Раздел 5. Дифференциальное исчисление функции...
DESCRIPTION
Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных (задачник)TRANSCRIPT
Кафедра математики
УЧЕБНО – МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика»
________________________________________________________________________________
РАЗДЕЛ 5 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ
НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ»
Контрольно – измерительные материалы
Уфа • 2007
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
"УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ)
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
УДК 517.2(07) ББК 22.161.1 я 7
У90
Ответственный редактор д. ф.-м. наук, проф. Р.Н. Бахтизин
Редколлегия: АкмадиеваТ.Р., Аносова Е.П., Байрамгулова Р.С., Галиуллин М.М., Галиева Л.М.,
Галиакбарова Э.В., Гимаев Р.Г., Гудкова Е.В., Егорова Р.А., Жданова Т.Г., Зарипов Э.М., Зарипов Р.М., Исламгулова Г.Ф., Ковалева Э.А., Майский Р.А., Мухаметзянов И.З., Нагаева З.М., Савлучинская Н.М., Сахарова Л.А., Степанова М.Ф., Сокова И.А., Сулейманов И.Н., Умергалина Т.В., Фаткуллин Н.Ю., Хайбуллин Р.Я., Хаки-мов Д.К., Хакимова З.Р., Чернятьева М.Р., Юлдыбаев Л.Х., Шамшович В.Ф., Якубо-ва Д.Ф., Якупов В.М., Янчушка А.П., Яфаров Ш.А.
Рецензенты: Кафедра программирования и вычислительной математики Башкирского государст-
венного педагогического университета. Заведующий кафедрой д. ф.-м. наук, профессор Р.М. Асадуллин. Кафедра вычислительной математики Башкирского государственного университета. Заведующий кафедрой д. ф.-м. наук, профессор Н.Д. Морозкин.
Учебно-методический комплекс дисциплины «Математика». Раздел 5 «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных». Контрольно-измерительные материалы. – Уфа: Издательство УГНТУ, 2007. – 159 с.
Содержит комплект заданий в тестовой форме различной сложности по всем темам раздела 5 «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных», предназначенный для оценки знаний студентов.
Разработан для студентов, обучающихся по всем формам обучения по направлениям подготовки и специальностям, реализуемым в УГНТУ.
УДК 517.2(07) ББК 22.161.1 я 7
© Уфимский государственный нефтяной технический университет, 2007
СОДЕРЖАНИЕ
1.Понятие функции )M(fu = нескольких переменных. Об-ласть определения. Линии и поверхности уровня.
5
2. Предел функции )M(fu = . Непрерывность. 51 3. Частные производные первого порядка функции )M(fu = . 65 4. Полный дифференциал первого порядка. 73 5. Частные производные высших порядков. 81 6.Дифференциалы высших порядков. 88 7.Дифференцирование сложной функции нескольких пере-менных.
93
8.Дифференцирование функций, заданных неявно. 101 9.Касательная плоскость, нормаль к поверхности. 108 10.Производная функции по заданному направлению, гради-ент функции.
125
11.Экстремумы функции двух переменных. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных.
145
12. Задачи на условный экстремум. 156
4
Разработаны тестовые задания различной сложности (А – легкие; В – средние; С – трудные), которые предназначены для проверки знаний основных положений теории и базовых практических навыков по данному разделу дисциплины математика.
Система нумерации тестовых заданий
Наименование тем заданий контрольно – измерительных материалов
(КИМ) по разделу: «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ
НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ»
1.Понятие функции )M(fu = нескольких переменных. Область определения. Линии и поверхности уровня. 2. Предел функции )M(fu = . Непрерывность. 3. Частные производные первого порядка функции )M(fu = . 4. Полный дифференциал первого порядка. 5. Частные производные высших порядков. 6.Дифференциалы высших порядков. 7.Дифференцирование сложной функции нескольких переменных. 8.Дифференцирование функций, заданных неявно. 9.Касательная плоскость, нормаль к поверхности. 10.Производная функции по заданному направлению, градиент функции. 11.Экстремумы функции двух переменных. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных. 12. Задачи на условный экстремум.
сложность номер темы порядковый номер
1 2 А
5
1. Понятие функции )M(fu = нескольких переменных. Область определения. Линии и поверхности уровня.
Номер: 1.1.А
Задача: Найти область определения функции 16yxu 22 −+=
Ответы: 1).
4
4 x
y
D
2).
16
4− 4 x
y
3).
y
4−
4−
4
4 x
4).
16
4−
x
y
4
5).
16
4− 4 x
y
6
Номер: 1.2.А
Задача: Найти область определения функции 16yxu 2 −+=
Ответы: 1).
4
4 x
y
D
2).
16
4− 4 x
y
3).
y
4−
4−
4
4 x
4).
16
4−
x
y
4
5).
16
4− 4 x
y
7
Номер: 1.3.А
Задача. Найти область определения функции 4 22 yx16u −−=
Ответы: 1).
4
4 x
y
D
2).
16
4− 4 x
y
3).
y
4−
4−
4
4 x
4).
16
4−
x
y
4
5).
16
4− 4 x
y
8
Номер: 1.4.А
Задача: Найти область определения функции ( )16xylnu 2 −+=
Ответы: 1).
4
4 x
y
D
2).
16
4− 4 x
y
3).
y
4−
4−
4
4 x
4).
16
4−
x
y
4
5).
16
4− 4 x
y
9
Номер: 1.5.А
Задача: Найти область определения функции 8 2 yx16u −−=
Ответы: 1).
4
4 x
y
D
2).
16
4− 4 x
y
3).
y
4−
4−
4
4 x
4).
16
4−
x
y
4
5).
16
4− 4 x
y
10
Номер: 1.6.В
Задача: Найти область определения функции 9y18x30y9x5
yxu 22 ++−++
=
Ответы: 1).
y
x0 1− O′
3
где ( )1;3O −′ 2).
y
x01−
3
O′
где ( )1;3O −′
3).
y
1 O′ 3− x
где ( )1;3O −′
4).
где ( )1;3O −′
y
x0 1−
3
O′
5).
0 x
y
11
Номер: 1.7.В
Задача: Найти область определения функции 9y18x30y9x5
yxy5u 22 −−−−−
=
Ответы: 1).
y
x01− O′
3
где ( )1;3O −′ 2).
y
x0 1−
3
O′
где ( )1;3O −′
3).
y
1O′ 3− x
где ( )1;3O −′
4).
где ( )1;3O −′
y
x0 1−
3
O′
5).
0 x
y
12
Номер: 1.8.В Задача: Найти область определения функции
( )9y18x30y9x5lnu 22 +−++=
Ответы: 1).
y
x0 1− O′
3
где ( )1;3O −′ 2).
y
x01−
3
O′
где ( )1;3O −′
3).
y
1 O′ 3− x
где ( )1;3O −′
4).
где ( )1;3O −′
y
x0 1−
3
O′
5).
0 x
y
13
Номер: 1.9.В
Задача: Найти область определения функции 6 22 9y18x30y9x5u −−−−=
Ответы: 1).
y
x01− O′
3
где ( )1;3O −′ 2).
y
x0 1−
3
O′
где ( )1;3O −′
3).
y
1O′ 3− x
где ( )1;3O −′
4).
где ( )1;3O −′
y
x0 1−
3
O′
5).
0 x
y
14
Номер: 1.10.В
Задача: Найти область определения функции 3 22 9y18x30y9x5u −−−−=
Ответы: 1).
y
x0 1− O′
3
где ( )1;3O −′ 2).
y
x01−
3
O′
где ( )1;3O −′
3).
y
1 O′ 3− x
где ( )1;3O −′
4).
где ( )1;3O −′
y
x0 1−
3
O′
5).
0 x
y
15
Номер: 1.11.А
Задача: Найти область определения функции 3 2 19y2x10yu −−−=
Ответы: 1).
0 x
y
2).
2−O′
4−
y
x 0
5
1
где ( )1;2O −′
3).
где ( )1;2O −′
2− O′
4−
y
x0 51
4).
2−O′
4−
y
0
5
1x
где ( )1;2O −′
5).
2− O′
4−
y
x0 51
где ( )1;2O −′
16
Номер: 1.12.В
Задача: Найти область определения функции ( )19y2x10ylogu 22 −−−=
Ответы: 1).
0 x
y
2).
2−O′
4−
y
x 0
5
1
где ( )1;2O −′
3).
где ( )1;2O −′
2− O′
4−
y
x0 5 1
4).
2−O′
4−
y
0
5
1x
где ( )1;2O −′
5).
2− O′
4−
y
x0 5 1
где ( )1;2O −′
17
Номер: 1.13.В
Задача: Найти область определения функции 19x2y10x
xy4xu 2
2
−−−+
=
Ответы: 1).
0 x
y
2).
2−O′
4−
y
x 0
5
1
где ( )1;2O −′
3).
где ( )1;2O −′
2− O′
4−
y
x0 51
4).
2−O′
4−
y
0
5
1x
где ( )1;2O −′
5).
2− O′
4−
y
x0 51
где ( )1;2O −′
18
Номер: 1.14.В
Задача: Найти область определения функции 10 2y19y2x10u −++=
Ответы: 1).
0 x
y
2).
2−O′
4−
y
x 0
5
1
где ( )1;2O −′
3).
где ( )1;2O −′
2− O′
4−
y
x0 5 1
4).
2−O′
4−
y
0
5
1x
где ( )1;2O −′
5).
2− O′
4−
y
x0 5 1
где ( )1;2O −′
19
Номер: 1.15.В
Задача: Найти область определения функции ( )19x2y10xlogu 225 −−−=
Ответы: 1).
0 x
y
2).
2−O′
4−
y
x 0
5
1
где ( )1;2O −′
3).
где ( )1;2O −′
2− O′
4−
y
x0 51
4).
2−O′
4−
y
0
5
1x
где ( )1;2O −′
5).
2− O′
4−
y
x0 51
где ( )1;2O −′
20
Номер: 1.16.В
Задача: Найти область определения функции 32y12x8y3x4
xy2u 22 −+−+=
Ответы: 1).
6−
3− 5 1
y
x0
2− O′
2
2).
6−
3− 5 1
y
x0
2− O′
2
3).
5−
2− 41
y
x
O′
102−
4).
2−
4
1
y
xO′
0
2− 5−
5).
0 x
y
21
Номер: 1.17.В Задача: Найти область определения функции
( )32y12x8y3x4logu 2221 −+−+=
Ответы: 1).
6−
3− 51
y
x0
2− O′
2
2).
6−
3− 51
y
x0
2− O′
2
3).
5−
2− 41
y
x
O′
102−
4).
2−
4
1
y
xO′
0
2−5−
5).
0 x
y
22
Номер: 1.18.В
Задача: Найти область определения функции 4 22 32y12x8y3x4u −−−−=
Ответы: 1).
6−
3− 5 1
y
x0
2− O′
2
2).
6−
3− 5 1
y
x0
2− O′
2
3).
5−
2− 41
y
x
O′
102−
4).
2−
4
1
y
xO′
0
2− 5−
5).
0 x
y
23
Номер: 1.19.В Задача: Найти область определения функции
( )32x12y8x3y4logu 225 −−−−=
Ответы: 1).
6−
3− 51
y
x0
2− O′
2
2).
6−
3− 51
y
x0
2− O′
2
3).
5−
2− 41
y
x
O′
102−
4).
2−
4
1
y
xO′
0
2−5−
5).
0 x
y
24
Номер: 1.20.А
Задача: Найти область определения функции 5 22 32x12y8x3y4u −−−−=
Ответы: 1).
6−
3− 5 1
y
x0
2− O′
2
2).
6−
3− 5 1
y
x0
2− O′
2
3).
5−
2− 41
y
x
O′
102−
4).
2−
4
1
y
xO′
0
2− 5−
5).
0 x
y
25
Номер: 1.21.А
Задача: Найти область определения функции 5 2 19y2x10yu −−−=
Ответы: 1). ( ) Ry,x ∈ 2). ( ) ( )2x101y 2 +>−
3). ( ) ( )2y101x 2 +≠− 4). ( ) ( )2x101y 2 +≤−
5). ( ) ( )2y101x 2 +>−
Номер: 1.22.А
Задача: Найти область определения функции ( )19y2x10ylogu 253 −−−=
Ответы: 1). ( ) Ry,x ∈ 2). ( ) ( )2x101y 2 +>−
3). ( ) ( )2y101x 2 +≠− 4). ( ) ( )2x101y 2 +≤−
5). ( ) ( )2y101x 2 +>−
Номер: 1.23.А
Задача: Найти область определения функции 19x2y10x
1y4x7u 2 −−−−+
=
Ответы: 1). ( ) Ry,x ∈ 2). ( ) ( )2x101y 2 +>−
3). ( ) ( )2y101x 2 +≠− 4). ( ) ( )2x101y 2 +≤−
5). ( ) ( )2y101x 2 +>−
Номер: 1.24.А
Задача: Найти область определения функции 2y19y2x10u −++=
Ответы: 1). ( ) Ry,x ∈ 2). ( ) ( )2x101y 2 +>−
3). ( ) ( )2y101x 2 +≠− 4). ( ) ( )2x101y 2 +≤−
5). ( ) ( )2y101x 2 +>−
Номер: 1.25.А
Задача: Найти область определения функции ( )19x2y10xlogu 24 −−−=
26
Ответы: 1). ( ) Ry,x ∈ 2). ( ) ( )2x101y 2 +>−
3). ( ) ( )2y101x 2 +≠− 4). ( ) ( )2x101y 2 +≤−
5). ( ) ( )2y101x 2 +>−
Номер: 1.26.А
Задача: Найти область определения функции
19y
25x
xy2u 22
−+=
Ответы: 1). 19y
25x 22
≠+ 2). 19y
25x 22
≠− 3). 19y
25x 22
>+
4). 19y
25x 22
≥− 5). ( ) Ry,x ∈
Номер: 1.27.А
Задача: Найти область определения функции
19y
25x
yxu 22
32
−−
−=
Ответы: 1). 19y
25x 22
≠+ 2). 19y
25x 22
≠− 3). 19y
25x 22
>+
4). 19y
25x 22
≥− 5). ( ) Ry,x ∈
Номер: 1.28.А
Задача: Найти область определения функции ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+= 1
9y
25xlogu
22
5
Ответы: 1). 19y
25x 22
≠+ 2). 19y
25x 22
≠− 3). 19y
25x 22
>+
4). 19y
25x 22
≥− 5). ( ) Ry,x ∈
27
Номер: 1.29.А
Задача: Найти область определения функции 422
19y
25xu −−=
Ответы: 1). 19y
25x 22
≠+ 2). 19y
25x 22
≠− 3). 19y
25x 22
>+
4). 19y
25x 22
≥− 5). ( ) Ry,x ∈
Номер: 1.30.А
Задача: Найти область определения функции 522
19y
25xu −−=
Ответы: 1). 19y
25x 22
≠+ 2). 19y
25x 22
≠− 3). 19y
25x 22
>+
4). 19y
25x 22
≥− 5). ( ) Ry,x ∈
Номер: 1.31.B
Задача: Найти область определения функции 4y36x8y9x4
ex2u 22
y3
+−−++
=
Ответы: 1).
4
1 4
2
y
x0 2−
O′
2).
0 x
y
28
3).
4
1 4
2
y
x 0 2−
O′
где ( )2;1O′ 4).
4
1 4
2
y
x 02−
O′
5).
y
0 x
O′
где ( )2;1O′
Номер: 1.32.B Задача: Найти область определения функции
7 22 4y36x8y9x104u +−−+=
Ответы: 1).
4
1 4
2
y
x0 2−
O′
2).
0 x
y
3).
4
1 4
2
y
x 0 2−
O′
где ( )2;1O′ 4).
4
1 4
2
y
x 02−
O′
29
5).
y
0x
O′
где ( )2;1O′
Номер: 1.33.B Задача: Найти область определения функции
( )y36x8y9x44logu 2221 ++−−=
Ответы: 1).
4
1 4
2
y
x0 2−
O′
2).
0 x
y
3).
4
1 4
2
y
x0 2−
O′
где ( )2;1O′ 4).
4
1 4
2
y
x02−
O′
5).
y
0x
O′
где ( )2;1O′
30
Номер: 1.34.B Задача: Найти область определения функции
( ) xy24y36x8y9x4u6122 +++−−=
Ответы: 1).
4
1 4
2
y
x0 2−
O′
2).
0 x
y
3).
4
1 4
2
y
x 0 2−
O′
где ( )2;1O′ 4).
4
1 4
2
y
x 02−
O′
5).
y
0 x
O′
где ( )2;1O′
31
Номер: 1.35.B Задача: Найти область определения функции
( ) 32225 yx68y36x8y9x4logu −+−+−−=
Ответы: 1).
4
1 4
2
y
x0 2−
O′
2).
0 x
y
3).
4
1 4
2
y
x0 2−
O′
где ( )2;1O′ 4).
4
1 4
2
y
x02−
O′
5).
y
0x
O′
где ( )2;1O′
32
Номер: 1.36.С
Задача: Найти область определения функции ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= 2y
x8arcsinu
Ответы: 1).
x
y
2).
x
y
3).
x
y
4).
x
y
5).
y
x
33
Номер: 1.37.С
Задача: Найти область определения функции ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= 2x
y8arccosu
Ответы: 1).
x
y
2).
x
y
3).
x
y
4).
x
y
5).
y
x
34
Номер: 1.38.С
Задача: Найти область определения функции 4 22 x8yyx8u ++−=
Ответы: 1).
x
y
2).
x
y
3).
x
y
4).
x
y
5).
y
x
35
Номер: 1.39.С Задача: Найти область определения функции
( ) ( )y8xlogxy8logu 22
25 ++−=
Ответы: 1).
x
y
2).
x
y
3).
x
y
4).
x
y
5).
y
x
36
Номер: 1.40.С
Задача: Найти область определения функции ( )22
4 2yx8log
yx81x4u −−+
−
+=
Ответы: 1).
x
y
2).
x
y
3).
x
y
4).
x
y
5).
y
x
37
Номер: 1.41.C
Задача: Найти область определения функции 22
22
yx2xyx2xu
+−++
=
Ответы: 1).
y
x
1
2−
22− 0
2).
y
x
1
2−
22− 0
3).
y
x
2−
1 22−
2−
4− 4
2
4).
y
x
2−
2−
2−
4−
2
5).
y
x
1
2−
2 0
38
Номер: 1.42.C
Задача: Найти область определения функции 422
22
yx2xyx2xu
+++−
=
Ответы: 1).
y
x
1
2−
22− 0
2).
y
x
1
2−
2 2− 0
3).
y
x
2−
1 22−
2−
4− 4
2
4).
y
x
2−
2−
2−
4−
2
5).
y
x
1
2−
2 0
39
Номер: 1.43.C
Задача: Найти область определения функции 622
22
yx4xyx4xu
+−++
=
Ответы: 1).
y
x
1
2−
22− 0
2).
y
x
1
2−
22− 0
3).
y
x
2−
1 22−
2−
4− 4
2
4).
y
x
2−
2−
2−
4−
2
5).
y
x
1
2−
2 0
40
Номер: 1.44.C
Задача: Найти область определения функции 522
22
yx4xyx4xu
+++−
=
Ответы: 1).
y
x
1
2−
22− 0
2).
y
x
1
2−
2 2− 0
3).
y
x
2−
1 22−
2−
4− 4
2
4).
y
x
2−
2−
2−
4−
2
5).
y
x
1
2−
2 0
41
Номер: 1.45.C
Задача: Найти область определения функции 722
22
yx2xyx4xu
+−++
=
Ответы: 1).
y
x
1
2−
22− 0
2).
y
x
1
2−
22− 0
3).
y
x
2−
1 22−
2−
4− 4
2
4).
y
x
2−
2−
2−
4−
2
5).
y
x
1
2−
2 0
42
Номер: 1.46.C
Задача: Найти область определения функции 22
22
xy6yxy6yu
+−++
=
Ответы: 1).
6
y
x33−
3−
6−
3
2).
6
y
x3 3−
3−
6−
3
3).
6
y
x3 3− 6
3
43
4).
6
y
x33−
3−
6−
3
5).
6
y
x33− 6
3
Номер: 1.47.C
Задача: Найти область определения функции 622
22
xy6yxy6yu
+++−
=
Ответы: 1).
6
y
x33−
3−
6−
3
45
Номер: 1.48.C Задача: Найти область определения функции
( ) ( )225
224 yx6xlogxy6ylogu +−+−+−=
Ответы: 1).
6
y
x33−
3−
6−
3
2).
6
y
x33−
3−
6−
3
3).
6
y
x3 3− 6
3
46
4).
6
y
x3 3−
3−
6−
3
5).
6
y
x3 3− 6
3
Номер: 1.49.C Задача: Найти область определения функции
( ) ( )224
222 xy6ylogxy6ylogu ++++−=
Ответы: 1).
6
y
x33−
3−
6−
3
48
Номер: 1.50.C Задача: Найти область определения функции
2 224 22 xy6yyx6xu −+−++−=
Ответы: 1).
6
y
x33−
3−
6−
3
2).
6
y
x3 3−
3−
6−
3
3).
6
y
x3 3− 6
3
49
4).
6
y
x33−
3−
6−
3
5).
6
y
x33− 6
3
Номер: 1.51.А
Задача: Область определения функции ( )y,xfz = - это область изменения:
Ответы: 1). независимых переменных x и y
2). независимой переменной x 3). независимой переменной y
4). переменной z 5). переменных z,y,x
Номер: 1.52.А
Задача: Для табличного способа задания функции двух переменных ( )y,xfz =
приходится применять таблицу: Ответы:1). с одним входом 2). с двумя входами 3). с тремя входами 4). функцию ( )y,xfz = табличным способом задать нельзя
5). количество входов не имеет значения.
Номер: 1.53.А Задача: Линии уровня функции ( )y,xfz = получаются при проектировании
линии пересечения поверхности ( )y,xfz = плоскостями параллельными
плоскости: Ответы: 1). x0z 2). z0y 3). y0x
50
4). любой из плоскостей ;y0x ;z0y x0z 5). таких линий нет
Номер:1.54.А
Задача: Областью определения функции трех переменных ( )z,y,xfu = служит:
Ответы: 1). область изменения переменных y,x
2). область изменения переменных z,y
3). область изменения переменных y,z
4). все пространство аргументов z,y,x
5). такого понятия нет
Номер: 1.55.А Задача: Поверхностью уровня функции ( )z,y,xuu = называется такая
поверхность ( ) сz,y,xf = , в точках которой данная функция имеет
Ответы: 1). 0u = 2). переменное значение u 3). максимальное значение 4). значение eu ≠ 5). постоянное значение сu =
51
2. Предел функции )M(fu = . Непрерывность.
