第 4 章光的衍射 (diffraction)

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第 4 章光的衍射 (Diffraction)

在基尔霍夫标量衍射理论的基础上，研究两种最基本的衍射现象和应用：

菲涅耳衍射 ( 近场衍射 )

夫琅和费衍射 ( 远场衍射 )

4.1.1 光的衍射现象 (Diffraction phenomena)

定义 : 光的衍射是指光波相传播过程中遇到障碍物时，所发生的偏离直线传播的现象。

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1)光可统过障碍物 ;

2)在障碍物后呈现出光强的不均匀分布。

圆孔衍射

单缝衍射

PH

*S

G

*S

4.1.1 光的衍射现象 (Phenomena of diffraction)

Yuankong.swf Danfeng.swf

K

S


变小模糊同心圆环圆环增大

当使用单色光源时，这是一组明暗相间的同心环带，当使用白色光源时，这是一组色彩相间的彩色环带。

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光的衍射现象与光的干涉现象就其实质来讲，都是相干光波叠加引起的光强的更新分布，所不同之处在于 :

(1) 干涉现象是有限个相干光波的叠加 ;

(2) 衍射现象则是无限多个相干光波的叠加结果。


衍射现象约特殊性，在数学上遇到了很大的困难，以至许多有实际意义的问题得不到严格的解，因而，实际的衍射理论都是一些近似解法。


下面介绍的基尔霍夫衍射理论就是一种适用于标量波的衍射，是能够处理大多数衍射问题的基本理论。


惠更斯次波波源

菲涅耳相干叠加

基尔霍夫数学表达式

平面波

球面波

S

4.1.2 — 惠更斯菲涅耳原理 (Huygens-Fresnel principle)

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惠更斯原理 :

根据惠更斯—菲涅耳原理 : 可以看作是 S 和 P

之间任一波面 Σ上各点发出的次波在 P 点相干叠加的结果。


R

rPS

z

z

Q

则 d 面元上的次波源对 P 点光场的贡献为E Q（）

i

d ( ) ( ) ( ) dkre

E P CK E Qr

=


C 是比例系数，， K() 称为倾斜因子，它是与元波面法线和的夹角 ( 称为衍射角 ) 有关的量

r QP

QP

按照菲涅耳的假设：当＝ 0 时， K 有最大值；随着的增大， K 迅速减小，当 ≥ /2 时， K

＝ 0 。


R

rPS

z

z

Q

所以 P 点的光场复振幅为

i r

( )= ( ) ( )d (1)ke

E P C E Q Kr

这就是惠更斯—菲涅耳原理的数学表达式，称为惠更斯—菲涅耳公式。


i( ) kRAE Q e

R =

当 S 是点光源时， Q 点的光场复振幅为


R

rPS

z

z

Q

由于 K() 的具体形式未知，不可能由 (1) 式确切地确定值。因此，从理论上来讲，这个原理是不够完善的。

( )E P


i r

( )= ( ) ( )d (1)ke

E P C E Q Kr

i( ) kRAE Q e

R =

4.1.3 基尔霍夫衍射公式 (Kirchhoff diffraction formula )

基尔霍夫从微分波动方程出发 , 利用格林定理 , 给出了惠更斯—菲涅耳原理较完善的数学表达式。

xyD

x

y

z

o

h1＋ 1 构成封闭曲面；＋ 1 围成空间区域；


他将空间 P 点的光场与其周围任一封闭曲面上的各点光场建立起了联系，得到了倾斜因子 K() 的具体表达式，建立起了光的衍射理论。

i r

( )= ( ) ( )d (1)ke

E P C E Q Kr


这个理论将光场当作标量来处理，只考虑电场或磁场的一个横向分量的标量振幅，而假定其它有关分量也可以用同样方法独立处理，完全忽略了电磁场矢量分量间的耦合特性，因此称为标量衍射理论。

1. 基尔霍夫积分定理

假设有一个单色光波通过闭合曲面 Σ 传播，在 t 时刻、空间 P 点处的光电场为

i( , ) ( ) (3)tE P t E P e

V

nn

P


若 P 是无源点，该光场应满足如下的标量波动方程：

22

2 2

10 (4)

EE

c t

V

nn

P


将 (3) 式代入，可得

2 2( ) ( ) 0 (5)E P k E P

式中， k =ω/c ，该式即为亥姆霍兹方程。

i( , ) ( ) (3)tE P t E P e

22

2 2

10 (4)

