geokniga · УДК 550.8З4.53fi Чичинин И.С. Решение заnачи о !'заи...
TRANSCRIPT
i
АКАДЕМИЯ НАУК СССР СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ
ИНСТИТУТ ГЕОЛОГИИ И ГЕОФИЗИКИ
Препрuнm N!! 19
И. С. Чичинин
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ВЗАИМОДЕЙСТВИИ
В ЖИДКОЙ СРЕДЕ БЛИЗКОРАСПОЛОЖЕННЫХ
СЕЙСМИЧЕСКИХ ИСТОЧНИКОВ ТИПА ПУЛЬСИРУЮЩЕГО
ГАЗОВОГО ШАРА
НОВОСИБИРСК 1988
УДК 550.8З4.53fi Чичинин И.С. Решение заnачи о !'заи�о�еР.стf.;ИИ в �идкоА сре-
1{е близкораСnОЛОJII:еннЪ1Х сер'смических !,fr'Т()Ч"I'!<ОR тИТ!а nУЛЬСirp\'1'
тегО газового тара. - Новосибирск, 1988. 19 с. (Преnр./ИГwГ СО АН СССР; J,� 19).
Описан механизм t"ОРМИРОRания волm' цавления при ""rHO,.fO.,HOM осМБОJIЩенки сжатого газа в безграничной Fюrrной среце. Ноказа
но, что при мал� &МnJlИТУnах колебани' им�ульснне м гармонwче
ские "С'fочники , запОJlкеН/if,fе газом, могут рассма'fРИВ&'I'ЬСЯ с еци
HЬ� nозmrиА, а при большом начажьном ц&Р.лении газа включается
eCTeCTBeHНI."p 1{eМТ1rГep, СОСТОяmий в том, что ел.иньrЙ газов,,'" пу
зырь на стации повторного сжатия разбивается на множество мел
ких nузwpеЙ. На основании исслецования свойств ОЦИНОЧНОГО источ·
ника прецложен способ реmения зацачи об излучении двух газОнаnо
лненн!-� источников, а также ОЛНОГО источника, когца рЯДОм с НИМ
нахоцится ПУЗl>rрь, заrrОJlненm.rй газом.
Для гео�изиков. рабо'!'�тих в области морской сейсмо�,ве�-
ки И сnе'lиалИСТОЕ, занимаюmихся I'оnросами СОЗ'lания и nрименения
неI'ЗРьrвН!>� ИСТОЧНИКОR сейсмических БОЛН.
Препринт печатаетсп с авторского оригинала.
© Институт геологки. и геофизики СО АН СССР,
Ш38
В в е Д е н и е
Грynпирование источников, как известно, является испъ�анным средством повъ�ения интенсивности сейсмических_сигналов и гаше
ния многих типов волн-помех. Сymествующая теория· группирования (или более общая -'rеория . интерФеренпионНЪJX систем)' исходит из
того ; что каждый отдельный источник излучает одно и.то же волновое лоле независимо QT того, работает он один или в группе.
То, что такое предположение не COB�M верно, Физически наиболее
нагляцно MOJl'HO ттре!l,ставить, когда используются источники Т1зр!>!в
нога типа. И в самом целе, пусть при цействии, например, источ
ника' Jf> 1 Образуется ттолость раlJ.иуса 1:{ (tJ , заполненная газом и разрушенными породами. F.слИ даже к моменту llейстния второго источника �Ta полость буцет находиться в'стации �ормирования,то
псе равно, волна, генерируемая ,и ::точником \;' 2, бунет У"'е не та,
как если бьт он работал при' отсутствии источника JF: 1, так как
изменилась окружаюmая cpe!Ia. При этом очевидно, что указанm'Й :'!1'teKT БУi,ет особенно omутИ-М, если полость нахоциться Н�!J,алеко
от источника � 2. Заметим, что ВОПРОС!,1,. затроиут}"е выше, возникают не только
при группировании источников, но и TOf'lJ.a. KOf'1a использvется оn.,иночm.!Й и�точник. rтомеmенный вблизи какой-либо pe�Kof1 граниТ!Ы ра�'1ела. Особенно чаете 'ГаI':РР. граНИ:1ей Я:-!Iflет�я "1106(ЩНflЯ ("невная) ПОRеРХНGСТЬ. В �TaM (:лу'ще роль ИС'J'о·�rм}(а .\f ::: игРает
зеркальное отображение источника .\� Т. Теоретичесиое ИССЛ?'I1,О";<ние взаИМОrtеР.с1'ВИЯ ист()чни!(ов в случае T;'epr<,Oi! ере,.!>' 'ЯRляе"!'('я
яесьма трупной заlJачеЙ .. И0�ТО"'у ПР�f1с"!'аf1ляе'!'ся r,1f�леСООбра.·н\"�.! начать его изучение с J!l:И!1ИОЙ сред,,', чт'о .М Гiрrщпринято "! ".анноЙ работе.
,R морскоУ. сейсморазве�ке� А HaCTo�ee Bpe�� повсеместно ис
пользуются пневматиче�кие ист()чники [�. 5] • в которых сеисми-
1 .
ческая'волна возбуждается путем резкого или мгновенного осво
бождеНИЯ'сжа'Т'ого воздуха. При работе таких источников путем несложного �ксперимента'МОЖНО увидеть, что после излучения первого ("полезного") импульса ис'Т'очник продолжает "жить", излучая.. повторные колебания или пу ЛЬСal\ИИ, являюmиеся' помехой щ,щелению
полеЗНОГО,сигнала. Кроме 'Т'ОГО, в направлении излучения полезного сигнала идут волны, oTp�eHныe от гранины "вода-воздух", и
волны, lIиркулируюmие меJ!'л,у· дном и поверхностью ЯОДh!, которые 'Т'о",е ЯВЛЯЮТСЯ помехой. Следует отметить, что подобного рода по
мехи возбуждаются и другими _источниками, но они, особенно при
работах. на cynтe, оказываются более замаскИроваifньтми. Если бьт суммарный пропесс, состоящий из всех зтих помех, RКmJЧаютпих и "полезный" сигнал., имел достаточно раяномернрj;! (r.'Т't'лuа6раЭН!->lЙ)
_�нергетический спектр и мы бы его знали или могли узнагь, то �TaT прОl1есс можно БРло бы сжать.!? единыЙ кратко"ременн.ьТЙ им
пулnс, используя Cnor.06H корреляr,ионного сжатия сигналОЯ, раз
ЯИ'!'Ыi'! 11 l1ибраf!ИОННОЙ сейсморазнеnке, Пневматиt1еские.источники,
применяемые в морской сейсмОразведке, тем и привлекательнf,', что при Г�УППИРОRании таких источников, расположенн!->� на разнъ�
глубинах, в ПРИНllипе; мо)!(но обеспечить ге�ераrrию общего пропесса, который обладал бы свойqтвом корреляr�ионной сжи�аемости. Знать или узнать этот пропесс тоже, в принттипе, можно, так как среn,а известна . . для зтого остается только хорошо изучить волны,
излучаемые оциночным пневмоисточником и группой таких источников. IJель данной работы состоит также и в'том, чтобы способство
вать развитию идей и разра�оток в указанном, очень перспеКТИRном, направлении.
1. Исходные формулы
При ведем кратко основные формулы и уравнения, используемые далее. Читатели, хорошо знакОмые с обсуждаемыми вопросами, моГ� рассматривать эти �ормулы просто как список используемых обозначений. Заметим, что в рассматриваемой задаче �рецелы изменения объема источника и давления внутри него очень веЛИl<и.;· амплитуда смещения частиц среды вблизи источника большая. ' По:,\
тому мы здесь должны прежце всего_обосновать вопросы о том, на каком участке и при каких условиях можно использовать закон Гу
ка, волновое уравнение и вытекаюmие из них следствия.
2
в жидкостях и газах роль закона Гука выполняет соотношение
oV �>f.VoP или av / V=xoP, (1.1)
где V - объем средь! (жидкости или газа), oV . - изменение объема при изменении .Давления, JP - изменение давлеНИII, х. - сжимаемОсть среды.
Сжкмаемость 'Хж ЖИ'1.КОС'1'еЙ. очень слабо зависит от давления и TeмrrepaTYpы. дли воды, например, ·nри атмосферном цавлении ра =
1 кГ/см": =IсРПа и Teмrre�T�e Т = '200с сжимаемость х-ж;" О,4'7'.10-9м2/Н = О,4 ? :,10-9мс /кг.
В газах сжкмаемость определяется из следующих положений. Rолновые пропессы nроисхоцят достаточно быстро и nO�TOмy можно счита't'ь, ЧТО,такие nроцессы ПРОИСХОдят по aJJ,иабатическому зако
ну P{lJ[V{t)Y= l!опst, 0.2)
где v - коз!М1ипиент адиабатического расширении (для возд.уха при Т::: оОС'КО:oJ#ициент 'i' ::: 1,4; при БОООс - у ::: 1,345), V - мысленно вьщеленный малый объем, занятый некоторым fГик
сиро ванным количеством чаСТИ!1 газа, Р (t) - давление в :oJTOM объеме.
ди<меренпируя выражение (1.2), получим
V�p + Р�V-.J-(dV = 0 , JV/V �-(Р'JТ�сlР. 0.3) Отсюда ви.г,но, что' сжимаемость газа определяется mормулой
, -( ХГ == (1JP) . 0.4)
Заметим, что знаки (пЛDС или минус) л nРИЕОДИМЫХ �ормулах записят от условного направления отсчета. Поэтому, их i!елесообразно уточнять или оnрецелять на стадии записи окончательных расчетнъ� �Jрмул. Критерием эдесь является �изическая 'непротиворечивость получаемых следствий. Примеры такого уточнения знаков см. в комментариях к_�ормулам (2.14, 3.?R).
В твердой среде закон Гука записывается обычно в виде
( 1.5 )
з
Желательно 'вь�ение (I.I) тоже вь�азить в поцобной Форме. Это можно сделать' следующим образом.
.
Пусть в жицкости перемеmивающие движения отсутствуют. ОБЬзначим через Vo объем некоторого количества частиц среды,. ко'гца смещение частиu U (х., f/, z) ::: О . • При U:f. Q эти частиТ\ы займут объем V = vo + J V • При этом элемент d S поверхности So объема Vo сместится от своего исходного положения.! . Обозначим через ип нормаль� к пов�рхности dS компоненту смещения zi точек поверхности SO . Очевидно, ч'l!О произвецение Ur,dS onpene
�яет HeKoTopbrn сверхмалый объ�м. Если такие объемчики соберем по. всей поверхности So с учетом знака Цfl , то полученная. сумма и буцет равна ,5 V , Т.е.
.
. ' JV =jJUf/dS' =fl(UdS). . So So
Используя формулу OCTpoгpaДCKOГO� поверхностнь�. вь�аз ить через интеграл по �бъему
( I.б)
интеграл можем
f J с1} dS) =J/I di.v li d V ;, JV. 0.7)
so v;, Отсюца видно,_ЧТО если объем Vo выберем нае-только малым, что�ът ifУНКI!ИЯ d i. v U в пределах этого объема оставалась постоянной, то
д' V / Vo .::: d i..v iJ. Слелонательно, mормула (I.I) может быть записана в виде
еР = ра; ::: + х1н. divU(t).
( I.8)
0.9)
R случае газообразной срецы вместо �x следует поцставить 'Хг 110 формуле ( 1 . 4 ), .
Для количественного представления рассмотрим пример. Пусть 06neM V<'T nрецстаRляет' собой ciГepy' диаметром I м, заполненную
водой при �татическом давлеНии �7::: 2атм=2· I (i>ПQ .' Предположим '; что диаметр сферы каким-то образом уменьшился так, что давление
внутри ст�о р. ::: 200 атм :::' 2· I07ПQ·. (Давление порядка 200 атм
используется в существующих пневмоисточниках для морской�сейсмо
разведки).Посмотрим, каково будет смещение U{-r) частипжидкciсти
внУтри b�epы (при отсутствии перемеmивающих движений в жицкости). В рассматриваемом примере р- Рст =. -�;: d.i v ц= еопst. Это мо
жет быть TOJfbKO в ' �лучае, если и::: а. " , гце Q - некоторая
4
rrОС'1'ОflННая. Тогда d i v и", -j;z (J/J7;)(Z2. и) = 3а . rIОЦС'1'амяя внпе
указаннь.е величиНЪ1, rrолучима= з-1'Jeх(Р-Рс,) == з-1.0,47 . 10-9 . ·1.98·107 =3.1·10-3. Таким образом, в пентре (т. '" О)' _смerцеН,ие
11= О, а в периrFери'и ('! = ?::о'" 0,5 м) смешение Сравно' (f = а '1::0:::: 3 / '
::: 1,5; 10- м. Как видим, величина и ?::,о относительного смet!lения
весьма мала. При таких смеmеНИflХ даже'в TBepць� телах закон' Гу
ка вьmолняется удовлетворительно. ,
В случае газового пузыря при указанных'переrrацах �авления
объем газа будет, очевидно, меняться в значительнь� прецелах.
От'ени� это количественно.
, Пзст� , налример, вЬздух нахОДИТСfl Е баллоне с' объемом Vo = =7 ·JO- ц под давлением .% :: 200 атм. Выпуск этого воздуха б".л
осymествлен в воде под "колоколом" на 'глубине 10 м, 'где стати -
'ческое давление �r = 2 атм.
После установления перехоцных (волновь.�) Проt,ессов, которые
будем рассматривать в след�щем разделе, объем воздуха стал раВ-ным VCT Определить его можем по форму�е
, I/� р' v:V Pcrrcr = о О , 0. 10)
Подставляя указанные величины; получим V('� ", 189, 13· 10-3м3• Ра- '
диус 'tcr , определяемый из' Vcr � .14/3) д X�T ... ' Б УJ'l,ет равен
0,35БI м. Первоначальнь'й рали.Ус 6Ь'л 'l.o =(), Ilвб м , отношения
V /Vo -:;;:; г. r ц 'r:cr/'to'" 3, о. . "
,
При таких изменеНИflХ размеров газового пузьтря тормула типа
оР: t-)1рстаV!V,т =K;Jdivu .<1.I{)
для описания P{t) или ц(t) внутри пузыря не применима, так как
эта mормула получается следуюmим образом.
Обозначим объем '\.{, = Va -6'V, цамение Po"'Pcr't-ОР и поцста -
вим их В ( 1.10). Тогца ' '
(1+8 Р / Pcr)(f- clV / Va) �= { uirv- f + о Р/А,т '" (I-О'V/VcJ� . (Т. 12)
Если бы было аУ Iv..r < {, ТО можно было бы применить 1:<>РМj'ЛУ
тогца
I �(V+-()�' 1 2 " Р / РСТ =о у J V Vcr + 2 ! ( "V Уст) - .. ' ( 1. 13)
5
Отсюда вицно, ЧТО формулой (1.11) МОЖНО пользоваться, если вто -рой член разложения 0. 13) пренебрежимо мал по сравнению с первым. А в рассматриваемых в-этой работе' зацв:чах это цалеко не так.
Забегая несколько вперец заметим, чТо удовлетворение закона Гука (Т.е. формул (1.9) и (1.11)) является' условием выпоЛнения волнового уравнения. Поэтому дальше мы не будем пытаТЬСlr описы;вать 'mУНКlIИИ Р(О и и (t) внутри газового пузыря как решение волнового уравнения.
В газообразНь� и жидких средах вместо смещения и используЮТ, обычно, скорость .7 '" ( tl/ tlf) i/ смещения. Это уцобно С тОй тоЧ
ки зрения, что тогца не нацо прецполагать, что в' среце переме -шиванwе частии отсутствует. Формулу, связывающую скорость 7 с цаl'!лением р , получим из Р = Jгtliv{f, диdxbeренпируя по времени:
(f1 РО P(t.) = - Je=- .(di vJ. 0.14) Посмотрим, как вхоцит сжимаемость � в волнОвое уравнение. Среца, заКJlЮченная мысленно в малом объеме V , может перемещать-:
ся как одно иелое'только в том случае, если разност� давлений, действующих на против_ оположных гранипах объема V 6удет отлич
на от нуля, Т.е.
( 1. 15) Си.ча F р , возникшая за сч�т указанной разнипы давлений, идёт на ускорение массы'р V , Т.,е.
'р + 1т =0 О.15') ,где .р - плотность среды.
Интеграл Рр по поверхности S можно преобразовать в ин -те�рал по объему V , по формуле Гаусса-Острограл,ского.
