ЮЖНЫЙ ФИЛИАЛ «КРЫМСКИЙ АГРОТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» НАЦИОНАЛЬНОГО АГРАРНОГО УНИВЕРСИТЕТА

Методические указания и контрольные задания для студентов заочного отделения специальности 6.091900 – механизация сельского хозяйства по дисциплине «ПРИКЛАДНАЯ

МАТЕМАТИКА»

Симферополь – 2007 г.

1

Составители

Степанов А.В. – д.т.н., доцент кафедры прикладной математики и экономической кибернетики ЮФ «КАТУ» НАУ

Степанова Е.И. – старший преподаватель кафедры физики и математики ЮФ «КАТУ» НАУ

Рецензенты

Марянин Б.Д. – к.ф.-м.н., доцент ТНУ им. И.И. Вернадского, факультет математики и информатики

Завалий А.А. – к.т.н., доцент ЮФ «КАТУ» НАУ, технологический факультет

ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Основной формой обучения студента-заочника является самостоятельная работа над учебным материалом: чтение учебников, решение задач, выполнение контрольных заданий.

Если в процессе изучения материала или при решении задач у студента возникают трудности, то можно обратиться к преподавателю соответствующей кафедры для получения консультации.

После изучения определенной темы по учебнику, решения задач необходимо ответить на вопросы для самопроверки, помещенные в конце темы.

В соответствии с действующим учебным планом студенты-заочники изучают курс теории вероятностей и математической статистики в течение одного семестра и выполняют одну контрольную работу.

При выполнении контрольной работы студент должен руководствоваться следующими указаниями:

1. Работа должна быть выполнена в отдельной тетради, на внешней обложке которой должны быть ясно написаны фамилия студента, его инициалы, полный шифр, дата ее отсылки в учебное заведение, домашний адрес.

2. Контрольные задачи следует располагать в порядке номеров, указанных в заданиях. Перед решением задачи следует полностью переписать ее условие.

3. Решение задач следует излагать максимально подробно, делая соответствующие ссылки на вопросы теории с указанием необходимых формул, теорем и утверждений.

2

4. В случае необходимости, решение задачи следует иллюстрировать рисунками. Объяснения к задачам должны при этом соответствовать обозначениям, приведенным на рисунках.

5. На каждой из страниц тетради необходимо оставлять поля шириной 3–4 см. для замечаний преподавателя.

6. Контрольная работа должна быть выполнена самостоятельно. Несамостоятельно выполненная работа лишает студента возможности проверить степень своей подготовленности по теме. Если преподаватель установит несамостоятельное выполнение работы, то она не будет зачтена.

7. Получив из учебного заведения прорецензированную работу (как зачтенную, так и незачтенную), студент должен исправить все отмеченные рецензентом ошибки и недочеты. В случае незачета по работе студент обязан в кратчайший срок выполнить все требования рецензента в той же тетради и представить работу на повторное рецензирование.

8. В межсессионный период или во время сессии студент должен пройти собеседование со своим преподавателем по зачтенной работе.

9. Студент выполняет тот вариант контрольной работы, который совпадает с последней цифрой его учебного шифра.

3

СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

I.1. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Основные понятия и определения.

В общем виде система обыкновенных дифференциальных уравнений может быть записана следующим образом

(I.1)

где функции определены в некоторой мерной области D переменных

. Такие системы называются нормальными системами п дифференциальных

уравнений первого порядка с неизвестными функциями

Число уравнений, входящих в систему (I.1), определяет ее порядок.

Решением системы (I.1) в интервале (а, b) называется совокупность функций , непрерывно дифференцируемых в (а,b) вместе со своими

производными и обращающих каждое уравнение системы (I.1) в тождество.

Задача Коши для систем дифференциальных уравнений первого порядка имеет следующую формулировку. Найти решение системы, удовлетворяющее начальным условиям:

(I.2)

где – заданные числа;

4

Теорема (о существовании и единственности решения задачи Коши). Если функции непрерывны в окрестности точки и имеют непрерывные

частные производные , то всегда найдется некоторый

интервал с центром , в котором существует единственное решение системы (I.1), удовлетворяющее начальным условиям.

Общим решением системы (I.1) называется совокупность функций , зависящих от n произвольных постоянных и

удовлетворяющих следующим условиям:

1) функции определены в некоторой области изменения переменных и

имеют непрерывные частные производные

2) совокупность является решением системы (I.1) при любых значениях .

3) для любых начальных условий (I.2) из области , где выполняются условия теоремы Коши, всегда найдутся такие значения произвольных постоянных , что будут справедливы равенства

Геометрически общее решение системы представляет собой параметрическое семейство плоских кривых.

Частным решением системы (I.1) называется решение, полученное из общего при некоторых частных значениях произвольных постоянных.

Одним из методов решения системы (I.1) является сведение ее к одному или нескольким дифференциальным уравнениям высших порядков (метод исключения).

Все сказанное распространяется и для систем линейных дифференциальных уравнений, которые имеют вид

5

(I.3)

где функции обычно предполагаются непрерывными в некотором интервале

Если все , то система называется однородной, в противном случае –

неоднородной. Если то система называется линейной с постоянными коэффициентами.

Процесс нахождения общего решения системы называется ее интегрированием. Для этого, составляют характеристическое уравнение

,

где Раскрывая определитель, приходим к алгебраическому уравнению степени относительно с вещественными коэффициентами, которое, согласно утверждению основной теоремы алгебры, имеет ровно корней вещественных и комплексных с учетом их кратности.

При этом возможны следующие случаи.

1. Корни характеристического уравнения – вещественные и различные. Обозначим их через Известно, что каждому корню соответствует частное решение вида

(I.4)

где коэффициенты определяются из систем линейных алгебраических

уравнений

. (I.5)

6

Все частные решения вида (I.4) образуют фундаментальную систему решений. Общее решение однородной системы с постоянными коэффициентами, получаемой из системы (I.3) при , , представляет собой следующую совокупность функций, являющихся линейной комбинацией решений (I.4):

где произвольные постоянные.

2. Корни характеристического уравнения – различные, но среди них имеются комплексные. Известно, что в этом случае каждой паре комплексно-сопряженных корней характеристического уравнения соответствует пара частных решений:

(I.6)

где ; коэффициенты определяются из системы (I.5) соответственно

для и . Коэффициенты оказываются, как правило,

комплексными числами, а соответствующие им функции – комплексными

функциями. Выделяя мнимую и вещественную части функций и , и пользуясь

тем, что для линейных уравнений с вещественными коэффициентами и мнимая, и вещественная части решения также являются решениями, можно получить пару частных вещественных решений однородной системы.

3. Среди корней характеристического уравнения имеются кратные. Пусть корень кратности характеристического уравнения. Тогда решение системы (I.2)

(для которой , ( ), соответствующее этому кратному корню, ищем в виде:

(I.7)

7

Числа находим следующим образом:

подставляем функции из (I.7) и их производные в исходную систему (3) при

указанных ограничениях на и , а затем, после сокращения на , приравняем коэффициенты при одинаковых степенях в левых и правых частях полученных равенств. В результате проведенной процедуры из всех чисел всегда остаются в качестве свободных параметров, которые принимаются как произвольные постоянные.

Решения из фундаментальной системы, соответствующие простым (некратным) корням характеристического уравнения, определяются так, как это было показано в п.п. 1 и 2.

8

I.2. Метод вариации произвольных постоянных

Если система – неоднородная, то, зная общее решение вида (I.7) соответствующей однородной системы, можно найти общее решение исходной неоднородной системы. Это осуществляется с помощью метода вариации произвольных постоянных в решении (I.7).

Известно, что общее решение неоднородной системы всегда можно записать в виде (I.7), заменив произвольные постоянные соответственно функциями

(включающими в себя аддитивно произвольные постоянные

). Эти функции определяются с помощью данной неоднородной системы: в нее

подставляют и , и получают линейную систему алгебраических

уравнений относительно , решение которой всегда существует и

представимо в виде

,

где известные функции. Интегрируя эти соотношения, находим:

,

где произвольные постоянные интегрирования. Подставляя в решение (I.7) вместо

найденные значения , получаем общее решение неоднородной системы уравнений.

I.3. Метод исключения

При выполнении некоторых условий всегда можно исключить все неизвестные функции, кроме одной, например , и получить для одно линейное неоднородное

дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами (если в системе (I.3) )

порядка . Решив его, найдем все остальные неизвестные функции с помощью операции дифференцирования. Для этого, дифференцируем по обе части первого уравнения

системы (I.3) (считая ), затем вместо подставляем их значения из системы

(I.3). Получаем:

9

, (I.8)

где обозначает известную линейную комбинацию с постоянными коэффициентами

функций , а линейную комбинацию функций и

. Дифференцируя обе части уравнения (I.8) по , опять получаем линейное неоднородное

уравнение

.

Продолжая процесс, находим

В результате получаем систему уравнений:

(I.9)

Первые уравнений системы (I.9) разрешаем относительно функций

(это, как правило, возможно). Очевидно, что эти функции выражаются через :

(I.10)

Подставляя выражения для из системы (I.10) в последнее уравнение системы (I.9), приходим к линейному неоднородному дифференциальному уравнению го порядка с постоянными коэффициентами

10

,

общее решение, которого определяется с помощью известных методов:

. (I.11)

Дифференцируя последнее соотношение, раз по , находим производные ,

подставляем их в систему (I.10) и получаем вместе с функцией (I.11) общее решение исходной системы:

(I.12)

Для решения задачи Коши с учетом системы (I.11)–(I.12) и заданных начальных условий находим значения произвольных постоянных и подставляем их в систему (I.11)–( I.12).

II. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ

С описательной точки зрения в природе имеется важный класс механических систем, которые описываются дифференциальными уравнениями. Однако здесь важно отметить, что для возможности математического описания какого-нибудь реального явления или процесса

11

неизбежно приходится упрощать, идеализировать это явление, выделяя и учитывая лишь наиболее существенные из влияющих на него факторов и отбрасывая остальные, менее существенные. При этом неизбежно встает вопрос о том, удачно ли выбраны упрощающие предположения. В конечном счете, этот вопрос решается практикой – соответствием полученных выводов с опытными данными, и во многих случаях, возможно, указать условия, при которых некоторые упрощения заведомо невозможны.

Если некоторое явление описывается системой дифференциальных уравнений

(II.1)

с начальными условиями , которые обычно являются результатами

измерений и, следовательно, неизбежно получены с некоторой погрешностью, то естественно возникает вопрос о влиянии малого изменения начальных значений на искомое решение.

Если окажется, что сколь угодно малые изменения начальных данных способны изменить решение, то решение, определяемое выбранными нами неточными начальными данными, обычно не имеет никакого прикладного значения и даже приближенно не может описывать, изучаемое явление.

II.1. Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений

Дадим некоторые основные понятия и определения, связанные с представлениями механических процессов и явлений, описываемыми дифференциальными уравнениями и их системами.

