Ανάπτυξη προγράμματος πεπερασμένων στοιχείων

15
Ανάπτυξη προγράμματος πεπερασμένων στοιχείων Μ. Γ. ΣΑΚΕΛΛΑΡΙΟΥ Δρ. Πολιτικός Μηχανικός Επ. Καθηγητής Ε.Μ.Π. Σ. ΚΟΖΑΝΗΣ Αγρονόμος & Τοπογράφος Μηχ. Υπ. Διδάκτορας Ε.Μ.Π. Περίληψη Στην εργασία αυτή παρουσιάζεται η ανάπτυξη ενός προγράμματος πεπερασμένων στοιχείων σε ηλεκτρονικό υπολογιστή το οποίο ονομάστηκε XFem. Παρουσιάζεται αρχικά το απαραίτητο θεωρητικό υπόβαθρο, όπως θεωρία ελαστικότητας θεωρία πλαστικότητας και θεωρία πεπερασμένων στοιχείων. Ακολουθεί η παρουσίαση της ανάπτυξης του προγράμματος. Το πρόγραμμα αναπτύχθηκε βάσει των προδιαγραφών: Στοιχεία 3 διαστάσεων και απαραίτητη γραφική απεικόνιση, δυνατότητα χρήσης νόμων μη γραμμικής συμπεριφοράς. Ακολουθούν οι δυνατότητες και οι ιδιαιτερότητες του προγράμματος και τέλος παρατίθενται μερικά παραδείγματα προβλημάτων που έχουν επιλυθεί με αυτό το πρόγραμμα. 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Το 1996 στα πλαίσια διπλωματικής εργασίας [1], αναπτύχθηκε πρόγραμμα πεπερασμένων στοιχείων. Ο Τίτλος της Διπλωματικής Εργασίας ήταν : “Ανάπτυξη προγράμματος πεπερασμένων στοιχείων με εφαρμογές σε τρισδιάστατα προγράμματα μη γραμμικής συμπεριφοράς”. Το δε πρόγραμμα, ονομάστηκε XFem. Όπως φανερώνει ο τίτλος, το πρόγραμμα το οποίο αναπτύχθηκε μπορούσε να επιλύσει προβλήματα μηχανικής παραμορφωσίμων σωμάτων σε τρεις διαστάσεις. Το πρόγραμμα γράφτηκε σε γλώσσα προγραμματισμού C/C++ και αναπτύχθηκε σε περιβάλλον UNIX. Η ανάπτυξη του προγράμματος έγινε εξαρχής χωρίς να χρησιμοποιηθεί έτοιμος κώδικας από παλαιότερα προγράμματα. Οι περισσότεροι έτοιμοι κώδικες για πεπερασμένα στοιχεία είναι σε γλώσσα Fortran σε δομημένο ή μη δομημένο προγραμματισμό. Τα σύγχρονα προγράμματα είναι γραμμένα σε αντικειμενοστραφή προγραμματισμό (Object Oriented Programming), σε γλώσσες όπως η C++, γλώσσες που πλεονεκτούν πάρα πολύ έναντι των παλαιοτέρων γλωσσών δομημένου προγραμματισμού ως προς τα θέματα απλοποίησης του προγράμματος και μείωσης του όγκου του. Ορισμένα μέρη του προγράμματος είναι σε δομημένο προγραμματισμό (C) και ορισμένα σε αντικειμενοστραφή με την χρήση class (C++). Το πρόγραμμα εκτός της δυνατότητας επίλυσης των προβλημάτων, ολοκληρώνει τις δυνατότητες προετοιμασίας των δεδομένων και παρουσίασης των αποτελεσμάτων. Για τον σκοπό αυτό το πρόγραμμα χρησιμοποιεί γραφική επικοινωνία με τον χρήστη με παράθυρα, κουμπιά κλπ. Έτσι είναι εύκολη η αλληλεπίδραση του χρήστη με τα αποτελέσματα και την προετοιμασία του προβλήματος. Έπειτα το πρόγραμμα συνέχισε να αναπτύσσεται και να βελτιώνεται στα πλαίσια διδακτορικής διατριβής που εκπονείται πάνω σε θέματα υπολογιστικής μηχανικής. Αυτή τη στιγμή το πρόγραμμα έχει βελτιωθεί πάρα πολύ και είναι σε θέση να αντιμετωπίσει πολλά πρακτικά προβλήματα της μηχανικής των παραμορφωσίμων, όπως γεωτεχνικές εφαρμογές, αλλά και προβλήματα ερευνητικού επιπέδου, όπως προσομοίωση πειραμάτων κ.α. ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΙ x,y,z Συντεταγμένες τρισορθογωνίου συστήματος ξ,η,ζ Φυσικές συντεταγμένες u,v,w Μετατοπίσεις κατά τους άξονες x,y,z u Διάνυσμα μετατοπίσεων όλων των βαθμών ελευθ. ε Ανηγμένες παραμορφώσεις σ,γ Τάσεις ορθές, διατμητικές G i Δύναμη ανά μονάδ. επιφ. στο σύνορο v Κλίση στο σύνορο P i Φορτία δ i Δυνατές μετατοπίσεις dV Διαφορικό ολοκλήρωσης στον όγκο F διάνυσμα δυνάμεων [D] Μητρώο ιδιοτήτων υλικών E Μέτρο Ελαστικότητας ν Λόγος Poison [B] Μητρώο παραγώγων συναρτήσεων μορφής [J] Ιακωβιανή [Κ] Μητρώο δυσκαμψίας [Ke] Μητρώο δυσκαμψίας ενός στοιχείου H i Συντελεστές αριθμ. ολοκλήρωσης Gauss Δ Τελεστής που δηλώνει διαφορά f Διάνυσμα ελλειμματικού φορτίου R Διάνυσμα ελλειμμάτων ισορροπίας Τview Πίνακας μετασχηματισμού συστ. απεικόνισης c Σταθερά μεγεύθυνσης x v ,y v ,z v Συντεταγμένες στην οθόνη του υπολογιστή x w ,y w ,z w Καθολικές συντεταγμένες [Dep] Ελαστοπλασικό μητρώο [D] [Dp] Διαφορά [D], [Dep] J 2 Δεύτερη αναλλοίωτη του αποκλίνοντα τανυστή τάσεων I 1 Πρώτη αναλλοίωτη του τανυστή τάσεων θ Γωνία του Lode φ,c Γωνία τριβής, συνοχή

Upload: atsis-papadopoulos

Post on 27-Jul-2015

344 views

Category:

Documents


4 download

TRANSCRIPT

Page 1: Ανάπτυξη προγράμματος πεπερασμένων στοιχείων

Ανάπτυξη προγράμματος πεπερασμένων στοιχείων

Μ. Γ. ΣΑΚΕΛΛΑΡΙΟΥΔρ. Πολιτικός ΜηχανικόςΕπ. Καθηγητής Ε.Μ.Π.

Σ. ΚΟΖΑΝΗΣΑγρονόμος & Τοπογράφος Μηχ.

Υπ. Διδάκτορας Ε.Μ.Π.

ΠερίληψηΣτην εργασία αυτή παρουσιάζεται η ανάπτυξη ενός προγράμματοςπεπερασμένων στοιχείων σε ηλεκτρονικό υπολογιστή το οποίοονομάστηκε XFem. Παρουσιάζεται αρχικά το απαραίτητοθεωρητικό υπόβαθρο, όπως θεωρία ελαστικότητας – θεωρίαπλαστικότητας και θεωρία πεπερασμένων στοιχείων. Ακολουθεί ηπαρουσίαση της ανάπτυξης του προγράμματος. Το πρόγραμμααναπτύχθηκε βάσει των προδιαγραφών: Στοιχεία 3 διαστάσεων καιαπαραίτητη γραφική απεικόνιση, δυνατότητα χρήσης νόμων μηγραμμικής συμπεριφοράς. Ακολουθούν οι δυνατότητες και οιιδιαιτερότητες του προγράμματος και τέλος παρατίθενται μερικάπαραδείγματα προβλημάτων που έχουν επιλυθεί με αυτό τοπρόγραμμα.

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗΤο 1996 στα πλαίσια διπλωματικής εργασίας [1],

αναπτύχθηκε πρόγραμμα πεπερασμένων στοιχείων. ΟΤίτλος της Διπλωματικής Εργασίας ήταν : “Ανάπτυξηπρογράμματος πεπερασμένων στοιχείων με εφαρμογές σετρισδιάστατα προγράμματα μη γραμμικής συμπεριφοράς”.Το δε πρόγραμμα, ονομάστηκε XFem. Όπως φανερώνει οτίτλος, το πρόγραμμα το οποίο αναπτύχθηκε μπορούσε ναεπιλύσει προβλήματα μηχανικής παραμορφωσίμωνσωμάτων σε τρεις διαστάσεις. Το πρόγραμμα γράφτηκε σεγλώσσα προγραμματισμού C/C++ και αναπτύχθηκε σεπεριβάλλον UNIX.Η ανάπτυξη του προγράμματος έγινε εξ’αρχής χωρίς να

χρησιμοποιηθεί έτοιμος κώδικας από παλαιότεραπρογράμματα. Οι περισσότεροι έτοιμοι κώδικες γιαπεπερασμένα στοιχεία είναι σε γλώσσα Fortran σεδομημένο ή μη δομημένο προγραμματισμό. Τα σύγχροναπρογράμματα είναι γραμμένα σε αντικειμενοστραφήπρογραμματισμό (Object Oriented Programming), σεγλώσσες όπως η C++, γλώσσες που πλεονεκτούν πάραπολύ έναντι των παλαιοτέρων γλωσσών δομημένουπρογραμματισμού ως προς τα θέματα απλοποίησης τουπρογράμματος και μείωσης του όγκου του. Ορισμένα μέρητου προγράμματος είναι σε δομημένο προγραμματισμό (C)και ορισμένα σε αντικειμενοστραφή με την χρήση class(C++).Το πρόγραμμα εκτός της δυνατότητας επίλυσης των

προβλημάτων, ολοκληρώνει τις δυνατότητες προετοιμασίαςτων δεδομένων και παρουσίασης των αποτελεσμάτων. Γιατον σκοπό αυτό το πρόγραμμα χρησιμοποιεί γραφικήεπικοινωνία με τον χρήστη με παράθυρα, κουμπιά κλπ.

Έτσι είναι εύκολη η αλληλεπίδραση του χρήστη με τααποτελέσματα και την προετοιμασία του προβλήματος.Έπειτα το πρόγραμμα συνέχισε να αναπτύσσεται και να

βελτιώνεται στα πλαίσια διδακτορικής διατριβής πουεκπονείται πάνω σε θέματα υπολογιστικής μηχανικής. Αυτήτη στιγμή το πρόγραμμα έχει βελτιωθεί πάρα πολύ και είναισε θέση να αντιμετωπίσει πολλά πρακτικά προβλήματα τηςμηχανικής των παραμορφωσίμων, όπως γεωτεχνικέςεφαρμογές, αλλά και προβλήματα ερευνητικού επιπέδου,όπως προσομοίωση πειραμάτων κ.α.

ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΙx,y,z Συντεταγμένες τρισορθογωνίου συστήματοςξ,η,ζ Φυσικές συντεταγμένεςu,v,w Μετατοπίσεις κατά τους άξονες x,y,zu Διάνυσμα μετατοπίσεων όλων των βαθμών ελευθ.ε Ανηγμένες παραμορφώσειςσ,γ Τάσεις ορθές, διατμητικέςGi Δύναμη ανά μονάδ. επιφ. στο σύνοροv Κλίση στο σύνοροPi Φορτίαδi Δυνατές μετατοπίσειςdV Διαφορικό ολοκλήρωσης στον όγκοF διάνυσμα δυνάμεων[D] Μητρώο ιδιοτήτων υλικώνE Μέτρο Ελαστικότηταςν Λόγος Poison[B] Μητρώο παραγώγων συναρτήσεων μορφής[J] Ιακωβιανή[Κ] Μητρώο δυσκαμψίας[Ke] Μητρώο δυσκαμψίας ενός στοιχείουHi Συντελεστές αριθμ. ολοκλήρωσης GaussΔ Τελεστής που δηλώνει διαφοράf Διάνυσμα ελλειμματικού φορτίου R Διάνυσμα ελλειμμάτων ισορροπίαςΤview Πίνακας μετασχηματισμού συστ. απεικόνισηςc Σταθερά μεγεύθυνσηςxv,yv,zv Συντεταγμένες στην οθόνη του υπολογιστήxw,yw,zw Καθολικές συντεταγμένες[Dep] Ελαστοπλασικό μητρώο [D][Dp] Διαφορά [D], [Dep]J’

2 Δεύτερη αναλλοίωτη του αποκλίνοντα τανυστήτάσεωνI1 Πρώτη αναλλοίωτη του τανυστή τάσεωνθ Γωνία του Lodeφ,c Γωνία τριβής, συνοχή

Page 2: Ανάπτυξη προγράμματος πεπερασμένων στοιχείων

2

α,k’ Παράμετροι κριτηρίου αστοχίας Drucker-Pragerm,s Παράμετροι κριτηρίου αστοχίας Hoek-BrownσC,σT Αντοχή σε θλίψη, εφελκυσμό

2. ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ, ΒΑΣΙΚΕΣΑΡΧΕΣ

2.1. ΙστορικάΤα πεπερασμένα στοιχεία είναι μια από τις αριθμητικές

μεθόδους που χρησιμοποιεί η υπολογιστική μηχανική γιανα προσομοιώσει τα φυσικά προβλήματα. Ως μέθοδος είναιαρκετά παλιά, αναπτύχθηκε στην δεκαετία του 501-2. Σταχρόνια που ακολούθησαν μέχρι και σήμερα η μέθοδοςεξελίχθηκε πάρα πολύ παράλληλα με την εξέλιξη τωνηλεκτρονικών υπολογιστών. Η μέθοδος από την φύση τηςείναι πολύ δαπανηρή σε πόρους ηλεκτρονικού υπολογιστή.Όταν πρωτοπαρουσιάστηκε, οι υπολογιστές της εποχήςεκείνης (υπερυπολογιστές μάλιστα) είχαν πολύ μικρέςδυνατότητες (μνήμες της τάξης των 16-32 Kb, μικρές τιμέςMFLOP-αριθμού πράξεων πραγματικών αριθμών ανάδευτερόλεπτο). Οι σημερινοί (προσωπικοί) υπολογιστέςπου τρέχουν προγράμματα Π.Σ. έχουν πολλαπλάσιεςδυνατότητες από τους υπολογιστές εκείνης της εποχής(μνήμες της τάξης των 128 Mb, 200 MFLOP και πλέον).Η εξέλιξη αυτή στους υπολογιστές δεν άλλαξε μόνο το

μέγεθος των προβλημάτων που μπορούν να επιλυθούν,αλλά και τις μεθοδολογίες που ακολουθούνται και το εύροςκαι την πολυπλοκότητα των προβλημάτων που μπορούν ναεπιλυθούν. Για παράδειγμα, ένας υπολογιστής τηςδεκαετίας του 70 μπορούσε να λύσει προβλήματα της τάξηςτων 90-120 κόμβων με 30-40 στοιχεία. Ένας σύγχρονοςυπολογιστής μπορεί να λύσει εύκολα προβλήματα τηςτάξης των 50-60x103 κόμβων με 8-10x103 στοιχεία. Όμως,όπως αναφέραμε υπάρχουν πιο ριζικές αλλαγές:Ενώ παλιότερα τα προβλήματα λύνονταν στις 2

διαστάσεις κάνοντας απλοποιητικές παραδοχές, τώραμπορούμε να επιλύσουμε κατευθείαν τα προβλήματα όπωςείναι στην φύση (στις 3 διαστάσεις). Ακόμα μπορούμε ναχρησιμοποιήσουμε πιο πολύπλοκα μοντέλα για τηνπεριγραφή των υλικών: Ενώ αρχικά η μέθοδος επίλυεπροβλήματα θεωρώντας τα υλικά με γραμμικήσυμπεριφορά (ελαστική), τώρα μπορούν ναχρησιμοποιηθούν πολύ πιο σύνθετα μοντέλα όπωςπλαστικότητα, ρεολογία, κ.α. Όλα αυτά είναι δυνατόν ναεφαρμοστούν επειδή έχουμε πια την απαραίτητηυπολογιστική ισχύ. Ενώ η γνώση για να επιλυθούν αυτά ταπροβλήματα υπήρχε και παλαιότερα, ήταν αδύνατη ηεφαρμογή της.

1 Argyris, J.H. and Kelsey, S. (1960) “Energy Theoremsand Structural Analysis”, Plenum Press

2 Clough R.W. (1960), “The Finite Element Method inPlane Stress Analysis”, Proc. 2nd Conf. Electronic Computation,ASCE, Pittsburg, Pa., Sept. 8-9, 1960

2.2. Περιγραφή της μεθόδουΗ μέθοδος πεπερασμένων στοιχείων είναι μια μέθοδος

της αριθμητικής ανάλυσης η οποία αποτελεί φυσικήπροσέγγιση του προβλήματος με την διαμέριση τουφυσικού χώρου σε επιμέρους διακριτά πεπερασμέναστοιχεία, στα οποία ορίζονται οι εξισώσεις που έχουνακριβή λύση. Επειδή δε τα προβλήματα της μηχανικής τωνπαραμορφωσίμων (όπως και όλα τα φυσικά προβλήματατου συνεχούς μέσου) περιγράφονται με διαφορικέςεξισώσεις με μερικές παραγώγους, μπορούμε να ταεπιλύσουμε με την βοήθεια των πεπερασμένων στοιχείων.Οι διαφορικές εξισώσεις για τα προβλήματα της μηχανικής[10] [12] των παραμορφωσίμων προκύπτουν από διάφορεςάλλες εξισώσεις όπως οι σχέσεις μετατοπίσεων -ανηγμένων παραμορφώσεων (2.1),(2.2), οι εξισώσειςσυμβιβαστού των παραμορφώσεων (2.3) καθώς και από τιςεξισώσεις ισορροπίας στο χώρο (2.4). Όπως κάθεπρόβλημα που εκφράζεται με διαφορικές εξισώσεις έτσι καιεδώ υπάρχουν και συνοριακές συνθήκες, όπως φυσικέςσυνοριακές συνθήκες (φορτίσεις κλπ) και βασικέςσυνοριακές συνθήκες ή συνθήκες Dirichlet (2.5) καιNeumann (2.6) (δεσμεύσεις, στηρίξεις κλπ). Παραθέτουμεορισμένες βασικές διαφορικές σχέσεις:Σύνδεση ανηγμένων παραμορφώσεων – μετατοπίσεων:

zw

yv

xu

zyx ∂∂=

∂∂=

∂∂= εεε ,, (2.1)

και

zu

xw

yw

zv

xv

yu

zxyzxy ∂∂+

∂∂=

∂∂+

∂∂=

∂∂+

∂∂= γγγ ,, (2.2)

Εξισώσεις συμβιβαστού των παραμορφώσεων:

jiijijji

∂∂∂

=∂

∂+

∂∂ γεε 2

2

2

2

2 (2.3)

όπου τα i, j είναι x,y ή y,z ή z,x

Εξισώσεις ισορροπίας:

0=+∂

∂+∂

∂+

∂∂

iiziyix F

zyxσσσ (2.4)

όπου i = x,y,z.. Οι Fi είναι οι μαζικές δυνάμεις.

Συνοριακές συνθήκες:ijij Gv =σ (2.5)

όπου v είναι η κλίση στο σύνορο και Gi η δύναμη ανάμονάδα επιφάνειας στο σύνορο. Ακόμα:

ui=FI (2.6) που σημαίνει ότι το διάνυσμα μετατοπίσεων είναι

ορισμένο σε περιοχές του σώματος.Για να επιτύχουμε την αριθμητική λύση του

προβλήματος χρησιμοποιούμε την αρχή των δυνατώνέργων [3] [7]. Αν σij και εij είναι αντίστοιχα οι τανυστές τωντάσεων και των αν. παραμορφώσεων ενώ Pi και δi είναι ταφορτία και οι δυνατές μετακινήσεις, πρέπει το έργο που

Page 3: Ανάπτυξη προγράμματος πεπερασμένων στοιχείων

3

προκαλείται από τα φορτία να ισούται με το δυνατό έργοτων παραμορφώσεων δηλαδή:

dVP ijV

ijii εσδ ∫∑ = (2.7)

Για να καταστρωθεί το πρόβλημα των πεπερασμένωνστοιχείων, πρέπει το πεδίο του προβλήματος, το οποίοκαταλαμβάνει συνήθως κάποιο πεπερασμένο όγκο στονχώρο, να χωριστεί σε πεπερασμένο αριθμό στοιχείωναπλούστερου σχήματος. Κάθε πεπερασμένο στοιχείοαποτελείται από κάποιον αριθμό κόμβων (όπως 8 κόμβοιγια ένα απλό κυβικό στοιχείο) όπου κάθε κόμβος έχεικάποιους βαθμούς ελευθερίας (3 μετακινήσεις x,y,z γιαπροβλήματα της μηχανικής των παρμορφωσίμων). Έτσι τοπρόβλημα ανάγεται στο να δοθούν τιμές σε αυτούς τουςβαθμούς ελευθερίας. Τα διάφορα στοιχείασυναρμολογούνται σε κάποιους κοινούς βαθμούςελευθερίας (ή κόμβους). Έτσι σε ένα κόμβο μπορούν νασυνδέονται 2,3 ή και περισσότερα στοιχεία. To πρόβλημαμπορεί να διατυπωθεί ως [3] [5] [7]:

[K].u=F (2.8)

Όπου u διάνυσμα διάστασης n ίσης με τους βαθμούςελευθερίας του προβλήματος, όπου κάποιες από αυτές είναιδεσμευμένες (ui=δέσμευση) και αποτελούν τις συνοριακέςσυνθήκες Dirichlet. Το F είναι διάνυσμα διάστασης n καιπεριέχει τις συνοριακές συνθήκες των φορτίσεων δηλαδή οιδυνάμεις στους κόμβους, οι πιέσεις πάνω στις πλευρές τωνστοιχείων καθώς και οι μαζικές δυνάμεις (όπως το ίδιοβάρος). Ο πίνακας [K] έχει διαστάσεις nxn και ονομάζεταιπίνακας δυσκαμψίας. Στον πίνακα αυτόν περιέχεται ηγεωμετρία του προβλήματος καθώς και οι φυσικές ιδιότητεςτων υλικών. Ονομάζεται δε πίνακας δυσκαμψίας διότιδείχνει την δυσκαμψία του συστήματος να αντιδράσει σεκάποια επιβολή εξωτερικής φόρτισης ή αλλιώς δείχνει τηναπόκριση του συστήματος στα εξωτερικά αίτια.Για να γίνει η επίλυση του προβλήματος επιλύεται το

σύστημα εξισώσεων [K].u=F και έτσι παίρνουμε τις τιμέςγια τα u. Έπειτα με κατάλληλες αναγωγές μπορούμε από ταu να βγάλουμε και άλλα παράγωγα μεγέθη όπως οι τάσεις.Στο Σχήμα 1 φαίνεται σχηματοποιημένα η κατάστρωση

ενός προβλήματος με πεπερασμένα στοιχεία. Μπορούμε ναδούμε το πεδίο του προβλήματος, την κατάτμηση σεπεπερασμένα στοιχεία που συναρμολογούνται σε κόμβους,τις συνοριακές συνθήκες (φορτίσεις/δεσμεύσεις) καθώς καιένα απομονωμένο στοιχείο με τους τοπικούς καικαθολικούς βαθμούς ελευθερίας.

