組合せ爆発に対処する

アルゴリズム

アルゴリズム論 第4回講義

2012年10月19日(金）

• 太郎から五郎の 作業A～Eにかかる 時間(分）を右表に示す．

• この時，人と作業をどのように組み合わせれば，総作業時間を最小にできるか？ →まず表を写す 3分間で調べる

人

作業

太郎

次郎

三郎

四郎

五郎

A 10 5 7 12 8

B 14 20 15 10 15

C 18 30 20 25 22

D 35 8 18 20 12

E 20 13 8 10 17

(分） 資源（人材）割当問題

• すべての事象(組合せ）を発生させて調べて，

最良結果を選ぶ方法

太郎 次郎 三郎 四郎 五郎 総時間(分） A(10)B(20)C(20)D(20)E(17) ８７ →Min

A(10)B(20)C(20)E(10)D(12) 72 →Min

A(10)B(20)D(18)C(25)E(17) 90

★5!=5X4X3X2X1=120 通りを調べて最小値を求める

腕ずくの方法

(Brute Force Method)

組合せ爆発

(Combinatory Explosion) n n!

5 120

8 40,320

10 3,628,800

腕ずくの方法：ｎが大きくなるとすぐに破綻する

→無意味な組合せを排除することを考える

財宝を発見したらどうする？

5人グループが宝島で

財宝を発見した．各自

手に持てる宝石は両手

に２つだけ．すぐにでも

海賊が帰ってくるかも

しれない．

このグループはどうする？

貪欲法（欲張りの方法） (Greedy Method)

• 後先の事は考えず，目先の事だけ考える方法

→各時点(状態）で最良事象を選択すること

• 局所的最適解の積み重ね

→全体最適になる保障はない！

→準最適解＝近似解を求める方法

Greedy Method を

資源割当て問題に適用（１）

人

作業

太郎 次郎 三郎 四郎 五郎

A 10 5 7 12 8

B 14 20 15 10 15

C 18 30 20 25 22

D 35 8 18 20 12

E 20 13 8 10 17

A-

B-

C-

D-

E-

次郎

現状態で最小コスト

の（作業，人）は？

人

作業 太郎 次郎 三郎 四郎 五郎

B 14 15 10 15

C 18 20 25 22

D 35 18 20 12

E 20 8 10 17

A-次郎 ５

B-四郎 １０

C-太郎 １８

D-五郎 １２

E- ８

Greedy Method を

資源割当て問題に適用（２）

三郎

現状態で最小コスト

の（作業，人）は？

Greedy Method を続けて適用し

最小の総作業時間（近似解）を求めよ

→最適解か？

最短経路問題

（ダイクストラの方法）

• Greedy Methodにより近似解ではなく

最適解が求まる例

開始点から Tの隣接 その他の

最短経路が ノード集合 ノード集合

求まった

ノード集合

T F U ○

X

○

y

ダイクストラのアルゴリズム

①Tは始点ｘ，FはT（最初はｘ）に隣接節点集合

②Fの中でｘからの最小距離節点ｋを探す

③T追加（ｋの追加）

④F更新：Fの節点で，ｋを経由した距離の方が短かければその値に更新

⑤F追加：Uからｋの隣接ノード集合をFに追加

Go to ② 終点ｙがTに入るまで

②－⑤を繰り返す

x

b

a

e

d

c

y

f

g

10

10

15

5

20

20

20

30

10

15

5 25

5

25

5

5

20

xからyへの

最短経路を求めよ

x

b

a

e

d

c

y

f

g

10

10

15

5

20

20

20

30

10

15

5 25

5

25

5

5

20

T F

x a(x,10), b(x,15)

x,a b(x,15),c(a,15),d(a,30),e(a,40)

x,a,b c(a,15),d(a,30),e(b,35)

x,a,b,c d(c,20),e(b,35),f(c,30),y(c,40)

x,a,b,c,d e(d,30),f(d,25),y(c,40)

