Φύλλο εργασίας Στατιστική - Ομαδοποίηση παρατηρήσεων

Δπηκέιεηα: Φαηδόπνπινο Μάθεο Καζεγεηήο Μαζεκαηηθώλ

http://lisari.blogspot.com 1o Λύθεην Εαθύλζνπ

Μαζεκαηηθά θαη Σηνηρεία

Σηαηηζηηθήο

Γ΄ Λπθείνπ – Γεληθή Παηδεία

§ 13 Δξσηήζεηο ζηελ Θεσξία

§ 18 Παξαδείγκαηα

§ 2 Μεζνδνινγίεο

§ 6 Πίλαθεο κε ηππνιόγηα

ΕΑΚΥΝΘΟΣ 2010 – 11

http://lisari.blogspot.com/


http://lisari.blogspot.com 1o Λύθεην Εαθύλζνπ .

Σηαηηζηηθή – Φύιια εξγαζίαο | Γ΄ Λπθείνπ – Γεληθή Παηδεία

← 2 →

Φύλλο εργαςίασ – Στατιςτική

Γ΄ Λυκείου / Γενική Παιδεία

Ομαδοποίηςη Παρατηρήςεων – Μέτρα θέςησ κ’ διαςποράσ

Ερώτηςη 1η

α) Μέρξη ζηηγκήο κε πόζνπο ηξόπνπο ηαμηλνκνύκε ηηο παξαηεξήζεηο;

Πεξηγξάςηε θαη δώζηε παξαδείγκαηα γηα ην θάζε ηξόπν ρσξηζηά

β) Τη γίλεηαη όηαλ ην κέγεζνο ηνπ δείγκαηνο είλαη κεγάιν; Όηαλ θπξίσο ε

κεηαβιεηή είλαη ζπλερήο κε απνηέιεζκα όιεο νη παξαηεξήζεηο λα είλαη

ζπλήζσο δηαθνξεηηθέο; Μαο βνιεύεη λα αθνινπζήζνπκε έλαλ από ηνπο

πξνεγνύκελνπο ηξόπνπο; Τη ιύζεηο πξνηείλεηε;

Απάντηςη




← 3 →

Ερώτηςη 2η

α) Τη νλνκάδνπκε θιάζεηο. Πνηα κνξθή έρνπλ;

β) Πνηα είλαη ηα όξηα ηωλ θιάζεωλ;

γ) Πνηα είλαη ε αληηπξνζωπεπηηθή ηηκή ηεο θιάζεο; Πσο ζπκβνιίδεηαη

θαη από πνηνπο ηύπνπο δίλεηαη (γξάςηε δύν ηζνδύλακνπο); Πνηα ζρέζε

ζπλδέεη ηελ θεληξηθή ηηκή ηεο θιάζεο κε ην πιάηνο ηεο θιάζεο;

δ) Τη νλνκάδνπκε πιάηνο θιάζεο; Γώζηε ζπκβνιηζκό θαη ηύπν.

Πνηεο θιάζεηο νλνκάδνληαη ηζνπιαηείο θαη πνηεο άληζνπ πιάηνπο; Με

πνηεο ζα αζρνιεζνύκε(εληόο ύιεο);

ε) Τη νλνκάδνπκε εύξνο ησλ παξαηεξήζεσλ; Γώζηε ζπκβνιηζκό θαη ηύπν.

Πνηα ζρέζε ζπλδέεη ην πιάηνο ηεο θιάζεο (c), ην εύξνο (R) θαη ην πιήζνο

ησλ θιάζεσλ (θ);

Απάντηςη




← 4 →

Ερώτηςη 3η

Σπκπιεξώζηε ηνλ πίλαθα

(ηππνιόγην)

Απάντηςη

Ολνκαζίεο Σπκβνιηζκόο Τύπνο

Κιάζεηο -

Όξηα θιάζεσλ -

Κεληξηθή ηηκή

Πιάηνο θιάζεο

Δύξνο

παξαηεξήζεσλ

Πιήζνο

θιάζεσλ

Μέγεζνο ηνπ δείγκαηνο




← 5 →

Παράδειγμα 1 Απάντηςη

Τν ύςνο (ζε cm) 40 καζεηώλ ηνπ ΔΠΑΛ Εαθύλζνπ θαίλνληαη ζην παξαθάησ

πίλαθα:

170

160

[156]

176

180

170

175

169

178

167

172

167

165

177

173

166

170

180

167

179

168

170

187

178

175

182

170

180

175

178

180

164

173

165

178

170

162

178

[191]

173

α) Οη παξαηεξήζεηο ζε πνηα κνξθή δίλνληαη; Δίλαη βνιηθό λα ηηο

ηαμηλνκήζνπκε ζ’ έλα πίλαθα ζπρλνηήησλ; Τη πξνηείλεηε;

β) Βξείηε ην εύξνο ησλ παξαηεξήζεσλ

γ) Βξείηε ην πιάηνο ησλ θιάζεσλ, αλ ηηο νκαδνπνηήζνπκε ζε 6 θιάζεηο.