II.1.1. Траектории

Графическое представление любого решения системы дифференциальных уравнений (II.1) как геометрического места точек пространства переменных , обращающих систему (II.1) в систему тождеств, будем называть траекторией.

Проекция траектории на пространство переменных называется фазовой траекторией, а само пространство – фазовым.

12

Здесь важно отметить, что все фазовые траектории динамических систем вида (II.1) могут быть подразделены на три класса:

1. особые точки, которые соответствуют положениям равновесия системы;2. замкнутые траектории (среди них предельные циклы);3. все остальные – траектории общего вида.

Системы дифференциальных уравнений вида:

(II.2)

называются автономными. Их траектории совпадают с фазовыми траекториями, а пространство переменных – с фазовым пространством, так как в системе явно не присутствует независимая переменная .

II.2. Особые точки

Понятие особой точки имеет место для автономных систем вида (II.2). Особые точки, с механистической точки зрения, соответствуют положениям равновесия систем вида (II.1) или равновесным ее решениям. В этом смысле, такая точка при своем движении в фазовом пространстве, имеет проекции вектора скорости, равные нулю, то есть точка находится в покое 1

или движется равномерно относительно инерционной системы отсчета.

Таким образом, если известно, что точка является положением

равновесия системы (II.2), то:

. (II.3)

Соотношения (II.3) фактически является определением, в соответствии с которым особые точки могут быть найдены, как решение системы (в общем случае нелинейной) алгебраических уравнений:

1 Другое название таких точек – точки покоя.

13

.

(II.4)

Очевидно, что для линейной системы:

(II.5)

автоматически особой точкой (положением равновесия) является начало координат и других нет.

Здесь и далее, будем использовать обозначения: .

На плоскости, особой точкой системы

где функции и непрерывно дифференцируемы по обоим аргументам и , является такая точка , в которой , .

Особые точки линейных автономных систем дифференциальных уравнений имеют некоторую классификацию, которая связана с характером спектра ее матрицы. В частности, для классификации особых точек систем вида

необходимо найти корни характеристического уравнения

.

14

При этом имеем:

1. корни характеристического уравнения: и (одного знака), то особая точка – узел (устойчивый или неустойчивый в зависимости от знаков собственных чисел – корней характеристического уравнения). Узел изображен на рисунке 1 а);

2. корни характеристического уравнения: и (разных знаков), то особая точка – седло (см. рисунок 1 б));

3. если корни комплексные с ненулевой вещественной частью, то особая точка – фокус (устойчивый или неустойчивый, в зависимости от знака вещественной части). Фокус изображен на рисунке 1 в);

4. если вещественные части комплексных корней характеристического уравнения нулевые (сами корни чисто мнимые), то особая точка – центр (см. рисунок 1 г);

5. для двух вещественных и равных корней характеристического уравнения не равных нулю имеет место особая точка, которая классифицируется как вырожденный или дикритический узел (см. рисунок 1 д и е);

6. в критическом случае, когда один или оба корня уравнения равны нулю (случай: ), то решения на плоскости изображаются параллельными

прямыми.

Изображение фазовых траекторий (кривых, графически представляющих решения соответствующих систем на плоскости ) в случае узла, седла и вырожденного узла, необходимо, прежде всего, найти те решения, которые изображаются прямыми, проходящими через особую точку (в случае седла они называются сепаратриссами). Эти прямые всегда направлены вдоль собственных векторов матрицы, составленной из коэффициентов данной системы.

15

Рис. 1. Особые точки линейной автономной системы на

плоскости.

Замечание: Напомним, как определяется спектр (полный набор собственных чисел) матрицы и совокупность ее собственных векторов. Матрица

,

как линейный оператор, действуя как отображение на векторное пространство, некоторые векторы только деформирует (сжимает или растягивает) с некоторым коэффициентом деформации . Таким образом:

. (II.6)

Такие векторы называют собственными векторами, а соответствующие числа – собственными числами. Собственные числа образуют спектр.

Из (II.6), простыми алгебраическими преобразованиями получим

.

Получим однородную систему линейных алгебраических уравнений:

, ( единичная матрица),

которая неопределенна, так как собственный вектор матрицы может быть определен с точностью до направления.

Отсюда:

(II.7)

– характеристическое уравнение, записанное в векторной форме. В матричной форме ( II.7) будет иметь вид:

16

. (II.8)

Заметим также, что, если раскрыть определитель в соотношении (II.8), то в итоге, после приведения подобных, получим алгебраическое уравнение й степени относительно параметра

:

. (II.9)

И, как уже отмечалось, согласно основной теореме алгебры, (II.9) имеет ровно корней, вещественных и комплексных с учетом их кратности. Таким образом, спектр матрицы имеет ровно элементов (среди которых возможны и одинаковые).

Относительно множества собственных векторов это не совсем так. Дело в том, что совокупность собственных векторов, образует так называемое инвариантное пространство, и здесь учитываются только те векторы (а их бесконечное множество, так как каждый собственный вектор определяется с точностью до направления), которые линейно независимы в совокупности.

Вернемся к особым точкам и фазовым траекториям. В случае узла фазовые траектории касаются той прямой, которая направлена вдоль собственного вектора, соответствующего меньшему по абсолютной величине значению .

Для фокуса необходимо определить направление закручивания траекторий. Здесь, исследуется устойчивость этой точки по знакам вещественных частей собственных чисел и, далее, определяется направление, в котором происходит движение точек вдоль траектории вокруг

особой точки. Для этого достаточно построить в какой-нибудь из них вектор скорости –

он направлен по касательной к движению.

II.1.3. Устойчивость по первому приближению

При исследовании устойчивости точки покоя системы дифференциальных уравнений

17

(II.10)

где дифференцируемые в окрестности особой точки функции, часто применяется следующий метод.

Пользуясь дифференцируемостью функций , представляют систему

(II.10) в окрестности в виде

, (II.11)

где имеют порядок выше первого относительно , и вместо точки покоя

системы (II.10) исследуют свойства устойчивости той же точки покоя, но для линеаризованной в ее окрестности системы

, (II.12)

которая называется системой уравнений первого приближения для (II.11).

Очевидно, что исследование свойств устойчивости системы уравнений первого приближения, является задачей более легкой, чем аналогичные исследования исходной нелинейной системы.

Теорема 1. Если система уравнений (II.11) стационарна в первом приближении, все члены в

достаточно малой окрестности начала координат при удовлетворяют

неравенствам , где и , причем (т.е.,

если не зависят от , то их порядок выше первого относительно нормы: и все

корни характеристического уравнения

18

,

(II.13)

имеют отрицательные вещественные части, то тривиальные (нулевые) решения системы уравнений (II.11) и системы уравнений (II.12) асимптотически устойчивы.

Теорема 2. Если система уравнений (II.11) стационарна в первом приближении, все функции удовлетворяют условиям предыдущей теоремы, и хотя бы один корень характеристического уравнения (II.13) имеет положительную вещественную часть, то точка покоя

системы (II.11) и соответственно системы (II.12) неустойчива.

Пример 1. Исследовать на устойчивость точку покоя системы

Нелинейности системы удовлетворяют условиям теоремы 1 и 2. Система первого приближения в окрестности имеет вид:

Характеристическое уравнение

имеет корни . Следовательно, в силу теоремы 2, рассматриваемая точка покоя системы может быть классифицирована как неустойчивый фокус.

Пример 2. Исследовать на устойчивость точку покоя системы

19

.

Используя разложения функций и в ряд Маклорена, представляем систему в виде

,

где функции и удовлетворяют условиям теоремы 1 и теоремы 2.

Характеристическое уравнение имеет вид:

.

Откуда легко находятся собственные числа матрицы системы первого приближения. Нетрудно видеть, что они имеют отрицательные вещественные части и, следовательно, точка покоя

– асимптотически устойчива – устойчивый фокус.

II.2. Исследование устойчивости с помощью функций Ляпунова

Второй метод, или, как принято сейчас говорить – прямой метод, получил наибольшее распространение, благодаря своей простоте и эффективности. Суть его заключается в построении для исследуемой системы дифференциальных уравнений некоторой непрерывной однозначной функции, так называемой функции Ляпунова такой, что по свойствам этой функции и ее полной производной, взятой в силу системы

,

можно говорить о поведении нулевого решения системы (II.1), в смысле его устойчивости (здесь – правые части исследуемой системы).

20

В частности, самим А.М. Ляпуновым была сформулирована следующая теорема.

Т е о р е м а (А.М. Ляпунова). Если дифференциальные уравнения возмущенного движения таковы, что, возможно, найти знакоопределенную функцию , производная которой в силу этих уравнений была бы или знакоопределенной (знакопостоянной) функцией противоположного знака с , или тождественно равной нулю, то невозмущенное движение устойчиво.

В частности, если условие

при

заменить более сильным условием:

при ,

а функция непрерывна при , то нулевое решение системы (II.1) асимптотически устойчиво.

Теорема (Н.Г. Четаева). Пусть система (II.1) обладает нулевым решением. Пусть в некоторой области пространства переменных существует дифференцируемая функция

, причем:

1. точка принадлежит границе области ;2. на границе области при ;

3. в области при имеем , , функция непрерывна.

Тогда нулевое решение системы (II.1) неустойчиво.

Не существует общего метода построения функции Ляпунова , когда общее решение системы (II.1) неизвестно. В ряде случаев функцию Ляпунова удается построить в виде квадратичной формы

21

,

или в виде суммы квадратичной формы и интегралов от нелинейных функций, входящих в правую часть данной системы.

II.3. Частотные критерии устойчивости

1). Условия отрицательности всех вещественных частей корней уравнения

, (II.14)

с вещественными коэффициентами.

а). Необходимое условие: все . В случае это условие является и достаточным.

б). Условие Рауса – Гурвица: необходимо и достаточно, чтобы были положительными все главные диагональные миноры матрицы Гурвица

.

На главной диагонали этой матрицы стоят числа .В каждой строке индекса

предыдущего числа. Числа с индексами или заменяются нулями.

Главные диагональные миноры матрицы Гурвица

22

в) Условия Льенара-Шипара. Необходимо и достаточно, чтобы все >0 и чтобы

>0, >0, >0,…, где главные диагональные миноры матрицы Гурвица.

Эти условия равносильны условиям Рауса-Гурвица, но удобнее, т.к. содержат меньше детерминантов.

Пример 3. Исследовать устойчивость нулевого решения уравнения

.

Решение.

Запишем условия Льенара-Шипара:

>0, >0

Условия Льенара-Шипара выполнены и, следовательно, корни уравнения имеют отрицательные вещественные части. Таким образом, если уравнение является характеристическим для некоторой линейной системы дифференциальных уравнений, то ее (системы) равновесное решение будет устойчивым, причем асимптотически.

г) Критерий Михайлова.

