定木とコンパスで足し算

辻 順平 @tsujimotter

http://tsujimotter.hatenablog.com

科学勉強会第二回公開発表会 発表資料 http://tehiro.sakura.ne.jp/nsi/open/2.html

自己紹介

• 所属： 北海道大学 大学院情報科学研究科 博士課程３年 • 研究： 位置情報技術 • 趣味： 数学

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本日のテーマ

2014/2/23 3

目次 「定木とコンパスで足し算」

0. イントロダクション

1. 作図の基本

2. 正多角形の作図法

3. 定木とコンパスを使った計算

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今日は作図の 話をします

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Q. 「作図」と言えば何を思い浮かべますか？

いろいろな作図

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今回扱う作図

作図と義務教育

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• 第３学年では，二等辺三角形，正三角形，円について，定規やコンパスによる作図を指導す

る。また，二等辺三角形，正三角形によって敷き詰められた模様や，円によって作られた模

様の観察を通して，それらの図形を指導する。

• 第４学年では，平行四辺形，ひし形，台形などの四角形を観察することを通して，共通の性

質を持つ図形に分類したり，それぞれの性質を調べたりする。また，図形の定義（約束）や性

質を基にして，定規やコンパスを使って作図することを指導する。

• 第５学年では，辺の長さや角の大きさに着目し，合同な図形を作図することを通して，平面

図形についての理解を深める指導をする。

• 第６学年では，縮図や拡大図，図形の対称性という観点から，これまで学習してきた図形を

観察し，見直すことを通して，・・・具体的な活動には，紙を折ったり，切ったり，図形を移動さ

せたり，切り離したり，変形したり，定規やコンパスを用いて作図したりするなどの活動があ

る。

文部科学省「小学校学習指導要領解説 算数編」平成20年度より抜粋

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作図問題はギリシャ時代から伝わる知的なパズルゲーム

古代ギリシャの作図

目次

「定木とコンパスで足し算」

1. 作図の基本

2. 正多角形の作図法

3. 定木とコンパスを使った計算

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定木とコンパスを使った作図

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定木（じょうぎ） コンパス

目盛りは使っちゃダメ

作図の基本ルール (1/4)

1. 定木（じょうぎ） 与えられた2点を通る直線を引く

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二点

作図の基本ルール (2/4)

2. コンパス 与えられた中心と半径の円を描く

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半径 中心

作図の基本ルール (3/4)

3. 直線・円のそれぞれの交点だけが作図に利用できる

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作図の基本ルール (4/4)

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4. ただし、２点は最初に与えられて作図に利用できる

作図の基本ルール

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1. 定木（じょうぎ）・・・与えられた2点を通る直線を引く

2. コンパス・・・与えられた中心と半径の円を描く

3. 直線・円のそれぞれの交点だけが作図に利用できる

4. ２点は最初に与えられて作図に利用できる

作図の基本技法

1. 垂直二等分線

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これさえあれば 大体のことはできる！

2. 平行線

垂直二等分線

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二点を通る直線

二点

二点を通る直線に 垂直で点を二等分する線を引きたい

垂直二等分線 (1/4)

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垂直二等分線 (2/4)

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垂直二等分線 (3/4)

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垂直二等分線 (4/4)

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平行線

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この点を通る 下線に平行な線

平行線 (1/6)

2014/2/23 23

平行線 (2/6)

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平行線 (3/6)

2014/2/23 25

平行線 (4/6)

2014/2/23 26

平行線 (5/6)

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平行線 (6/6)

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平行線

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ひし形

作図の基本技法(再掲)

1. 垂直二等分線

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2. 平行線

目次

「定木とコンパスで足し算」

1. 作図の基本

2. 正多角形の作図法

3. 定木とコンパスを使った計算

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本日のお題：正多角形

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正５角形の作図

2014/2/23 33

Q. 正５角形は作図可能か？

正５角形の作図 (1/20)

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正５角形の作図 (2/20)

2014/2/23 35

正５角形の作図 (3/20)

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正５角形の作図 (4/20)

