ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Πρόγραµµα Σπουδών: ∆ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ

Θεµατική Ενότητα: ∆ΕΟ-13 – Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδηµαϊκό Έτος: 2003-4

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ∆Ε∆ΟΜΕΝΩΝ

ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΤΑ ∆Ε∆ΟΜΕΝΑ ΤΑΞΙΝΟΜΗΜΕΝΑ ∆Ε∆ΟΜΕΝΑ

Αριθµητικός Μέσο

1

n

ii

XX

n==∑

Σταθµικός Αριθµη

1

n

W ii

X W=

= ∑

, 11

=∑=

n

iiW

∆ιάµεσος

• Αν n περιττ

Μ: Η τιµή τη

θέση 2

1+n

• Αν n άρτιος

=

221

nXM

Επικρατούσα Τιµή

: 0T η τιµή µεσυχνότητ

ΜΜΕΕΤΤΡΡΑΑ ΘΘΕΕΣΣΗΗΣΣ // ΚΚΕΕΝΝΤΤΡΡΙΙΚΚΗΗΣΣ ΤΤΑΑΣΣΗΗΣΣ

ς

1

1

k

i ii

k

ii

f mX

f

=

=

=∑

∑

τικός Μέσος

iX

10 ≤≤ iW

ός

ς παρατήρησης στη

δηλαδή η

+

2

1nX

+

+2

1 nX

Μ

Μ

M f

Fn

δLM

−

+=−12

τη µεγαλύτερη α εµφάνισης 21

10 0 ∆∆

∆δLT T ++=

2

i – Τεταρτηµόριο

iQ : Η τιµή στη θέση 4

1)i(n + δηλαδή η

+4

)1(niX

( ) ( )

QQQ AAQAnii XXXXQ −∆+== ++ 14

1

Όπου

ΑQ: Το ακέραιο µέρος του πηλίκου 4

1)i(n +

∆Q: Το δεκαδικό µέρος του πηλίκου 4

1)i(n +

i

i

iQ

Q

Qi f

Fni

LQ

−

+=−14δ

Εύρος

minmax XXR −=

Ενδοτεταρτηµοριακό Εύρος

13 QQIR −=

13 QQIR −=

Τεταρτηµοριακή Απόκλιση

213 QQ

Q−

=

213 QQ

Q−

=

∆ιακύµανση

( )1

1

2

2

−

−=

∑=

n

XXS

n

ii

( )2

2 1

1

1

k

i ii

k

ii

f m XS

f

=

=

−=

−

∑

∑

ΜΜΕΕΤΤΡΡΑΑ ΣΣΧΧΕΕΤΤΙΙΚΚΗΗΣΣ ΘΘΕΕΣΣΗΗΣΣ

ΜΜΕΕΤΤΡΡΑΑ ∆∆ΙΙΑΑΣΣΠΠΟΟΡΡΑΑΣΣ

3

1

2

1

2

2

−

−=

∑=

n

XnXS

n

ii

2 2

2 1

1

1

k

i ii

k

ii

f m nXS

f

=

=

−=

−

∑

∑

Τυπική Απόκλιση

2SS +=

2SS +=

Συντελεστής Μεταβλητότητας

*100SCVX

=

*100SCVX

=

Συντελεστές Ασυµµετρίας

STX

S p0−

=

3

1

3 3

( )n

ii

X X

nS

β=

−

=

∑

STX

S p0−

=

( )3

1

13 3

k

i ii

k

ii

f m X

f

Sβ

=

=

−

=

∑

∑

ΜΜΕΕΤΤΡΡΑΑ ΣΣΧΧΕΕΤΤΙΙΚΚΗΗΣΣ ∆∆ΙΙΑΑΣΣΠΠΟΟΡΡΑΑΣΣ

ΜΜΕΕΤΤΡΡΑΑ ΑΑΣΣΥΥΜΜΜΜΕΕΤΤΡΡΙΙΑΑΣΣ

ΜΜΕΕΤΤΡΡΑΑ ΚΚΥΥΡΡΤΤΩΩΣΣΗΗΣΣ

Συντελεστής Κύρτωσης

4

1

4 4

( )n

ii

X X

nS

β=

−

=

∑

( )4

1

14 4

k

i ii

k

ii

f m X

f

Sβ

=

=

−

=

∑

∑

4

ΠΠ ΙΙ ΘΘ ΑΑ ΝΝ ΟΟ ΤΤ ΗΗ ΤΤ ΕΕ ΣΣ Αξιώµατα του Kolmogorov Έστω S ένας δειγµατικός χώρος και έστω Β το σύνολο όλων των ενδεχοµένων του S.