Номер: 2.1.А Задача: Исследовать функцию ( )Mfu = на непрерывность:
1yxxyu 22 −+−= Ответы: 1).функция непрерывна при любых ( ) Ry,x ∈ 2).функция
непрерывна при любых ( ) Ry,x ∈ , кроме точек параболы 0x4y2 =− 3).функция непрерывна при любых ( ) Ry,x ∈ , кроме точек прямой 0x2y =+ 4).функция непрерывна при любых ( ) Ry,x ∈ , кроме точек оси Ox 5).функция непрерывна при любых ( ) Ry,x ∈ , кроме точек параболы
04y2x 2 =−−
Номер: 2.2.А
Задача: Исследовать функцию ( )Mfu = на непрерывность: x4y
4y2xu 2
2
−−−
=
Ответы: 1).функция непрерывна при любых ( ) Ry,x ∈ 2).функция
непрерывна при любых ( ) Ry,x ∈ , кроме точек параболы 0x4y2 =− 3).функция непрерывна при любых ( ) Ry,x ∈ , кроме точек прямой 0x2y =+ 4).функция непрерывна при любых ( ) Ry,x ∈ , кроме точек оси Ox 5).функция непрерывна при любых ( ) Ry,x ∈ , кроме точек параболы
04y2x 2 =−−
Номер: 2.3.А
Задача: Исследовать функцию ( )Mfu = на непрерывность: yx2
y3u+
=
Ответы: 1).функция непрерывна при любых ( ) Ry,x ∈ 2).функция
непрерывна при любых ( ) Ry,x ∈ , кроме точек параболы 0x4y2 =− 3).функция непрерывна при любых ( ) Ry,x ∈ , кроме точек прямой 0x2y =+ 4).функция непрерывна при любых ( ) Ry,x ∈ , кроме точек оси Ox 5).функция непрерывна при любых ( ) Ry,x ∈ , кроме точек параболы
04y2x 2 =−−
Номер: 2.4.А
Задача: Исследовать функцию ( )Mfu = на непрерывность: 2y5yx2u +
=
52
Ответы: 1).функция непрерывна при любых ( ) Ry,x ∈ 2).функция
непрерывна при любых ( ) Ry,x ∈ , кроме точек параболы 0x4y2 =− 3).функция непрерывна при любых ( ) Ry,x ∈ , кроме точек прямой 0x2y =+ 4).функция непрерывна при любых ( ) Ry,x ∈ , кроме точек оси Ox 5).функция непрерывна при любых ( ) Ry,x ∈ , кроме точек параболы
04y2x 2 =−−
Номер: 2.5.А
Задача: Исследовать функцию ( )Mfu = на непрерывность: 4y2x
x4yu 2
2
−−−
=
Ответы: 1).функция непрерывна при любых ( ) Ry,x ∈ 2).функция
непрерывна при любых ( ) Ry,x ∈ , кроме точек параболы 0x4y2 =− 3).функция непрерывна при любых ( ) Ry,x ∈ , кроме точек прямой 0x2y =+ 4).функция непрерывна при любых ( ) Ry,x ∈ , кроме точек оси Ox 5).функция непрерывна при любых ( ) Ry,x ∈ , кроме точек параболы
04y2x 2 =−−
Номер: 2.6.А
Задача: Исследовать функцию ( )Mfu = на непрерывность: 2
2
x1yxu +−
=
Ответы: 1).функция непрерывна при любых ( ) Ry,x ∈ , кроме точек оси Oy 2).функция непрерывна при любых ( ) Ry,x ∈ , кроме точек параболы
01yx 2 =+− 3).функция непрерывна при любых ( ) Ry,x ∈ , кроме точек оси Ox 4).функция непрерывна при любых ( ) Ry,x ∈ , кроме точек окружности
04yx 22 =−+ 5).функция непрерывна при любых ( ) Ry,x ∈
Номер: 2.7.А
Задача: Исследовать функцию ( )Mfu = на непрерывность: 1yx
x3u 2
2
+−=
Ответы: 1).функция непрерывна при любых ( ) Ry,x ∈ , кроме точек оси Oy 2).функция непрерывна при любых ( ) Ry,x ∈ , кроме точек параболы
01yx 2 =+− 3).функция непрерывна при любых ( ) Ry,x ∈ , кроме точек оси Ox 4).функция непрерывна при любых ( ) Ry,x ∈ , кроме точек окружности
04yx 22 =−+ 5).функция непрерывна при любых ( ) Ry,x ∈
53
Номер: 2.8.А Задача: Исследовать функцию ( )Mfu = на непрерывность:
2
22
y4y4x4u −+
=
Ответы: 1).функция непрерывна при любых ( ) Ry,x ∈ , кроме точек оси Oy 2).функция непрерывна при любых ( ) Ry,x ∈ , кроме точек параболы
01yx 2 =+− 3).функция непрерывна при любых ( ) Ry,x ∈ , кроме точек оси Ox 4).функция непрерывна при любых ( ) Ry,x ∈ , кроме точек окружности
04yx 22 =−+ 5).функция непрерывна при любых ( ) Ry,x ∈
Номер: 2.9.А
Задача: Исследовать функцию ( )Mfu = на непрерывность: 4yx
y5u 22
2
−+=
Ответы: 1).функция непрерывна при любых ( ) Ry,x ∈ , кроме точек оси Oy 2).функция непрерывна при любых ( ) Ry,x ∈ , кроме точек параболы
01yx 2 =+− 3).функция непрерывна при любых ( ) Ry,x ∈ , кроме точек оси Ox 4).функция непрерывна при любых ( ) Ry,x ∈ , кроме точек окружности
04yx 22 =−+ 5).функция непрерывна при любых ( ) Ry,x ∈
Номер: 2.10.А Задача: Исследовать функцию ( )Mfu = на непрерывность: ( )xysinu = Ответы: 1).функция непрерывна при любых ( ) Ry,x ∈ , кроме точек оси Oy 2).функция непрерывна при любых ( ) Ry,x ∈ , кроме точек параболы
01yx 2 =+− 3).функция непрерывна при любых ( ) Ry,x ∈ , кроме точек оси Ox 4).функция непрерывна при любых ( ) Ry,x ∈ , кроме точек окружности
04yx 22 =−+ 5).функция непрерывна при любых ( ) Ry,x ∈
Номер: 2.11.А Задача: Исследовать функцию ( )Mfu = на непрерывность: ( )yxcosu += Ответы: 1).функция непрерывна при любых ( ) Ry,x ∈ 2).функция непрерывна при любых ( ) 1yx:y,x ≥+ 3).функция непрерывна при любых ( ) Ry,x ∈ , кроме точек ( ) 1yx:y,x =+ 4).функция непрерывна при любых ( ) Ry,x ∈ , кроме точек оси Ox 5).функция непрерывна при любых ( ) Ry,x ∈ , кроме точек оси Oy
54
Номер: 2.12.А Задача: Исследовать функцию ( )Mfu = на непрерывность: 1yxu −+= Ответы: 1).функция непрерывна при любых ( ) Ry,x ∈ 2).функция непрерывна при любых ( ) 1yx:y,x ≥+ 3).функция непрерывна при любых ( ) Ry,x ∈ , кроме точек ( ) 1yx:y,x =+ 4).функция непрерывна при любых ( ) Ry,x ∈ , кроме точек оси Ox 5).функция непрерывна при любых ( ) Ry,x ∈ , кроме точек оси Oy
Номер: 2.13.А
Задача: Исследовать функцию ( )Mfu = на непрерывность: yx1
x5u−−
=
Ответы: 1).функция непрерывна при любых ( ) Ry,x ∈ 2).функция непрерывна при любых ( ) 1yx:y,x ≥+ 3).функция непрерывна при любых ( ) Ry,x ∈ , кроме точек ( ) 1yx:y,x =+ 4).функция непрерывна при любых ( ) Ry,x ∈ , кроме точек оси Ox 5).функция непрерывна при любых ( ) Ry,x ∈ , кроме точек оси Oy
Номер: 2.14.А
Задача: Исследовать функцию ( )Mfu = на непрерывность: 2yy4x44u −−
=
Ответы: 1).функция непрерывна при любых ( ) Ry,x ∈ 2).функция непрерывна при любых ( ) 1yx:y,x ≥+ 3).функция непрерывна при любых ( ) Ry,x ∈ , кроме точек ( ) 1yx:y,x =+ 4).функция непрерывна при любых ( ) Ry,x ∈ , кроме точек оси Ox 5).функция непрерывна при любых ( ) Ry,x ∈ , кроме точек оси Oy
Номер: 2.15.А
Задача: Исследовать функцию ( )Mfu = на непрерывность: x
x7y7u +=
Ответы: 1).функция непрерывна при любых ( ) Ry,x ∈ 2).функция непрерывна при любых ( ) 1yx:y,x ≥+ 3).функция непрерывна при любых ( ) Ry,x ∈ , кроме точек ( ) 1yx:y,x =+ 4).функция непрерывна при любых ( ) Ry,x ∈ , кроме точек оси Ox 5).функция непрерывна при любых ( ) Ry,x ∈ , кроме точек оси Oy
55
Номер: 2.16.А Задача: Исследовать функцию ( )Mfu = на непрерывность:
( )144y9x16sinu 22 −−= Ответы: 1).функция непрерывна во всех точках плоскости Oxy 2).функция непрерывна во всех точках плоскости Oxy , кроме точек гиперболы ( ( ) 4b;3a;0;0O ==′ ) 3).функция непрерывна во всех точках плоскости Oxy , кроме точек гиперболы ( ( ) 3b;4a;0;0O ==′ ) 4).функция непрерывна во всех точках плоскости Oxy , кроме точек расположенных на эллипсе и внутри него (с центром ( )0;0O′ и полуосями 3b;4a == ) 5).функция непрерывна только в точках ( )y,x , расположенных внутри эллипса ( ( )0;0O′ ,
3b;4a == )
Номер: 2.17.А Задача: Исследовать функцию ( )Mfu = на непрерывность:
144y9x16xu 22 −−
=
Ответы: 1).функция непрерывна во всех точках плоскости Oxy 2).функция непрерывна во всех точках плоскости Oxy , кроме точек гиперболы ( ( ) 4b;3a;0;0O ==′ ) 3).функция непрерывна во всех точках плоскости Oxy , кроме точек гиперболы ( ( ) 3b;4a;0;0O ==′ ) 4).функция непрерывна во всех точках плоскости Oxy , кроме точек расположенных на эллипсе и внутри него (с центром ( )0;0O′ и полуосями 3b;4a == ) 5).функция непрерывна только в точках ( )y,x , расположенных внутри эллипса ( ( )0;0O′ ,
3b;4a == )
Номер: 2.18.А Задача: Исследовать функцию ( )Mfu = на непрерывность:
144y9x16yu 22 −+
=
Ответы: 1).функция непрерывна во всех точках плоскости Oxy 2).функция непрерывна во всех точках плоскости Oxy , кроме точек гиперболы ( ( ) 4b;3a;0;0O ==′ ) 3).функция непрерывна во всех точках плоскости Oxy , кроме точек гиперболы ( ( ) 3b;4a;0;0O ==′ ) 4).функция непрерывна во всех точках плоскости Oxy , кроме точек расположенных на эллипсе и внутри него (с центром ( )0;0O′ и полуосями 3b;4a == ) 5).функция
56
непрерывна только в точках ( )y,x , расположенных внутри эллипса ( ( )0;0O′ , 3b;4a == )
Номер: 2.19.А
Задача: Исследовать функцию ( )Mfu = на непрерывность:
( )144y16x9logu 222 −+=
Ответы: 1).функция непрерывна во всех точках плоскости Oxy 2).функция непрерывна во всех точках плоскости Oxy , кроме точек гиперболы ( ( ) 4b;3a;0;0O ==′ ) 3).функция непрерывна во всех точках плоскости Oxy , кроме точек гиперболы ( ( ) 3b;4a;0;0O ==′ ) 4).функция непрерывна во всех точках плоскости Oxy , кроме точек расположенных на эллипсе и внутри него (с центром ( )0;0O′ и полуосями 3b;4a == ) 5).функция непрерывна только в точках ( )y,x , расположенных внутри эллипса ( ( )0;0O′ ,
3b;4a == )
Номер: 2.20.А Задача: Исследовать функцию ( )Mfu = на непрерывность:
( )224 y16x9144logu −−=
Ответы: 1).функция непрерывна во всех точках плоскости Oxy 2).функция непрерывна во всех точках плоскости Oxy , кроме точек гиперболы ( ( ) 4b;3a;0;0O ==′ ) 3).функция непрерывна во всех точках плоскости Oxy , кроме точек гиперболы ( ( ) 3b;4a;0;0O ==′ ) 4).функция непрерывна во всех точках плоскости Oxy , кроме точек расположенных на эллипсе и внутри него (с центром ( )0;0O′ и полуосями 3b;4a == ) 5).функция непрерывна только в точках ( )y,x , расположенных внутри эллипса ( ( )0;0O′ ,
3b;4a == )
Номер: 2.21.А Задача: Исследовать функцию ( )Mfu = на непрерывность:
( )400y25x16cosu 22 −+= Ответы: 1).функция непрерывна во всех точках ( )y;x плоскости Oxy 2).функция непрерывна во всех точках ( )y;x плоскости Oxy , кроме точек эллипса ( ) 4b;5a;0;0O ==′ 3).функция непрерывна во всех точках ( )y;x плоскости Oxy , кроме точек гиперболы ( ) 4b;5a;0;0O ==′ 4).функция непрерывна только в точках ( )y;x эллипса ( ( )0;0O′ и полуосями
4b;5a == )и внутри него 5).функция непрерывна во всех точках ( )y;x
57
плоскости Oxy , кроме точек, расположенных внутри эллипса ( ( )0;0O′ , 4b;5a == )
Номер: 2.22.В
Задача: Исследовать функцию ( )Mfu = на непрерывность:
400y25x16yxu 22 −+
+=
Ответы: 1).функция непрерывна во всех точках ( )y;x плоскости Oxy 2).функция непрерывна во всех точках ( )y;x плоскости Oxy , кроме точек эллипса ( ) 4b;5a;0;0O ==′ 3).функция непрерывна во всех точках ( )y;x плоскости Oxy , кроме точек гиперболы ( ) 4b;5a;0;0O ==′ 4).функция непрерывна только в точках ( )y;x эллипса ( ( )0;0O′ и полуосями
4b;5a == )и внутри него 5).функция непрерывна во всех точках ( )y;x плоскости Oxy , кроме точек, расположенных внутри эллипса ( ( )0;0O′ ,
4b;5a == )
Номер: 2.23.В Задача: Исследовать функцию ( )Mfu = на непрерывность:
400y25x16xuu 22
2
−−==
Ответы: 1).функция непрерывна во всех точках ( )y;x плоскости Oxy 2).функция непрерывна во всех точках ( )y;x плоскости Oxy , кроме точек эллипса ( ) 4b;5a;0;0O ==′ 3).функция непрерывна во всех точках ( )y;x плоскости Oxy , кроме точек гиперболы ( ) 4b;5a;0;0O ==′ 4).функция непрерывна только в точках ( )y;x эллипса ( ( )0;0O′ и полуосями
4b;5a == )и внутри него 5).функция непрерывна во всех точках ( )y;x плоскости Oxy , кроме точек, расположенных внутри эллипса ( ( )0;0O′ ,
4b;5a == )
Номер: 2.24.В Задача: Исследовать функцию ( )Mfu = на непрерывность:
4 22 y25x16400u −−= Ответы: 1).функция непрерывна во всех точках ( )y;x плоскости Oxy 2).функция непрерывна во всех точках ( )y;x плоскости Oxy , кроме точек эллипса ( ) 4b;5a;0;0O ==′ 3).функция непрерывна во всех точках ( )y;x
58
плоскости Oxy , кроме точек гиперболы ( ) 4b;5a;0;0O ==′ 4).функция непрерывна только в точках ( )y;x эллипса ( ( )0;0O′ и полуосями
4b;5a == )и внутри него 5).функция непрерывна во всех точках ( )y;x плоскости Oxy , кроме точек, расположенных внутри эллипса ( ( )0;0O′ ,
4b;5a == )
Номер: 2.25.В Задача: Исследовать функцию ( )Mfu = на непрерывность:
( )400y25x16logu 225 −+=
Ответы: 1).функция непрерывна во всех точках ( )y;x плоскости Oxy 2).функция непрерывна во всех точках ( )y;x плоскости Oxy , кроме точек эллипса ( ) 4b;5a;0;0O ==′ 3).функция непрерывна во всех точках ( )y;x плоскости Oxy , кроме точек гиперболы ( ) 4b;5a;0;0O ==′ 4).функция непрерывна только в точках ( )y;x эллипса ( ( )0;0O′ и полуосями
4b;5a == )и внутри него 5).функция непрерывна во всех точках ( )y;x плоскости Oxy , кроме точек, расположенных внутри эллипса ( ( )0;0O′ ,
4b;5a == )
Номер: 2.26.В Задача: Исследовать функцию ( )Mfu = на непрерывность: 45y9xu 22 −+= Ответы: 1).функция непрерывна во всех точках ( )y;x плоскости Oxy 2).функция непрерывна во всех точках ( )y;x плоскости Oxy , кроме точек эллипса ( ) 5b;45a;0;0O ==′ 3).функция непрерывна во всех точках ( )y;x плоскости Oxy , кроме точек гиперболы ( ) 5b;45a;0;0O ==′ 4).функция непрерывна только в точках ( )y;x эллипса ( ( ) 5b;45a;0;0O ==′ ) и внутри него 5).функция непрерывна во всех точках ( )y;x плоскости Oxy , кроме точек, расположенных внутри эллипса ( ( ) 5b;45a;0;0O ==′ )
Номер: 2.27.В Задача: Исследовать функцию ( )Mfu = на непрерывность:
45y9xx4u 22 −+
=
Ответы: 1).функция непрерывна во всех точках ( )y;x плоскости Oxy 2).функция непрерывна во всех точках ( )y;x плоскости Oxy , кроме точек эллипса ( ) 5b;45a;0;0O ==′ 3).функция непрерывна во всех точках ( )y;x
59
плоскости Oxy , кроме точек гиперболы ( ) 5b;45a;0;0O ==′ 4).функция непрерывна только в точках ( )y;x эллипса ( ( ) 5b;45a;0;0O ==′ ) и внутри него 5).функция непрерывна во всех точках ( )y;x плоскости Oxy , кроме точек, расположенных внутри эллипса ( ( ) 5b;45a;0;0O ==′ )
Номер: 2.28.В Задача: Исследовать функцию ( )Mfu = на непрерывность:
45y9xy4u 22 −−
=
Ответы: 1).функция непрерывна во всех точках ( )y;x плоскости Oxy 2).функция непрерывна во всех точках ( )y;x плоскости Oxy , кроме точек эллипса ( ) 5b;45a;0;0O ==′ 3).функция непрерывна во всех точках ( )y;x плоскости Oxy , кроме точек гиперболы ( ) 5b;45a;0;0O ==′ 4).функция непрерывна только в точках ( )y;x эллипса ( ( ) 5b;45a;0;0O ==′ ) и внутри него 5).функция непрерывна во всех точках ( )y;x плоскости Oxy , кроме точек, расположенных внутри эллипса ( ( ) 5b;45a;0;0O ==′ )
Номер: 2.29.В Задача: Исследовать функцию ( )Mfu = на непрерывность: g Ответы: 1).функция непрерывна во всех точках ( )y;x плоскости Oxy 2).функция непрерывна во всех точках ( )y;x плоскости Oxy , кроме точек эллипса ( ) 5b;45a;0;0O ==′ 3).функция непрерывна во всех точках ( )y;x плоскости Oxy , кроме точек гиперболы ( ) 5b;45a;0;0O ==′ 4).функция непрерывна только в точках ( )y;x эллипса ( ( ) 5b;45a;0;0O ==′ ) и внутри него 5).функция непрерывна во всех точках ( )y;x плоскости Oxy , кроме точек, расположенных внутри эллипса ( ( ) 5b;45a;0;0O ==′ )
Номер: 2.30.В Задача: Исследовать функцию ( )Mfu = на непрерывность:
)45y9x(logu 227 −+=
Ответы: 1).функция непрерывна во всех точках ( )y;x плоскости Oxy 2).функция непрерывна во всех точках ( )y;x плоскости Oxy , кроме точек эллипса ( ) 5b;45a;0;0O ==′ 3).функция непрерывна во всех точках ( )y;x плоскости Oxy , кроме точек гиперболы ( ) 5b;45a;0;0O ==′ 4).функция непрерывна только в точках ( )y;x эллипса ( ( ) 5b;45a;0;0O ==′ ) и внутри
60
него 5).функция непрерывна во всех точках ( )y;x плоскости Oxy , кроме точек, расположенных внутри эллипса ( ( ) 5b;45a;0;0O ==′ )
Номер: 2.31.С
Задача: Вычислить предел функции ( )yxytglim
0yax
→→
Ответы: 1).a 2).0 3).a1
4).1 5). 2a1
Номер: 2.32.С
Задача: Вычислить предел функции ( )
yxyarcsinlim
ay0x
→→
Ответы: 1).a 2).0 3).a1
4).1 5). 2a1
Номер: 2.33.С
Задача: Вычислить предел функции ( )хxysinlim
a1
y
0x
→
→
Ответы: 1).a 2).0 3).a1
4).1 5). 2a1
Номер: 2.34.С
Задача: Вычислить предел функции ( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
⋅+∞→∞→ yx
aarctgyxa1lim
yx
Ответы: 1).a 2).0 3).a1
4).1 5). 2a1
Номер: 2.35.С
Задача: Вычислить предел функции ( )2
2
ay0x xy
axysin
lim⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
→→
Ответы: 1).a 2).0 3).a1
4).1 5). 2a1
61
Номер: 2.36.С
Задача: Вычислить предел функции ( )( )( )( )ayxarcsin
yxasinlim0y0x +
+
→→
Ответы: 1).1 2).a1
3).a 4).0 5).∞
Номер: 2.37.С
Задача: Вычислить предел функции ( ) ( )xyctg
axylim
ay0x
⋅→→
Ответы: 1).1 2).a1
3).a 4).0 5).∞
Номер: 2.38.С
Задача: Вычислить предел функции ( )xyarctgxyalim
0yax
⋅→→
Ответы: 1).1 2).a1
3).a 4).0 5).∞
Номер: 2.39.С
Задача: Вычислить предел функции ( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅
∞→∞→ xy
1arcsinaxlimyx
Ответы: 1).1 2).a1
3).a 4).0 5).∞
Номер: 2.40.С
Задача: Вычислить предел функции ( )( ) xyxy
axysinlim 20y0x +
→→
Ответы: 1).1 2).a1
3).a 4).0 5).∞
Номер: 2.41.С
Задача: Вычислить предел функции ( ) ( )( ) ( )xybxyb
axyaxyalim
22
1
322
1
yx +
++
∞→∞→
Ответы: 1).1
1
ba
2).0 3).∞ 4).1 5).1
1
ab
62
Номер: 2.42.С
Задача: Вычислить предел функции ( )
( ) ( ) 322
1
21
yx bxybxyb
axyalim
++
+
∞→∞→
Ответы: 1).1
1
ba
2).0 3).∞ 4).1 5).1
1
ab
Номер: 2.43.С
Задача: Вычислить предел функции ( ) ( )
( ) 21
322
1
yx bxyb
axyaxyalim
+++
∞→∞→
Ответы: 1).1
1
ba
2).0 3).∞ 4).1 5).1
1
ab
Номер: 2.44.С
Задача: Вычислить предел функции ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅
∞→→ xy
bsinbxylim 1
1yax 1
Ответы: 1).1
1
ba
2).0 3).∞ 4).1 5).1
1
ab
Номер: 2.45.С
Задача: Вычислить предел функции ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
⋅+
∞→∞→ yx
barctga
yxlim 1
1yx
Ответы: 1).1
1
ba
2).0 3).∞ 4).1 5).1
1
ab
Номер: 2.46.С
Задача: Вычислить предел функции ( ) ( )
( ) ( )yxbyxbayxayxa
lim 22
21
32
222
1
yx +
++
∞→∞→
Ответы: 1).1
1
ba
2).0 3).∞ 4).12
2
bab⋅
5).3
1
ba
Номер: 2.47.С
Задача: Вычислить предел функции ( )
( ) ( ) 32
24
1
22
1
ayx bxybxyb
axyalim
3++
+
→∞→
63
Ответы: 1).1
1
ba
2).0 3).∞ 4).12
2
bab⋅
5).3
1
ba
Номер: 2.48.С
Задача: Вычислить предел функции ( ) ( )
( ) 23
1
33
26
1
ybx bxyb
axyaxyalim
3 +
++
∞→→
Ответы: 1).1
1
ba
2).0 3).∞ 4).12
2
bab⋅
5).3
1
ba
Номер: 2.49.С
Задача: Вычислить предел функции ( )⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅
∞→→ xya
btg
bxylim
2
2
1ybx 3
Ответы: 1).1
1
ba
2).0 3).∞ 4).12
2
bab⋅
5).3
1
ba
Номер: 2.50.С
Задача: Вычислить предел функции ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
+
→∞→ yx
aarcsinb
yxlim 1
3byx
2
Ответы: 1).1
1
ba
2).0 3).∞ 4).12
2
bab⋅
5).3
1
ba
Номер: 2.51.С
Задача: Вычислить предел функции a
yx
yx yx
a1lim
+
∞→∞→ ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
+
Ответы: 1).e 2). ae 3). a e 4).a1
5).1
Номер: 2.52.С
Задача: Вычислить предел функции xy
ybx xy
a1lim ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
∞→→
Ответы: 1).e 2). ae 3). a e 4).a1
5).1
64
Номер: 2.53.С
Задача: Вычислить предел функции ( )axy1
0ybx
xy1lim +→→
Ответы: 1).e 2). ae 3). a e 4).a1
5).1
Номер: 2.54.С
Задача: Вычислить предел функции ( )xy1lnaxy1lim
by0x
+⋅→→
Ответы: 1).e 2). ae 3). a e 4).a1
5).1
Номер: 2.55.С
Задача: Вычислить предел функции ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⋅
⋅
∞→→ xy
b1lnb
yxlimy
ax
Ответы: 1).e 2). ae 3). a e 4).a1
5).1
Номер: 2.56.А
Задача: Функция ( )Mfz = называется непрерывной в точке 0M , если она определена в точке 0M и ее окрестности, и имеет место условие: Ответы: 1). ( ) 0Mflim
0MM=
→ 2). ( ) ( )0MM
MfMflim0
=→
3). ( ) ∞=→
Mflim0MM
4). ( ) ( )00MMfMflim =
→ 5). ( ) 0Mflim
M=
∞→
65
3. Частные производные первого порядка функции )M(fu = .
Номер: 3.1.А Задача: Задана функция 256 yx3yxz ⋅⋅−+= . Найти xz′ .
Ответы: 1). 25x y3x6z −=′ 2). yx6y5z 4
x −=′ 3). 2x y3z −=′
4). 245x y3y5x6z −+=′ 5). xy6y5x6z 45
x −+=′
Номер: 3.2.А Задача: Задана функция 24 yx3xyz ++= . Найти yz′ .
Ответы: 1). 2y yyz +=′ 2). 3
y x12yz +=′ 3). y2xz y +=′
4). y2x3xz 4y ++=′ 5). y2x12xz 3
y ++=′ Номер: 3.3.А
Задача: Задана функция x6xyyx4z 2 −+−= . Найти xz′ .
Ответы: 1). x6xyyx8z 2x −+−=′ 2). 6
xyyx8z 2x −−−=′ 3).
x1yx8z x +−=′
4).x1x4z 2
x +−=′ 5). 6xyyx8z 2x −+−=′
Номер: 3.4.А
Задача: Задана функция 22 y17xy9x7z +−= . Найти yz′ .
Ответы: 1). y34z y =′ 2). y34x9x14z y +−=′ 3). y34x9z y +−=′
4). 2y y17x9z +−=′ 5). y34y9z y +−=′
Номер: 3.5.А
Задача: Задана функция 32 xy1x
yz ⋅+−
= . Найти xz′ .
