خڑخµد†خ¬خ»خ±خ¹خ؟ 5 - edu.eap.gredu.eap.gr/pli/pli12/shmeiwseis/xwroi_r_n.pdfآ ...

Download خڑخµد†خ¬خ»خ±خ¹خ؟ 5 - edu.eap.gredu.eap.gr/pli/pli12/shmeiwseis/xwroi_R_n.pdfآ  خ£خµخ»خ¯خ´خ± 1 خ±د€دŒ

Post on 21-Sep-2019

0 views

Category:

Documents

0 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • Σελίδα 1 από 26

    Κεφάλαιο 5

    Οι χώροι και nR nC Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος nR

    Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις

    5.2 Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο nR Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις

    5.3 Ο Χώρος nC Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

    Το κεφάλαιο αυτό έχει προπαρασκευαστικό χαρακτήρα και εξυπηρετεί δυο σκοπούς. Θα µελετήσουµε στα επόµενα κεφάλαια µερικές θεµελιακές έννοιες της Γραµµικής Άλγεβρας, όπως είναι η έννοια της βάσης και της διάστασης. Η πείρα µας στη διδασκαλία έχει δείξει ότι, επειδή οι έννοιες αυτές είναι αφαιρετικές, παρουσιάζονται συχνά δυσκολίες στην ουσιαστική κατανόησή τους. Για το λόγο αυτό, νοµίζουµε ότι είναι σκόπιµο να προηγηθεί η εισαγωγή των εννοιών αυτών µέσω ενός συγκεκριµένου αλλά σηµαντικού παραδείγµατος, δηλαδή του χώρου . Με το παράδειγµα αυτό επιτυγχάνεται άµεσα και η διασύνδεση των νέων εννοιών µε τη θεωρία των γραµµικών συστηµάτων που µελετήσαµε σε προηγούµενα κεφάλαια.

    nR

    Σε επόµενα κεφάλαια θα µελετήσουµε εσωτερικά γινόµενα. Η κατανόηση του συνήθους εσωτερικού γινοµένου στο χώρο θα διευκολύνει τη µελέτη αυτή.

    nR

  • Σελίδα 2 από 26

    5.1 Ο χώρος nR

    Πράξεις Υπενθυµίζουµε ότι µε συµβολίζουµε το σύνολο των διατεταγµένων n άδων

    , όπου

    nR 1( ,..., )nu u iu ∈R . Τα στοιχεία του συνόλου αυτού µπορούν να θεωρηθούν σαν

    πίνακες µεγέθους 1 n× , δηλαδή σαν πίνακες που έχουν µόνο µια γραµµή. Στο Κεφάλαιο 3 είδαµε πως ορίζεται το άθροισµα δύο πινάκων του αυτού µεγέθους και πως ορίζεται το γινόµενο πίνακα µε αριθµό. Συνεπώς στο σύνολο έχουµε την πρόσθεση που ορίζεται από και επίσης

    µπορούµε να πολλαπλασιάσουµε στοιχεία του µε αριθµούς σύµφωνα µε τον κανόνα . Για παράδειγµα έχουµε

    nR ( )1 1 1 1,..., ( ,..., ) ( ,..., )n n nu u v v u v u v+ = + + n

    nR 1 1( ,..., ) ( ,..., ),n na u u au au a= R

    (1,2, 1) 2(3,0,1) (1,2, 1) (6,0,2) ( 5,2, 3).− − = − − = − − Για , οι παραπάνω πράξεις έχουν µια απλή γεωµετρική ερµηνεία. Υπενθυµίζουµε ότι µπορούµε να αντιστοιχίσουµε στο στοιχείο του το διάνυσµα ΟΜ του επιπέδου που έχει αρχή το σηµείο Ο = (0,0) και πέρας το σηµείο

    2,3n =

    1 2( , )u u 2R

    1 2( , ),M u u= όπως φαίνεται στο σχήµα Τότε για να προσθέσουµε τα στοιχεία u u1 2 1 2( , ), ( , )u v v v= = έχουµε τον κανόνα του παραλληλογράµµου που µας είναι γνωστός από την Παράγραφο 1.4

    1u

    2u Μ

    Ο

    u

    v

    u+v

  • Σελίδα 3 από 26

    Για το γινόµενο , όπου και , παρατηρούµε ότι το αντιστοιχεί σε διάνυσµα που έχει την ίδια κατεύθυνση µε το διάνυσµα του u. Η δε φορά του εξαρτάται από το πρόσηµο του a όπως φαίνεται το σχήµα

    au a∈R 2u∈R au

    Όταν αναφερόµαστε στο σύνολο µαζί µε τις προηγούµενες πράξεις θα χρησιµοποιούµε την έκφραση ο χώρος . Τα στοιχεία του θα τα λέµε και διανύσµατα.

    nR nR nR

    Σηµείωση Ο όρος διανύσµατα χρησιµοποιήθηκε και στο Κεφάλαιο 1 για τα προσανατολισµένα ευθύγραµµα τµήµατα του επιπέδου ή του χώρου που έχουν αρχή το (0,0) ή το (0,0,0) αντίστοιχα. Επειδή η αντιστοιχία αυτών µε τα στοιχεία του

    αντίστοιχα που περιγράψαµε πριν είναι 1-1 και επί , θα επιτρέπουµε τη χρήση του όρου διανύσµατα τόσο για τα διανύσµατα του επιπέδου και του χώρου, όσο για τα στοιχεία του γενικά.