δ) Οκαδνπνηήζηε ηα δεδνκέλα θαη ζπκπιεξώζηε ηελ ζηήιε ησλ ζπρλνηήησλ,

θεληξηθώλ ηηκώλ θαη αζξνηζηηθώλ ζρεηηθώλ ζπρλνηήησλ ηνηο εθαηό.




← 6 →

Ερώτηςη 3η Απάντηςη

α) Τη ζρέζε έρεη ε θεληξηθή ηηκή κε ην πιάηνο ησλ θιάζεσλ;

β) Τη ζρέζε έρνπλ ηα όξηα ησλ θιάζεσλ κε ην πιάηνο ηεο θιάζεο;

1. Μεζνδνινγία γηα άθξα θιάζεωλ θαη θεληξηθέο ηηκέο

1. Τα θέληξα ηωλ θιάζεωλ δηαθέξνπλ θαηά πιάηνο c. Γειαδή νη θεληξηθέο ηηκέο ησλ θιάζεσλ 1 2 3 kx ,x ,x ,...,x απνηεινύλ κηα αξηζκεηηθή πξόνδν κε

Πξώην όξν 1 1x ,

Γηαθνξά ηεο πξνόδνπ c θαη

Γεληθό όξν: v 1x x v 1 c όπνπ λ θπζηθόο αξηζκόο 1 v k

2. Τν πιάηνο ηεο θιάζεο , δίλεηαη από ηνλ ηύπν: c c άξα ε θιάζε γξάθεηαη σο εμήο: , c

3. Ζ θεληξηθή ηηκή ix γηα ηελ θιάζε , δίλεηαη από ηνπο εμήο ηύπνπο:

ii ix2

xx2

c

2

4. Όηαλ ηα δεδνκέλα είλαη νκαδνπνηεκέλα ζε θ – ηζνπιαηείο θιάζεηο πιάηνπο c, ηόηε ην εύξνο ησλ παξαηεξήζεσλ ππνινγίδεηαη από ηνλ ηύπν: R

c R c kk




← 7 →

Παράδειγμα 2

Βξείηε ηα άθξα θαη ηηο θεληξηθέο ηηκέο ησλ θιάζεσλ ζηηο παξαθάησ πεξηπηώζεηο:

Απάντηση




← 8 →

Ερώτηςη 4η Απάντηςη

Δθθξάζεηο Α΄ ηξόπνο Β ΄ ηξόπνο

Έζησ νη παξαηεξήζεηο 1 2 3 vx x x ... x .

Να γξάςεηε κε δύν θαηάιιεινπο ηύπνπο ηηο δηπιαλέο

εθθξάζεηο

Σημείωση: Τις εκθράζεις ασηές ηις τρηζιμοποιούμε και όηαν οι

παραηηρήζεις είναι ομαδοποιημένες και μη ομαδοποιημένες.

α) Τν πιήζνο ησλ παξαηεξήζεσλ πνπ

έρνπλ ηηκή αθξηβώο κε ix

β) Τν πνζνζηό ησλ παξαηεξήζεσλ πνπ

έρνπλ ηηκή αθξηβώο κε ix

γ) Τν πιήζνο ησλ παξαηεξήζεσλ πνπ

έρνπλ ηηκή ην πνιύ κε ix

δ) Τν πνζνζηό ησλ παξαηεξήζεσλ πνπ

έρνπλ ηηκή ην πνιύ κε ix

ε) Τν πιήζνο ησλ παξαηεξήζεσλ πνπ

έρνπλ ηηκή ηνπιάρηζηνλ κε ix

ζη) Τν πνζνζηό ησλ παξαηεξήζεσλ

πνπ έρνπλ ηηκή ηνπιάρηζηνλ κε ix

δ) Τν πιήζνο ησλ παξαηεξήζεσλ πνπ

έρνπλ ηηκή από ην ix κέρξη jx

ε) Τν πνζνζηό ησλ παξαηεξήζεσλ πνπ

έρνπλ ηηκή από ix κέρξη jx




← 9 →

Ερώτηςη 5 Απάντηςη

Α) Γεληθό ζέκα: Γερόκαζηε όηη νη παξαηεξήζεηο ζε θάζε θιάζε θαηαλέκνληαη

νκνηόκνξθα, ηόηε:

Ζ θιάζε [α, β) κε λ1 παξαηεξήζεηο θαη ζρεηηθή ζπρλόηεηα f1%, ελώ ε θιάζε

[α, β) πνπ είλαη ππνζύλνιν ηνπ [α, β) έρεη λ2 παξαηεξήζεηο θαη ζρεηηθή

ζπρλόηεηα f2% , πνηα ζρέζε ζπλδέεη ηα παξαπάλσ κεγέζε καδί κε ην πιάηνο

ησλ θιάζεσλ;

Β) Παξάδεηγκα 3

Αλ ζεσξήζνπκε όηη νη παξαηεξήζεηο ζε θάζε θιάζε θαηαλέκνληαη

νκνηόκνξθα θαη ην πιήζνο ησλ παξαηεξήζεσλ ηεο θιάζεο [10, 22) κε

ζπρλόηεηα 18 θαη ζρεηηθή ζπρλόηεηα 24%, ηόηε λα βξείηε:

α) Τν πιήζνο θαη ην πνζνζηό ησλ παξαηεξήζεσλ κέρξη ηελ παξαηήξεζε 16

β) Τν πιήζνο θαη ην πνζνζηό ησλ παξαηεξήζεσλ από 16 έωο 22

γ) Τν πιήζνο θαη ην πνζνζηό ησλ παξαηεξήζεσλ κέρξη ηελ παξαηήξεζε 14

δ) Τν πιήζνο θαη ην πνζνζηό ησλ παξαηεξήζεσλ από 19 έωο 22.