Необходимо и достаточно, чтобы на комплексной плоскости точка , где левая часть характеристического уравнения, при изменении от 0 до + не проходила

через начало координат и сделала поворот вокруг него на угол в положительном

направлении.

Другая (эквивалентная) формулировка критерия Михайлова:

Необходимо и достаточно, чтобы корни многочленов

23

были все положительными, различными и чередующимися, начиная с корня , т.е. 0<

< < < <…

Заметим, что многочлен при равен .

Пример 4. . Здесь , , а многочлены

, имеют корни . Значит,

. По критерию Михайлова все корни многочлена имеют отрицательные вещественные части и нулевое решение устойчиво.

III. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

III. 1. Основные виды уравнений математической физики

К основным, наиболее распространенным уравнениям математической физики относятся следующие дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка.1. Волновое уравнение:

.

Это уравнение является простейшим уравнением гиперболического типа. К его исследованию приводит изучение процессов поперечных колебаний струны, продольных колебаний стержня, электрических колебаний в проводах и т.д.2. Уравнение теплопроводности, или уравнение Фурье:

. (III.1)

Это уравнение является простейшим уравнением параболического типа. К его исследованию приводит рассмотрение процессов распространения тепла, фильтрации жидкости и газа в пористой среде, изучение некоторых вопросов теории вероятностей и т.д.3. Уравнение Лапласа:

24

. (III.2)

Это уравнение относится к простейшим уравнениям эллиптического типа. К его исследованию приводит изучение задач об электрических и магнитных полях, о стационарном тепловом состоянии, задач гидродинамики и т.д.

В выписанных уравнениях искомая функция зависит от двух переменных , или , . Рассматриваются также уравнения и для функций с большим числом переменных. Например, волновое уравнение с тремя независимыми переменными имеет вид

, (III.3)

уравнение теплопроводности

(III.4)

и уравнение Лапласа

. (III.5)

III.2. Уравнение колебаний струны. Формулировка краевой задачи.

В математической физике струной называют гибкую упругую нить. Пусть струна в начальный момент времени расположена на отрезке оси . Предположим, что ее концы закреплены в точках и . Если струну отклонить от первоначального положения, а потом предоставить самой себе или придать ее точкам некоторую скорость, то точки струны будут совершать движение. Задача заключается в определении формы струны в любой момент времени и в определении закона движения каждой точки струны в зависимости от времени.

25

Если предположить, что движение точек струны происходит перпендикулярно оси и в одной плоскости, то процесс колебания струны описывается одной функцией , которая определяет величину перемещения точки струны с абсциссой в момент .

Известно, что при отсутствии внешней силы функция должна удовлетворять дифференциальному уравнению в частных производных второго порядка

.

Для полного определения движения струны одного уравнения недостаточно. Искомая функция должна удовлетворять граничным условиям, указывающим, что делается на концах струны (при и ), и начальным условиям, описывающим состояние струны в начальный момент ( ). Совокупность граничных и начальных условий называется краевыми условиями.

Пусть, например, концы струны при и неподвижны. Тогда при любом должны выполняться равенства

.

Это – граничные условия для рассматриваемой задачи. В начальный момент струна имеет некоторую форму, которая определяется функцией , т.е.

.

Далее в начальный момент должна быть задана скорость в каждой точке струны, которая определяется функцией , т.е.

.

Эти два условия называются начальными условиями.

III.3. Колебания бесконечной струны. Формула Даламбера решения задачи Коши для волнового уравнения

Прежде чем решать задачу о колебаниях закрепленной струны, рассмотрим более простую задачу – о колебаниях бесконечной струны. Если представить очень длинную струну, то ясно, что

26

Рис. 2.

на колебания, возникающие в ее средней части, концы струны не будут оказывать заметного влияния.

Рассматривая свободные колебания, мы должны решить однородное уравнение

(III.6)

при начальных условиях

, , (III.7)

где функции и заданы на всей числовой оси. Такая задача называется задачей с начальными условиями или задачей Коши.

Преобразуем волновое уравнение к каноническому виду, содержащему смешанную производную. Уравнение характеристик

распадается на два уравнения:

и ,

интегралами которых служат прямые

и .

Введем в рассмотрение новые переменные , и запишем волновое уравнение для переменных и .

Вычисляя производные

, ,,

,

и подставляя их в исходное уравнение, видим, что уравнение колебания струны в новых координатах будет

.Интегрируя полученное равенство по при фиксированном , придем к равенству . Интегрируя это равенство по при фиксированном , получим

,

где и являются функциями только переменных и соответственно. Следовательно, общим решением исходного уравнения является функция

. (III.8)

Найдем функции и так, чтобы удовлетворялись начальные условия:

.,.

27

Интегрируя последнее равенство, получим:

,

где и постоянные. Из системы уравнений

находим

Таким образом, мы определили функции и через заданные функции и , причем полученные равенства должны иметь место для любого значения аргумента. Подставляя в ( III.8) найденные значения и , будем иметь

или

.

Найденное решение называется формулой Даламбера решения задачи Коши для волнового уравнения

Пример 5. Решить уравнение при начальных условиях , .

Используя формулу Даламбера, сразу получаем

.

III.4. Решение волнового уравнения методом разделения переменных (метод Фурье)

28

Метод разделения переменных применяется для решения многих задач математической физики. Пусть требуется найти решение волнового уравнения

, (III.9)

удовлетворяющее краевым условиям

, , (III.10), (III.11)

, . (III.12), (III.13)

Частное решение уравнения (III.9), удовлетворяющее граничным условиям (III.10) и (III.11), ищут в виде произведения двух функций:

.

Подставляя функцию в уравнение (III.9) и преобразовывая его, получим

.

В левой части этого уравнения стоит функция, которая не зависит от , а в правой – функция, не зависящая от . Равенство возможно только в том случае, когда левая и правая части не зависят ни от , ни от , т.е. равны постоянному числу. Обозначим

, где . (III.14)

Из этих уравнений получаем два однородных дифференциальных уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

и . (III.15)

Общее решение этих уравнений

,,

где произвольные постоянные.Постоянные и подбирают так, чтобы выполнялись условия (III.10) и (III.11), из которых

следует, что , так как (в противном случае ). Учитывая полученные равенства, находим

и .

Так как (иначе, было бы и , что противоречит условию), то должно выполняться равенство

,откуда,

29

.

Найденные значения называют собственными значениями (они в совокупности образуют спектр) для данной краевой задачи. Соответствующие им функции называются собственными или спектральными функциями.

Заметим, что, если в равенстве (III.14) вместо взять число , то первое из уравнений (III.15) будет иметь решение в виде

.

Отличное от нуля решение в такой форме не может удовлетворять граничным условиям (III.10) и (III.11).

Зная , можем записать

.

Для каждого получаем решение уравнения (III.9)

.

Так как исходное уравнение (III.9) линейное и однородное, то сумма решений также является решением, и потому функция

(III.16)

будет решением дифференциального уравнения (III.9), удовлетворяющим граничным условиям (III.10) и (III.11).

Найденное частное решение должно еще удовлетворять начальным условиям (III.12) и (III.13). Из первого условия (III.12) получим

.

Далее, дифференцируя члены ряда (III.16) по переменной , из условия (III.13) будем иметь

.

Правые части двух последних равенств есть ряды Фурье для функций и , разложенных по синусам на интервале . Поэтому

. (III.17)

30

Итак, ряд (III.16), для которого коэффициенты и определяются по выписанным формулам, если он допускает двукратное почленное дифференцирование, представляет решение уравнения (III.9), удовлетворяющее граничным и начальным условиям.

Пример 6. Найти решение краевой задачи для волнового уравнения

, , ,

удовлетворяющее начальным условиям , и граничным условиям

, .

Так как , то согласно формуле (III.16) решение заданного уравнения ищем в

виде

.

Коэффициенты и найдем по формулам (III.17). При вычислении интегралов используем формулу интегрирования по частям.

.

Итак, искомое решение уравнения имеет вид

.

III.5. Уравнение распространения тепла в стержне

31

Рассмотрим однородный стержень длины . Предположим, что боковая поверхность

стержня теплонепроницаема и во всех точках поперечного сечения стержня температура одинакова. Если стержень предоставить самому себе, то заключенное в нем тепло будет протекать от более нагретых мест к менее нагретым, и температура стержня с течением времени станет выравниваться. На этот процесс будет влиять также режим, который поддерживается на концах стержня. Задача состоит в том, чтобы, зная этот режим и распределение температуры в начальный момент времени , найти это распределение в последующие моменты.

Ось располагают так, что один конец стержня совпадает с точкой , а другой – с точкой . Обозначим через температуру в сечении стержня с абсциссой в момент времени .

Функция должна удовлетворять дифференциальному уравнению

.

Это уравнение и называется уравнением распространения тепла (уравнением теплопроводности) в однородном стержне.

Чтобы решение уравнения было определенно, функция должна удовлетворять краевым условиям, соответствующим физическим условиям задачи. Так называемая первая краевая задача для , заключается в следующем:

, , . (III.18), (III.19), (III.20)

Начальное условие (III.18) соответствует тому, что при в различных сечениях стержня задана температура, равная φ. Граничные условия (III.19) и (III.20) соответствуют тому, что на концах стержня при и поддерживается температура, равная и соответственно.

III.6. Решение уравнения теплопроводности

Пусть в начальный момент времени задана температура в различных сечениях стержня. Концы стержня погружены в тающий лед, т.е. в них поддерживается постоянная температура равная нулю. Требуется определить распределение температуры в стержне в последующие моменты времени. Таким образом, нужно найти решение дифференциального уравнения

32

Рис. 3.

,

удовлетворяющее краевым условиям

.

Применяя к решению поставленной задачи метод разделения переменных можно получить решение уравнения, удовлетворяющее граничным условиям, в виде

. (III.21)

Коэффициенты выбираются так, чтобы удовлетворялось начальное условие, согласно которому будем иметь

.

Заметим, что из равенства (III.21) следует, что при функция u(x,t)→0. Физический смысл этого соотношения ясен: с течением времени в стержне установится температура льда, в который погружены его концы.

Если стержень очень длинный, то на процессы, протекающие в его средней части, главное влияние оказывает начальное распределение температуры. В задачах такого типа стержень считается бесконечным. Краевые условия при этом не учитываются, и на искомую функцию

накладывают только начальное условие, (III.22)

где функция определена на всей числовой оси. Задача решения уравнения теплопроводности при условии (III.22) называется задачей Коши.

Метод разделения переменных позволяет найти решение уравнения в следующем виде

.

Функции и выбирают так, чтобы выписанное решение удовлетворяло начальному условию (III.22). Полагая в последнем равенстве , получим

.

Сравнивая интеграл в правой части равенства с интегралом Фурье для функции :

,

33

видим, что

,

.

Подставляя найденные выражения и в функцию и преобразовывая ее, окончательно получим

.