Ορίζουµε ως συνάρτηση πιθανότητας µια συνάρτηση Ρ:

P: Β →R

η οποία σε κάθε ενδεχόµενο Α αντιστοιχεί έναν πραγµατικό αριθµό Ρ(Α) έτσι ώστε να

ικανοποιούνται τα παρακάτω αξιώµατα:

i. ( ) 0≥AP

ii. ( ) 1=SP

iii. Α( ) ( ) ( ) ( )1 21 1

,nn

i ni i

P A P A P A P A P A=

=

∪ = + + + = ∑L i i∩Αj = ∅, i ≠ j

Βασικά Θεωρήµατα Πιθανοτήτων Θεώρηµα 1 Για κάθε ενδεχόµενο Α ισχύει )(1)( APAP −=′ .

Θεώρηµα 2 Ισχύει ότι: ( ) 0P ∅ =

Θεώρηµα 3 Για κάθε ενδεχόµενο Α ισχύει 1)( ≤AP .

Θεώρηµα 4 Για οποιαδήποτε ενδεχόµενα και ισχύει ότι: 1A 2A

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2P A A P A P A P A A= + −U I

Το θεώρηµα 4 γενικεύεται για την περίπτωση n ενδεχοµένων.

Στην περίπτωση που n=3 γίνεται:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3P A A A P A P A P A P A A P A A P A A P A A A= + + − − − +U U I I I I I

Για δύο ενδεχόµενα τα οποία είναι ασυµβίβαστα το θεώρηµα 4 οδηγεί στο

συµπέρασµα

( ) ( ) ( ) ∅=+= 212121 , A AAPAPAAP IU

το οποίο είναι ειδική περίπτωση του 3ου αξιώµατος.

5

∆εσµευµένη Πιθανότητα

( ) ( )( ) ( )1 2

1 2 22

, 0P A A

P A A P AP A

∩= >

( ) ( )( ) ( )1 2

2 1 11

, 0P A A

P A A P AP A

∩= >

Ανεξάρτητα Ενδεχόµενα

• 2 ενδεχόµενα Α1, Α2 είναι ανεξάρτητα αν ισχύει: ( ) ( ) ( )2121 APAPAAP =I

• 3 ενδεχόµενα Α1, Α2, Α3 είναι ανεξάρτητα αν ισχύει:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 321321

3232

3131

2121

APAPAPAAAPAPAPAAPAPAPAAPAPAPAAP

===

( )

=

II

I

I

I

• n ενδεχόµενα Α1, Α2,…, Αn είναι ανεξάρτητα αν για κάθε συνδυασµό 2 ή περισσοτέρων

από αυτά ισχύει:

( ) ( ) ( ) ( )kk iiiiii A...PAPAPA...AAP

2121=III , 1 ≤ i1 < i2 < . . . < i k ≤ n .

Ενδεχόµενα Ανεξάρτητα κατά Ζεύγη Τα ενδεχόµενα Α1, Α2,…, Αn λέγονται ανεξάρτητα κατά ζεύγη αν ισχύει:

( ) ( ) ( )jiji APAPAAP =I , i, j = 1, 2, …, n, i ≠ j . Προφανώς, n ενδεχόµενα µπορεί να είναι ανεξάρτητα κατά ζεύγη χωρίς να είναι ανεξάρτητα. Κανόνας Πολλαπλασιασµού Πιθανοτήτων

• Για 2 ενδεχόµενα:

( )1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )P A A P A P A A P A P A A∩ = =

• Για 3 ενδεχόµενα:

[ ] [ ]1 2 3 1 2 1 3 1 2 .P A A A P A P A A P A A A∩ ∩ = ∩

• Για n ενδεχόµενα:

[ ] [ ]1

1 2 1 2 1 3 1 21

... ...n

n ni

P A A A P A P A A P A A A P A A−

=

∩ ∩ ∩ = ∩

I i

6

Θεώρηµα της Ολικής Πιθανότητας

Έστω ότι είναι µία διαµέριση του δειγµατικού χώρου S τέτοια ώστε

≠ 0 , i = 1, 2, …, n. Τότε για κάθε ενδεχόµενο Ε έχουµε ότι,

nAAA ,...,, 21

( iAP )

( ) ( ) (∑=

=n

iii AEPAPEP

1

) .

Θεώρηµα του Bayes

Έστω µία διαµέριση του δειγµατικού χώρου S τέτοια ώστε ≠ 0, i = 1, 2, …, n. Τότε για κάθε ενδεχόµενο Ε µε

nAAA ,...,, 21 ( iAP )( ) 0>EP έχουµε ότι,

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( )EP

AEPAP

AEPAP

AEPAPEAP

kk

n

iii

kkk

=

=

∑=1

ΑΑΡΡΧΧΕΕΣΣ ΑΑΠΠΑΑΡΡΙΙΘΘΜΜΗΗΣΣΗΗΣΣ

Μεταθέσεις

!nPn =

Επαναληπτικές Μεταθέσεις

!.n..!n!n!n

k21

∆ιατάξεις

( ) ( )!xn!nn,xPP

xn −==

Επαναληπτικές ∆ιατάξεις nx

Συνδυασµοί

( ) ( )!!!,

xnxnxnCC

xn −==

7

ΘΘΕΕΩΩΡΡΗΗΤΤΙΙΚΚΕΕΣΣ ΚΚΑΑΤΤΑΑΝΝΟΟΜΜΕΕΣΣ

∆ΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ

∆ιωνυµική Κατανοµή [Χ ~ Β(n, p)]

10,0, )!(!