/1 PdS =fJI9z;odp'dV. О V J"' V " бъем выбираем настолько малым, чтобы ФуНКlIИИ .р lf и �'rod Р
в пределах этого объема можно' б'ыло бы считать постоянными. Тогда вынОся эти -ФУНКlТии 'за знак интеграла и сок�тив величину V получ� знаменитое уравнение Эйлера:'
-
или Ц (t)=-'р�7:-аdР. 0.16)
6
Это ураRнение rюцстаRИМ' в (1.14), прецставив формулу (1. 14) в вк-це rr(t) =-�-fJivlJft). Тогца
' ,
р' ({) =х-! di v{ р-! �'(.,ad Р) :: (Jl.Рг'diV1",цd р = (х 'pT� I! (1.17)
или LI Р/t) = х р Pr-l) •
По �opMe этого волнового уравнения можно видеть, что скорость распространения волт! nавлр-ния равна
С'" (X]l< fжГ 'f (1.18)
в газовой среде, ИМР-Я в ВИЦУ а:: =N РГ' , см. (1.4), получим
(1. I9)
Как укаэъ!валось, основная задача у нас состоит в том, чтобы оnрецелить обmее поле давления, иэлучаемое группой источников. Что же нацо знать о кэ.ж:цом из этих источников, чтобы эта зацача была разрешимой?
Ответ'на этот вопрос �aeT так называемъ� интеграл Кирхгоma
[1] : ,( . f)-i� "l:./C ' tl li>-J/41:j"
P(x'�Jr,w) 4х �JI[f'j4)Yn({,J)-;Z- + Ps{"'��r jd-S,(UlО) (. S<, где P(J</�,Z,,,) -:- спектр Фурье цавления P(�/V,Z, t) , Si - I;1ЗЛУчаюmая поверхность i -го источника, � (w) -нормальная соста-
--вляюmая скорости :/ смеmения элемент'а d S , Ps ({,)) . - спектр �ьe цаВJlения, набmщаемого' на внешней стороне элемента d.f ,
t: - расстояние от точки 1(/ '1,1: набmoдения' до злр-мента dS ,Этот интеграл В,ъ!воцится 'на oCHoRe формулы Грина:
/11 (PJj'P,- Ч-'А Ч'){iV = /1 (Cf'9"C.ad<?- 'P9UJdjdSk 0. 2I)
v S Доказывается эта Формула очень просто:
Ч'jj 'Р = di у ('I'lj'(.,ad<f/) -17:. od ер {j'C.Od'l' . .
<ptJ Ч'=div(�')'(.,.оdЧ'J- '1т.аd (Р fj't.od<t •
При nодстановке этих mормул в (I.21)'.послецние слагаемые сокра
Щ8llТСJII, дальше, на основании формулы OCTporpar:r,CKOrO (см. форму -лу 1.7), интеграл по объему заменяется интегралом по поверхно
сти, ограничивanmей область V • Следует только иметь в виду,
7
что - '" нашем спучае область V буn?т пр?n,ставля'j'Ь собой ?ею среТ'..У. г nе нет ИС"'ОЧНИКОIJ RОЛН"' , а S - по?ерхнос'l'Ь ИСТОЧНИRа ИЛИ источнико!' , Т. е. если имее'1'СЯ "неСRОЛnRО ИС'1'ОЧНИК(Н', '1'0.5'= S( � $2 и,nраRал часть (I.21) преRра'l'И'l'СЯ в сумму интегралов гто поверхHOC'!'1IM' Si . Области � , нахоnятпиеся внутри ИСТОЧКИRОR. м .. , зп?сь не рассмаТРИRаем.
Даш�е, что6ы получить rf1ормулу (Т. 20 \ I/r.:,пользуется BCГYOIJO"t"У'f'льная (f"уНКТ1ия
0.22) наз"'�,!lема" "+ункпиеj;\ Грина". Центр этой rf\ункlТИИ пометают в точку набmo.r�еНИ1I I1(У., '1,%) , Т.е. в точку Х, ,:/,L , rn,e '2:: = О • Роль if\ункттии lf' Яl>'Т10ЛНl!ет cfтeKTp паl'Лf'НИ1l Р (�, f//L, "') • Очевиn,но, что Ар+кгр=о , K2.=(.V2;!cZ �o всех точках "POCTpa�CTBa V, Rкmoчан ТОЧХИ, расположенные на ПОRеРХНОСТ1IХ Si : ФУН1t!IИЯ .грина тоже y-п,оялеТFIOряет ураFН?НИЮ iJ fI'+K2f1' � О везд? • за Jlскmoчением ' точкм т.==,О .- Поэтому точку t:-= О nрецлагаеТСII ОКрyJl(ить сtерой с рапиусом 'l- � И область V ш , нахОД1!111УЮСII внутри З!l'Ого шара, v.СК}mчить израссмо'Г,ренI'!J'I. Тогда в области V -. VШ буцр-м иметь
<p�� - 'PtJ<jJ = у>(-к2ср)- 'P(-к2sP)=О, сле.rт.О'1Rтельно, �рмула 0.21) "?е06ретает вид
}/ (�!�04 fF -9' 97:-Qd'f'JdS+ J !(Ч'97:-0dЧJ- 'Pr-r;оd9JdS= О, s , _ SШ '
где SШ - по!3ерхность lI!apa с пентром в точке 'l: = О , имеющей КОорлина'!'н 1:., у, Z;
После1!nv.Й Юfгеграл берется. И в сам'ОМf\f'ле, рsлиус '2::0 тара 'можем выбра'!'ъ нас'!'олько малнм, чтоб", ? пре.!!елах �'Т"oгo Шара. значении' "'УНКf'ИЙ ер И j;;od f,P �еня.лись hp-зна:чи'I'СЛ!>НО.· ТОГ;lа
11 lflj"C-CLd4'dS' = <;'(х, IJ,X)' 'tX(jK"[.o -f)�il('Со:::.-Ij:i:. �(X,:;,x.) Sш
пр� �o -- О ; а слагаемое
-J1 'P'l�od f,PdS == -:;'2::Cld SШ .
Т7;рп �o = О ; fio�'I'o�y ,
1 ffl ' ( ' ' ':f(x, ,/,х) =. ;-;- [Yj?.C1 d (� eJl(r)_� eiKr. ;Jt:-С/d'f>]JS. 0.23)
. �А: S 8
" Как указывалось; <fJ{X,fI,X) = P(J('f/,X,CJ) • Формула 0.16) в спектральной области будет ВNГлкцеть схедующим образом
i'C-оdР-= +�U({V)=-j"'.f7("),ОчевIIДНО, что д'd$j=<�1dS- .Кроме того,
�Zad(� t:'iK'r;}d.S== i, (! �il<'r. )dS. . .
ПодстаВJllI1I эти Формулы в (Т. 23), получим Формулу О. 20) •
Из mорму.лът (1.20) видно: . ЧТО'бы определитр пОле давлеНИII Р (х/ fI, % I CJ) , нмо 'знать давление. ps {11) на nOBepXHOCTJIIX В, ис'":
точников и нормальную к поверхности Si каждого источника КОМпоненту :7n( ш) скорости смemеНИII чаСТИIJ на этой поверхности или вместо � (t..J) ,МОЖ.ет бьrrь задана нормальнаll компонента гjщ-. " � диента давления, Т.е. использована формула9-r:аd P=-j�f'7(и1.
2. Оnиночнъ1Й ист()чник в безграничном водном· пространстве
Отдельные вопросы, касаюшиеС1\: теории генераl.ТИИ упругой вол-'ны в жидкой среде nри.цеЙсТвии сiN!рического источника, заполненного газом, рассматривались'ВО многих·РаБОТах. Однако' при по. �
nЪ�Ke исnользоваНИ1\:'результаТОБ этих ра60Т дл� исследоваНИ1\:. 60-лее СЛОЖНЫХ пропессов, как нВ:nример, взаимодействие источников , nолучаеТС1\:/ так, чтО НМО, nОЯТОРlrГь или пересматривать исходнъrе предположения и ВI>IВОД многих mормул, nриведенных или 'no�eHНЫX !J тех или инътх работах. Поэтому в·св�зи с TeM� что в наСТО1UПее вреM� нет обобЩЭJaшей работы, а потребность в зтом имеет'СЯ, в цанном разцеле сцелана nOnb�Ka излОжить теорию излучения газозаполнен -НI>ТХ источников в некотором систематизирОRанном Rице.
Источник nредставл�ем R вице nульсируюmего шара (пуз���) , заполненного в�зцухом (или JII)(')ЫМ газом). ПульсаПИJII тара (т.е.
'изменение его радиуса) может происходить за счет ост'ЮбомениJ'l сжатого газа или за счеТ.!lарообразования при мrновенном·вКJIЮ -чении MOI11Hqro нагревате;Льного элемента или же просто из-за ,взрыва какой-либо ВЗРЬ1вчатой смеси. Хотя до взрыва 'или BьтrrycKa газа· "источник" прецстаR.irяет собой просто HeKqTopoe тверцое тело, тем не менее, следуя [8] , будем считать, что газ в источнике суте-
9
ствовал всегда, но,только до некоторого момента времени i =to
газ нах9ДИЛС!"В некотором сФерическом невесомом сосуде, пред
ставл�mим, например, тонкую резинонyIO жамеру с мозаичным кожу
ХОм. Кожух "ПРИТJIIНУТ" к пентру мара невидимыми ,спипами.ОБЩaJII си
на, приложеННaJII к спицам дли удержания газа в сжатом �стоянии, равна �x = F(} • Расширение газового пузыря представляем так, как будто бь' сила! Fs .. ум
'еньmается или
'вообще при i q to становится
равной НУJПO. 3аМетим, что этой Ж8-> моделью можно описывать истОчники типа
"флексишок", Т.е. источники, OCHOBaнньr8,
на схлопь,,�ании объема с вакуумом. В этом случае считаем, что газ в камере находится в ,очень разреженНом состОянии. Указанные спицы распирают камеру, в момент, t '= to распирающая сила мгновенно исчезает, и обо'лочка истоuника поц цействием внешнего, давления устремляется в еторонy,!1eH�pa. Но: чтобы не созцаl'jать неоnрецеленность в исхоцнь'Х �aHH-'X этот случай опишем отцельно, а здесь процолжим рассмо -
трение ИСТОЧНИКОВ, основаннь'Х на эmmекте расширения газо�ого nузьrpя. Пропесс всnлытяя газового ПУЗЫРJII на поверхность рассматривать здесь не будем, так как этот пропесс весьма медленный и
за BpeMJII формироваНИJII волны центр газового ПУЗЬ�JII практически oCTaHeTCJII на месте.
Таким образом" в рассматриваемой мод'ели система ( источнию OCTaeтCJII всегда оцной и той же, только в ней сила Fsx является �J"ией времени. Дл" nневмат�чеСJ(ИХ источников с очень малыМ временем открытия клапана, выnускаюmего воздух, сила � .. (t) может
ОПИСЫRаться
Оцнако дет, nе.РеЙТJI пеССОR, так бесконечное
ЧТО
в виде ступеньки:
F. t) =:; fi=o- при ,� � to 6.(; 20 прц t � to• (2.1)
при таком определении силы Fc .. (t.) потОм трудно бук спектральному представлеНIm рассматриваемых npo
как спектр �"(,,,) такой силы на частоте ""= О имеет значение: Чтобы обойти эту трудность будем считать.
!Foe",,(t-to) a�ц/! f: t<y {, ,, (t) = Lo ' Пj>l/,t,}-tо. (2.2)
Спектр этой mункпии равен
(2.3)
10
Козd':ФИlТиент о<- може'!' быть величиной очень ммоЙ. Таким обра -зом, считаем, что сила �.(t) очень медленно ст�гивает оболочку источника к иентру (т.е. как бы "взводи'!''' источник) JI в момент t = [о "отпускает" ,его. оболочку.
Уравнение равновеси� сил будет выгл�еть следующим образом
fн. (с) -t- Fr (t) = fit{tJ, ( 2. 4)
где
FIf{l} == Sz{ptrr + Рн (t)J I 'St- =f//C"t-2(t), Iir-t-IJJt)- давяение, наб�даемое в жидкос'!'и на внешней стороне оболочки источника , �T - ста'!'ическое цавление на. месте установки источника, � (t) -
- сила, с которой внеш�� среда цавит на оболочку ИС'I'очника , Frrt.J =S"p"(f.) , р,. - цавление газа внутри камеры (Оболочки); FвJ((t)- �K 'укаэывалось, �вл�етс� СИЛОЙ, дейс'!'вующей на оболочку JlС ТОЧНJIКа через "спицы".
у многих ис'!'очников, особенно источников пневматического типа, извес'!'НblМИ бывает .исходное цавление Рго В камере JI объем
Vro этЬй камеры. 'Дл� таких ИСТОЧНИКОв величину Fo , mигурируЮ"'У" в (2.1) - (2. 3), можно счита'l'Ь извес'!'ной:
F(J =- (Рго - f1.T}$ro, (2.5)
где Sro- поверхнос'!'ь объема Vro , представленного в ФОрме шара.
2.1. Gnyчай малых пульсаttий оболочки иq'!'очника
Исходным положением зцесь также RB�eTc� закон (1.2) ациа-батического расmирени�'Газов: /
Pr{t)V:{t) = Pro V/o = �rV:r'�- ( 2.6)
где VCT - объем камеры при статическом давлении Ч'Т •
Используем обозначени�:
P-rJt) = Рст + P;.(i) V"T ={4/3):JC?;!r I
В рассматриваемом сnyчае'
Vr (tj = Уа + Vr(t), (2.7)
Vr (с) == (.4jЗ)Jt-r:.3(t), -r,(t)= '[;ст+ {/(t)
'/Pr(t)1 Pc�{ �<. f I (Уг (Ц/ vc1 «! , IUI"(;�� « f . Уравнение (2.4) равновеси� сил. запишем в виде
/ II
Здесь
Поэтому
(2.9)
в ВИДУ малости де�ормаций в разложении (1.13) можем.ограниqитьс� линейИЬ1М членом
� -! _ -1 F}.(t)Pc-г - -JlVc.г Vr(t). (2 • .10)
ИЗ Обозна�ений (2.?) видно, что
V rt) = V; - Уа = (/.t /3) x[rtcг +щ3- -r,3j Z; Ir х т.�г {/щ. r . . ' Теперь уравнение равновеси� сил будет выгл�еть сле�уюmим образом
(2.12)
где
� - Scr 'j) Рсг 2 _ _ \/ /t.1i.'l:..cr(./{t..}-KHU(�), КН - (2:гг-ст)}Ра• Уст _ При ?аКОй записи � (О можно пре.tJ,ставлlМ'Ь {{ак силу, КQТОрая иает' на СJ!'атие или раСТlIЖение газовой среЦЬ1, Т.е. некоторой "пру-)!'ины", с жесткость� К,., • Эта "пружина" при 'l: < 'l:.cт (т.е. при
U:i.-7:.сг<О) нахол,ится в ежатам состоянии, а при '!:.)'Z:"T в растянутом.
_ Изяестно (см.', наприМер, работу [81 ' спе�тр)!;; ((,.}) . силы Fff{t/ =:"S(TPH (-С) ся�зан. сО спектром Ун-(ЧJ) скорости (f (t) rтеремеще ния оболочки по maрмуле
1н(Cv) =Zн:tн(�) ZH=RH+j'(/f' (2.13) ( 'х ' /. 3' ({+ пг)-! R,., = /tт'С.::грCf.9?.(f+'92Г., j н = f(,oJ тн , тн = .. ХТ"г'Р -r ,
где '9:: (,,)·'С.а(!-I , .р - ПЛОТI-!ОСТЬ воды, Хн (t..J) - соrтротивление и· зЛУЧения. ФуНКIJИЮ m".(9) назы�aIoтT "rтрисоелиненно.й массоЙ".
испо.льзу� эти формулы, уравнение равно�еси� сил можем.заrти-сать в виде
12
FG.(<v)=rRH +-;"<..)/77';+ 1(" ):/,.,(4)), JH((..J)=/CJ{/(W). jc.; Заметим, что величину I? н 'МОЖНО ИСПОЛЬЗ0ватf, таюrе rtJ!Я ни!! знака (плюс или минус) используемых !l':VН�I!ИЙ, так как вн�я моrnность излучения Qfтись'вается 1'<>рмулой
w = 2-1 R 1;/'/ н н tf ,
'l'!'очнеак'Ги-
а активны мощность не может быть ОТРИ1Тательной RеЛИЧИНО;t. !{рuмг тог.о, в выражении
" слагаемые Ыl и шг д о.лж ю" �eTЬ раЗНI,'е знаки, так как ре�Онаl-/С
c.>;7"W2.=O массы т;{ на "пружине" К н имеет место на ?(>",е("т -венной частоте CJ =- (Кн/Пl,,)I/2 . Именно ,зти соображения F.ик'!'уют,
что В rl'ре1\nтдymей rгормуле перед силой � (t) цол�ен СтD,ять знак минус.