Ответы: 1). 22x yx3yz +=′ 2). 3
x xy21x
1z ⋅+−
=′ 3).( )
222x yx3
1xyz +−
=′
4).( )
222x xy3
1xyz +−
−=′ 5). 22x yx3yz +−=′
Номер: 3.6.В
Задача: Задана функция 2y
xarctgz−
= . Найти yz′ .
66
Ответы: 1).( ) 22y
x2y
2yz−−
−=′ 2). ( )( )2yx1
xz 2y−+
=′ 3).( ) 22y
x2yxz+−
−=′
4).( ) 22y
x2y1z+−
=′ 5).( ) ( )( )22y
x2y2yxz
+−−=′
Номер: 3.7.В
Задача: Задана функция y2xz −= . Найти xz′ .
Ответы: 1). xlnxz y2x ⋅−=′ − 2). ( ) y1
x xy2z −−=′ 3). xlnxz y2x ⋅=′ −
4). ( ) y3x xy2z −−=′ 5). ( )y2lnxz y2
x −⋅−=′ −
Номер: 3.8.А
Задача: Задана функция ( )x
1ycosz2 +
= . Найти yz′ .
Ответы: 1).( )x
1ysiny2z2
y+⋅
−=′ 2).( )
2
2
y x1ysin2z +
−=′ 3).( )
2
2
y x1ycosz +
−=′
4).( )
x1ysinz
2
y+
−=′ 5).( )
2
2
y x1ysinz +
=′
Номер: 3.9.А
Задача: Задана функция ( )22 yxlnz −= . Найти xz′ .
Ответы: 1). 22x yx1z−
=′ 2). 22x yxx2z−
=′ 3). 22x yxy2z
−−
=′ 4). 2x x1z =′
5).yx
1z x +=′
Номер: 3.10.А
Задача: Задана функция xcosyysinxz 22 += . Найти yz′ .
Ответы: 1). ( )xcosyysinx2z y +=′ 2). ( )xsinyycosx2z y −=′
3). xcosy2ycosxz 2y +=′ 4). xcosyycosxz 22
y +=′
5). ( )xcosysin2z y +=′ Номер: 3.11.А
Задача: Задана функция 33 yxyz−
= . Найти xz′ .
67
Ответы: 1).( )233
2
xyx
yx3z−
−=′ 2). 33
2
x yxyx3z
−=′ 3). 32x yx3
1z−
=′
4).( )233
33
xyx
y2xz−
+=′ 5).
( )233xyx
yz−
−=′
Номер: 3.12.А
Задача: Задана функция ( ) y13xyctgz −+−= . Найти yz′ .
Ответы: 1).( )
3ln3xy
1z y12y ⋅+
−=′ − 2).
( )( ) y
2y 3y1xysin
1z −⋅−+−
−=′
3).( )
3ln3xysin
1z y12y
−+−
−=′ 4).( )xysin1z 2y−
=′
5).( )
3ln3xysin
1z y12y ⋅−
−−=′ −
Номер: 3.13.А
Задача: Задана функция ( ) xyxyln2z 2 −+= . Найти xz′ .
Ответы: 1). yxy
2z 2x −+
=′ 2). yxyx4z 2x −+
=′ 3). yxyx2z 2x −
+=′
4). xxy
2z 2x −+
=′ 5). yxy
2z 2x −−
=′
Номер: 3.14.А
Задача: Задана функция ysinxz 22= . Найти yz′ .
Ответы: 1). ysinx4z y =′ 2). ysinx2z 2y =′ 3). y2sinxz 2
y =′
4). ycosxz 22y =′ 5). ysinz 2
y =′
Номер: 3.15.А
Задача: Задана функция 2xyz = . Найти xz′ .
Ответы: 1). 1x2x
2yxz −=′ 2). xlny2z
2xx ⋅=′ 3). ylnyz
2xx ⋅=′
4). ylnyx2z2x
x ⋅⋅=′ 5). 1x3x
2yx2z −⋅=′
Номер: 3.16.А
Задача: Задана функция 22 y5yxyxz −+= . Найти
yz∂∂
.
68
Ответы: 1). y10yxx
yz
22 −−=
∂∂
2). y10y1yx2
yz
−+=∂∂
3). xxyz 2 +=∂∂
4). y10yz
−=∂∂
5). 2y5y1y
yz
−+=∂∂
Номер: 3.17.А
Задача: Задана функция x6xyyx4z 2 −+−= . Найти
yz∂∂
.
Ответы: 1). 6x1x4
yz 2 −+−=∂∂
2). 6xyy4
yz
2 −−−=∂∂
3). 6xyxy8
yz
2 −+−=∂∂
4).x1x4
yz 2 +−=∂∂
5).нет правильного ответа
Номер: 3.18.B
Задача: Задана функция 22xy1y2xz +
−+
= . Найти xz∂∂
.
Ответы: 1). 2xy21y
2xz
+−
=∂∂
2). 2xy21y
1xz
+−
=∂∂
3).( )
22 yx2
1y2x
xz
+−+
=∂∂
4). 2yx21y
1xz
+−
=∂∂
5).нет правильного ответа
Номер: 3.19.В
Задача: Задана функция ( )1xy1y3xz 2 −+
−−
= . Найти yz∂∂
.
Ответы: 1).( )
22 y
1y3x
yz
+−−
=∂∂
2). 2y1y
1yz
+−
=∂∂
3).( )
( )1xy21y3x
yz
2 −+−−
−=∂∂
4). yx21y
1yz
+−
=∂∂
5).нет правильного ответа
Номер: 3.20.А
Задача: Задана функция x5yz −= . Найти yz∂∂
.
69
Ответы: 1). ( ) 5lnyx5yz x5 ⋅−=∂∂ − 2). ( ) x4yx5
yz −−=∂∂
3). 5lnyyz x5 ⋅=∂∂ −
4). x5yyz −=∂∂
5).нет правильного ответа
Номер: 3.21.А
Задача: Задана функция x5yz −= . Найти xz∂∂
.
Ответы: 1). 5lnyxz x5 ⋅=∂∂ − 2). x5y
xz −−=∂∂
3). ( ) x4yx5xz −−=∂∂
4).нет
правильного ответа 5). 5lnyxz x5 ⋅−=∂∂ −
Номер: 3.22.В
Задача: Задана функция ( ) xy
y1xsinz
2
++
= . Найти yz∂∂
.
Ответы: 1).( ) xy
1xcosyz
2
2
++
−=∂∂
2).( ) xy
1xsinyz
2
2
++
−=∂∂
3).( ) yy
1xcosx2yz 2
++
=∂∂
4).( ) x
y1xsin
yz 2
++
=∂∂
5).нет правильного ответа
Номер: 3.23.В
Задача: Задана функция ( ) yx63x2ytgz −+−= . Найти yz∂∂
.
Ответы: 1).( )
( ) yx52 3yx6
x2ycos2
yz −−+
−−=
∂∂
2).( )
3ln3xx2ysin
1yz yx6
2 ⋅⋅−−
−=∂∂ − 3).
( )3ln3x
x2ycos1
yz yx6
2 ⋅⋅−−
=∂∂ −
4).( )
( ) yx52 3yx6
x2ycos1
yz −−+
−−=
∂∂
5).нет правильного ответа
Номер: 3.24.В
Задача: Задана функция ( ) yx103xytgz −+−= . Найти xz∂∂
.
70
Ответы: 1).( )
3ln3yxycos
1xz yx10
2 ⋅⋅−−
−=∂∂ −
2).( )
3ln3yxysin
1xz yx10
2 ⋅⋅−−
=∂∂ − 3).
( )( ) yx9
2 3yx10xycos
1xz −⋅−+
−−=
∂∂
4).( )
( ) yx92 3yx10y
xysin1
xz −⋅−+
−=
∂∂
5).нет правильного ответа
Номер: 3.25.В
Задача: Задана функция xyx
y2z 3 −= . Найти
xz∂∂
.
Ответы: 1).xyx
yx2xz
3 −−=
∂∂
2).( )23
22
xyx
yx6y2xz
−
−=
∂∂
3).( )23 xyx
2xz
−=
∂∂
4).( )23
2
xyx
1y2xz
−
−=
∂∂
5).нет правильного ответа
Номер: 3.26.В
Задача: Задана функция ( ) xy2yxlnz 32 −+= . Найти yz∂∂
.
Ответы: 1). x2yx
1yz
32 −+
=∂∂
2). y2yx
x2yz
32 −+
=∂∂
3). xy2yx
1yz
32 −+
=∂∂
4). x2yx
y3yz
32
2
−+
=∂∂
5).нет правильного ответа
Номер: 3.27.А
Задача: Задана функция y1xz −= . Найти yz∂∂
.
Ответы: 1). xlnxyz y1 ⋅−=∂∂ − 2). ( ) xlnx1y
yz y ⋅⋅−=∂∂ − 3). y2xy
yz −⋅−=∂∂
4). ( ) yxy1yz −⋅−=∂∂
5).нет правильного ответа
Номер: 3.28.В
Задача: Задана функция ( ) y5xycosz −= . Найти xz∂∂
.
71
Ответы: 1). ( ) 5xysinyxz
−=∂∂
2). ( )xysinxz=
∂∂
3). ( )xysinyxz
−=∂∂
4). ( )xysinyxz=
∂∂
5).нет правильного ответа
Номер: 3.29.В
Задача: Задана функция ( ) x6xy71cosz +−= . Найти yz∂∂
.
Ответы: 1). ( )xy71sinx7yz
−=∂∂
2). ( ) x6xy71siny7yz
+−⋅−=∂∂
3). ( )xy71sinx7yz
−⋅−=∂∂
4). ( ) 6xy71sinx7yz
+−−=∂∂
5).нет правильного
ответа
Номер: 3.30.В
Задача: Задана функция ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
yxarcsinz . Найти
yz∂∂
.
Ответы: 1).22 xyy
1yz
−=
∂∂
2).22 xy
xyz
−=
∂∂
3).22 xyy
xyz
−−=
∂∂
4).22 yx
1yz
−=
∂∂
5).нет правильного ответа
Номер: 3.31.A
Задача: Частной производной функции ( )y,xfz = по переменной ,x в точке ( )y,xM называется предел (если такой существует) отношения:
Ответы: 1).xz
limxz y
0x Δ
Δ=
∂∂
→Δ 2).
xz
limxz x
0x ΔΔ
=∂∂
→Δ 3).
xz
limxz x
x ΔΔ
=∂∂
∞→Δ
4).xy
limxz x
0x ΔΔ
=∂∂
→Δ 5).
yz
limxz x
0y ΔΔ
=∂∂
→Δ
Номер: 3.32.A
Задача: Частной производной функции ( )y,xfz = по переменной y , в точке ( )y,xM называется предел (если такой существует) отношения:
72
Ответы: 1). ( ) ( )y
y,xfyy,xflimyz
0y Δ−Δ+
=∂∂
→Δ 2). ( ) ( )
xy,xfyy,xflim
yz
0x Δ−Δ+
=∂∂
→Δ
3). ( ) ( )y
y,xfy,xxflimyz
0y Δ−Δ+
=∂∂
→Δ 4). ( ) ( )
yy,xxfyy,xflim
yz
0y ΔΔ+−Δ+
=∂∂
→Δ
5). ( ) ( )yx
y,xfyy,xxflimyz
0y ΔΔ−Δ+Δ+
=∂∂
→Δ
73
4. Полный дифференциал первого порядка.
Номер: 4.1.А Задача: Задана функция ( )22 yxsinz += . Найти дифференциал функции. Ответы: 1). ( )22 yxcos2dz += 2). ( )( )ydyxdxyxcos2dz 22 ++=
3). ( )dxyxcosx2dz 22 += 4). ( )dyyxcosy2dz 22 += 5).нет правильного ответа
Номер: 4.2.В Задача: Задана функция yxz = . Найти дифференциал функции.
Ответы: 1). ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ += xdylndx
xyxdz y 2). dxyxdz 1y−= 3). xdylnxdz y=
4). xdylndxxydz += 5).нет правильного ответа
Номер: 4.3.А
Задача: Задана функция 3223 y2yx3xyz +−= . Найти дифференциал функции. Ответы: 1). ( ) ydy3dxx63ydz 2 +−= 2). ( )dxxy6ydz 23 −= 3). ( ) ( )dyy2x2yxy3dxx6yydz 22 +−+−= 4). 222 y6yx6xy3dz +−= 5).нет правильного ответа
Номер: 4.4.А
Задача: Найти полный дифференциал функции, если yxyxz
−+
= .
Ответы: 1). ydxxdy − 2).( )2yx
ydxxdy−+
3).( )2yx
xdy−
4).( )( )2yx
ydxxdy2−−
5).нет
правильного ответа
Номер: 4.5.В Задача: Задана функция ( )xysinz = . Найти дифференциал функции. Ответы: 1). ( ) ( )xycosydxxdydz += 2). ( )xdyxycosdz = 3). ( ) ( )xycosdxdydz += 4). ydxxdydz −= 5).нет правильного ответа
Номер: 4.6.А Задача: Задана функция xyzeu = . Найти дифференциал функции.
74
Ответы: 1). ( )xdzxdyzdxedu xyz ++= 2). ( )xydzxzdyyzdxedu xyz ++= 3). ( )zdzydyxdxedu xyz ++= 4). ( )zdzxdyydxedu xyz ++= 5).нет правильного ответа
Номер: 4.7.В Задача: Задана функция ( )xyarctgz = . Найти дифференциал функции.
Ответы: 1). 22 yx1xdxydydz
+−
= 2). 22 yx1ydxxdydz
++
= 3). 22 yx1dxdydz
++
=
4). 22 yx1xdxydydz
++
= 5).нет правильного ответа
Номер: 4.8.В
Задача: Задана функция yxyxarctgz
−+
= . Найти дифференциал функции.
Ответы: 1). 22 yxydxxdydz
++
= 2). 22 yxxdxydydz
++
= 3). ydyxdxdz +=
4). 22 yxydxxdydz
+−
= 5).нет правильного ответа
Номер: 4.9.А
Задача: Задана функция yx
yxu 2
3
−= . Найти дифференциал функции.
Ответы: 1). 3yxdydxdu +
= 2). 3ydydxdu −
=
3).( ) ( )
3
32
ydyx2xydxyx3du −+−
= 4).( )( )
3yxdydxyx2du −−
= 5).нет
правильного ответа
Номер: 4.10.В
Задача: Задана функция 2x1yarctgz+
= . Найти дифференциал функции.
75
Ответы: 1).( )222 x1y
dydxdz+
+= 2).
( )( ) 222
2
yx1
dyx1xydx2dz++
++−=
3).( )222 x1y
ydyxdxdz++
+= 4).
( )222 x1y
xdyydxdz++
−= 5).нет правильного ответа
Номер: 4.11.B
Задача: Задана функция ( )ylnxlnz += . Найти дифференциал функции.
Ответы: 1). ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
+=
ydydx
ylnx1dz 2). ( )dydx
ylnx1dz −+
=
3). ( )dydxylnx
1dz ++
= 4). ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+= dy
ydx
ylnx1dz 5).нет правильного
ответа
Номер: 4.12.В Задача: Задана функция xy2z = . Найти дифференциал функции. Ответы: 1). ( )ydyxdx2ln2dz xy +⋅= 2). ( )ydyxdx2dz xy +⋅=
3). ( )xdyydx2ln2dz xy +⋅= 4). ( )xdyydx2ln2dz xy −⋅= 5).нет правильного ответа
Номер: 4.13.В Задача: Задана функция xyz = . Найти дифференциал функции.
Ответы: 1). ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+= ydyln
ydxydz x 2). ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−= dy
yxdxxlnydz x
3). ( )ydyxdxydz x += 4). ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+= dy
yxydxlnydz x 5).нет правильного ответа
Номер: 4.14.В
Задача: Задана функция ( )1xycosz −= . Найти дифференциал функции. Ответы: 1). ( )( )ydyxdx1xysindz +−−= 2). ( )( )xdyydx1xysindz +−−= 3). ( )( )ydyxdx1xysindz +−= 4). ( )( )xdyydx1xysindz −−= 5).нет правильного ответа
Номер: 4.15.В
Задача: Задана функция yx
ez = . Найти дифференциал функции.
76
Ответы: 1). ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+= xdy
ydxedz y
x
2). ( )xdyydxey1dz y
x
2 −=
3). ( )dydxedz yx
+= 4). ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−= dy
yxdxedz y
x
5).нет правильного ответа
Номер: 4.16.В
Задача: Найти полный дифференциал функции, если yxarcsinz = .
Ответы: 1). ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−−= 222 y
dydxxy
1dz 2). ( )dydxxy
1dz22
−−
=
3). ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⋅−
−= 222 y
dyxdxxy
1dz 4). ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−−= dy
ydx
xy1dz 222
5).нет
правильного ответа
Номер: 4.17.А Задача: Найти полный дифференциал функции, если ( ) 7x21yz 2 +−= .
Ответы: 1). ( )dyx21y2dxy2dz 2 −+−= 2). ydy2dxy2dz 2 += 3). ( )dyx21dxydz 2 −+= 4). ( ) dyydxx21dz 2+−= 5).нет правильного ответа
Номер: 4.18.А Задача: Найти полный дифференциал функции, если 222 y5xyyxz +−= .
Ответы: 1). ( ) ( )dyy10xyx2dx1xy2ydz 2 +−+−= 2). ( ) ( )dyy10xdx1yydz 2 −+−= 3). ( ) xdydxy10xy2dz ++= 4). ( ) ( )dyy10xyx2dx1yydz 2 +−+−= 5).нет правильного ответа
Номер: 4.19.А Задача: Найти полный дифференциал функции, если ( )22
3 xy5logz −= .
Ответы: 1). 22
22
xy5dyxdxydz
−+
−= 2).( )
( ) 3lnxy5xdyydxxydz 22−
+=
3).( )
( ) 3lnxy5xdyydxxy2dz 22−
+−= 4). ( ) 3lnxy5
xdyydxdz 22−−
−= 5).нет правильного
ответа
77
Номер: 4.20.В
Задача: Найти полный дифференциал функции, если x
1yu −= .
Ответы: 1). dyx1dx
x1ydu 2 +
−= 2). ( )
xdydx1ydu +−= 3). ydxxdydu +=
4). dyx1dx
x1ydu 2 −
−= 5).нет правильного ответа
Номер: 4.21.А
Задача: Найти полный дифференциал функции, если 2xy5u −= .
Ответы: 1). xdydxydu 2 −= 2). xydy2dxydu 2 += 3). xdyydxdu += 4). xydy2dxydu 2 −−= 5).нет правильного ответа
Номер: 4.22.В Задача: Найти полный дифференциал функции, если ( ) 32 zy2xu ⋅⋅−= . Ответы: 1). ( )zdyxdyzdxyzdu ++= 2). ( ) dzz3dy2xy2dxydu 22 +−+=
3). ( ) ( )( )ydz2x3zdy2x2yzdxyzdu 2 −+−+= 4). ( ) dzzdyydx2xdu 32 ++−= 5).нет правильного ответа
Номер: 4.23.А
Задача: Найти полный дифференциал функции, если 22 yx
1z−
= .
Ответы: 1).( )
( )ydyxdxyx
1dz322
+−
= 2).( )
( )ydyxdxyx
1dz322
−−
=
3).( )
( )dydxyx
1dz322
+−
= 4).( )
( )xdxydyyx
1dz322
−−
= 5).нет
правильного ответа
Номер: 4.24.В
Задача: Найти полный дифференциал функции, если y2zy2zu
+−
= .
78
Ответы: 1).( )
( )zdyydzy2z
4du 2 −+
= 2).( )
( )zdyydzy2z
1du 2 −+
=
3).( )
( )zdyydzy2z
1du 2 ++
= 4).( )
( )zdyydzy2z
4du 2 −−
= 5).нет
правильного ответа
Номер: 4.25.А Задача: Задана функция 3exz y +⋅= . Найти дифференциал функции. Ответы: 1). ( )dydxedz y += 2). ( )dydxedz y −= 3). ( )xdydxedz y += 4). ( )dyxdxedz y += 5).нет правильного ответа
Номер: 4.26.А
Задача: Задана функция x13yz −⋅= . Найти дифференциал функции.
Ответы: 1). ( )dyydx3dz x1 += − 2). ( )dydx3dz x1 −= − 3). ( )dydx3ln3dz x1 += − 4). ( )dx3lnydy3dz x1 ⋅−= − 5).нет правильного ответа
Номер: 4.27.А Задача: Задана функция ( )xysinz 2 −= . Найти дифференциал функции. Ответы: 1). ( )( )dydxx2y2sindz −−= 2). ( )( )dxdyx2y2sindz −−= 3). ( )( )dydxx2y2cosdz +−= 4). ( )( )dxdyxycos2dz −−= 5).нет правильного ответа
Номер: 4.28.В
Задача: Задана функция υ
=ωuarcctg . Найти дифференциал функции.
Ответы: 1). ( )υυ−+υ
−=ω duduu
1d 22 2). ( )υ++υ
=ω dduu
1d 22
3). ( )dudu
1d 22 −υ+υ
−=ω 4). ( )duudu
1d 22 υ−υ+υ
=ω 5).нет
правильного ответа
Номер: 4.29.В Задача: Задана функция υ−=ω uu2
e . Найти дифференциал функции.
79
Ответы: 1). ( )( )υ−υ−=ω υ− udduu2ed uu2 2). ( )υ+υ−=ω υ− uddued uu2
3). ( )υυ+=ω υ− dduu2ed uu2 4). ( ) ( )( )υ−+υ−=ω υ− d1uuduu2ed 2uu2
5).нет правильного ответа
Номер: 4.30.В
Задача: Найти полный дифференциал функции, если yz
yx
eeu += .
Ответы: 1). dzedyeey1dxedu y
zyz
yx
2yx
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+−=
2). dzedyeey1dxe
y1du y
zyz
yx
2yx
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+−=
3). dzey1dye
yze
yxdxe
y1du y
zyz
2yx
2yx
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+−=
4). dzedyeedxedu y1
yz
yx
y1
22+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛++=
−−
5).нет правильного ответа
Номер: 4.31.В
Задача: Найти полный дифференциал функции, если 2xyz = .
Ответы: 1). ( )xdyydxln2ydz2x += 2). ( )xdy2ydxlnydz
2x +=
3). ( )dyxydxlnydz 2x2+= 4). ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+= dy
yxydxln2xydz
2x 5).нет
правильного ответа
Номер: 4.32.A Задача: Полный дифференциал du функции ( )z,y,xfu = равен:
Ответы: 1). dzzudy
yudx
xudu
∂∂
+∂∂
+∂∂
= 2). zxuy
xux
xudu Δ
∂∂
+Δ∂∂
+Δ∂∂
=
3). dxzudx
yudx
xudu
∂∂
+∂∂
+∂∂
= 4). zdzuy
dydux
dxdudu ∂
∂+∂+∂=
5). zzuy
xyux
xudu ∂
∂∂
+∂∂∂
+∂∂∂
=
80
Номер: 4.33.A Задача: Полный дифференциал функции ( )z,y,xfu = представляет собой: Ответы: 1).все приращения функции 2).главную линейную часть приращения функции 3).частное приращение функции по переменной x 4).сумму приращений аргументов 5).коллокацию аргументов.
Номер: 4.34.A
Задача: Найти ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
vud
Ответы: 1). 2vdvuduv + 2).
vudvuduv − 3). 2v
dvuduv − 4). ( )vuddvuduv − 5).
vudvdu
⋅−
Номер: 4.35.A
Задача: Найти ( )vud ⋅ Ответы: 1). dvvduv − 2). dvuduv − 3). dvvduu + 4). dvuduv + 5). dvuduv −
Номер: 4.36.A Задача: Полным приращением функции ( )y,xfz = называют: Ответы: 1).разность ( ) ( )y,xfyy,xxfz −Δ+Δ+=Δ 2).сумму ( ) ( )y,xfyy,xxfz +Δ+Δ+=Δ 3).разность ( ) ( )y,xfy,xxfz −Δ+=Δ 4).разность ( ) ( )y,xfyy,xfz −Δ+=Δ 5).разность ( ) ( )yy,xfy,xxfz Δ+−Δ+=Δ
81
5. Частные производные высших порядков.
Номер: 5.1.А Задача: Задана функция 223 y5yx4xz +−= . Найти xxz ′′ . Ответы: 1). y8x6z xx −=′′ 2). 10y8x6z xx +−=′′ 3). 5y4xz xx +−=′′
4). xy8x3z 2xx −=′′ 5). 10z xx =′′
Номер: 5.2.А
Задача: Задана функция xlnysinylnez x += . Найти xyz ′′ .
Ответы: 1).x
ycosy
ezx
xy +=′′ 2). 0zxy =′′ 3). ycosylnz xy +=′′
4).x
ycosy
ezx
xy +=′′ 5). ycosyez 2
x
xy +−=′′
Номер: 5.3.А
Задача: Задана функция 22 yxz += . Найти xxz ′′ .
Ответы: 1).( ) 2322
2
xxyx
xz+
=′′ 2).( ) 2322xx
yx
yz+
=′′ 3).( )322
2
xxyx
yz+
=′′
4).( )322
22
xxyx
yxz+
−=′′ 5).
( )322xx
yx
1z+
=′′
Номер: 5.4.А
Задача: Задана функция yxz = . Найти yyz ′′ .
Ответы: 1). ( ) 2yyy x1yyz −−=′′ 2). xlnxz 2y
yy ⋅=′′ 3). xlnyxz 1yyy ⋅=′′ −
4). ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=′′
x1xlnxz y
yy 5). 1yyy xz −=′′
Номер: 5.5.В
Задача: Задана функция ( )yx eelnz += . Найти xyz ′′ .
