ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΔΛΙΓΑΣ

ΓΗΑΓΩΝΗΣΜΑ Γ' ΛΥΚΔΗΟΥ

ΔΛΛΖΝΟΓΑΛΛΗΚΖΣ ΣΦΟΛΖΣ «ΚΑΛΑΜΑΡΗ»

ΔΞΔΤΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΤΗΚΑ

ΘΔΤΗΚΖΣ ΚΑΗ ΤΔΦΝΟΛΟΓΗΚΖΣ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΖΣ

Δπιμέλεια: Σαράφης Γιάννης

Ονοματεπώνσμο:………………………………………………

Ζμερομηνία: ………………………………

ΘΔΜΑ Α

A1. Nα δώζεηε ηον οπιζμό ηος μέηπος ενόρ μιγαδικού z=x+yi.

Μονάδες 5

Α2. Αν 1 2z ,z , να αποδείξεηε όηι 1 2 1 2| z z | | z | | z | .

Μονάδες 10

Α3. Να εξεηάζεηε ποιοι από ηοςρ παπακάηω ιζσςπιζμούρ είναι ζωζηοί (Σ)

και ποιοι λανθαζμένοι (Λ).

α. Αν 1 2z ,z ηόηε ιζσύει 1 2 1 2| z | | z | z z .

Μονάδες 2

β. Αν 1 2z ,z ηόηε ιζσύει 1 2 1 2| z | | z | 0 z z 0 .

Μονάδες 2

γ. Αν 1 2z ,z ηόηε ηο 1 2| z z | δηλώνει ηην απόζηαζη ηηρ εικόναρ ηος

1 2z z από ηην απσή ηων αξόνων.

Μονάδες 2

δ. Αν Α η εικόνα ηος μιγαδικού 1z και Β η εικόνα ηος μιγαδικού 2z , ηόηε

1 2| z z | .

Μονάδες 2

ε. Αν 1 2z ,z ηόηε ιζσύει 1 2 1 2| z | | z | | z | | z | .

Μονάδες 2

ΤΔΛΟΣ 1ΗΣ ΣΔΛΙΓΑΣ

ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΔΛΙΓΑΣ

ΘΔΜΑ Β

Γίνεηαι η ζςνάπηηζη f με 2z 4

f z| z 2i |

.

Β1.Να βπείηε ηο Imf(1+i)

Μονάδες 5

Β2.Να αποδείξεηε όηι | f z | | z 2i |

Μονάδες 6

Β3.Να βπείηε ηο γεωμεηπικό ηόπο ηων εικόνων Μ(z) όηαν :

i. f z

Μονάδες 6

ii. | f z 5i | | f z i | 10

Μονάδες 8

ΘΔΜΑ Γ

Θεωπούμε ηοςρ μιγαδικούρ z για ηοςρ οποίοςρ ιζσύει: 1 1

Rez 1 2

Γ1. Να αποδείξεηε όηι ο γεωμεηπικόρ ηόπορ ηων εικόνων ηων μιγαδικών

z είναι κύκλορ με κένηπο Κ(2,0) και ακηίνα π=1, εκηόρ από ένα ζημείο ηος

Μονάδες 7

Γ2. Αν 1 2z ,z είναι δύο από ηοςρ μιγαδικούρ ηος επωηήμαηορ Γ1, να αποδείξεηε όηι:

1 2z z 4 2

Μονάδες 5

Γ3. Από ηοςρ μιγαδικούρ απιθμούρ ηος επωηήμαηορ Γ1, να πποζδιοπίζεηε αςηούρ για

ηοςρ οποίοςρ ιζσύει: z 5 .

Μονάδες 5

Γ4. Αν z έναρ μιγαδικόρ ηος Γ1 επωηήμαηορ να ςπολογίζεηε ηην μέγιζηη και ηην

ελάσιζηη ηιμή ηηρ παπάζηαζηρ z z .Σηη ζςνέσεια να βπείηε ηοςρ μιγαδικούρ z

για ηοςρ οποίοςρ η παπάζηαζη z z παίπνει ηην μέγιζηη και ηην ελάσιζηη ηιμή

ηηρ.

Μονάδες 8

ΤΔΛΟΣ 2ΗΣ ΣΔΛΙΓΑΣ

ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΔΛΙΓΑΣ

ΘΔΜΑ Γ

Έζηω οι μιγαδικοί απιθμοί z και w ηέηοιοι,ώζηε z 1 και 2z 1

wz 2

.

Γ1. Να αποδείξεηε όηι οι εικόνερ ηων z και w ζηο μιγαδικό επίπεδο ανήκοςν ζηον

κύκλο με κένηπο ηο ζημείο Ο(0,0) και ακηίνα π=1.

Μονάδες 6

Γ2. Να λύζεηε ωρ ππορ z ηην εξίζωζη w z

Μονάδες 6

Γ3. Να βπείηε ηη μέγιζηη ηιμή ηος w z

Μονάδες 6

Γ4. Να αποδείξεηε όηι w z 2

Μονάδες 7

ΤΔΛΟΣ 3ΗΣ ΣΔΛΙΓΑΣ