EE

c t


2 2 0G k G

现在假设有另一个任意复函数，它也满足亥姆霍兹方程

G

且在 Σ 面内和 Σ 面上有连续的一、二阶偏微商( 个别点除外 ) 。


如果作积分

d (6)E G

Q G En n

表示在 Σ 上每一点沿向外法线方向的偏微商。/ n

V

nn

P


则由格林定理，有

2 2( )d dV

E GG E E G V G E

n n

式中， V 是 Σ 面包围的体积。利用亥姆霍兹方程关系，左边的被积函数在 V 内处处为零。

2 2( ) ( ) 0 (5)E P k E P

2 2 0G k G


2 2( )d 0V

G E E G V

i

(7)kre

Gr

这个函数除了在 r = 0 点外，处处解析。

因而

根据　所满足的条件，可以选取　为球面波的波函数：

G G


d (6)E G

Q G En n

V

nn

P

(6) 式中的 Σ 应选取图所示的复合曲面 Σ+Σ ，其中 Σ 是包围 P 点、半径为小量 ε 的球面。该积分为

d 0 (8)E G

G En n


由 (7) 式，有

i1cos( , ) cos( , )( i ) (9)

krG G ek

n r r r

n r n r

i

(7)kre

Gr

V

nn

P


i1( i )

krG ek

n r r

对于 Σε 面上的点， cos(n, r) ＝－ 1， r ＝，所以，

i1cos( , ) cos( , )( i ) (9)

krG G ek

n r r r

n r n r


因此

i i2

0

1d 4π i

4π ( )

k kE G e E eG E E k

n n n

E P

d 0 (8)E G

G En n

i1( i )

krG ek

n r r

的球面积为 24π

i i2 1

4π ik ke E e

E kn

i i i=4π 4π 4π ik k kEe Ee ke

n

0 时 i i4π 0; 4π i 0k kEe ke

n


这就是亥姆霍兹—基尔霍夫积分定理。

i i1( ) d (10)

4π

kr krE e eE P E

n r n r

故有

0

d 4π ( )E G

G E E Pn n


它将 P 点的光场与周围任一闭合曲面 Σ 上的光场联系了起来：

i i1( ) ( ) ( ) d (10)

4π

kr krE e eE P E

n r n r

i r

( )= ( ) ( )d (1)ke

E P C E Q Kr

2. 基尔霍夫衍射公式

现在将基尔霍夫积分定理应用于小孔衍射问题，在某些近似条件下，可以化为与菲涅耳表达式基本相同的形式。

i i1( ) ( ) ( ) d (10)

4π

kr krE e eE P E

n r n r

i r

( )= ( ) ( )d (1)ke

E P C E Q Kr


如图所示，有一个无限大的不透明平面屏，其上有一开孔 Σ，用点光源 S 照明，并设 Σ 的线度 δ 满足

< <<Min( , )r l

S PR

21

r

(n, r)

l

nQ(n, l)


围绕 P 点作一闭合曲面。该闭合曲面由三部分组成：开孔 Σ，不透明屏的部分背照面 Σ1 ，以 P 点为中心、 R 为半径的大球的部分球而 Σ2 。

S PR

21

r

(n, r)

l

nQ(n, l)


在这种情况下， P 点的光场复振幅为

1 2

i i1( ) d (11)

4π

kr krE e eE P E

n r n r

S PR

21

r

(n, r)

l

nQ(n, l)

下面确定这三个面上的和。/E n E


①在上 Σ，和的值由入射波决定，与不存在屏时的值完全相同。因此

/E n E

i

i

1cos( , ) i (12)

kl

kl

AE e

l

E Ak e

n l l

n l

A 是离点光源单位距离处的振幅， cos(n, l) 表示外向法线 n 与从 S 到 Σ 上某点 Q 的矢量 l 之间夹角的余弦。


/ =0E n =0E②在不透明屏的背照面 Σl 上，，。

通常称这两个假定为基尔霍夫边界条件。应当指出，这两个假定都是近似的，因为屏的存在必然会干扰 Σ 处的场，特别是开孔边缘附近的场。

S PR

21

r

(n, r)

l

nQ(n, l)


i i i11i i

kR kR kRRe e ek

Rk

n R R R

③对于 Σ2 面， r＝ R， cos(n, R)＝ 1 ，且有

S PR

21

r (n, R)

l

nQ(n, l) n


因此，在 Σ2 上的积分为

2

i i21 1

i d d4π 4π

kr kre E e EkE ikE R

R n R n

i i i11i i

kR kR kRRe e ek k

n R R R R

1 2

i i1( ) d (11)