!)( <<≤≤−

=

== −− pnkqp

knknqp

kn

kXP knkknk

npqXVnpXE == )( )( Υπεργεωµετρική Κατανοµή [Χ ~ H(N, r, n)]

nkkXPN

n

rN

kn

r

k ,...,2,1,0, )( =

==

−

−

−−

−

=

=

1)( )(

NnN

NrN

NrnXV

NrnXE

Κατανοµή Poisson [Χ ~ P(λ)]

...,2,1,0,!

)( ===−

kk

ekXPkλλ

Ε(Χ) = λ V(Χ) = λ

ΣΣΥΥΝΝΕΕΧΧΕΕΙΙΣΣ ΚΚΑΑΤΤΑΑΝΝΟΟΜΜΕΕΣΣ Κανονική Κατανοµή [Χ ~ Ν(µ, σ2)]

+∞<<∞−=

−

−

XeXfX

,2

1)(2

21

σµ

πσ όπου π = 3,1416 & e = 2,7183

Ε(Χ) = µ V(Χ) = σ2

8

Τυποποιηµένη Κανονική Κατανοµή [σ

µΧΖ −= ~ Ν(0, 1)]

+∞<<∞−=−

ZeZfZ

,21)(

2

21

π όπου π = 3,1416 & e = 2,7183

Ε(Ζ) = 0 V(Ζ) = 1

ΣΣΥΥΝΝΤΤΕΕΛΛΕΕΣΣΤΤΕΕΣΣ ΕΕΥΥΘΘΕΕΙΙΑΑΣΣ ΠΠΑΑΛΛΙΙΝΝ∆∆ΡΡΟΟΜΜΗΗΣΣΗΗΣΣ

ΧααY ο 1+=ˆ

XaYnX

anY

α iiο 11 −=−= ∑∑

[ ][ ]

∑ ∑∑ ∑∑

∑∑

−

−=

−

−−=

nX

X

nYX

YX

)X(X)X)(XY(Y

ai

i

iiii

i

ii2

221 )(

ΣΣΥΥΝΝΤΤΕΕΛΛΕΕΣΣΤΤΗΗΣΣ ΣΣΥΥΣΣΧΧΕΕΤΤΙΙΣΣΗΗΣΣ

( )( )[ ]( ) ( ) ( ) ( )

−

−

−=

−−

−−=

∑∑∑∑

∑∑∑

∑∑∑

nY

YnX

X

nYX

YX

XXYY

XXYYr

ii

ii

iiii

ii

ii

2

2

2

2

22

]1,1[−∈r

ΣΣΥΥΝΝΤΤΕΕΛΛΕΕΣΣΤΤΗΗΣΣ ΠΠΡΡΟΟΣΣ∆∆ΙΙΟΟΡΡΙΙΣΣΜΜΟΟΥΥ

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

22

22 2 2 2

2 2

i ii ii i

i i i ii i

X YX YY Y X X n

RY Y X X X Y

X Yn n

− − − = = − − − −

∑ ∑∑∑

∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑

]1,0[2 ∈R

9

ΣΣ ΥΥ ΜΜ ΒΒ ΟΟ ΛΛ ΙΙ ΣΣ ΜΜ ΟΟ ΙΙ

Χi, i = 1, 2, 3,…, n Παρατηρήσεις Χmax Μέγιστη παρατήρηση Χmin Ελάχιστη παρατήρηση n Πλήθος των παρατηρήσεων ∆ Εύρος της τάξης (αναφερόµαστε σε τάξεις ίσου εύρους) mi Κεντρική τιµή της i τάξης K Πλήθος των τάξεων

Mf Συχνότητα της τάξης της διαµέσου

iQf Συχνότητα της τάξης του i τεταρτηµορίου

1-MF Αθροιστική συχνότητα της προηγούµενης τάξης από αυτή της διαµέσου

1Qi −F Αθροιστική συχνότητα της προηγούµενης τάξης από αυτή του i τεταρτηµορίου

LΜ Κατώτερο όριο της τάξης της διαµέσου

iQL Κατώτερο όριο της τάξης του i τεταρτηµορίου

oTL Κατώτερο όριο της τάξης της επικρατούσας τιµής

∆1 ∆ιαφορά µεταξύ της συχνότητας της τάξης της επικρατούσας τιµής και της συχνότητας της προηγούµενης τάξης

∆2 ∆ιαφορά µεταξύ της συχνότητας της τάξης της επικρατούσας τιµής και της συχνότητας της επόµενης τάξης

10

Τα στοιχεία του Πίνακα εκφράζουν τις πιθανότητες z)P(Zz)( ≤=Φ που παριστάνονται από το εµβαδόν κάτω από την καµπύλη της τυποποιηµένης

κανονικής κατανοµής αριστερά από το z

11

12