π≈3,14Οι ιστορικές του

ρίζεςτου Ν. Καστάνη

Ένα απρόσμενο ψηφιδωτό σε πεζόδρομο, που βρίσκεται στο Πολυτεχνείο του Βερολίνου

Τουριστική έκπληξη

Η τουριστική αυτή έκπληξη γίνεται μεγαλύτερη, όταν στον περίβολο του Αστεροσκοπείου, της ίδιας πόλης, συναντάει κανείς ένα πολύ ωραίο άγαλμα του Αρχιμήδη.

Αστεροσκοπείο του Βερολίνου

1η. Είχαν οι Αρχαίοι Έλληνες συμβολίσει με π, το λόγο της περιφέρειας του κύκλου προς τη διάμετρό του;

Απορίες:

2η. Πότε δόθηκε αυτός ο συμβολισμός;

3η. Οι Βαβυλώνιοι και οι Αρχαίοι Αιγύπτιοι, πως επέλεξαν τους δικούς τους αριθμούς για τον υπολογισμό της περιμέτρου ή της επιφάνειας του κύκλου; Που τους χρειάζονταν αυτούς τους υπολογισμούς;

4η. Οι Αρχαίοι Έλληνες, γιατί διαφοροποιήθηκαν;

5η. Αργότερα, οι Άραβες και οι επιστήμονες της Δυτικής Ευρώπης, τι συμπεριφορές είχαν στους υπολογισμούς του κύκλου;

Είχαν οι Αρχαίοι Έλληνες συμβολίσει με π, το λόγο της περιμέτρου του κύκλου προς τη

διάμετρό του;Όχι

Κι αυτό γιατί, τρεις ιστορικές ιδιαιτερότητες εμπόδιζαν κάτι τέτοιο.

1.Η γραφή στον Αρχαίο Ελληνικό Πολιτισμό γινόταν μόνο με κεφαλαία γράμματα. Δεν υπήρχαν, τότε, μικρά γράμματα.

2. Ούτε το κεφαλαίο γράμμα Π ήταν δυνατόν να χρησιμοποιηθεί, τότε, για το λόγο της περιφέρειας του κύκλου προς τη διάμετρό του, γιατί αυτό συμβόλιζε τον αριθμό 80.

Τα μικρά γράμματα ενσωματώθηκαν στην ελληνική γραφή, πολύ αργότερα, την περίοδο του Βυζαντίου, από τον 9ο αιώνα μ.Χ. και μετά.

3. Το σημαντικότερο εμπόδιο για την αποδοχή του αριθμού και του συμβόλου π, στα Αρχαία Ελληνικά Μαθηματικά, ήταν εννοιολογικού είδους.

Αριθμός είναι το πλήθος που συγκροτείται από μονάδες

Επειδή οι Αρχαίοι Έλληνες μαθηματικοί γνώριζαν, πολύ καλά, ότι η διάμετρος ενός κύκλου δεν μπορεί να μετρήσει ακέραια την περιφέρεια του, καταλάβαιναν ότι αυτή η μέτρηση δεν μπορούσε να νομιμοποιηθεί ως αριθμός.

Είναι αλήθεια ότι, πριν απ’ αυτή την αδυναμία “ακέραιης” μέτρησης, είχαν διαπιστώσει και τη μη δυνατότητα να μετρηθεί “ακέραια” η υποτείνουσα ενός ορθογωνίου τριγώνου από την πλευρά του.

Οι μη “ακέραιες” μετρήσεις προκάλεσαν, τον 5ο αιώνα π.Χ., έναν βαθύ προβληματισμό στους Αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς και φιλοσόφους. Ήταν ο προβληματισμός για τα άρρητα (ή ασύμμετρα) μεγέθη.

Το γεγονός αυτό, δημιούργησε ένα ισχυρό κίνητρο για να αναπτυχθούν τα Αρχαία Ελληνικά Μαθηματικά, πέρα από τις άμεσες πρακτικές ανάγκες.