Πξνζνρή: Σηε ιέμε «έωο» θαλνληθά έπξεπε λα ιακβάλνπκε ηελ παξαηήξεζε

ζηε θαηαλνκή, παξόιν απηά ζηελ Σηαηηζηηθή (ζηα νκαδνπνηεκέλα δεδνκέλα),

δελ ηελ ιακβάλνπκε (πεξηέξγσο), άξα έρεη ηελ έλλνηα «ιηγόηεξν». Τνπιάρηζηνλ

ζηα ζέκαηα ησλ εμεηάζεσλ πνπ έρνπλ δεηεζεί, απηό ‘ζειαλ θαη πεξίκελαλ…!




← 10 →


α) Πσο νλνκάδνπκε ηηο γξαθηθέο παξαζηάζεηο πνπ παξνπζηάδνπλ

νκαδνπνηεκέλεο παξαηεξήζεηο ; Πεξηγξάςηε ηηο. Πνηα ζαο ζπκίδεη;

β) Σρεδηάζηε ην ηζηόγξακκα:

ζπρλνηήησλ

ζρεηηθώλ ζπρλνηήησλ

ζρεηηθώλ ζπρλνηήησλ ηνηο εθαηό

αζξνηζηηθώλ ζπρλνηήησλ

αζξνηζηηθώλ ζρεηηθώλ ζπρλνηήησλ

αζξνηζηηθώλ ζρεηηθώλ ζπρλνηήησλ

γ) Ιδηόηεηεο ηζηνγξάκκαηνο

Γξάςηε κε πόζν ηζνύηαη ην εκβαδόλ ηεο θάζε νξζνγώληα ζηήιεο ζηηο

πξνεγνύκελεο πεξηπηώζεηο ρσξηζηά θαη κε πόζν ηζνύηαη ην άζξνηζκα

ησλ εκβαδόλ ηνπο (ην ηειεπηαίν δελ αθνξά ηηο αζξνηζηηθέο)

δ) Πεξηγξάςηε θαη ζρεδηάζηε ην πνιύγωλν ζπρλνηήησλ, ζρεηηθώλ

ζπρλνηήησλ, απόιπησλ θαη αζξνηζηηθώλ . Πνηα είλαη ε πνιπγσληθή

γξακκή;

ε) Ιδηόηεηεο ηνπ πνιπγώλνπ (αθνξά γηα ηηο απόιπηεο)

Με ηη ηζνύηαη ην εκβαδόλ ηνπ ρωξίνπ πνπ πεξηθιείεηαη από ηνλ

νξηδόληην άμνλα θαη ηελ πνιπγωληθή γξακκή θάζε θνξά;




← 11 →


Ο παξαπάλσ πίλαθαο παξηζηάλεη ηηο ηηκέο πξντόλησλ ζε επξώ θαη

έρνπλ νκαδνπνηεζεί ζε 5 ηζνπιαηείο θιάζεηο κε ηελ 1ε θαη ε ηειεπηαία

θιάζε ηελ ίδηα ζπρλόηεηα.

α) Να δείμεηε όηη ην πιάηνο ηεο θιάζεο είλαη 6.

β) Να ζπκπιεξώζεηε ηνλ πίλαθα

γ) Να θαηαζθεπάζεηε ηα ηζηνγξάκκαηα ζπρλνηήησλ, ζρεηηθώλ

ζπρλνηήησλ ηνηο εθαηό θαη αζξνηζηηθώλ ζπρλνηήησλ.

δ) Τα πνιύγσλα ησλ ζπρλνηήησλ, ζρεηηθώλ ζπρλνηήησλ ηνηο εθαηό θαη

αζξνηζηηθώλ ζπρλνηήησλ

ε) Να βξείηε πνην είλαη ην πιήζνο θαη ην πνζνζηό ησλ πξντόλησλ πνπ

είλαη αθξηβόηεξα από 41€ (κέζσ ζρήκαηνο)

ζη) Να βξείηε κεηαμύ πνησλ ηηκώλ θπκαίλνληαη ηα 8 θζελόηεξα πξντόληα.

δ) Αλ νη παξαηεξήζεηο θαηαλέκνληαη νκνηόκνξθα ζηηο θιάζεηο ηόηε

βξείηε ην πνζνζηό ησλ παξαηεξήζεσλ πνπ είλαη από 38 έσο 47 €.