Ответы: 1). yxxy ee1z+
=′′ 2).( )2yx
y
xyee
ez+
=′′ 3).( )2yx
yx
xyee
ez+
=′′+
4). yx
x
xy eeez+
=′′ 5).( )2yx
yx
xyee
ez+
−=′′+
82
Номер: 5.6.А
Задача: Задана функция 2yx5z ⋅= . Найти xxz ′′ .
Ответы: 1). 4yxxx y5z
2⋅=′′ ⋅ 2). ( ) 2xy22
xx2
51xyyxz −−⋅⋅=′′
3). 5ln5xy2z2yx
xx⋅⋅=′′ 4). 5ln5yz 2yx4
xx2⋅⋅=′′ ⋅ 5).
2yx4xx 5y5lnz ⋅⋅⋅=′′
Номер: 5.7.В
Задача: Задана функция ( )xyarccosz = . Найти yyz ′′ .
Ответы: 1).( )32
yyx1
xz−
−=′′ 2).( )( )32
yyxy1
xyz−
=′′
3).( )( )32
3
yyxy1
yxz−
=′′ 4).( )( )3
2
yyxy1
yxz−
=′′ 5).( )( )32
3
yyxy1
yxz−
=′′
Номер: 5.8.А
Задача: Задана функция xyxyz −= . Найти xyz ′′ .
Ответы: 1).x11z xy −=′′ 2). 2xy x
11z +=′′ 3).x1xz xy −=′′ 4). 2xy x
1yz +=′′
5). 2xy xyxz −=′′
Номер: 5.9.В
Задача: Задана функция yxexz ⋅⋅= . Найти xxz ′′ .
Ответы: 1). ( )x2ez xyxx +=′′ 2). xy2
xx eyxz ⋅⋅=′′ 3). 1xy2xx eyxz −⋅=′′
4). ( )2xyxx xyy2ez +=′′ 5). ( )2xy
xx xy1ez +=′′
Номер: 5.10.В
Задача: Задана функция xysinz = . Найти yyz ′′ .
Ответы: 1).xycosz yy =′′ 2).
xysin
x1z 2yy −=′′ 3).
xysin
xyz 2yy −=′′
4).xycos
x1z 2yy −=′′ 5).
xysin
xyz yy =′′
83
Номер: 5.11.В
Задача: Задана функция xy2xz 2 −= . Найти yyz ′′ .
Ответы: 1).( ) 232
2
yyxy2x
xz−
−=′′ 2).( ) 232
2
yyxy2x
yz−
=′′
3).( ) 232yy
xy2x
yxz−
−=′′ 4).( ) 232yy
xy2x
xz−
−=′′ 5).( ) 232yy
xy2x
1z−
=′′
Номер: 5.12.В
Задача: Задана функция 1x
ycosz−
= . Найти xyz ′′ .
Ответы: 1).1x
ysin1x
1z xy −−=′′ 2).
( ) 1xycos
1x1z xy −−
=′′
3).( )
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−+
−−=′′
1xycos
1xysin
x11z 2xy
4).( ) ( ) ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛−−
+−−
=′′1x
ycos1x
y1x
ysin1x
1z 2xy
5).1x
ycos1x
y1x
ysinz xy −−+
−=′′
Номер: 5.13.В
Задача: Задана функция ( )3xylogz 2 += . Найти xxz ′′ .
Ответы: 1).( )2xx 3xy
xyz+
=′′ 2).( )3xy2ln1z xx +⋅
−=′′ 3).( )2
2
xx 3xyyz+
−=′′
4).( )3xy2ln
yz xx +−=′′ 5).
( )2
2
xx 3xy2lnyz
+⋅−=′′
Номер: 5.14.В
Задача: Задана функция yx
xyz+
= . Найти xyz ′′ .
Ответы: 1).( )2
2
xy yxyx2yz
++
=′′ 2).( )2xy yx
x2yz++
=′′ 3).yx
1z xy +=′′
4).( )2xy yx
yz+
=′′ 5).( )2
2
xy yxyx2yz
+−
=′′
84
Номер: 5.15.В Задача: Задана функция ( )xy2tgz −= . Найти xxz ′′ .
Ответы: 1).( )xy2cos4z 3xx −
=′′ 2).( )xy2cos1z 2xx −
=′′
3).( )( )xy2cos
xy2sinz 3xx −−
=′′ 4).( )( )xy2cos
xy2sin2z 3xx −−
−=′′ 5).( )( )xy2cos
xy2sinz 2xx −−
=′′
Номер: 5.16.А
Задача: Дана функция ( )y2x5ctgz −= . Вычислить производную 2xz
∂∂2
.
Ответы: 1).( )( )y2x5sin
y2x5cos23 −
− 2).
( )( )y2x5sin
y2x5cos2 −
−− 3).
( )( )y2x5sin
y2x5cos502 −
−⋅
4).( )( )y2x5cos
y2x5sin53 −
−⋅− 5).нет правильного ответа
Номер: 5.17.А
Задача: Дана функция ( )y4x3ctgz −= . Вычислить производную 2yz
∂∂2
.
Ответы: 1).( )
( )y4x3siny4x3cos32
3 −−⋅
− 2).( )( )y4x3sin
y4x3cos43 −
−⋅ 3).
( )( )y4x3sin
y4x3cos42 −
−⋅−
4).( )( )y4x3cos
y4x3sin83 −
−⋅ 5).нет правильного ответа
Номер: 5.18.А
Задача: Дана функция ( )y3x2ctgz −= . Вычислить производную yxz∂∂
∂2
.
Ответы: 1).( )( )y3x2sin
y3x2cos32 −
−⋅− 2).
( )( )y3x2sin
y3x2cos123 −
−⋅ 3).
( )( )y3x2cos
y3x2sin123 −
−⋅
4).( )( )y3x2sin
y3x2cos22 −
−⋅ 5).нет правильного ответа
Номер: 5.19.А
Задача: Дана функция 3223 y2yxx2z +−= . Вычислить производную 2xz
∂∂2
.
Ответы: 1). 22 xy2x6 − 2). y12xy4x12 +− 3). 22 y6yx2 +− 4). 2y2x12 − 5).нет правильного ответа
85
Номер: 5.20.А
Задача: Дана функция 3223 y2yx3xz −+−= . Вычислить производную 2yz
∂∂2
.
Ответы: 1). y6xy12x6 2 −+− 2). y12x6 2 − 3). y12yx6 − 4). 22 y6yx6 − 5).нет правильного ответа
Номер: 5.21.А Задача: Дана функция 3223 y3yxx2z +−−= . Вычислить производную
yxz∂∂
∂2
.
Ответы: 1). 22 y9xy4x6 +−− 2). y18xy4 +− 3). xy4− 4). 2y2x12 −− 5).нет правильного ответа
Номер: 5.22.В
Задача: Дана функция y73z yx += ⋅− . Вычислить производную 2xz
∂∂2
.
Ответы: 1). xy22 33lnx −⋅ 2). 733lnx xy22 +⋅ − 3). xy22 33lny −⋅⋅
4). 3ln3y xy2 ⋅⋅ − 5).нет правильного ответа
Номер: 5.23.В
Задача: Дана функция x34z yx2 −= ⋅− . Вычислить производную 2yz
∂∂2
.
Ответы: 1). 34ln4x2 xy2 −⋅⋅− − 2). 4ln4y4 2xy22 ⋅⋅ − 3). 4ln4y2 xy2 ⋅⋅ − 4). 4ln4x4 2xy22 ⋅⋅ − 5).нет правильного ответа
Номер: 5.24.В
Задача: Дана функция 26z 3xy
+=−
. Вычислить производную yxz∂∂
∂2
.
Ответы: 1). ( )6lnxy36ln691 3
xy
⋅−⋅−−
2). ( )xy16ln631 3
xy
−⋅−−
3). 6ln691 3
xy−
⋅ 4). 26ln6 23xy
+−
5).нет правильного ответа
86
Номер: 5.25.А
Задача: Дана функция yx
ez−
= . Вычислить производную 2xz
∂∂2
.
Ответы: 1). yx
2 ex1 −
2). yx
2 ey1 −
3). yx
2 ex1 −
− 4). yx
e−
5).нет правильного ответа
Номер: 5.26.А
Задача: Дана функция y2x
ez = . Вычислить производную 2yz
∂∂2
.
Ответы: 1). y2x
e41
2). ( )y2xey21 y2
x
4 −⋅− 3). ( )y4xey41 y2
x
4 +⋅ 4). y2x2
e4
x⋅
5).нет правильного ответа
Номер: 5.27.А
Задача: Дана функция yx3
ez = . Вычислить производную yxz∂∂
∂2
.
Ответы: 1). yx3
e9 2). ( )x1ey1 y
x3
2 +⋅ 3). yx3
2
2
eyx9
⋅− 4). ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⋅−
yx31e
y3 y
x3
2
5).нет правильного ответа Номер: 5.28.В
Задача: Дана функция ( )xy23arcsinz −= . Вычислить производную 2xz
∂∂2
.
Ответы: 1).( )( )32
32
xy231
xy8y12
−−
− 2).
( )2xy231
y23
−−
− 3).
( )( )32xy231
1
−−
4).( )2
2
xy231
yx4
−− 5).нет правильного ответа
Номер: 5.29.В
Задача: Дана функция ( )xy5arcsinz = . Вычислить производную 2yz
∂∂2
.
87
Ответы: 1).( )322
2
yx251
x25
− 2).
( )322
3
yx251
yx125
−− 3).
( )322 yx251
1
−
4).22 yx251
x5−
− 5).нет правильного ответа
Номер: 5.30.В
Задача: Дана функция yxy
3z−
= . Вычислить производную 2xz
∂∂2
.
Ответы: 1). 3ln3 2yyx
⋅+
2). yx
3y
yx⋅
+ 3). 3ln3
y1 2y
yx
2 ⋅⋅−+
4). 3ln3y1 2y
xy
2 ⋅⋅−
5).нет правильного ответа
Номер: 5.31.A
Задача: Если функция ( )y,xfz = определена вместе со своими частными производными xyyxyx z,z,z,z ′′′′′′ в некоторой окрестности точки ( )000 y,xM , причем xyyx z,z ′′′′ непрерывны в точке 0M , то Ответы: 1). ( ) ( )00xy00yx yxzyxz ′′≠′′ 2). ( ) ( )00xy00yx yxzyxz ′′=′′ 3). ( ) ( )00y00yx yxzyxz ′=′′ 4). ( ) ( )00xy00x yxzyxz ′′=′ 5). ( ) ( )00y00x yxzyxz ′=′
88
6. Дифференциалы высших порядков.
Номер: 6.1.В
Задача: Найти zd 2 , если yxez += .
Ответы: 1). dxdye2 yx+ 2). ( )2yx dydxe ++ 3). dxdye yx+ 4). ( )22yx dydxe ++
5). ( )dydxe yx ++
Номер: 6.2.В
Задача: Найти zd2 , если 23 y5xz += .
Ответы: 1). 22 dy10dx6 − 2). 2dy10 3). 22dxx3 4). 22 dy10dx6 +
5). 22 dy10xdx6 +
Номер: 6.3.А
Задача: Найти zd2 , если yx2z ⋅= .
Ответы: 1). ( )dydx2 + 2). dydx4 3). dydx2 4). 2ydx2 5). 2xdy2
Номер: 6.4.В
Задача: Найти zd2 , если xyz = .
Ответы: 1). dxdyx1dx
xy
22
2 + 2). 222 dy
x1dx
xy
+ 3). dxdyx1dx
xy
22
3 +−
4). dxdyx2dx
xy2
22
3 −− 5).нет правильного ответа
Номер: 6.5.А
Задача: Найти zd 2 , если 323 xxy4yz −+= .
Ответы: 1). 22 ydy6dxdy8dx6 ++− 2). ( ) 22 dyx8y6ydxdy16xdx6 +++−
3). 22 ydy6ydxdy8xdx6 +− 4). 22 ydy6xdx + 5).нет правильного ответа
89
Номер: 6.6.В
Задача: Найти zd2 , если 2x4yxz +−= .
Ответы: 1). 22
2 dyy1dxdy
y1dx8 ++ 2). 2
22 dy
yxdxdy
y1dx4 ++
3). 232
2 dyyx2
ydxdydx8 ++ 4). 2
222 dy
yxdxdy
y2dx4 ++
5). 232
2 dyyx2dxdy
y2dx8 −+
Номер: 6.7.В
Задача: Найти zd 2 , если xy2xz 2 += .
Ответы: 1).( ) 232
2222
xy2x
dyyxydxdy2dxx
+
−+ 2).
( ) 232
2222
xy2x
dyxxydxdy2dxy
+
−+−
3).( ) 232
22
xy2x
dydxdy2dx
+
++ 4).
( ) 212
22
xy2x
dyxydxdydx
+
−+ 5).нет правильного ответа
Номер: 6.8.В
Задача: Найти zd2 , если yx
xarctgz+
= .
Ответы: 1). 22
2 dyyx
ydxdydx
x1
−+− 2). 22 dydxdy2dx −+
3).нет правильного ответа 4). 22
2 dyyxdxdy
y2dx
x1
−+−
5). 2
22
ydy
ydxdy
xdx
−+
Номер: 6.9.В
Задача: Найти zd 2 , если ( )yxlnz −= .
90
Ответы: 1).( )( )2
2
yxdydx
−−
2).( )( )2
2
yxdydx
−−
− 3).( )( )yx
dydx 2
−−
4).( )2
22
yxdydx
−−
5).нет правильного ответа
Номер: 6.10.А
Задача: Найти zd2 , если ysinxz 2⋅= .
Ответы: 1). 2ydy2cosx2ydxdy2sin2 + 2). 2ydy2cosxydxdysin +
3). 2ydy2cosxydxdy2sin2 + 4). 2ydy2cosx2ydxdy2sin −
5).нет правильного ответа
Номер: 6.11.В
Задача: Найти zd 2 , если ( )22 yx21z+
= .
Ответы: 1).( )322
2222
yx
dyxxydxdy4dxy
+
−+
2).( ) ( )
( )322
222222
yx
dyxy3xydxdy8dxyx3
+
−++−
3).( )
( )322
2222
yx
dyy3xydxdydxx3
+
++ 4).
( )322
22
yx
dydxdy2dx
+
++
5).нет правильного ответа
Номер: 6.12.В
Задача: Найти zd2 , если yxyxz
+−
= .
Ответы: 1).( )( )3
22
yxxdydxdyyxydx
++−+
2).( )( )3
22
yxxdy4dxdyyx4ydx4
++−+−
3).( )( )3
22
yxdydxdyyxdx
++−+
91
4).( )( )3
22
yxxdydxdyxyydx
++−+−
5).нет правильного ответа
Номер: 6.13.А
Задача: Найти zd2 , если 22 y2xyx3z +−= .
Ответы: 1). 22 ydy4dxdy2xdx6 ++ 2). 22 dy4dxdy2dx6 +−
3). 22 dy2dxdydx3 ++ 4). 22 dy4dx6 + 5).нет правильного ответа
Номер: 6.14.А
Задача: Найти zd2 , если 22 y4xy3xz −+−= .
Ответы: 1). 22 dy4dxdyxdx2 −+− 2). 22 dy4dxdy3dx2 −+−
3). 22 dy8dxdy3dx2 −−− 4). 22 dy8dxdy6dx2 −+−
5).нет правильного ответа
Номер: 6.15.А
Задача: Найти zd 2 , если ( )x3cosy2z 2= .
Ответы: 1). ( ) ( )dxdyx6sin12dxx6cosy36 2 −−
2). ( ) 222 dyx3cos2dxx6cosy18 + 3). ( ) ( )dxdyx6sindxx6cos 2 −
4). ( )dxdyx6sin2 5).нет правильного ответа
Номер: 6.16.А
Задача: Найти zd 2 , если ( )x2cosyz 2⋅−= .
Ответы: 1). ( ) 22 dy2dxx4cosy + 2). ( ) ( )dxdyx4sin4dxx4cosy8 2 +
3). ( ) ( )dxdyx4sindxx4cos 2 + 4). ( ) ( )dxdyx2sin8dxx2cosy16 2 −
5).нет правильного ответа
Номер: 6.17.А
Задача: Найти zd2 , если ( )y2x5lnz −= .
Ответы: 1).( )2
22
y2x5dy2dxdy4dx5
−−+
− 2). ( )y2x5dy2dx5
−−
92
3).( )2
22
y2x5dy4dxdy20dx25
−−+−
4).( )2
22
y2x5dydx
−+
5).нет правильного ответа
Номер: 6.18.А
Задача: Найти zd2 , если ( )y3x7lnz −= .
Ответы: 1).( )2
22
y3x7dy9dxdy21dx49
−++
2). ( )y3x7dy3dx7
−−
3).( )2
22
y3x7dy3dxdy2dx7
−−+
4).( )2
22
y3x7dy9dxdy42dx49
−−+−
5).нет правильного ответа
Номер: 6.19.А
Задача: Найти zd2 , если y4x3z += .
Ответы: 1).( )3
22
y4x34
dy16dxdy24dx9
+
++− 2).
( )322
y4x34
dy4dxdy12dx3
+
++
3).( )3
22
y4x34
dy4dxdy12dx3
+
++ 4).
( )322
y4x3
dy4dxdy12dx3
+
−+− 5).нет правильного
ответа
Номер: 6.20.А
Задача: Найти zd2 , если xy7z = .
Ответы: 1). ( )2222xy dyxxydxdy2dxy7 ++
2). ( )( )22222xy dyy2dxdy1xy2dxx7ln7 +++⋅
3). ( )( )2222xy dy7lnxdxdy17lnxy2dx7lny7ln7 +++⋅
4). ( )22xy xdydxdy2ydx7 ++ 5).нет правильного ответа
Номер: 6.21.A
Задача: Найти ( )nud
Ответы: 1). duun n 2). duun 1n− 3). duu 1n− 4).( ) duu1n 1n−−
5).( ) duu1n n−
93
7. Дифференцирование сложной функции нескольких переменных.
Номер: 7.1.А Задача: Если ( )y,xfz = - дифференцируемая функция переменных x и y , которые сами являются дифференцируемыми функциями независимой переменной t : ( )tx ϕ= , ( )ty ψ= , то производная сложной функции
( ) ( )( )t,tfz ψϕ= вычисляется по формуле:
Ответы: 1). dyyzdx
xz
dtdz
∂∂
+∂∂
= 2). dyyzdx
xz
dtdz
∂∂
−∂∂
=
3).dtdy
yz
dtdx
xz
dtdz
⋅∂∂
+⋅∂∂
= 4).dtdx
yz
dtdy
xz
dtdz
⋅∂∂
+⋅∂∂
=
5).нет правильного ответа
Номер: 7.2.А
Задача: Если функция ( )y,x,tfz = и ( )txx = , ( )tyy = , то полная производная функции z вычисляется по формуле:
Ответы: 1).dtdy
yz
dtdx
xz
tz
dtdz
⋅∂∂
+⋅∂∂
+∂∂
= 2).dtdy
yz
dtdx
xz
dtdz
⋅∂∂
+⋅∂∂
=
3).tz
yz
xz
dtdz
∂∂
+∂∂
+∂∂
= 4).tz
dtdz
∂∂
= 5).нет правильного ответа
Номер: 7.3.В
Задача: Найти полную производную сложной функции v2 euy ⋅= , где xsinu = , xcosv = .
Ответы: 1).( ) vexcosxsin ⋅+− 2). ( )xsinxcos2uev −⋅
3).( ) vexcosxsin ⋅− 4). ( ) v2 uex2sinxsin ⋅− 5).нет правильного ответа
Номер: 7.4.А Задача: Найти полную производную данной функции ( )4x1lnz −= , где
tsinx = .
Ответы: 1). ttg2− 2). tctg 3). ( )t2tg 4).tcos
12 5).нет правильного ответа
Номер: 7.5.В
Задача: Найти полную производную функции ( )
1azyeu 2
ax
+−
= , где xsinay = ,
xcosz = ( consta = ).
94
Ответы: 1). xcoseax 2). ( )( )xsinzyxcosa1a
e2
ax
+−++
3). tgxeax
4). ( )zyxcoseax −+ 5).нет правильного ответа
Номер: 7.6.В
Задача: Найти xz∂∂
, если v2uez −= , xsinu = , 33 yxv += .
Ответы: 1). ( )2v2u x6xcose −⋅− 2). v2ue − 3). v2uey4 −⋅−
4).( ) v2u2 ey6xcos −− 5).нет правильного ответа
Номер: 7.7.В
Задача: Найти xz∂∂
, если vlnuz 2= , где xyu = , 22 yxv += .
Ответы: 1). ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ − 2x
vlnyv
uxu4 2). ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ − 2x
vlnyv
uxu2 3). 2xvlny
vux3
−
4). 2xvlny
vux
− 5).нет правильного ответа
Номер: 7.8.В
Задача: Найти yz∂∂
, если vlnuz 2= , где xyu = , 22 yxv += .
Ответы: 1).vy
xvlnu+ 2).
vuy
xvln− 3).
vuy2 ⋅ 4). ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
vuy
xvlnu2
5).нет правильного ответа
Номер: 7.9.А Задача: Найти полную производную функции ( )yx eelnu += , если 3xy = .
Ответы: 1). yx
y
eee3
dxdu
+= 2). yx ee
dxdu
+= 3). yx
2yx
eexe3e
dxdu
+⋅+
=
4). yx
yx
eexe3e
dxdu
+⋅+
= 5).нет правильного ответа
Номер: 7.10.А
Задача: Найти полную производную данной функции ( )yx2t3tgz 2 −+= ,
если t1x = , ty = .
95
Ответы: 1).( )yx2t3cos
1dtdz
2 −+= 2). y
tx43
dtdz
2 −−= 3). tt43dtdz
−−=
4).( )yx2t3cos
1t2
1tx43
dtdz
22 −+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−= 5).нет правильного ответа
Номер: 7.11.А
Задача: Найти полную производную данной функции y2xez −= , если tsinx = , 3ty = .
Ответы: 1). ( )3y2x ttsinedtdz
−= − 2). ( )3t6tcos t2tsinedtdz 3
−= −
3). ( )2y2x t6tcosedtdz
−= − 4). y2xedtdz −= 5).нет правильного ответа
Номер: 7.12.В
Задача: Найти xz∂∂
, если vlnuz 2= , где yxu = , y2x3v −= .
Ответы: 1).v
uvlnu22
+ 2). ( )vlnv2x3vyu
+ 3). ( )vlnvu3yv
+
4). ( )vlnu3yu
+ 5).нет правильного ответа
Номер: 7.13.В
Задача: Найти yz∂∂
, если vlnuz 2= , где yxu = , y2x3v −= .
Ответы: 1). 2
2
yx
vu
− 2). ( )vlnxvuyvyxu2
+ 3). ( )vlnvyuvyxu4
+⋅
4). ( )vlnvxyuvy
u22 ⋅+⋅
− 5).нет правильного ответа
Номер: 7.14.А
Задача: Найти полную производную данной функции yxarcsinu = , если
1xy 2 += .
96
Ответы: 1).2x1
1dxdu
−= 2). ⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
++
−=
1xyx1
xy1
dxdu
222
3).1x
xdxdu
2 += 4). ⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+−
−=
1xyx1
xy1
dxdu
2
2
22 5).нет правильного ответа
Номер: 7.15.А
Задача: ( )tx eelnz += . Найти dtdz
, если 2t1x −= .
Ответы: 1). tx
xt
eete2e
+−
2). tx
xt
eetee++
3). tx
t
eee+
4). tx
x2t
eeete
+−
5).нет правильного ответа
Номер: 7.16.В
Задача: Найти x∂ω∂
, если υ⋅=ω u3 , ( )y4x3arctgu −= , 7yx5 2 +=υ .
Ответы: 1). ( )υ+⋅υ⋅ u3ln3u 2).( ) ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−+υ
⋅υ⋅ xyu10y4x31
33ln3 2u
3). ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++υ
⋅υ⋅ yu10x91
33ln3 2u 4).
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−+υ
⋅υ⋅ yu10y4x31
3 2u
5).нет правильного ответа
Номер: 7.17.В
Задача: Найти y∂ω∂
, если υ⋅=ω u3 , ( )y4x3arctgu −= , 1yx5 2 −=υ .
Ответы: 1). ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+υ
⋅υ⋅ yu10y161
3ln3 2u 2).
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−+υ
+⋅υ⋅2
2u
y4x31ux53ln3
3).( ) ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−+υ
⋅υ⋅ xyu10y4x31
33ln3 2u 4).
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−+υ
−⋅υ⋅2
2u
y4x314ux53ln3
5).нет правильного ответа
Номер: 7.18.В
Задача: Найти dtdz
, если ( )t3sinyxarctgz += , 1ex t2 += , 2ey t3 −= − .
97
Ответы: 1). t3cos3xy
xe3ye222
t3t2
+++ −
2). t3cos3xye3e222
t3t2
+−+ −
3). 22
t2t3
xyye2xe3
−+−
4). t3cos3xyxe3ye222
t3t2
−++ −
5).нет правильного ответа
Номер: 7.19.А
Задача: Найти t∂ω∂
, если u2υ=ω , ( )t1ln −=υ , tcosu = .