Уравнение раJ?новесия сил теперь приобретаеТ,iЗИll:
�' r,.,(c.;)_ 'ZH(ЧJ)JHfc.J)_ Xt((4)) � (l<JJ, -- ( �, . Т", '," Р. (Ц) = -- - , - -f " , . , н , Scr' Scr ZIf(и;I-К,/jc.J) S<,I Сила KH;J,.=fR -иде'!' на' излучение упругой RОЛНn',а сила Fm=j4JmH7ff, трат�тся на переме:nеНИf! Т'\'!1а-("""и" Tj::;JI-IСО8'lИН,,?ННОЙ fl.accl.-' ГТ7н• Пр" зтОМ � +-r;" = S It . Отношение
F,; = R" = с' 92 ' = 9 , /Fml G<JГТ7н c..J'2::ct--
Rолна цавления, излучаемая пульсируюrцим шаром Б, ЛlfJ60v. точке ЖИ',--костного'пространства, опре1\еляется по фор�vле:
'2:: " P(R, (л)) = ;r Р..., (6)) tt-jcv(R-т'сr)с-f • (2.15)
Скорос,ть.:! переметения части!' жицкости опреr:,СЛИМ :.1з �ypll'Heния Эйлера (I.I6):
Ur.t) == 7(t} " 7(О =-р-I 9Т,Qd P(R, t)
'J{w) =- (jc.JРГ g't.adP(R) =уц),РГ 1(c//tlR}P(R, t:cJ), Подставляя сюца (2.16), получим �
:r (ц)) = + (jlJ рГ {( � - �� "(;cr ) рн (�),,-i"'(R-"[;сг)('-� (2. H�� l'аким ОбразDМ, поставленная зf.tl!ача !1ЛЯ случая малых пульса-
13
пий решена полностью. Отметим, что в случае источника типа "mлексишок" и прецпо -
ложе нии /tfi/-r:.-;':/<<;{Bce Формульт (2.I)-U�.Iб) остаются в силе, величина F" по-прежнему опре�еЛЯI:!ТСЯ ttoрмулой . ( 2.5) , только е-о <: P.:r ц STQ > 5.:r. Перейдем к рассмотрению СЛУЧf?я больших перемеmениЙ.
2.2. Об'llее Т!рецставление о пропессе r1\Ормиро Аания волим! цавления �ри вьтуске в воду сжатого газа
в книге [ 4 ] . ПРИRОЦЯТСЯ кинокаДРh! скоростей киносъемки про-Т!есса развития газового пузыря при ВЗРh!Rе небольulОГО заряца f'зррвчатого мтества (88) R воце. Для описания наблюдаемой rгои 31'Ом картины обозначим через l:o исхоцный радиус. газовой оболочки, через 'r:, - раllИУС газового пуэьтря· в момент времени, }{ОГllа ItaВЛЕ''-!ИА Р, газа, r.НV'1'.ри пузыря .равно внешнему ста'l'ичес -ROмy давлению �T , и через Z;z - максимальный ра'ц,иус пузыря. :ia зтих кинокадрах видно, что пузырь имеет почТи ИJl,�альную сфе-" . рическую торму; сначаларациус пузыря очень 6ыстро растет; цаль-те, 'Замедляясь Т!роходит расчетное 'значение 'z:, . И с, относительно малой скоростью достигает значения 1::г. • После зто·го ицет про песс обратного дsижения ( Т:;г.- 'l:.,.-?::o). В KOHrт� пути ( 7:..,- 'l:,, ) пузырь теряет сmерическую Форму и разбивается на мелкие части. На6людения показhlВают; что при использовании пневматических истОчников OTpa60TaHHb� воздух всТ!лывает на Т!оверхностъ тоже в виде массы мелких ТУузьтрьков. Это говорит О том, что при работе Т!нев,:,оисточника воз:ц;утпный пузырь в JCOffire пути ( 7:., -- 7::" ) раз6ивается на мелкие части •
тоже
. С"ледует отметить, Ч'Т'о указанный зфflект раcmепления . Т!УЗЫР!'! !'!вляется'решающим Фактором, делающим nневмОИСТОЧНИКИ пригодными для исТ!рльзованиl'! их в сейсморазведке. дело в том, что система "газовьтй пузырь .;.. воцн8.1! среда" I'!!!Лl'!етсl'! ВЫСОJCОДО6ротной системой. В ЭТОм легко можно убедиться; рассматривая спектр волны давлении по формулам (2.I5) и (2;I6). Именно из-за того, что в конне rrути ( 'z:f - ·7:.0) возnymный пузырь разбиваетс!'! на \мелкие части, параметрьт вьтmеуказанной системы� "пузъ!рь-вода" резко меНЯЮ'l'ся, коле6ательнътй Т!ропесс как бы обрывается. Из-за такого
14
демnфировани� излучаема� волна давлени� оказывается достаточно широкополосной. ОбраЗо.вавшиеся пузырьки тоже
-колеБJlJDТС�. Но раз
меры этих пузырьков не оцинаковы, резонансные частоты колебаний отдельных пузырьков расположены н очень высоких частотах. Bc� область, за�тая этими пузь�ьками, представляет собой менее дОбротную систему. Видимь� период колебаний, генерируемых ЭТОй otласть�, несколько меньше длительности первого llикла движения оболочки по пути - 1!;о- '(.2- �o • Амплитуда давления этих коле бaHий в сейсмической области частОт в 5. � IO раз меньше, чем - -первые два импульса цавления, которые рождаются в начале движе-НИ!! ( "!- о'" -z: ) оболочки и в KOНIJe первого никла движения (t: - l::).
_ . ,4 4) Проnесс формирования мелких пузырьков ( их размеры, количество, взаимное расположение и·т.д.) связаны, . по-видимому, со случайт1МИ Факторами, которые в настояmее время неизвестны и поэтому их математическое описание затруднено. Поэтому имея в виду, что волны-помехи, излуЧаемые указанной областыо' не очень интенсив-- . , . т!, далее сосредоточим внимани� на описание первого цикла дви-жения ( 't." - 't-z --:.. '1:.0 ) гранит! "газ-вода", пос;кольку' здесь рождаются полезный сейсмический сигнал излучения ( первь� импульс давления) и главная помеха � второй импульс давления.
Известно, что давление �(�) пульсируюmего шара, заданное в точках R = Rf (т.е. на неподвижной сmерической оболочке Sf({= = 4:т<. R,z ) , дальше распространиеТС1! по закону
P(R,t):= :( Pllt(Z), z: = t - (,f- R1).C-". (2. I? )
Это является решением волнового уравнеНия .1 Р = c-z.( �it!f.2) Р , так как
_ tiZ г tl _ R{ (12· ) LI Р = d Rz Р + R' t7R Р = с R dZZ�.f (с 1
{ jJZ R.., (f2 ('2 ot2 р = c'R cl�:? PR1 (т:) •
В нашем случае оБОЛОЧ1<а S = 4 ох ?;г(о не явл�ется неподвижной, но в то же �ремя за оБОЛОЧКОЙ·(в воде) закон Ньютона (I.I6) и закон Гука ( Р = -ae.-'ct i-v и ) , лежащие в Основе - волнового уравнени� , вьmолняются удовлетворительно.
Следует отметить, что при взрывных пропессах возникают так назы'" .змые ударные волт!, КОТОРЬ$ описываются более сложными ура-
•
15
рнениями, ЧРМ '10ЛНОRРР. Ог.нако ЯRления, СRязанн},rе с 'Уl1.арными
Rолнами, с'Гановя'Гся зэ.t.<етными только ТОГllа, когца скорость ЦRИ -жения граниrп,I "газ-цоn.а" окаЗJ,ТRается сраRНИМОЙ со скОростью упругОй яоднн. Забегая несколько ,вперец укажем, что при давлениях IOO-200 атм, исrтользуемьтх в сейсмораз ведочньrx nневматичес ких истоuниках, скорость JH I1,RИ?l'ени
,Я указанной гранит ты не. nре
'щпает 4% 'От скорости С � 1500 м/супругой ролны В Боде. По-. , э"'ому 'М},1 IJполне можем СtJитатъ , . что упарнъrе RОЛНы R рассматривае-
M!.,rx случаях не вОзникают или же они тtренебрежимо малы. О неко-
1'opf,ТX С'10ЙСтВах волн'" 1R.RлеНИ1!, возбужцаемой при использовании ЦЗРРRча'1'mt: ве"1естя, см. п,алъmе, R коюте Э'1'ого разд�'ла.
Случай источника с переменньrм радиусом nредлагается рассма'!'РИРВ'!'Ь так, как
' бу�то бн действует не оцин, а ' много кратковре
менньтх истОЧНИКОR r.,аRления, имеюmих ралиу�ьт '(:К, = '(: (1( L! t) " '� = 1.;;, • • . • �ти источники срабаты1аютT _nослецовательно. Каж-1ЫЙ источник излучает 1'Iолну
, .1'1 ) - т.к г> (У t) / ' . R- ;::�) , - � ( R ,t - R 'н ".1 'л I t -, (< fj t - -с- )
- (2.18)
,Т'718 7:,, ' И PH(KiJ О' - рациус 'и давление на оболочке R == z:,< источника в момент t =К.1 t, П(l:) - узкий прЯМО'угольный импульс с Р1lИНИЧНОЙ Вf,'сотой, т.е. л(r}= f при-О�Т��t •
<!':vню�ия t�J R, t) при R.:} т.к УДОRлетворяет �волнопому уравнеHIOO, посколыtу -r.ормула (2.16)' ничем не отличает с!! 01'(2.17).
� точках R � 1:: (КIJt)"щ будет на6moпаться вОлна
Pr.(R,t)'='L PI<J8,t). (2.19) 1< ,
ijри "t- (К J l) < т.(( к + ПА t) импульс", В :;IТОЙ сумме будут несколько наклап.НР.ilТЬ(;Я дгуТ' на друга, а при r..(KA't)?"C- (( К+ ']А t) между ""mулм':iми uбраЗУ1!)ТСЯ "rтеJlIf". R цействителъности же никаких 11 на- '
кла�ок п- и ",!!слр(1" ,не б.удет, а про ('то � "ервом �лучае ам"литуца
!i (R, t.) бу�Р.т н,есколъко ' возрастать, а EO-ВТОром - соответствен-
но \rMP.I-!Ы'llет,�я . Rce зто тtроисходит rтpOCTO потому , что рас,�т')яние О'!' �ЗЛVЧ'1!Мtе('\ "оперхнос"'и 's'( (С) rт,o точки набл�щения:,
'т.е. раСС'1'ояние 1- =R--c.(t) мР.няется . Если зто изменениР. paG-
СТО"РИ1! 6У!1.ет LlI- {,' )../1 • гце ;L - длина 80ЛЮ- Т, та ИСRажение волHP rЩ!'\Лf'!iИR Эil счР.т укаЗIJННf,ТХ накладок
' б:vцет маЛО'заметным. для
p�MЬН'.'X сейсмических ИСТО'�НИКОА А L < f м • При таких. размерах
16
указанные искажения не будут Поэтому в сейсморазведочном определить по moрмуле
заметными до чаСТОТ ПОРllдiщ 400 ГII. циап.аз Оне частОт давление можно
, ) _' R{ P(R, t - 7г 8 (1:) , ( 2. 20)
где R1 - раССТОlПiие от пентра ПУЗЫРIl д? некоторой <tиксирован нОй точки, относительно которой определяется давление ' для нсех расстояний R � R1 • ФуНКПИJ!' В ('t:) определяется при R = R 1 как ,
I ' В (t) = R; ?;(t)PH (t) . Пt>И подстановке этой if1oрмулЬ! в ( 2. 20) рас-стояние R f МОЖНО ' и сократить , оно сохранится только в , mуикnии 1: (t , R)' , тем не менее .введение точки R= R 1 обеспечивает d\и
зическую наГЛIIДНОСТЬ определения Функции В ('t:) • из опРеделении
d'ункnии В (t.) видно , ttТO временем пробега волны от "r: до Rf , пренебрегается. Поэтому, чтобы не 'было большой ошибки, точку R1 пелесообразно выбирать 'как можно ближе к оболочке источника . На-пример, R1 = 'l: (t)mQХ,ИЛИ Rf == � {О . .
I
Таким образом, ната БJ!ИЖайшi:щ задача будет состоять в том, чтОбы определить d'ункпию В ('l:) с достаточно высокой точностью в пределах "ервого никла ("(;.0 .... "(;.2: 'r�) движения гранипы "газ-яода" и выя вить , что От чего зависит .
2 . 3 . ' Уравнение движения газовой оболочки
Ураянеh-ие .р ii + g'/:.QdP= О Эйлера и в цанном случае остается справе1'(ЛИВЬ'М, только ускорение U(t) частип ЖИДКО�'1'и ' надо по-нимать сле1'\уюmим образом. Через "С. (t) обозначаем п6-прежне� радиус оболочки газового пузыря, а через 'r.i (t) - расс�ояние от !!ентра пузЩJЯ до некоторой час'l'ИПЫ жицкости. 13 неrJQЗМ,V'1Тенноn воД е З'l'о раСС'I'ояние обоз начим через � . Очевицно . что !.i = �i t.i = i" .;:: .:{ и .::'с' = Ji (с ' . "с (О, 'Ri ) � Поэтому
ii = (rJ/tlt)�. (t; 'с ( t)) = ( ;;/tlt) 7;.' + [( d/ r1t.' :!J ({l/O'i)'C, (t) , ' но ( CJ/ cJt)-с. (t.) = (с( jdt)"l c e) :=:fн (с) - СКОрОСТЬ переМf!I!!ения гра иипн "газ-воnа" . Следовательно , '
(;: . 2 0 Имея � яиц,V, ttТ O � "С- u. dР(.RJ i) = (3/tlR)Р(R, t), уравнение ::1йлера заrrиmем R вице
I7
(;/rJt)� + Jh {() (tJjrl-t):/'" = : (!f/;N! � (R , t) JR = �< ' ( 2 . 22)
Дли частиц ЖИДКОСТИ , касаюmИХС1I границы "газ-вода" , очевидно , что . .7;: = 7н . •
из уравнеНИII ( 2 . 22) Иа.цо определить фУНКШIЮ :J,/t) ИЛJl � (t} •
При некоторых предположениях, о KOTOpь� речь пойдет дальше , ура-внение ( 2. 22 ) приводится к виду
.
Т- (t) . d2t: (t) + 2.. [ d7:. (t ) ] � .1 . . ( 2 . 23 ) d t 2. г. d t - .р Рн (О , где РI1 - избыточное даВJlение на гранине "газ.-вода" , Т . е .
у -)1 " рн = р,. - Рс.т = ?го Vro Vr (t) - �T = Р,.О (';'<>/z:::)3� fl.r ' Переход от ( 2. 22) к ( 2 . 23 ) осymеСТВJlЯете� обычно следующим ОбразОм .
Предполагается , что жидкость несжимаема, Т . е . diV:J,.: = 0 •
Отсюца
i { J - 2 tl diV �· (R) == R 2. ;JR ( R, �· )J = R !t +t1R �' = О, ( 2. 24 )
Дли -частиrт жидкости , касаюЩИХСII оболочки пузыря, считаеТСII, что
:f - :1. .d. :r. - cl ..., d p � . ( 2 25 ) i. - н , t1r. н -(JR .!H , cJ-r:. = ТR Р. •
Тогца di vJн = г -r:.-f.:!н + (О/t1т:):Jн = О J.! ураJ\нение ( 2 . 22) будет выгллцеть следуюmим образом
( d/tlt.):1H - z(z:::г 1-:;: = _ .; itl/dT) p. ( 2 . 26 )
Скорость :Jн ттрецлагаетси искать в форме J;,. == -z;-:;(t), где .! (t.) -- некоторая неизвестная функция. Тогда (djс?t)7н =: 7:.-г. j О) '" ( с} (clt}:JH - .: :1; = -fг. j.- �!1' ;2.= (djtl7:.)f { + г.1 '(.4 J2 ).