III.7. Краевые задачи для уравнения Лапласа

К уравнениям эллиптического типа приводит изучение стационарных, т.е. не меняющихся во времени процессов различной физической природы. Простейшим уравнением эллиптического типа является уравнение Лапласа

.

Например, если имеется однородная пластина, занимающая область , ограниченную линией , то можно показать, что температура в различных точках пластины должна удовлетворять уравнению

.

Если процесс установившийся, т.е. температура не зависит от времени, а зависит только от

координат точек пластины, то и, следовательно, температура удовлетворяет уравнению

Лапласа

. (III.23)

Функции, удовлетворяющие уравнению Лапласа, называются гармоническими. В каждой задаче, связанной с уравнением Лапласа, искомое решение выделяется из множества всех гармонических функций с помощью дополнительного условия, которое чаще всего является краевым. Так, чтобы температура на пластине определялась однозначно, нужно знать температуру на контуре пластины. Таким образом, требуется найти функцию , удовлетворяющую уравнению (23) внутри области и принимающую в каждой точке кривой заданные значения:

. (III.24)

Эта задача называется задачей Дирихле или первой краевой задачей для уравнения (III.23).

34

Если на границе температура неизвестна, а известен тепловой поток в каждой точке кривой, который пропорционален производной функции по направлению вектора , где единичный вектор, направленный по нормали к кривой, то вместо условия (III.24) на границе области будем иметь условие

. (III.25)

Задача нахождения решения уравнения (III.23), удовлетворяющего краевому условию (III.25), называется задачей Неймана или второй краевой задачей.

Если вместо плоской пластины задано однородное тело , ограниченное поверхностью , то функция будет функцией трех переменных и должна удовлетворять уравнению

.

Краевые условия (III.24) или (III.25) в этом случае должны выполняться на поверхности .Заметим, что задача Дирихле решается просто в одномерном случае, т.е. когда в

соответствующей системе координат неизвестная функция зависит только от одной из координат.

В случае декартовых координат одномерное уравнение Лапласа принимает вид и

его решением является линейная функция . Задача Дирихле в этом случае имеет

решение , где .

III.8. Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах. Решение задачи Дирихле для кольца

Пусть гармоническая функция. Тогда

или .

Рассмотрим цилиндрические координаты

,откуда

.

Заменяя независимые переменные на и , придем к функции . Используя правило дифференцирования сложной функции нескольких переменных, можно показать, что найденная функция должна удовлетворять уравнению

35

.

Это и есть уравнение Лапласа в цилиндрических координатах.Если функция не зависит от , а только от и , то функция будет удовлетворять

уравнению

, (III.26)

где и полярные координаты на плоскости.Найдем решение уравнения Лапласа в области , ограниченной окружностями

и и удовлетворяющее граничным условиям:

, (III.27)

где постоянные.Решим эту задачу в полярных координатах. Целесообразно искать решение, не зависящее

от , так как граничные условия от не зависят. Уравнение (III.26) в этом случае примет вид

.

Очевидно, что это обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка. Понижая порядок и интегрируя его, найдем

. (III.28)

Постоянные и определяются из граничных условий (III.27)

, .

Подставляя найденные значения и в формулу (III.28), окончательно получим

.

36

Замечание. Фактически решена задача нахождения функции , удовлетворяющей уравнению Лапласа в области, ограниченной поверхностями (в цилиндрических координатах):

, и следующим граничным условиям:

.

(задача Дирихле-Неймана).

III.9. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге

Рассмотрим на плоскости круг с центром в начале координат радиуса . Пусть на его окружности задана некоторая функция , где полярный угол. Найдем функцию , удовлетворяющую внутри круга уравнению Лапласа

, (III.29)

которая на окружности принимающую заданные значения

.

Решение задачи можно найти методом разделения переменных, полагая

.

Подставляя эту функцию в уравнение (III.29), получим

,или

.

Левая часть этого равенства не зависит от , а правая от , следовательно, они равны постоянному числу, которое обозначили через . Таким образом, находим два дифференциальных уравнения

, (III.30)

. (III.31)

Общее решение первого из этих уравнений будет

.

Второе уравнение является уравнением Эйлера. Его решение найдем в виде . Подставив выписанную функцию в уравнение (III.31), найдем два частных линейно независимых решения и . Тогда общее решение уравнения (III.31) запишется в виде

.Итак,

. (III.32)

37

Полученная функция будет решением данного уравнения при любом значении , отличном от нуля. Если , то уравнения (III.30) и (III.31) принимают вид

.Откуда получаем

.

Так как решение должно быть периодической функцией от с наименьшим положительным периодом , то в найденном выражении для . Далее функция должна быть

непрерывной и конечной в круге, поэтому и .Решение исходной задачи будем составлять в виде суммы решений (III.32). Сумма должна

быть периодической функцией от . Для этого должно принимать целые значения. Итак,

. (III.33)

Постоянные и находят так, чтобы выполнялось краевое условие задачи. Подставляя в выражение для значение , получим

.

Найденная сумма является рядом Фурье для функции на интервале . Следовательно, и должны определяться по формулам

, , . (III.34)

Таким образом, ряд (III.33) с коэффициентами, определенными по формулам (III.34), будет решением поставленной задачи, если он допускает почленное двукратное дифференцирование по

и .

Пример 7. Найти решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге , принимающее на границе круга значения .

Решение задачи будем искать в виде

.

Найдем коэффициенты ряда по формулам (III.34).

.

.

38

.

Итак,

.

IV. ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ МОДЕЛИРОВАНИЯ.ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ

ОБРАБОТКИ ЭМПИРИЧЕСКИХ ДАННЫХ

Одним из этапов математического моделирования является выяснение того, удовлетворяет ли принятая (гипотетическая) модель критерию практики, т.е. выяснение вопроса о том, согласуются ли в принципе результаты наблюдений с теоретическими следствиями модели в пределах точности наблюдений. Если модель была вполне определена – все параметры ее были заданы, то определение уклонений теоретических следствий от наблюдений дает решение прямой задачи с последующей оценкой отклонений.

Часто при построении модели, некоторые ее характеристики остаются неопределенными. Задачи, в которых определяются характеристики модели (параметрические, функциональные) таким образом, чтобы выходная информация была сопоставима в пределах точности наблюдений с результатами наблюдений изучаемых явлений, называются обратными задачами.

Здесь важно заметить, что в большинстве своем, результаты наблюдений в широком смысле проявляются случайным образом. Установление закономерностей, которым подчинены случайные явления, основано на изучении статистических данных – результатах наблюдений. В обработке эмпирической информации особое место занимают методы математической статистики, главными задачами которой являются:

Указание способов сбора и группировки эмпирических сведений; Разработка методов анализа статистических данных, в зависимости от целей

исследования.

IV. 1. Основные понятия теории статистического выборочного метода. Простейшие приемы статистического описания.

Основным понятием в математической статистике является понятие генеральной совокупности, под которой подразумевается множество каких-либо однородных элементов и из которого по определенному правилу выделяется некоторое подмножество, называемое выборкой.

При обработке эмпирической информации под выборкой подразумевают результаты каких-либо наблюдений, даже в том случае, когда эти результаты не соответствуют понятию генеральной совокупности, указанному выше. Например, результаты измерения, какой-либо физической постоянной, подверженные случайным ошибкам, часто называются выборкой из бесконечной генеральной совокупности. Предполагается, что принципиально можно произвести любое число таких измерений. Фактические результаты считаются выборкой из бесконечного множества возможных результатов. При этом предполагается, что правило отбора задается функцией распределения , так что вероятность получить результат измерения, принадлежащий полуинтервалу , выражается разностью .

39

Очевидно, что для решения статистической задачи необходима не сама генеральная совокупность, а лишь те или иные характеристики распределения, устанавливаемые по выборочным данным.

Простейшие приемы статистических описаний предполагают, что изучаемая совокупность из объектов может по какому-либо качественному признаку разбиваться на классы

. Соответствующее этому разбиению статистическое распределение задается

указанием численностей (частот) отдельных классов. Вместо частот

часто указывают соответствующие относительные частоты , очевидно, удовлетворяющие

соотношению . Если изучению подлежит некоторый количественный признак, то его

распределение в совокупности из объектов можно записать, перечислив непосредственно наблюдавшиеся значения признака (например, в порядке возрастания). Однако, при больших этот способ громоздок и в то же время не выявляет отчетливо существенных свойств распределения и надежного вычисления по групповым численностям основных характеристик распределения. Составленная по таким группированным данным гистограмма наглядно изображает распределение.

В пределах математической статистики вопрос об интервалах группирования может быть рассмотрен только с формальной стороны: полноты математического описания распределения, точности вычисления средних по сгруппированным данным и т.п.

Простейшими сводными характеристиками распределения одного количественного признака являются:

– среднее:

;

– среднее квадратическое отклонение:

,

где:

.

При вычислении , и D по группированным данным пользуются формулами:

;

или

,

где число интервалов группирования, их середины.

40

IV.2. Методы расчета сводных характеристик выборки

IV.2.1. Условные варианты

Предположим, что варианты выборки расположены в возрастающем порядке, то есть в виде вариационного ряда.

Равноотстоящими называются варианты, которые образуют арифметическую прогрессию с разностью . Условными вариантами называют варианты, определяемые

равенством: где ложный нуль (новое начало отсчета); шаг, то есть разность

между любыми двумя соседними первоначальными вариантами (новая единица масштаба).

Упрощенные методы расчета сводных характеристик выборки основаны на замене первоначальных вариант условными. Если вариационный ряд состоит из равноотстоящих вариант с шагом , то условные варианты суть целые числа. В самом деле, выбирая в качестве ложного

нуля произвольную варианту будем иметь:

Так как (множеству целых чисел, то и их разность есть целое число.

Условные варианты – это небольшие целые числа. Разумеется оперировать с ними проще, чем с первоначальными вариантами.

IV.2.2. Обычные, начальные и центральные эмпирические моменты

Для вычисления сводных характеристик выборки удобно пользоваться эмпирическими моментами, определения которых аналогичны определениям соответствующих теоретических моментов. Эмпирические моменты вычисляются по данным наблюдений.

Определение 1. Обычным эмпирическим моментом порядка называют среднее значение -х степеней разностей

41

где наблюдаемая варианта,

частота варианты,

объем выборки,

произвольное постоянное число (ложный нуль).

