ГЕНЕРАЦИЯ ВТОРОЙ ГАРМОНИКИ

Получение укороченных уравнений для ГВГ. В квадратично-нелинейной анизотропной среде в отсутствие токов проводимости (и, следовательно, свободного заряда) получаем для каждой Фурье-гармоники электрического поля световой волны уравнение

При распространении волны в направлении, отличном от главных направлений (X,Y,Z) анизотропного кристалла, все векторы в уравнении имеют различные направления (эффект двойного лучепреломления). Мы можем спроецировать все векторы на

направление поля , а перпендикулярные ему компоненты приравнять к вектору

. Такая модель вполне допустима, поскольку наличие неоднородного быстропеременного объемного связанного заряда, в отсутствие свободного заряда, связано именно эффектом двойного лучепреломления. Тогда, проецируя обе части уравнения на направление поля , получаем

(4.1)

Основное упрощение при решении этого уравнения состоит во введении двух качественно разных масштабов пространственно-временных изменений поля Е: быстропеременных изменений фазы поля (характерные параметры ) и сравнительно

медленно меняющейся амплитуды поля . (Для световых волн это

условие, как уже говорилось, выполняется вплоть до фемтосекундных импульсов). На этом предположении базируется метод медленно меняющихся амплитуд.

Дополнительные упрощения для построения модели процесса получения второй гармоники.

1) Ограничимся рассмотрением только двух частотных компонент поля ω и 2ω, пренебрегая всеми остальными гармониками. Допустимость этого пренебрежения может быть обоснована двумя обстоятельствами: во-первых, при выполнении условия фазового синхронизма для генерации второй гармоники не удается обеспечить его для других частот; во-вторых, отличные от 2ω комбинационные тона, как правило, попадают в полосы поглощения.

2) Ограничимся только двумя световыми волнами (на частотах ω и 2ω),что означает использование скалярного оое-синхронизма.

3) Ограничимся рассмотрением только стационарной задачи, в рамках которой амплитуды волн не зависят от времени.

1

В указанных предположениях световое поле представляет собой суперпозицию двух распространяющихся в одном направлении (направлении z под углом к оптической оси кристалла Z) плоских однородных ортогонально поляризованных монохроматических волн на частотах ω и 2ω и с амплитудами, зависящими только координаты z:

(4.2)

Квадратичная поляризация на частотах ω и 2ω запишем в виде

(4.3)

Из уравнения (4.1) получаем укороченные уравнения для каждой гармоники в пренебрежении вторыми производными амплитуд по переменной z:

(4.4)

Пусть - угол между оптической осью кристалла (Z) и направлением распространения волн (z) , и - коэффициент преломления необыкновенной волны второй гармоники, распространяющейся под этим углом к оси кристалла. Тогда, введя дисперсионные соотношения

(4.5)

2

и пренебрегая нелинейным поглощением, получаем из (4.4) уравнения для комплексных амплитуд

(4.6)

Здесь , - коэффициенты линейного поглощения, σ1, σ2 – коэффициенты нелинейной связи

(4.7)

Перейдем от комплексных амплитуд к действительным:

(4.8)

Разделив первое и второе уравнение (4.6) на , а второе уравнение – на , получаем

(4.9)

(4.10)

Величину (4.10) называют обобщенной фазой. Разделив действительные и мнимые части в уравнениях (4.9), приходим к системе укороченных амплитудно-фазовых уравнений

(4.11)

(4.12)

Будем решать систему при условии фазового синхронизма

Δk=0 (4.13)

( = , где - угол синхронизма оое-типа ) и в пренебрежении линейным

поглощением ( ). Заметим, что в области прозрачности потери на поглощение не превышают нескольких процентов, так что пренебрежение ими в укороченных амплитудно-фазовых уравнениях (4.11), (4.12) вполне допустимо. Однако влияние потерь на процесс генерации второй гармоники не ограничивается простым поглощением излучения обеих гармоник. Даже незначительный, обусловленный поглощением, нагрев кристалла приводит к неоднородному по поперечному профилю кристалла температурному полю, и, как следствие, к неоднородному поперечному распределению волновой расстройки, влияние которой на эффективность ГВГ чрезвычайно сильное. Учет указанного эффекта требует введение в теоретическую модель процесса ГВГ уравнений теплопроводности, которые надо решать совместно с амплитудно-фазовыми уравнениями.

3

При этом пренебрежение энергетическими потерями допустимо в укороченных уравнениях, но оно не допустимо в уравнениях теплопроводности.