Ответы: 1). ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ υ⋅−−
υ lntsint1
uu 2).( )
u2lntsint1
uυ⋅⋅⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛υ⋅+
υ−−
3). ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ υ⋅+−
υ lntcost1
uu 4). ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
υ−υ⋅υ
ulntsinu 5).нет правильного ответа
Номер: 7.20.А
Задача: Найти dtdz
, если 22 tysinxz += , t4x −= , 1ty 3 −= .
Ответы: 1). t2ycostx4ysinx 22t −+⋅⋅ − 2). ysint4ycosx 2t2 +⋅⋅ −
3). t2ycostx34ln4ysinx2 22t ++⋅⋅− − 4). ycost3ysinx4 2t +⋅− 5).нет правильного ответа
Номер: 7.21.А
Задача: Найти полный дифференциал функции dtdz
, если txyyxz 22 +−⋅= ,
t1x = , tey = .
Ответы: 1).( ) ( ) t22 exytyx −+− 2). ( ) 1eyx2xt
xy t23
+−+−
3).( ) ( ) 1eyx2xtyxy2 x22 +−+−
4). ( ) ( ) 1eyx2xyxy2t2
1 t223
+−+−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛− 5).нет правильного ответа
Номер: 7.22.В
Задача: Найти полный дифференциал функции – dtdz
, если
( )tx2ycosz 23 +−= , tlny = , t3x = .
98
Ответы: 1). ( )tx2ysin1ty3x12 23
2
+−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
2).( ) ( )tx2ysin1x4y3 232 +−+− 3). ( )tx2ysin1ty3x4 23
2
+−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++−
4). ( )tx2ysin 23 +− 5).нет правильного ответа
Номер: 7.23.В
Задача: Найти полный дифференциал функции – dtdz
, если xytz = ,
t2sinx = , tcosy 2= . Ответы: 1). xyt2sinxtt2cosyt ++ 2). tt2sinxt2cosy ++ 3). xyt2sinxtt2cosyt2 +− 4). xyt2cost2sint −− 5).нет правильного ответа
Номер: 7.24.В
Задача: Найти полный дифференциал функции – dtdz
, если ( ) 2t3xycosz += ,
t1x −= , tty 2 −= . Ответы: 1). ( ) ( )( ) t6x1t2yxysin +−− 2). ( )( ) t6xyxysin +−− 3). ( )( ) t61t2yxysin −+− 4). ( ) ( )( )x1t2yxysin −−− 5).нет правильного ответа
Номер: 7.25.А
Задача: Найти полный дифференциал функции – dtdz
, если ( )xyarctgz −= ,
t3ey = , 2ttx += .
Ответы: 1).( )
( )t21e3xy1
1 t32 −−⋅
−+ 2).
( )( )t2e3
xy1
1 t32
−⋅−−
3).( )
( )t32 e3t21
xy11
++⋅−+
− 4).( )
( )t322
e3ttxy1
1++⋅
−+ 5).нет
правильного ответа
Номер: 7.26.А
Задача: Найти полный дифференциал функции – dtdz
, если
xy2yxz 22 ++= , tcosx = , t3y = .
99
Ответы: 1). 3ln3y2tsinx2 t ⋅⋅+− 2). ( )( )tsin3ln3yx2 t −+
3).( )( )tsin3yx t −+ 4). ( ) tsinyx23ln3y2 t +−⋅ 5).нет правильного ответа
Номер: 7.27.В
Задача: Найти полный дифференциал функции – dxdu
, если ( )zyzlnu 2 −= ,
x3ez = , xlogy 4= .
Ответы: 1). ( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⋅−⋅−
− 4lnxzeyz23
zyz1 x3
2 2).4lnx
1e3 x3
⋅−⋅
3). ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅
− x4lnzez6
zyz1 x3
2 4). ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⋅−⋅
− 4lnx1e3
zyz1 x3
2 5).нет
правильного ответа
Номер: 7.28.А
Задача: Найти полный дифференциал функции – dtdz
, если ( )1tysinz −⋅= ,
3t1y −= .
Ответы: 1). ( )1ytcost12
t3y3
2
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−− 2). ( ) ( )1ytcost3y 2 −−
3). ( ) ( )1ytcost12
t3y3
3
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−− 4). ( )1ytcos
t13t3
3
2
−−
5).нет правильного ответа
Номер: 7.29.В
Задача: Найти полный дифференциал функции – dxdz
, если ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
xyarctgz ,
( )x21siny −= .
Ответы: 1). ( )( )x21cos2yyx
122 −−
+ 2). ( )x2y
yx1
22 +−
3). ( )( )x21cosx2yyx
122 −+
+− 4). ( )( )x21cosxy
yx1
22 −−−
5).нет правильного ответа
100
Номер: 7.30.А
Задача: Найти полный дифференциал функции – dxdz
, если ( )2yxlnz −= ,
2x1y −= .
Ответы: 1). ( ) 22 x1yxx2−−
− 2). ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−
− 22
2 x1xy
yx1
3). 2yx1−
4). ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−+
− 22 x1yx21
yx1
5).нет правильного ответа
Номер:7.31.A
Задача: Производная сложной функции ( )y,xfz = , где ( ) ( )ty,tx ψ=ϕ= , если ( )y,xf дифференцируема по y,x , а ( ) ( )−ψϕ t,t дифференцируема по t
определяется по формуле
Ответы: 1).dtdy
yz
dtdx
xz
dtdz
⋅∂∂
+⋅∂∂
= 2).dtdy
yz
dtdx
xz
dtdz
⋅∂∂
−⋅∂∂
−=
3).dtdy
yz
dtdx
xz
dtdz
⋅∂∂
−⋅∂∂
= 4).dtdy
tz
dtdx
tz
dtdz
⋅∂∂
+⋅∂∂
= 5). dtyzdt
xz
dtdz
∂∂
+∂∂
=
101
8. Дифференцирование функций, заданных неявно.
Номер: 8.1.В Задача: Найти производную от неявной функции от x , заданной уравнением:
yx xy = .
Ответы: 1).xlnxyylnyx
dxdy
y1x
x1y
−−
=−
−
2).xlnxxyylnyyx
dxdy
y1x
x1y
−−
=−
−
3). y1x
x1y
xyyyx
dxdy
−−
=−
−
4). yx xydxdy
−= 5). xlnxylnydxdy yx −=
Номер: 8.2.А
Задача: Найти u∂ω∂
, если 0atgvu =ω⋅−
Ответы: 1).av
acos2 ω 2).
ωacosv2 3). ω− atg 4). 1− 5).нет правильного ответа
Номер: 8.3.А
Задача: Найти v∂ω∂
, если 0atgvu =ω⋅−
Ответы: 1). ω− acos2 2).ω
−acos
v2 3). ω⋅av 4).
av2a2sin ω
−
5).нет правильного ответа
Номер: 8.4.А Задача: Найти xz′ ; yz′ , если 1xz2zyx 222 =+++ .
Ответы: 1). ( )zx2 + ; y2 2). 1− ; zx
y+
− 3). 2;2 4). y2;x2
5).нет правильного ответа
Номер: 8.5.А
Задача: Найти tu;
vu
∂∂
∂∂
, если tcosvcoseu ⋅= .
Ответы: 1). vsin− ; tsin− 2). tcosvsin− ; vcostsin− 3). ttg;vtg −−
4). uu etcos;e −⋅ 5).нет правильного ответа
Номер: 8.6.А
Задача: Найти dxdy
, если 0eyex x22y22 =− .
102
Ответы: 1). ( )x22y2 eyxe2 − 2). x2y22
y2x22
yeexxeey
−−
3). ( )x2y22 yeex2 −
4). x2y2
x2y2
xeyeyexe
−−
5).нет правильного ответа
Номер: 8.7.А
Задача: Найти dxdy
, если yxeyx −=+ .
Ответы: 1).1e1e
yx
yx
+−
−
−
2). 1e yx +− 3). yxe −− 4). yxe1 −−
5).нет правильного ответа
Номер: 8.8.В
Задача: Найти xz∂∂
, если ( ) 0z
xyxzlnz =−+ .
Ответы: 1).xz
z+
2).( )
( )zxxy2zzzxyz
3
3
++−+
3).zy
xzz
−+
4).zy
−
5).нет правильного ответа
Номер: 8.9.В
Задача: Найти yz∂∂
, если ( ) 0z
xyxzlnz =−+ .
Ответы: 1).zx
− 2). ( )xz
zxzln+
++ 3).( )
( )zxxy2zzxz
2 ++−
4).( )
( )zxxy2zzxxz
3 +++
5).нет правильного ответа
Номер: 8.10.А
Задача: Найти производную dxdy
от функции заданной неявно:
0eyexe xyxy =−+
Ответы: 1). xyxy
yxxy
xeexeeyeye
−+−−
2). xyxy yeyee −+ 3). xy
yxy
yexeee
+−
4). xy exe +
5).нет правильного ответа
Номер: 8.11.А
Задача: Найти zy∂∂
, если 0xyzey =− .
103
Ответы: 1). xy− 2). ( )1yzy−
3). xzey − 4). yexy +−
5).нет правильного ответа
Номер: 8.12.А
Задача: Найти xy∂∂
, если 0xyzey =− .
Ответы: 1). yz− 2). yzey − 3).xy
4).( )1yx
y−
5).нет правильного ответа
Номер: 8.13.В
Задача: Найти xz∂∂
, если ( )xzarctgyz = .
Ответы: 1). 22zx11
+ 2).
xyzxyz22 −⋅+
3).xy
z−
4). 22zx1z
+
5).нет правильного ответа
Номер: 8.14.В
Задача: Найти yz∂∂
, если ( )xzarctgyz = .
Ответы: 1).xxyzy
zx122
22
−⋅++
2).( )
xxyzyzx1z22
22
−⋅++
− 3). 22zx1zx
+ 4). 22zx1
y+
5).нет правильного ответа
Номер: 8.15.А
Задача: Найти dxdy
, если y3x2ey3x2 −=+ .
Ответы: 1). ( )y3x2e13 −+ 2).( )( )y3x2
y3x2
e13e12
−
−
+−
− 3). y3x2
y3x2
e3e2
−
−
+−
− 4). ( )y3x2e12 −+
5).нет правильного ответа
Номер: 8.16.А
Задача: Найти dxdy
, если y3x5ey3x5 −=+ .
Ответы: 1).( )( )y3x5
y3x5
e15e13
−
−
−−
2). ( )y3x5e15 −− 3).( )( )y3x5
y3x5
e13e15
−
−
+−
− 4). ( )y3x5e13 −+
5).нет правильного ответа
104
Номер: 8.17.В
Задача: Найти dxdy
, если ( ) 0yx3exycos 2xy2 =−− .
Ответы: 1).( )( )( )( )x3e2xysinx
x6e2xysinyxy2
xy2
++++
− 2).( )( ) 2xy2
xy2
x3exysinxx6exysiny
−+++
3).( )( ) xy2
xy2
xe2xysinxx6e2xysiny
+++
4).( )( )xysinxxysiny
5).нет правильного ответа
Номер: 8.18.А
Задача: Найти xz∂∂
, если ( )zylnxy += .
Ответы: 1).zy
y+
2). ( )zyy + 3).zy
1y+
−− 4). ( )zyx +
5).нет правильного ответа
Номер: 8.19.А
Задача: Найти yz∂∂
, если ( )zylnxy += .
Ответы: 1). zx − 2).zy
x+
3). ( )zyx +− 4). ( ) 1zyx −+
5).нет правильного ответа
Номер: 8.20.В
Задача: Найти xz∂∂
, если ( )z2y3coszyx −= .
Ответы: 1). ( )z2y3sin21zy−
− 2). ( )z2y3sin2
y−
3). ( ) yxz2y3sin2zy
−−−
4). ( ) yxz2y3sin2z
−− 5).нет правильного ответа
Номер: 8.21.В
Задача: Найти yz∂∂
, если ( )z2y3coszyx −= .
105
Ответы: 1). ( )z2y3sin2yxzx
−− 2).
( )( )z2y3sin2yx
z2y3sin3zy−−−+
3). ( )z2y3sinzx −+
4).( )
( ) yxz2y3sin2z2y3sin3zx
−−−+
5).нет правильного ответа
Номер: 8.22.В
Задача: Найти xz∂∂
, если 0zlnexz y2x3 =− − .
Ответы: 1).xz3
zlnez2
y2x3 −− 2). y2x
y2x2
exexz3−
−
−−
3). y2x
y2x3
exez
−
−
−−
4).( )
y2x3
y2x3
exz3zelnzz
−
−
−−
5).нет правильного ответа
Номер: 8.23.А
Задача: Найти yz∂∂
, если zx2 eeyz =−⋅ .
Ответы: 1). 2z yeyz2−
2). z2 eyyz2−
3). z2 eyz−
4). zy2 5).нет правильного
ответа
Номер: 8.24.А
Задача: Найти xz∂∂
, если zx2 eeyz =−⋅ .
Ответы: 1). z2
x
eye−
2). xe− 3). z2
x
eye−
− 4). zxe −− 5).нет правильного
ответа
Номер: 8.25.А
Задача: Найти yz∂∂
, если 3yze 2xz =⋅− .
Ответы: 1).zy2xe
z2xz
2
−− 2). xz
2
e3z +
3).zy2xe
zxz
2
− 4). 3zy2 −
5).нет правильного ответа
Номер: 8.26.В
Задача: Найти xz∂∂
, если yxyyzsin 2 =⋅− .
106
Ответы: 1).
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛yzcos
y 2).
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛yzcos
xy2 2
3).
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
yzcos
yx2 4). yx2−
5).нет правильного ответа
Номер: 8.27.В
Задача: Найти yz∂∂
, если yxyzsin 2 =− .
Ответы: 1).
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
yzcos
xy2 2).
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
yzcosy
yzcoszy2
3).
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
yzcos
yzcoszy
4). 2yzcos
yz
2 +−
5).нет правильного ответа
Номер: 8.28.В
Задача: Найти xz∂∂
и yz∂∂
, если 322 zzyxzyx =+− .
Ответы: 1). 2z3yy−
− ; 2z3yx−
− 2). 22
2
z3zx2yxzy−−
−; 22 z3zx2y
zx−−
−
3). 22
2
z3zx2yyxz2−−−
; yzx2z3
zx22 −+
+ 4). xz2y 2− ; zx +
5).нет правильного ответа
Номер: 8.29.В
Задача: Найти zy∂∂
и xy∂∂
, если x4yze 2y2x =−− .
Ответы: 1). 2y2x zey2+−
; y2x2
y2x
eze
−
−
+ 2). zy2− ; 4e y2x −− 3). 2y2x ze2
zy2+
−−
;
y2x2
y2x
e2ze4
−
−
+−
− 4). 2y2x zezy2−−
; 2y2x ze4−
−−
5).нет правильного ответа
Номер: 8.30.А
Задача: Найти zy∂∂
, если xyze y2 = .
Ответы: 1). y2exzxy−
2).xze2
xy2 −
3).xze2
yy2 −
4).xze2
xyy2 −
107
5).нет правильного ответа
Номер: 8.31.A Задача: Производная неявно заданной функции ( ) 0y,xF = находится по формуле
Ответы: 1). ( )( )y,xF
y,xFdxdy
y
x′′
= 2). ( )( )y,xF
y,xFdxdy
y
x′′
−= 3). ( ) ( )y,xFy,xFdxdy
yx ′⋅′=
4). ( )( )y,xF
y,xFdxdy
y
x′′′′
−= 5). ( )( )y,xF
y,xFdxdy
x
x′′′
−=
Номер: 8.32.A
Задача: Если функция ( )z,y,xF дифференцируема по z,y,x , определяет неявно
заданную функцию z , причем ( ) 0z,y,xFz ≠′ , то частные производные xz∂∂ и
yz∂∂ находят по формулам
Ответы: 1).( )( )
( )( )z,y,xF
z,y,xFyz;
z,y,xFz,y,xF
xz
z
y
z
x
′
′−=
∂∂
′′
−=∂∂
2).( )( )
( )( )z,y,xF
z,y,xFyz;
z,y,xFz,y,xF
xz
z
y
z
x
′
′=
∂∂
′′
=∂∂ 3).
( )( )
( )( )z,y,xF
z,y,xFyz;
z,y,xFz,y,xF
xz
x
y
z
x
′
′=
∂∂
′′
=∂∂
4).( )( )
( )( )z,y,xF
z,y,xFyz;
z,y,xFz,y,xF
xz
y
z
x
z
′′
=∂∂
′′
=∂∂
5).( )( )
( )( )z,y,xF
z,y,xFyz;
z,y,xFz,y,xF
xz
y
z
x
z
′′
−=∂∂
′′
−=∂∂
108
9. Касательная плоскость, нормаль к поверхности.
Номер: 9.1.В
Задача: Составить уравнение нормали ( )nl к поверхности 1cz
by
ax
2
2
2
2
2
2
=++ в
точке ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛3
3c,3
3b,3
3aM0 , где Nc,b,a ∈
Ответы: 1).
3c2
3cz
3b2
3by
3a2
3ax −
=−
=−
2).
c2cz
b2
by
a2
ax
−
−=
−=
−
3).
c32c3z
b2
by
a2
ax
−
−=
−=
− 4).
c22c2z
b2
by
a2
ax
−
−=
−=
−
5).
c2
cz
b32b3y
a2
ax −=
−
−=
−
Номер: 9.2.В
Задача: Составить уравнение нормали ( )nl к поверхности 1cz
by
ax
2
2
2
2
2
2
=−+ в
точке ( )c,b,aM0 , где Nc,b,a ∈
Ответы: 1).
3c2
3cz
3b2
3by
3a2
3ax −
=−
=−
2).
c2cz
b2
by
a2
ax
−
−=
−=
−
3).
c32c3z
b2
by
a2
ax
−
−=
−=
− 4).
c22c2z
b2
by
a2
ax
−
−=
−=
−
5).
c2
cz
b32b3y
a2
ax −=
−
−=
−
109
Номер: 9.3.В
Задача: Составить уравнение нормали ( )nl к поверхности 1cz
by
ax
2
2
2
2
2
2
−=−+
в точке ( )c3,b,aM0 , где Nc,b,a ∈
Ответы: 1).
3c2
3cz
3b2
3by
3a2
3ax −
=−
=−
2).
c2cz
b2
by
a2
ax
−
−=
−=
−
3).
c32c3z
b2
by
a2
ax
−
−=
−=
− 4).
c22c2z
b2
by
a2
ax
−
−=
−=
−
5).
c2
cz
b32b3y
a2
ax −=
−
−=
−
Номер: 9.4.В
Задача: Составить уравнение нормали ( )nl к поверхности 0cz
by
ax
2
2
2
2
2
2
=−+ в
точке ( )c2,b,aM0 , где Nc,b,a ∈
Ответы: 1).
3c2
3cz
3b2
3by
3a2
3ax −
=−
=−
2).
c2cz
b2
by
a2
ax
−
−=
−=
−
3).
c32c3z
b2
by
a2
ax
−
−=
−=
− 4).
c22c2z
b2
by
a2
ax
−
−=
−=
−
5).
c2
cz
b32b3y
a2
ax −=
−
−=
−
Номер: 9.5.В
Задача: Составить уравнение нормали ( )nl к поверхности 1by
cz
ax
2
2
2
2
2
2
−=−+
в точке ( )c,b3,aM0 , где Nc,b,a ∈
110
Ответы: 1).
3c2
3cz
3b2
3by
3a2
3ax −
=−
=−
2).
c2cz
b2
by
a2
ax
−
−=
−=
−
3).
c32c3z
b2
by
a2
ax
−
−=
−=
− 4).
c22c2z
b2
by
a2
ax
−
−=
−=
−
5).
c2
cz
b32b3y
a2
ax −=
−
−=
−
Номер: 9.6.В
Задача: Составить уравнение касательной плоскости ( )α к поверхности
1cz
by
ax
2
2
2
2
2
2
=++ в точке ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛3
3c,3
3b,3
3aM0
Ответы: 1). 03
cz3c
23
by3b
23
ax3a
2=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
2). ( ) ( ) ( ) 0czc2by
b2ax
a2
=−−−+−
3). ( ) ( ) ( ) 0c3zc
32byb2ax
a2
=−−−+−
4). ( ) ( ) ( ) 0c2zc
22byb2ax
a2
=−−−+−
5). ( ) ( ) ( ) 0czc2b3y
b32ax
a2
=−+−−−
Номер: 9.7.В
Задача: Составить уравнение касательной плоскости ( )α к поверхности
1cz
by
ax
2
2
2
2
2
2
=−+ в точке ( )c,b,aM0
Ответы: 1). 03
cz3c
23
by3b
23
ax3a
2=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
2). ( ) ( ) ( ) 0czc2by
b2ax
a2
=−−−+−
111
3). ( ) ( ) ( ) 0c3zc
32byb2ax
a2
=−−−+−
4). ( ) ( ) ( ) 0c2zc
22byb2ax
a2
=−−−+−
5). ( ) ( ) ( ) 0czc2b3y
b32ax
a2
=−+−−−
Номер: 9.8.В
Задача: Составить уравнение касательной плоскости ( )α к поверхности
1cz
by
ax
2
2
2
2
2
2
−=−+ в точке ( )c3,b,aM0
Ответы: 1). 03
cz3
23
by3b
23
ax3
2=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
2). ( ) ( ) ( ) 0czc2by
b2ax
a2
=−−−+−
3). ( ) ( ) ( ) 0c3zc
32byb2ax
a2
=−−−+−
4). ( ) ( ) ( ) 0c2zc
22byb2ax
a2
=−−−+−
5). ( ) ( ) ( ) 0czc2b3y
b32ax
a2
=−+−−−
Номер: 9.9.В
Задача: Составить уравнение касательной плоскости ( )α к поверхности
0cz
by
ax
2
2
2
2
2
2
=−+ в точке ( )c2,b,aM0
Ответы: 1). 03
cz3
23
by3b
23
ax3
2=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
2). ( ) ( ) ( ) 0czc2by
b2ax
a2
=−−−+−
3). ( ) ( ) ( ) 0c3zc
32byb2ax
a2
=−−−+−
112
4). ( ) ( ) ( ) 0c2zc
22byb2ax
a2
=−−−+−
5). ( ) ( ) ( ) 0czc2b3y
b32ax
a2
=−+−−−
Номер: 9.10.В
Задача: Составить уравнение касательной плоскости ( )α к поверхности
1by
cz
ax
2
2
2
2
2
2
−=−+ в точке ( )c,b3,aM0
Ответы: 1). 03
cz3c
23
by3b
23
ax3a
2=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
2). ( ) ( ) ( ) 0czc2by
b2ax
a2
=−−−+−
3). ( ) ( ) ( ) 0c3zc
32byb2ax
a2
=−−−+−
4). ( ) ( ) ( ) 0c2zc
22byb2ax
a2
=−−−+−
5). ( ) ( ) ( ) 0czc2b3y
b32ax
a2
=−+−−−
Номер: 9.11.C
Задача: Составить уравнение нормали ( )nl к поверхности 1by
ax
2
2
2
2
=+ в точке
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛c,b
22,a
22M0 , где Nc,b,a ∈
Ответы: 1).0
cz
b2
b22y
a2
a22x −
=−
=−
2).0
cz
b2by
a22
a2x −=
−
−=
−
3).
c2
c22z
b2
b22y
0ax −
=−
=−
4).
c2
c22z
0by
a2
a22x −
=−
=−
113
5).
c2cz
b22
b2y0
ax
−
−=
−=
−
Номер: 9.12.C
Задача: Составить уравнение нормали ( )nl к поверхности 1by
ax
2
2
2
2
=− в точке
( )c,b,a2M0 , где Nc,b,a ∈
Ответы: 1).0
cz
b2
b22y
a2
a22x −
=−
=−
2).0
cz
b2by
a22
a2x −=
−
−=
−
3).
c2
c22z
b2
b22y
0ax −
=−
=−
4).
c2
c22z
0by
a2
a22x −
=−
=−
5).
c2cz
b22
b2y0
ax
−
−=
−=
−
Номер: 9.13.C
Задача: Составить уравнение нормали ( )nl к поверхности 1cz
by
2
2
2
2
=+ в точке
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛c
22,b
22,aM0 , где Nc,b,a ∈
Ответы: 1).0
cz
b2
b22y
a2
a22x −
=−
=−
2).0
cz
b2by
a22
a2x −=
−
−=
−
3).
c2
c22z
b2
b22y
0ax −
=−
=−
4).
c2
c22z
0by
a2
a22x −
=−
=−
114
5).
c2cz
b22
b2y0
ax
−
−=
−=
−
Номер: 9.14.C
Задача: Составить уравнение нормали ( )nl к поверхности 1cz
ax
2
2
2
2
=+ в точке
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛c
22,b,a
22M0 , где Nc,b,a ∈
Ответы: 1).0
cz
b2
b22y
a2
a22x −
=−
=−
2).0
cz
b2by
a22
a2x −=
−
−=
−
3).
c2
c22z
b2
b22y
0ax −
=−
=−
4).
c2
c22z
0by
a2
a22x −
=−
=−
5).
c2cz
b22
b2y0
ax
−
−=
−=
−
Номер: 9.15.C
Задача: Составить уравнение нормали ( )nl к поверхности 1cz
by
2
2
2
2
=− в точке
( )c,b2,aM0 , где Nc,b,a ∈
Ответы: 1).0
cz
b2
b22y
a2
a22x −
=−
=−
2).0
cz
b2by
a22
a2x −=
−
−=
−
3).
c2
c22z
b2
b22y
0ax −
=−
=−
4).
c2
c22z
0by
a2
a22x −
=−
=−
115
5).
c2cz
b22
b2y0
ax
−
−=
−=
−
Номер: 9.16.C
Задача: Составить уравнение касательной плоскости ( )α к поверхности
1by
ax
2
2
2
2
=+ в точке ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛c,b
22,a
22M0
Ответы: 1). 0b22y
b2a
22x
a2
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
2). ( ) ( ) 0byb2a2x
a22
=−−− 3). 0c22z
c2b
22y
b2
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
4). 0c22z
c2a
22x
a2
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛− 5). ( ) ( ) 0cz
c2b2y
b22
=−−−
Номер: 9.17.C
Задача: Составить уравнение касательной плоскости ( )α к поверхности
1by
ax
2
2
2
2
=− в точке ( )c,b,a2M0
Ответы: 1). 0b22y
b2a
22x
a2
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
2). ( ) ( ) 0byb2a2x
a22
=−−− 3). 0c22z
c2b
22y
b2
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
4). 0c22z
c2a
22x
a2
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛− 5). ( ) ( ) 0cz
c2b2y
b22
=−−−
Номер: 9.18.C
Задача: Составить уравнение касательной плоскости ( )α к поверхности
1cz
by
2
2
2
2
=+ в точке ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛c
22,b
22,aM0
116
Ответы: 1). 0b22y
b2a
22x
a2
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
2). ( ) ( ) 0byb2a2x
a22
=−−− 3). 0c22z
c2b
22y
b2
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
4). 0c22z
c2a
22x
a2
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛− 5). ( ) ( ) 0cz
c2b2y
b22
=−−−
Номер: 9.19.C
Задача: Составить уравнение касательной плоскости ( )α к поверхности
1cz
ax
2
2
2
2
=+ в точке ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛c
22,b,a
22M0
Ответы: 1). 0b22y
b2a
22x
a2
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
2). ( ) ( ) 0byb2a2x
a22
=−−− 3). 0c22z
c2b
22y
b2
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
4). 0c22z
c2a
22x
a2
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛− 5). ( ) ( ) 0cz
c2b2y
b22
=−−−
Номер: 9.20.C
Задача: Составить уравнение касательной плоскости ( )α к поверхности
1cz
by
2
2
2
2
=− в точке ( )c,b2,aM0
Ответы: 1). 0b22y
b2a
22x
a2
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
2). ( ) ( ) 0byb2a2x
a22
=−−− 3). 0c22z
c2b
22y
b2
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
4). 0c22z
c2a
22x
a2
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛− 5). ( ) ( ) 0cz
c2b2y
b22
=−−−
Номер: 9.21.C
Задача: Составить уравнение нормали ( )nl к поверхности
( ) ( )0
22
0 yyb
axx −=− в точке ( )c,by,axM 000 ++ , где Rec,b,a ∈
117
Ответы: 1).0
cz
ba
byya2
axx2
00 −=
−
−−=
−−
2).
ca
czz0
bya2
axx2
00
−
−−=
−=
−− 3).