Σχήμα 1. Διαμέριση ενός φυσικού προβλήματος σε πεπερασμέναστοιχεία και διακριτές στηρίξεις/φορτία

2.2.1. Σχηματισμός του πίνακα δυσκαμψίαςΓια να σχηματιστεί ο πίνακας [K] γίνεται μια

συναρμολόγηση πολλών επιμέρους πινάκων [Ki] κάθεστοιχείου. Για να σχηματιστούν οι επιμέρους πίνακες [K]χρησιμοποιείται αριθμητική ολοκλήρωση με την μέθοδοτων σημείων Gauss. Για να είναι εύκολοι οι υπολογισμοίγια την κατάστρωση των εξισώσεων χρησιμοποιούμεπολυώνυμα (πολυώνυμα μορφής - shape functions), ταοποία είναι εύκολα ολοκληρώσιμα/ παραγωγήσιμα.Ανάλογα με τον βαθμό των πολυωνύμων, λαμβάνουμε καιανάλογη τάξη στα στοιχεία. Έτσι χρησιμοποιώντας απλάπολυώνυμα πρώτου βαθμού, στα στερεά προκύπτουνκυβικά στοιχεία 8 κόμβων. Αν χρησιμοποιήσουμε για ναπεριγράψουμε το πεδίο του στοιχείου πολυώνυμα β’βαθμού, τότε προκύπτουν στοιχεία ανώτερης τάξης όπωςκυβικά στοιχεία 20 κόμβων. Όσο μεγαλύτερης τάξης είναιτα στοιχεία, τόσο καλύτερη ακρίβεια έχουμε στην επίλυση,ακρίβεια που μπορούμε να αυξήσουμε και με την καλύτερηπύκνωση του προβλήματος με πεπερασμένα στοιχεία.Τα πολυώνυμα μορφής είναι εκφρασμένα σε ένα τοπικό

σύστημα αξόνων (ξ,η,ζ) το οποίο έχει κέντρο στοεσωτερικό του στοιχείου. Οι τιμές των συντεταγμένων στοτοπικό σύστημα κυμαίνονται μεταξύ -1 και 1. Αυτά ταπολυώνυμα μορφής παραγωγίζονται εύκολα ως προς ξ,η,ζσχηματίζοντας τα μητρώα [Bi] με τις παραγώγους τους.

Σχήμα 2. Σημεία ολοκλήρωσης Gauss σε ένα επίπεδο στοιχείο

Στο Σχήμα 2 βλέπουμε τα σημεία ολοκλήρωσης Gaussγια ένα δισδιάστατο στοιχείο [5]. Στην περίπτωση τωντριών διαστάσεων έχουμε 3 τέτοια διατεταγμένα επίπεδα.Την ακρίβεια ολοκλήρωσης με την μέθοδο Gauss

μπορούμε να την αυξήσουμε αυξάνοντας τον αριθμό τωνσημείων ολοκλήρωσης. Για προβλήματα τριών διαστάσεωνένας ικανοποιητικός αριθμός σημείων είναι 27διατάσσοντας τα σημεία σε 3 στήλες, 3 γραμμές σε 3επίπεδα ώστε τα σημεία να ισαπέχουν στις 3 κάθετεςδιευθύνσεις κατά √3/5.Ο τελικός τύπος για τον σχηματισμό του μητρώου

δυσκαμψίας ενός στοιχείου [Ke] είναι:

∫=V

Te dVBDBK ]][[][ (2.9)

Με τη βοήθεια της αριθμητικής ολοκλήρωσης ο τύποςγράφεται με τη μορφή αθροίσματος διακριτών όρων:

Page 4: Ανάπτυξη προγράμματος πεπερασμένων στοιχείων

4

),,()],,(][[)],,([1

iiiiiiT

iii

n

iie JBDBHK ζηξζηξζηξ∑

==

(2.10)

Οι Hi είναι οι συντελεστές της ολοκλήρωσης Gauss σεn διακριτά σημεία με συντεταγμένες ),,( iii ζηξ , ενώ η Jείναι η Ιακωβιανή μετασχηματισμού από το καθολικόσύστημα συντεταγμένων X,Y,Z στο ξ,η,ζ. Το [D] είναι έναμητρώο που υπολογίζεται από τις ελαστικές σταθερές E,ν.

2.2.2. Επίλυση του συστήματοςΜετά την επίλυση του συστήματος εξισώσεων [K].u=F

προκύπτουν οι τιμές των u, που στην περίπτωση τηςανάλυσης μας είναι μετατοπίσεις στους βαθμούς ελευθερίας(μετατοπίσεις x,y,z στους κόμβους). Χρήσιμα μεγέθη μετάτην επίλυση δεν είναι μόνο οι μετατοπίσεις αλλά και οιτάσεις και διάφορα άλλα παράγωγα μεγέθη. Για τον σκοπόαυτό μπορούμε με αριθμητικές παραγωγίσεις του πεδίουτων μετατοπίσεων, να υπολογίσουμε τις ανηγμένεςπαραμορφώσεις καθώς και τις τάσεις στο πεδίο τουπροβλήματος. Ενώ η κατανομή του πεδίου τωνμετατοπίσεων είναι συνεχής, τα παράγωγα μεγέθη μπορείνα μην έχουν συνέχεια, ανάλογα με την τάξη τωνστοιχείων. Αν τα πολυώνυμα που περιγράφουν τα στοιχείαείναι α’ βαθμού, τότε οι παράγωγοι είναι σταθεροί αριθμοίκαι η κατανομή των παραγώγων μεγεθών (π.χ. τάση) γιακάποιο στοιχείο είναι σταθερή. Έτσι βλέπουμε ότι με τηναύξηση της τάξης μεγέθους των στοιχείων, βελτιώνεται ηακρίβεια των αποτελεσμάτων.

2.3. Βασικές αρχές για την μη-γραμμική συμπεριφοράΌσα αναφέρθηκαν για την επίλυση με την μέθοδο

ισχύουν για γραμμικά προβλήματα (όπως σε προβλήματαελαστικότητας/μικρών παραμορφώσεων) όπου γίνεται μιααπλή επίλυση της εξίσωσης [K].u=F, εφόσον ο [K] είναιγραμμικός τελεστής και κάθε αύξηση της F συνεπάγεταιμια γραμμική/ανάλογη αύξηση της u. Σε μη-γραμμικάπροβλήματα όπου δεν υπάρχει αυτή η γραμμική σχέση,εφαρμόζουμε βηματική επίλυση/ανακυκλώσεις. Σε ένα μη-γραμμικό πρόβλημα η σχέση [K].u=F μετασχηματίζεται σε[K].du=dF όπου το [K] πια δεν είναι γραμμικός τελεστήςαλλά είναι μεταβλητός (μη-γραμμικός) τελεστής πουεξαρτάται από την ιστορία του προβλήματος (π.χ.φορτίσεις-αποφορτίσεις κλπ). Πρακτικά χρησιμοποιείται ησχέση [K].Δu=ΔF διότι χωρίζουμε το πρόβλημά μας σεπεπερασμένα βήματα και όχι σε απειροστά (π.χ. βηματικήαύξηση των φορτίων). Όσο περισσότερα είναι τα βήματαστα οποία υποδιαιρούμε το πρόβλημα τόσο καλύτερηακρίβεια παίρνουμε στα αποτελέσματα, όμως τα βήματαπου απαιτούνται για καλή ακρίβεια είναι τόσο πολλά που οιυπολογισμοί γίνονται ασύμφοροι. Αυτή είναι η μέθοδος τηςαπευθείας ολοκλήρωσης, όμως υπάρχουν και άλλεςμέθοδοι που μπορούν να δώσουν καλύτερη ακρίβεια μελιγότερους υπολογισμούς.Έτσι κάνοντας ένα βήμα με κάποια αύξηση ΔF,

υπολογίζουμε το Δu από τη σχέση [K].Δu=ΔF. Επειδή ησχέση (Δu, ΔF) όπως αναφέραμε δεν είναι γραμμική, το Δuπου υπολογίζουμε έχει σφάλμα. Έτσι αν

πολλαπλασιάσουμε τον τελεστή [K] με το Δu δενλαμβάνουμε το αρχικό ΔF αλλά ένα Δf, ώστε υπάρχει έναέλλειμμα ισορροπίας R=ΔF-Δf. Αυτή τη φορά επιλύουμε τοπρόβλημα με φορτίο εισόδου το R. Μετά την επίλυσηυπολογίζουμε ένα νέο R το οποίο το ξαναχρησιμοποιούμεως νέο φορτίο κλπ ώσπου το R να γίνει αρκετά μικρό(σύγκλιση). Την διαδικασία αυτή μπορούμε να τη δούμεστο Σχήμα 3 και ονομάζεται σύγκλιση Newton-Raphson [6][13] .Υπάρχουν και τροποποιημένες μέθοδοι Newton-

Raphson οι οποίες δεν υπολογίζουν κάθε φορά ένα νέο [K]αλλά χρησιμοποιούν το αρχικό (βλ. Σχήμα 4). Έτσι γίνεταιοικονομία υπολογισμών εφόσον ο υπολογισμός και ηαντιστροφή του [K] είναι πολύ χρονοβόρες διαδικασίες,αλλά χρειάζονται πολύ περισσότερες ανακυκλώσεις.

Σχήμα 3. Σύγκλιση με την μέθοδο Newton - Raphson

Σχήμα 4. Τροποποιημένη Newton – Raphson με σταθερή κλίση

Μη-γραμμική συμπεριφορά έχουμε σε διάφορεςπεριπτώσεις. Ειδική περίπτωση μη-γραμμικήςσυμπεριφοράς είναι τα προβλήματα που έχουν μεγάλεςπαραμορφώσεις ώστε η μεταβαλλόμενη γεωμετρία ναεπηρεάζει το πρόβλημα καθώς εξελίσσεται η φόρτιση. Οπιο συνηθισμένος τύπος μη γραμμικής συμπεριφοράς είναιη πλαστικότητα, όπου έχουμε μη-γραμμική εξάρτησητάσεων - παραμορφώσεων στο υλικό του προβλήματος σεαντίθεση με τα προβλήματα ελαστικότητας όπου θεωρείταιγραμμική σχέση μεταξύ τάσεων και παραμορφώσεων(νόμος του Hook). Σε όλες τις περιπτώσεις μη-γραμμικήςσυμπεριφοράς όπως αναφέραμε το [K] μεταβάλλεταιανάλογα με την κατάσταση του υλικού και τιςπαραμορφώσεις που έχουν εκδηλωθεί.

Page 5: Ανάπτυξη προγράμματος πεπερασμένων στοιχείων

5

2.4. Βασικές αρχές της πλαστικότηταςΗ πλαστική ανάλυση σε μια διάσταση εκφράζεται από

απλά διαγράμματα τάσεων παραμορφώσεων όπως αυτά στοΣχήμα 5.

Σχήμα 5. Καμπύλες τάσεων – αν. παραμορφώσεων διαφόρωντύπων χάλυβα

Παρατηρούμε ότι από κάποιο σημείο και πέρα, όσο καιαν αυξάνει η παραμόρφωση η τάση παραμένει περίπουσταθερή. Στη δε περίπτωση αποφόρτισης ένα μέρος τηςπαραμόρφωσης αποδίδεται ελαστικά και ένα μέροςπαραμένει ως μόνιμη παραμόρφωση.Στην περίπτωση της ανάλυσης στις τρεις διαστάσεις η

πλαστικότητα εκφράζεται από πιο σύνθετους νόμους. Οινόμοι που ισχύουν στην πλαστικότητα ονομάζονται “νόμοιροής” (flow rules) και γενικεύουν τον νόμο του Hook τηςελαστικότητας. Στις τρεις διαστάσεις, η πλαστικήσυμπεριφορά χωρίζεται από την ελαστική με μία επιφάνειααστοχίας. Η επιφάνεια αστοχίας μπορεί να σχεδιαστεί σεένα χώρο αξόνων σ1,σ2,σ3. Αν το παραστατικό σημείο τωντάσεων περιέχεται μέσα στην επιφάνεια έχουμε ελαστικήσυμπεριφορά, αν δε το σημείο είναι πάνω στην επιφάνειααστοχίας, έχουμε πλαστική συμπεριφορά. Η επιφάνειαμπορεί να είναι σταθερή (υλικό ελαστικό-τελείωςπλαστικό), ή μπορεί να μεταβάλλεται (μεγαλώνει εν γένει)με την ιστορία των πλαστικών παραμορφώσεων (υλικόελαστικό – πλαστικό-κρατυνόμενο). Ανάλογα με τοκριτήριο αστοχίας η επιφάνεια έχει και διαφορετικό σχήμα,έτσι πχ. το κριτήριο του Von Mises περιγράφεται από ένακύλινδρο στο χώρο σ1,σ2,σ3, ο δε άξονας του κυλίνδρουσχηματίζει γωνίες 45ο με τους άξονες και η ακτίνα τουεξαρτάται από την αντοχή του υλικού. Στο Σχήμα 6βλέπουμε την επιφάνεια αστοχίας για το κριτήριο Mohr-Coulomb.

