Решение уравнений, содержащих

переменную под знаком модуля.

Учитель математики Дитвянской СШ Ярмантович Валентина Станиславовна

Виды уравнений, содержащих переменную под знаком модуля:

|ax + b| = c,

|ax + b| = |cx + d|,

|ax + b| = ax + b,

|ax + b| = - (ax + b),

|ax + b| = cx + d.

Тема занятия:

Решение уравнений вида |ax + b| = cx + d

Разминка.

1) Как найти модуль числа?

0,

,0,

аеслиа

аеслиаа

2) В чём заключается геометрический смысл модуля?

| а | = | а – 0 |

0 а- ах

– расстояние на координатной прямой от начала отсчета до точки, изображающей число.

|-a| | a|

3) Что такое | a – b | с точки зрения расстояния?

|a - b| - расстояние между точками a и b на координатной прямой.

ха bаb

|a-b|=|b-a|

4) Может ли быть отрицательным значение суммы 2 + |х|?

Равным нулю?

5) Может ли равняться нулю значение разности 2 - |х|?

Проверим себя

Раскрыть модуль:

| 20| | -30|

32 а

44 bприb33 априа

20 30 45-25=20

x4+1 π-3 x2

|a - 3| = a -3 |b - 4|= -(b - 4)= 4-b

|-а2-3|=-(-а2 -3)=а2+3

|25-45|

|х4+1| |π-3| |х2|

Сколько решений имеет уравнение?

1 решение

Бесконечно много решений

2 решения

ни одного решения

1) |3х-6| = 9,

Сколько решений имеет уравнение?

1 решение

Бесконечно много решений

2 решения

ни одного решения

2) |2х-4| = -6,

Сколько решений имеет уравнение?

1 решение

Бесконечно много решений

2 решения

ни одного решения

3) |2х-4| = 0,

Сколько решений имеет уравнение?

1 решение

Бесконечно много решений

2 решения

ни одного решения

4)|5а +8|=5а+8,

Сколько решений имеет уравнение?

1 решение

Бесконечно много решений

2 решения

ни одного решения

5)|5а+8|= -(5а+8)

Сколько решений имеет уравнение?

1 решение

Бесконечно много решений

2 решения

ни одного решения

6)|5а+8| =|3а-7|

Сколько решений имеет уравнение?

1) |3х-6| = 9 - 2 решения

2) |2х-4| = -6 - нет решений

3) |2х-4| = 0 - 1 решение

4) |5а+8| = 5а+8 – бескон. множество решений

5) |5а+8| = -(5а+8) – бескон. множество решений

6) |5а+8| = | 3а-7 | - 2 решения

Изучение нового материала

1) Уравнения вида

|ax+b| = c

Если c>0, то …… 2 корня.

то …... 1 корень.

корней нет.

ax+b=c или ax+b= - c.

Если c=0,

Если c<0,

ax+b= 0

2) Уравнения вида

|ax+b| = |cx+d|Данное уравнение равносильно совокупности уравнений

ax+b = cx+d или

ax+b = - (cx+d)

3)Уравнения вида

|ax+b| = ах+bДанное уравнение равносильно

неравенству ax+b ≥ 0 4) Уравнения вида

|ax+b| = -(ах+b)Данное уравнение равносильно

неравенству ax+b≤0

Методы решения уравнений вида |ax+b| = cx+d

Методы решения уравнений, содержащих переменную под знаком

модуля

Методы решения уравнений, содержащих переменную под знаком

модуля1. Метод интервалов.2. Метод возведения в квадрат обеих

частей уравнения.3. Метод замены уравнения

совокупностью систем.4. Графический метод.

Для того, чтобы решить уравнение, содержащее неизвестную под знаком модуля, необходимо освободиться от знака модуля, используя его определение.

Для этого следует:

1. Метод интервалов 1. Метод интервалов

1. Найти значения неизвестной, при которых выражение, стоящее под знаком модуля, обращается в нуль;

2. Разбить область допустимых значений уравнения на промежутки, на каждом из которых выражения, стоящие под знаком модуля, сохраняют знак;

3. На каждом из этих промежутков уравнение записать без знака модуля, а затем решить его.

Объединение решений, найденных на всех промежутках, и составляет решение исходного уравнения.

Пример 1:

Решить уравнение: |x+4|=2x -10.x + 4 = 0 при x = -4.

При х < - 4 получим уравнение - х - 4 = 2х -10 -3х= - 6х=2 – не удовлетворяет условию х < - 4 .

При х ≥ - 4 получим уравнениех+4=2х-10х=14 – удовлетворяет условию х ≥ - 4.

Ответ: 14.

Для того, чтобы решить уравнение ,

содержащее модуль, необходимо

освободиться от знака модуля.

Для этого следует:

2. Метод возведения обеих частей уравнения в квадрат

2. Метод возведения обеих частей уравнения в квадрат

1. Возвести в квадрат обе части уравнения.2. Решить полученное уравнение.3. При возведении в квадрат появляются

лишние корни, поэтому надо найти ОДЗ и выявить, принадлежат ли корни данному условию, или просто подставить корни в уравнение.

Пример 2:

Решить уравнение: |x-6|=x +14.Возведем обе части уравнения в квадрат, получим:(х – 6)2 = (х + 14)2,х2 – 12х + 36 = х2 + 28х + 196,х2 – х2 – 12х – 28х = 196 – 36,- 40х = 160.х = - 4.Подставим в уравнение |-4-6|= -4+14.Ответ: -4.

Уравнение вида |ax+b|=cx+d равносильно совокупности систем

или

3. Метод замены уравнения совокупностью систем.

3. Метод замены уравнения совокупностью систем.

dcxbax

dcx ,0

)(

,0

dcxbax

dcx

Пример 3:

Решить уравнение: |3x+10|= 5х-4.Получим или     х=7 решений нет

Ответ: 7.

45103

,045

xx

x

7

8,0

x

x

)45(103

,045

xx

x

75,0

8,0

x

x

Рассмотрим метод решения уравнения, в котором будем использовать построения на координатной плоскости. Этим методом, теоретически, можно решать уравнения с модулем любого вида, однако практическая реализация метода иногда бывает довольно сложной.

Суть метода состоит в следующем:

4. Графический метод 4. Графический метод

Решить уравнение f(х)=q(x) это значит найти все значения х, для которых значение функций y=f(x) и y=q(x) равны, т.е. найти абсциссы всех точек пересечения графиков этих функций. Если же графики не имеют общих точек, то уравнение не имеет корней. Следует, однако, иметь в виду, что точное построение графиков функций практически невозможно, поэтому решение, найденное графическим способом требует проверки подстановкой.

Пример 4:

Решить уравнение: |x+3|=-4х+8.

Ответ: 1.

Решение уравнений

Решите уравнения:

1) |4х-5| = - 6х + 2.

2) |3х-10| = х-2.

Методы решения уравнений, содержащих переменную под знаком

модуля

Методы решения уравнений, содержащих переменную под знаком

модуля1. Метод интервалов. 2. Метод возведения в квадрат обеих

частей уравнения.3. Метод замены уравнения

совокупностью систем.4. Графический метод.

Урок сегодня завершён,

Но каждый должен

знать:

Познание, упорство, труд

К успеху в жизни

приведут!!!

Большое

спасибо за

плодотворную

работу