Определение 2. Начальным эмпирическим моментом порядка называется обычный эмпирический момент порядка при

В частности

Определение 3. Центральным эмпирическим моментом порядка называется обычный момент порядка при

В частности

(IV.1)

Легко выразить центральные моменты через обычные:

(IV.2)

42

(IV.3)

43

Условные эмпирические моменты. Отыскание центральных моментов по условным

Определение 4. Условным эмпирическим моментом порядка называется начальный момент порядка , вычисленный для условных вариант

В частности

Откуда:

Выразим обычные моменты через условные:

Отсюда:

Найдя обычные моменты, легко найти центральные моменты по соотношениям (IV.2) и (IV.3), тогда будем иметь удобные формулы для вычислений

(IV.4)

44

(IV.5)

IV.3. Метод произведений вычисления выборочных средней и дисперсии

Метод произведений – это удобная техника вычислений условных моментов различных порядков вариационного ряда с равноотстоящими вариантами. Зная условные моменты, нетрудно найти начальные и центральные эмпирические моменты. В частности, методом произведений удобно вычислять выборочную среднюю и выборочную дисперсии. При этом рекомендуем пользоваться расчетной таблицей, которая составляется следующим образом:

в первый столбец таблицы записывают выборочные (первоначальные) варианты, располагая их в возрастающем порядке;

во второй столбец записывают частоты вариант; складывают все частоты и их сумму (объем выборки ) помещают в нижнюю клетку столбца;

в третий столбец записывают условные варианты причем в качестве ложного

нуля выбирают варианту с наибольшей частотой и полагают равным разности между любыми двумя соседними вариантами;

умножают частоты на условные варианты и записывают их произведения в четвертый столбец; сложив все полученные числа, их сумму помещают в нижнюю клетку столбца;

умножают частоты на квадраты условных вариант и записывают их выражения в пятый

столбец; сложив все полученные числа, их сумму , помещают в нижнюю клетку столбца;

умножают частоты на квадраты условных вариант, увеличенных каждая на единицу, и записывают произведения в шестой контрольный столбец; сложив все

полученные числа, их сумму помещают в нижнюю клетку столбца.

Далее вычисляются условные моменты:

И, наконец, вычисляются:

выборочная средняя

45

и выборочная дисперсия

В качестве иллюстрации, рассмотрим пример.

Пример 7: Пусть дан статистический ряд распределения значений измеряемой случайной величины:

варианты: 10,2 10,4 10,6 10,8 11,0 11,2 11,4 11,6 11,8 12,0

частоты: 2 3 8 13 25 20 12 10 6 1

46

Расчеты осуществляем в таблице:

10,2 2 -4 -8 32 18

10,4 3 -3 -9 27 12

10,6 8 -2 -16 32 8

10,8 13 -1 -13 13 0

11,0 25 0 25

11,2 20 1 20 20 80

11,4 12 2 24 48 108

11,6 10 3 30 90 160

11,8 6 4 24 96 150

12,0 1 5 5 25 36

Контроль вычислений:

Таким образом, вычисления произведены верно.

Далее, вычислим условные моменты первого и второго порядков:

Находим шаг:

47

И, наконец, вычислим искомые величины:

IV.4. Сведение первоначальных вариант к равноотстоящим

На практике, как правило, данные наблюдений не будут равноотстоящими числами. Естественно возникает вопрос: нельзя ли соответствующей обработкой наблюдаемых значений признака свести вычисления к случаю равноотстоящих вариант? С этой целью интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака (первоначальные варианты), делят на несколько равных частичных интервалов. (Практически в каждый частичный интервал должно попасть не менее 8-10 первоначальных вариант.) Затем находятся середины частичных интервалов, которые и образуют последовательность равноотстоящих вариант.

В качестве частоты «новой» варианты (середины частичного интервала) принимают общее число первоначальных вариант, попавших в соответствующий частичный интервал.

Ясно, что замена первоначальных вариант серединами частичных интервалов сопровождается ошибками (первоначальные варианты левой половины частичного интервала будут увеличены, а варианты правой половины уменьшены), однако эти ошибки будут в основном погашаться, поскольку они имеют разные знаки.

1,00

1,03

1,05

1,06

1,08

1,10

1

3

6

4

2

4

1,12

1,15

1,16

1,19

1,20

3

6

5

2

4

1,23

1,25

1,26

1,29

1,30

4

8

4

4

6

1,32

1,33

1,37

1,38

1,39

1,40

4

5

6

2

1

2

1,44

1,45

1,46

1,49

1,50

3

3

2

4

2

1,00 - 1,10 1,10 - 1,20 1,20 - 1,30 1,30 - 1,40 1,40 - 1,50

48

Приняв середины частичных интервалов в качестве новых вариант , получим равноотстоящие

варианты: Найдем частоту варианты

. (Поскольку первоначальная варианта 1,10 одновременно является

концом первого частичного интервала и началом второго частичного интервала, частота 4 этой варианты поровну распределяется между обоими частичными интервалами.) Аналогично вычисляются частоты остальных вариант. Таким образом, для полученных новых равноотстоящих вариант будем иметь следующий статистический ряд:

1,05 1,15 1,25 1,35 1,45

18 20 25 22 15

IV.5. Эмпирические и выравнивающие частоты

IV.5.1. Дискретное распределение.

Рассмотрим дискретную случайную величину , закон распределения которой неизвестен. Пусть произведено испытаний, в которых величина приняла раз значение ,

раза - значение раз - значение , причем

Определение 5. Эмпирическими частотами называют фактически наблюдаемые частоты .

Предположим, что у нас имеются основания предположить, что изучаемая величина распределена по некоторому определенному закону. Для того, чтобы проверить, согласуется ли это предположение с данными наблюдений, вычисляют частоты наблюдаемых значений, то есть находят теоретически сколько раз величина должна была принять каждое из наблюдаемых значений, если она распределена по наблюдаемому закону.

Определение 6. Выравнивающими (теоретическими), в отличии от фактически наблюдаемых

эмпирических частот, называют частоты , найденные теоретически (вычислениями). Их находят

по соотношению

49

где: число испытаний;

вероятность наблюдаемого значения , вычисленная при допущении, что имеет предполагаемое распределение.

IV.5.2. Непрерывное распределение.

В случае непрерывного распределения, вероятности отдельных возможных значений равны нулю. Поэтому весь интервал возможных значений делят на непересекающихся интервалов и вычисляют вероятности попадания в й частичный интервал, а затем, как и для дискретного распределения, умножают число испытаний на эти вероятности.

Итак, выравнивающие частоты непрерывного распределения находят по соотношению:

где: число испытаний;

вероятность наблюдаемого значения , вычисленная при допущении, что имеет предполагаемое распределение.

В частности, если имеются основания предположить, что случайная величина (генеральная совокупность) распределена нормально, то выравнивающие частоты могут быть найдены по формуле

(IV.6)

где: число испытаний (объем выборки);

длина частичного интервала;

выборочное среднее квадратическое отклонение;

середина го частичного интервала

50

Замечание: Как известно, дифференциальная функция (функция плотности распределения вероятностей) общего нормального распределения имеет следующий вид

(IV.7)

При и получим дифференциальную функцию нормированного распределения

или, заменив обозначение аргумента

Далее, положив, имеем

(IV.8)

Сравнивая (IV.7) и (IV.8), можно сделать заключение, что

Если математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение неизвестны, то в качестве оценок этих параметров принимают соответственно выборочную среднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение Тогда

где

51

Пусть середина го частичного интервала (на которые разбита совокупность всех наблюдаемых значений нормально распределенной случайной величины ) длиною Тогда вероятность попадания в этот интервал приближенно равна произведению длины интервала на значение дифференциальной функции в любой точке интервала и, в частности, при

Следовательно, выравнивающая частота

где

Таким образом, формула (IV.5) получена.

IV.6. Построение нормальной кривой распределения по опытным данным

Один из способов построения нормальной кривой по опытным данным наблюдений (либо экспериментов) заключается в следующем:

* находят и например, по методу произведений;* находят ординаты (выравнивающие частоты) теоретической кривой по формуле

где сумма наблюдаемых частот, разность между двумя соседними

вариантами

и

* строят точки в прямоугольной системе координат и соединяют их плавной линией.

Близость выравнивающих частот к наблюдаемым подтверждает правильность допущения о том, что обследуемый признак распределен нормально.

В качестве иллюстрации, рассмотрим следующий пример.

52

Пример 8: Построим нормальную кривую по данным

варианта 15 20 25 30 35 40 45 50 55

частота 6 13 38 74 106 85 30 10 4

Используя метод произведений, нетрудно получить:

Расчеты выравнивающих частот осуществлены в таблице:

53

15 6 -19,7 -2,67 0,0113 3

20 13 -14,7 -1,99 0,0551 14

25 38 -9,7 -1,31 0,1691 42

30 74 -4,7 -0,63 0,3271 82

35 106 0,3 0,05 0,3984 99

40 85 5,3 0,73 0,3056 76

45 30 10,3 1,41 0,1476 37

50 10 15,3 2,09 0,0449 11

55 4 20,3 2,77 0,0086 2

54

На рис. 4 построена нормальная (теоретическая) кривая по выравнивающим частотам (см. рис. 4) и полигон наблюдаемых частот (они изображены на рис. 5).

Сравнение графиков визуально показывает, что построенная теоретическая кривая удовлетворительно отражает данные наблюдений.

Для того, чтобы более уверенно считать, что данные наблюдений свидетельствуют о нормальном распределении признака, необходимо использовать специальные правила (их называют критериями согласия).

X Axis (units)

Y A

xis

(uni

ts)

11.0 19.0 27.0 35.0 43.0 51.0 59.0

Рис. 4.

X Axis (units)

Y A

xis

(uni

ts)

11.0 19.0 27.0 35.0 43.0 51.0 59.0

Рис. 5.

55

56

IV.7. Оценка отклонений эмпирического распределения от нормального. Асимметрия и эксцесс.

Для оценки отклонения эмпирического распределения от нормального используются различные характеристики, к числу которых относятся асимметрия и эксцесс. Их определения аналогичны определениям асимметрии и эксцесса теоретических распределений.

Определение 7. Асимметрия эмпирического распределения определяется соотношением:

(здесь центральный эмпирический момент третьего порядка). Эксцесс

эмпирического распределения определяется соотношением: (здесь

центральный эмпирический момент четвертого порядка).

Указанные в соответствующих формулах моменты удобно вычислять методом произведений.

Пример 9: Найдем асимметрию и эксцесс эмпирического распределения:

варианта 10,2 10,4 10,6 10,8 11,0 11,2 11,4 11,6 11,8 12,0

частота 2 3 8 13 25 20 12 10 6 1

Последний столбец, приведенной ниже таблицы расчетов, служит для контроля вычислений по тождеству:

Расчеты приведены в таблице:

10,2 2 -4 -8 32 -128 512 162

57

10,4 3 -3 -9 27 -81 243 48

10,6 8 -2 -16 32 -64 128 8

10,8 13 -1 -13 13 -13 13 -

11,0 25 0 -286 25

11,2 20 1 20 20 20 20 320

11,4 12 2 24 48 96 192 972

11,6 10 3 30 90 270 810 2560

11,8 6 4 24 96 384 1536 3750

12,0 1 5 5 25 125 625 1296

895

Контроль:

Совпадение сумм свидетельствует о том, что вычисления произведены верно.