4π

kr krE e eE P E

n r n r

Ω 是 Σ2 对 P 点所张的立体角， dω 是立体角元。


S P

R

21

r

(n, r)

l

nQ(n, l)

扇形面积的计算公式：2π

360S r


lim i 0R

EkE R

n

( 索末菲辐射条件 ) ，而当 R→∞ 时， (eikR / R) R 是有界的，所以上面的积分在 R→∞时 ( 球面半径 R 取得足够大 ) 为零。

索末菲指出，在辐射场中

2

i i21 1

i d d4π 4π

kr kre E e EkE ikE R

R n R n


通过上述讨论可知，在 (11) 式中，只需要考虑对孔径面 Σ 的积分，即

i i1( ) d

4π

kr krE e eE P E

n r n r

1 2

i i1( ) d (11)

4π

kr krE e eE P E

n r n r


将 (12) 式代入上式，略去法线微商中的 l/r 和 1/l

( 它们比 k 要小得多 ) 项，得到

ii cos( , ) cos( , )( ) ( ) d (14)

2

kreE P E l

r

n r n l

此式称为菲涅耳—基尔霍夫衍射公式。

i1cos( , ) i (12)klE A

k en l l

n l

i i1( ) d

4π

kr krE e eE P E

n r n r


i( ) ( ) klAE Q E l e

l

cos( , ) cos( , )( )

2K

n r n l

iC

与 (1) 式进行比较，可得

ii cos( , ) cos( , )( ) ( ) d (14)

2

kreE P E l

r

n r n l

i r

( )= ( ) ( )d (1)ke

E P C E Q Kr


( )E Q ① P 点的光场是 Σ 上无穷多次波源产生的，次波

源的复振幅与入射波在该点的复振幅成正比，与波长成反比。

i( ) ( ) klAE Q E l e

l

ii cos( , ) cos( , )( ) ( ) d (14)

2

kreE P E l

r

n r n l


② 因子 (- i) 表明，次波源的振动相位超前于入射波 / 2 ；

S P

R

21

r

(n, r)

l

nQ(n, l)

ii cos( , ) cos( , )( ) ( ) d (14)

2

kreE P E l

r

n r n l


③倾斜因子 K() 表示了次波的振幅在各个方向上是不同的，其值在 0 与 1 之间。

S PR

21

r

(n, r)

ln

Q(n, l)


③如果一平行光垂直入射到 Σ 上，则 cos(n, l) =－1， cos(n, r)= cos，因而

1 cos( )

2K

c

o

s( , ) cos( , )( )

2K

n r n l

S PR

21

r

(n, r)

ln

Q(n, l)


当＝ 0 时， K() ＝ 1 ，这表明在波面法线方向上的次波贡献最大；当＝时， K()＝ 0 。这一结论说明，菲涅耳在关于次波贡献的研究中假设 K(/2)＝0 是不正确的。

1 cos( )

2K

3. 基尔霍夫衍射公式的近似

菲涅耳—基尔霍夫衍射公式，因被积函数形式复杂而得不到解析形式的积分结果。为此，必须根据实际条件进一步作近似处理。

ii cos( , ) cos( , )( ) ( ) d (14)

2

kreE P E l

r

n r n l

1) 傍轴近似

对于傍轴光线，如图所示的开孔 Σ 的线度和观察屏上的考察范围都远小于开孔到观察屏的距离。

y1

x1

y

xr

z1

QP

P0O

K

Σ 的线度 << Z1

1)傍轴近似

① cos(n, r) 1 ，于是 K() 1 ；② r z1 。

因此 , 下面的两个近似条件通常都成立：

y1

x1

y

xr

z1

QP

P0O

K

1 cos( )

2K

S PR

21

r

(n, r)

ln

Q(n, l)

1)傍轴近似

在这里，指数中的 r 未用 z1 代替。

ii cos( , ) cos( , )( ) ( ) d (14)