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正５角形の作図 (5/20)

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正５角形の作図 (6/20)

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垂直二等分線

正５角形の作図 (7/20)

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正５角形の作図 (8/20)

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正５角形の作図 (9/20)

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正５角形の作図 (10/20)

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正５角形の作図 (11/20)

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平行線

正５角形の作図 (12/20)

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正５角形の作図 (13/20)

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正５角形の作図 (14/20)

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正５角形の作図 (15/20)

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垂直二等分線

正５角形の作図 (16/20)

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正５角形の作図 (17/20)

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正５角形の作図 (18/20)

2014/2/23 51

正５角形の作図 (19/20)

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正５角形の作図 (20/20)

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正５角形の作図

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正５角形の作図

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A. 正５角形は作図可能

正７角形の作図

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Q. 正７角形は作図可能ですか？

正７角形の作図

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A. 正７角形は作図不能！

ギモン

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正７角形は作図不能！ 正５角形は作図可能

Q. なぜ正５角形は作図できて 正７角形は作図できないのか？

2014/2/23 59

Q. 「正多角形を作図できる」とはどういうことか？

正５角形の作図のポイント

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正五角形の 一辺

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★

正５角形の作図のポイント

2014/2/23 62

★

A. ★を描ければ正５角形も描ける

正５角形の作図のポイント

正５角形の作図への道(1/10)

2014/2/23 63

1

正５角形の作図への道(2/10)

2014/2/23 64

12

正５角形の作図への道(3/10)

2014/2/23 65

12

1 5

2

正５角形の作図への道(4/10)

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12

1 5

2

正５角形の作図への道(5/10)

2014/2/23 67

12

1 5

2

12

2

+ 12 =𝟓𝟓𝟐𝟐

2

ほげほげの定理

正５角形の作図への道(6/10)

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12

1 5

2

12

2

+ 12 =𝟓𝟓𝟐𝟐

2

ピタゴラスの定理

正５角形の作図への道(7/10)

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12

52

正５角形の作図への道(8/10)

2014/2/23 70

12

52

52

正５角形の作図への道(9/10)

2014/2/23 71

12

52

52−

12

=𝟓𝟓 − 𝟏𝟏𝟐𝟐

引き算

正５角形の作図への道(10/10)

2014/2/23 72

𝟓𝟓 − 𝟏𝟏𝟒𝟒

正５角形の作図

2014/2/23 73

★＝𝟓𝟓 − 𝟏𝟏𝟒𝟒

正５角形の作図

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★＝𝟓𝟓 − 𝟏𝟏𝟒𝟒

★= 𝟓𝟓−𝟏𝟏𝟒𝟒

を作図できれば正５角形が作図できる

2014/2/23 75

★= 𝟓𝟓−𝟏𝟏𝟒𝟒

が作図できる 正５角形が作図できる

★

正５角形の作図のポイント

正５角形が作図できる

「正５角形の作図」の流れ

𝟏𝟏, … , ★= 𝟓𝟓−𝟏𝟏𝟒𝟒

𝟏𝟏 スタート

ゴール

作図で使用できる数の集合

𝟏𝟏, 12,52

正５角形が作図できる

「正５角形の作図」の流れ

𝟏𝟏, 12,

52

, 5−12

, ★= 𝟓𝟓−𝟏𝟏𝟒𝟒

𝟏𝟏, 12,

52

, 5−12

𝟏𝟏, 12

𝟏𝟏 スタート

ゴール

作図で使用できる数の集合

𝟏𝟏, 12,52

正５角形が作図できる

「正５角形の作図」の流れ

𝟏𝟏, 12,

52

, 5−12

, ★= 𝟓𝟓−𝟏𝟏𝟒𝟒

𝟏𝟏, 12,

52

, 5−12

𝟏𝟏, 12

𝟏𝟏 スタート

ゴール

作図で使用できる数の集合

作図ルールを繰り返し 数を計算

𝟏𝟏, 12,52

正５角形が作図できる

「正５角形の作図」の流れ

𝟏𝟏, 12,

52

, 5−12

, ★= 𝟓𝟓−𝟏𝟏𝟒𝟒

𝟏𝟏, 12,

52

, 5−12

𝟏𝟏, 12

𝟏𝟏 スタート

ゴール

作図で使用できる数の集合

作図ルールを繰り返し 数を計算 Q. 作図のルール内でどんな計算ができるのか？

目次

「定木とコンパスで足し算」

1. 作図の基本

2. 正多角形の作図法

3. 定木とコンパスを使った計算

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定木とコンパスで “１＋１＝２”