[α ,β) xi λi Ni fi% Fi%

6

29 10

62

47 50

Σύλνιν - - -




← 12 →

Παράδειγμα 5 (Θέμα ΟΕΦΕ) Απάντηςη

Τν πνιύγωλν ζπρλνηήηωλ κηαο θαηαλνκήο (x), εηήζησλ κηζζώλ

ζε εθαηνληάδεο επξώ ελόο δείγκαηνο εξγαδνκέλσλ,

νκαδνπνηεκέλεο ζε θιάζεηο ίζνπ πιάηνπο, έρεη θνξπθέο ηα ζεκεία:

Α(20, 0) Β(40, 5) Γ(60, 10) Γ(80, 20)

Δ(100, 30) Ε(120, λ 5 ) Ζ(140, 10) Θ(160, 0)

Ζ θαηαθόξπθε γξακκή x=100 δηαηξεί ην ρσξίν πνπ νξίδεηαη από ην

πνιύγσλν ζπρλνηήησλ θαη ηνλ νξηδόληην άμνλα ζε δύν ηζεκβαδηθά

ρσξία.

α) Να δείμεηε όηη λ 5=25

β) Να θαηαζθεπάζεηε ηζηόγξακκα ζπρλνηήησλ ηεο θαηαλνκήο

γ) Αλ ζαλ «όξην θηώρηαο» ζεσξήζνπκε ηνλ κηζζό 7.200 επξώ

εηεζίσο, λα εθηηκήζεηε ην πνζνζηό θησρώλ ηνπ δείγκαηνο

δ) Αλ νη πινπζηόηεξνη ηνπ δείγκαηνο είλαη 22,5% εθηηκήζηε κεηαμύ

πνησλ νξίσλ αλήθνπλ.

ε) Πνηα κνξθή έρεη ε θαηαλνκή; (Γεο παξαθάησ εξώηεζε 7)




← 13 →


Γίλεηαη ζην παξαθάησ πνιύγσλν ην ζύλνιν ησλ σξώλ πνπ είλαη

ζην δηαδίθηπν κεληαίσο νη καζεηέο ηνπ 1νπ

Λπθείνπ Εαθύλζνπ.

α) Πνην κέγεζνο έρεη ην παξαπάλσ δηάγξακκα;

β) Να βξεζεί από ην ζρήκα ην ζύλνιν ησλ σξώλ ζην δηαδίθηπν ζην

νπνίν αληηζηνηρεί ην 20% ησλ καζεηώλ.

γ) Να βξεζεί από ην ζρήκα ην πνζνζηό ησλ καζεηώλ πνπ βξίζθεηαη

ζην δηαδίθηπν (online) έσο 15 ώξεο κεληαίσο;

δ) Βξείηε ην πνζνζηό ησλ καζεηώλ πνπ είλαη ζην δηαδίθηπν




← 14 →

ηνπιάρηζηνλ 16 ώξεο κεληαίσο

από 15 έσο 18 ώξεο κεληαίσο

ην πνιύ 13 ώξεο κεληαίσο

«θακέλνη» (ζζ: ε έλλνηα είλαη γλσζηή ζηνπο

θνκπηνπηεξάδεο)

ε) Αλ νη καζεηέο πνπ ξσηήζεθαλ είλαη 80, ηόηε λα ζρεδηάζεηε ην

ηζηόγξακκα ζπρλνηήησλ


α) Πσο ζρεκαηίδεηαη ε θακπύιε ζπρλνηήηωλ; Πνπ καο ρξεζηκεύεη;

β) Πνηεο είλαη νη βαζηθέο κνξθέο πνπ κπνξεί λα έρεη κηα θαηαλνκή

ζπρλνηήησλ; Γώζηε ζρήκα θαη όλνκα θάζε θνξά.




← 15 →

Ερώτηςη 8η

α) Τη νλνκάδνπκε κέηξα ζέζεο;

β) Τη νλνκάδνπκε κέηξα δηαζπνξάο;

γ) Να αλαθέξεηε ηα ζπνπδαηόηεξα κέηξα ζέζεο θαη δηαζπνξάο

πνπ ζα κειεηήζνπκε


Έλαο θαζεγεηήο καζεκαηηθώλ Πνιπμεξόπνπινο Πνιπμεξίδεο εξρόκελνο

ζηα κέζα Οθησβξίνπ ζην 1ν Λύθεην Εαθύλζνπ ηνπ δώζαλε δύν ηκήκαηα

ηεο Γ Λπθείνπ, ην Γ1 θαη ην Γ2 (ν θαεκέλνο). Γηα λα ζπγθξίλεη ηα

ηκήκαηα απηά σο πξνο ηελ επίδνζή ζην κάζεκα ηεο Σηαηηζηηθήο, έθαλε

ην εμήο: Πήξε 10 ηπραίνπο καζεηέο από θάζε ηκήκα, όπνπ ε βαζκνινγία

ηνπο ζην κάζεκα απηό ήηαλ:

Τκήκα Γ1: 13 13 14 15 15 15 15 16 16 18

Τκήκα Γ2: 10 13 14 14 15 15 15 16 18 20.