Αυτός που αντιμετώπισε και συστηματοποίησε τα άρρητα μεγέθη, για πρώτη φορά, ήταν ο Εύδοξος, τον 4ο αιώνα π.Χ. Τη θεωρία του αυτή, την προώθησεο Ευκλείδης και την συμπεριέλαβε στα Στοιχεία του.

Πότε δόθηκε ο συμβολισμός π, για τον αριθμόπου εκφράζει το λόγο της περιφέρειας προς τη

διάμετρο του κύκλου;

William Jones (1675-1749)

Για πρώτη φορά σημειώνεται το π, ως σύμβολο του 3,14…, το 1706, στο βιβλίο του William Jones :

Αξίζει να σημειωθεί ότι 60 χρόνια πριν, ένας άλλος Εγγλέζος μαθηματικός, ο William Oughtred, χρησιμοποίησε το σύμβολο π.δ (ή δ.π) για το λόγοτης περιφέρειας προς τη διάμετρο του κύκλου.

William Oughtred (1575-1660)

Αγγλική μετάφραση τουClavis Mathematicae

Εκείνος, όμως, που καθιέρωσε το σύμβολο π για τον αριθμό 3,14…, από το 1737 και εξής, ήταν ο Ελβετός Euler.

Leonhard Euler(1707-1783)

Εισαγωγή στην Απειροστική Ανάλυση(1748)

Ερώτημα :

Στη Νεοελληνική Μαθηματική Παιδεία, πότε άρχισε

να χρησιμοποιείται και πότε καθιερώθηκε το π;

Οι Βαβυλώνιοι και οι Αρχαίοι Αιγύπτιοι πως μετρούσαν τον κύκλο;

α. Οι Βαβυλώνιοι

μια σταθεράτέτοιων υπολογισμών

Που χρειάζονταν οι βαβυλώνιοιτις μετρήσεις του κύκλου;

Διαπιστώνεται ότι οι βαβυλώνιοι για τους υπολογισμούς κύκλων δεν σκεπτόντουσαν με βάση την ακτίνα ή τη διάμετρο, αλλά έδινανέμφαση και χρησιμοποιούσαν την περιφέρεια.

β. Οι Αρχαίοι Αιγύπτιοι

Στον πάπυρο Rhind, το 50ο πρόβλημα:

Ένα κυκλικό χωράφι έχει διάμετρο 9 (μονάδες μέτρησης).

Πόσο είναι το εμβαδόν του;

Ο υπολογισμός γίνεται ως εξής:

Πρώτα βρίσκεται το ένα ένατο του 9, που είναι 1.

Αυτό αφαιρείται από το 9 και γίνεται 8.

Και υπολογίζεται το γινόμενο του 8X8.

1 8 2 16 4 32\ 8 64 /

Το 64 είναι το αποτέλεσμα.

Από τον τρόπο χειρισμού του προβλήματος, φαίνεται ότι το εμβαδόν του κύκλου δεν αντιμετωπίζονταν ως πολλαπλάσιο της διαμέτρου ή της ακτίνας του.

Και κατά συνέπεια δεν υπήρχεη αντίληψη του π.

Ο κύκλος στον Αρχαίο Ελληνικό Πολιτισμό

Στην Αστρονομία

Αστρονομικά μοντέλα

Τα νέα στοιχεία του τρόπου σκέψης στον Αρχαίο Ελληνικό Πολιτισμό,από τον 6ο αιώνα π.Χ. και μετά

• Το νόμισμα → αναλογίες, ισότητες,

• το αλφάβητο → έμμεση διαμόρφωση των σημασιών, έμμεσος συλλογισμός,

• η δημοκρατία → συλλογικότητα, αρμονική συστηματοποίηση των σχέσεων.

• τις εξιδανικευμένες κι αναμφισβήτητες συγκρίσεις και αλληλεξαρτήσεις,

• τις δικαιολογήσεις και τις αποδείξεις,• τις συνεκτικές γνώσεις, δηλ. τις θεωρίες.