Подставляя это выражение в (;?. 2б ) , .получим . l ' I { .f + - ;2 = <> пн (-r:.) + с , - -;z 2. -cf .r Г. ( 2 . Z7)
Т . е . избавились от оттерапии t1jtl'! далее
, с - некоторая постоянная .
j = (;; r1f) f Щ := (rJ/rJt.)r·�.zrt.) JH (t) ] = г. z- :7: +- zZ.{t/jtlf} 1, ••
ПоцстаНОRка этой �6рмулы в ( 2 : 27 ) цает . . . . 5 & J "'(,. (tI /rJt;' 7н +- г: ;;;' = р рн ('С) - t.' ,
18
{ 2 . 28 )
( 2 . 29 )
Отсюда уже - нетрудно получить ( 2 . 23 ) . Следует заметить , что предположения и операuия , описываемые .�ормулами ( 2 . 24 ) - ( 2 . 28), не
- очень убедительны. Нелинейное уравнение ( 2 . 23 ) в ПРИНtJипе решается . Но при зтом промежуточные форму� и окончательная форму -ла для 'l: (О оказываются очень громоздкими [ 3 ] и проследить пО ним физический смътсл исследуемых зависимостей цовольно затруднительно . Поэтому мы дальше , следуя �аботе [ 8 1 , изложим цругой метод .
В пропессе движения гранитl "газ-вода" от верmается работа 'l:
!l (7:0' 'L) = f F" (z/) dT/)
где 1:0 . ( 2. 30) ,
Напомним : через 1:0 у нас обозначен первоначальный радиус , источника ( ДО Бъmуска сжатого воздуха ) , 't, - радиус газ ового пу зыpя в момент времени , когда давление . pr газа внутри пузыря равно lIHemHeHY статическому цавленито !/'т Сила F" идет на ИЗ Jlучение упругой волн},, И на перемещение "присоединенной" массы т" , т . е . FIf = F� + Fm • В гармоническом режиме ?тноmение rR / Fm = (.J "c' с-I , см . mормулу ( 2 . 15 ' ) . в сейсморазведочном диапазоне частот и при реальных значениях � величина t.I 'l: C- / .: < f . Кроме того , дальше будет показа:но , ЧТО КПД обычных пневматических ( имnульснътх) ИСТОЧНИКОв составляет не более 5%. Поэтому, пренебрегая энергией излучени" , считаем , что вся работа 1/ в интервале движеНЮI от '%:0 до 't. ( перехоцит Б кинетическУ1О энергию "присоединенной" Maccы тн , Т . е . ( -f/2)m"("С}:f,,Z(r.) '" fI . из ( 2 . 13) видно , что "присоециненна,,'" масса т" =о 4'x�p , - так как при реальных значениях 't: величина :z2= =:=[UJr.o':'JZ< !. Следовательно , - -
1:-:JH2.(�) � �(�) 11 = 2 (т" (�) Г 'f 4х т.2 ( R- - fl.r)dr/. ( 2 . 3 1 )
oz;o ОстаНОВИМСII- на одном JJЮ60ПЫТЯОМ оБСТОlIтельстве : проциdvЬеренпируем уравнение ( ! /z) т" (т-):J} -= 11 по переменной 'l: • Тогда
_ "(; JH (clltl�)7" + (З/2)J}- =;- ( f /p) (!>r - �T) ' ( 2 . 32)
ИЗ физических соображений представляется очевидным, что ско -
19
рость ::t,ч граНИtты "газ-вода" однозначно определяется значе -
нием 't: , т . е . . с.лепует записать так: :J" = :1" (,r, (t.))}
(iI/tY'tPf( =[(o!tlZ:) J,,](d/ot) = JH (o/clr):J". ( 2. 33 )
Используя зту dюрмулу в ( 2 . 3 2 ) , получим . СУ г. 2 = ' ( 'r..(Jt Jf( t- з<Jн р P - �r) . (?.34 )
Как видим, п�лученная формУла совпадает 'с ( 2 . 29 ) , хотя здесь не понадо6илось делать ряд не очень убедительных допущений.
Обратим внимание на то , что при з аписи roормулы . ( 2 . 21 ) для
' ускорения мы предполагали . что скорость � = JJt, "t Jt)) • Здесь же при записи ( 2. ЗЗ ) считаем, что скорость J" = J" (r. (t) • Почему
такая разнипа?
делQ.. в том, ЧТО tfJУНКI!И1) � МЬ! понимаем как скорость пере-метения частиu жидкости и только на гранине "газ-вода:' :{ "' :lH Скорость перемеmениЯ· чаСТИI1 так же, как давление, УХО!lИ� от источника как волна:. если на некотором , расстоянии R( от источ
чика имеет место )� (t) ::: 7, ( t) , то на расстоянии R будем наб
JOOТ\атъ . ЗТОТ пропесс в виде '" J, (t - (R - R�) c.-:I) • Если ' даже R :::
-:о Rrt) , то tlce равно при выполнении ' операпии (t!/!lt) считается, что R:: сопsi • Поэтому ускоренИе части!! жи�кости мь' записали в
ви�е ( 2.21) . При записи же Формулы ( 2 . 33 ) мы имеем в виду, ЧТО скорость 7н грани1.Thl .газ""вода' не может "убежать" от нас, как
волна. П6зтому Ун зависит только от 'С (с) •
Эаметим , что If>ормулу (? �4) или ( 2 . 23 ) можно получить не
только и� закона сохранения энергии , но и через импульс силь'
или , ЧТО 1'0 же самое, через количество ·движения . И в самом �еле ,
импульс сил"" как известно , определяется следуюmим образом: , t:.z-'ot
О'а = fi:p ot = J F (t) dt. = О (m 'J ' , t-z-'ot ' гце F.:Pfl-'! - 'cpe!lHee 'эначение силы F {tJ в интервале t - ot /z � t + О t I Z , т - масса тела', на которое действует сила F (о � - СКОроСТЬ 1l)',ИJl'ения ,этого т·ела .
· Н нашем случае m = m"fc.({J) , .- .7 = :7f({'r..( tJ) • Поэтому �i'<'J1 (t) ::: '" ( Нm J)/ rJ t = iiiн (tjOJH /O't 1-. ун (t) Om" / O't, гТ!е П11( (О и Jf( (о - средние значения mн (t.) и J" (О в интер .
вале f. -: t!t. /г. -':- t f-d't./z. '
20 '
Масса ' о m н гсриmла в движение в течение вр�мени Jt . В момент t -ot/2 .� не было или же она была в rтOKoe, а' в момент t +tft /2 масса отк имеет скорость .1" (t + (/t /2) : СлеlJ,ояате.льно , средняя , СКОРОСТЬ движения этой массы в указанном 'интервале времени будет равна 'Yн (t} = i I/Z)JH (t + Jt/Z) . Пре'n:rтолагаем , что о t " - интервал Очень м8.JIЫЙ. Поэтому т" а) == т н (t) Jtt (t -t- O't /2) :::: jH (t) .u F..pe4 '(t) = I71H(t)P'JH/tlt +- ( I/Z)3H (t)tJгn"jtlt •
, В нашем случае тн = ;; -9xz:.3(t). Поэтому JmH/Jt =8p.f.l7zZt7l:/tlt = = Зр4л. 'l:,2 Ун . Следовательно , '
, (Р'еА (t.) =: .е.1.х r;3J'Jff !Pt + ((/2) 3; 3 р4 7t -r,2. •
С другой СТОРОНы, очеяицно , что Fc.P""A (t) = 1xr;2(t)Pн(?;( t)) внивая эти силы друг к цругу, будем иметь
гс.(t-М7;f/tlt + ( J/ZJp:J'; == Pн(-c. ( t))) , '
я котором первое слагаемое пред ставимо Ta�e в вице
p� (t}{tl:JH/tl'C) t1r. /dt = р -с. 7н ilJHjiJr. = ({/2)РТ- (tl!tЗт:.):Т:.
Прира-
Таким образом, первое слагаемое в уравнении ( 2. 34 ' ) описы1-вает Обычную HЪTOHOBCK� силу n7Li , когда масса т неизменна, а' второе несколько необычное слагаемое �11ИСЪ1вает силу , которая затраЧИF!,ае'1'СЯ на 11еремеmение новь!Х 110Рrтий масс, ВОRлекаемь!Х в цвижение в rтропе-ссе расmирения радиуса -r.(t) .
в интервале от 't.( до 't2. работа 1!("C.f ; '! -) идет на "торМож� ние" инертной мас сн , т . е . в"lТtолняемая R �TOM интервале работа ЦОЛJ!'на иметь , отриrтательнь'Й знак 110 отн6mению к 11('С.о, 'Cf) Зто автоматически Y1fИТf.1вается d'ормулой ( 2 . 30) , так как ,в указанном интеряалеРr - Pcr < О • Поэтому В tf,ормулах ( ? ЗО) и ( 2 . 3 1 ) !'Тep�менная -r, может rтробегать от t:.o n:o 't:2. • В момент KoГТla , ра диyc oz:. достига�т t:z ' , скорость
' .7,,= О и вся кинетическая энергия ,4('(.O/ 't,) масс", тн оказь'вается rтреобразО'f'анной в ПО'1'еН!.1Иальную энергию , поскольку �нергией излучения rтренебр�гаем . ' з�
Интеграл ( 2 . 3 1 ) легко берется . ГIОТl�тавляя тупа P, =(z;/r.) , получим
- 2. 2. [ 1 -( JH (r..) = }р -J - I ( ""i? ( 2 . 35 )
2I
Зная <71( (1:'-) для каждого значения r. , можно вычислить время '1:- -
i (т.) :::J_I- d1:'- ( 2 .36 ) "'о JI((-r.)
� тем caмым определить функпии r- (t) и 'J,, (L) •
Таким образом, изложенный ме'1'ОД в отлиЧие от метода прямого реmения нелинейнОгО уравнения (2.23) состоит в предварительном определении mункuии :71( (т..) То , ЧТQ в данном случае для определения , Функций т. (О и УI( (О наДо численными методами вычислить довольно прос'той интеграл (2.35 ) , не я'вляется особым нецостатком, так как в случае прЯМОI"О решения уравнения (2 . 23) получа�мьте moрмулы, как указывалось , оказываются ТРУДНQобозримыми и они мало годятся для непосредственного про слеживания интересуюmих нас зависимостей , т.е. для их использования все равно нужен машинный счет граФиков . Кроме того , функция Ун ('t-) сама по себе является важной "характеристикой источника.
2 . 4 . Основные" характеристики riневматического источника и методика их расчета ' '
в работах [ 1 ,8 J приводятся расчеты функций 7н ('С) , z: (t) и :71( (t) дли случаев , когда Vro= 7 и - 28 .литров, Рта =. tOОат", , СИЛа fsx задана в виде стyhеньки (2.1 ) , глубины погружении истОчника равны Н = 10, 15 и 30 м, т.е. /�г � 2, 2 ,5 и 4 атм. Результаты �тих расчетов, несколько уточненные и цополненные, приведенът в Т!iблиuе Та'бличное прецставление в данном случае.удобнее граФиков , так ' как значения рассматриваемь� Функuий в неKOTOPb� точках желательно знать с больmой точностью. При расче -тах цавления B {t) = Rr- fт. {t)Р,., (t) величина Rf выбрана равной 1 м. На указанных npимерах рассмотрим теоретически ожидаемьте характеристики пневмоисточНика, иллюстрируя параллельно методику их расчета. .
В момент ' времени t :: to=O радиус '2: (t) == '2:0 И пОэтому B(to)= Rf{'[.o (P,.I-�r) . Давление на. граниuе т. "' 'Со в это мгновение, оче!1ИЦНО , равно р,-о - fl:r Но поскольку наш "пункт регистрапии" нахоцится на расстоянии R1 = 11'( , наблюдаемое давление оказывается сутественно меньшим величины ?ГО - Рст • дальше по мере роста <:: цавление быстро падает. При т. =,2 ,2:0 ве.личина В а) со-
22
ставляет менее 1/10 части 8 (со) и ПрИ 't: = т-" давлеJil�е 8(t) =" O так как 'при этом значении Pf( =. P,-(t) - А:т =-0. • При r. 7 7: f давление 8 �O , так как f}JtJ <. � r И по мере 'l: - z;.� цавление 8 (t) мо-
HO�OHHO уменьшается И достигает ми�а при � = �� . При этом естественно , что аБСОJlЮтное цавлениё Р,- а ) газа ВНУТРИ пузыря всегда больше Нуля .
В самом начале ра3 ВИТИfl газового пузьrpя первая точка отсче
'!'а выбрана нами в момент · tH1 • когда 'l: = ( О/ОСо ' В связи с тем, что при 1; = -С" скорость J,, (-r:) = О . , интегpa.1l ' ( 2. 36) в проме жутке ?:-о -7- fOfz:o удобно ВЫЧИСЩlть слецyJ)ЩИМ образом.
В формуле ( 2. 35 ) произведем поцстановку .х. = {r 1j гце )( г -с/ос" O� � � о,о{ , и воспользуемся moРМУJlОЙ
( I + � ),- т z. f - m �. Тогца
( 2 . 37)
в инте!pa.1Iе (2 .36) произведем замену переменной интегрирования rio d>oрмуле r' = (lr 1j;)'ro • Тогда
. I Z: j!ё .i ?: .i ' и"С.) т Q ff - e. d� = Z ,2" � е. ( 2. 38)
jJO Q J""O Н .
В рассмаТРИ,ваемых примерах �,, = о. О{ • Начиная с z;. = (О!?:" ЦО '1:. � '1:.2.' интегрирова�е в ( 2 . 36 ) осУщест влялось по rnoрмуле примо -
УГОJlЬНИКОВ с шагом .1 -с =(J '()О п .о • · По tfoормулам ( 2 . 37 ) И ( 2 . 38) можно также оnpецелить ускорение .r: (с-) при- oz: ::t' -СО :
I . I dJH ("(.) ::: z - l}3o � : г: d� ., dt = 'Со;з;/'ff - g;d�.
Отсюца
,;: 't) = d· :7" /d t - ,�- ' .Q 2 - ( )-f( p )' ,, 1' п /' - с.. '1:.0.1"0 - "Со Р ГО - Рст • .
ДaJlee интересной IIBJflleTCII точка 'l:. = -Z:; m • гце скорость Ун ('%:) достигает своего макс�ального значения . э!у точку найцем из ура-внения (iJ�)J,,2(,r;) =0 • Поцставляя сюда С 2. 35 ) , полУчим
'Сm ' 'С;" = [y#ri+ BTI), $ = (р - t) - f РГU '�T- � ( 2. 39)
f = 1. 1; 72 = f. 32 3 .
23
точны' з н ачеиияд ляя �m ' �O' , а также величины .7H (-r.) и моменты Вр'емени ' tm цля . рассматриваемых примеров приведены в строках под номером б таблипы Здесь ' JmбопЪ1ТНО слецyюmее . Обычно скорость движения материального тела цостигает своего �aксимального "' з начеЩ1Я в момент преКp8.II!ения действия силы, приложенной к зтому телу . - В нашем случае , как вицим, скорость JH достигает З�та" не в моме;' '
когда давление р" на среду равнО НYJm , а несколько раньше .
Точка '" = '& f ' rде павление 8ft) = О , легко определяется
по формуле pr - R-r = о , CM � строки Jf 9 таблица ' . Скорость JH при Z: > "Lm монотОнно уменьшается и при , � == '&2 функпия JH ("L (i)):O .
, Вблизи точки Х = 7:2 ,интеграл ( 2 . 36 ) Удобно вычислять таким же приемом, как ( 2 . 38) , используя попстановку � = f+ �г-" j; , rne l+ �2 =
= ?;�/Z;o ' Тогца расчетная ttормула для интервала �a -:- �г выгляц'ит слецуюmим образом'
rn,e ( O, lft; J
j'.I/Z 1 + �2 [1 - ( { + �2 )H
( 2.401
Luz - время rтр�хожл;ения граниrТЪ1 " газ'-воца" от .Н'екоторой внбран -ной точки "L = 2:Q = 7:o( (-t-';o) до t;. =: _�o ( (.,..�2.) •
При расчетах , приводимых в таБЛИt}е разность �2. - �" вы--6иралась II преце)Iах О . ОЗ .. О . а5 . ИЗ Формулы ( 2. 40) ВИДНО , что ' величину 7:г надо з нать с 60ЛЬШОЙ т�чностъю . Формулу ,цля опреде -ления 2:2 получим, приравнивая ( 2 . 35 ) к нулю . В результате rтoлучим уравнение
z � ( { + � г '. ( 2 . 4 1 )
�TO уравнение легко решается методом послец�вательнь� при6лиже -ний , так как гру60е значение для Z найти нетрудно .