α) Πνην ηκήκα ζα δηαιέγαηε ζηελ ζέζε ηνπ θαη γηαηί;

β) Πνηνο είλαη ν κεζαίνο καζεηήο ζε θάζε ηάμε πξνζεγγηζηηθά;

γ) Πνην ηκήκα έρεη κεγαιύηεξε ζπλνρή ζηνπο βαζκνύο ηεο;

Απάντηςη




← 16 →

( 9 ) Τύπνη κε Σπρλόηεηα λi

Μέηξα

Θέζεο

Σπ

κβ

νιηζ

κό

ο

Γηαζθνξπηζκέλεο

παξαηεξήζεηο

1 2 3 vt , t , t ,..., t

(νη παξαηεξήζεηο είλαη λ, αιιά

δελ μέξνπκε αλ είλαη

δηαθνξεηηθέο)

Πίλαθαο

ζπρλνηήηωλ

ix iv

1x 1v

2x 2v

… ….

x v

Οκαδνπνηεκέλα δεδνκέλα

[…, …) ix iv

1 2[ , ) 1x 1v

2 3[ , ) 2x 2v

……. …. ….

1[ , ) kx v

Μεηνλεθηήκαηα

Μέζε ηηκή

Σηαζκηθόο

κέζνο

Γηάκεζνο




← 17 →

(10) Τύπνη κε Σπρλόηεηα λi

Μέηξα

Γηαζπνξάο

Σπ

κβ

νιηζ

κό

ο

Γηαζθνξπηζκέλεο παξαηεξήζεηο

1 2 3 vt , t , t ,..., t

(νη παξαηεξήζεηο είλαη λ, αιιά δελ

μέξνπκε αλ είλαη δηαθνξεηηθέο)

Πίλαθαο ζπρλνηήηωλ

ix iv

1x 1v

2x 2v

… ….

x v


[…, …) ix iv

1 2[ , ) 1x 1v

2 3[ , ) 2x 2v

……. …. ….

1[ , ) kx v

Μεηνλεθηήκαηα

Δύξνο

Γηαθύκαλζε

Α΄ ηύπνο: Β΄ ηύπνο Γ΄ ηύπνο

Τππηθή απόθιηζε

Σπληειεζηήο

κεηαβνιήο




← 18 →

(11) Τύπνη κε Σρ. Σπρλόηεηα fi

Μέηξα Θέζεο

θαη

Γηαζπνξάο

Γηαζθνξπηζκέλεο παξαηεξήζεηο

1 2 3 vt , t , t ,..., t

(νη παξαηεξήζεηο είλαη λ, αιιά δελ μέξνπκε αλ

είλαη δηαθνξεηηθέο)

Πίλαθαο ζπρλνηήηωλ

ix iv

1x 1v

2x 2v

… ….

x v


[…, …) ix iv

1 2[ , ) 1x 1v

2 3[ , ) 2x 2v

……. …. ….

1[ , ) kx v

Μέζε ηηκή

Γηάκεζνο

Γηαθύκαλζε

Α΄ ηύπνο: Β΄ ηύπνο Γ΄ ηύπνο




← 19 →

Παράδειγμα 8 (διαςκορπιςμένεσ παρατηρήςεισ)

Απάντηςη

Σ’ έλα δξόκν άλαξρα δνκεκέλν, κεηξήζεθαλ νη

όξνθνη θάζε κηαο από ηηο 20 νηθνδνκέο ηνπ, κε

ηα παξαθάησ απνηειέζκαηα:

1 3 3 1 3 2 3 5 4 3

2 4 2 2 4 4 5 4 3 1

Να βξείηε:

α) Όια ηα κέηξα ζέζεο

β) Όια ηα κέηξα δηαζπνξάο.


(πίνακας συχνοτήτων)

Απάντηςη

Σην παξαθάησ ζρήκα θαίλεηαη ην πνιύγσλν

αζξνηζηηθώλ ζπρλνηήησλ γηα ηνλ αξηζκό ησλ

παηδηώλ ησλ νηθνγελεηώλ ελόο ρσξηνύ.

α) Βξείηε ην κέγεζνο ηνπ δείγκαηνο θαη

θαηαζθεπάζηε ηνλ πίλαθα ζπρλνηήησλ




← 20 →

β) Να βξείηε όια ηα κέηξα ζέζεο

γ) Βξείηε όια ηα κέηξα δηαζπνξάο.