0cz
b2byy
cb
axx 020 −
=−−
=−−
4).c2
czz
bc
byy0
ax 020 −−
=−−
=−
5).
cb
czz2b
byy0
ax2
00
−
−−=
−−=
−
Номер: 9.22.C
Задача: Составить уравнение нормали ( )nl к поверхности
( ) ( )0
22
0 zzc
axx −=− в точке ( )cz,b,axM 000 ++ , где Rec,b,a ∈
Ответы: 1).0
cz
ba
byya2
axx2
00 −=
−
−−=
−−
2).
ca
czz0
bya2
axx2
00
−
−−=
−=
−− 3).
0cz
b2byy
cb
axx 020 −
=−−
=−−
4).c2
czz
bc
byy0
ax 020 −−
=−−
=−
5).
cb
czz2b
byy0
ax2
00
−
−−=
−−=
−
Номер: 9.23.C
Задача: Составить уравнение нормали ( )nl к поверхности
( ) ( )0
22
0 xxc
byy −−=− в точке ( )c,by,axM 000 ++ , где Rec,b,a ∈
Ответы: 1).0
cz
ba
byya2
axx2
00 −=
−
−−=
−−
2).
ca
czz0
bya2
axx2
00
−
−−=
−=
−− 3).
0cz
b2byy
cb
axx 020 −
=−−
=−−
118
4).c2
czz
bc
byy0
ax 020 −−
=−−
=−
5).
cb
czz2b
byy0
ax2
00
−
−−=
−−=
−
Номер: 9.24.C
Задача: Составить уравнение нормали ( )nl к поверхности
( ) ( )0
22
0 yybczz −−=− в точке ( )cz,by,aM 000 ++ , где Rec,b,a ∈
Ответы: 1).0
cz
ba
byya2
axx2
00 −=
−
−−=
−−
2).
ca
czz0
bya2
axx2
00
−
−−=
−=
−− 3).
0cz
b2byy
cb
axx 020 −
=−−
=−−
4).c2
czz
bc
byy0
ax 020 −−
=−−
=−
5).
cb
czz2b
byy0
ax2
00
−
−−=
−−=
−
Номер: 9.25.C
Задача: Составить уравнение нормали ( )nl к поверхности
( ) ( )0
22
0 zzc
byy −=− в точке ( )cz,by,aM 000 ++ , где Rec,b,a ∈
Ответы: 1).0
cz
ba
byya2
axx2
00 −=
−
−−=
−−
2).
ca
czz0
bya2
axx2
00
−
−−=
−=
−− 3).
0cz
b2byy
cb
axx 020 −
=−−
=−−
4).c2
czz
bc
byy0
ax 020 −−
=−−
=−
5).
cb
czz2b
byy0
ax2
00
−
−−=
−−=
−
119
Номер: 9.26.C Задача: Составить уравнение касательной плоскости ( )α к поверхности
( ) ( )0
22
0 yyb
axx −=− в точке ( )c,by,axM 000 ++
Ответы: 1). ( ) ( ) 0byyb
aaxxa2 0
2
0 =−−−−−
2). ( ) ( ) 0czzc
aaxxa2 0
2
0 =−−−−−
3). ( ) ( ) 0byyb2axxc
b00
2
=−−+−−
4). ( ) ( ) 0czzc2byybc
00
2
=−−+−−
5). ( ) ( ) 0czzc
bbyyb2 0
2
0 =−−−−−
Номер: 9.27.C
Задача: Составить уравнение касательной плоскости ( )α к поверхности
( ) ( )0
22
0 zzc
axx −=− в точке ( )cz,b,axM 000 ++
Ответы: 1). ( ) ( ) 0byyb
aaxxa2 0
2
0 =−−−−−
2). ( ) ( ) 0czzc
aaxxa2 0
2
0 =−−−−−
3). ( ) ( ) 0byyb2axxc
b00
2
=−−+−−
4). ( ) ( ) 0czzc2byybc
00
2
=−−+−−
5). ( ) ( ) 0czzc
bbyyb2 0
2
0 =−−−−−
Номер: 9.28.C
Задача: Составить уравнение касательной плоскости ( )α к поверхности
( ) ( )0
22
0 xxc
byy −−=− в точке ( )c,by,axM 000 ++
120
Ответы: 1). ( ) ( ) 0byyb
aaxxa2 0
2
0 =−−−−−
2). ( ) ( ) 0czzc
aaxxa2 0
2
0 =−−−−−
3). ( ) ( ) 0byyb2axxc
b00
2
=−−+−−
4). ( ) ( ) 0czzc2byybc
00
2
=−−+−−
5). ( ) ( ) 0czzc
bbyyb2 0
2
0 =−−−−−
Номер: 9.29.C
Задача: Составить уравнение касательной плоскости ( )α к поверхности
( ) ( )0
22
0 yybczz −−=− в точке ( )cz,by,aM 000 ++
Ответы: 1). ( ) ( ) 0byyb
aaxxa2 0
2
0 =−−−−−
2). ( ) ( ) 0czzc
aaxxa2 0
2
0 =−−−−−
3). ( ) ( ) 0byyb2axxc
b00
2
=−−+−−
4). ( ) ( ) 0czzc2byybc
00
2
=−−+−−
5). ( ) ( ) 0czzc
bbyyb2 0
2
0 =−−−−−
Номер: 9.30.C
Задача: Составить уравнение касательной плоскости ( )α к поверхности
( ) ( )0
22
0 zzc
byy −=− в точке ( )cz,by,aM 000 ++
Ответы: 1). ( ) ( ) 0byyb
aaxxa2 0
2
0 =−−−−−
2). ( ) ( ) 0czzc
aaxxa2 0
2
0 =−−−−−
121
3). ( ) ( ) 0byyb2axxc
b00
2
=−−+−−
4). ( ) ( ) 0czzc2byybc
00
2
=−−+−−
5). ( ) ( ) 0czzc
bbyyb2 0
2
0 =−−−−−
Номер: 9.31.В
Задача: Составить уравнение нормали ( )nl к поверхности 01zyx 22 =+−+ в точке ( )3;1;1M0 , где Nc,b,a ∈
Ответы: 1).⎪⎩
⎪⎨
⎧
+−=+=+=
3tz1t2y1t2x
2).⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=+=+=
1tz1t2y1t2x
3).2
1z21y
21x −
=−+
=−+
4).⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=+−=+=
1tz1t2y
1t2x 5).
11z
21y
21x +
=−
=+
Номер: 9.32.В
Задача: Составить уравнение нормали ( )nl к поверхности 01zyx 22 =−++ в точке ( )1;1;1M0 − , где Nc,b,a ∈
Ответы: 1).⎪⎩
⎪⎨
⎧
+−=+=+=
3tz1t2y1t2x
2).⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=+=+=
1tz1t2y1t2x
3).2
1z21y
21x −
=−+
=−+
4).⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=+−=+=
1tz1t2y
1t2x 5).
11z
21y
21x +
=−
=+
Номер: 9.33.В
Задача: Составить уравнение нормали ( )nl к поверхности
03zyx 222 =−++ в точке ( )1;1;1M0 −− , где Nc,b,a ∈
122
Ответы: 1).⎪⎩
⎪⎨
⎧
+−=+=+=
3tz1t2y1t2x
2).⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=+=+=
1tz1t2y1t2x
3).2
1z21y
21x −
=−+
=−+
4).⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=+−=+=
1tz1t2y
1t2x 5).
11z
21y
21x +
=−
=+
Номер: 9.34.В
Задача: Составить уравнение нормали ( )nl к поверхности 01zyx 22 =−+− в точке ( )1;1;1M0 , где Nc,b,a ∈
Ответы: 1).⎪⎩
⎪⎨
⎧
+−=+=+=
3tz1t2y1t2x
2).⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=+=+=
1tz1t2y1t2x
3).2
1z21y
21x −
=−+
=−+
4).⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=+−=+=
1tz1t2y
1t2x 5).
11z
21y
21x +
=−
=+
Номер: 9.35.В
Задача: Составить уравнение нормали ( )nl к поверхности
01zyx 22 =+++− в точке ( )1;1;1M0 −− , где Nc,b,a ∈
Ответы: 1).⎪⎩
⎪⎨
⎧
+−=+=+=
3tz1t2y1t2x
2).⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=+=+=
1tz1t2y1t2x
3).2
1z21y
21x −
=−+
=−+
4).⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=+−=+=
1tz1t2y
1t2x 5).
11z
21y
21x +
=−
=+
Номер: 9.36.В
Задача: Составить уравнение касательной плоскости ( )α к поверхности
01zyx 22 =+−+ в точке ( )3;1;1M0 Ответы: 1). 01zy2x2 =−−+ 2). 03zy2x2 =−++ 3). 06z2y2x2 =+−+ 4). 01zy2x2 =−+− 5). 01zy2x2 =+++
123
Номер: 9.37.В Задача: Составить уравнение касательной плоскости ( )α к поверхности
01zyx 22 =−++ в точке ( )1;1;1M0 − Ответы: 1). 01zy2x2 =−−+ 2). 03zy2x2 =−++ 3). 06z2y2x2 =+−+ 4). 01zy2x2 =−+− 5). 01zy2x2 =+++
Номер: 9.38.В Задача: Составить уравнение касательной плоскости ( )α к поверхности
03zyx 222 =−++ в точке ( )1;1;1M0 −− Ответы: 1). 01zy2x2 =−−+ 2). 03zy2x2 =−++ 3). 06z2y2x2 =+−+ 4). 01zy2x2 =−+− 5). 01zy2x2 =+++
Номер: 9.39.В Задача: Составить уравнение касательной плоскости ( )α к поверхности
01zyx 22 =−+− в точке ( )1;1;1M0 Ответы: 1). 01zy2x2 =−−+ 2). 03zy2x2 =−++ 3). 06z2y2x2 =+−+ 4). 01zy2x2 =−+− 5). 01zy2x2 =+++
Номер: 9.40.В Задача: Составить уравнение касательной плоскости ( )α к поверхности
01zyx 22 =+++− в точке ( )1;1;1M0 −− Ответы: 1). 01zy2x2 =−−+ 2). 03zy2x2 =−++ 3). 06z2y2x2 =+−+ 4). 01zy2x2 =−+− 5). 01zy2x2 =+++
Номер: 9.41.А Задача: Чтобы поверхность S имела касательную плоскость в ее точке
( )( )0000 y,xf,y,x необходимо и достаточно, чтобы функция ( )y,xf была в точке ( )000 y,xP :
Ответы: 1).дифференцируемой 2).разрывной 3).сложной 4).линейной 5).голоморфной
Номер: 9.42.А Задача: Прямая, перпендикулярная к касательной плоскости в точке касания называется: Ответы: 1).вектором 2).нормалью 3).трендом 4).функтором 5).ротором
Номер: 9.43.А Задача: Уравнение нормали к поверхности ( ) 0z,y,xF = в точке ( )0000 z,y,xM имеет вид
124
Ответы: 1). ( ) ( ) 1zz
z,y,xFyy
z,y,xFxx 0
000y
0
000x
0
−−
=′
−=
′−
2). ( ) ( ) 1zz
z,y,xFyy
z,y,xFxx 0
000y
0
000x
0 −=
′−
=′
−
3). ( ) ( ) ( )000z
0
000y
0
000x
0
z,y,xFzz
z,y,xFyy
z,y,xFxx
′−
=′
−=
′−
4). ( ) ( ) ( )z,y,xFzz
z,y,xFyy
z,y,xFxx
z
0
y
0
x
0′−
=′−
=′−
5). 0)zz()z,y,x(F)yy()z,y,x(F)xx()z,y,x(F 0000z0000y0000x =−⋅′+−⋅′+−⋅′
Номер: 9.44.А Задача: Уравнение касательной плоскости к поверхности ( ) 0z,y,xF = в точке
( )0000 z,y,xM имеет вид Ответы: 1). ( ) ( ) ( ) ( )000y000x0 yyyxfxxy,xfzz −⋅′+−⋅′=−
2). ( ) ( ) ( )000z
0
000y
0
000x
0z,y,xF
zzz,y,xF
yyz,y,xF
xx′
−=
′−
=′
−
3). ( ) ( ) ( ) ( )000y000x0 yyyxfxxy,xfzz −⋅′′+−⋅′′=− 4). 0)zz()z,y,x(F)yy()z,y,x(F)xx()z,y,x(F 0000z0000y0000x =−⋅′+−⋅′+−⋅′ 5). 0)zz()z,y,x(F)yy()z,y,x(F)xx()z,y,x(F 0z0y0x =−⋅′+−⋅′+−⋅′
125
10. Производная функции по заданному направлению, градиент функции.
Номер: 10.1.В
Задача: Найти вектор zgrad для функции ( ) ( ) ( )1
czz
byy
axx
2
20
2
20
2
20 =
−+
−+
−
в точке ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++
33cz,
33by,
33axM 0000
Ответы: 1).⎭⎬⎫
⎩⎨⎧=
c32;
b32;
a32zgrad
0M 2).⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ −=
c2;
b2;
a2zgrad
0M
3).⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−=c
32;b2;
a2zgrad
0M 4).⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−=c
22;b2;
a2zgrad
0M
5).⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−=c2;
b32;
a2zgrad
0M
Номер: 10.2.В
Задача: Найти вектор zgrad для функции ( ) ( ) ( )1
czz
byy
axx
2
20
2
20
2
20 =
−−
−+
−
в точке ( )cz,by,axM 0000 +++
Ответы: 1).⎭⎬⎫
⎩⎨⎧=
c32;
b32;
a32zgrad
0M 2).⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ −=
c2;
b2;
a2zgrad
0M
3).⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−=c
32;b2;
a2zgrad
0M 4).⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−=c
22;b2;
a2zgrad
0M
5).⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−=c2;
b32;
a2zgrad
0M
Номер: 10.3.В
Задача: Найти вектор zgrad для функции ( ) ( ) ( )
1czz
byy
axx
2
20
2
20
2
20 −=
−−
−+
− в точке ( )c3z,by,axM 0000 +++
126
Ответы: 1).⎭⎬⎫
⎩⎨⎧=
c32;
b32;
a32zgrad
0M 2).⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ −=
c2;
b2;
a2zgrad
0M
3).⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−=c
32;b2;
a2zgrad
0M 4).⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−=c
22;b2;
a2zgrad
0M
5).⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−=c2;
b32;
a2zgrad
0M
Номер: 10.4.В
Задача: Найти вектор zgrad для функции ( ) ( ) ( ) 0czz
byy
axx
2
20
2
20
2
20 =
−−
−+
− в
точке ( )c2z,by,axM 0000 +++
Ответы: 1).⎭⎬⎫
⎩⎨⎧=
c32;
b32;
a32zgrad
0M 2).⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ −=
c2;
b2;
a2zgrad
0M
3).⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−=c
32;b2;
a2zgrad
0M 4).⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−=c
22;b2;
a2zgrad
0M
5).⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−=c2;
b32;
a2zgrad
0M
Номер: 10.5.В
Задача: Найти вектор zgrad для функции ( ) ( ) ( )
1b
yyczz
axx
2
20
2
20
2
20 −=
−−
−+
− в точке ( )cz,b3y,axM 0000 +++
Ответы: 1).⎭⎬⎫
⎩⎨⎧=
c32;
b32;
a32zgrad
0M 2).⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ −=
c2;
b2;
a2zgrad
0M
3).⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−=c
32;b2;
a2zgrad
0M 4).⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−=c
22;b2;
a2zgrad
0M
5).⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−=c2;
b32;
a2zgrad
0M
Номер: 10.6.В
Задача: Найти вектор zgrad для функции ( ) ( )1
byy
axx
2
20
2
20 =
−+
− в точке
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++ cz,b
22y,a
22xM 0000
127
Ответы: 1).⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
= 0;b2;
a2zgrad
0M 2).⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−= 0;b2;
a22zgrad
0M
3).⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=c2;
b2;0zgrad
0M 4).⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=c2;0;
a2zgrad
0M
5).⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−=c2;
b22;0zgrad
0M
Номер: 10.7.В
Задача: Найти вектор zgrad для функции ( ) ( )1
byy
axx
2
20
2
20 =
−−
− в точке
( )cz,by,a2xM 0000 +++
Ответы: 1).⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
= 0;b2;
a2zgrad
0M 2).⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−= 0;b2;
a22zgrad
0M
3).⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=c2;
b2;0zgrad
0M 4).⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=c2;0;
a2zgrad
0M
5).⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−=c2;
b22;0zgrad
0M
Номер: 10.8.В
Задача: Найти вектор zgrad для функции ( ) ( )1
czz
byy
2
20
2
20 =
−+
− в точке
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++ c
22z,b
22y,axM 0000
Ответы: 1).⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
= 0;b2;
a2zgrad
0M 2).⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−= 0;b2;
a22zgrad
0M
3).⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=c2;
b2;0zgrad
0M 4).⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=c2;0;
a2zgrad
0M
5).⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−=c2;
b22;0zgrad
0M
128
Номер: 10.9.В
Задача: Найти вектор zgrad для функции ( ) ( )1
czz
axx
2
20
2
20 =
−+
− в точке
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++ c
22z,by,a
22xM 0000
Ответы: 1).⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
= 0;b2;
a2zgrad
0M 2).⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−= 0;b2;
a22zgrad
0M
3).⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=c2;
b2;0zgrad
0M 4).⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=c2;0;
a2zgrad
0M
5).⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−=c2;
b22;0zgrad
0M
Номер: 10.10.В
Задача: Найти вектор zgrad для функции ( ) ( )1
czz
byy
2
20
2
20 =
−−
− в точке
( )cz,b2y,axM 0000 +++
Ответы: 1).⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
= 0;b2;
a2zgrad
0M 2).⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−= 0;b2;
a22zgrad
0M
3).⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=c2;
b2;0zgrad
0M 4).⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=c2;0;
a2zgrad
0M
5).⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−=c2;
b22;0zgrad
0M
Номер: 10.11.В
Задача: Найти вектор zgrad для функции ( ) ( )0
22
0 yyb
axx −=− в точке
( )c,by,axM 000 ++ , где Rec,b,a ∈
Ответы: 1).⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−= 0;b
a;a2zgrad2
M0
2).⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−=c
a;0;a2zgrad2
M0
3).⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
= 0;b2;c
bzgrad2
M0
4).⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
= c2;b
c;0zgrad2
M0
5).⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−=c
b;b2;0zgrad2
M0
129
Номер: 10.12.В
Задача: Найти вектор zgrad для функции ( ) ( )0
22
0 zzc
axx −=− в точке
( )cz,b,axM 000 ++
Ответы: 1).⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−= 0;b
a;a2zgrad2
M0
2).⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−=c
a;0;a2zgrad2
M0
3).⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
= 0;b2;c
bzgrad2
M0
4).⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
= c2;b
c;0zgrad2
M0
5).⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−=c
b;b2;0zgrad2
M0
Номер: 10.13.В
Задача: Найти вектор zgrad для функции ( ) ( )0
22
0 xxc
byy −−=− в точке
( )c,by,axM 000 ++ , где Rec,b,a ∈
Ответы: 1).⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−= 0;b
a;a2zgrad2
M0
2).⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−=c
a;0;a2zgrad2
M0
3).⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
= 0;b2;c
bzgrad2
M0
4).⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
= c2;b
c;0zgrad2
M0
5).⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−=c
b;b2;0zgrad2
M0
Номер: 10.14.В
Задача: Найти вектор zgrad для функции ( ) ( )0
22
0 yybczz −−=− в точке
( )cz,by,aM 000 ++ , где Rec,b,a ∈
Ответы: 1).⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−= 0;b
a;a2zgrad2
M0
2).⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−=c
a;0;a2zgrad2
M0
3).⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
= 0;b2;c
bzgrad2
M0
4).⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
= c2;b
c;0zgrad2
M0
5).⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−=c
b;b2;0zgrad2
M0
130
Номер: 10.15.В
Задача: Найти вектор zgrad для функции ( ) ( )0
22
0 zzc
byy −=− в точке
( )cz,by,aM 000 ++ , где Rec,b,a ∈
Ответы: 1).⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−= 0;b
a;a2zgrad2
M0
2).⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−=c
a;0;a2zgrad2
M0
3).⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
= 0;b2;c
bzgrad2
M0
4).⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
= c2;b
c;0zgrad2
M0
5).⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−=c
b;b2;0zgrad2
M0
Номер: 10.16.В
Задача: Найти производную от функции ( ) ( ) ( )1
czz
byy
axx
2
20
2
20
2
20 =
−+
−+
− в
точке ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++
33cz,
33by,
33axM 0000 в направлении { }321 l,l,ll =
r
Ответы: 1). ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++=∂∂
c3l
b3l
a3l
lz 321
M0l2r 2). ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+=
∂∂
cl
bl
al
l2
lz 321
M0
r
3). ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+=
∂∂
cl3
bl
al
l2
lz 321
M0
r 4). ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+=
∂∂
cl2
bl
al
l2
lz 321
M0
r
5). ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−=
∂∂
cl
bl3
al
l2
lz 321
M0
r
Номер: 10.17.В
Задача: Найти производную от функции ( ) ( ) ( )1
czz
byy
axx
2
20
2
20
2
20 =
−−
−+
− в
точке ( )cz,by,axM 0000 +++ в направлении { }321 l,l,ll =r
Ответы: 1). ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++=
∂∂
c3l
b3l
a3l
l2
lz 321
M0
r 2). ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+=
∂∂
cl
bl
al
l2
lz 321
M0
r
3). ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+=
∂∂
cl3
bl
al
l2
lz 321
M0
r 4). ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+=
∂∂
cl2
bl
al
l2
lz 321
M0
r
131
5). ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−=
∂∂
cl
bl3
al
l2
lz 321
M0
r
Номер: 10.18.В
Задача: Найти производную от функции ( ) ( ) ( )1
czz
byy
axx
2
20
2
20
2
20 −=
−−
−+
−
в точке ( )c3z,by,axM 0000 +++ в направлении { }321 l,l,ll =r
Ответы: 1). ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++=
∂∂
c3l
b3l
a3l
l2
lz 321
M0
r 2). ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+=
∂∂
cl
bl
al
l2
lz 321
M0
r
3). ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+=
∂∂
cl3
bl
al
l2
lz 321
M0
r 4). ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+=
∂∂
cl2
bl
al
l2
lz 321
M0
r
5). ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−=
∂∂
cl
bl3
al
l2
lz 321
M0
r
Номер: 10.19.В
Задача: Найти производную от функции ( ) ( ) ( ) 0czz
byy
axx
2
20
2
20
2
20 =
−−
−+
− в точке
( )c2z,by,axM 0000 +++ в направлении { }321 l,l,ll =r
Ответы: 1). ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++=
∂∂
c3l
b3l
a3l
l2
lz 321
M0
r 2). ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+=