Заметим; что уравнение ( 2 . 4 1 ) можно также представлять в виде
( 2.42)
06ычно , Gtj/ < f , С » f Поэтому-можем считать
'1г 7' g, Z:z/ 1':.o Z 8 1/3 = (г ,5 р;о / I?:T)I/� ( 2 . 4З )
, 24
z\)
ел
-h �
Юм
.. Р"т
= г
а TI1
; .f =
1..024
Kr/H
3; El/
�"a ('1
,,) =2.
05".г.
� (03.4,
ж-/ Е
uзо (г
811) =
821.0
-{ОЗ 4
:ж.
'r-/t:.()
\ 'JH
/ н/с
1 2
3
1 1,
00 _
о-
2 1,
01
13,5
5 3
1,02
18
,78
4 1,
03
22,5
4 5
1,1
35,9
0 6
1,3
1489
43
,94
7 1,
"5 42
,03
8 2,
0 32
,17
9 2,
5381
-2
3,59
10
3,
5 12
,96
II
4,?4
2955
-о
'1t1
t /o
�i!>c.
--,
, 4
о 6,17
15
0,24
36
0,30
04
0,57
73
1,18
96
1;69
8 3,
307
5,64
8 12
,26
-40
,22
Z:O =0
,1186
688 м
в, Й
ТМ;
E&)O
�д_;
-3
t,
Ю <'
;
5 б
7
11,6
3 О
О II
,25
1,83
6 0,
2'723
10
,896
_
2,55
-8 0,
3867
10,5
5 3,
092
0,47
69
8;�fЮ
5,
158
0,91
64
4,62
9 -
7,25
6 1,
889
2,886
7,
825
2,695
0,
8166
8,
201
5,25
0 О
8,23
8 8,
965
-0,6
152
8,33
2 19
,470
-1
,044
10
,31
63,8
4
28/1 -
2:0 =0
, 188
3749
м
-
/3, а
/м:
8
18,4
6 17
,86
17,3
0 16
,75
13,4
7 7,
348
4,58
2 1,
296
О -0,9'7
66
-1,6
58
, -:3
Е" 10
д:>J<
9
О 7,35
2 10
,24
12,3
? 20
,64
29,0
3 31
,30
32,8
3 32
,96
33,3
3 41
,23
1/=15
,.,,-Ре)
:: 2,
5 аТI1
; .р
= 10г.
I(_кгj"'
З; t::
зо(1
)=f9
о,О
-lо
3.J..Х
j Е"
зо(Z
811)
=r6
0:0
-Ю.J.
.>'С
\ 1-
1,00
О
О 11
,57
О О
18;3
� О
2 1,
01
13,5
2 0,
1720
•
Л,1
9 '
1,82
3 '0
,2130
17
,77
7,29
3 3
1,02
18
,73
0,24
42
10,83
2,
539
0;38?
7 '1
7,20
*0
,16
• 4
1,03
22
,48
0,30
12
10,4
9 3,
(ю8
0,47
82
16,6
5 12
,21
1 2
3
5 1
,'1
35,7
9
6 1
,3Т2
72
43
74
7
I,5
41,7
5 8 -
2, О
31,
72
9
_ ,2,4
СЮ8
..
24,7
9 ТО
3
,5
-Н
,67
II 4
.379
637
О
,{ =
30 f1
/-Рст
;: 4a
r.f1;
N
СУ>,
1 1
,00
О 2
1,0
1 13
,-41
3 �
,02
18,5
8
4 1
,03
22
,29
5
1,1
35
,45
6 I
,ЗСЮ
268
4
3,0
9 7
1, 5
4
0,9
2
8,
2,0
3
0,3
5 9
2,"1
520
27
,38
IO
3,0
1
3,8
1 I
I
3,6
957
65
О
4 5
6
0,5
789
8,4
21
5,
IIЭ
1,1
80'
4,6
12
7,1
50
1,
704
5 '
2,7
J7
7,7
21
3,3
30
0
,698
0
В,СЮ
4 5
,029
, О
8,0
82
Т2,7
60
-
0,8
229
8
,14
8
3З,�
5 -
1,19
4 10
,3.1
7
О,,,Н
89
1,87
36
2,7
058
5
,287
7
,983
20
,256
5
3,2
56
----
--
,
/
Окон
чани
е та
6лиu
ы
8
9
13,3
7 20
,45
7,3
22
28
,60
4,4
403
30
,88
I,1
08
32
,26
О 3
2,3
3 -
1,13
Т 33
,15
-1
,895
4
Т,2
2
.f =
102
4;(/"/,.,
3 i 5</
:> 0 (-;t,,
) = (s
e, {-(
О .4ж.;
" [1/:>
0 (2,8
А) =
{;32?'
-10:3 д
ж
, О
II,3
9 О
О -
18,0
8
О 0
,17
33
ТI,
015
1,7
80
0,2
751
Т7,4
8
7,1
21
0,2
461
1
0",6
5 2
,47
8
0,3
90'1
16
,9Т
9,9
13
0,3
036
1
0,3
1
2,9
93
0,4
819
1б,3
6 II
,97
0,5
837
8
,225
4
,975
О
,92б
б 13
,05
19,9
0
1,1
785
4
,38
0
5,1
0 1
,885
7
,054
27,6
2
1,7
25
2,5
30
7
,40
8
2,7
393
4,0
16
29,6
3
3,4
04
0,3
420
7
,65
0
5,4
033
0
,54
29
3
0,6
0
4,0
22
О 7
,65
2
6,3
85
О 3
0,6
1
9,2
13
-1,
0'11
2
7,8
81
1
4,6
24
-1,7
00
-
31
,52
22
,88
-
1,57
3
10
,17
36
,32
-2
,497
4
0,6
8
Эта формула прИ!JQЦИТСЯ , например , в работе : 5 ] , НО !lЛЯ нас она слитком груба. _
,?nреn,еленное вышеописанным способом время t('l:.) ДЛЯ рассма триваемых примеров приведено в таблитте в строках А' 1 1 . Величина Тц = Zt(r.) равна длительности первого tтикла движения гр-в.
НИШ,Т " газ-ВО1\fi" по пути l::o� 'l:z- 1:: o • _ Сле�ет отметить , что в ра
ботах [ 2, б 1 ПРИROцится эмттирическая rfюрмула цля опрецеления цлительности этого никла:
т ::: V (Р V ) 1/3 ( 10 J + /,г S/6 'J f ,о го - , ( 2 . 44 )
где >'l глубина погружения источника в метрах , Рго и Vro -- исхdll.ное J"(авление и объем газ а в атм . и литрах . Коэtfit'ИI1иент t; опрецеляется :'JRспериментально . Так , в [21 'I{ = Q {45 , а в [6 J �' =
= � f3Z • ( По�идимому , в этих работах ИСПОЛЬз Овались пневмОИС -
точники разнои КОНСТРУЮJИИ ) . .длительность 7; , опрецеляемая из
( 2 . 44 ) , оказывается несколько бо"льше , чем Тц полvчаемая из опись�аемой теоретической модели . ' Это отмечается Ta�e в [ 3 ] . о причинах расхождения мОЖно пока целать лишь раз личные прецположения . Возможно из-за того , что . в эксперименте T� опрецеля
ется в дальней зоне по максимуму cneKTna сигнала, в получаемое з начение Ti) вхопит также за'Т'ухани.е nолнн, из-за чего сигнал
с'Т'аНОRИТСЯ более низкочас'Т'отн�� . Q,теним коэrfфипиент полезного цействия rrневматического ис
точника. КГЩ источника, очеJ3ИII.НО , слеn:ует оnрецеля'гь как ОТНО. -l!Jение
(2.45 ) гце· , Е G - энергия .полезноЙ сейсмической волны, -Ец - полная энергия' источника, освобожцаемая при вьmуске сжатого воздух� .
illихалиев n . A . , KOTOP�� занимался расчетами КПД пневматичес-ких источников , величину Е8 опреn,еляет как энергию волны цав-ления Р = R, /г'а (t) , которая излучае�с� при ЦRИжении грани
пы'"газ -вода' от �o до t'z . При обратном движении этой гранины ( '1:". - z:.;) , а таJ<Же при послеnуюJТ1ИХ nулъсаттиях пузыря сейсмичес
кая волна тоже излучается , 011,нако , , эта волна не MO)!reT считаться полезной , 'Т'ак как R настояm�е прР.мя она 1'ОЛЬКQ затрудняет
интерпретапию сейсмических материалов , т . е . ЯRляется помехой .
-Величину Еu о н опреnеляет как работу, совеpmаемую сжать!М гв:з ом при изотермическом расmирении, 'I' . е .
27
. "ru.>o Ец = Ilцзо = J F d-r. ,
"'о где t= == (Р,. - Рст) �.x z:;J1 pr Vr :: Р,.О 11,-0 = R:.r Vцзо•
( 2 .46)
Vvзо = (.If/3)X'l:.!,�- оБЪем газа , занmrаеМЬJЙ им прИ и�отермическом расширении до стаТJfЧеСКОГQ давления �т- '
ПоцстаВJ!ЯЯ в эту формулу цавление Р,. :: 'I:.� А-о '1:.-3, получим
Ецзо= Рст Уго (а. irt а - а 1- {) , а. �Pгo/ �T. ( 2.47 )
Определим �нергию сейсмическОй волны. При распространении волны давления . р(с) на элементарную нормальную riOBepXHOCTb dS цействует сила dF= P(t)dS • Работа, соверпаемая .этой силой В еДИНИI� времени (т.е. мощность ) , будет равна произведению силы dF на скорость перемещения J(t) поверхности ' dS , Т . е. d W ==
:: J{t)РЩdS . Энергию волны получим, инТ.егрируя dW по времени
dEs = dS/ 3(f) P(t)clt . -В нашем случае mующии P(t) и :JLt) на всех плomадках dS по .,. верхности сферы - S =Erд. R2 . оцинаковьт и поэтому
Ев =:; S J Jft)P(tJdt, _ . r .
Интегрирование здесь произвоцится по всему интервалу времени, в котор9М npоизведение P(t)Y(t) для интересуюшей нас волны отличНО ОТ нуля . Волна давления у нас описывается формулой ( 2 . 20) . Обозначим через tB время вступления волнЬJ Р{/(, С) на расстоя-нии R , т . е . tg - (R - Rf)С-f= о • Волна давления, генерируемая ИСТОЧНИКОМ в момент
' t2 , когда граниuа .газ-вода" достигает макаима.льногО радиуса Z:-Z . в точку R придет в момент време-, ни tc + t2 • Слецовательно ,
. "tJf + i.z ' . . '
Es = .sJ 7(t , R) P(t. , R)dt J S.== /r.x R e. ( 2 . . 48) � .
Скорость . :JrR, t) смещения опрецеляется по формуле ЭРлера 0 , 16) t t
.
. i(l� , i) =-; J dt ' �'l:.adP(R, t') = ; /dt{ :; 8('с') + :� B(Z:)]� B(-с) = (U'jtlТ;)8 (-r:) , 'C'= t '- (R- R,)C- '. .
Очевицно, что r
J�('l:1dt/== 8 (z:) , с = t - (R - R.,) c--f. Поэтому
7 (R, t.) = ptг;i'P{t) + R�(! $ (7:) , t
ip{tJ = jlJ (l: )dt'.
28
Поцставляя "J(R, t) в ( 2. 48) , получим , -(х R 2. t"1' + t" 2. t8 + С" ' Е6' =. --� J B2.(r:)dt + 'r.L R( ' J У (t)! U'c)dt '. ре ' , p R
Второй интеграл должен быть равен НУJlЮ , так как n� закону сохранения энергии веJfИчина Ее не цолжна зависеть от расстояния '''' ПО кажем , что зто действительно так.
Известно , что , , ' I OQ , .... !lfJ{(t) 'flz. (t)d-С = �.li. _l 'Pf (c.;) CP2. (w)dc.j , ( 2 . 4':1 )
где 'Pf и <7>2,* - спектры Фурье npoueCCOf! . "{ (с) И 'ii (t) . Если 'fz (t) является интегралом от Ч'j (!) , то �;(Ц» = _ (./(.VГfq>:(ИJ) .
Поэтому ер! q:;i =-(jwТ '1 Cf>(cv)/z • ФунКПИЯ /Ф (4) / является четной о�носительно переменной w • СлеДОf!ателъно , в ( 2 . 4 9 ) f!ОД интегралоМ стоит нечетная myнкпия из-за наличия поскольку интеГI?иро'вание производится по лам, этот интеграл равен НУJlЮ . Таким образом',
- 1 множителя (} L-V) , а симметричнь� I!реце -
1r.lL R ' t� ' . Es (tz) = .P�- -( J 82(t)dt) ( 2 . 50)
- . о . где , О 7- t 2. - интервал времени , 'в течение которого ' радиус обо лочки меняется от ' 'l:'D дО 'С.;[' 'с. (Отах . R таблине' ' при!!епеm' значения ' Ев (tR.) , 'а также .EG(t.i ) , гце ti - промежy'i'очные т.очки интервала ' О -i- Lz • ИЗ зтих расчеТОR видно , Ч'l'0 Ее (t z) почти не зависит , от глубины погружения I!невмоисточника. В интервале дI!ижения гранины "газ-водli' от 'to до 1 . 5 't о ВР1Р.ляет,СЯ бо� лее 7rл;, энергии ' Е8 (t2 ) • КоэlfФ.ипиенТ полезного действия � " '" '" 100у.Е8(С)/Е,/з0 для г {lYб ины1 h '" 1 0 м составляет 5 . 02%, цля Iz. :. Т5 м �= 5 , 4% и для � = ЗА м 2 = б . 4%. Величина lz несколько ' возрастает с увеличенИем г лу6иньт "- главm� 06'раз ом за счет уменьшения энергии ВиЗО
Следует отметить , �o исхоцную энергию пнеВМОИСТОчника мож� но опр�делять и Tye).тtpyгoмy. и в самом пеле, R rr.ормулах ( 2 , 30) ' и ( 2 . 3 Т ) прецполагается, что я момент времени , когда "!:: ( О =; 'l:., ,
вся энергия, способная яьщелиться , Оказывается прео()ра;зованной в кинетическую энергиЮ Екин "rтрисоециненной" Maccf,' . т . е . Екцн=' 4(7:o, 'r,). По достижению рациуса 'l. максимальной величины 'l:z; RСЯ энергия переходит в потенТ!иальи:vю энергИю сп "растянутой пружиm,т" , 'Г- . е . �('l:f, 'l:l) = СП ' Очевидно " �-tто Е;.;vн = Еп . Г10Э-
29
тому энергию источника можем оrтpеделять либо по mормуле . для I 11 (Ч, 7::,) , либо по !I(� ( , z:.z) • . Эту энергию мы буцем называть "энер-
гией , способной въщелиться при адиабатическом расширении газа" . Итак, "" 'l; 3�
Eogu == 11(7::0 . "(,,) == J ( Рго "t:�Y - Ре, ) 1.li- '(.2d.", = ( 2 . 5Т.) � � .
< у . [..!!.- I -у J . =Ра!Щ � - fJdfl = PcTVг() 1- У ( Vf - f) - (f/, - f) , vo V · '
где ' а. = Рго / Ре, J fli = ""/�o == ( '(.{ I '(.01 -= Q. -1(';. из ( 2 . 4? ) и ( 2 . 5 I 1 можем видеть , что отноruение
/ . /- � ' f- у IП 1)]-.! EuJO EQAUa == ( а /nа. - а +- 0 _ 1-)1 ( а -т- () - (а. , -При r ::: 1 , 4 и а " 50; 40 и Z') это отношение равно 1 . 65 ; I .609 и 1 . 5 1 , Поэтому, если при определении ЮЩ вместо t и . о исполь зовали боТ (оАиа , то КГЩ источника был бы несколько больше . Но это БNЛО бы не очень логично , так как В7111УСК сжатого возцуха в воду, очевидно , является не единственнь'М способом воЗбуж.це -ния сейсмических волн; вполне могут бъ�ь 'ицеи , в KOTOpo� энер -ГИЯ, запасенная в баллоне со сжат� газом, преобразуется , на пример, в электрическую энергию , а последняя преобразуется в энергию водны каким-то более рапиональнъlМ споqобом ,
Слецует иметь в виду , что пневматические источники имеют большой реэерв повыrnения ЮЩ. Как указывалось в начале , при грyn-
, пировании пнев�атических истОчников И корреляuиомном сжатии суммарного ,тrpoТ1ecca все повторные ПУJIьсаuии и волны , ицymме от "зеркального" источника ( т . е . , отрaJrенные от поверхности ВОЦы') , . уже не �y�yт помехами , и их энергия будет участвовать в создании единого импульса,. Тогда КПД тrневмаТИЧf!СКИХ источников сутест венно возрастет .
