МОУ СОШ № 3

Изучение уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Основная школа. ( из опыта работы)

выполнили

учителя математики Сергеева Л.А. Зайцева Е.А. Ищенко Т.Г.

г.Железноводск 2008 г.

Решение уравнений в натуральных

и целых числах. Данная тема недостаточно полно изложена в действующих учебниках математики, а задачи по этой теме предлагаются как на олимпиадах, так и на выпускных экзамёнах в школе. При решении уравнений в натуральных и целых числах степени выше первой можно условно выделить следующие методы решений: 1. Решение уравнений методом разложения на множители. 2. Решение уравнений с двумя переменными как квадратных относительно какой-либо переменной. 3. Метод остатков. 4. Метод «бесконечного спуска».

1. Решение уравнений методом разложения на множители

Задача 1. Решите уравнение в целых числах: х2—у

2=91. Решение. Разложим левую часть данного уравнения на множители: (х — у)(х + у) = 91. Так как 91 = 1* 91 = 91 *1 = = 13*7 = 7*13 = (— 1)(— 91) = (— 7)(— 13), то решение данного уравнения сводится к решению восьми систем:

Ответ: (46; 45), (46; — 45), (— 46; — 45), (— 46; 45), (10;З), (10; 3), (— 10; 3), (— 10; 3).

Задача 2. Решите в целых числах х3 + 91 = у3.

Решение. Перепишем данное уравнение в следующем виде у3 — х3 = 91, разложим левую часть на множители (у — х)(у2 + ХУ + х2) = 91. Заметим, что

Значит, решение данного уравнения сводится к решению следующих систем:

решая данную систему получаем (5; 6), (— 6; — 5);

система не имеет решений в целых числах;

решений в целых числах нет;

решая данную систему, получаем (— 3; 4), (— 4; 3). Ответ: (5; 6), (— 6; — 5), (— 3; 4), (— 4; 3).

Задача 3. Решите в цёлых числах ХУ =Х+У. Решение. Перепишем уравнение в следующем виде ху—х—у+1=1. Левую часть данного уравнения, разложим на множители, применяя способ группировки.

Следовательно,

Ответ: (2; 2), (0; 0).

Задача 4. Решите в натуральных числах

Решение. Разложим левую часть данного уравнения на множители, для этого перепишем уравнение в следующем виде:

Применяя способ группировки, получим

Так как х, у — натуральные числа, то и , тогда возможны следующие случаи:

-

решений в натуральных числах нет;

решений в натуральных числах нет, Ответ: (8; 5),

Задача 5. Решите в натуральных числах

Решение. Перепишем данное уравнение в виде

данное уравнение также решается методом разложения на множители, однако с помощью формулы разности квадратов или способа группировки мы не сможем разложить на множители левую часть этого уравнения, поэтому целесообразнее использовать метод выделения полного квадрата.

Решение этого уравнения сводится к решению следующих систем;

решений в натуральных числах нет. Ответ; (2; 2).

Задача 6. Решите в целых числах

Решение. Перепишем уравнение в следующем виде

выделяя полный квадрат в левой части уравнения, получим:

далее, рассуждая, как в задаче 5, получаем Ответ:(4; 1>, (4; — 3), (— 4; — 3), ( 4; ‚- 1). Итак, из рассмотренных выше уравнений можно сделать вывод, что при решении уравнений методом разложения на множители применяются: формулы сокращенного умножения, способ группировки, метод выделения полного квадрата.

2.Решение уравнений

с двумя переменными как квадратных относительно одной из переменных

Задача 7. Решите в целых числах

Решение. Если попытаться решить данное уравнение методом разложения на множители, то это достаточно трудоемкая работа, поэтому это уравнение можно решить более изящным методом. Рассмотрим уравнение как квадратное относительно Х

Данное уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда дискриминант этого уравнения равен нулю, т.е. - 9(у+1)2=О, отсюда у=- 1.Если у=-1,то х= 1. Ответ: (1; — 1).

Рассмотрим наиболее сложное уравнение.

Задача 8. Решите уравнение в целых числах

Решение. Рассмотрим уравнение, как квадратное относительно Х

Найдем дискриминант уравнения

данное уравнение имеет корни, если , т. е.