Ο μαθηματικός τρόπος σκέψης αναπτύχθηκε, τότε, με βάση:

Η ενασχόληση των Αρχαίων Ελλήνων με τον κύκλο

Αναφέρεται ότι ο Θαλής, ήδη από το πρώτο μισό του 5ου αιώνα π.Χ., διατύπωσε κάποιες προτάσεις για τον κύκλο.

Επίσης, είναι γενικά γνωστές οι προσπάθειες κάποιων Σοφιστών για να τετραγωνίσουν τον κύκλο, στα τέλητου 5ου και στις αρχές του 4ου αιώνα.

**Αυτοί οι τρόποι αντιμετώπισης του κύκλου είναι πολύ διαφορετικοί από τις αντίστοιχες συμπεριφορές των Βαβυλωνίων και των Αρχαίων Αιγυπτίων.

Στα Στοιχεία του Ευκλείδη, στο 3ο και 4ο βιβλίο εξετάζονται οι ιδιότητες του κύκλου, των εγγεγραμμένων και περιγεγραμμένων σε κύκλο κανονικά πολύγωνα.

Διεισδύσεις των Αρχαίων Ελλήνων μαθηματικώνστη γεωμετρία του κύκλου

Ένα πολύ σημαντικό θεώρημα του Ευκλείδη

Η πολύ σημαντική συμβολή του Αρχιμήδη(3ος αιώνας π.Χ.)

Το π στην Αστρονομία τουΚλαύδιου Πτολεμαίου

(2ος αιώνας μ.Χ.)

Ερώτημα 1:

Η τιμή 3,141666 του Πτολεμαίου αναφέρεται σε σχέση με τις τιμές 3,1408 και 3,1428, που κυμαίνεται ο λόγος της περιφέρειας προς τη διάμετρο,σύμφωνα με τον Αρχιμήδη. Η τιμή του Πτολεμαίου δεν είναι ο μέσος όρος των τιμών του Αρχιμήδη.

Πως προκύπτει;

Ερώτημα 2:

Ο Πτολεμαίος χρησιμοποιεί την τιμή αυτή, στους υπολογισμούς που κάνει στην “Μαθηματική του Σύνταξη”;

Και αν ναι, που;

Το οδόμετρο του Ήρωνα (1ος αιώνας μ.Χ.)

Στο βιβλίο του Μετρικά, δίνεται η διαδικασία υπολογισμού της περιφέρειας, όταν είναι γνωστή η διάμετρός της.

Συγκεκριμένα παρουσιάζεται το εξής παράδειγμα:

Αν η διάμετρος του κύκλου είναι δ=14, τότε πολλαπλασιάζεται το 14 με το 22 και το αποτέλεσμα, 14x22=308, διαιρείται με το επτά, 308:7=44, που είναι η περίμετρος του κύκλου.

Με τα σημερινά δεδομένα, η υπολογιστική αυτή διαδικασία αντιστοιχεί στον τύπο:

Αξιοσημείωτη συμβολή του Ήρωνα για τα π

Επισήμανση

Στην προηγούμενη υπολογιστική τεχνική του Ήρωνα, δημιουργείται μια αντίληψη αριθμού για το λόγο της περιφέρειας του κύκλου προς τη διάμετρό του, το 22:7, [αν και συγκαλυμμένη πίσω από τον σχετικό χειρισμό] κι όχι απλά η αναφορά στο συγκεκριμένο λόγο, ως μετρική σχέση.

Το ίδιο διαφαίνεται και στον Πτολεμαίο, πίσω απότην επιλογή του:

Αυτή η υπόνοια του συγκεκριμένου αριθμού έχει τη θέση του σημερινού π.

Τι συμπεριφορές είχαν οι Άραβες και οι επιστήμονες της Δυτικής Ευρώπης στους

υπολογισμούς του κύκλου;

Αστρολάβος,όργανο Αστρονομίας

και Ναυσιπλοΐας

α. Οι Άραβες

Οι Άραβες είχαν μεταφράσει και είχαν μελετήσει το έργο τον Αρχιμήδη και ειδικότερα την πραγματεία του: “Κύκλου Μέτρησις”.