Σχήμα 6. Επιφάνεια αστοχίας του κριτηρίου Mohr – Coulomb στονχώρο των σ1, σ2, σ3

Η επιφάνεια αστοχίας δεν καθορίζει μόνο το σύνορομεταξύ ελαστικής και πλαστικής συμπεριφοράς, αλλάκαθορίζει και τον τρόπο που παραμορφώνεται το υλικό[10]. Αυτό γίνεται με τον νόμο ροής ο οποίος με τηνβοήθεια της επιφάνειας αστοχίας, δίνει τις ανηγμένεςπαραμορφώσεις της πλαστικότητας. Εν γένει ισχύει ο νόμοςτης καθετότητας (το διάνυσμα της διεύθυνσης τωνπλαστικών αν. παραμορφώσεων, είναι κάθετο στηνεπιφάνεια αστοχίας, στο σημείο των αντίστοιχων τάσεων).Ο νόμος της καθετότητας, μας δίνει μηδενική μεταβολή

όγκου στην πλαστικότητα σε κριτήρια όπως του Von Mises,ή και μεταβολή όγκου (dilatancy) σε κριτήρια όπως τωνMohr-Coulomb. Αν αυτή η μεταβολή όγκου δεν έχειφυσικό νόημα (αυτό εξαρτάται από το υλικό) τότεμπορούμε να τροποποιήσουμε τον νόμο της καθετότητας,ώστε το διάνυσμα των παραμορφώσεων να μην είναικάθετο στην επιφάνεια αλλά να έχει μια γωνία ανάλογα μετον επιθυμητό συντελεστή διόγκωσης.Η άμμος για παράδειγμα έχει ως παραμέτρους αντοχής

γωνία εσ. τριβής φ=30ο και συνοχή c=0. Αυτό μεταφράζεταισε ανάλογη γωνία στον κώνο του κριτηρίου αστοχίας, καιαν εφαρμοστεί ο νόμος της καθετότητας, θα είχαμεαφύσικα μεγάλες τιμές στην διόγκωση της άμμου κατά τηνπλαστική συμπεριφορά. Γι’ αυτό κάνουμε τις κατάλληλεςτροποποιήσεις στο νόμο ώστε η διόγκωση να παίρνειρεαλιστικές τιμές.Σε αυτό το κεφάλαιο, λοιπόν, είδαμε ορισμένες βασικές

αρχές των πεπερασμένων στοιχείων, οι οποίεςχρησιμοποιήθηκαν στο πρόγραμμα που κατασκευάστηκε.Είδαμε την κατάστρωση των προβλημάτων όπωςαναλύονται σε κόμβους και στοιχεία. Η λύση τουπροβλήματος ανάγεται στην επίλυση του [K].u=F για ταπροβλήματα γραμμικής συμπεριφοράς. Είδαμε ορισμέναθέματα από την θεωρία της πλαστικότητας, όπως τουςνόμους ροής. Έτσι στην ανάλυση των Π.Σ. σε προβλήματαμη γραμμικής συμπεριφοράς δεν ισχύει πια η σχέση[K].u=F, αλλά ισχύει η βηματική σχέση [K].Δu=ΔF όπουτο [K] ολοκληρώνει την μη γραμμική συμπεριφορά τουυλικού λαμβάνοντας υπόψη τους νόμους ροής κλπ.

3. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣΣε αυτό το κεφάλαιο θα ασχοληθούμε με την υλοποίηση

του προγράμματος των Π.Σ. [1] χρησιμοποιώντας τις αρχέςπου αναφέραμε στο προηγούμενο κεφάλαιο. Ακόμα θαδούμε και ορισμένα θέματα όπως την θέαση του μοντέλου(visualization) που είναι χρήσιμα σε ένα τέτοιο πρόγραμμα

Page 6: Ανάπτυξη προγράμματος πεπερασμένων στοιχείων

6

αλλά δεν εξηγούνται στην θεωρία των Π.Σ. Έπειτα θαδούμε πώς υλοποιούνται στο πρόγραμμα αυτά τα θέματα.

3.1. ΙστορικάΑρχικά θα αναφερθούμε στα συστήματα υπολογιστών

που χρησιμοποιήθηκαν στην ιστορία εξέλιξης τουπρογράμματος. Οι πρώτες προσπάθειες για την κατασκευήτου προγράμματος έγιναν τον Ιούλιο του 1995. Ουπολογιστής που χρησιμοποιήθηκε ήταν PC 486/40ΜΗz,έτρεχε MS-DOS και χρησιμοποιήθηκε γλώσσα BorlandC++ 3.1. Tο πρόγραμμα μπορούσε να λύσει απλάπροβλήματα ελαστικότητας με τρισδιάστατα στοιχεία 8κόμβων. Κατά τον Νοέμβριο-Δεκέμβριο του 1995, τοπρόγραμμα είχε διορθωθεί από πολλά λάθη, και η ανάπτυξησυνεχίστηκε σε περιβάλλον UNIX. Η ανάπτυξη σε τέτοιοπεριβάλλον έχει πολλά πλεονεκτήματα. Αρχικά υπάρχουνσυστήματα UNIX με ισχύ που δεν διαθέτουν προσωπικοίυπολογιστές. Τέτοια συστήματα διέθετε και το Ε.Μ.Π.(κυρίως συστήματα IRIX της Silicon Graphics). Ταπρογράμματα σε UNIX είναι απλούστερα από αυτά σεπεριβάλλον DOS/WINDOWS κλπ, μπορούν εύκολα ναδιαθέσουν πολύ μεγάλα μεγέθη μνήμης. Ακόμα υπάρχειτεράστια υποστήριξη στον προγραμματισμό σε UNIX μέσωκοινοτήτων προγραμματιστών/πληροφορικών μηχανικώνπου επικοινωνούν με την βοήθεια του Internet.Η γλώσσα που χρησιμοποιήθηκε ήταν C/C++ η οποία

είναι ένα Standard για το UNIX και είναι απόλυτα φορητήμεταξύ διαφορετικών συστημάτων UNIX. Τα συστήματαUNIX που χρησιμοποιήθηκαν ήταν : Ο διακομιστήςHermes (Ερμής) του κέντρου υπολογιστών του ΕΜΠ(Silicon Graphics με IRIX 5.3), σταθμός εργασίας Indigo 2της Silicon Graphics με IRIX 6 του τμήματος Α.Τ.Μ. /Εργαστήριο Γεωπληροφορικής, σταθμός εργασίας Apollo 9της Hewlett Packard του Εργαστηρίου Δομικής Μηχανικήςκαι Στοιχείων τεχνικών έργων. Τέλος χρησιμοποιήθηκανπολλοί προσωπικοί υπολογιστές που έτρεχαν σύστημασυμβατό με το UNIX. Το σύστημα που χρησιμοποιήθηκεστους προσωπικούς υπολογιστές ήταν το Linux. Τοσυγκεκριμένο σύστημα είναι απόλυτα συμβατό με ταυπόλοιπα UNIX συστήματα, είναι ελεύθερα διακινήσιμο(http://www.linux.org), και ιδιαίτερα σταθερό/ αξιόπιστο.Οι προσωπικοί υπολογιστές που χρησιμοποιήθηκαν ήταναπό 486/40 MHz ενώ αυτήν την στιγμή χρησιμοποιούνταιPentium ΙΙ 350 MHz με επιδόσεις ανάλογες ή καικαλύτερες από Workstation. Κατά τον Ιανουαρίου του 1996το πρόγραμμα άρχισε να αποκτά περιβάλλον γραφικήςεπικοινωνίας. Το σύστημα/εργαλείο για το γραφικόπεριβάλλον του προγράμματος ήταν το “X-Forms Library”των Dr. T.C.Zhao και Mark Overmars. Οι βιβλιοθήκεςαυτές διακινούνται ελεύθερα από το Internet(http://bragg.phys.uwm.edu/xforms). Με τη βοήθεια αυτώντων βιβλιοθηκών κατασκευάζεται ένα περιβάλλον φιλικόστο χρήστη με τη βοήθεια παραθύρων, διακοπτών καιάλλων διευκολύνσεων.Αρχίζοντας την αναφορά στην κατασκευή του

προγράμματος αναφέρουμε τις βασικές αρχές που έχουναυτά τα προγράμματα: Γενικά η διαδικασία κατάστρωσηςκαι επίλυσης ενός προβλήματος με την μέθοδο των

πεπερασμένων στοιχείων με την βοήθεια Η/Υ περιέχει 3στάδια, τα οποία περιγράφονται από το παρακάτωδιάγραμμα:

Μετεπεξεργασία

Επίλυση (Επεξεργασία)

Προεπεξεργασία

Σχήμα 7. Στάδια προγράμματος Π.Σ.

3.2. ΕπίλυσηΗ επίλυση αναφέρεται στη μεθοδολογία/διαδικασία που

περιγράφει η θεωρία των πεπερασμένων στοιχείων για τηνεπίλυση των προβλημάτων. Αν για παράδειγμαασχοληθούμε με την περίπτωση των προβλημάτωνγραμμικής συμπεριφοράς, τότε η επίλυση είναι ηκατάστρωση των πινάκων [Κ], [u] και [F] από τα δεδομένακόμβων-στοιχείων-φορτίσεων-δεσμεύσεων, και η επίλυσητου συστήματος εξισώσεων. Η διαδικασία του υπολογισμούτων παραγώγων μεγεθών (π.χ. τάσεις), μπορεί να ανήκειστην διαδικασία της επίλυσης αλλά και τηςμετεπεξεργασίας. Στο πρόγραμμά μας αυτή η διαδικασίαανήκει στην κατηγορία της επίλυσης, διότι τα παράγωγαμεγέθη είναι απαραίτητα για την επίλυση βηματικώνπροβλημάτων καθώς και προβλημάτων με κύκλουςσύγκλισης.Οι ρουτίνες που περιέχονται στο στάδιο της επίλυσης

κάνουν γενικά απλές πράξεις πινάκων, όπωςπολλαπλασιασμούς, αντιστροφές, κλπ. Το μεγαλύτεροενδιαφέρον στην διαδικασία της επίλυσης παρουσιάζεταιστην κατάστρωση του πίνακα [K] καθώς και στην επίλυσητου συστήματος εξισώσεων.Για την κατάστρωση του πίνακα [K] υπάρχουν δύο

διαφορετικές ρουτίνες ανάλογα με το αν καταστρώνεται[K] για σημείο Gauss με γραμμική ή μη-γραμμικήσυμπεριφορά.Και για τις δύο περιπτώσεις για κάθε σημείο Gauss

γίνεται υπολογισμός της συνεισφοράς του στο καθολικόμητρώο [Κ] πολλαπλασιάζοντας την συνεισφορά με κάποιοβάρος w που μας δίνει η μέθοδος ολοκλήρωσης Gauss. Ουπολογισμός όπως αναφέραμε γίνεται με έναν από δύοτρόπους:Στην πρώτη περίπτωση έχουμε απλούς

πολλαπλασιασμούς πινάκων, όπως των πινάκων [J-1](αντίστροφος της ιακωβιανής της απεικόνισης από τοσύστημα ξ,η,ζ στο σύστημα X,Y,Z), [Β] (παράγωγοι τωνπολυωνύμων μορφής), και [D] (πίνακας υπολογισμού τουτανυστή των τάσεων από τον τανυστή των αν.παραμορφώσεων).Στην δεύτερη περίπτωση το [D] δεν εξαρτάται μόνο από

το υλικό αλλά και από την εντατική κατάσταση τουσημείου Gauss έτσι το [D] ονομάζεται [Dep]=[D]-[Dp]όπου το [Dp] υπολογίζεται από τους νόμους ροής κατά τηνμετελαστική συμπεριφορά. Έτσι έχουμε επιπλέον ρουτίνεςγια να υπολογιστεί αυτό το μητρώο, οι οποίες μπορούν να

Page 7: Ανάπτυξη προγράμματος πεπερασμένων στοιχείων

7

είναι διαφορετικές ανάλογα με το μοντέλοελαστοπλαστικής συμπεριφοράς. Για λόγους ευελιξίαςενσωματώσαμε τις δύο αυτές ρουτίνες σε μια υπερρουτίναπου καλύπτει όλες τις περιπτώσεις.Η αντιστροφή του πίνακα γίνεται με την μέθοδο

“Skyline”. Αυτή η μέθοδος έχει τα εξής πλεονεκτήματα:

• Μειώνει δραστικά τους υπολογισμούς σε συστήματαεξισώσεων όπου τα μη μηδενικά στοιχεία του πίνακαείναι κοντά στην διαγώνιο σε ένα εύρος που ονομάζεταιHBW (Half Bandwidth/ Ημιεύρος).

