סיכום כל החומר במערכות ספרתיות

2
For more please visit www.nsof.info וקודים בסיסים מבסיס מעברr לבסיס10 : 1 0 1 5 (23.1) 25 35 15 13.2 n i i i m ar =− = = + + = מבסיס מעבר10 לבסיסr : 10 8 8 (242.1875) (?) 242 / 8 30 (2) 0.1875 8 1.5 (1) 30 / 8 3 (6) 0.15 8 4.0 (4) (362.14) 3/8 0 (3) 08 0 LSB MSB = = = = = = מבסיס מעברt לבסיסr : 1 . כאשרt ו- r מספר אותו של חזקות הם. למשל2,4,8,16 או3,9,27 : 8 2 2 (2501.24) (?) (010 101 000 001 . 010 100) ע מיוצגת ספרה כל" י3 בבינ ארי: 3 2 8 = . 2 . אחר מקרה בכל בסיס דרך עוברים10 . קודBCD ) ממושקל לקוד זהה8421 :( 10 (171.7) (0001 0111 0001 . 0111) BCD = ממושקלים קודים: חוקי קוד= בעזרתו הספרות כל את להציג ניתן אם. 10 642 3 642 3 (3) (?) 16 04 02 1 ( 3) 3 (1001) = = + + + ⋅− = מייצוג יותר להיות יכול1 מספר לכל. קודExcess-3 : מוסיפים3 העשרונית לספרה, לבינארי וממירים. 10 3 (1955) 4 12 8 8 (0100 1100 1000 1000) Excess= = עצמי משלים קוד: של הייצוג אםN - 9 של מהייצוג להתקבל יכולN ע" הסיביות הפיכת י. 10 3 10 3 (3) 3 3 (0110) (9 3) 6 3 (1001) Excess Excess N = + = + = הערה: BCD עצמי משלים קוד אינו. עצמי משלים ממושקל קוד: המשקול סכום אם ות= 9 . קוד מילות בין מרחק) מרחקHamming :( בין השונות הסיביות מספר2 קוד מילות. 100 001 - מרחק= 2 . מינימלי מרחק בקוד מילים בין ביותר הקטן המרחק. המרחק אם המינימליK , עד לגלות ניתןK-1 שגיאות, עד ולתקן[ ] ( 1) / 2 k שגי אות. קודGray : ציקלי קוד, בלבד אחת בסיבית ומתחתיו שמעליו מאלו נבדל מספר כל) קוד מילות בין מרחק= 1 .( מקוד מעברGray לבינארי) נשארת ראשונה סיבית:( 1 . סיבית הולכים, סיבית לימין משמאל. 2 . נמצאים עליה לסיבית משמאל יש אחדים כמה סופרים) כולל לא.( 3 . זוגי האחדים מספר אם- הסיבית את משנים לא. 4 . אי האחדים מספר אם- זוגי הסיבית את הופכים. לקוד מבינארי מעברGray ) נשארית ראשונה סיבית:( 1 . סיבית הולכים, סיבית לימין משמאל. 2 . מבצעיםXOR משמאלה לסיבית נמצאים שעליה הסיבית בין. 3 . אי האחדים מספר אם- זוגי הסיבית את הופכים. זוגיות: Even Parity מוספים1 זוגי יהיה האחדים שמספר כדי. Odd Parity מוסיפים0 אי יהיה האחדים שמספר עדי- זוגי. 1011 0 1011 1 Odd Parity Even Parity מספרים ייצוגFixed Point : _ _ . _ _ ) מוגבל טווח.( Floating Point : E number M r = המספר עבור53.491 r = 10 בסיס10 . מנטיסה עצמו המספר: 5.3491 . אקספוננטE 01 . 1 5.3491 10 53.491 E M r = = סימן הצגתSign / Magnitude : סימן מייצגת השמאלית הספרה. 0 = חיובי. r-1 = שלילי. 10 10 10 10 ( 5) (0 / 05) ; ( 5) (9 / 05) + = = יש2 ל ייצוגים- 0 . זו בשיטה ע פעולות בנפרד עושים הסימן ל. מס' מקס' ומינ' בבינארי: 1 2 1 n± ל משלים- r-1 : 10 10 10 10 10 2 10 2 ( 631) (0 / 631) ; ( 631) (9 / 368) ( 11) (0 /1011) ; ( 11) (1/ 0100) + = = + = = יש2 ל ייצוגים- 0 . מס' מקס' ומינ' בבינארי: 1 2 1 n± לחיבור דוגמא: גלישה יש אם ל אותה מוסיפים- LSB . 