2

kreE P E l

r

n r n l

这样， (14) 可以简化为

i

1

i( ) ( ) dkrE P E Q e

z

2) 距离近似—菲涅耳近似和夫朗和费近似

①若在离 Σ 很近的 K1 处观察透过的光，可以看作是圆孔的投影 , 这时光的传播大致可以看作是直线传播。

几何投影区菲涅耳衍射区

夫朗禾费衍射区

M

K1 K2 K3K4


②若距离再远些，如在 K2 面上观察时，随着观察平面距离的增大，环纹中心表现出从亮到暗，又从暗到亮的变化。



M

K1 K2 K3K4


③当观察平面距离很远时，如在 K4 位置，观察距离再增大，只是光斑扩大，但光斑形状不变。



M

K1 K2 K3K4


在 K2、 K3 及其前后的范围内的衍射现象称为菲涅耳衍射，而在很远处 ( 如 K4 面上 ) 的衍射现象称为夫朗和费衍射。



M

K1 K2 K3K4


用基尔霍夫衍射公式计算近场和远场衍射时，可以按照离衍射孔的距离将衍射公式进行简化。

当然，近场、远场的划分是相对的，对一定波长的光来说，衍射孔径愈大，相应的近场与远场的距离也愈远。

(1) 菲涅耳近似

y1

x1

y

xr

z1

QP

P0O

K

如图所示，设，则由几何关系有QP r

(1) 菲涅耳近似

2 2

2 2 2 1 11 1 1 1

1 1

22 2 2 21 1 1 1

1 2 21 1

( ) ( ) 1

1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1

2 8

x x y yr z x x y y z

z z

x x y y x x y yz

z z

2 3( 1) ( 1)( 2)(1 ) 1

2! 3!x x x x

2 21 1

21

( ) (1;

)

2

x x y y

zx

(1) 菲涅耳近似

当 z1 大到满足2 2 2

1 1 max31

[( ) ( ) ]π (16)

8

x x y yk

z

时，上式第三项及以后的各项都可略去，

2 2

2 2 2 1 11 1 1 1

1 1

2 21 1

1 21

22 21 1

21

1 ( )

( ) ( ) 1

1 ( ) ( ) 1

2

( )

8

x x y yr z x x y y z

z z

x x xx y yz

z

y y

z

(1) 菲涅耳近似

这一近似称为菲涅耳近似，在这个区域内观察到的衍射现象叫菲涅耳衍射。

2 21 1

1 21

2 2 2 21 1 1 1

11 1 1

1 ( ) ( )1

2

(17)2 2

x x y yr z

z

x y xx yy x yz

z z z

简化为

(1) 菲涅耳近似

在菲涅耳近似下， P 点的光场复振幅为

2 21 1

1 21

( ) ( )i [1 ]

21 1 1 1

1

i( , ) ( , ) d d (18)

x x y ykz

zE x y E x y e x yz

i

1


z

2 2 2 21 1 1 1

11 1 1

(17)2 2

x y xx yy x yr z

z z z

当观察屏离孔的距离很大，满足

2 21 1 max

1

( )<<π (19)

2

x yk

z

时，

(2) 夫朗相费近似

2 21

2 21 1

1 21

2 21 1

111

1

1

1 ( ) ( )1

2

(17)2 2

x x y yr z

z

x y xx yyz

x y

z zz

可将 r 进一步简化为

2 21 1

11 1

(20)2

x y xx yyr z

z z


这一近似称为夫朗和费近似，在这个区域内观察到的衍射现象叫夫朗和费衍射。


在夫朗和费近似下， P 点的光场复振幅为

2 21 11

1 1

i i i2

1 1 1 11

i( , ) ( , ) d d (21)

xx yyx ykz k kz ze

E x y e E x y e x yz

i

1


z

2 21 1

11 1

(20)2

x y xx yyr z

z z

菲涅耳衍射和夫朗和费衍射是傍轴近似下的两种衍射情况，二者的区别条件是观察屏到衍射屏的距离 z1

与衍射孔的线度 (x1， y1) 之间的相对大小。


2 2 2 21 1 1 1

11 1 1

(17)2 2

x y xx yy x yr z

z z z

2 21 1

11 1

(20)2

x y xx yyr z

z z

第 4 章 光的衍射 (diffraction)

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第 4 章光的衍射 (diffraction)