Επίσης, είχαν επηρεαστεί πολύ από την Αστρονομία του Πτολεμαίου.

Εκτός από τα Μαθηματικά των Αρχαίων Ελλήνων, δέχτηκαν μεγάλη επίδραση και από τα Μαθηματικά των Ινδών, όπως και των Κινέζων, σε κάποιο βαθμό.

Κι αυτό τους βοήθησε να συστηματοποιήσουν την Πρακτική Αριθμητική και την Πρακτική Γεωμετρία.

Έτσι ξεπέρασαν τις φιλοσοφικές αναστολές και τις αδυναμίες των Αρχαίων Ελλήνων για τους αριθμούς και τις βάσεις των αριθμητικών μεθόδων.

Στο πνεύμα αυτό, οι Άραβες μαθηματικοί χρησιμοποιούσαν για τις μετρήσεις του κύκλου τους αριθμούς, που προέρχονταν από τον Αρχιμήδη ή τον Πτολεμαίο, όπως και τουςαντίστοιχους αριθμούς των Ινδών και των Κινέζων.

Τον πιο ακριβή, μέχρι τότε, αριθμό για το π (πιο σωστά για το 2π), τον υπολόγισε ο αλ-Κασί (περ. 1380-1429 μ.Χ.), στο έργο του “Πραγματεία για την Περιφέρεια” (1424), που αντιστοιχούσε σε 16 δεκαδικά ψηφία.

β. Οι επιστήμονες στη Δυτική Ευρώπη, από τον 16ο αιώνα μ.Χ.

Νικόλαος Κοπέρνικος(1473 – 1543)

Γαλιλαίος(1564-1642)

Με τη ραγδαία ανάπτυξη της Ναυσιπλοΐας, μετά την ανακάλυψη της Αμερικής (1492),το ενδιαφέρον για την Αστρονομία και τους μαθηματικούς υπολογισμούς αποκορυφώθηκε. Την ίδια εποχή, η Πυροβολική (βλητική) είχε μια ανάλογη τάση.

Έτσι, δόθηκε μεγάλη ώθηση στις μετρήσεις γωνιών και κυκλικών τόξων, δηλ. στην Τριγωνομετρία. Κατά συνέπεια, το ενδιαφέρον για το π αναζωπυρώθηκε και αναπτύχθηκε.

Στο πλαίσιο αυτό, η βελτίωση της προσεγγιστικής τιμής του π ήταν μια πρόκληση.

Μια πρόκληση που οδήγησε στην επίπονη επέκτασητης μεθόδου του Αρχιμήδη, αλλά και στην υιοθέτησηνέων μεθόδων.

Νέες ανάγκες μαθηματικών εφαρμογών

Παράλληλα με τις νέες μαθηματικές απαιτήσεις,προέκυψε μια αντίδραση στον καθιερωμένο σχολαστικισμό της Γεωμετρίας του Ευκλείδη, στις τότε πανεπιστημιακές σπουδές.Γύρω στο 1570, ο Petrus Ramus, καθηγητής στο Βασιλικό Κολλέγιο της Γαλλίας και επιφανής Προτεστάντης, πρότεινε την προτεραιότητατων αριθμών και των υπολογισμών σε σχέσημε τη γεωμετρική θεωρητικολογία του σχολαστικισμού.

Petrus Ramus (1515 –1572)

Θεωρητικός αναπροσανατολισμός

Willebrord Snellius (1580-1626)

Επισήμανε τον εξής υπολογισμό για το π, του Ludolph van Ceulen, με 35 δεκαδικά ψηφία :

3,141592653589793238 46264338327950288

Ludolph van Ceulen (1540–1610)

Μεγαλύτερη ακρίβεια του π, με τη μέθοδο του Αρχιμήδη

1621

François Viète (1540 –1603)

Ο υπολογισμός του π με νέες μεθόδους

Δεν χρησιμοποίησε ειδικό σύμβολο.