• Μειώνει ακόμα περισσότερο τους υπολογισμούς εάνυπάρχει σαφές σύνορο μεταξύ μηδενικών και μη-μηδενικών στοιχείων το οποίο βρίσκεται μέσα στοσύνορο του εύρους του HBW.

3.3. Προεπεξεργασία, μετεπεξεργασία, δομές,ολοκλήρωσηΗ προεπεξεργασία αναλαμβάνει να ετοιμάσει τα

δεδομένα για την επίλυση. Δηλαδή, θα ετοιμάσει κάποιαμητρωικά μεγέθη τα οποία η διαδικασία της επίλυσης θα ταχρησιμοποιήσει για να επιλύσει το πρόβλημα. Οπροεπεξεργαστής μπορεί να αντλήσει δεδομένα από ένααρχείο δεδομένων ή μπορεί να καταστρώσει το πρόβλημακατά την εκτέλεση, συνήθως με την βοήθεια κάποιουγραφικού περιβάλλοντος ή με την βοήθεια γραμμώνεντολών. Ο προεπεξεργαστής, δηλαδή, ετοιμάζει τις δομέςτων δεδομένων όπως τις χρειάζεται ο επεξεργαστής για νακάνει την επίλυση. Για παράδειγμα, στο πρόγραμμα οεπεξεργαστής περιμένει τα δεδομένα των στοιχείων σε έναμητρώο το οποίο περιέχει σε σειρά τον τύπο του στοιχείου,τον κωδικό του υλικού που χρησιμοποιείται και μετά σεσειρά οι κόμβοι από τους οποίους συναρμολογείται τοστοιχείο. Την δομή των δεδομένων των στοιχείωνμπορούμε να την δούμε στο Σχήμα 8:

τύπος στοιχείου κωδικός υλικού κόμβος 1 κόμβος ...

στοιχείο n

...

στοιχείο 1

Σχήμα 8. Δομή στοιχείου

Το πρόγραμμα διατηρεί και άλλες δομές δεδομένων στιςοποίες θα αναφερθούμε αργότερα. Αφού γίνει η επίλυση,ακολουθεί η μετεπεξεργασία που στην ουσία είναι ηαξιοποίηση των αποτελεσμάτων της επίλυσης. Αρχικάγίνονται υπολογισμοί παραγώγων μεγεθών. Έπειτα τοπρόγραμμα μπορεί να εξαγάγει τα αποτελέσματα είτε στηνοθόνη, είτε σε αρχείο, είτε να αναλάβει την γραφική έξοδοτων αποτελεσμάτων.Τα τρία αυτά στάδια (προεπεξεργασία, επίλυση,

μετεπεξεργασία) μπορούν να αποτελούνται από 3διαφορετικά προγράμματα, ή να ολοκληρώνονται σε έναπρόγραμμα (αυτή είναι και η λύση που ακολουθήθηκε). Η

ολοκλήρωση σε ένα πρόγραμμα έχει το επιπλέονπλεονέκτημα να έχει κοινές δομές δεδομένων για τα τρίαστάδια καθώς και κοινά τμήματα μέσα στο πρόγραμμα,όπως οι ρουτίνες για την γραφική απεικόνιση, οι οποίεςείναι και από τις σημαντικότερες.Το πρόγραμμα αποθηκεύει δεδομένα σε δομές με

διάφορους τρόπους αποθήκευσης. Έτσι, οι δείκτες είναιμεγάλοι ακέραιοι (καταλαμβάνοντας 4 bytes έκαστος) ενώόλοι οι πραγματικοί αριθμοί είναι απλής ακρίβειας(καταλαμβάνοντας 4 bytes έκαστος). Αριθμοί διπλήςακρίβειας δεν χρησιμοποιούνται διότι απαιτούν διπλάσιοχώρο για την αποθήκευσή τους και παρέχουν όχι χρήσιμηακρίβεια, πέρα από αυτήν των δεδομένων που εισάγουμεκαι από αυτή που απαιτούμε από την έξοδο τουπρογράμματος. Οι κύριες δομές που χρησιμοποιεί τοπρόγραμμα είναι οι εξής :

• Δομή κόμβων, που περιέχει τους κόμβους σε σειρά,κάθε κόμβος περιγράφεται από τις συντεταγμένες του,το έλλειμμα για την ισορροπία καθώς και τις αρχικέςσυντεταγμένες του κόμβου για τον υπολογισμό τηςπαραμόρφωσης του πεδίου.

• Δομή στοιχείου, που περιέχει τα στοιχεία σε σειρά, κάθεστοιχείο περιγράφεται από τον τύπο του (π.χ. κύβος 8κόμβων ή 20 κλπ), τον κωδικό του υλικού, τουςκόμβους στους οποίους συναρμολογείται σε σειρά καικάποια στοιχεία για την πλαστικότητα.

• Δομή υλικών, με διάφορα υλικά σε σειρά με τις φυσικέςτους ιδιότητες αποθηκευμένες.

• Δομές για τα φορτία και τις στηρίξεις, όπου περιέχονταιβαθμοί ελευθερίας και τιμές φορτίων ή αρχικώνμετατοπίσεων (για τις στηρίξεις).

• Για κάθε σημείο Gauss, από τα 27 κάθε στοιχείου,υπάρχει δομή που αποθηκεύει τις προϋπάρχουσες τάσειςαπό τα προηγούμενα βήματα/ανακυκλώσεις.

• Ακόμα. υπάρχουν και άλλες εσωτερικές δομές πολλέςαπό αυτές δημιουργούνται σε ορισμένα σημεία τουπρογράμματος και όταν δεν είναι χρήσιμες σβήνονταιόπως: Δομές πολυγώνων απεικόνισης, δομέςσυντεταγμένων σημείων Gauss, και φυσικά διάφορααπαραίτητα μητρώα για τους υπολογισμούς.

• Τέλος, χρησιμοποιούνται διάφορες τάξεις (classes) τηςC++, οι οποίες δεν αποθηκεύουν δεδομένα, αλλάχρησιμοποιούνται σε υπολογισμούς.

3.4. Γραφική απεικόνισηΈνα κύριο χαρακτηριστικό του προγράμματος είναι το

σύστημα γραφικής απεικόνισης που διαθέτει. Αυτό τοσύστημα κάνει το πρόγραμμα φιλικότερο στον χρήστη αλλάέχει και ουσιαστική αξία στην κατάστρωση τουπροβλήματος αλλά και στην παρουσίαση τωναποτελεσμάτων με αυξημένη εποπτεία. Στο παρακάτω

Page 8: Ανάπτυξη προγράμματος πεπερασμένων στοιχείων

8

διάγραμμα βλέπουμε πώς επιδρά η γραφική απεικόνιση στα3 στάδια του προγράμματος:

Σχήμα 9. Αλληλεπίδραση γραφικής απεικόνισης με τα υπόλοιπαστάδια του προγράμματος

Η γραφική απεικόνιση αναλαμβάνει να προβάλει τιςπαρακάτω τρισδιάστατες οντότητες στο επίπεδο τηςοθόνης:

• Τους κόμβους ως σημεία με ειδικό διακριτικό καιαρίθμηση εάν αυτό ζητείται.

• Τα στοιχεία ως πολύπλευρα στερεά με γραμμικήαπεικόνιση (“συρμάτινα γραφικά”) ή με σκιασμένεςπλευρές. Η πρώτη μέθοδος χρησιμοποιείται κυρίωςκατά την κατάστρωση του προβλήματος ενώ η δεύτερηκατά την παρουσίαση των αποτελεσμάτων. Κατά τηνπαρουσίαση των σκιασμένων στερεών υπάρχει ηδυνατότητα απεικόνισης των τιμών από την επίλυση μεχρωματικές διαβαθμίσεις πάνω στα στερεά.

• Τους κόμβους όπου υπάρχουν δεσμεύσεις με ειδικάσύμβολα

• Τις φορτίσεις με γραμμές στους κόμβους (σημειακάφορτία), ή με ειδικό συμβολισμό στις πλευρές στοιχείων(επιφανειακές φορτίσεις)

Η γραφική απεικόνιση γίνεται με την βοήθεια μιαςαπεικόνισης από τον χώρο στο επίπεδο της οθόνης [14]. Οτύπος για αυτήν την απεικόνιση είναι ο:

[xv,yv,zv,1]=[xw,yw,zw,1]Tview (3.1)

Το πρώτο διάνυσμα είναι οι συντεταγμένες στοσύστημα της οθόνης, το δεύτερο είναι οι καθολικέςσυντεταγμένες ενώ το μητρώο 4x4 Tview περιέχει τιςπληροφορίες για την θέση και την γωνία ως προς τουςκαθολικούς άξονες X,Y,Z μιας υποθετικής κάμερας. Στηνοθόνη απεικονίζουμε το ζεύγος [c.xv,c.yv] για τηναξονομετρική προβολή ή το ζεύγος [c.xv/zv,c.yv/zv] για τηνπροοπτική προβολή όπου το c είναι ο βαθμός μεγέθυνσης.Εκτός από την γραφική απεικόνιση για την παρουσίαση

των αποτελεσμάτων υπάρχει η δυνατότητα εξόδου τωντιμών σε ειδικό αρχείο εξόδου ή σε συνηθισμένο αρχείοδεδομένων το οποίο μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε κάποιοεπόμενο βήμα.Τα αρχεία δεδομένων περιέχουν εκτός από τα βασικά

δεδομένα, όπως γεωμετρικά στοιχεία, υλικά, φορτίσεις καιδεσμεύσεις, δεδομένα για την ιστορία του προβλήματοςόπως τάσεις στα σημεία Gauss, ελλείμματα ισορροπίαςστους κόμβους κ.α. Έτσι όπως αναφέραμε, αποθηκεύονταςτο αρχείο δεδομένων ενός προβλήματος που έχει επιλυθείαποθηκεύουμε όλη την ιστορία του προβλήματος, και

μπορούμε να συνεχίσουμε σε κάποιο επόμενο στάδιο τηνεπίλυση προσθέτοντας διαφορετικά φορτία, αλλάζοντας τηνγεωμετρία (όπως κάνοντας εκσκαφή) κ.α.

3.5. Λοιπές διαδικασίεςΕκτός από τις βασικές ρουτίνες για προεπεξεργασία,

επίλυση και μετεπεξεργασία υπάρχουν και οι ρουτίνες πουελέγχουν την βηματική επίλυση καθώς και τις πολλαπλέςανακυκλώσεις για την σύγκλιση σε προβλήματα μη-γραμμικής συμπεριφοράς. Βασικά αυτές οι ρουτίνεςχωρίζονται σε δύο κατηγορίες:

• Στις ρουτίνες όπου υπάρχει κάποιος μετρητής καιεπιβάλλονται κάποια πεπερασμένα βήματα φορτίσεων.Γίνονται τόσα βήματα ώστε να ικανοποιείται η συνθήκηαυτού του μετρητή. Σε κάθε βήμα γίνεταιεπαναφόρτιση.

