)在 [0,(M-1)]区间上的 M 个序列值，必须保证在上式的周期延拓中，在 [0，M-1]区间上不能有混叠，循环卷积区间长度 L应大于或等于 N+M-1 。故在用基 -2 FFT 算法进行快速卷积计算时，应选择 LL≥≥(N+M-1)(N+M-1) 且满足且满足 (m(m 为为自然数自然数 )) 的最小值的最小值。。

L m2

计算计算 Chirp- Z 变换所用的序列见下图



注意 : ① 若选择 L=N+M-1 ，那么 y(n)尾部应补 M-1 个零。并将 h(n)从 -(N-1)到 (M-1) 所截取的一段序列以 L为周期进行周期延拓，取主值序列形成，这时可以用快速卷积法计算如上构造的两个序列 y(n) 和的循环卷积。

② 当选择 >N+M-1 时， y(n) 应补 L-N 个零点，而 h(n) 从区间 [(-N+1)， (M-1)]截取后在 -N+1 点前面补 L-N+M-1) 个零点后，以 L 为周期进行周期延拓。或直接截取 [-（ L-M ），（ M-1） ] 上的值后，再以 L 为周期进行周期延拓取主值。

h nL ( )h nL ( )

L m2


Chirp- Z 变换算法具体步骤


① ① 形成序列形成序列h nL ( )

1

10)(

2/)(

2/

2

2

LnMW

MnWnh

Ln

n

L

②② 计算的计算的 FFTFFT

10)]([)( LknhFFTkH L

)(nhL

③③ 作序列作序列 )(ny

1,0

10,)()(

2/2

LnN

NnWAnxny

nn



④④ 计算的计算的 FFTFFT

10)]([)( LknyFFTkY)(ny

⑤⑤ 计算的计算的 IFFT IFFT 得得)(kV )(nV

10)]()([)( LnkHkYIFFTnV⑥⑥ 求求 )( kzX

X z W V k k Mkk( ) ( )/

2 2 0 1

§ 4 dft 的快速算法 ——fft

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