Αναφερόταν σ’ αυτό, περιφραστικά.

Η νέα μέθοδος με τα άπειρα γινόμενα και τις άπειρες σειρές, αναπτύχθηκε από το β΄ μισό του 17ου αιώνα

John Wallis (1616-1703)

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 –1716)

Isaac Newton (1642 – 1727)

Leonhard Euler(1707-1783)

Χρησιμοποιούσε το

σύμβολο □ .Δεν χρησιμοποίησε ειδικό

σύμβολο.Αναφερόταν σ’ αυτό,

περιφραστικά.

Δεν χρησιμοποίησε ειδικό σύμβολο.

Αναφερόταν σ’ αυτό, περιφραστικά.

Μπορεί το π να γραφεί ως κλάσμα;

Δηλαδή, υπάρχουν δύο ακέραιοι α, β τέτοιοι ώστε:

Όχι

Johann Heinrich Lambert

(1728 – 1777)

Αυτό σημαίνει ότι ο π είναι άρρητος.

(1761)1768

Η αρρητότητα του π,στις Μαθηματικές Σπουδές

Μπορεί ο π να είναι λύση εξίσωσης;

Όχι

Carl Louis Ferdinand von Lindemann

(1852 –1939)

Αυτό σημαίνει ότι ο πείναι υπερβατικός αριθμός.

1882

Έτσι, μέχρι τα τέλη του 19ου αιώνα, είχαν αναπτυχθεί οι δύο μέθοδοι προσέγγισης των ψηφίων του π: αυτήτου Αρχιμήδη με τα κανονικά πολύγωνα και αυτή τωνάπειρων σειρών της Μαθηματικής Ανάλυσης.

Επίσης, με την απόδειξη της αρρητότητας και της υπερβατικότητας του ξεκαθάρισε η ιδιαιτερότητα του, η φύση του.

Και δεν είναι καθόλου τυχαίο ότι, τότε, θεμελιώθηκαν και οι πραγματικοί αριθμοί, δηλ. το σύνολο των αριθμών που περιλαμβάνουν τους ακέραιους, τα κλάσματα, τους άρρητους και τους υπερβατικούς.

Φαίνεται ότι στην αρχή του 20ου αιώνα έκλεισε ο κύκλος διερεύνησης και διείσδυσης στο π.Όλα τα μυστικά του έγιναν γνωστά.

Κι όμως, το 1949 με τη χρησιμοποίηση ενός υπολογιστή, τύπου ENIAC, υπολογίστηκαν 2000, περίπου, δεκαδικά ψηφία του π.

Αυτό σημαίνει ότι οι Ηλεκτρονικοί Υπολογιστέςαναζωπύρωσαν το ενδιαφέρον για το π.

Γεγονός, που σχετίζεται τόσο με τη νέα δυναμική της ψηφιακής τεχνολογίας, όσο και με τις νέες μαθηματικές γνώσεις και τεχνικές που αναπτύχτηκαν προσαρμοσμένες στην ψηφιακή εποχή.

Αξίζει να σημειωθεί ότι το 2009 υπολογίστηκαν στο Πανεπιστήμιο του Τόκυο, με Η/Υ τύπου T2K Open Supercomputer, δυόμιση τρισεκατομμύρια δεκαδικά ψηφία του π.

Ωραία όλα αυτά. Έχει καμιά σχέση ο π με την καθημερινή μας ζωή;

Είναι αλήθεια ότι αποκλείεται ο π να εμφανιστεί στη λαϊκή αγορά. Τα φασολάκια δεν μπορεί να πωλούνται με τιμή: π ευρώ, αν και μερικοί θα το ήθελαν πολύ.

Κάπου αλλού, όμως, χρησιμοποιείται.

Για παράδειγμα, στα κοντέρ των αυτοκινήτων.

Ευχαριστώγια την προσοχή σας

http://users.auth.gr/~nioka