x

b

a

e

d

c

y

f

g

10

10

15

5

20

20

20

30

10

15

5 25

5

25

5

5

20 T F

x,a,b,c,d e(d,30),f(d,25),y(c,40)

x,a,b,c,d,f e(d,30),y(c,40),g(f,30)

x,a,b,c,d,f,e y(c,40),g(f,30)

x,a,b,c,d,f,e,g y(g,35)

x,a,b,c,d,f,e,g,y 終了

演習問題１：A駅～H駅への最小料金は？

A

B

C

D

E

H

G

F

200

550

1000 120

330

250 120

800

300

880

130

450

T（到達点集合）とF（隣接点集合)を完成させよ

T（到達点集合） F（隣接点集合)

A B(A,200), D(A,550), C(A,1000)

T（到達点集合）とF（隣接点集合)を完成させよ

T（到達点集合） F（隣接点集合)

A B(A,200), D(A,550), C(A,1000)

A,B D(A,550), C(A,1000), E(B,1000)

A,B,D C(A,1000), E(D,850), H(D,1430)

A,B,D,E C(A,1000), H(E,1300)

A,B,D,E,C H(E,1300), F(C,1250),G(C,1330)

A,B,D,E,C,F H(E,1300), G(C,1330)

A,B,D,E,C,F,H

演習問題２：演習問題１を双方向性グラフ

とすればA駅～H駅への最小料金は？

T（到達点集合） F（隣接点集合)

A B(A,200), D(A,550), C(A,1000)

A,B D(A,550), C(A,1000), E(B,1000)

A,B,D C(A,670), E(B,850), H(D,1430)

A,B,D,C E(B,850), H(D,1430),F(C.920),

G(C,1000)

A,B,D,C,E H(D,1300), F(C,920), G(C,1000)

A,B,D,C,E,F H(D,1300),G(C,1000)

A,B,D,C,E,F,G H(G,1130)

平成２２年度 第３回小テスト 道路（エッジ）に記した数字を移動時間（分）とする．ダイクストラ法により，地点１（赤坂）から地点8（東京）まで最短到達時間を求めよ

．

赤坂１

目黒３

広尾４

青山５

神田７

東京８

山王６

六本木２

３

４

３

４

２４

８

５

３４

７

１

８

平成22年度 第3回小テスト 道路（エッジ）に記した数字を移動時間（分）とする．

ダイクストラ法により，地点1（赤坂）から地点8（東京）まで最短到達時間を求めよ．

解答例

T F

1 2(1,3),3(1,4)

1,2 3(1,4),4(2,7),5(2,11)

1,2,3 4(2,7),5(2,11),6(3,11)

1,2,3,4 5(2,11),6(3,11),7(4,9)

1,2,3,4,7 5(2,11),6(7,10),8(7,12)

1,2,3,4,7,6 5(2,11),8(7,12)

1,2,3,4,7,6,5 8(7,12)

1,2,3,4,7,6,5,8 終了

地点8までの最短到達時間：12分 経路：1 -> 2 -> 4 -> 7 -> 8

探索（検索）アルゴリズム

探索とは？

キー

一致するものを探す

・・・・

・・・・

・・・・

・・・・

・・・・

：： ：： ：：

レコード

フィールド

線形探索のデモ

線形探索アルゴリズム(1) n=10, i =0,

target=54

a[i] : target

i++

START

END

=

≠

i : n

return i return -1

<

≧

前提：配列aにn個のデータが保存

処理：target と同じデータが蓄えられている配列要素の添え字を返し，ない場合は-1を返すフローチャートを記せ

ｋｅｙ ｄａｔａ

ｔａｂｌｅ［０］

ｔａｂｌｅ［１］

ｔａｂｅｌ［２］

ｔａｂｌｅ［３］

：

：

ｔａｂｌｅ［ｎ－１］

ｔａｂｌｅ［ｎ］

：

：

ｔａｂｌｅ［１９９］

７５ 福崎慎也

１０１ 渡邊滋之

１７ 大野綾子

２８ 川島祐毅

： ：

：

：

６４ 仲野弘幸

番人

(sentinel)