Ранее было найдено: следовательно

Далее находим условные моменты третьего и четвертого порядков:

Находим центральные эмпирические моменты третьего и четвертого порядков:

58

И, наконец, находим асимметрию:

и эксцесс:

Замечание: В случае малых выборок для оценок асимметрии и эксцесса необходимо находить дополнительно и точность этих оценок.

IV.8. Статистическая проверка гипотез. Основная и конкурирующая (простая и сложная) гипотезы.

Весьма часто возникает задача, связанная с необходимостью знания закона распределения генеральной совокупности. Если закон распределения неизвестен, но имеются основания предположить, что он имеет определенный вид , выдвигают гипотезу: генеральная совокупность распределена по закону . Таким образом, в этой гипотезе речь идет о виде предполагаемого распределения.

Возможен случай, когда закон распределения известен, а его параметры неизвестны. Если есть основания предположить, что неизвестный параметр равен определенному значению ,

то выдвигается гипотеза: Таким образом, в этой гипотезе речь идет о предполагаемой величине параметра одного известного распределения.

Возможны и другие типы гипотез: о равенстве параметров двух или нескольких распределений, о независимости выборок и другие.

Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения, или о параметрах неизвестных распределений.

Примерами статистических гипотез могут быть предположения, что:

генеральная совокупность распределена по закону Пуассона; дисперсии двух нормальных совокупностей равны между собой.

59

Обычно, наряду с выдвигаемой гипотезой рассматривают противоречащую ей гипотезу. При этом, если отвергается выдвинутая гипотеза, то принимается противоречащая гипотеза. По этой причине такие гипотезы следует различать.

Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезу . Конкурирующей (альтернативной)

называют гипотезу , которая противоречит основной.

Например, если основная гипотеза состоит в предположении, что математическое ожидание нормального распределения равно 10, то

конкурирующая гипотеза, в частности, может состоять в предположении, что Коротко это записывается так:

Простой гипотезой называют гипотезу, содержащую только одно предположение. Например, если параметр показательного распределения, то простая.

Сложной гипотезой называют гипотезу, которая состоит из конечного или бесконечного числа простых гипотез. Например, сложная гипотеза состоит из бесконечного числа простых

гипотез вида: где произвольные вещественные числа большие 5.

IV.9. Ошибки первого и второго рода

Выдвинутая исследователем гипотеза может быть правильной или неправильной, поэтому возникает необходимость ее проверки. Поскольку проверку производят статистическими методами, ее (проверку) называют статистической. В итоге статистической проверки гипотезы в двух случаях может быть принято неправильное решение. Это означает, что исследователь подвержен совершить ошибки двух родов.

Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута верная гипотеза.

Ошибка второго рода состоит в том, что будет принята неверная гипотеза.

Очевидно, что последствия этих ошибок могут оказаться весьма различными.

60

Замечание 1. Правильное решение может быть принято в двух различных случаях:

гипотеза принимается, причем и в действительности она верна; гипотеза отвергается, причем и в действительности она неверна.

Замечание 2. Вероятность совершить ошибку принято обозначать через ее называют уровнем значимости. Наиболее часто уровень значимости принимают равным 0,05 или 0,01. Если, например, принять уровень значимости равным 0,05, то это означает, что в пяти случаях из ста мы рискуем допустить ошибку первого рода (отвергнуть правильную гипотезу).

IV.10. Статистический критерий проверки основной гипотезы.

IV.10.1. Наблюдаемое значение критерия.

Для проверки основной гипотезы используют специально подобранную случайную величину, точное или приближенное распределение которой известно. Эта случайная величина имеет нормальное распределение: распределение Фишера-Снедекора, либо распределение Стьюдента, либо распределение. Мы не будем рассматривать конкретный вид распределения и в целях общности обозначим рассматриваемую случайную величину

Статистическим критерием (или просто критерием) называют случайную величину , которая служит для проверки основной гипотезы.

Например, если проверяют гипотезу о равенстве дисперсий двух нормальных генеральных совокупностей, то в качестве критерия принимают отношение исправленных выборочных дисперсий:

Эта величина случайная, потому, что в различных опытах дисперсии будут принимать различные, наперед неизвестные значения и распределена по закону Фишера-Снедекора.

Для проверки гипотезы по данным выборок вычисляют частные значения входящих в критерий величин, и таким образом получают частное (наблюдаемое) значение критерия.

61

Наблюдаемым (эмпирическим) значением называют значение критерия, вычисленное по выборкам.

Например, если по двум выборкам, извлеченных из нормальных генеральных

совокупностей, найдены исправленные выборочные дисперсии и то наблюдаемое

значение критерия

Критическая область. Область принятия гипотезы. Критические точки.

После выбора определенного критерия, множество всех возможных его значений разбивают на два непересекающихся подмножества: одно из них содержит значения критерия, при которых основная гипотеза отвергается, а другое – при которых она принимается.

Критической областью называют совокупность значений критерия, при которых основная гипотеза должна быть отвергнута.

Областью принятия гипотезы (областью допустимых значений) называют совокупность значений критерия, при которых основная гипотеза принимается как верная.

Основной принцип проверки статистических гипотез можно сформулировать так: если наблюдаемое значение критерия принадлежит критической области – гипотезу отвергают, если же наблюдаемое значение критерия принадлежит области допустимых значений – гипотезу принимают.

Поскольку критерий одномерная случайная величина, все ее значения принадлежат некоторому интервалу. Также и критическая область и область принятия гипотезы являются интервалами. Таким образом, естественно предположить, что существуют и точки, которые их разделяют. Их называют критическими точками и обозначают .

62

Различают одностороннюю (правостороннюю или левостороннюю) и двустороннюю критические области.

Правосторонней называют критическую область, определяемую неравенством ,

где –положительное число.

63

Левосторонней называют критическую область, определяемую неравенством , где

–отрицательное число.

Односторонней называют правостороннюю или левостороннюю критическую область.

Двусторонней называют критическую область, определяемую неравенствами: где

Замечание: Если критические точки симметричны относительно нуля, двусторонняя критическая область определяется неравенствами (в предположении что ):

или равносильным неравенством: .

IV.10.2. Отыскание правосторонней критической области.

Для отыскания правосторонней критической области достаточно найти критическую точку. С этой целью зададимся достаточно малой вероятностью – уровнем значимости . Затем найдем критическую точку , исходя из требования, чтобы, при условии справедливости основной

гипотезы, вероятность того, что критерий примет значение, больше , была равна принятому уровню значимости:

(IV.9)

Для каждого критерия имеются соответствующие таблицы, по которым и находят критическую точку, удовлетворяющую этому требованию.

Замечание 1. Когда критическая точка уже найдена, вычисляют по данным выборок наблюдаемое значение критерия и, если окажется, что , то основную гипотезу отвергают; в противном

случае – нет оснований отвергать основную гипотезу (что вовсе не означает, что альтернативная (конкурирующая) гипотеза верна).

64

Замечание 2. Наблюдаемое значение критерия может оказаться большим не потому, что основная гипотеза ложна, а по другим причинам (малый объем выборки, недостатки методики эксперимента и другие). В этом случае, отвергнув правильную основную гипотезу, совершают ошибку первого рода. Вероятность этой ошибки равна уровню значимости . Таким образом, пользуясь требованием (IV.9), с вероятностью имеет место риск совершить ошибку первого рода.

Заметим, что в книгах по контролю качества продукции, вероятность признать негодной партию годных изделий называют «риском производителя», а вероятность принять негодную партию – «риском потребителя».

Замечание 3. Предположим, что основная гипотеза принята; ошибочно думать, что тем самым она доказана. Действительно, известно, что один пример, подтверждающий справедливость некоторого общего утверждения еще не доказывает его. Поэтому более правильно говорить «данные наблюдений согласуются с основной гипотезой и, следовательно, не дают оснований ее отвергнуть».

На практике для большей уверенности принятия гипотезы, ее проверяют другими способами, или повторяют эксперимент, увеличивая объем выборки.

Отвергают гипотезу более категорично, чем принимают. Действительно, известно, что достаточно привести один пример, противоречащий некоторому общему утверждению, чтобы это утверждение отвергнуть. Если оказалось, что наблюдаемое значение критерия принадлежит критической области, то этот факт и служит примером, противоречащим основной гипотезе, что позволяет ее отклонить.

IV.10.3. Отыскание левосторонней и двусторонней критических областей.

Также как и для правосторонней критической области, отыскание левосторонней и двусторонней областей сводится к отысканию критических точек.

Левосторонняя критическая область определяется соотношением:

Критическую точку находят, исходя из требования, чтобы при справедливости основной гипотезы, вероятность того, что критерий примет значение, меньшее , была равна принятому уровню значимости

65

Двусторонняя критическая область определяется соотношением:

Критические точки находят, исходя из требования, чтобы, при справедливости основной гипотезы, сумма вероятностей того, что критерий примет значение меньшее, чем или большее,

чем , была равна принятому уровню значимости:

(IV.10)

Очевидно, что критические точки могут быть выбраны неоднозначно. Если распределение критерия симметрично относительно нуля и имеются основания (например, для увеличения мощности критерия2) выбрать симметричные относительно нуля точки и ( ), то

Учитывая (IV.10), получим:

Это соотношение и служит для отыскания критических точек двусторонней критической области.

IV.10.4. Некоторые дополнительные сведения о выборе критической области. Мощность критерия.

Критическая область строилась, исходя из требования, чтобы вероятность попадания в нее критерия была равна , при условии, что основная гипотеза справедлива. Более целесообразно ввести в рассмотрение вероятность попадания критерия в критическую область при условии, что основная гипотеза неверна, а справедлива конкурирующая гипотеза.2 Определение мощности критерия см. далее.

66

Определение 8: Мощностью критерия называют вероятность попадания критерия в критическую область, при условии, что справедлива конкурирующая гипотеза.

Другими словами, мощность критерия есть вероятность того, что основная гипотеза будет отвергнута, если верна конкурирующая гипотеза.

Пусть для проверки гипотезы принят определенный уровень значимости, и выборка имеет определенный фиксированный объем. Наблюдается определенного рода произвол в выборе критической области. Покажем, что ее целесообразно построить так, чтобы мощность критерия была максимальной.

Предварительно убедимся, что, если вероятность ошибки второго рода (принять неверную гипотезу) равна то мощность критерия равна Действительно, если вероятность ошибки второго рода, то есть события «принята основная гипотеза, причем справедлива конкурирующая», то вероятность противоположного события «отвергнута основная гипотеза, причем справедлива конкурирующая», то есть мощность критерия

Пусть мощность критерия возрастает; следовательно, уменьшается вероятность совершить ошибку второго рода, что, конечно, желательно.

Замечание 1. Поскольку вероятность события «ошибка второго рода допущена» равна , то вероятность противоположного события «ошибка второго рода не допущена» равна то есть мощности критерия. Отсюда следует, что мощность критерия есть вероятность того, что не будет допущена ошибка второго рода.