Умножим первое уравнение (4.11) на величину , а второе - на и сложим полученные уравнения. В результате находим энергетический инвариант задачи

(4.14)

Используя равенство (4.14), исключим величину из амплитудно-фазовых уравнений (4.11), (4.12):

Разделив второе из полученных уравнений на первое, находим второй инвариант задачи

Выражения для первого и второго интегралов системы

(4.15)

(4.16)

Фазовый портрет ГВГ при выполнении УВС. Рассмотрим фазовую плоскость, полярными координатами которой служат амплитуда второй гармоники и обобщенная фаза , а

декартовыми координатами, соответственно и .

4

Каждая точка на этой фазовой плоскости соответствует значениям этих параметров в определенной точке нелинейной среды (точке z). По мере распространения взаимодействующих волн в нелинейной среде изображающая точка перемещается на фазовой плоскости, описывая фазовую траекторию. В зависимости от начальных условий (т.е. значений фазовых переменных на входе в среду ) мы получаем ту или иную фазовую траекторию. Все множество этих траекторий образует фазовый портрет рассматриваемого процесса.

На всех рисунках

При отсутствии второй гармоники на входе в нелинейную среду:

(4.17)

Этому режиму отвечает вертикальный диаметр окружности .Точкам пересечения

диаметра с окружностью соответствуют амплитуды . Пусть начальному условию отвечает точка B правого конца горизонтального диаметра

Тогда из интегралов(4.15), (4.16) следует : фазовая траектория является окружностью радиуса .

Стационарные решения, отвечающие условиям

(4.18)

Это пространственные стационарные нелинейные волны (волны с постоянной амплитудой). Они характерны для космической газодинамики и гемодинамики – динамики крови в сосудах. При неизменном поперечном профиле им отвечают солитоны. Стационарные точки являются точками типа центров. Фазовые траектории, отвечающие другим начальным условиям – замкнутые кривые вокруг стационарные точек. Этим траектория отвечают пространственные пульсации

5

обеих амплитуд. С удалением от неподвижной точки эти пульсации становятся все более глубокими. Движение по сепаратрисе (вертикальному диаметру ) от центра окружности отвечает рост амплитуды второй гармони от нулевого значения (на входе в среду) до максимально возможного, определяемого входной амплитудой первой гармоники. Это режим наиболее быстрого накопление эффекта ГВГ. Поскольку вся сепаратриса отвечает , то режим максимально накопления можно реализовать, обеспечивая это фазовое условие при любом значении амплитуды второй гармоники на входе. Практически это удобнее.На практике движение по сепаратрисе не реализуемо в силу его неустойчивости. Реализуются близкие режимы с глубокой пульсацией (см. рисунок):

Расчет случая отсутствия второй гармоники на входе в среду.

(4.19)

Решение (4.19) представлено на рисунке.

Эффективная перекачка мощности основной гармоники в мощность второй гармоники осуществляется при достижении коэффициентом преобразования по амплитуде значения,

отвечающего th1 =0.762, что происходит на длине среды порядка . На

практике эта длина составляет несколько сантиметров. Ее называют эффективной нелинейной длиной.

6

ГВГ применяется для создания когерентных источников на новых частотах. Нелинейный кристалл помещают либо вне, либо внутри резонатора лазера, генерирующего излучение на основной гармонике. Преимущество последнего случая в том, что внутри резонатора мы имеем более интенсивное поле основной частоты. В обоих случаях эффективность преобразования очень высокая, приближающаяся к 100%. Наиболее часто применяют ГВГ для удвоения частоты выходного излучения неодимого лазера ND:YAG- лазера (твердотельный лазер с активной средой в виде кристалла иттрий-алюминиевого граната Y3Al5O12 (yttrium aluminum garnet), в котором часть ионов Y3+ замещена ионами Nd3+ ). Таким способом из ИК-излучения лазера (λ=1,05мк) получают зеленый свет (λ=532нм). Кроме того, ГВГ используют для получения генерации перестраиваемого УФ-излучения (вплоть до λ=205нм) путем удвоения частоты перестраиваемого лазера на красителях. В обоих случаях используют как непрерывный, так и импульсный режим работы лазера. Нелинейные кристаллы, применяемые для ГВГ, как правило, принадлежат точечной группе симметрии . Тензор квадратичной поляризуемости кристаллов этой группы имеет всего три отличных от нуля элемента, равных друг другу:

. К кристаллам этой группы относятся KDP (дигидрофосфат калия), KD*P (DKDP – дидейтерофосфат калия), CDA (дигидроарсенат цезия) и некоторые другие. Для преобразования ИК-излучения СО2 или СО лазеров используют халькопиритовые полупроводники, например, CdGeAs2 (арсенид кадмия-германия), принадлежащие к той же группе симметрии. Использование нелинейного кристалла из указанной группы для рассмотренного случая двухволнового взаимодействия дает нелинейные коэффициенты связи

.

7