(ομαδοποιημένα δεδομένα)

Απάντηςη

Ζ βαζκνινγία 80 καζεηώλ ζηηο γξαπηέο

εμεηάζεηο ηνπ Ηνπλίνπ θπκάλζεθε από ην 10 έσο

20. Οη βαζκνί ρσξίζηεθαλ ζε 5 θιάζεηο ίζνπ

πιάηνπο. Καηαζθεπάδνληαο ηζηνγξάκκαηα

ζπρλνηήησλ θαη ζρεηηθώλ ζπρλνηήησλ

παξαηεξνύκε όηη:

Σην ηζηόγξακκα ζπρλνηήησλ ην εκβαδόλ

Οικο-

γένειες

Αριθμός

παδιών

y

x

50

45

35

20

8

43210




← 21 →

ηνπ νξζνγσλίνπ ηεο θιάζεο 12 – 14

είλαη 16

Σην ηζηόγξακκα ζρεηηθώλ ζπρλνηήησλ

(ηνηο εθαηό) ην ύςνο ηνπ νξζνγσλίνπ

ηεο θιάζεο 16 – 18 είλαη 35

Σην θπθιηθό δηάγξακκα ζπρλνηήησλ, ην

ηόμν πνπ αληηζηνηρεί ζηελ θιάζε

14 – 16 είλαη 90.

Οη καζεηέο πνπ ην γξαπηό ηνπο κε

10 – 12 είλαη ηξηπιάζηνη από ηνπο

καζεηέο πνπ βαζκνινγήζεθαλ κε

18 – 20

Να βξείηε:

α) Τν εύξνο θαη ην πιάηνο ηεο θιάζεο

β) Τνλ πίλαθαο θαηαλνκήο ζπρλνηήησλ θαη

ζρεηηθώλ ζπρλνηήησλ.

γ) Τελ κέζε ηηκή, δηάκεζν θαη ηνλ ζπληειεζηή

κεηαβνιήο




← 22 →


(ςχετικέσ ςυχνότητεσ)

Απάντηςη

Γίλεηαη ν πίλαθαο ζρεηηθώλ ζπρλνηήησλ κε

πξώηε θαη πέκπηε

παξαηήξεζε ηελ

ίδηα ζπρλόηεηα.

α) Σπκπιεξώζηε

ηνλ πίλαθα θαη

βξείηε ηελ

αζξνηζηηθή ζρεηηθή

ζπρλόηεηα ηνηο

εθαηό

β) Τν δείγκα είλαη άξηην ή πεξηηηό;

Γηθαηνινγήζηε ηελ απάληεζή ζαο

γ) Να ζρεδηάζεηε ην θπθιηθό δηάγξακκα

ζρεηηθώλ ζπρλνηήησλ ηνηο εθαηό

δ) Βξείηε ηελ δηάκεζν θαη ηελ κέζε ηηκή ησλ

παξαηεξήζεσλ

ε) Βξείηε ην εύξνο θαη ηνλ ζπληειεζηή

κεηαβνιήο ηνπ δείγκαηνο

xi fi

1

2 0,16

3 0,14

4 0,3

5

Σύλνιν




← 23 →

2. Μεζνδνινγία εύξεζεο δηακέζνπ όηαλ γλωξίδνπκε κόλν ηελ ζρεηηθή ζπρλόηεηα ηωλ παξαηεξήζεωλ (όρη ζε νκαδνπνηεκέλα δεδνκέλα)

Από ηνλ νξηζκό ηεο δηακέζνπ έρνπκε ε δηάκεζνο δ νξίδεηαη σο ηελ παξαηήξεζε πνπ ρσξίδεη ην δείγκα ην πνιύ 50% ησλ παξαηεξήζεσλ λα είλαη κηθξόηεξεο

ηνπ δ θαη ην πνιύ 50% ησλ παξαηεξήζεσλ λα είλαη κεγαιύηεξεο ηνπ δ.

Την λέξη «πολύ» την παπατηπήσατε; Γιατί την αναυέπει ο οπισμόρ; Την αναυέπει για να καλύψει τιρ εξήρ πεπιπτώσειρ:

Α. Αλ ην δείγκα είλαη πεξηηηό ηόηε ε δηάκεζνο ρσξίδεη ην δείγκα εθαηέξσζελ ιηγόηεξν από ην 50%, αθνύ ηνπ ιείπεη κηα παξαηήξεζε ε θεληξηθή. Απηό

θαίλεηαη θαη ζην παξαθάησ ζρήκα: 1 2 3 p 1 p p 1 k 1 k

50% 50%

x ,x ,x ,...., x , x ,x ,..., x ,x

Β. Αλ ην δείγκα είλαη άξηην θαη νη θεληξηθέο παξαηεξήζεηο είλαη δηαθνξεηηθέο ηόηε ε θεληξηθή ηηκή δελ αλήθεη ζην δείγκα, άξα ην ρσξίδεη αθξηβώο ζε 50%

εθαηέξσζελ, δειαδή δείηε ην ζρήκα: 1 2 3 p p 1 k 1 k

50% 50%

x ,x ,x ,...., x x ,..., x ,x

Γ. Σην ηέινο αλ ην δείγκα είλαη άξηην ην πιήζνο θαη νη θεληξηθέο ηηκέο είλαη ίζεο, ηόηε αλαγόκαζηε ζηελ πξώηε πεξίπησζε θαη ε δηάκεζνο ζα ηαπηηζηεί κε κία

