第 5 回輪講 2011.06 .07 ( 火 )
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第 5 回輪講 2011.06 .07 ( 火 ). 慶應義塾大学 理工学部 管理工学科４年 曹研究室 60803571 遠藤 健司. 今週やったこと. 「 Steel-making process scheduling using Lagrangian relaxation 」 Lixin Tang; Peter B; Jiyin Liu; Lei Fang Internatioal Journal of Production Research 2002, Vol40, No.1, 55-70 の続き を読む. パラメータ定義. チャージ. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
第 5回輪講2011.06.07
(火 ) 慶應義塾大学 理工学部 管理工学科４年 曹研究室 60803571遠藤 健司
今週やったこと
「 Steel-making process scheduling using Lagrangian relaxation 」 Lixin Tang; Peter B; Jiyin Liu; Lei Fang
Internatioal Journal of Production Research
2002, Vol40, No.1, 55-70
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:4
:3
:2
:1
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:|)|,..,2,1(
:
)...,,0},,...,2,1{,(
:}),...,2,1{(
,
21
i
i
ij
g
i
gpg
Mghg
C
C
C
C
d
pS
ghMhg
N
・・
・
・・
・
・ ・
全てのチャージセット（ N は製造チャージの総数）
鋳造機 g における全てのチャージセット（ M は鋳造の総数） 鋳造 g におけるチャージ p （チャージの順序はロット
計画によって定義される。）チャージ i の期日（単位時間の終了地点）
鋳造 g の鋳造中断による損失コスト率
ステージ j の終了後、チャージ i の待ち時間による損失コスト率期日前の完了によって生じた製造チャージ i に対する損失コスト率期日遅延よって生じた製造チャージ i に対する損失コスト率
:}),..,2,1{(
:})3,2),(1{(
:)(
Kk
j
i
・（鋳造）（製鋼）銑鉄・
・ チャージ
ステージ
単位時間
パラメータ定義
鋳造におけるチャージ（イメージ）
鋳造機１ 鋳造機２ 鋳造機 M
1
鋳造機 g
2 gM
・・・ ・・・
1,gS ||, ggS ・・・ ・・・
M 個の鋳造機
鋳造 g には |Ωg| 個のチャージがある
2,gS pgS ,
製鉄、製鋼におけるチャージ（イメージ）
Ni ・・・ ・・・ 21
パラメータ定義
:}),...,2,1{(
:0
:1
:
:
:
:
:
:
,
1,
,
KC
K
M
R
S
t
T
ji
ijk
jk
ij
ij
jj
ji
・
・
・
・
・
・
・
・
ステージ j におけるチャージ i の処理時間
ステージ j からステージ j+1 に移るまでの輸送時間
ステージ j の機械でチャージ i をするためのセットアップ時間（ i が最初のチャージで鋳造時のみセットアップタイムを有する。）
ステージ j の機械でチャージ i 処理後のリムーバル時間（ i が最初のチャージで鋳造時のみセットアップタイムを有する。）
単位時間 k にステージ j で利用できる機械の数
計画期間における単位時間の総数
決定変数
チャージ i が単位時間 k にステージ j で処理されている場合その他
ステージ j でチャージ i が完了する時間（ 処理がちょうど単位時間 k で完了した ）
:kCij
定式化 目的関数
N
i
N
iiiiiii
N
i jjjjijijiij
M
g pSSSg
dCCCdC
tCTCC
CTCCZMinimizeg
pgpgpg
1 133
1
2
11,,1,1,
1
1||
13,3,3,
),0max(4),0max(3
)(2
)(1,1,1,
制約式 その１
①
jijijijj
jijijjji
CCTt
jiTCtCts
,1,1,1,
1,1,1,, }2,1{;,..
ステージ j におけるチャージ i が完了し
た時間ステージ j+1 におけるチャージ i の処理時間
ステージ j からステージ j+1 までの
輸送時間
ステージ j におけるチャージ i が完了し
た時間
②
333
333
,1,1,
1,1,,},...,2,1{};1||,...,2,1{,
pgpgpg
pgpgpg
SSS
gSSS
CCT
MgpTCC
制約式 その２
鋳造 g における p 番目のチャージが完了した時
間
鋳造 g における p+1 番目のチャージの処理時間
鋳造 g における p+1 番目のチャージが完了した時
間
⑤
④
③
)1(1
},...,2,1{};3,2,1{;),1(1
},...,2,1{};3,2,1{;,
}3,2,1{;,1
ijkijijij
ijkijijij
ijijijk
K
kijijijijk
KSTkC
KkjiKkSTC
KkjiRCk
jiRST
制約式 その３・４・５
ステージ j におけるチャージ iのためのセット
アップ時間
ステージ j におけるチャージ i
の処理時間
ステージ j におけるチャージ iが完了した時間
⑧
⑦
⑥
};3,2,1{;},,...,2,1{
},...,1{};3,2,1{;},1,0{
},...,1{};3,2,1{,
jiKC
Kkji
KkjM
ij
ijk
jki
ijk
制約式 その６・７・８
ラグランジュ緩和法
制約式②と⑥は異なるジョブ→結合制約（ coupling constraints ）
この２つの式をラグランジュ緩和させることで、いくつかの部分問題に分解でき、一つのジョブとして扱える。
→”i” と” Sg,p” を”＝”で結びつけることができる！チャージ i のみを考えるだけでよい！
この２つの緩和した制約式にラグランジュ乗数 をかけ、目的関数に組み込むことで、単なる制約の除去よりもよい下界値が得られる。→残りの制約によって整数解を簡単に得ることができる。
}{},{ jki vu
},...,2,1{};3,2,1{,0
},...,2,1{};1||,...,2,1{,0
,,,,,,.