∂∂
cl
bl
al
l2
lz 321
M0
r
3). ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+=
∂∂
cl3
bl
al
l2
lz 321
M0
r 4). ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+=
∂∂
cl2
bl
al
l2
lz 321
M0
r
5). ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−=
∂∂
cl
bl3
al
l2
lz 321
M0
r
Номер: 10.20.В
Задача: Найти производную от функции ( ) ( ) ( )1
byy
czz
axx
2
20
2
20
2
20 −=
−−
−+
−
в точке ( )cz,b3y,axM 0000 +++ в направлении { }321 l,l,ll =r
Ответы: 1). ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++=
∂∂
c3l
b3l
a3l
l2
lz 321
M0
r 2). ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+=
∂∂
cl
bl
al
l2
lz 321
M0
r
132
3). ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+=
∂∂
cl3
bl
al
l2
lz 321
M0
r 4). ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+=
∂∂
cl2
bl
al
l2
lz 321
M0
r
5). ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−=
∂∂
cl
bl3
al
l2
lz 321
M0
r
Номер: 10.21.C
Задача: Найти производную от функции 1by
ax
2
2
2
2
=+ в точке
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛c,b
22,a
22M0 в направлении { }321 l,l,ll =
r
Ответы: 1). ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
∂∂
bl
al
l2
lz 21
M0
r 2). ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
∂∂
bl
al2
l2
lz 21
M0
r
3). ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
∂∂
cl
bl
l2
lz 32
M0
r 4). ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
∂∂
cl
al
l2
lz 31
M0
r
5). ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
∂∂
cl
bl2
l2
lz 32
M0
r
Номер: 10.22.C
Задача: Найти производную от функции 1by
ax
2
2
2
2
=− в точке ( )c,b,a2M0 в
направлении { }321 l,l,ll =r
Ответы: 1). ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
∂∂
bl
al
l2
lz 21
M0
r 2). ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
∂∂
bl
al2
l2
lz 21
M0
r
3). ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
∂∂
cl
bl
l2
lz 32
M0
r 4). ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
∂∂
cl
al
l2
lz 31
M0
r
5). ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
∂∂
cl
bl2
l2
lz 32
M0
r
133
Номер: 10.23.C
Задача: Найти производную от функции 1cz
by
2
2
2
2
=+ в точке
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛c
22,b
22,aM0 в направлении { }321 l,l,ll =
r
Ответы: 1). ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
∂∂
bl
al
l2
lz 21
M0
r 2). ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
∂∂
bl
al2
l2
lz 21
M0
r
3). ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
∂∂
cl
bl
l2
lz 32
M0
r 4). ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
∂∂
cl
al
l2
lz 31
M0
r
5). ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
∂∂
cl
bl2
l2
lz 32
M0
r
Номер: 10.24.C
Задача: Найти производную от функции 1cz
ax
2
2
2
2
=+ в точке
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛c
22,b,a
22M0 в направлении { }321 l,l,ll =
r
Ответы: 1). ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
∂∂
bl
al
l2
lz 21
M0
r 2). ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
∂∂
bl
al2
l2
lz 21
M0
r
3). ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
∂∂
cl
bl
l2
lz 32
M0
r 4). ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
∂∂
cl
al
l2
lz 31
M0
r
5). ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
∂∂
cl
bl2
l2
lz 32
M0
r
Номер: 10.25.C
Задача: Найти производную от функции 1cz
by
2
2
2
2
=− в точке ( )c,b2,aM0
в направлении { }321 l,l,ll =r
Ответы: 1). ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
∂∂
bl
al
l2
lz 21
M0
r 2). ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
∂∂
bl
al2
l2
lz 21
M0
r
134
3). ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
∂∂
cl
bl
l2
lz 32
M0
r 4). ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
∂∂
cl
al
l2
lz 31
M0
r
5). ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
∂∂
cl
bl2
l2
lz 32
M0
r
Номер: 10.26.C
Задача: Найти производную от функции ( ) ( )0
22
0 yyb
axx −=− в точке
( )c,by,axM 000 ++ , где Rec,b,a ∈ в направлении { }321 l,l,ll =r
Ответы: 1). ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅=
∂∂
2
2
1M
lb
ala2l1
lz
0
r 2). ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅=
∂∂
3
2
1M
lc
ala2l1
lz
0
r
3). ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅+⋅=
∂∂
21
2
Mlb2l
cb
l1
lz
0
r 4). ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅+⋅=
∂∂
32
2
Mlc2l
bc
l1
lz
0
r
5). ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅=
∂∂
3
2
2M
lc
blb2l1
lz
0
r
Номер: 10.27.C
Задача: Найти производную от функции ( ) ( )0
22
0 zzc
axx −=− в точке
( )cz,b,axM 000 ++ в направлении { }321 l,l,ll =r
Ответы: 1). ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅=
∂∂
2
2
1M
lb
ala2l1
lz
0
r 2). ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅=
∂∂
3
2
1M
lc
ala2l1
lz
0
r
3). ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅+⋅=
∂∂
21
2
Mlb2l
cb
l1
lz
0
r 4). ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅+⋅=
∂∂
32
2
Mlc2l
bc
l1
lz
0
r
5). ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅=
∂∂
3
2
2M
lc
blb2l1
lz
0
r
Номер: 10.28.C
Задача: Найти производную от функции ( ) ( )0
22
0 xxc
byy −−=− в точке
( )c,by,axM 000 ++ , где Rec,b,a ∈ в направлении { }321 l,l,ll =r
135
Ответы: 1). ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅=
∂∂
2
2
1M
lb
ala2l1
lz
0
r 2). ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅=
∂∂
3
2
1M
lc
ala2l1
lz
0
r
3). ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅+⋅=
∂∂
21
2
Mlb2l
cb
l1
lz
0
r 4). ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅+⋅=
∂∂
32
2
Mlc2l
bc
l1
lz
0
r
5). ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅=
∂∂
3
2
2M
lc
blb2l1
lz
0
r
Номер: 10.29.C
Задача: Найти производную от функции ( ) ( )0
22
0 yybczz −−=− в точке
( )cz,by,aM 000 ++ , где Rec,b,a ∈ в направлении { }321 l,l,ll =r
Ответы: 1). ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅=
∂∂
2
2
1M
lb
ala2l1
lz
0
r 2). ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅=
∂∂
3
2
1M
lc
ala2l1
lz
0
r
3). ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅+⋅=
∂∂
21
2
Mlb2l
cb
l1
lz
0
r 4). ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅+⋅=
∂∂
32
2
Mlc2l
bc
l1
lz
0
r
5). ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅=
∂∂
3
2
2M
lc
blb2l1
lz
0
r
Номер: 10.30.C
Задача: Найти производную от функции ( ) ( )0
22
0 zzc
byy −=− в точке
( )cz,by,aM 000 ++ , где Rec,b,a ∈
в направлении { }321 l,l,ll =r
Ответы: 1). ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅=
∂∂
2
2
1M
lb
ala2l1
lz
0
r 2). ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅=
∂∂
3
2
1M
lc
ala2l1
lz
0
r
3). ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅+⋅=
∂∂
21
2
Mlb2l
cb
l1
lz
0
r 4). ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅+⋅=
∂∂
32
2
Mlc2l
bc
l1
lz
0
r
5). ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅=
∂∂
3
2
2M
lc
blb2l1
lz
0
r
136
Номер: 10.31.A Задача: Из всех производных по направлению, вычисленных для функции
( )z,y,xuu = в одной и той же точке, наибольшее значение имеет та производная, которая вычислена: Ответы: 1).в направлении градиента 2).перпендикулярно градиенту 3).все производные равны 4).нет правильного ответа 5).в любом направлении
Номер: 10.32.A
Задача: Производная по направлению вектора, перпендикулярного к вектору ugrad
Ответы: 1).не равна нулю 2).равна нулю 3).имеет положительное значение 4).отрицательная 5).не имеет смысла
Номер: 10.33.A Задача: Для дифференцируемой функции двух переменных ( )y,xuu = градиент определяется формулой
Ответы: 1). jyui
xuugrad
∂∂
−∂∂
= 2). jxui
yuugrad
∂∂
+∂∂
= 3). jyui
xuugrad
∂∂
+∂∂
=
4). jyui
xuugrad
∂∂
−∂∂
−= 5). jyui
xuugrad
∂∂
+∂∂
−=
Номер: 10.34.A
Задача: Для функции двух переменных ( )y,xuu = вектор ugrad направлен по отношению к касательной, проведенной к линии уровня ( ) сy,xu = в точке ( )y,xM
Ответы: 1).параллельно 2).под углом 015 3).под углом 045 4).перпендикулярно 5).под углом 030
Номер: 10.35.A Задача: Градиент функции трех переменных ( )z,y,xuu = направлен к поверхности уровня, проходящей через данную точку Ответы: 1).параллельно 2).под углом 015 3).под углом 045 4).под углом 030 5).по нормали
Номер: 10.36.A Задача: Для функции двух переменных ( )y,xuu = производная по направлению вектора { }βα= cos,cosa в точке ( )y,xM вычисляется по формуле
Ответы: 1). β∂∂
+α∂∂
=∂∂ sin
yusin
xu
au 2). β
∂∂
−α∂∂
=∂∂ sin
yucos
xu
au
3). β∂∂
+α∂∂
=∂∂ cos
yucos
xu
au 4). β
∂∂
+α∂∂
=∂∂ cos
yusin
xu
au 5). β
∂∂
+α∂∂
−=∂∂ cos
yucos
xu
au
137
Номер: 10.37.А
Задача: Найти градиент функции 222 z2y21x4u ++= в точке М(1;1;1) .
Mugrad =
Ответы: 1). 81 2). 44 3). 29 4). 36 5). 72
Номер: 10.38.А Задача: Найти градиент функции 222 zyx3u −−= в точке М(1;1; 1)..
Mugrad =
Ответы: 1). 81 2). 44 3). 29 4). 36 5). 72
Номер: 10.39.А
Задача: Найти градиент функции 222 z2y21x4u −−= в точке М(1;1; 1).. .
Mugrad =
Ответы: 1). 81 2). 44 3). 29 4). 36 5). 72
Номер: 10.40.В Задача: Даны функция z x xy= +3 22 ,точка ( )2,1A и вектор { }4;3а =r . Найти grad z в точке A . Ответы: 1).{10;2} 2).{5; 2).. 3).{10;5} 4).{2;10} 5).{0;0}
Номер: 10.41.В
Задача: Даны функция xyy4z 2 += и точка ( )1,1A . Найти grad z в точке A . Ответы: 1).{0;9} 2).{1;0) 3).{0;0} 4).{1;9} 5).{9;9}
Номер: 10.42.В Задача: Даны функция yxy100z 24 −= и точка ( )0,1A . Найти grad z в точке A . Ответы: 1).{0;1} 2).{1;0) 3).{-1;0} 4).{0;-1} 5).{-1;1}
Номер: 10.43.В Задача: Даны функция xyxx4z 3 +−= и точка ( )0,0A . Найти grad z в точке A . Ответы: 1).{-1;0} 2).{0;0) 3).{10;0} 4).{1;0} 5).{9;9}
Номер: 10.44.В Задача: Даны функция 22 x1000yx100y1000z ++= и точка ( )1,0A − . Найти grad z в точке A .
138
Ответы: 1).{-100;2000} 2).{-100;-2000) 3).{0;0} 4).{100;900} 5).{9;9}
Номер: 10.45.В Задача: Даны функция ( )z x y= +ln 2 23 и точка ( )0,1A . Найти grad z в точке A . Ответы: 1).{0;9} 2).{2;0) 3).{0;0} 4).{1;9} 5).{2;1}
Номер: 10.46.В Задача: Даны функция ( )63 yxln100z −+= и точка ( )1,0A . Найти grad z в точке A . Ответы: 1).{0;9} 2).{2;0) 3).{0;0} 4).{0;6} 5).{2;1}
Номер: 10.47.В Задача: Даны функция ( )yxxlnz −= и точка ( )1,2A . Найти grad z в точке A .
Ответы: 1).{23 ;-1} 2).{2;0) 3).{0;0} 4).{1;9} 5).{2;1}
Номер: 10.48.В
Задача: Даны функция ( )yxlnz −= и точка ( )3,4A . Найти grad z в точке A . Ответы: 1).{0;9} 2).{2;0) 3).{1;-1} 4).{1;9} 5).{2;1}
Номер: 10.49.В Задача: Даны функция ( )22 y3xlnx80z ++−= и точка ( )0,1A . Найти grad z в точке A . Ответы: 1).{0;1} 2).{2;0) 3).{0;0} 4).{1;9} 5).{2;1}
Номер: 10.50.В Задача: Даны функция yxez = и точка ( )0,1A . Найти grad z в точке A . Ответы: 1).{0;9} 2).{2;0) 3).{0;0} 4).{1;9} 5).{2;1}
Номер: 10.51.В Задача: Даны функция ( ) exz y5y+= и точка ( )0,1A . Найти grad z в точке A . Ответы: 1).{0;9} 2).{2;0) 3).{0;0} 4).{1;9} 5).{2;1}
Номер: 10.52.В Задача: Даны функция yxez = и точка ( )0,5A . Найти grad z в точке A . Ответы: 1).{0;9} 2).{2;0) 3).{0;0} 4).{1;5} 5).{2;1}
Номер: 10.53.В Задача: Даны функция ye2z x+= и точка ( )8,0A . Найти grad z в точке A .
139
Ответы: 1).{0;8} 2).{2;0) 3).{0;0} 4).{1;2} 5).{8;1}
Номер: 10.54.В Задача: даны функция yx xeez += и точка ( )0,0A . Найти grad z в точке A . Ответы: 1).{0;9} 2).{2;0) 3).{0;0} 4).{1;9} 5).{2;1}
Номер: 10.55.В Задача: Даны функция ( )z arctg x y= 2 2 и точка ( )0,0A . Найти grad z в точке A . Ответы: 1).. {0;9} 2).{2;0) 3).{0;0} 4).{1;9} 5).{2;1}
Номер: 10.56.В Задача: Даны функция ( )yxarctgz += и точка ( )1,1A − . Найти grad z в точке A . Ответы: 1).{0;9} 2).{1; 1).. 3).{0;0} 4).{1;9} 5).{2;1}
Номер: 10.57.В Задача: Даны функция ( )yxarctgz 3 += и точка ( )1,1A − . Найти grad z в точке A . Ответы: 1).{0;9} 2).{2;0) 3).{0;0} 4).{1;9} 5).{3;1}
Номер: 10.58.В Задача: Даны функция ( )xyarctg5z 3 ++= и точка ( )1,1A − . Найти grad z в точке A . Ответы: 1).{0;9} 2).{2;0) 3).{0;0} 4).{1;3} 5).{3;1}
Номер: 10.59.В Задача: Даны функция ( )yxarctg100z 3+= и точка ( )1,1A . Найти grad z в точке A .
Ответы: 1).{23 ;
21 } 2).{2;0) 3).{
21;
23− } 4).{1;9} 5).{
21;
23 −− }
Номер: 10.60.В
Задача: Даны функция ( )22 yxarctg25z += и точка ( )1,1A . Найти grad z в точке A .
Ответы: 1).{23 ;
21 } 2).{1; 1).. 3).{
21;
23− } 4).{1;-1} 5).{
21;
23 −− }
Номер: 10.61.В
Задача: Даны функция ( )22 yxarctg25z += и точка ( )0,0A . Найти grad z в точке A .
140
Ответы: 1).{23 ;
21 } 2).{1; 1).. 3).{ 0;0 } 4).{1;-1} 5).{
21;
23 −− }
Номер: 10.62.В
Задача: Даны функция ( )22xy yxarctgez += и точка ( )0,0A . Найти grad z в точке A .
Ответы: 1).{23 ;
21 } 2).{1; 1).. 3).{ 0;0 } 4).{1;-1} 5).{
21;
23 −− }
Номер: 10.63.В
Задача: Даны функция ( )22yx2 yxarctgez += − и точка ( )0,0A . Найти grad z в точке A .
Ответы: 1).{23 ;
21 } 2).{1; 1).. 3).{ 0;0 } 4).{2;-1} 5).{
21;
23 −− }
Номер: 10.64.В
Задача: Найти градиент функции 4
zyxu2
22 ++= в точке ( )1,1,1M : =Mugrad
Ответы: 1).2
33 2).233 3).
211 4).
255 5).
255
Номер: 10.65.В
Задача: Найти градиент функции 3
y2
xu22
+= в точке ( )4,2M0 K=ugrad
Ответы: 1).3
10 2).53 3).
511 4).
31 5).
21
Номер: 10.66.В
Задача: Даны функция z x xy= +3 22 , точка ( )2,1A и вектор { }4;3а =r . Найти производную в точке A по направлению вектора a .
Ответы: 1).{10;2} 2).10 3).5
38− 4).
538
5).0
Номер: 10.67.В
Задача: Даны функция xyy4z 2 += , точка ( )1,1A и вектор { }4;3а =r . Найти производную в точке A по направлению вектора a .
Ответы: 1).{1;9} 2).5
39 3).
538
− 4).538
5).5
39−
141
Номер: 10.68.В Задача: Даны функция yxy100z 24 −= , точка ( )0,1A и вектор { }4;3а =r . Найти производную в точке A по направлению вектора a .
Ответы: 1).{0;-1} 2).5
39 3).
54
− 4).0 5).54
Номер: 10.69.В
Задача: Даны функция xyxx4z 3 +−= , точка ( )0,0A и вектор { }4;3а −=r
. Найти производную в точке A по направлению вектора a .
Ответы: 1).{0;-1} 2).53
3).54
− 4).0 5).54
Номер: 10.70.В
Задача: Даны функция 22 x1000yx100y1000z ++= , точка ( )1,0A − и вектор { }4;3а −−=
r. Найти производную в точке A по направлению вектора a .
Ответы: 1).420 2).400 3).- 420 4).0 5).- 400
Номер: 10.71.В Задача: Даны функция ( )22 y3xlnz += , точка ( )0,1A и вектор { }4;3а −−=
r.
Найти производную в точке A по направлению вектора a .
Ответы: 1).420 2).56
3).– 420 4).0 5).56
−
Номер: 10.72.В
Задача: Даны функция ( )63 yxln100z −+= , точка ( )1,0A и вектор { }4;3а −=r
. Найти производную в точке A по направлению вектора a .
Ответы: 1).524
2).56
3).524−
4).0 5).56
−
Номер: 10.73.В
Задача: Даны функция ( )yxxlnz −= , точка ( )1,2A и вектор { }4;3а −=r
. Найти производную в точке A по направлению вектора a .
Ответы: 1).524
2).1017
3).524−
4).0 5).1017−
Номер: 10.74.В
Задача: Даны функция ( )yxlnz −= , точка ( )3,4A и вектор { }4;3а −=r
. Найти производную в точке A по направлению вектора a .
Ответы: 1).524
2).1017
3).51−
4).0 5).51
142
Номер: 10.75.В Задача: Даны функция ( )22 y3xlnx80z ++−= , точка ( )0,1A и вектор
{ }4;3а −=r
. Найти производную в точке A по направлению вектора a .
Ответы: 1).524
2).1017
3).54−
4).0 5).54
Номер: 10.76.В
Задача: Даны функция yxez = , точка ( )0,1A и вектор { }0;1а =r . Найти производную в точке A по направлению вектора a .
Ответы: 1).524
2).1017
3).54−
4).0 5).54
Номер: 10.77.В
Задача: Даны функция ( ) exz y5y+= , точка ( )0,1A и вектор { }4;3а −=r
. Найти производную в точке A по направлению вектора a .
Ответы: 1).524
2).1017
3).0 4).54−
5).54
Номер: 10.78.С
Задача: Даны функция yxez = , точка ( )0,5A и вектор { }4;3а −=r
. Найти производную в точке A по направлению вектора a .
Ответы: 1).524
2).5
17 3).0 4).
517−
5).54
Номер: 10.79.С
Задача: Даны функция ye2z x+= , точка ( )8,0A и вектор { }4;3а −=r
. Найти производную в точке A по направлению вектора a .
Ответы: 1).524
2).54−
3).-4 4).517−
5).54
Номер: 10.80.В
Задача: Даны функция yx xeez += , точка ( )0,0A и вектор { }4;3а =r . Найти производную в точке A по направлению вектора a .
Ответы: 1).52−
2).56−
3).-4 4).56
5).54
Номер: 10.81.В
Задача: Даны функция ( )z arctg x y= 2 2 , точка ( )0,0A и вектор { }4;3а =r . Найти производную в точке A по направлению вектора a .
143
Ответы: 1).0 2).56−
3).-4 4).56
5).54
Номер: 10.82.В
Задача: Даны функция ( )yxarctgz += , точка ( )1,1A − и вектор { }4;3а −=r
. Найти производную в точке A по направлению вектора a .
Ответы: 1).0 2).-51
3).-4 4).56
5).51
Номер: 10.83.С
Задача: Даны функция ( )yxarctgz 3 += , точка ( )1,1A − и вектор { }4;3а −=r
. Найти производную в точке A по направлению вектора a .
Ответы: 1).-1 2).-51
3).-4 4).1 5).51
Номер: 10.84.С
Задача: Даны функция ( )xyarctg5z 3 ++= , точка ( )1,1A − и вектор { }4;3а =r . Найти производную в точке A по направлению вектора a .
Ответы: 1).-1 2).3 3).-3 4).1 5).51
Номер: 10.85.С
Задача: Даны функция ( )yxarctg100z 3+= , точка ( )1,1A и вектор { }4;3а −=r
. Найти производную в точке A по направлению вектора a .
Ответы: 1).21−
2).3 3).21
4).1 5).51
Номер: 10.86.В
Задача: Даны функция ( )22 yxarctg25z += , точка ( )1,1A и вектор { }1;0а −=r
. Найти производную в точке A по направлению вектора a .
Ответы: 1).21−
2).3 3).21
4).-1 5).51
Номер: 10.87.С
Задача: Даны функция ( )22 yxarctg25z += , точка ( )0,0A и вектор { }0;1а =r . Найти производную в точке A по направлению вектора a .
Ответы: 1).21−
2).0 3).21
4).-1 5).51
144
Номер: 10.88.С Задача: Даны функция ( )22xy yxarctgez += ,точка ( )0,0A и вектор
{ }3;1а −−=r
. Найти производную в точке A по направлению вектора a .
Ответы: 1).0 2).-3 3).21
4).-1 5).51
Номер: 10.89.С
Задача: Даны функция ( )22yx2 yxarctgez += − ,точка ( )0,0A и вектор { }4;3а −=
r. Найти производную в точке A по направлению вектора a .
Ответы: 1).0 2).2 3).21
4).-1 5).51
145
11.Экстремумы функции двух переменных. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных.