από ηηο παξαηεξήζεηο ηνπ δείγκαηνο, άξα νη παξαηεξήζεηο πνπ ζα αθήλεη εθαηέξσζελ ηεο θεληξηθήο ηηκήο ζα είλαη ιηγόηεξεο από 50%

Σπκπέξαζκα: Αλ δείηε ηελ παξαθάησ πεξίπησζε: 1 2 3 p p 1 k 1 k

50% 50%

x ,x ,x ,...., x x ,..., x ,x

ηόηε ην δείγκα είλαη άξηην θαη νη θεληξηθέο ηηκέο είλαη ηα p p 1x ,x κε δηάκεζν ηελ p p 1x x

2




← 24 →


Σηνλ παξαθάησ πίλαθα δίλνληαη νη

ηηκέο κηαο κεηαβιεηήο Φ κε ηηο

αληίζηνηρεο ζπρλόηεηέο ηνπο. Βξείηε

ηελ πέκπηε ζπρλόηεηα εάλ γλσξίδεηε

όηη:

α) Ζ κέζε ηηκή είλαη 4,52

β) Ζ δηάκεζνο είλαη 4,5

γ) Βξείηε ηνλ ζπληειεζηή κεηαβνιήο

θαη ζηηο δύν πεξηπηώζεηο. Πνηα δείγκα

είλαη πην νκνηνγελέο;

ix i

2 12

3 26

4 12

5 14

6 -

7 16




← 25 →


Έζησ νη παξαηεξήζεηο

1 2 3t , t , t ,..., t

ηόηε νη κεηαβνιέο πνπ παζαίλνπλ νη

παξαηεξήζεηο έρνπκε θαη αλάινγεο

κεηαβνιέο γηα ηα κέηξα ζέζεο θαη

δηαζπνξάο; Σπκπιεξώζηε ηνλ

δηπιαλό πίλαθα:

Παξαηεξήζεηο Μέζε ηηκή Γηάκεζνο Τππηθή

απόθιηζε

Σπληειεζηήο

κεηαβνιήο

1 2 3t , t , t ,..., t x δ s CV

1 2 3t c, t c, t c,..., t c

1 2 3t , t , t ,..., t

αύμεζε ησλ

παξαηεξήζεσλ θαηά α%

κείωζε ησλ

παξαηεξήζεσλ θαηά α%




← 26 →


Έζησ νη παξαηεξήζεηο 1 2 3t , t , t ,..., t πνπ έρνπλ

κέζε ηηκή x 8 θαη ηππηθή απόθιηζε s 2 .

α) Βξείηε ηνλ ζπληειεζηή κεηαβνιήο

β) Βξείηε ην λέν ζπληειεζηή κεηαβνιήο γηα ηηο

παξαθάησ πεξηπηώζεηο:

νη παξαηεξήζεηο απμάλνληαη θαηά 5

νη παξαηεξήζεηο κεηώλνληαη θαηά 2

νη παξαηεξήζεηο δηπιαζηάδνληαη

νη παξαηεξήζεηο ππνδηπιαζηάδνληαη

νη παξαηεξήζεηο απμάλνληαη θαηά 12%

νη παξαηεξήζεηο κεηώλνληαη θαηά 6%

γ) Να βξεζεί ε ειάρηζηε ηηκή ηεο ζηαζεξάο c πνπ

πξέπεη λα απμήζνπκε ζε όιεο ηηο αξρηθέο

παξαηεξήζεηο ώζηε ην λέν δείγκα πνπ ζα

πξνθύςεη λα είλαη νκνηνγελέο.




← 27 →


α) Τη ζεκαίλεη όηη έλα δείγκα είλαη νκνηνγελέο;

β) Αλ ην δείγκα Α είλαη πην νκνηνγελέο από ην δείγκα Β, ην ζεκαίλεη απηό;

γ) Αλ ε θαλνληθή θαηαλνκή ζπρλνηήηωλ γηα ην ραξαθηεξηζηηθό πνπ

εμεηάδνπκε είλαη θαλνληθή ή πεξίπνπ θαλνληθή, ηόηε ε ηππηθή απόθιηζε

πνηεο ηδηόηεηεο έρεη; Γηθαηνινγήζηε ηα πνζνζηά ζηα ελδηάκεζα δηαζηήκαηα

ζην παξαθάησ ζρήκα




← 28 →


Σε δείγκα κε θαλνληθή θακπύιε ζπρλνηήησλ ην

81,5% ησλ ηηκώλ βξίζθνληαη ζην δηάζηεκα (17,

29), όπνπ ηα άθξα ηνπ δηαζηήκαηνο είλαη θάπνηεο

από ηηο ραξαθηεξηζηηθέο ηηκέο x 3s,x 2s,x s

θ.η.ι.

Να βξείηε ζε θάζε πεξίπησζε ην ζπληειεζηή

κεηαβνιήο ηνπ δείγκαηνο.