В заключение этого раздела вернемся опять к рассмотрению i!1ункпии 8(t) =R'{T Ji)/,,., ft) , которая определяет ifюрму вОлны дa� ления на всех расстояниlIX R :> R ( " Выпе О'rмечалось , 'что большая 'часть волновОй энергии выцеляется в интервале времени , в котором граниuа .. газ-воЛli' проходит от '1::0 до oz; = f- �a . из расчетов ,
nриведенных в таблиuе 1 , видно , что давление B(t) в этом ин -тервале можно ' описывать rnункuией
( 2. 52)
30
Спектр такой mункnии по модуЛn равен ,
I ВР( (,))/ = (c<.� + c.JZ Г (/28 (о) . ( 2 . 53 )
Верхняя граничная частота на уровне О , 70?'8{О) определяется ра BeHcTBoM «.2. = [U2. и.ли lл>гр = "" • Нa.rтpиме�, . в СJlYЧае Vro = 7/1 ,. ' Рго =
=100 атм, It = IO м величина 0( = 773 с-• ОТCfJДа '/"р=(2. х):1. = iZj Гц .
При уо = 28 л , f',.o= 190 a'l'M, � ;o IQ м эта величина "" = 482 с- и Jrp= 76 Гц ., Таким образом , первый импульс давления , генерируе -
мый этими источниками , по частЬтному- составу вполне своему назначению , 'Г . е . требованиям срецнечастотноЯ ведки'.
отвечает сеЯсмораз -
Второй импульс цавления , генерируемый при <у.' '* �O ' В ицеальном случае (когда сФера в Koнne -z; - �o не разбивается на мелкие пузырьки ) , должен. быть в два раза шире первого импульса , а пи -ковое значение дав�ения - такое же , как у первого импульса. По эксnериментальным даиныМ, приведенным в книге [ 5 1 " второЙ импульс давления пневмоисточника даже HeCKO�KO , больше первого . Это , по-видимому, связано с тем, что острый пик первого импульса давления был несколько сглажен приемноЯ аппаратурой или Фильтруюшим действием среды, а второЯ имnу�с , имеющий более низ ко -частотный спектр , меньше п.оцв ергался сглажИВ8IDшему действию внешних Факторов .
Теоретические представления, описанные выше, являются общими как . для пневм'а,тических источников, так и ДЛЯ пропессов, со про в ождаюmкх взрыв в воде при использоваюiи взръmчатых вешеств ( ВВ) . В кЩ!ге (5] приведен обстоятельный обзор экспериментальных материалов , полученных при взръmе ВВ в море . Интересно ' там то , что при использовании бризантнъ� ВВ максимальное ( пиковое) значение первого имnул�са цавле�я npи6nизительно в 5 раз больше, чем у второго импульса, причем спектр первого импульса сущест BeHHo более вусокочастотен, чем это следует из расчетов по приведенным выше· Формулам . Здесь дело СВЯЗ.ано с тем, что при вэры '"' ве в воде бризантнЫх ВВ в начальной стадии эначительная часть энергии ВВ ицет на испарение воды у граничь, " газ-вода". ' дальше , по мере движения этой граНИ!Thl пары воды Опять hревращаются в жид� . \ ' , кость , Т . е . меняется Ko�eCTBO частиц газа , участвуюmих в пропессе . ЭТО В, исходНЪ1Х уравнениях ,( 2 . 2 I) .. ( 2 .35 ) никак не учи -тътвается . Из-за указанных nревращений вода - Пl!-Р - вода исходное
3I
rtзвление Р,.." • 06раз о "аRfI'ееся в материале ВВ , па.цает с увели
'!':!нием ?а,и�'с.'t � п;,';ч,'ря 60�лее НРУ'ГО , чем зто слецует �З а.циа -
ба'l'ическо!"() :'1 :l. ·: ; !i(;. - ( Z.,,/ z:;) lJ.o • Поэтому величина OL , фигу -рируюmая в ( 2 : �2) , оказ�Rается существенно больmе тОй оцен
ки , которую можно получить из а.л,иа6атического закона . Таким образом . 1'еоретичесние расчеты на основе уравнений ( 2 . 2I ) + ( 2 . 35 ) I\ЛЯ ВЗР"ТRщ�тm( !'!ernес'!''' носят ' весьма приБЛИ'Кенньтй характер. По этому в 'иссле«ОFаниях , связан� � ЕВ, 'основной упор целается I�a rтол�rt!ение эмпирических .ЗЗС1и симостеЙ.
3 . О;1ИНОЧНj,ТZ источник С газов,,'М зarтолнением и rтосторонняя полна
. Пусть \{ ОJJ,иночному ИСТОЧНИКУ �� 1 , рассмотренному в прецьщутем разделе, ОТRуцз-то со стороны подхоцит волна давления .�(i) •
По,: ,v (t) мн понимаем "·чистую" волну, которая не искажена нали
чием ИСТQЧНИК? }f> I . В rтРИСУТСТ RИИ источника ' I или какого-либо
тела вместо ;V и) 6у"ет на6Jmцать ся некоторая искаженная
пОлна (1 (С) ; которую УЦО6но преl ставля:ть в виде "суммы Q (() ::
= ,v(t) + mf (t) . ВолНу т{ (t) • исходящую из источника 'I за сче1' влияния нц него посторонней ROлны А/(О , на:зы'AIoтT rtиtра>,ирояанчо,; з()лно!l или волноi' рассеИIJания· [7] . в простеЙlПем ё'лучае 'J1Т, (t) - �олна, стражеН!i!iЯ ОТ_ nовеРХНQС'1'И источника IA 1. Обm�е поле rtарл(щия, Ha6;mnael.loe . за nрепелами оБОлочки источ -
ника '" 1 , т .• е . R точках R � '[, (t) • буn.ем преriставлять !'I виде
;[f\'t) ';:;: �г -1- Pf (t) Т )/(О -+ m1 (t) == Рст � 4(f/tJ, ' ( 3 . ! )
гn.<:! f1( ( О - I;jОЛНR . излуч:�еl,(ая С�ИМ источником 1f. .1 , я,r - вне -
шнее статическое цавление . р. �IlННОМ раз ;tеле 6;vrteM пре1rrолагатъ , что источник волНЪ!
,v(t) - "nрозрачнj,:Й " , т . е . полна Р{ (t) -t т1(t) • ИСХО�Яl'Jая от источника If> 1 . "рохо!1.ИТ lIIе<''1'Оf10Jlсжение источника '" 2, ч.е "заме -чая" его'. (1'1'0 M()�eT 6,,";'ь только ТОГ1],а , когда тело , находяmееся р.нутри и�тОI{ника 1of., 2, имеет такие же упругие характеуистики , как ОКР,VЖImЩая 81"'.0 воца .
Координаты точки . рас"оложенной на оболочке Sf (t) ис�очника " 1 , (jбоэначим "(: (t), -БJ1 , ':Р1 . Ураянение ( 2 . 4 ) равновесия СИЛ
32
теперь будет выглЯдеть следующим образом , ( ) ( 3 . 2) S-.f(t) F8х (О + P"' (-r::, 67, �, С ) о: 1 { ('r , {) , 'f'( , t J. дл. HeKo�opqro ynроrnения формул ор"енТируе� пожярную ось
((1 =- О) по нanравженmp прихода - ВОJlНN AI а) . Тогда ПОJlе Ifm не б1Д8'l' зависе't'Ь от долгот", ':f f � При 8'1'011 предп" .. аrае.. . что волна 11(0 .пи60 плоская. mt60 исходит от Сif'eрического - источника . ' имеютего ОС!>' симметрии по нanравлению В ! � О • Тогда _ уравнение -( 3 .2 ) запишется в виде
,г {(t)F&,,/t.j �Pr ('r , � , t )- РСТ =' �(1')("C. , (;11, t), ( 3 . 3 )
из этого уравнения nопытаемся определить BOJfнY т{ ( О _ . Изяестно , что JIЮбая функция J rt, X ,f/, Z) • заданная в точках
R{ � f С�PJческой nоверхнос�и . может быть однозначно npeдставле -на в виде p�a по пОлинОмам Лежанцра, Т . 8 . пО mарОВЬN функnиям
. Ш-,, (�оs (J.t) .!(t , R, Q() = ./" ШО + JfШ( � .fzШz. + - - - ,
/. JK = Z�+ { /f(t , R, r; )Шк('�)dУ; , � = ('OS � (
- - С{
ШО = 1 , Шt = co.s a ( , Шг == ft-f({+Зсоs t1) , .
Поэтому можем запи-сать
(3 .4 )
p�;)("t. (]. , t)' =f Cll« ('r:. t) Шк (�ОS (),f) , s- f(t)�Jt)+ Р" ('r., В . t ) -J 1 к=о J
- 00 .
Z,.:: + '1 -f - (О - f!: r =-foCJ<: (�, t) Ш", ('OS Gf) . Q", � �f � ("' � � , С)_ шк (�)d� - ( -
Gt< = z'; .Lj [S-(Fк)t) + Pr (-r. , � , t ) - Р,,] Ш".:r'f. )d'S . Шаровые mункпии ортогональны. т . е . ; {(2!( + 1г:fг. _f Шк ( �) ШJ�) d � о
при i =- 1( при . i. � к .
( 3 . 5 )
(3 .б ) ПоэтоМу, умножая левую и правую части уравнения ( 3 . 3 ) на ШJ'f) �-'-интегрируя , можем убедиться, что Q!( = S 1( . -Слецовательно , вместо O,�H6гo уравнения (, 3 . 3 ) име�м бесконечное множестяо уравнениЯ
Q,,,, ( 'C. , t) ;' - C� (-С , t) ; К = О , 1: 2 , _ _ ( 3 .7 )
Запишем tf1ункпии A/(r_, 9, i) и _ nU"t.., а, t) t dJИгУрирую!!!ис В (3 . I ц. + ( 3 . 3 ) , R виn,е
33
;//("(. , Q , t ) = z vk ('C- , t)Шк m('l.; tlf , t) = f mк("t: , Ош", ( 3 . 8) I(=-О "' = 0 ' t
При- использовании этих обоз начений коэctФициенты ' Q ", будут выглядеть следуюшим образом
' .
ao ( 't , t.) = Р, (t) + Yo (t) " то (t) , а( ('l. , t) := vf (t) -t- mf {t) , Cl.,t (�, t) � Vг Jt) т те. (t) . ( 3 . 9 )
дальше уеицим, что из уравнения цо = Со' можно, опредеJIИТЬ 'ко-эtfifJициент m о И т. д. • Искомую волну т , (t • R а,) 1'! точках . R � 'с! (t) предстаВJIяеМ R виде
'
l1'Yf (t, R, Q{) :=�o'7(f(K)(t , R-) ШК (f.'o.r Q,) , ( 3 . 10) (1() .
J1r, (t , R)��'C. :; ml( ( t , �) , Член !Тр'и К ::: О зтой суммы будем называть диФрагирО,ванн,ОЙ ВОJIНОй нулевого порядка, поскольку Она выражается через шаровую, функцию НУ,левого 'порядка - Ш" ' . Член ,при 1<.= 1 - дифрагированноЯ волны первого поряцка и Т . д .
�абегая несколько вперед отметим, что основные связи в рассматриваемой задаче дают первые два-три уравнения : ао = 80 , а( = 8( и Q:z "'82. ' Поэтому, еСJIИ МЬ! з цесь много места уцеJIИМ . рассмотрению этих уравнениЯ , '1'0 зто будет вполне оправпано .
3 . 1 . Дифрагиро ванная , волна нулевого порядка
Займемся уравнением йо '" 80 . Из ( 3 .4) - ( 3 . 9 ) имеем ,
{j/�{l) ):< )d� - { jX"U) ' " 1) . I ( 3 I I ) ао = г: � (r , ?, t .. - т /"r (""., I?o " L SLГ1 (J.Oai , • . -! _ о 1.
Легко видеть , что Qo (tJ препставжяет собой ocpeДHe� "о пло -шаци Чli. <.f радиаль� компоненту давления 1(1) иJlИ . Ц'1'О '1'0 же самое , величина F":=Etx"t.J.Cl.o ЯI\Jlие'l'СЯ СИJrОЙ. хоторая действует с внешней стороны cd'ePbl S'(.l '" Lrx. �Z в сторону равномерного " раCmи� рения или сжатия етой сферы, '1' . е . действует как истоuник
',тиtIа
ПУJIьсируюmий шар ( ИJIИ источник типа " центра расширения" ) . Функ-пия 8" (t) в соответствии с ( 3 . 5 ) равна
, ( 80(t) = S-f(tJ Fв,..(t) + 'J[Pr('r , 'f; , t) - l{rld�. (3 . 12)
34
ОчевМ,Цно , чТо 80 = 4х ..:2(tJCo (t) IIВJUlеТСII силой, которая действует с внутренней CTOPOНN оболочки в сторону равномерного рас -
mирения еР. радиуса "С. (с) , ' т . е . стреМИТСII увеличить объе .. V -= 1 ;1[ 'r,.$ (tJ !1УЗЫРII. Вполне еС'l'8ствеино, qтo ао = 80 '
Кроме 8ТОГО уравнеНИlI, мы - имеем ещё второе о,еВкциое ура -виение
( 3. 13) -{j(o) {j{o) где Q 11 8 ... емещеНИII частиц воды и газа на границе пуаЫРII
за счет деАствия .цав.tеюrЯ а.о и 80 Уравнение ао = СО можем записать В вМ,Це
• ( 3. 14)
Нам нацо определить то (t) • МЫ теперь знаем, Ч'!'о этот " источ- ' ник" работае'l' как riyльсирующий шар� т . е . излучаемая им волна в соответствии с ( 2. 17) описывается ФОрмулой
m(o)(t R) == -r: (1::) т (�) . . 'l: == t _ R- -с т. ( 3 . 15 ) J R о , ' (!
ЧтОбы 'оnpe.цМIIТЪ то (t) , npoдовим рассмотрение уравнеНIIЙ ( 3 . 13) и ( 3. 14) . полагая, что существуют только давлеНИII, которые tfulгурирувт в уравнении ( 3. 14 ) ; о давлениях а-", и 8/( JI\ (: O) предлагается BpeMe�o забыть . Тогда, очевидно, оболочка !1УЗЫРЯ соверпает только рациальнъrе , д8нтрально-симметриtпiыe колебания.
Так же , как в предыдущем разделе , сначала рассмотрим случаЯ I '
ма.лых деmoрмаnий, когда рациус 'r. (t) газового !1УЗЫРЯ меюrеТСII незначИтельно относительно его рациуса �eT в ' этом случае уравнение аО =: 80 ,СОВ!1ацает с ( 2 . 12) , только pOJlh давления Рн (t) те!1ерь въmОЛНl!ет !ЬунКUИJl P' (t)+�o (t.) t- mo {t) .. Поэтому используя moрмулу ( 2. 12) , можем записать,
Fs� а) -- кн Ц�О)(t) = S'cJpf{f) + У" (t) + то (О 1 ( 3 . 16 )
Но и :0) -= u�o)
' в вкце ufO) = 1/ + {j (о) tj;fO)
" UP-f )1 + т , г"е {j Ц 10) И иМ - смешения ., Pf , � -т ' .зыря за счет действия давлениЯ Р, (t)
ветсТвенно. При отсутствии сторонней
35
( 3. 17)
частип ВОдьт на границе пу-, Уо и "'о (t) соот , -
вОЛНЫ [�o (t) = o , ",о щ = оj
будем' иметь ' .
�. (t) - KH Up� ( t) == Scг P., (t) . -ВЬJЧJrr&В IfЗ ( 3 . 16 ) уравнение ( 3. 18) , полymtМ
- к,Ju:о)щ � U!:J(t)}= srJvo {t) t-mo {t}l
( 3 . 18)
( 3 . 19)
3десь неиз!!естнымf являются _ то (О _� и:';) и U:О) . . ИскJIIOtПOI .. и (о) ) . ' (о) . неиз вестно.е rn (t • для это.го. вспо.мним, что. �ещеНJIе Ц", со. -
здается источником ' нулевого. по.рядка ( ПУЛЬСИРУЮЩИМ �apo.M) , давление на оболочке кото.ро.го ·равно П70 (t) • Поэтому можем воспо.ль�о.ваться формуло.й ( 2. 13 ) К записать
с S Z ) '7 (о) ) ..., (0) == . 1./ (0)/ -" то (ц)) ст = н (,<) JHrп (с.; • JII,,! - jCA> m , (,<)/ •
. Следо.вательно. .