８７

番人による少し早い線形探索

三浦宏之

target = 54, i =0, a[n] = target

a[i] : target

i=i+1

START

END

=

≠

i : N

return i return -1

<

≧

番人を利用した線形探索アルゴリズム

※ループ毎に

iとn-1の比較が不要

n=10, target = 54,

i =0

a[i] : target

i=i+1

START

END

=

≠

前処理

i : N

return i return -1

<

≧

n=10, target = 54,

i =0, a[n] = target

a[i] : target

i=i+1

START

END

=

≠

前処理

i : N

return i return -1

<

≧

番人なし 番人あり

２つの線形探索アルゴリズムの比較

二分探索法(バイナリサーチ）

a[0]=1

a[1]=3

a[2]=4

a[3]=8

a[4]=13

a[5]=14

a[6]=18

a[7]=20

a[8]=21

a[9]=25

探すキーの値は 14 とする。

low→

middle→

high→

<14

a[0]=1

a[1]=3

a[2]=4

a[3]=8

a[4]=13

a[5]=14

a[6]=18

a[7]=20

a[8]=21

a[9]=25

low→

middle→

high→

>14

=middle+1

a[0]=1

a[1]=3

a[2]=4

a[3]=8

a[4]=13

a[5]=14

a[6]=18

a[7]=20

a[8]=21

a[9]=25

high→

low, middle→ =14

=middle-1

探索範囲

二分探索のデモ

二分探索アルゴリズム

(半分ずつ捨てるのがポイント）

サイズｎの配列key(0～n-1)

においてsを探す

① first=0, last=n-1

② mid = (first+last)/2

③ key(mid)=s -> Found

key(mid)<s -> first=mid+1 Goto ②

key(mid)>s -> last=mid-1 Goto ②

上記アルゴリズムの問題点は？ 完成させよ

線形探索の計算量（比較の回数）は

最良１、最悪ｎ、平均ｎ／２

データ数ｎに対して Ｏ（ｎ）

二分探索の計算量（比較の回数）は

２ｋ－１≦ｎ＜２ｋのとき ｋ回

つまり、データ数ｎに対して 約Ｏ（ｌｏｇ２ｎ）

線形探索の計算量は Ｏ（ｎ）

二分探索の計算量は Ｏ（log2 ｎ）

ｎ＝１，０００だったら？

ｎ＝１，０００

log2ｎ＝約１０ （なぜなら２１０＝1,024）

１００倍違う！

定数係数が少しくらい違ったって、

勝負は明らか！

ビッグO のグラフ化

N 5 10 15 20 25

O(2n) 32 1024 32768 1048576 33554432

O(N2) 25 100 225 400 625

O(NlogN) 3.49 10 17.64 26.02 34.94

O(N) 5 10 15 20 25

O(logN) 0.69 1 1.17 1.30 1.39

O(1) 1 1 1 1 1

O(1)

O(logN)

O(N)

O(NlogN) O(N2) O(2n)

ビッグオーの

グラフ化

データの登録も考えると

登録（ｎ要素当り） 探索（１回当り）

線形探索 Ｏ（ｎ） Ｏ（ｎ）

二分探索 Ｏ（ｎ２） Ｏ（log ｎ）

クイックソートで

Ｏ（ｎ log ｎ）

登録１回あたりの探索回数をＳとすると、

線形探索 Ｏ（ｎ）＋Ｓ・Ｏ（ｎ）

二分探索 Ｏ（ｎ log ｎ）＋Ｓ・Ｏ（log ｎ）

ｎ＜＜Sでないと、二分探索は有利に

ならない！

頻繁にデータ集合が変わるような応用には

二分探索は適さない