Замечание 2. Ясно, что, чем меньше вероятность ошибок первого и второго рода, тем критическая область «лучше». Однако, при заданном объеме выборки уменьшить одновременно и и невозможно: если уменьшать , то будет возрастать. Например, если принять , то будут приниматься все гипотезы, в том числе и неправильные, то есть возрастает вероятность (ошибки второго рода).

Тогда естественно задавать вопрос: «Как выбрать значение наиболее целесообразно?» Ответ на этот вопрос зависит от «тяжести последствий» ошибок для каждой конкретной задачи. Например, если ошибка первого рода повлечет большие потери, а второго – малые, то следует принять, возможно, меньшее значение .

Если уже выбрано, то, пользуясь известной теоремой Неймана-Пирсона, можно построить критическую область, для которой будет минимальным и, следовательно, мощность критерия максимальной.

67

Замечание 3. Единственный способ одновременного уменьшения вероятности ошибок первого и второго рода состоит в увеличении объема выборки.

IV.11. Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности. Критерий согласия Пирсона.

Если закон распределения генеральной совокупности неизвестен, но есть основания предположить, что он имеет определенный вид (назовем его ), то проверяют основную гипотезу: генеральная совокупность распределена по закону .

Проверка гипотезы о предполагаемом законе неизвестного закона распределения производится с помощью специально подобранной случайной величины – критерия согласия.

Определение 9. Критерием согласия3 называется критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения.

Ограничимся описанием критерия К.Пирсона к проверке гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности (критерий аналогично применяется и для других типов распределений, в чем и состоит его основное достоинство). С этой целью будем сравнивать эмпирические (наблюдаемые) и теоретические (вычисленные в предположении нормального распределения) частоты.

Важно отметить, что практически невозможно в результате опыта получить эмпирические частоты, полностью совпадающие с теоретически вычисленными (см. ранее рассмотренный пример). Напомним результаты произведенных вычислений:

Эмпирические частоты 6 13 38 74 106 85 30 10 4

Теоретические частоты 3 14 42 82 99 76 37 11 2

Здесь, возможно, столкнуться со следующими случаями:

* расхождение частот случайно (незначимо) и объясняется малым числом наблюдений, либо способом группировки, либо другими причинами;

* расхождение частот неслучайно (значимо) и объясняется тем, что теоретические частоты вычислены, исходя из неверной гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности.

3 Имеется несколько критериев согласия: (хи - квадрат) К. Пирсона, Колмогорова, Смирнова и другие.

68

Упомянутый выше критерий Пирсона, как и любой другой критерий, не доказывает справедливость гипотезы, а лишь устанавливает, на принятом уровне значимости, ее согласованность или несогласованность с данными наблюдений.

Пусть по выборке объема получено эмпирическое распределение:

Варианты ...

Эмпирические

частоты ...

Допустим, что в предположении нормального распределения генеральной совокупности,

вычислены теоретические частоты . При уровне значимости , требуется проверить основную

гипотезу: генеральная совокупность распределена нормально.

В качестве критерия проверки основной гипотезы применим случайную величину

(IV.11)

Очевидно, что чем меньше различаются эмпирические и теоретические частоты, тем меньше величина критерия (IV.11) и, следовательно, он в известной степени характеризует близость эмпирического и теоретического распределений.

Известно, что при закон распределения случайной величины (IV.11), независимо от того, какому закону распределения подчинена генеральная совокупность, стремится к закону распределения с степенями свободы. Поэтому случайная величина (IV.11) обозначена , а сам критерий называют критерием согласия «хи-квадрат».

Число степеней свободы находят по формуле: где

число групп (частичных интервалов) выборки;

число параметров предполагаемого закона распределения, которые оценены по данным выборки.

В частности, если предполагаемое распределение нормальное, то оцениваются два параметра (математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение), поэтому и число степеней свободы

69

Поскольку односторонний критерий более «жестко» отвергает основную гипотезу, чем двусторонний, построим правостороннюю критическую область, исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия в эту область, в предположении справедливости основной гипотезы, была равна принятому уровню значимости :

Таким образом, правосторонняя критическая область определяется неравенством

а область принятия основной гипотезы – неравенством

Обозначим значение критерия, вычисленное по данным наблюдений, через и

сформулируем правило проверки основной гипотезы.

Для того чтобы, при заданном уровне значимости, проверить основную гипотезу : генеральная совокупность распределена нормально, необходимо сначала вычислить теоретические частоты, а затем наблюдаемое значение критерия

(IV.12)

и по таблице критических точек распределения , по заданному уровню значимости , и

числу степеней свободы , найти критическую точку .

* Если , то нет оснований отвергать основную гипотезу;

* Если , то основную гипотезу отвергают.

70

Замечание 1. Объем выборки должен быть достаточно велик, во всяком случае, не менее 50. Каждая группа должна содержать не менее 8-10 вариант; малочисленные группы следует объединить в одну, суммируя при этом частоты.

Замечание 2. Поскольку возможны ошибки первого и второго рода, в особенности, если согласование теоретических и эмпирических частот «слишком хорошее», следует проявлять осторожность. Например, можно повторить опыт, увеличить число наблюдений, воспользоваться другими критериями, построить график распределения, вычислить асимметрию и эксцесс.

Замечание 3. В целях контроля вычислений формулу (IV.12) преобразуют к виду

В качестве иллюстрации рассмотрим пример.

Пример 10: При уровне значимости 0,05, проверим гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности. Эмпирические данные и выровненые теоретические частоты возьмем из примера, рассмотренного ранее.

эмпирические частоты

6 13 38 74 106 85 30 14

Теоретические частоты

3 14 42 82 99 76 37 13

Вычислим , для чего составим таблицу

1 6 3 3 9 3 36 12

2 13 14 -1 1 0,07 169 12,07

3 38 42 -4 16 0,38 1444 34,38

4 74 82 -8 64 0,78 5476 66,78

71

5 106 99 7 49 0,49 11236 113,49

6 85 76 9 81 1,07 7225 95,07

7 30 37 -7 49 1,32 900 24,32

8 14 13 1 1 0,08 196 15,08

366 366 373,19

Контроль :

Найдем далее число степеней свободы, учитывая, что число групп выборки (число различных вариант)

По таблице критических точек распределения по уровню значимости и числу

степеней свободы , находим . Таким образом, в силу того, что

нет оснований отвергнуть основную гипотезу. Другими словами, расхождение эмпирических и теоретических частот незначимое. Следовательно, данные наблюдений согласуются с гипотезой о нормальном распределении генеральной совокупности.

72

ЗАДАНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

ПО ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКЕ

1. Найти и исследовать особые точки данных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, а также в окрестности особой точки начертить ее фазовый портрет:

1.1. 1.2.

1.3. 1.4.

1.5. 1.6.

1.7. 1.8.

1.9. 1.10.

2. Исследовать устойчивость нулевого решения, пользуясь известными условиями, например, условиями Рауса-Гурвица, критерием Михайлова или частотным критерием Вышнеградского:

2.1.

2.2.

2.3.

2.4.

2.5.

2.6.

2.7.

2.8.

2.9.

2.10.

3. Метод Фурье – разделения переменных. Решение краевой задачи математической физики) прямоугольные системы координат).

73

В полуполосе для уравнения колебаний:

решить задачу с условиями:

3.1.1. ; ; .

3.1.2. ; ; .

3.1.3. ; ; .

3.1.4. ; ; .

3.1.5. ; ; .

В полуполосе для уравнения теплопроводности:

решить задачу с условиями:

3.2.1. ; .

3.2.2. ; .

3.2.3. ; .

3.2.4. ; .

74

3.2.5. ; .

4. Выполнено 100 измерений длины линии светодальномером СТ-10. Результаты измерений, в некоторой последовательности, в миллиметрах сведены в таблицу 1 (см. таблицу с соответствующим номером варианта):

1). составить статистический ряд распределения равноотстоящих вариант;

2). методом произведений найти выборочное среднее и выборочную дисперсию;

3). вычислить выравнивающие частоты из предположения, что истинное распределение частот подчинено нормальному закону и построить кривую распределения;

4). вычислить коэффициенты асимметрии и эксцесс и осуществить постановку гипотез относительно формы распределения генеральной совокупности;

5). при уровне значимости проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности.

Таблица 1.