L.I (о) ,, _ Jcr т · (И)/ - - z /. . , то (w) I ИJ Н ''''/
По.дставляя эту . ФОРМУЛУ в ( 3 . 19) , получим
-/ ( )[! -'- � ] - .1 l' . , ' . К" u{о) _, то C.J I • Z / ) --Уо , 4>/ - -s. � (tA)/ • j lAJ н'ц) с т
( 3 . 20)
( 3. 21 )
( 3;22) . . � -
Займемся теперь тункuией t./,J (c.J) • Вспомним , что через ,V (t) мы о.бозначили " чистое" ( т . е . неискаженное источником ); 1 ) давление , прихоцящее со CTOPOHЪ!� Следо.ватеJIЪ.НО , смещение tlJ"} (t) . в это.Й вол�е тоже "чистое" , Т . е . оно. сушествовмо. 6ы и при ' отсутствии �сто.чника � 1 • . При этом вода, нахопяmаяся внутри мыслимой сферы, сжималОСЬ бы, и измекение о.бъема зтой вопы за счет сжатия МОГml 61>! определИТЬ по формуле . ( I . 1 ) , Т . е .
где 4 3 V = T .I R(
Отсюда
- u;о)щ == :')еЖ i (t) При nодстановке этой формуль! В ( 3 . 22) учтем, что R, = СО:
к н lZ][;"(;�T r " ::. 3?' Ре_т --s;.;. = s т гс, �c..T ::' . с ,
36
3 7::ст de.r
( 3 . 23)
и
( 3 . 24 ) • ,
см. формужы ( I .4) и ( 2 . I2 ) . Поэтому
Отсюца то (4))[1 + j�HZH(4)) ]'=; ( � - -f Но (4)) '
' Ztt(CV) ( de. ,..;: ' . \ то ((,J) = Z ( ' -fк ' � - ITyo (Ц)/ , н Т :jCtJ) ;{ , r ( 3 . 25 )
То , что эта ФоРМУJIа не противоречит mизИt?ес'ким nредставлениllМ можнО nокаэать путем СJIедYl'ЩИХ рассуждений .
I . Если бы сжимаемость ' :к; газового пузыря ОJCазaJI/:I.Cb' раВ
ной сжимаемости Je ж. ЖИДКОСТИ ( т . е . истОчник J I был бы "nроз рачным') , ' то диtрагированна� вОлна не должна рожцаться� Т . е . т � (с.» = о , что и nодтвержда�т ФоРМУJIа ( З � 25) •
, 2 . Когда ВНУТРИ "уЗь�я ничего нет ( вакуум ) , то жесткость кн= О , сжимаемость �г � ""a И поэтому д олжно быть то (&и)=-- v (CV)1
Т . е . цолжю,I наблюдать npопесс, подобный отраженИIO волны от СБО :ободной поверхности : Это и видно иэ moРМУЛЫ ( 3 . 25) .
3. Если рассматриваемьrn пузь�ь ' прецставляет собой несжимаемое тело (;J(!.r == 0) , то должно быть и1 + Ц,,=() и поэтому ц:::) = = - и..!oJ , т . е . МЬ' цолжю,. наблюдать неЧто , по�обное отражеНИlO волны от абсолютно жесткой "ояерхности . Чтоб.,. убедиться , что rrop мула ( 3 . 25 ) дает такой' же ответ , запишем её в вице ,
_ jc.> ZH (c.J) , ( Х_ - Х, � ) ( 3 . 26) n1o {W) -J'(;J Z ""C<)' + -r.- f х- fзs х ' ) Yo I W , ",. tL � СТ Г r:r r
г'�e использовано ВJ,траж'ение Кн = ("tc� ' �rT{3Sa , см. ( 3 . 24 ) . При .,
стремлении N,. = О mормула ( 3 . 25) дает , iw ;(" (ц» , mo (CJ) ==- 3 '" - -f Jl!:ж !о (и» .
V�T "2::ст . r I 7 { ' (о/ . \ ,Отсюда, имея в , ВИДУ u::J= [/СА) Zff (W)j -то (4)) и Ц1 (lA>./ " � �"-T �ЖУО(С<)) , получим t.I;:;J(CV)=-U�D)(CV) , что и .треБОВaJIОСЬ доказать . Заметим также, · что d'oрмула ( 3 . 25) не противоречит результатам ,
"'оnиса)iНЫМ
' в [ 7 ] 'при рассмотрении
· пулъсаuионных кОле-
баний гибкой стеры под деЙС'I'Вием плоской з вуковой волны. _
Продолжим приведение урав!!ения ( 3 . 25 ) к рабочему виду. ПредстаВJlJlется вполне естественным выразить
· >'0 (t) И.IИ vic..» череэ давление , к·оторое бы наБЛЮДaJIОСЬ' в Т9ЧJCе пентра источника � I , если бы этот источник отсутствовал. для этого вспомним , что
37
, - ,
N' (R{ О( t) == Z: v,Jt)Ш", (<'05 ().) И " К=-О , (
'10 ft) ;:. -i f ;V(R( , � , t:}d� , �= C'os Q. ., - / . ( см.фОРМУJ!Y, ( 3 . 5 ) ) .
виде Переходя к спектрам, посжецНDЮ фОрмуny- можем представить в
( Yo (CAJ) = -i I N'(R( , � , t:.'»)d� = ,v'(kJ, ff)CP,/O)(c.J, Rt), ( 3 . 2'7)
-, .
<pro)( ) == :1. ;1 ;V'(R-( , $ , cv) d�, . f си Z_f ;V'(.:.J, !I) •
н - раСС'!'ОJlние межцу uеН'!'рами ИСТОЧНИJ<Ов JII 1 JI " 2 , 1I(цJ, H) - цаBJlemre , которое иаБJll)Ц8..l0СЬ бы в пеН'!'ре JlC'!'01lКJlК8. " 1 . Теперь , dЮРМУ.lа ( 3 . Z;) буцет BыI'ulцeтьь СJIецymllllМ образом:
( 3. 28)
Таимм Образо .. , Д8В.1екие на часто'!'е ц) в ДJlфраГМрОваннciЯ BOJIНe НYJIeBOrO порцка б�м пр" R ::,. R f :: 'ССТ опрецеJrЯТЪСJl форМуJIОЙ
� (O)("", "С, (() == :-f то (Cv) @ +jw[t - (R-R,)(Г{J, . ( 3. 29)
в которой n7o (<.J) выражается формужой ( 3. 28) . В качестве приме-, (О) ра опредеяим фунJCUИЮ CPf /"-') дм плоской волям t1I(X,9', х, t)= Ntt-Z'Сj. ИМew1!Цей спектр Y(4J, х};: ,v(c.J)np(-j{JZС-;!. ОбоэН&ЧJIМ qeрезНрасстоянке О'!' '!'oqк. z' = о до nеН'!'ра ис'!'оtrЮrК8. " 1 . Тогда Toqкa [ R ( , ВJ , нахОДJIЩ8JlСII на поверхности сфеpьt S Д.( , буде т име ть
КООРДИН8'!'у 'Х, = H-R(l'ОS ()( • Позтому
лf(R1 , С)( ,'CcJ2 _ lJ i �с- IRf со! В(. IV(W, ff) :-:
СJlецоватеJlЪНО , �(O)(&-)) = � J�j9' !O d� = oI'i n lf(
2 -( '?( ( З . ЗО)
Перейдем теперь Jc рассмотреНИI! c� боJIыпх перемещеНИЙ. ФоРМУJIЬJ ( 3 . I I ) - ( З. 15) OC'!'8II'I'CJl в СJlJ!е JI в 8'1'01' CJ!yЧ8.е.
Давлеюrе газа РГ . , фкrypllp�ее 11 внpuеюrи ( З. 12) , '!'еперь кацо опре.ц8.uть непо.сре.цСТБеННО из ацllаб&'!'neскоrо захона О . 2). Т . е .
з8
( 3 . 3! )
Полагая, что .п,амеюrе pr (t) о'!.' yrJla (J не зависит , форму.ny (3 . 12) можем записать в ви.п,е
( ,3 . 32)
Уравнение 80f{)=О,,(t.)'!.'еперь буцет ,вЬП'ццеть 'следytllЦим образом
F8� + 'СБЕ" А n Гt ( ) + lI, (t) (t) ( 3 . 33) 4л: -r; (t) '(.зr(t) го - "а = '1 t D + m,; . Обозначиu через <-f ( е) радиус газового пузgpJl _ при ОТСУТСТВJlИ сторскней -воJlНЫ, Т .е . сЧитаем, что , м � :r; (t) ::::: "t.f (i) +J 7: (t) , 4 "t: (l) = U-; (t) + [J';'o а); ( 3 . 34)
г.це ujO} � (j::) - смещения ИJIИ переМе!ЦеНИI! рв.циуса оболо1П(И за счет ,.п,авлениЙ Yr> (t} JI mo(t) . Пре.п,nолагаем, что фyЮmИJl '(. 1 (О известна, т .в . ' она опредеJlена при помощи мето.п,ов, ОПJlСанных в раз.п,еJ.е 2.
ПРJl "тсутствки t'l'орокней воJnпi, очевидно, имеем
�.(t) [-L _ _ 1_ ]+р" ,!зrГ f _ 1 ]= y. (tJ+ m (t) 4д ",t(t) "Ct(t) Г() о l ".c'i'(t) 'СУт о о .
(3 .35)
(3 .36)
ДaJlьше довольно трудно про.п,винуться без упрощающих пре.п,положе -ниЙ. Поэтому будем считать, что
-/ .1 -с (t) 1 « "[( (О . Тог.п,а, используя разJlожение
_1 __ __ 1 _ ( { + .<1 'С )- m�� ( ( ! т .1 "'- ) ,= "'('" /.L).
-'с ( (с) , r-m(t) z.'j'(t) 'tf . .. "
" - -уравнение ( 3 .36) можем записать в виде
fб. (О .e Ll "t- _ р. ��r . , 3cJ.<1 '! = .Jo (t) +mo (t) ".IL ": (t) "'1 (t) го ?::�Y (t) "(;1 (t) Отсю.п,а получиМ формулу, аналогичную (3. 19) :
- �H[U;O)(t) + (f;'O)(tJ] =- [Уо (t) .f. то (t)] fЛ Z-7(t))
• 39
( 3 . 37')
- ( 3 . 38)
( 3 . 39)
� з r К н :о Fo ... (t) 'с (t) -j- {2. Jl. "С1 (tJr р,.о · �� ) . � <-7 (i
См.emение {j �)(t) можем выразить через давление Уо (О" по формуле
ll�)(t) =- r.{tJ • -кж ";о (t) ( З.40)
( см. выражение ( З. 23) . ) . Чт�БN в уравнении ( 3. 39) осталось только искомое давление " . " n )
mo (t) нацо ищuшчить неизвес:ткое смещение lI': (О ИJIИ наоборот . Воспользоваться здесь спектраль'ными moрмулами ( 2. 13) мы ке мо жeM' так как �yc �1 (t) оболочки может меняться в значительных пределах. Поэтому испl>льзуем lfюрмулу ( 2. З8' ) , записав её в виде .
. "(О) _ { . ( З 4 1 ) .Р tI т (tj. - "t 1(t) то (t) • •
Подставляя ( 3 . 40) и ( З . 4 1 ) в ( 3. 39) , получим
p f.lZ "t-.! (t) ii:;Jri) + KIiU:')=[�)'<. �f (t) K"-S1 (t)j�o (t) ; . ( 3 . 42)
Т б �...., I.Im(O)(t) аким о разом, искомая '' 'J'п"l1ИЯ является решением линейного неоцнородного циmmeренtщального уравнения второго поряцка. Т-акие уравнения обычно решаются численнъNи методами ,' pe�, лизуемNМИ на ЭВМ.
3. 2. Дифра�ированная волна первого,
поряцка
Займемся уравнением a1 (t) == G1 (t) , см. d"oo!»>'улу ( 3. 7 ) . ПО опрецелению ( 3 . 3 - 3.9) , '
3 { a1 ( t) = -z !4(·J(,(', � , t)�d� = V1 (t) -tm/t) , ( З , 4З ) - , - 1
так кА.к В ВЬ1ражении �(-() == P, (t)+II(t) +m�t) собственное поле I? (t) ИЗJIyч�ния источника � 1 . от угла hl не зависит; .
Покажем, что величина F (")� !j:1C.Rfa.f представляет собой си -ЛУ; которая действует так, m'обы c�py �,ff = fZ' R12. сдвину'l'Ь с ме -ста, ' не меняя объем этой стер"', Т . е . сила F (-f! яьmоJIНЯет mунк --t!ии источника типа ОСflИJI1!Ир:vnmего шара. . ЧТО,бы зто !10казать" вОзьмем ОСl1ИJIJIируюmий \fСТОtrНИК, у которого даВJIение на !10верхно-
АО
сти сtf'eРЬ1 заflано по закону ,4((}.) = l1t cos й!- • Сила" действу -юmая на злементарнУю поверхность d S я направлении оси х ( т . е . а '" о ) , равна
I1f t!os (J d5.
Об'11yIO силу , Fr наЙflем как
� , = J d� "" 4( JCOS2a.� dS. S/U 2. Имея 13 B"![lY, U'!'o' d S =: R! Si..nQ,dt2d<fJ , , и ИСПОЛЬЗУЯ обозначение
cos Qf =: � , пол�им ' , 2. f '1 ' 2. /i- = z .z Ilf 11, J � d!i = 3' X Rf IIt ,
- 1
что' и n;оказывает приведенное выше утвержцение . Посмотрим С! а) / из формулы ( 3 . 5 ) имеем
3 ! , С( Щ = 2 РГ (z., $ , t) � d � , - t - 1 поскольку прецполагается, Ч'!'о S- '(tJFsJtJ и Р.-т от угла Q. -1 не
заяися,Т . ИЗ вышесказанного следует , что величина F, :. -± х R:61 {t.) " 3 прецставляет собой силу, с которой газ сопротивляется смещению -объема VRf по' направлению , оси � • Но масса газа; содержamаяся внутри объема VR { , ' очень мала, и силой, затрачиваемой на neремеmение зтой массы яверх-вниз , можем npенебреm. , Т . е . nОЛО -жить, trrO J'/{)= О • Следовательно , В( (с) = 0 • Но , поскольку Bf (t)=-af (t) ц Qf (t)=�f{t)-tm/t), поЛучается '
' Искомая нами ди�рагированная волна nr�1t, R) является излучением осUиллируюmего шара. Да�лениё на поверхности этого шара имеет ВИд m/t)cos а. • Если бы это давление бblJlО бы задано на поверхности сферы С , nостоянным радиусом ,R1 , то волна давления такого истрчника на частоте ' <.> ' описывалась бы формулой из работы [ 8 ] :
, а ' m (/)r. ) - т1 (t..J) ( �f ' RI i'Л:; '" t, CJ, R - � -_-t ; 9f - ) е cos (). r ( 3 . 45 ) .1 т/ ТI, Rz R
t: = t - { R - Rf)С- f 9 =: VJ Rt C ( . При малых дефОрмаnиJQC ра;циус R{ , можно выбрать, равным среднему значению =if'(t) ,paц�yca' оболочки . Функuию m! (t..» uе'nеСО(lбраэно
41
прецставлить в moрме , подобной ( 3. 28) . В цанном слУчае m! ("') = -]11 ("1) и
_, 3 1,/ " -= (t) , УI ((,J) = г. ;- k(Nf ; � , Ы; .. d; = K(UJ, !IJ 'Р! (w , Rt}J � ( -
(:r) ' с- 1..; ,f'(R. �, c.» 1J d� ' ( 3.45') . � (с.> , R{) - Z_f !/(r.J, If) •
Ч'l'обы иметь представление о характере фильтра 9/�(c.J) , оп-ределим его вид в часТНОм случае , когда ,4/(I,I.j,Z,t) ямяется ПJlОС-кой волной давл�ния ,
.заданной в виде
.