Ο κέζνο ρξόλνο πνπ ρξεηάδνληαη νη καζεηέο ελόο

ζρνιείνπ λα πάλε ην πξσί από ην ζπίηη ηνπο κέρξη

ην ζρνιείν είλαη 18 ιεπηά κε ηππηθή απόθιηζε 2

ιεπηά. Υπνζέηνληαο όηη έρνπκε πεξίπνπ θαλνληθή

θαηαλνκή, λα βξείηε θαηά πξνζέγγηζε ην πνζνζηό

ησλ καζεηώλ πνπ ρξεηάδνληαη γηα λα πάλε

ζρνιείν:




← 29 →

α) Κάησ από 16 ιεπηά

β) Πάλσ από 14 ιεπηά

γ) Τν πνιύ 20 ιεπηά

δ) Από 16 έσο 22 ιεπηά


Δμεηάζακε έλα δείγκα καζεηώλ κηαο ηάμεο σο

πξνο ην βάξνο ηνπο θαη δηαπηζηώζεθε όηη

θπκαίλεηαη από 45 έσο 75 θηιά. ελώ ε θαηαλνκή

ησλ βαξώλ είλαη θαλνληθή.

α) Βξείηε ηε κέζε ηηκή, ηππηθή απόθιηζε θαη ην

εύξνο ησλ παξαηεξήζεσλ πξνζεγγηζηηθά.

β) Δμεηάζηε αλ ην δείγκα είλαη νκνηνγελέο

γ) Αλ κεηά από ηηο δηαθνπέο ηνπ Πάζρα,

παξαηεξήζεθε όηη όινη νη καζεηέο πήξαλ 1,5 θηιό

ν θαζέλαο, ηόηε βξείηε ηνλ λέν ζπληειεζηή

κεηαβνιήο

δ) Αλ ην άζξνηζκα ησλ αξρηθώλ βαξώλ ησλ




← 30 →

καζεηώλ είλαη 1800 θηιά, λα βξεζεί ην κέγεζνο

ηνπ δείγκαηνο.

ε) Τη πνζνζηό ησλ καζεηώλ έρεη βάξνο ην νπνίν

θπκαίλεηαη κεηαμύ από 50 θαη 60 θηιώλ;


Ο ζπληειεζηήο κεηαβνιήο 200 παξαηεξήζεσλ

είλαη 20% θαη ην εύξνο ηνπο είλαη 60. Οη ηηκέο ηεο

κεηαβιεηήο αθνινπζνύλ πεξίπνπ ηελ θαλνληθή

θαηαλνκή θαη βξίζθνληαη όιεο κεηαμύ ηνπ

x 3s x 3s

Α. Βξείηε ην εύξνο, ηελ κέζε ηηκή θαη ηελ ηππηθή

απόθιηζε ηνπ δείγκαηνο

Β. Να βξείηε ην πνζνζηό ησλ ηηκώλ είλαη:

α. Μεηαμύ 20 θαη 60

β. Μεγαιύηεξεο από 70

γ. Μηθξόηεξεο από 40

δ. Μεγαιύηεξεο από 70 ή κηθξόηεξεο από 20;




← 31 →

Γ. Αλ νη ηηκέο ειαηησζνύλ θαηά 40% θαη ζηε

ζπλέρεηα απμεζνύλ θαηά 60, λα βξείηε ηε

κεηαβνιή πνπ επηθέξεηαη ζην ζπληειεζηή

κεηαβνιήο.

Παραδείγματα 18 Απάντηςη

Σε έξεπλα πνπ έγηλε ζηνπο καζεηέο κηαο πόιεο, γηα ηνλ

ρξόλν πνπ θάλνπλ λα πάλε από ην ζπίηη ζην ζρνιείν,

δηαπηζηώζεθε όηη ην 50% πεξίπνπ ησλ καζεηώλ ρξεηάδεηαη

πεξηζζόηεξν από 12 ιεπηά, ελώ ην 16% πεξίπνπ ρξεηάδεηαη

ιηγόηεξν από 10 ιεπηά.

Υπνζέηνπκε όηη ε θαηαλνκή ηνπ ρξόλνπ ηεο δηαδξνκήο

είλαη θαηά πξνζέγγηζε θαλνληθή.

Α. α) Να βξείηε ην κέζν ρξόλν δηαδξνκήο ησλ καζεηώλ θαη

ηελ ηππηθή απόθιηζε ηνπ ρξόλνπ δηαδξνκήο ηνπο.

Β. β) Να εμεηάζεηε, αλ ην δείγκα είλαη νκνηνγελέο.

Γ. γ) Αλ νη καζεηέο ηεο πόιεο είλαη 4.000, πόζνη καζεηέο ζα

θάλνπλ ρξόλν δηαδξνκήο από 14 έσο 16 ιεπηά.

Γ. δ) Μηα κέξα, ιόγσ έξγσλ ζηνλ θεληξηθό δξόκν ηεο πόιεο,

θάζε καζεηήο θαζπζηέξεζε 5 ιεπηά. Να βξείηε πόζν

κεηαβάιιεηαη ν ζπληειεζηήο κεηαβνιήο (CV).

(Δμεηάζεηο 2001)

Φύλλο εργασίας Στατιστική - Ομαδοποίηση παρατηρήσεων

Documents