Номер: 11.1.А
Задача: Найти экстремум функции 2xy3y5x4z 22 +++= Ответы: 1).zmax=-2 2).zmin=2 3) экстремума не существует 4).zmin=-2 5).zmax=2
Номер: 11.2.А Задача: Найти экстремум функции 4xyy2xz 22 +−+= Ответы: 1).zmax=4 2).zmin=-4 3).экстремума не существует 4).zmin=4 5).zmax=-4
Номер: 11.3.А Задача: Найти экстремум функции xy3yxz 22 −+= Ответы: 1).zmax=2 2).zmin=0 3).zmin=2 4).экстремума не существует 5).zmax=0
Номер:11.4.А Задача: Функция ( )y,xfz = имеет экстремум в данной точке, если Ответы: 1).функция имеет максимум в данной точке 2).функция имеет минимум в данной точке 3).функция имеет максимум и минимум в данной точке 4).функция имеет перегиб в данной точке 5).функция бесконечно приближается к данной точке
Номер:11.5.А Задача: Если функция ( )y,xfz = имеет в точке ( )000 y,xM экстремум и в точке
0M существуют частные производные первого порядка, то они Ответы: 1). ( ) ( ) 0yxfyxf 00y00x ≠′=′ 2). ( ) ( ) 0yxf;0yxf 00y00x =′=′
3). ( ) ( ) 0yxf;1yxf 00y00x =′=′ 4).( )( ) 2
yxfyxf
00y
00x =′′
5). ( ) ( ) 2yxf;1yxf 00y00x =′=′
Номер:11.6.А
Задача: Критическими точками функции ( )y,xfz = называется точки, в которых частные производные первого порядка ( )y,xf x′ и ( )y,xf y′ : Ответы: 1).обращается в нуль 2).не существует 3).обращаются в нуль или не существуют 4).не равны нулю 5).могут принимать любое значение
Номер:11.7.А Задача: Наибольшее и наименьшее значения функции ( )y,xfz = в ограниченной, замкнутой области D находится:
146
Ответы: 1).в наибольшем или наименьшем значении функции ( )y,xfz = на границе областиD 2).в наибольшем или наименьшем значении функции ( )y,xfz = на границе области D либо в критических точках области D 3).в критических точках области D 4).такое значение найти невозможно 5).в некритических точках области D
Номер: 11.8.А Задача: Если функция ( )y,xfz = достигает экстремума в точке ( )000 y,xM , то каждая частная производная первого порядка от z Ответы: 1).обращается в нуль в этой точке 2).не существует 3).обращается в нуль в этой точке или не существует 4).не равна нулю 5).положительна
Номер: 11.9.А Задача: Точки в которых yx z,z ′′ равны нулю или не существуют (где ( )y,xfz = называются Ответы: 1).особенными точками 2).существенными точками 3).определяемыми точками 4).критическими точками функции 5).нулевыми точками
Номер: 11.10.В Задача: Исследовать функцию на экстремум y5x4xyyxz 22 −−++= Ответы: 1).zmax (1;2)=4 2).zmin (1;2)=4 3).zmin (1;2)=0 4).zmin (1;2)=-7 5).zmax (1;2)=9
Номер: 11.11.В Задача: Исследовать функцию на экстремум ( )yx2yxz 23 −−=
Ответы: 1).zmax (1;32 )=
274 2).zmin (1;
32 )=
274 3).zmax (1;
32 )=-
274
4).zmin (1;32 )=-
274 5).zmax (1;2)=9
Номер: 11.12.В
Задача: Исследовать функцию на экстремум ( )yxsinysinxsinz +++= , (0<x<π ,0<y< π )
Ответы: 1).zmax ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ππ
3;
3=
233 2).zmin ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ππ
3;
3=
233 3).zmin ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ππ
3;
3=
23
4).zmin ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ππ
3;
3=-
233
5).экстремума нет
147
Номер: 11.13.В Задача: Исследовать функцию на экстремум 22 yxyxy6x3z +−−+= Ответы: 1).zmax (1;2)=4 2).zmin (1;2)=4 3).экстремума нет 4).zmin (1;2)=-7 5).zmax (1;2)=9
Номер: 11.14.В Задача: Исследовать функцию на экстремум yln18xln2yxz 22 −−+= Ответы: 1).zmax (1;2)=ln3 2).zmin (1;3)=10-18ln3 3).zmin (1;3)=10+18ln3 4).zmin (1;2)=10-18ln3 5).zmax (1;3)=1-18ln3
Номер: 11.15.В
Задача: Исследовать функцию на экстремум ( ) ( )22 yx22 eyx2z +−+= Ответы: 1).zmax (0;0)=4 2).zmin (1;2)=4 3).zmin (0;0)=0 4).zmin (0;0)=-7 5).zmax (1;2)=0
Номер: 11.16.В
Задача: Исследовать функцию на экстремум xyz = Ответы: 1).zmax (1;2)=4 2).zmin (1;2)=4 3).экстремума нет 4).zmin (1;2)=-7 5).zmax (1;2)=9
Номер: 11.17.В Задача: Исследовать функцию на экстремум ( )yx1xyz −−=
Ответы: 1).zmax ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
31;
31
=271 2).zmin ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
31;
31
=271
3).zmax ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
31;
31
= 271−
4).zmin ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
31;
31
= 271−
5).zmax ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
31;
31
= 271
Номер: 11.18.В Задача: Исследовать функцию на экстремум 22 yxyxz ++= Ответы: 1).zmax (0;0)=4 2).zmin (1;2)=4 3).zmin (0;0)=0 4).zmin (0;0)=-7 5).zmax (1;2)=0
Номер: 11.19.В
Задача: Исследовать функцию на экстремум 2223 yx5xyx2z ++−= Ответы: 1).zmax (0;0)=4 2).zmin (1;2)=4 3).zmin (0;0)=0 4).zmin (0;0)=-7 5).zmax (1;2)=0
Номер: 11.20.В
Задача: Исследовать функцию на экстремум ( )22x
yxez +=
148
Ответы: 1).zmax (-2;0)=2e 2).zmin (-1; 2).=-4e 3).zmin (1;2)=-2e
4).zmin (-2;0)=-е2
5).zmax (1;2)=9
Номер: 11.21.В
Задача: Исследовать функцию на экстремум 22 yxxyz+
=
Ответы: 1).zmax (x=y≠ 0)=21 2).zmin (x=y≠ 0)=-
21 3).zmax (x=y≠ 0)=
31
4).zmax (x=y≠ 0)=41 5).zmin (x=y≠ 0)=
21
Номер: 11.22.В
Задача: Исследовать функцию на экстремум 20y6x9yxyxz 22 +−++−= Ответы: 1).zmax (0;0)=4 2).zmin (-4; 1).=-1 3).zmin (-4; 1).=0 4).zmin (1;2)=-7 5).zmax (0;0)=2
Номер: 11.23.В Задача: Исследовать функцию на экстремум 32 xyxyxyz −−= ( )0y,0x >> Ответы: 1).zmax (1;2)=4 2).zmin (1;2)=4 3).экстремума нет 4).zmin (1;2)=-7 5).zmax (1;2)=9
Номер: 11.24.В Задача: Исследовать функцию на экстремум y4y3xx3z 232 ++−=
Ответы: 1).zmax ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
32;0 =
34−
2).zmin ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
32;0 =
34
3).zmax ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
31;
31
= 271−
4).zmin ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
31;
31
= 271−
5).zmax ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
31;
31
= 271
Номер: 11.25.В
Задача: Исследовать функцию на экстремум y6xyxyz 2 +−−= Ответы: 1).zmax (1;2)=4 2).zmin (1;2)=4 3).экстремума нет 4).zmin (1;2)=-7 5).zmax (1;2)=9
Номер: 11.26.В Задача: Найти экстремум функции y18x30yx3xz 23 −−+= Ответы: 1). 36z,36z maxmin =−= 2). 72z,72z maxmin =−= 3). 9z,9z maxmin =−= 4). 90z,90z maxmin =−= 5). 288z,288z maxmin =−=
149
Номер: 11.27.В Задача: Найти точки экстремума функции 1yxyyxxz 22 +−+++= Ответы: 1).(-2;2) 2).(-1;1) 3).(-3;3) 4).(0;0) 5).(-5;5)
Номер: 11.28.В Задача: Найти точки экстремума функции ( ) 22 yxyx4z −−−= Ответы: 1).(-1;1) 2).(2;-2) 3).(-3;3) 4).(-10;19) 5).(-5;5)
Номер: 11.29.В Задача: Найти точки экстремума функции 10y2x3yx2z 22 +−−= Ответы: 1).(2;2) 2).(0;0) 3).(1;1) 4).(5;5) 5).(4;4)
Номер: 11.30.В Задача: Найти точки экстремума функции 25y2x3yx2z 22 +−−= Ответы: 1).(2;2) 2).(0;0) 3).(1;1) 4).(5;5) 5).(4;4)
Номер: 11.31.В
Задача: Найти точки экстремума функции y2x5yxyx21z 22 −−−+−=
Ответы: 1).(12;7)-т. max 2).(-12;-7) –т.min 3).(-12;-7)-т. max 4).экстремума нет 5).(5;4)-т.min
Номер: 11.32.В Задача: Найти точки экстремума функции y8x3yxy2z 2 +−−= Ответы: 1) (4;6)-т. max 2) (0;1) –т.min 3) (1;2)-т. max 4) экстремума нет 5) (2;0)-т.min
Номер: 11.33.В
Задача: Найти точки экстремума функции y5x2yx4xz 2 +−−= Ответы: 1).(5;4)-т. max 2).(-5;4) –т.min 3).(-5;-4)-т. max 4).экстремума нет 5) (5;4)-т.min
Номер: 11.34.В
Задача: Найти точки экстремума функции 22 yx5z −= Ответы: 1) (4;6)-т. max 2).(0;1) –т.min 3).(1;2)-т. max 4).экстремума нет 5).(5;4)-т.min
Номер: 11.35.В
Задача: Найти точки экстремума функции x7y2xyxz 22 +++= Ответы: 1).(-4;1)-т. max 2).(-4;1) –т.min 3).(-4;-1)-т. max 4).экстремума нет 5).(-1;4)-т.min
150
Номер: 11.36.В Задача: Найти точки экстремума функции y2xyxyxz 22 −++−= Ответы: 1).(-1;1)-т. max 2).(0;1) –т.min 3).(1;0)-т. max 4).экстремума нет 5).(2;0)-т.min
Номер: 11.37.В
Задача: Найти точки экстремума функции y3yxyxz 22 +++= Ответы: 1).(-1;2)-т. max 2).(0;1) –т.min 3).(1;-2)-т. max 4).экстремума нет 5).(1;-2)-т.min
Номер: 11.38.В Задача: Найти точки экстремума функции 1y6xy10x3z 22 +++= Ответы: 1).(4;6)-т. max 2).(-1;1) –т.min 3).(1;2)-т. max 4).экстремума нет 5).(2;0)-т.min
Номер: 11.39.В
Задача: Найти точки экстремума функции 2x26y27xy7x3z 22 +−−+=
Ответы: 1).(4;6)-т. max 2).(0;1) –т.min 3).(1;2)-т. max 4).экстремума нет 5).(5;4)-т.min
Номер: 11.40.В
Задача: Найти точки экстремума функции 17x12y5,0x3z 22 −−+= Ответы: 1).(2;0)-т. max 2).(-1;1) –т.min 3).(0;2)-т. max 4).экстремума нет 5).(2;0)-т.min
Номер: 11.41.В Задача: Найти точки экстремума функции x18xy3x2z 3 ++−= Ответы: 1) (4;6)-т. max 2).(0;1) –т.min 3).(1;2)-т. max 4).(5;4)-т.min 5) экстремума нет
Номер: 11.42.В
Задача: Найти точки экстремума функции 23xyez 22x ++= Ответы: 1).(4;6)-т. max 2).(0;0) –т.min 3).(1;2)-т. max 4).экстремума нет 5).(2;0)-т.min
Номер: 11.43.В
Задача: Найти точки экстремума функции yxz 2 += Ответы: 1).(1;3)-т. max 2).(0;1) –т.min 3).(1;2)-т. max 4).экстремума нет 5).(2;0)-т.min
151
Номер: 11.44.В Задача: Найти точки экстремума функции 99yxz 22 +−= Ответы: 1).(4;6)-т. max 2).(0;0) –т.min 3).(1;2)-т. max 4).экстремума нет 5).(2;0)-т.min
Номер: 11.45.В
Задача: Найти точки экстремума функции 32 y2xz += Ответы: 1).(1;3)-т. max 2).(2;1) –т.min 3).экстремума нет 4).(1;2)-т. max 5).(2;0)-т.min
Номер: 11.46.В Задача: Найти точки экстремума функции 222 yxy6x8z ++−= Ответы: 1).(1;3)-т. max 2).(2;1) –т.min 3).(1;2)-т. max 4).экстремума нет 5).(2;0)-т.min
Номер: 11.47.В
Задача: Найти точки экстремума функции 1xy12yx8z 22 −−−= Ответы: 1).(1;3)-т. max 2).(2;1) –т.min 3).экстремума нет 4).(1;2)-т. max 5).(2;0)-т.min
Номер: 11.48.В
Задача: Найти точки экстремума функции xy6yx2z 22 ++= Ответы: 1).(1;3)-т. max 2).(2;1) –т.min 3).экстремума нет 4).(1;2)-т. max 5) (2;0)-т.min
Номер: 11.49.В
Задача: Найти точки экстремума функции 222 xy2yxz −−= Ответы: 1).(1;3)-т. max 2).(2;1) –т.min 3).экстремума нет 4).(0;0)-т. max 5).(-2;1)-т.min
Номер: 11.50.В
Задача: Найти точки экстремума функции 12yxyx2z 22 −+−= Ответы: 1).(1;3)-т. max 2).(2;1) –т.min 3) экстремума нет 4).(0;0)-т. min 5).(-2;1)-т.min
Номер: 11.51.В
Задача: Найти точки экстремума функции y12x12yxy6x3z 32 +−−−= Ответы: 1).(0;-2)-т. max 2).(2;0) –т.min 3).(-2;0) –т.min 4).экстремума нет 5).(0;-2)-т.min
152
Номер: 11.52.В Задача: Найти точки экстремума функции 3y3xxyz 22 +−−= Ответы: 1).(1;3)-т. max 2).(2;1) –т.min 3).экстремума нет 4).(0;0)-т. mах 5).(-2;1)-т.min
Номер: 11.53.В
Задача: Найти точки экстремума функции y18x18y3yx6xz 23 −−++= Ответы: 1).(1;3)-т. max 2).(2;1) –т.min 3).(0;3) –т.min 4).(1;2)-т. max 5).(2;0)-т.min
Номер: 11.54.В
Задача: Найти точки экстремума функции 1y3x2xyz 22 −++= Ответы: 1).(1;3)-т. max 2).(2;1) –т.min 3).(0;0) –т.min 4).(1;2)-т. max 5).(2;0)-т.min
Номер: 11.55.В
Задача: Найти точки экстремума функции 1yx3xyxz 2223 −++−= Ответы: 1).(1;3)-т. max 2).(2;1) –т.min 3).(0;3) –т.min 4).(1;2)-т. max 5).(0;0)-т.min
Номер: 11.56.В Задача: Найти точки экстремума функции 1xy6y3xz 22 +−−= Ответы: 1).(1;3)-т. max 2).(2;1) –т.min 3) экстремума нет 4).(0;0)-т. mах 5).(-2;1)-т.min
Номер: 11.57.В
Задача: Найти точки экстремума функции y40x24y2xy6z 2 −−+= Ответы: 1).zmax (1;2)=4 2).zmin (1;2)=4 3).экстремума нет 4).zmin (1;2)=-7 5).zmax (1;2)=9
Номер: 11.58.В Задача: Найти точки экстремума функции 22 yxz −= Ответы: 1).zmax (1;2)=4 2).zmin (1;2)=4 3).экстремума нет 4).zmin (1;2)=-7 5).zmax (1;2)=9
Номер: 11.59.В Задача: Найти точки экстремума функции x4xy2xz 22 −+= Ответы: 1).(4;0)-т. max 2).(4;0) –т.min 3).(0;-2) –т.min 4).(0;2)-т. max 5).экстремума нет
153
Номер: 11.60.B Задача: Найти экстремум функции cxybyaxz 22 ++= +d
Ответы: 1).если 0cab4 2 >− , a>0, то dz max = 2).если 0cab4 2 >− , a<0, то dz min = 3).если 0cab4 2 <− , a>0, то czmax −=
4).если 0cab4 2 >− , a<0, то dz max = 5).если 0cab4 2 >− , a<0, то нет экстремума
Номер: 11.61.B Задача: Найти экстремум функции dcxybyaxz 22 +++= Ответы: 1).если 0cab4 2 >− , a>0, то нет экстремума 2).если 0cab4 2 >− , a<0, то dz max = 3).если 0cab4 2 <− , a>0, то czmax −= 4).если 0cab4 2 >− , a>0, то dz max =
5).если 0cab4 2 >− , a<0, то cz min =
Номер: 11.62.B Задача: Найти экстремум функции cxybyaxz 22 ++= +d Ответы: 1).если 0cab4 2 <− , a>0, то нет экстремума 2).если 0cab4 2 >− , a<0, то czmax = 3).если 0cab4 2 <− , a>0, то czmax −= 4).если 0cab4 2 >− , a>0, то dz max =
5).если 0cab4 2 >− , a<0, то cz min =
Номер: 11.63.С Задача: Найти наибольшее и наименьшее значение функции в областях, задаваемых неравенствами: 5y2xz +−= , при 0x ≥ , 0y ≥ , 1yx ≤+ Ответы: 1).zнаим(0;1)=4, zнаиб(1;0)=6 2).zнаим(1;1)=4, zнаиб(0;0)=6 3).zнаим(1;0)=4, zнаиб(0;1)=6 4).zнаим(0;1)=-4, zнаиб(1;0)=-6 5).zнаим(0;1)=-4, zнаиб(1;0)=6
Номер: 11.64.С
Задача: Найти наибольшее и наименьшее значение функции в областях, задаваемых неравенствами: 33 yxz += , при 1yx 22 ≤+ Ответы: 1).zнаим(1;0)=-1, zнаиб(0;-1)= zнаиб(-1;0)=1
154
2).zнаим(-1;0)=-1, zнаиб(0;-1)= zнаиб(0;1)=1 3).zнаим(-1;0)=-1, zнаиб(0;1)= zнаиб(1;0)=1 4).zнаим(1;0)=1, zнаиб(0;-1)= zнаиб(-1;0)=-1 5).экстремума нет
Номер: 11.65.С
Задача: Найти наибольшее и наименьшее значение функции в областях, задаваемых неравенствами: ( )yxlnz += , при ( ) ( ) 22y2x 22 ≤−+−
Ответы: 1).zнаим(2-2
1;2-
21
)=ln(4- 2 ), zнаиб(2+2
1;2+
21
)=ln(4+ 2 )
2).zнаим(2-2
1;2+
21
)=ln(4- 2 ), zнаиб(2+2
1;2-
21
)=ln(4+ 2 )
3).zнаим(2-2
1;2-
21
)=ln(4+ 2 ), zнаиб(2+2
1;2+
21
)=ln(4- 2 )
4).zнаим(2+2
1;2-
21
)=ln(4- 2 ), zнаиб(2-2
1;2+
21
)=ln(4+ 2 )
5).zнаим(2-2
1;2-
21
)=ln(4- 2 ), zнаиб(2+2
1;2-
21
)=ln(4+ 2 )
Номер: 11.66.С
Задача: Найти наибольшее и наименьшее значение функции 1y2x3y2yxxz 22 ++++−= в замкнутом треугольнике, ограниченном
осями координат и прямой 05yx =++ . Ответы: 1).Zнаиб=4, Zнаим=-4 2).Zнаиб=-3, Zнаим=-41 3).Zнаиб=41, Zнаим=0 4).Zнаиб=41, Zнаим=-3 5).Zнаиб=-3, Zнаим=41
Номер: 11.67.С Задача: Найти наибольшее и наименьшее значение функции 22 yxz −= в круге
22 yx + 4≤ Ответы: 1).Zнаиб=4, Zнаим=-4 2).Zнаиб=-4, Zнаим=4 3).Zнаиб=4, Zнаим=0 4).Zнаиб=0, Zнаим=-4 5).Zнаиб=-4, Zнаим=0
Номер: 11.68.С Задача: Найти наибольшее и наименьшее значение функции
y8x4xy2xz 2 +−+= в прямоугольнике, ограниченном прямыми x=0, y=0,x=1, y=2. Ответы: 1).Zнаиб=-3, Zнаим=17 2).Zнаиб=-17, Zнаим=3 3).Zнаиб=3, Zнаим=-17 4).Zнаиб=0, Zнаим=-4 5).Zнаиб=17, Zнаим=-3
155
Номер: 11.69.С Задача: Найти наибольшее и наименьшее значение функции
( )yx4yxz 2 −−= в треугольнике, ограниченном прямыми x=0, y=0, x + y=6. Ответы: 1).Zнаиб=4, Zнаим=64 2).Zнаиб=-64, Zнаим=-4 3).Zнаиб=4, Zнаим=-64 4).Zнаиб=64, Zнаим=-4 5).Zнаиб=64, Zнаим=4
Номер: 11.70.С Задача: Найти наибольшее и наименьшее значение функции yxxyz ++= в квадрате 3y2,2x1 ≤≤≤≤ . Ответы: 1).Zнаиб=4, Zнаим=64 2).Zнаиб=12, Zнаим=5 3).Zнаиб=5, Zнаим=12 4).Zнаиб=12, Zнаим=-4 5).Zнаиб=64, Zнаим=12
Номер: 11.71.С
Задача: Найти наибольшее и наименьшее значение функции 22 yx1z −−= в
круге ( ) ( ) 12y1x 22 ≤−+− . Ответы: 1).Zнаиб=4, Zнаим=64 2).Zнаиб=-2( )12 + , Zнаим=2 ( )12 − 3).Zнаиб=5, Zнаим=12 4).Zнаиб=12, Zнаим=-4 5).Zнаиб=2 ( )12 − , Zнаим=-2 ( )12 +
Номер: 11.72.С Задача: Найти наибольшее и наименьшее значение функции
1x10xy10xz 22 ++−= в замкнутой области: 12y
7x
≤+ .
Ответы: 1).Zнаиб=4, Zнаим=64 2).Zнаиб=120, Zнаим=24 3).Zнаиб=120, Zнаим=-24 4).Zнаиб=-120, Zнаим=-4 5).Zнаиб=-24, Zнаим=120
156
12. Задачи на условный экстремум.
Номер:12.1.В Задача: Задачи об условном экстремуме функции 2-х переменных решают в случае: Ответы: 1).появление новых условий задачи 2).когда переменные связаны друг с другом некоторыми условиями 3).когда переменные независимы 4).когда невозможно найти производную 5).когда решение носит условный характер
Номер:12.2.В Задача: Необходимое условие условного экстремума для функции ( )y,xfz = , при условии, что x и y связаны уравнением ( ) :0y,x =ϕ
Ответы: 1). ( ) 0y,x,0yy
f,0xx
f=ϕ=
∂ϕ∂
λ+∂∂
=∂ϕ∂
λ+∂∂
2). ( ) 0y,x,0yy
f,0xx
f=ϕ=
∂ϕ∂
λ−∂∂
=∂ϕ∂
λ−∂∂
3). ( ) 0y,x,0yx
f,0xy
f=ϕ=
∂ϕ∂
λ+∂∂
=∂ϕ∂
λ+∂∂
4). ( ) 0y,x,0yy
f,0xx
f≠ϕ=
∂ϕ∂
λ+∂∂
=∂ϕ∂
λ+∂∂
5). ( ) λ=ϕλ−=∂ϕ∂
+∂∂
λ=∂ϕ∂
+∂∂ y,x,
yyf,
xxf
Номер:12.3.В
Задача: При нахождении условного экстремума определяется вспомогательный множитель λ , который называется: Ответы: 1).множителем Даламбера 2).множителем Коши 3).множителем Лагранжа 4).множителем Тейлора 5).множителем Лопиталя
Номер:12.4.В
Задача: Метод множителей Лагранжа распространяется на исследование условного экстремума функции: Ответы: 1).одной переменной 2).двух переменных 3).трех переменных 4).любого числа переменных 5).не менее трех переменных
Номер: 12.5.В Задача: Точкой локально условного экстремума называется точка Ответы: 1).локального условного максимума 2).локального условного минимума 3).локального условного максимума и минимума 4).максимума функции 5).минимума функции
157
Номер: 12.6.В Задача: Функция Лагранжа используется для Ответы: 1).решения дифференциальных уравнений 2).выяснение, будет ли стационарная точка точкой условного экстремума 3).нахождение максимума функции 4).нахождение минимума функции 5).определение коэффициента
Номер: 12.7.С Задача: Найти экстремум функции yx2z += при условии, что 5yx 22 =+ Ответы: 1).zmin=-5, zmax=5 2).zmin=5, zmax=-5 3).zmin=0, zmax=5 4).zmin=-5, zmax=0 5).zmin=-5, zmax=25
Номер: 12.8.С Задача: Найти экстремум функции 4yxxyyxz 22 −++−+= при условии, что 03yx =++ Ответы: 1).zmin=5 2).zmin=-4,75 3).zmax=5 4).zmax=-4,75 5).экстремума нет
Номер: 12.9.С Задача: Найти экстремум функции 2xyz = при условии, что 1y2x =+
Ответы: 1).zmin=-5, zmax= 271
2).zmin=5, zmax=-5 3).zmin=0, zmax= 271
4).zmin=-5, zmax=0 5).zmin=0, zmax=-271
Номер: 12.10.С
Задача: Найти экстремум функции y2xz += при условии, что 1yx 22 =+ . Ответы: 1).zmin=-5, zmax=5 2).zmin= 5 , zmax=- 5 3).zmin=0, zmax= 5 4).zmin=- 5 , zmax=0 5).zmin=- 5 , zmax= 5
Номер: 12.11.С
Задача: Найти экстремум функции yxz += при условии, что 21
y1
x1
22 =+ .
Ответы: 1).zmin=-4, zmax=4 2).zmin=4, zmax=-4 3).zmin=0, zmax=-4 4).zmin=-4, zmax=0 5).zmin=0, zmax=4
Номер: 12.12.С Задача: Найти экстремум функции z=xy при условии, что х и у связаны уравнением 2х + 3у – 5 = 0.
158
Ответы: 1).zmin= 2425
2).zmin=- 2425
3).zmax= 2425
4).zmax=- 2425
5).экстремума нет
Номер: 12.13.С
Задача: Из всех прямоугольных треугольников с заданной площадью S найти такой, гипотенуза которого имеет наименьшее значение. Ответы: 1).нет такого 2).катеты не равны между собой 3).катеты равны между собой 4).стороны пропорциональны числам 1,2,3 5).один катет в два раза больше другого
Номер: 12.14.С Задача: Найти экстремум функции z=x2 + y2, если х и у связаны уравнением
13y
4x
=+ .
Ответы: 1).zmin= 25144
2).zmin=- 25
144 3).zmax= 25
144 4).zmax=-
25144
5).экстремума нет
Номер: 12.15.С
Задача: Найти экстремум функции y1
x1z += , если х и у связаны уравнением
х + у =2. Ответы: 1).zmin=-2 2).zmin=2 3).zmax=2 4).zmax=-2 5).экстремума нет
Номер: 12.16.С Задача: Найти экстремум функции xyez = , если х и у связаны уравнением х + у =1.
Ответы: 1).zmin=- 41
e 2).zmin= 41
e 3).zmax= 41
e
4).zmax=- 41
e 5).экстремума нет
Номер: 12.17.С Задача: Найти экстремум функции z=6 – 4x – 3y при условии, что х и у связаны уравнением 1yx 22 =+ . Ответы: 1).zmin=-1, zmax=11 2).zmin=11, zmax=-1 3).zmin=0, zmax=-11 4).zmin=-11, zmax=0 5).zmin=1, zmax=11