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定木とコンパスで “１＋１＝２”(1/5)

2014/2/23 82

1

“１” を決める

定木とコンパスで “１＋１＝２”(2/5)

2014/2/23 83

1

“１” を測りとる

定木とコンパスで “１＋１＝２”(3/5)

2014/2/23 84

1

線を引き延ばす

定木とコンパスで “１＋１＝２”(4/5)

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1

測りとった “1” を加える

定木とコンパスで “１＋１＝２”(5/5)

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1 1

2

作図ルールを使った“足し算”

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1 1

2

1

1 1

3

1

2+1 = 3

1+1 = 2

1

• 足し算（＋） • 引き算（ー） • 掛け算（×） • 割り算（÷） • ルート （√）

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作図ルール内で出来る計算

“足し算”

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3

4

7

3

3+4 = 7

“引き算”

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3

4 3

7-3 = 4 7

“掛け算”

2014/2/23 91

2

1

3

6 2×3 = 6

“割り算”(1/2)

2014/2/23 92

2

1

3

6 6÷2 = 3

“割り算”(2/2)

2014/2/23 93

3

1

𝟐𝟐𝟑𝟑

2 2÷3 = 𝟐𝟐𝟑𝟑

分数が作れる

“ルート（√）”(1/2)

2014/2/23 94

1

1

𝟐𝟐

“ルート（√）”(2/2)

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1 𝑎𝑎

𝒂𝒂

どんな数に対してもルート（√）を作図できる

作図ルール内で出来る計算

• 足し算（＋） 4 + 3 = 7 • 引き算（ー） 7 − 3 = 4 • 掛け算（×） 3 × 2 = 6 • 割り算（÷） 6 ÷ 2 = 3 • ルート （√） 2, 𝑎𝑎

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これらの計算の組み合わせで表せる数

定木とコンパスで作図できる

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Q. は作図できるか？ 𝟓𝟓 − 𝟏𝟏𝟒𝟒

Q. は作図できるか？

2014/2/23 98

𝟓𝟓 − 𝟏𝟏𝟒𝟒

A. (＋－×÷√の組み合わせで出来ているので)

作図できる！

ルート 引き算

割り算

−1

16+

116

17 +1

162 17 − 17

+18

17 + 3 17 − 2 17 − 17 − 2 2 17 + 17

2014/2/23 99

Q.この数は作図できるか？

−1

16+

116

17 +1

162 17 − 17

+18

17 + 3 17 − 2 17 − 17 − 2 2 17 + 17

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A. 作図できる！

「四則演算」と「ルート」だけで書ける！

−1

16+

116

17 +1

162 17 − 17

+18

17 + 3 17 − 2 17 − 17 − 2 2 17 + 17

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正十七角形は作図できる！

正十七角形

★ ★=

正十七角形とガウス

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ガウス (1777-1855) 19世紀の大数学者

古代ギリシャからの難問 「正十七角形は作図可能かどうか」 ガウスが１９歳のときこの問題を解決 （目を覚ました瞬間に思い付いた）

このときガウスは 生涯数学に携わることを決意

実際に作図しなくとも 作図可能かはわかる

正十七角形の作図例

★

2014/2/23 103

まとめ

2014/2/23 104

★

2. 正多角形の作図

1. 作図の基本 • 定木は直線を描くもの • コンパスは円を描くもの

★が作図できること ＝ 正多角形が作図できること

3. 定木とコンパスを使った計算 • 作図は「＋、－、×、÷、ルート（√）」と等価 • この計算で作られる数は作図できる