    2 3,R R

    nR Στο Κεφάλαιο 3 είδαµε ότι οι παραπάνω πράξεις ικανοποιούν τις εξής ιδιότητες. Υπενθυµίζουµε ότι µε 0 συµβολίζουµε το στοιχείο του . (0,...,0) nR

    5.1.1 Πρόταση Έστω και . Τότε , , nu v w∈R ,a b∈R ( ) (u v w u v w+ + = + + ) ( )a u v au av+ = +

    0u u+ = ( )a b u au bu+ = + ( ) 0u u+ − = ( ) ( )ab u a bu=

    u v v u+ = + 1u u= Παράδειγµα

    Έστω u v Ας εξετάσουµε αν υπάρχουν , τέτοια ώστε . Έχουµε

    3, , (0,1, 1), (2,0,1).u v∈ = − =R ,a b∈R ( 2,2, 3)au bv+ = − −

    ( 2, 2, 3) (0, , ) (2 ,0, ) ( 2, 2, 3) 2 2

    (2 , , ) ( 2, 2, 3) 2 2 3.

    au bv a a b b b

    b a a b a a b

    + = − − ⇔ − + = − − ⇔

    = −⎧ ⎪⇔ − + = − − ⇔ =⎨ ⎪− + = −⎩

    Λύνοντας το σύστηµα βρίσκουµε a b2, 1.= = −

    u

    3u

    -3u

  • Σελίδα 4 από 26

    Βάσεις Στο Xώρο nR Ας θεωρήσουµε τα στοιχεία του . Παρατηρούµε ότι κάθε στοιχείο του µπορεί να γραφεί στη µορφή

    1 2(1,0), (0,1)e e= = 2R

    1 2( , )u u 2R

    1 2 1 2 1 2 1 1 2 2( , ) ( ,0) (0, ) (1,0) (0,1) .u u u u u u u e u e= + = + = + Η προηγούµενη παρατήρηση οδηγεί στα εξής ερωτήµατα.

    1. Μήπως υπάρχει ένα πεπερασµένο πλήθος διανυσµάτων στο έτσι ώστε κάθε διάνυσµα του να προκύπτει από αυτά µε τη χρήση των δυο πράξεων που είδαµε πριν;

    nR nR

    Η απάντηση είναι ναι, γιατί αν θέσουµε 1 2(1,0,...,0), (0,1,0,...,0),..., (0,...,0,1)ne e e= = =

    τότε για το τυχαίο στοιχείο έχουµε 1( ,..., ) n

    nu u ∈R 1 1 1( ,..., ) ... .n nu u u e u e= + + n 2. Με ποιο τρόπο µπορούµε να ελέγξουµε αν ένα πεπερασµένο πλήθος από

    διανύσµατα του έχει την προηγούµενη ιδιότητα; nR 3. Μπορούµε να επιλέξουµε µια συλλογή από διανύσµατα που έχουν την

    ιδιότητα του ερωτήµατος1 µε οικονοµικό τρόπο, δηλαδή το πλήθος της να είναι σχετικά µικρό; Πόσα στοιχεία έχει µια τέτοια συλλογή;

    Στη συνέχεια θα ασχοληθούµε µε τα ερωτήµατα 2 και 3.

    5.1.2 Ορισµός Έστω . 1,...,

    n mv v ∈R

    1. Ένας γραµµικός συνδυασµός των είναι ένα στοιχείο του της µορφής .

    1,..., mv v nR

    1 1 ... ,m m ia v a v a+ + ∈R 2. Θα λέµε ότι τα στοιχεία παράγουν το χώρο αν για κάθε

    υπάρχουν 1,..., mv v

    nR nv∈R 1,..., ma a ∈R τέτοια ώστε 1 1 ... .m mv a v a v= + +

    ∆ηλαδή τα στοιχεία παράγουν το αν κάθε στοιχείο του είναι γραµµικός συνδυασµός των

    1,..., mv v nR nR

    1,..., .mv v

    5.1.3 Παραδείγµατα 1) Είδαµε πριν ότι τα στοιχεία 1 2(1,0), (0,1)e e= = παράγουν το χώρο

    . Όµοια και τα2R 1 1 2(1,0,...,0), (0,1,0,...,0),..., (0,...,0,1)ne e e= = = παράγουν το . nR

    2) Έστω Τότε τα στοιχεία αυτά παράγουν το . 1 2(1,1), (0,1).v v= = 2R

    Πράγµατι, έστω . Θα δείξουµε ότι υπάρχουν , τέτοια ώστε Έχουµε

    2( ,

Recommended

View more >