• Στις ρουτίνες ανακυκλώσεων όπου τερματίζονται ότανπληρούνται κάποιες συνθήκες σύγκλισης ή υπέρβασηςενός αριθμού ανακυκλώσεων. Κατά την διάρκεια αυτώντων ανακυκλώσεων δεν γίνεται επαναφόρτιση παράμόνο φόρτιση με τα ελλείμματα ισορροπίας ώστε αυτάνα μειωθούν και να ικανοποιούν την συνθήκη που θασταματήσει τις ανακυκλώσεις.

Σημαντικές ρουτίνες ακόμα είναι αυτές για τηνεισαγωγή των δεδομένων στις οποίες θα αναφερθούμε στοεπόμενο κεφάλαιο καθώς και οι ρουτίνες βελτιστοποίησηςστις οποίες θα γίνει άμεση αναφορά:Αρχικά, κατά την κατάστρωση του προβλήματος

μπορούν να δημιουργηθούν άχρηστα στοιχεία όπως:

• Κόμβοι που έχουν τις ίδιες συντεταγμένες ώστε να μηγίνεται σωστή συναρμολόγηση στοιχείων.

• Κόμβοι που δεν ανήκουν σε κάποιο στοιχείο, οι οποίοιπροκαλούν κατάρρευση της λύσης διότι είναι βαθμοίελευθερίας χωρίς ακαμψία και δεν επιτρέπουν στομητρώο [K] να αντιστραφεί

• Φορτία και δεσμεύσεις σε κόμβους των παραπάνωκατηγοριών.

Το κομμάτι της βελτιστοποίησης αρχικά εξαλείφει ταπαραπάνω σφάλματα και έπειτα κάνει μια βελτιστοποίησηστην αρίθμηση. Η βελτιστοποίηση στην αρίθμηση τωνκόμβων είναι πολύ σημαντική για την μέθοδο τωνπεπερασμένων στοιχείων διότι όπως αναφέραμε φέρνει τιςμη μηδενικές τιμές του πίνακα [Κ] πιο κοντά στη διαγώνιότου μειώνοντας δραστικά τις απαιτήσεις για αποθήκευσηκαι μειώνοντας ικανοποιητικά τους απαιτούμενουςυπολογισμούς.Η βελτιστοποίηση της αρίθμησης έχει ως στόχο την

ελαχιστοποίηση της διαφοράς των δεικτών των κόμβωνενός στοιχείου από τον δείκτη του στοιχείου. Η μεγαλύτερηαπόσταση δεικτών των κόμβων σε ένα στοιχείομεταφράζεται και σε ανάλογο εύρος κατάληψης μη-μηδενικών τιμών περί την διαγώνιο του [K]. Ο Αλγόριθμοςπου χρησιμοποιείται είναι σχετικά απλός:

Page 9: Ανάπτυξη προγράμματος πεπερασμένων στοιχείων

9

Εντοπίζονται δύο κόμβοι οι οποίοι έχουν μεταξύ τουςτην μεγαλύτερη δυνατή απόσταση. Έπειτα γίνεταιταξινόμηση στους άλλους κόμβους ανάλογα με τηναπόσταση από τον αρχικό κόμβο.

4. ΔΥΝΑΤΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣΣε αυτό το κεφάλαιο θα γίνει μια εκτενής αναφορά στις

δυνατότητες του προγράμματος που αναπτύχθηκε. Θαπαρουσιαστούν τμήματα του προγράμματος και όπου είναιαναγκαίο θα γίνεται και αναφορά σε θεωρητικά θέματα. Τοκεφάλαιο θα χωριστεί σε διαφορετικές ενότητες, αρχικάτων δεδομένων που διαχειρίζεται (στοιχεία, κόμβοι,δεσμεύσεις, υλικά), της διαδικασίας επίλυσης και έπειταορισμένων εξειδικευμένων δυνατοτήτων όπως αυτής τηςπαρουσίασης των αποτελεσμάτων.

Σχήμα 9a. Το κύριο παράθυρο του προγράμματος XFem

4.1. ΚόμβοιΤο πρόγραμμα, όπως αναφέρθηκε στο προηγούμενο

κεφάλαιο αποθηκεύει τους κόμβους σε δομές όπουπεριέχονται:

• Τα γεωμετρικά στοιχεία θέσης (αρχικές και τρέχουσεςσυντεταγμένες)

• Τα ελλείμματα ισορροπίας σε κάθε κόμβο

Η διαχείριση των κόμβων γίνεται από ένα κεντρικόπαράθυρο το οποίο μπορούμε να δούμε παρακάτω:

Σχήμα 10. Παράθυρο διαχείρισης κόμβων

Η εισαγωγή των κόμβων γίνεται με τους εξής τέσσεριςδιαφορετικούς τρόπους:

• Εισαγωγή μεμονωμένου κόμβου εισάγοντας τιςσυντεταγμένες του

• Εισαγωγή πολλών κόμβων διατεταγμένων σε κανονικόκάναβο. Σε αυτή την περίπτωση ορίζεται έναςκανονικός κάναβος με ένα αρχικό σημείο, μίαδιεύθυνση στο χώρο και οι επιθυμητές αποστάσειςμεταξύ των κόμβων

• Εισαγωγή πολλών κόμβων σε κυλινδρικές επιφάνειες,με διάφορες δυνατότητες όπως μετάβαση τηςγεωμετρίας από κυλινδρική σε ορθογωνική

• Εισαγωγή κόμβων από αρχείο τύπου “DXF” (π.χ. απότο AutoCAD).

Ο χρήστης έχει την δυνατότητα να διαγράψειμεμονωμένους κόμβους ή να αλλάξει τις συντεταγμένεςτου. Ακόμα μπορεί να εφαρμόσει τη διαδικασία τηςβελτιστοποίησης όπως αυτή περιγράφηκε στο προηγούμενοκεφάλαιο.

Σχήμα 11. Παράθυρο δημιουργίας νέων κόμβων σε κανονικήδιάταξη

Οι κόμβοι απεικονίζονται μόνο στα “συρμάτινα”γραφικά εφόσον το ζητήσει ο χρήστης με την βοήθειασημείων περιγραμμένων από μικρά τετράγωνα. Ακόμα ανζητηθεί μπορεί να εμφανίζεται και η αρίθμηση των κόμβων

4.2. ΣτοιχείαΤο πρόγραμμα διαθέτει διαφορετικούς τύπους στοιχείων

με διαφορετικό αριθμό κόμβων ανά στοιχείο. Ανάλογα μετην ακρίβεια που ζητείται μπορεί να επιλεχθεί και οανάλογος τύπος στοιχείων. Στα δύο παρακάτω σχήματααπεικονίζονται οι διαφορετικοί τύποι στοιχείων:

Page 10: Ανάπτυξη προγράμματος πεπερασμένων στοιχείων

10

Σχήμα 12. Τύποι στοιχείων 1-6

Σχήμα 13. Τύποι στοιχείων 8-13

Γενικά, τα στοιχεία που έχουν μόνο τους απαραίτητουςκόμβους για να οριστεί το στοιχείο, π.χ. 8 κόμβους για ένακυβικό στοιχείο (όσο οι κορυφές ενός κύβου) λέγονταιστοιχεία πρώτου βαθμού. Όταν υπάρχουν επιπλέον κόμβοιτότε έχουμε στοιχεία ανωτέρου βαθμού. Το πρόγραμμαόπως βλέπουμε στο σχήμα διαθέτει στοιχεία α’ βαθμού(στοιχείο 1), στοιχεία β’ βαθμού (στοιχείο 2) καθώς καιστοιχεία μετάβασης από στοιχεία α’ σε β’ βαθμού (όλα ταυπόλοιπα στοιχεία).Το πρόγραμμα διαθέτει μια δομή για τα στοιχεία που

εκτός από τον τύπο του στοιχείου αποθηκεύει και ταπαρακάτω δεδομένα:

• Τύπος (κωδικός αριθμός) υλικού

• Κόμβοι πάνω στους οποίους κατασκευάζεται τοστοιχείο. Η σειρά των κόμβων εξαρτάται από την σειράτων κόμβων που προδιαγράφει ο τύπος του στοιχείου.

Όπως και στους κόμβους, έτσι και στα στοιχεία ηδιαχείριση γίνεται από ένα κεντρικό παράθυρο που φαίνεταιπαρακάτω:

Σχήμα 14. Παράθυρο διαχείρισης στοιχείων

Το πρόγραμμα μπορεί με τις επιλογές που φαίνονται στοπιο πάνω παράθυρο να:

• Κατασκευάσει ένα μεμονωμένο στοιχείο εισάγοντας μετην βοήθεια του ποντικιού τους κόμβους που τοαποτελούν και εισάγοντας τον τύπο του στοιχείουκαθώς και τον τύπο του υλικού.

• Διαγράψει κάποια στοιχεία

• Αλλάξει το υλικό ομάδας στοιχείων

• Αντιγράψει στοιχεία σε ορθωγονική διάταξη δίνονταςαριθμό αντιγράφων κατά μήκος, κατά πλάτος, καθ’ύψος , διεύθυνση στον χώρο και ισαποστάσεις.

• Αντιγράψει στοιχεία σε κυλινδρική διάταξη

• Προκαλέσει θραύση στοιχείου μηδενίζοντας τις τάσειςτου στοιχείου και μεταφέροντας τις τάσεις ναεκτονωθούν στις υπόλοιπες ανακυκλώσεις μέσω τωνελλειμμάτων ισορροπίας. Αυτή η δυνατότητα είναιχρήσιμη στην εξομοίωση εκσκαφής.

Ο χρήστης ακόμα μπορεί να παράγει στοιχεία τριώνδιαστάσεων ορίζοντας σχήματα σε δύο διαστάσεις καιδίνοντας κάποιο βάθος και κάποια διεύθυνση. Έτσι γιαπαράδειγμα μπορεί να δείξει 4 κόμβους, οι οποίοι είναιπάνω σε ένα επίπεδο, να δώσει αριθμητικά κάποιο βάθοςκαι έτσι να παραγάγει ένα κυβικό στοιχείο.

Σχήμα 15. Παράθυρο για την αντιγραφή στοιχείων σε κυλινδρικήδιάταξη

Page 11: Ανάπτυξη προγράμματος πεπερασμένων στοιχείων

11

Τα στοιχεία, γραφικά, απεικονίζονται με δύο τρόπους:

• Με τα «συρμάτινα» γραφικά απεικονισμένα μεευθύγραμμα τμήματα. Ο χρήστης ορίζει ένα βαθμόπύκνωσης βάσει του οποίου μια πλευρά μπορεί νααπεικονίζεται με 4 ευθ. τμήματα ή περισσότερατετράπλευρα ανά πλευρά. Η πύκνωση χρειάζεται γιανα απεικονιστούν σωστά, στοιχεία ανωτέρουβαθμού που η πλευρά του στοιχείου μπορεί να έχεικαμπυλότητα.

• Με στερεά γραφικά. Έτσι οι πλευρές απεικονίζονταιμε γεμάτα πολύγωνα τα οποία επί πλέον μπορούν ναέχουν κάποια φωτοσκίαση. Για τον σκοπό αυτόθεωρείται πηγή φωτός η οποία βρίσκεται στο σημείοτου παρατηρητή. Τα στερεά γραφικά μπορούν ναχρησιμοποιηθούν για προεπισκόπηση τωντρισδιάστατων σχημάτων ή για την παρουσίαση τωναποτελεσμάτων στην οποία θα αναφερθούμεπαρακάτω.

4.3. ΥλικάΤο πρόγραμμα διαθέτει μια δομή για υλικά η οποία

επιτρέπει την χρήση υλικών με διαφορετικά κριτήριααστοχίας και διαφορετικών ειδών παραμέτρων.Τα υλικά μπορούν να είναι ελαστικά ή και

ελαστοπλαστικά. Για όλα τα υλικά εισάγεται το μέτροελαστικότητας σε KPa, ο λόγος εγκάρσιας διαστολής ν καιτο ειδικό βάρος (KN/m3). Υπάρχει ακόμα δυνατότηταχρήσης υλικών με περιορισμένη εφελκυστική αντοχή(εισάγοντας αριθμητικό όριο αντοχής).