1. 2.13 5.09 3.02 8.81 8.34 9.56 9.34 9.89 11.03 11.06

3.12 8.13 6.43 8.72 8.73 9.45 9.46 9.98 10.32 9.28

8.22 2.43 11.51 8.56 4.96 6.04 10.57 4.94 3.28 8.34

7.21 2.51 9.86 10.34 5.55 9.13 6.67 9.86 4.34 5.37

5.17 3.08 7.94 7.29 6.47 8.87 5.36 6.82 10.56 11.56

4.37 6.87 7.34 8.17 8.78 10.78 9.55 5.78 2.57 10.54

3.41 4.39 7.56 6.94 5.77 11.76 3.87 3.74 6.64 5.78

4.27 5.84 7.74 5.35 8.13 2.54 2.91 6.63 7.67 4.87

5.48 7.07 7.85 4.56 2.55 7.36 10.76 9.66 10.78 3.95

2.32 11.98 8.51 3.45 10.33 8.15 9.35 9.18 10.99 2.98

2. 8.22 5.99 4.02 6.81 4.34 6.56 7.34 7.89 8.03 8.06

2.42 6.13 4.43 5.72 5.73 6.45 2.46 3.98 2.32 5.28

4.34 2.73 5.54 4.56 5.96 6.04 3.57 7.94 8.28 8.34

3.24 5.57 6.86 5.34 5.55 6.13 5.67 4.86 4.34 4.37

75

2.11 7.28 5.94 4.29 7.47 6.87 7.36 6.82 5.56 7.56

6.31 5.17 4.34 4.17 5.78 6.78 4.55 8.78 6.57 8.54

7.54 7.36 6.56 4.94 4.77 6.76 4.87 8.74 8.64 7.78

3.67 4.34 4.74 5.35 6.13 6.54 3.91 6.63 7.67 6.87

4.28 6.67 5.85 4.56 5.55 6.36 2.76 5.66 5.78 3.95

7.32 2.98 4.51 6.45 6.33 6.15 5.35 8.18 8.99 4.98

76

3. 7.12 8.99 5.02 5.81 5.34 7.56 8.34 5.89 5.03 8.06

9.12 6.13 4.43 4.72 4.73 5.45 5.46 7.98 6.32 4.28

5.22 5.73 3.54 7.56 6.96 9.04 8.57 5.94 9.28 5.34

5.24 4.57 4.86 4.34 7.55 6.13 7.67 7.86 5.34 6.37

4.11 7.28 5.94 6.29 8.47 3.87 7.36 8.82 6.56 8.56

4.31 4.17 6.34 5.17 7.78 7.78 4.55 7.78 5.57 7.54

6.44 3.36 3.56 6.94 5.77 7.76 8.87 5.74 7.64 8.78

6.57 6.34 4.74 7.35 5.13 5.54 5.91 6.63 5.67 9.87

5.28 7.67 5.85 5.56 6.55 4.36 7.76 5.66 7.78 8.95

4.32 5.98 7.51 4.45 4.33 8.15 6.35 8.18 8.99 9.98

4. 2.52 3.99 4.56 4.81 5.44 6.56 6.34 6.89 7.03 7.06

3.42 4.13 3.43 3.72 5.73 6.45 6.46 6.98 7.32 7.28

2.22 2.73 5.54 4.56 4.96 7.04 5.57 6.94 6.28 8.34

4.24 4.57 5.86 5.34 4.55 5.13 5.67 6.86 5.34 8.37

3.11 4.28 4.94 4.29 5.47 6.87 4.36 5.82 6.56 8.56

3.31 3.17 5.34 5.17 5.78 6.78 6.55 5.78 5.57 8.54

2.44 2.36 2.56 4.94 4.77 5.76 5.87 5.74 5.64 8.78

4.57 5.34 5.74 4.35 5.13 6.54 6.91 6.63 7.67 8.87

3.28 3.67 4.85 5.56 4.55 5.36 5.76 6.66 7.78 8.95

4.52 4.98 4.51 6.45 5.33 5.15 4.35 7.18 7.99 8.98

5. 2.52 3.99 4.56 4.81 5.44 6.56 6.34 6.89 7.03 7.06

3.42 4.13 3.43 3.72 5.73 6.45 6.46 6.98 7.32 7.28

2.22 2.73 5.54 4.56 4.96 7.04 5.57 6.94 6.28 8.34

4.24 4.57 5.86 5.34 4.55 5.13 5.67 6.86 5.34 8.37

3.11 4.28 4.94 4.29 5.47 6.87 4.36 5.82 6.56 8.56

3.31 3.17 5.34 5.17 5.78 6.78 6.55 5.78 5.57 8.54

77

2.44 2.36 2.56 4.94 4.77 5.76 5.87 5.74 5.64 8.78

4.57 5.34 5.74 4.35 5.13 6.54 6.91 6.63 7.67 8.87

3.28 3.67 4.85 5.56 4.55 5.36 5.76 6.66 7.78 8.95

4.52 4.98 4.51 6.45 5.33 5.15 4.35 7.18 7.99 8.98

6. 9.52 7.99 6.56 7.81 5.44 4.56 5.34 6.89 8.03 4.06

5.42 3.13 3.43 5.72 6.73 6.45 6.46 6.98 9.32 9.28

6.22 4.73 9.54 5.56 9.96 3.04 7.57 6.94 7.28 4.34

2.24 2.57 1.86 7.34 7.55 9.13 3.67 6.86 6.34 6.37

4.11 3.28 2.94 8.29 3.47 8.87 6.36 4.82 3.56 3.56

9.31 3.17 4.34 4.17 7.78 6.78 3.55 5.78 4.57 8.54

2.04 8.36 5.56 6.94 1.77 8.76 5.87 7.74 6.64 9.78

2.59 3.34 6.74 9.35 5.13 4.54 4.91 5.63 5.67 5.87

1.28 7.07 4.85 6.56 2.55 6.36 6.76 7.66 8.78 9.95

4.57 6.98 5.51 7.45 8.33 5.15 4.35 8.18 4.99 4.98

78

7. 3.52 5.99 5.56 3.81 1.44 2.56 2.34 6.89 2.03 3.06

5.42 4.13 4.43 2.72 3.73 4.45 1.46 6.98 7.32 2.28

2.22 3.73 1.54 3.56 2.96 3.04 4.57 6.94 5.28 3.34

1.24 4.57 4.86 2.34 5.55 5.13 4.67 6.86 4.34 5.37

1.11 1.28 5.94 4.29 3.47 3.87 5.36 5.82 0.56 7.56

2.31 4.17 4.34 6.17 4.78 4.78 3.55 1.78 6.57 5.54

5.04 3.56 3.56 0.94 3.77 4.76 4.87 2.74 3.64 6.78

2.59 2.34 4.74 3.35 4.13 5.54 4.91 5.63 7.67 8.87

6.28 1.07 2.85 1.56 4.55 4.36 5.76 6.66 6.78 3.95

3.57 3.98 1.51 7.45 5.33 3.15 2.35 8.18 4.99 0.98

8. 2.52 5.99 2.56 1.81 1.44 2.56 2.34 1.89 7.03 3.06

1.42 3.13 3.43 2.72 5.73 4.45 1.46 1.98 1.32 2.28

0.22 4.73 1.54 3.56 2.96 3.04 4.57 6.94 5.28 3.34

1.24 2.57 4.86 2.34 5.55 5.13 1.67 1.86 4.34 5.37

6.11 1.28 1.94 4.29 3.47 3.87 5.36 5.82 1.56 7.56

2.31 5.17 4.34 6.17 2.78 4.78 3.55 1.78 6.57 4.54

1.04 3.56 3.56 3.94 3.77 1.76 4.87 1.74 3.64 6.78

2.59 2.34 3.74 3.35 4.13 5.54 1.91 5.63 1.67 1.87

4.28 2.07 2.85 1.56 5.55 4.36 5.76 6.66 2.78 3.95

3.57 3.98 1.51 7.45 1.33 3.15 2.35 1.18 4.99 1.98

9. 2.52 2.99 1.56 1.81 0.44 2.56 1.34 1.89 7.03 3.06

1.42 2.13 3.43 1.72 5.73 4.45 1.46 6.98 7.32 1.28

2.22 3.73 1.54 3.56 2.96 3.04 4.57 1.94 5.28 3.34

1.24 2.57 4.86 2.34 1.55 5.13 4.67 6.86 4.34 5.37

8.11 5.28 1.94 6.29 3.47 1.87 1.36 5.82 6.56 7.56

6.31 6.17 4.34 6.17 1.78 4.78 3.55 1.78 6.57 4.54

79

2.04 9.56 3.56 7.94 3.77 1.76 1.87 1.74 3.64 6.78

8.59 1.34 2.74 3.35 4.13 5.54 4.91 5.63 1.67 8.87

2.28 1.07 2.85 9.56 1.55 4.36 5.76 6.66 1.78 3.95

3.57 8.98 1.51 7.45 1.33 3.15 2.35 1.18 4.99 8.98

10. 6.52 5.99 3.56 1.81 0.44 2.56 2.34 6.89 7.03 3.06

3.42 3.13 2.43 2.72 5.73 4.45 7.46 6.98 7.32 2.28

1.22 3.73 3.54 3.56 2.96 3.04 4.57 6.94 5.28 3.34

3.24 2.57 1.86 2.34 5.55 5.13 4.67 6.86 4.34 5.37

5.11 4.28 4.94 6.29 3.47 3.87 5.36 5.82 6.56 7.56

6.31 6.17 5.34 6.17 2.78 4.78 3.55 0.78 6.57 4.54

4.04 7.56 3.56 7.94 3.77 8.76 4.87 1.74 3.64 6.78

7.59 3.34 2.74 3.35 4.13 5.54 3.91 5.63 1.67 8.87

3.28 4.07 6.85 9.56 5.55 4.36 7.76 6.66 2.78 3.95

1.57 1.98 5.51 4.45 1.33 3.15 2.35 8.18 4.99 8.98

80

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………………………….3

ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ………………………………………3

I. СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ………………………………………5

I.1. Системы обыкновенных дифференциальных

уравнений. Основные понятия и определения………………………5

I.2. Метод вариации произвольных постоянных…………………………9

I.3. Метод исключения……………………………………………………..9

II. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ………………………………...11

II.1. Устойчивость решений систем обыкновенных дифференци-

альных уравнений……………………………………………………11

II.1.1.Траектории……………………………………………………..12

II.1.2.Особые точки…………………………………………………..12

II.1.3.Устойчивость по первому приближению…………………….16

II.2. Исследование устойчивости с помощью функций Ляпунова…….18

II.3. Частотные критерии устойчивости…………………………………19

III. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ…………………………...21

III.1. Основные виды уравнений математической физики……………..21

III.2. Уравнение колебаний струны. Формулировка краевой задачи….22

III.3. Колебания бесконечной струны. Формула Даламбера ре-

шения краевой задачи Коши для волнового уравнения………….23

III.4. Решение волнового уравнения методом разделения

переменных (метод Фурье)…………………………………………26

III.5. Уравнение распространения тепла в стержне…………………….29

III.6. Решение уравнения теплопроводности……………………………30

III.7. Краевые задачи для уравнения Лапласа…………………………...31

81

III.8. Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах.

Решение задачи Дирихле для кольца……………………………..33

III.9. Решение задачи Дирихле в круге…………………………………..34

IV. ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ МОДЕЛИРОВАНИЯ. ЭЛЕМЕНТЫ СТА-

ТИСТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ ЭМПИРИЧЕСКИХ ДАННЫХ…………37

IV.1. Основные понятия теории статистического выборочного

метода. Простейшие приемы статистического описания………..37

IV.2. Методы расчета сводных характеристик выборки……………….39

IV.2.1. Условные варианты…………………………………………39

IV.2.2. Обычные, начальные и центральные эмпирические

моменты……………………………………………………..39

IV.2.3. Условные эмпирические моменты. Отыскание

центральных моментов по условным……………………..41

IV.3. Метод произведений вычисления выборочных

средних и дисперсий………...……………………………………..41

IV.4. Сведение первоначальных вариант к равноотстоящим………….43

IV.5. Эмпирические и выравнивающие частоты……………………….44

IV.5.1. Дискретное распределение……………………………….44

IV.5.2. Непрерывное распределение……………………………..45

IV.6. Построение нормальной кривой распределения по

опытным данным…………………………………………………..47

IV.7. Оценка отклонений эмпирического распределения от

нормального. Асимметрия и эксцесс……………………………..49

IV.8. Статистическая проверка гипотез. Основная и конкури-

рующая (простая и сложная) гипотезы………………………..….50

IV.9. Ошибки первого и второго рода…………………………………...51

IV.10. Статистический критерий проверки основной гипотезы……….52

IV.10.1. Наблюдаемое значение критерия……………………….52

IV.10.2. Отыскание правосторонней критической области…….54

82

IV.10.3. Отыскание левосторонней и двусторонней

критических областей……………………………………55

IV.10.4. Некоторые дополнительные сведения о выборе кри-

тической области. Мощность критерия………………...56

IV.11. Проверка гипотезы о нормальном распределении гене-

ральной совокупности. Критерий согласия Пирсона…………...57

ЗАДАНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО ПРИКЛАДНОЙ

МАТЕМАТИКЕ………………………………………………………………….62

Литература……………………………………………………………………….67

СОДЕРЖАНИЕ………………………………………………………………….68

83