Так как то условию удовлетворяет только 0, 1, 2, 3. Перебирая эти значения, получим, что уравнение в целых числах имеет решения(0; 0)и(1; 1). Ответа: (0; 0), (1; 1). 3амечание. Отметим, что при решении уравнений методом сведения к квадратному идея решения заключалась в том, чтобы рассмотреть и оценить дискриминанты этих уравнений.

Задача 9. Решите в целых числах

Решение. Запишем уравнение в виде

Решаем это уравнение относительно (х + 2у).

Так как х + 2у — целое число, то должно быть целым числом. Значит, дискриминант этого уравнения должен быть квадратом целого числа, т. е.

Из равенств (*) и (**) следует, что

Видно, что при любом Ответ:

Это решение показывает, что уравнения можно рассматривать как квадратные не только относительно одной из своих переменных, но и относительно какого-либо выражения. Замечание. Данным методом можно решать не только уравнения и системы уравнений в целых и натуральных числах, но и находить любые действительные решения уравнений и систем.

Задача 10. Решите систему уравнений

Решение. Выразив х через у из первого уравнения, получим после подстановки во второе уравнение

Это уравнение является квадратным относительно Y с коэффициентами, зависящими от Z. Его дискриминант

Из этого следует, что уравнение (*) имеет решение, если

далее находим У и Х.

З. Метод остатков. При решении уравнений в целых и натуральных числах методом остатков очень часто используются следующие задачи, которые были разобраны ранее: 1. Какие остатки могут давать точные квадраты при делении на: а) 3; 6) 4? Ответ: При делении на З или 4 точные квадраты могут давать два возможных остатка: О или 1. (докажите самостоятельне.) 2. Какие остатки могут давать точные кубы при делении на: а) 7; 6) 9? Ответ. При делении на 7 — остатки 0, 1, 6; при делении на 9 - остатки 0, 1, 8. (докажите самостоятельно.)

Задача 11. Решите в целых числах 3х= 1 + у2. (1) Решение. Видно, что (О; О) — решение данного уравнения. докажем, что других решений нет. Рассмотрим случаи:

Если то З делится на три без остатка, а у2 + 1 при делении на 3 дает остаток либо 1, либо 2. Следовательно, равенство (1) при натуральных значениях Х, У невозможно. 2) Если Х— целое отрицательное число, , тогда и равенство (1) также невозможно. Следовательно, (О; О) — единственное решение. Ответ: (О; О). Задача 22. Решите в целых числах 2Х — 1 = у2 Способ решения см. в задаче 21. Ответ: (0; 0), (1; 1), (1; — 1).

4. Метод «бесконечного» спуска.

Решение уравнений методом бесконечного спуска проходит по следующей схеме: предположив, что уравнение имеет решения, мы строим некоторый

бесконечный процесс, в том время как по самому смыслу задачи этот процесс должен на чем-то кончаться. Часто метод бесконечного спуска применяется в более простой форме. Предположив, что мы уже добрались до естественного конца, видим, что «остановиться», не можем. Историческая справка. Метод бесконечно спуска изобрели, по-видимому, древнегреческие математики. Есть основания полагать, что Ферма пытался доказать свою великую теорему именно этим методом.

Задача 12. Решите в целых числах

Решение. Здесь левая часть уравнения не разлагается на целые множители и вообще не поддается преобразованиям. Запишем данное уравнение в виде

Следовательно, Z3— четное, значит и Z должно делиться на два, т. е.

Тогда

Из уравнения (*) видно, что у четное, т. е.

Получаем уравнение вида (1). Из всех проделанных рассуждений можно сделать следующие выводы. Во-первых, числа х, у, z должны быть четными. Во-вторых, числа

удовлетворяющие этому уравнению, тоже четные. Итак, оказалось, что числа, удовлетворяющие уравнению (1), четные, и сколько раз мы не делили бы их на 2, получаем числа, которые также lделятся на 2. Единственное число, обладающее этим свойством, есть нуль. Следовательно, данное уравнение имеет единственное решение х=О, у=О, z=О. Ответ: (О;О; О).

Замечание. Из решения данного уравнения видно, что метод спуска сродни методу математической индукции. Оба метода основаны на том факте, что любое непустое множество натуральных чисел имеет минимальный элемент. Метод спуска наиболее удобен для доказательства «отрицающих» теорем.