Σχήμα 16. Παράθυρο διαχείρισης ιδιοτήτων υλικών

Τα κριτήρια αστοχίας είναι συνάρτηση των παραμέτρωναντοχής καθώς και των αναλλοίωτων του τανυστή τάσεων(I1, J’2, θ) [10]. Τα κριτήρια αστοχίας που χρησιμο-ποιούνται είναι τα παρακάτω:

• Κριτήριο von Mises με παράμετρο αντοχής την σY (όριοδιαρροής). Το κριτήριο: 03 '

2 =− YJ σ (4.1)

• Κριτήριο Mohr-Coulomb [9] με παραμέτρους φ και c.Βάσει αυτού του κριτηρίου, υπάρχουν δύο κριτήρια ταοποία υπολογίζουν διαφορετικά τις πλαστικές

παραμορφώσεις (Associative και non Associative Mohr-Coulomb). Στο ένα χρησιμοποιείται ο νόμος τηςκαθετότητας (οπότε το διάνυσμα των πλαστικώνανηγμένων παραμορφώσεων είναι κάθετο στηνεπιφάνεια του κριτηρίου) ενώ στο άλλο ο χρήστηςμπορεί να ρυθμίσει την γωνία μεταξύ του διανύσματοςτων πλαστικών ανηγμένων παραμορφώσεων και τηςεπιφάνειας του κριτηρίου. Το κριτήριο:

0cossinsin3

cossin3

'2'

21 =−−+ φφθφφ c

JJI

(4.2)

• Κριτήριο Drucker-Prager [4] [6], το οποίο είναι μιαπροσέγγιση του κριτηρίου Mohr - Coulomb μετροποποίηση του κριτηρίου Von Mises. Οι παράμετροιείναι πάλι φ και c από τις οποίες προκύπτουν οι α & k’,ενώ υπάρχει πάλι associative και non associative μορφή.Το κριτήριο:

( ) 0'3 21'

21 =−+ kJaI (4.3)

• Κριτήριο ελλειπτικού παραβολοειδούς, το οποίο είναιμια βελτίωση του κριτηρίου Von Mises, ώστε ναπεριέχεται και η διαφορετική αντοχή σε εφελκυσμό (σT)από θλίψη (σc). Το κριτήριο: 0)(3 1

'2 =−−+ TcTc IJ σσσσ (4.4)

• Κριτήριο Hoek-Brown[15]. Είναι το κριτήριο πουεκφράζει καλύτερα την αντοχή της βραχομάζας. Οιπαράμετροι που δέχεται είναι οι m και s καθώς και ηθλιπτική αντοχή αδιατάραχτου δείγματος σc. Υπάρχεικαι μια τροποποιημένη μορφή του κριτηρίου που έχειπρογραμματιστεί. Το κριτήριο:

0)

3sin(coscos4

32'

22'

21 =−−++ cc

c sJmJIm

σθθσθσ

(4.5)

Γενικά, η ανοικτή δομή του προγράμματος στο θέμα τωνυλικών, επιτρέπει την εύκολη προσθήκη νέων κριτηρίωναστοχίας.

Το πρόγραμμα διαθέτει μια μικρή βιβλιοθήκη υλικώναλλά επιπλέον επιτρέπει την προσθήκη υλικών του χρήστηγια κάθε πρόβλημα που επιλύεται. Ο χρήστης μπορεί με τοπαράθυρο που φαίνεται στο Σχήμα 16 να προσθέσει νέαυλικά και να ορίσει τον τύπο του υλικού, τα μοντέλασυμπεριφοράς καθώς και να δώσει τιμές σε όλες τιςπαραμέτρους.

4.4. Δεσμεύσεις - ΦορτίαΤα φορτία αποθηκεύονται σε διαφορετικές δομές

δεδομένων ανάλογα με το είδος τους (σημειακά,επιφανειακά ή μαζικά φορτία). Για τα σημειακά φορτίααποθηκεύεται η τιμή φορτίου, ο αριθμός κόμβου όπουενεργεί το φορτίο, καθώς και ο άξονας δράσης. Για ταεπιφανειακά φορτία, αποθηκεύεται εκτός από την τιμή τουφορτίου και τον άξονα δράσης, ο αριθμός στοιχείου και η

Page 12: Ανάπτυξη προγράμματος πεπερασμένων στοιχείων

12

πλευρά του που γίνεται η δράση. Για τα μαζικά φορτία (π.χ.ίδιο βάρος) αντίστοιχα αποθηκεύονται οι ίδιες πληροφορίεςεκτός της πλευράς που γίνεται η δράση. Οι δεσμεύσεις ωςπρος την δομή τους είναι ίδιες με τα σημειακά φορτίαδηλαδή αποθηκεύεται αριθμός κόμβου, διεύθυνση καθώςκαι μια τιμή που αντιπροσωπεύει την αρχική παραμόρφωση(χρήση π.χ. σε προβλήματα με υποχωρήσεις στηρίξεων).Για ευκολία του χρήστη υπάρχουν και έτοιμες στηρίξειςπου δεσμεύουν όλους τους βαθμούς ελευθερίας.Η διαχείριση αυτών των δεδομένων γίνεται πάλι από

διάφορα παράθυρα με ευκολίες για τον χρήστη και δενκάνουμε εκτενή αναφορά. Αναφερόμαστε μόνο στα εξήςκύρια σημεία:Για τις δεσμεύσεις καθώς και για τα επιφανειακά

φορτία, ο χρήστης μπορεί να ορίσει κάποια περιοχή στοχώρο και το πρόγραμμα αυτόματα να γεμίζει αυτή τηνπεριοχή με στηρίξεις ή φορτία. Στα μαζικά φορτία υπάρχειη δυνατότητα ή να φορτιστούν μεμενωμένα στοιχεία ή ναφορτιστούν όλα τα στοιχεία με κάποια τιμή για όλα ταστοιχεία ή με τιμή που εξαρτάται από το ειδικό βάρος τουυλικού κάθε στοιχείου.

4.5. ΕπίλυσηΗ διαδικασία της επίλυσης ξεκινάει όταν το ζητήσει ο

χρήστης επιλέγοντας κάποια εντολή από κάποιο σχετικόπαράθυρο. Το παράθυρο αυτό είναι το παρακάτω:

Σχήμα 17. Παράθυρο επιλογών για την επίλυση - επεξεργασία

Ο χρήστης με αυτό το παράθυρο επιλέγει τον αριθμότων βηματικών φορτίσεων, στοιχεία για τις ανακυκλώσειςμε σκοπό τη σύγκλιση καθώς και ορισμένα άλλα στοιχεία,όπως αν σε κάθε βήμα ή ανακύκλωση, οι μετατοπίσειςστους κόμβους θα αλλάζουν την γεωμετρία τουπροβλήματος, καθώς και τη δυνατότητα σε κάθε βήμα ναεγγράφεται αρχείο εξόδου ή/και αρχείο αποτελεσμάτων.Για τον έλεγχο των ανακυκλώσεων, ο χρήστης μπορεί

να εισάγει τον μέγιστο αριθμό ανακυκλώσεων καθώς καικάποια ποσοστά βάσει των οποίων ελέγχεται η σύγκλιση.Συγκεκριμένα ελέγχονται τα ελλείμματα ισορροπίας, ανέχουν γίνει μικρότερα από ένα ποσοστό των αρχικώνφορτίων, καθώς και εάν οι παραμορφώσεις σε κάποιο «n»κύκλο έχουν γίνει μικρότερες από κάποιο ποσοστό τωνπαραμορφώσεων από τον «1» κύκλο. Για να έχει ο χρήστηςκαλύτερη εποπτεία της σύγκλισης, κατά την επίλυσηεμφανίζεται το παρακάτω παράθυρο (Σχήμα 18) το οποίοδείχνει αν η σύγκλιση προχωρεί με ικανοποιητικό ρυθμό.Στην περίπτωση που η σύγκλιση δεν ικανοποιείται, ο

χρήστης μπορεί να σταματήσει την εκτέλεση και μάλισταμπορεί να ερμηνεύσει την αδυναμία σύγκλισης, π.χ. μεθεώρηση γενικής αστοχίας.

Σχήμα 18. Παράθυρο ελέγχου της σύγκλισης

4.6. Γραφική απεικόνιση - Παρουσίαση αποτελεσμάτωνΗ γραφική απεικόνιση που διαθέτει το πρόγραμμα

χρησιμεύει και στην κατάστρωση του προβλήματος αλλάκαι στην καλύτερη αξιοποίηση των αποτελεσμάτων.Για την κατάστρωση χρησιμοποιούνται κυρίως τα

«συρμάτινα» γραφικά. Ο χρήστης μπορεί να επιλέξει εκτόςαπό την απεικόνιση των στοιχείων με γραμμές, τηναπεικόνιση των κόμβων, σχετικών αριθμήσεων, τηναπεικόνιση των φορτίων και των δεσμεύσεων και τέλοςυπάρχει η δυνατότητα να απεικονιστούν στους κόμβουςβελάκια παραμορφώσεων. Για τις επιλογές του χρήστηχρησιμοποιείται το παρακάτω παράθυρο:

Σχήμα 19. Παράθυρο επιλογών για την παρουσίαση των στοιχείωνμε «συρμάτινα» γραφικά

Με το παρακάτω παράθυρο, ο χρήστης μπορεί ναεπιλέξει μια περιοχή του χώρου για να γίνεται η απεικόνισηκάνοντας έτσι εύκολα τομές σε οποιαδήποτε μορφήαπεικόνισης.

Σχήμα 20. Παράθυρο ορισμού των ορίων σχεδίασης

Page 13: Ανάπτυξη προγράμματος πεπερασμένων στοιχείων

13

Υπάρχει ακόμα η δυνατότητα να γίνει απεικόνιση τουπροβλήματος με σκιασμένα πολύγωνα ώστε ο χρήστης ναμπορεί να κατανοήσει ογκομετρικά το πρόβλημα.Υπάρχουν διάφορες παράμετροι για αυτή την απεικόνισηόπως χρώμα αντικειμένου, χρώμα φωτεινής πηγής,ανακλαστικότητα, κ.α.Τα αποτελέσματα από την επίλυση μπορούν να

παρουσιαστούν με δύο βασικούς τρόπους:

• Με απεικόνιση των τιμών πάνω στα πολύγωνα τωνστοιχείων με διάφορους τρόπους όπως χρωματικέςκλίμακες, ισαριθμητικές καμπύλες, παραμόρφωση τηςγεωμετρίας με αυξημένη κλίμακα παραμορφώσεων

• Με την βοήθεια τομών και με διαγράμματα τάσεων καιπαραμορφώσεων κατά μήκος άξονα που ορίζει οχρήστης με γωνία διεύθυνσης και αρχικό σημείο.

Στην πρώτη περίπτωση ο χρήστης πρέπει να ζητήσειαρχικά κάποιο μέγεθος για να απεικονιστεί. Για ναβοηθηθεί ο χρήστης χρησιμοποιεί το παρακάτω παράθυρο:

Σχήμα 21. Παράθυρο επιλογών για την παρουσίαση τωναποτελεσμάτων

Στο παραπάνω παράθυρο, βλέπουμε αρχικά μια λίσταμε τα μεγέθη που μπορούν να απεικονιστούν. Υπάρχουνόλες οι ορθές τάσεις, κύριες τάσεις, τάση von Mises[10][11], προσημασμένη τάση Von Mises, πλαστικοποίησηκαι παραμορφώσεις. Επίσης για κάποια μεγέθη μπορούν νααπεικονιστούν οι μεταβολές από κάποιο βήμα ή οι τιμέςπου έχουν προέλθει από όλη την ιστορία του προβλήματος.Οι επιλογές που έχει ακόμα ο χρήστης είναι:

• Επιλογή των χρωμάτων για την ελάχιστη, την ενδιάμεσηκαι την μέγιστη τιμή.