)(
)(
),0max(4),0max(3
)(2
)(1
,
,1,1,,
,1,1,
1
3
1
1
1||
13,3,3,
1 133
1
2
11,,1,!,
1
1||
13,3,3,
Kkjv
Mgpu
andts
Mv
CTCu
dCCCdC
tCTCC
CTCCZMinimize
jk
gS
K
k j ijkijkjk
M
g pSSSS
N
i
N
iiiiiii
N
i jjjjijijiij
M
g pSSSgLR
pg
g
pgpgpgpg
g
pgpgpg
⑧⑦⑤④③ ①
ラグランジュ緩和 定式化
チャージ i の部分問題
|}{|},{
),)(1()(
}1||,...,3,2{},{
),)(1()1()(
}1{},{,)1()(
,,,,,,.
)(
),0max(4),0max(3
)(2)(
,
3,3,
,
3,3,3,
,3,
1
3
1
33
2
11,,1,1,
,,1,
,,,,,
,,
gpg
SSSg
gpg
SSSgSgS
pgSgS
ijk
K
k jjk
iiiiii
jjjjijijiijLR
piSfor
TCuCi
piSfor
TCuCCCui
piSforCCui
andts
iv
dCCCdC
tCTCCiZMinimize
pgpgpg
pgpgpgpgpg
pgpg
⑧⑦⑤④③ ①
※
※ について
)(1
)(1
)(1
)(1
3,3,3,
3,3,3,
3,3,3,
1||
13,3,3,
1||,||,||,
2,3,3,
1,2,2,
,1,1,
gggggg
ggg
ggg
g
pgpgpg
SSSg
SSSg
SSSg
pSSSg
CTCC
CTCC
CTCC
CTCC
)(
)(
)(
)(
3,3,3,
3,3,3,
3,3,3,
1||
13,3,3,
1||,||,||,1||,
2,3,3,2,
1,2,2,1,
,1,1,,
gggggggg
gggg
gggg
g
pgpgpgpg
SSSS
SSSS
SSSS
pSSSS
CTCu
CTCu
CTCu
CTCu
4323132211
2331322112
10987654321
}9,8,6{
}10,5,4,1{
}7,3,2{
}10,...,2,1{
.).
,
3
2
1
p
g
Si
xe
pg
3?,3,3,
,
,
?
4,2.).
CCC
Si
pgxe
i
pg
pSg
例えば…次のようにチャージを決定すると…
鋳造におけるチャージ（イメージ）
鋳造機１ 鋳造機２ 鋳造機M
1
鋳造機 g
2 gM
・・・ ・・・
1,gS ||, ggS ・・・ ・・・
M 個の鋳造機
鋳造 g には |Ωg| 個のチャージがある
2,gS pgS ,
動的計画法 チャージ i の部分問題を解くには、動的計画法 (Dynamic
Programming,DP) を用いる。→最後のステージから最初のステージへと向かう、ボトムアップ的な手法
j=3( 最後のステージ；鋳造）の場合のチャージ i によるコスト
|}{|},{
),)(1()(
}1||,...,3,2{},{
),)(1()1()(
}1{},{,)1()(
)(),0max(4
),0max(3)(2),(
,
3,3,
,
3,3,3,
,3,
1333
33,3,2333
,,1,
,,,,,
,,
gpg
SSSg
gpg
SSSgSgS
pgSgS
K
kkikiii
iiiiiikiii
piSfor
TCuCi
piSfor
TCuCCCui
piSforCCui
ivdCC
CdCTCCCV
pgpgpg
pgpgpgpgpg
pgpg
j=2( 二番目のステージ；製鋼）の場合のチャージ i による累積コスト
j=1( 最初のステージ；製鉄）の場合のチャージ i による総コス →最適部分問題のコスト
)},({min
)(2)(2),(
33,3},{
122
3,22,22,2,1222
33,kiii
C
K
kkik
iiiiikiii
CVv
tCCTCCCV
kii
)},({min
)(2),(
22,2},{
111
2,11,1111
22,kiii
C
K
kkik
iikiii
CVv
tCCCV
kii