A!(t. , 1, Z , t) = ЛI(t - � а- {} - ,4/(t..I, �} = N'(t.J)�-iQZ� - � ( 3. 46 ) �
По.ставr.яя Cl)да х = /f-Rf(!os{lt ' см. Bывдд фОРМУJ!N ( 3 . 30) , получим { . \
�Jd(c.J , Rf} = -l:fp i�� �d� = -j 3 Si.n9CqQ1COS 91 . ( 3.47) -{ (
П�и 9{ .... о функпия m (() 3 . . Т( - 2, / '$ с- n f>( - О ,
ОХ · п. ({) . " (7 а прк 9, "" 2' rnункuия . y�, = J f, w •
При боJIЬПI1IX 8.Мl"lJIИТУДах изменения рациуса � (t) пузыря можно рассуждать слецуаmим образом.
Функmm .у! (t) можно опрецеJlИТЬ при .бом рациусе r- (t) по moрмуле {
У, (О "" 1: I JI{,,(t}�, t)ic/ � ' -1
( 3.48)
СледоВатеJIЬНО , давление fr1t (t) можнО ' счнтат," ИЗ !!еС'l'НЮ1 , так как Vf{t) : - m1 (t) . При U)т. (t)с-{« " сtUlтая � {t)f17QХ= R{ JlЛИ
;r: (t)= R( , знаменатеn выраже� ( 3 .45 ) можно положить .( ; + j 9(Г,f; :::; ( • Тогда cneK'l'p BOJlНЬi m. f{t.J, R) , как видно из ( 3 .45 ) , МОЖНО записать в вице
m(f)Cc.J , R') ,: [-Jr 1711 (r.v) r 3l uJj"'f(�Jlt'-i4> (R-R(Jfo; Q/ . ( з.49) . Rc? .
� . '
Но /11f {c.» - 171, (t) , jfA)tr!, (ц)) -- clf I17f (t) . • ,дцьmе. 'рассуждая так же, как при вывоце формулы ( 2. 29) , ПОJIymfМ � ({)(t , R) :::.[ Z;�'Z:2 mf ('С)+ tt:;&t::J, ft tn( (1:.}/!OS � , (3.50)
г
. С = t -[R - � ((.)JC - (;
42
3 . 3 . ДиdJрагированн� вОJlна второго порицИ8. r
ДКФрагкрова� �ЛНУ второго nop�Ka определяем по такоАже метоД.ике, KO"op� описана вше, рассмаТРИNJr. уравнение a� = Gz. •
Сутественно '1'0 ,- tn"o . . сиJlЬТ, опредемемые этим уравнением, не .зMeНJIIfJT объема газового пуэыр,' а тоЛько деdюpмJrpУ'ОТ его форму , деЙСТВУII, в сторону распираНИII. ИJIИ сrrJllOщиваНИII этого ПУЭНРII [ 8 ) •
СОПРОТИВJfение газа, противодеЙСТВУ1Ощее таким деформаuиllМ, 6удет НИ'IТожно _мо . Поэ'l.'ОМУ можно ПОJrОЖИТЬ, trГO gz. = O • СJfедоватеnно,
в соответствии с ( 3. 4 ) и ( 3 . 8) ,
5 f У� Щ = 2 Jv'('(., � , t) � (f)ds,
-1
( 3 .51 )
. {. , ...1. 2. /'1 ( З 52) Шz. (f) = т{ { + 3co.s2Q{J := 2. (j � - f) , f = C'oS bf- I ' ' •
Искомая волна m(Z�/R) ЯМllе'l'СII ИЗJIyЧением cjeрицеского источника, на поверхности которого даВJfение распределено по закону mz(t)Ш?(tl.r) • ЕсJIИ бll З'l'О давление 611 .. 0 за,цаlfО на повеухности с!f\eры . с nocToIIHным ра,циу�ом R f , '1'0 . спектр BOJIНЫ та (t, R) ОПИСЫВМСII бы ФОРМУJfОА
m (Z)(<.> ,R)==,Юz '<Q) Zz. {R)UIz {Qf)e-jrv (R- �f)(!- ( • ( 3.53)
Необходимость УДОВJIетворени" BOJ1НOBOмy уравнеЮIID при R � R ( однозначно опредеХJlет фу.ю<цn :(.2. (,f) в 'СJfеДУ'О1I\etI вид� ' [8 J :
Хг (R) ::. (fj.2. х -I+ 39 к -3+ 3[ 3 ) { 'f2 .,. 3'1-' ''' зг l.. ( 3.54 )
х R- - ' n ' R (! - ! . = D ,. 9- = J T =- J <.<J t " �! . .
�сида при необходимости можно ПОJfYЧИть формужу 'l'иnа( 3 . 50) . Прецсor.авим· функmm mг т B'
lt<?�e, подобной (3. 28) и (3.45 ) . из выражения ( 3.52) имеем
. - mz Jl-J) = Yz (c..J) = N(t.>, HJ <p, {P.)(<.<J ; R(J, . f . ' .
l/J (2.) ( R ) :::' ..!. J II(R1' � , ,,-,) . ш. (�)d� . 1 _<AJ , f 2 _, Н(Ц), Н) Z . '
43 '
( 3. 55 )
Тах же, -RaK в' nредьщYllfиХ С.IyЧ&JIX, onpenemrм nu npимера !!ид (2) , функnии ер1 • когда !!ОJlна tV6,fI,%, t) -, nлоскм, заданная со-rJlacнo ( 3.46) . По.Цс'!'аВU1f ( 3.46) !! , ( 3 .55 ) , пожучим
, 1 <p/2)(&J , R1 ) ::. {J(;Ii'i't� . i (з �2. - 1) � . 5' 'у S ( 3 fz- f 6 � 6 /)1 = _ . {;I - - -;;z T � - - =
, 4 cj.. cj.. cr , СУ -1 S '
=:: 3 9i (Siп,9/ ..,. 9{ cos 91 ) - �1 .'Jiп 91 ' 91 == � : При ?, - о фyнкnия j �(S'17 9( - '21 C'os 91 ) - ?/Si.П9f 'P/гJ� О при �:",/г ФУюсrmя �&)X' O.8S • -
3.4 . HeKO'1'Opьre Обобntенкя
( 3 .56)
Поиому
Обо�начим через ЕI (t, R , а,) 'поле даВJJенкя, ИСХОД1fЩее от ИСТО�ИJ(а 1ft J и набmoдаемое в ,.очке [ � , а] . nPOCTpaHcorBa !( � R 1 •
Собиpal[ rtриведенные вы!п� фоРМУJIЬТ, можем ДJlЯ ' случая MaJIЬ1X цеiЮрмаnий записать фciрмулу ДJIJI cneKorpa ЭТОЙ во,ПНЫ в вiще
( 3.57)
Приве.ценньrе ФОРМУJJЫ COOTBe'!'C'fBywJ'l' C� � когда �иус I'a-зового пузырЯ ' незначн,.елъно меняеorся' оorносИ'!'елъно его 'значении 'CI!T , ' n,реОбреioаемого пузырем при статическом даВJJении Р.: r
44
Этот слyqaй важен в тОм смысле , �о исслелование характеристик ПИtГ'раrированной Болньт естеСТБенно наt!Инать с рассмотрения малых Jiеmормаrтий , коrп;а d)opМYJlbl относительно rтpOCTЬТ. Bыme говорилось ( см . �рмулу 2.52) , �o собственное излучение ( 2. 20) - исто�nика � 1 rтpоисхоп;ит в основном в на�але расширения газОВОГО пузыря и в коюте l1Икла. В промежутке межп;у ними рап;иус TJt.) относительно медленно меняеТСя в ' знаt!Ительнь� пределах . 'Если построенная ВОЛ-
'
на приходит в зтом , rтpомежутке времени в виnе кратковременного импульса, то велиt!Ину R{ можно выбрать равной среднему значению TJt) Б интервале действия указанного импульса. В этом случае велиmrny жесткости К'н ' ( см . формулу 2. 1 2) слеnует оrтpеnеля ть
ИЗ , БОлее обшей ФОРМУJlbl . ( 3 . 39) • '
4 . Взаимодействие двух источников при �алъ� ампЛИТУlI.ах , колебаний ,
Пусть на расстоянии Н от источника , 1 расположен вто-рой истоЧник , KOTOPЪ� тоже зап�лНен газом и является источником типа пульсирУющей с�рЫ. ' Среп;ниЙ рап;иус зтО го источника обозначим через Rz и полагаем, t.rro _газовая оболочка,' имеюшая .форму
у- (t, а) , пред ставлена в вице r:z(t.(lz)= Rz. rU{f, Q.z.) rтpичем/U/R�{« 1 . В сd-eрической системе коорnинат Iv" az , %. с nemPQM в точке rтeнтpa' истоЧника 1ft 2 ось ае. =0- направим так , t.rrобьт она rтpo -ходила через l1ентр, источника 1ft 1 . Тогда волновое поле ' не буцет зависеть от угла 'f';! • Обозначим через Е, поле 'давления . . исходяmее от источника � <' и наБJlЮп;аемое , в точке [f., , аг. ] пространства L � R2 • Используя �ормулу ( 3. 57 ) в качестве аналога, можем зarтисать
Ег.(Ц),'Iv, (lz., 1:z.) =Ег.(v.J, L, Qe,)e-j""r:;z. ; 'l:z.'=( Iv - Rz.)()-f -, (02 { (о/ (Q) '({) (.{l ' E2,(r..>,L, (1z)= Z'z (Lj!'z(t..J)-t-Еf{w, Н) Zl. (.i-)I1" ("") т Х, (1v)Н;. rЦ))Шr{�) +
, (2.) (2.) ) ' } .,, (0)(. ) _ .!L ' + Хг. '(1v)f1z. lc.J)ШгJаz. -t . " -, .л.-г. Iv - 1..- , )
М 4 1\'2, R; f - { Х;!. (1:') = (fJ-z. у + Ivz. ) ( lj-e + ) ', "
tr!. =/92, = /c.>�C- { " ( 4 . I )
Здесь c�aeм, чТо пос�оронней по отноmению к источнику , 2
45
ЯВЛJlется волна давления E1{t, K, y/ :t:) , . Дав.иение . Е/c.J , If) , которое кабmщanось бы в пентре ИСТОЧЮf1(а J 2, onpe.цeJIJIМ IfЗ ( 3 . 5? ) nоцс't'ав.иJlЯ туда R = f/ , а == О R имея в виду. t:rro шаровые тун -
пии об.иацаот СВОЙСТВОМ:
Тогда /0) . \ Ef (cJ , ffJ = :(.{ (I() p( {t<)/ + ,I"(w , H) .A., {C.J) ,
.J... { (и» � Z /o)r"1iJ,A1/<I}(cv) i- Z/?-Ii} #/f74.J) + z:2rfl)И/lw) + . .
( 4 . 2)
( 4 . 3)
Очевиnно , здесь po� nос't'оронней во.ины ЛI(cJ, Н} до.ижна иг -рать во.лна Ег. "
ИСХОI!,JIII!ая от источника ' 2. ЕА найцем из ( 3 .5?) , поnс't'аВЛJlЯ 't'уда L =- 11 , а == О :
. � ,1 - � ) ,v (c.J, Н) = Ez ((..J, Н) = Хг. (Н)Ii(� + c/ cc.J, If}A.iI. (С,.) ,
:t (о) (о) ({) {() (2) (2) Аг (С.,)) ::: Z (f/It1г. (Ц)) т Zz r/l)Мa (t.J) :T :tz (H)f1г. (Ц») Попс't'авляя эту mopмyпv в (4 . 3) , no�
lО) { (о) • Е! (c..J , Н) = Z / И}Р/ (t.J) + A./(4J) Хг. (Н)/?' (ц») + Е! (t.J,/f}i/.z. (ц;) .1. ��� . . �
Е( (cJ, r/) = (/ -l-{ fi.zT'lz;o}H)!} (ИJ) т -<- 1 (Ц))х!О!If)Pz (Ц;)), ..
( 4 . 4 )
( 4 . 5 )
Остается зто выражение поцставить 'в ( 4 . I ) . и мы , наконеп . попу -
чим волну павлеНИJl . l исходящ� от ис't'очкика J 2. АнаJlОГИЧНО
1/- (о) , (о) El!. (CJ, ff) -= ( ( -�/ .il.Т '- Zz (#)Рг. (Ц)) +, /l.z (4J) Zf (l()f! (w). (4.6)
Э't'О выражение JlСnOJIЬЗуем �. ( З . 5? ) · вместО ,.v(�, Н) и тем самым найдем AOJIНy давления . JlСХОЦяutyl! от ИСТОЧЮlJ(а J 1 .
Давление , наблодаемое р некоторой точке пространС�ва. имеющей координаТN [К , Q(J , О't'считываеМf>Iе от пентра ист'очника !Н , И коорnинат!" [!., , Q..z.] при О't'счете их от uентра источника J 2, бупеТ ' равно
ЕЕ = Ef (w, R, Q , t:) f- Еz (c.J , .i.-; Q.z. , t:z.) , ( 4 . ? )
ПоставленнаЯ за.цача, в ПРИНlJипе , решена, хотя реЗУJlЬтат ре-
. 46
11'Р.НИЯ I'hlРaJlfается весьма r-ЛО)l(НОР topмyJIOV�. Слецует 06ра'!'ИТh рниМ&.НИР. на '!'о , что МНОJVИ'l'ель r i -jt� lt , .J R Вh'ражР.ниях ( 4 . '") ) и ( 4 . б ) аналОгичен по СМhlСЛУ поцобном,v ' множитеJOO .13 ,�ормулах, опи
Сh'ЯaxJmих ВОлНОl'ое поле с уче'l'ОМ р'е"ер6ерю'ии 89ЛН .
При больших амПЛИ'l'у'щх изменения .рациуса газорого пуз!-'РЯ
получить реmение в ЯВНОМ Rи�е не у�ае'l'СЯ пре.де всего для �и
�рагированноР яолн� нулевого поряцка . . для яОлн перяого , второго
и '1' . 11 . поря�ков эта заl1ача несколько облегчается тем , что :"Ра
внение сил окаЗhlвается более I1pOCT!--!М : т� (t ) - � к (t ) , а mУНКIIИИ
VK (tJ могут 6,"l'!'b ОТJределен!-' или > ле�ко p\-,числеНh' по tf'ормулам ти
па ( 3 . 45 ) и ( 3 . 5 2 ) и в тех случаях , когца параметр R, преЦС'l'а-
вляет собоР ФУНКI1И'Ю в-ремени, R i .: 'Z (t ) •
Литература
1 . Бабаев Д.Х • • Гамбаров Ю . Г. , illихаЛИР.R Ю . А . , Чичинин И . С . Тео
ретическая моцель источника сейсмических АОЛН цЛИ морской
се�сморазвеТl.КИ и HeKoToph'e Рf'зультатр экспериментальн"IX ис
слецований I/Геол. и гео�из . I 980 - � . - С. 100-1 17 . 2. БалaIПканu М . И . , ЛОВЛЯ С.А. Источники возбyJl'цения упругих
волн при сейсмораз вецке на акваториих .-М . : Нецра, 1977 . -128 с . '
\
3 . / ДубрО'вский В ; А . , КалаЧНИКОА А . А . , УСТЮЖИН л . р:. о спек'I'Раль
нрх свойствах пульсирующего гаЗОЕОГО пу:l'.;':'Я I/Из р' . АН СССР.
Физика Земли. 1986 . - !fб . - С . 39-48.
4. Коул Р . ПОЦfЮ�Нhlе ВЭРЫВh1.-М . : Иност р . лит-ры, I950. - 494 с .
5 . Лаврентьев 3 . В . , Кузян О.И. ВЗРРВР Р M('tJe . -л. : Суцостроение , 1977 . - С. 20-51 .
6 . Неттрочнов Ю . П . Сейсмические исслецования р океане . - М . : Наука,
1976 . - 178 с .
7 . f'1Ifеl1КИН С . Н . Курс лекпий 11-0 теории э вука . - М . : МЗ Л-РО МГУ ,
1960. - 335 с . 8. ЧИЧИИИН И. С . Вибраттионное излучение сейсмических волн.-М . :
Неча , 1984 . - 220 с .
47
Утверждено к печати Институтом геологии н геофизики СО АН СССР
Технический редактор Н.Н. Александрова
Подписано к печати 2I . 09.88 . МН !}352I . Бумага 6Ox84/I6. Печ . л . 3 , О . Уч . -изд.л . 2 , 75 .
ТИраж 200. Заказ 350. Бесплатно .
Институт геологии и геофизики СО АН СССР Новоси6ИРСК , 90 : Ротапринт .