• Επιλογή της πυκνότητας των πολυγώνων πουαπεικονίζουν τα στοιχεία

• Επιλογή απεικόνισης ισαριθμηκών καμπύλων καιπλήθος.

• Επιλογή σκίασης των πολυγώνων με πηγή φωτός στηνθέση της κάμερας, ώστε να φαίνεται καλύτερα ο όγκοςτων στοιχείων.

• Επιλογή καλύτερης πύκνωσης των πολυγώνων

• Επιλογή παρουσίασης υπομνήματος

Μία ακόμα δυνατότητα που έχει η απεικόνιση μεπολύγωνα είναι η απεικόνιση της παραμορφωμένηςγεωμετρίας με τη βοήθεια κάποιας κλίμακας. Έτσι, ταστερεά απεικονίζονται υπερπαραμορφωμένα και ο χρήστηςαντιλαμβάνεται καλύτερα την παραμόρφωση του φορέα.Αυτή η δυνατότητα μπορεί να χρησιμοποιηθεί σεσυνδυασμό με κάθε είδος απεικόνισης του προγράμματος,όπως την απεικόνιση τάσεων, και έτσι ο χρήστης μπορεί ναέχει ταυτόχρονη εποπτεία παραμορφώσεων και τάσεων.Τέλος, όπως αναφέραμε ο χρήστης μπορεί να ορίσει ένα

άξονα πάνω στον οποίο μπορεί να γίνει δειγματοληψίατιμών και έτσι να σχεδιαστούν γραφήματααπόστασης/τιμών. Για τον σκοπό αυτό χρησιμοποιείται τοπαρακάτω παράθυρο:

Σχήμα 22. Παράθυρο επιλογών για την σχεδίαση γραφημάτων

Ο χρήστης ορίζει τον άξονα με κάποια διεύθυνση στοχώρο και αρχικό σημείο. Εισάγει το μήκος του άξονα καιτις ισοαποστάσεις που θα γίνεται η δειγματοληψία. Σεπεριοχές μετάβασης από κενό σε υλικό γίνεται αυτόματητοποθέτηση σημείου δειγματοληψίας. Ο χρήστης μπορεί ναεμφανίσει σε παράθυρο τις τιμές σε γράφημα, ή μπορεί ναζητήσει έξοδο σε αρχείο για επεξεργασία από άλλοπρόγραμμα.Επειδή τα μεγέθη που απεικονίζονται είναι εν γένει

ασυνεχή, όπως οι τάσεις, για να έχουμε ένα εξομαλυμένοπεδίο χρησιμοποιύμε τον σύμμορφο μετασχηματισμό τουπεδίου [2]. Ο μετασχηματισμός αυτός μοιάζει πολύ με τηνεπίλυση των πεπερασμένων στοιχείων, σχηματίζεται έναςπίνακας δυσκαμψίας nxn και επιλύεται το πεδίο για τασημεία των κόμβων. Το πεδίο που προκύπτει από τομετασχηματισμό είναι ομαλό.Τα γραφικά παραδείγματα που θα παρουσιαζόντουσαν

στις πιο πάνω παραγράφους θα παρουσιαστούν στοεπόμενο κεφάλαιο σε ολοκληρωμένα παραδείγματαεπίλυσης.

5. ΛΥΜΕΝΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΛόγω περιορισμένου χώρου παρουσιάζουμε μόνο ένα

επιλυμένο πρόβλημα. Για περισσότερα επιλυμέναπαραδείγματα ο αναγνώστης θα πρέπει να ανατρέξει στηνηλεκτρονική διεύθυνση:

http://www.survey.ntua.gr/~mechlab/xfem/

Page 14: Ανάπτυξη προγράμματος πεπερασμένων στοιχείων

14

Το επιλυμένο πρόβλημα που επιλέχθηκε ναπαρουσιαστεί είναι η κατανομή των τάσεων σε μια μηδιαμπερή κυκλική οπή σε άπειρο χώρο που φορτίζεται απόομοιόμορφο φορτίο. Με αυτό το πρόβλημα μπορούμε ναεξομοιώσουμε την κατανομή τάσεων γύρω από το μέτωποδιάνοιξης κυκλικής σήραγγας.Επειδή το πρόβλημα είναι συμμετρικό για την

δεδομένη γεωμετρία., φορτίο και για το επίπεδο γραμμικήςανάλυσης επιλύθηκε το 1/4 του προβλήματος. Για τηνκατάστρωση χρησιμοποιήθηκαν 324 στοιχεία τα οποίασυναρμολογήθηκαν σε 1308 κόμβους (3924 βαθμοίελευθερίας). Τα στοιχεία ήταν διαφόρων τύπων (πρώτουκαι δευτέρου βαθμού καθώς και στοιχεία μετάβασης).Ακόμα 427 βαθμοί ελευθερίας είναι δεσμευμένοι για ναεξομοιώσουν τον ημίχωρο.Στο κατακόρυφο τμήμα που αρχίζει η οπή δεν

δεσμεύονται οι βαθμοί ελευθερίας «x» ώστε να έχουμεουσιαστικά την είσοδο της σήραγγας. Στο Σχήμα 23βλέπουμε το μοντέλο των πεπερασμένων στοιχείων.

Σχήμα 23. Μοντέλο πεπερασμένων στοιχείων μη διαμπερούς οπής

Το παραπάνω μοντέλο επιλύθηκε με δύο ανακυκλώσειςκαι τα αποτελέσματα αποθηκεύθηκαν για περαιτέρω χρήση(παρουσίαση και εξαγωγή συμπερασμάτων). Στο Σχήμα 24καθώς και στο Σχήμα 25 βλέπουμε την παρουσίαση τωναποτελεσμάτων με την βοήθεια ισοτασικών καμπύλων.

Σχήμα 24. Παρουσίαση αποτελεσμάτων με γραφικά. Ισοτασικέςκαμπύλες κύριας τάσης σ3

Από το τοίχωμα του πρανούς έως και μια απόσταση 0.5D από το μέτωπο βλέπουμε ότι η κατανομή των τάσεων δενεπηρεάζεται από το μέτωπο και ακολουθεί την κατανομήτων εξισώσεων του Kirsch [15]. Κοντά στο μέτωπο ηκατανομή αλλάζει προς ευνοϊκότερη κατανομή και ηδιατάραξη των τάσεων χάνεται σε απόσταση 0.25 D(περίπου) μετά το μέτωπο όπου η κατανομή των τάσεωνγίνεται ομοιόμορφη.

Σχήμα 25. Ισοτασικές καμπύλες σισοδύναμης (τάση Von Mises)

Στο Σχήμα 26 βλέπουμε την κατανομή των (κύριων)τάσεων με την μορφή γραφήματος επί του άξονα πουβρίσκεται στην οροφή της οπής. Στο γράφημα μπορούμε ναπαρατηρήσουμε την αλλαγή των τάσεων στο μέτωπο καθώς

Page 15: Ανάπτυξη προγράμματος πεπερασμένων στοιχείων

15

και την εμφάνιση της σ1 μετά το σημείο του μετώπου, ηοποία μέχρι αυτό το σημείο παραμένει μηδενική.

θέσημετώπου

Σχήμα 26. Γραφήματα κυρίων τάσεων και ισοδύναμης τάσης επίάξονα που βρίσκεται στην οροφή της οπής

6. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑΗ μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων είναι από τις

ισχυρότερες μεθόδους της αριθμητικής ανάλυσης. Ηδιερεύνηση πάνω στα θεωρητικά – μαθηματικά θέματα τηςμεθόδου βρίσκεται σε αρκετά προχωρημένο στάδιο. Σταπρογραμματιστικά θέματα της μεθόδου υπάρχει κάποιαυστέρηση στην πρόοδο και μόλις τελευταία έχουν γραφτείκώδικες σε αντικειμενοστρεφή περιβάλλοντα.Με το πρόγραμμα που αναπτύχθηκε η πρόθεση δεν

ήταν να γραφτεί κάποιος κώδικας ανταγωνιστικός σεεμπορικό επίπεδο και σε επίπεδο τεχνολογίας αιχμής αλλάκυρίως να γίνει κάποια διερεύνηση στην ανάδραση τουπεριβάλλοντος εισαγωγής δεδομένων – επίλυσης καιπαρουσίασης. Ακόμα διερευνήθηκε ο τρόπος με τον οποίομπορούμε να προσθέτουμε νέους καταστατικούς νόμους μηγραμμικής συμπεριφοράς. Το αποτέλεσμα είναι αρκετάικανοποιητικό και υπάρχουν ακόμα περιθώρια βελτίωσηςστους τομείς της φιλικότητας προς τον χρήστη.Το υπολογιστικό κομμάτι του προγράμματος δείχνει να

δουλεύει σωστά και πέρασε με επιτυχία ελέγχουςαξιοπιστίας [8]. Το πρόγραμμα είναι αρκετά ανοικτό σεπρογραμματιστικό επίπεδο ώστε να μπορούν ναπροστεθούν και άλλοι νόμοι μη γραμμικής συμπεριφοράςκαθώς και άλλες ρουτίνες για την σύγκλιση. Ακόμα είναιαρκετά ανοικτό το κομμάτι για την παρουσίαση τωναποτελεσμάτων αν και βρίσκεται ήδη σε απόλυταικανοποιητικό επίπεδο.

Το επόμενο στάδιο γενικά θα είναι η χρήση τουπρογράμματος για την επίλυση διαφόρων προβλημάτωνκυρίως ερευνητικής φύσεως. Προβλέπεται ότι η ανάπτυξητου προγράμματος θα σταματήσει εφόσον έχει πετύχει τονστόχο της, απλά μπορεί να εισαχθούν νέα κριτήριααστοχίας κ.α.

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ1. Κοζάνης Σ., «Ανάπτυξη προγράμματος πεπερασμένων στοιχείων με

εφαρμογές σε τρισδιάστατα προβλήματα μη γραμμικής συμπεριφοράς»,διπλωματική εργασία, Τ.Α.Τ.Μ. – Ε.Μ.Π. Ιούλιος 1996

2. Τσαμασφύρος Γ.Ι., Θεοτοκόγλου Ε.Ε., Η Μέθοδος τωνΠεπερασμένων Στοιχείων, Συμμετρία 1994

3. Beer & Watson, Introduction to Finite and Boundary ElementMethodes for Engineers, Juhn Wiley & Sons, 1992

4. Desai & Christian, Numerical Methods in GeotechnicalEngineering, 1977

5. Fagan M. J., Finite Element Analysis Theory and Practice,Longman Scientific & Technical, 1992

6. Owen & Hinton, Finite Elements in Plasticity, Pineridge PressLtd, 1980

7. Reddy J.N., Finite Element Method, McGrawHill, 1993

8. Richard H. Macneal, Finite Elements: Their design andperformance

9. Smith, Programming the Finite Element Method with applicationsto geomechanics

10. Shames I.H. & Cozzarelli F.A., Elastic and Inelastic StressAnalysis, Prentice-Hall, 1992

11. Μαρκέτος Ε.Γ., Τεχνική Μηχανική ΙΙ Αντοχή των Υλικών,Συμμετρία, 1992

12. Μυλωνάς Κ.Π., Μηχανική Παραμορφωσίμων Σωμάτων, Ε.Μ.Π.,1992

13. Chapra S.C. & Canale R.P., Numerical Methodes for Engineers,McGraw-Hill, 1988

14. Alan Watt, 3D Computer Graphics, Addison, 1993

15. E.Hoek & E.T. Brown, Underground Excavations in Rock,Institution of Mining and Metallurgy, 1980

.

Μ. Γ. Σακελλαρίου,Επ. Καθηγητής Ε.Μ.Π., Εργαστήριο Δομικής Μηχανικής και Στοιχείων τεχνικών έργων, Τ.Α.Τ.Μ., Ε.Μ.Π., Αθήνα 15780Σ. Κοζάνης,Α.Τ.Μ. Ε.Μ.Π., Υ.Δ. Ε.Μ.Π., Εργαστήριο Δομικής Μηχανικής και Στοιχείων τεχνικών έργων, Τ.Α.Τ.Μ., Ε.Μ.Π., Αθήνα15780