14 10001 110001 12 10011 110011 26 1100100 1 100101 ל משלים- r : 10 10 10 10 2 2 ( 631) (9 / 368 1) (9 / 369) ( 11) (111/ 0100 1) (111/ 0101) = + = = + = - ה את- 1 ל מוסיפים תמיד- LSB ) לנק קשור לא' עשרונית לסיבית תמיד ביותר הימנית, מ עוברים אם משנה ולא- " - " ל- "+" ההפך או.( - בחיבור: גלישה יש אם אותה מזניחים, חיברנו אם אלא2 מספרים שלילים) לצ אמורה התשובה אם במינוס את ה את מזניחים לא- 1 .( הערה: שצריך ממה סיביות ביותר מוצג המספר אם את משכפלים פשוט הסימן סיבית. 1 לא ראשוני מספר. 0 ראשוני מספר. בוליאנית אלגברה פישוט נוסחאות: X+0=X;X+1=1;X+X=X; X +YZ = (X +Y)(X + Z) X × X = X ; X × X' = 0 ; X + X' = 1 (X +Y)(X +Y') = X ; X(X +Y) = X (X +Y)+ Z = X +(Y + Z) XY' +Y = X +Y (XY)Z = X(YZ)= XYZ XY +YZ + X'Z = XY + X'Z X(Y + Z) = XY + XZ (X +Y)(X' + Z) = XZ + X'Y XY + XY' = X ; X + XY = X (X +Y)(Y + Z)(X' + Z) = (X +Y)(X' + Z) דה- מורגן: ( ...) ( ' ' ') ' ( )' ' ' ' X Y Z XYZ XYZ X Y Z + + + = = + + חילו ק: 101.1 11011.1 101 101 00111 101 0101 101 000 מינימלית עלות בעיות: 1 . ל מעבר- Xor ישירות קרנו ממפת. 2 . פישוט בנוסחאות שימוש. 3 . מורגן דה. בוליאנ לפונקציות הערות' : - בוליאנית פונקציה של יעילות ע נקבעת" המכפלות מספר י. המחברים את בודקים בשוויון. - כל היא בוליאנית פונקציה דואלית. כ לומר, להחליף ניתן" 1 " ב- " 0 " , "+" ב- " i " ולהיפך התוצאה כולל, יתקיים השוויון ועדיין. Xor / Xnor : ( )' ' ... ( ...) ' ' ' ... (( ...) ') ' 0 , 1 ' x y x y x y x y z x y z x y z x y z x y z x y z x x x x = = = = = = = : : : x y z ( )' x y z 1 1 1 1 1 1 1 1 XOR נו תן1 מספר אם האחדים הוא אי- זוגי. XNOR נותן1 מספר אם האפסים הוא זוגי. לוגיים שערים: : : : ' :( )' :( )' : ' ' : ' ' AND xy OR x y NOT x NAND xy NOR x y XOR xy xy x y XNOR xy xy x y + + + = + = : שלמה פעולה מערכת) אוניברסאליות קבוצות( בוליאנית פונקציה כל להציג ניתן בעזרתה פעולות קבוצת. כלומר, פונקציה מהקבוצות אחת לייצג ניתן שבעזרתה אחת הבאות: { } { } { } ;' ( )' ;' ( )' ; ;' NOR x y NAND xy = + = + = = + i i בעזרתNOT ו- AND ) NAND ( אוNOT ו- OR ) NOR ( פונקציה כל לייצג ניתן בוליאנית. ע שקולה למערכת להמירו ניתן נתון תרגיל לפתור במקום" דה י- מורגן- אותה ולפתור. קנוניות צורותMinterm & Maxterm : Max Min Z Y X X+Y+Z X’Y’Z’ 0 0 0 0 X+Y+Z’ X’Y’Z 1 0 0 1 הלאה וכן... קנוננים ייצוגים: SOP קנוני מכפלות סכום מקבלת הפונקציה בהם המינטרמים סכום" 1 ." למשל: POS קנונית סכומים מכפלת הפונקציה בהם מקסטרמים מכפלת הערך את מקבלת" 0 ." למשל: (, ,) (3, 4, 5) (0,7) (0,1, 2, 6, 7) (0,7) ' (0,1, 2, 6, 7) (0,7) d d d f xyz f = + = + = + קרנו מפות: עבורPOS ) D = LSB :( C’D C’D’ CD’ CD 10 11 01 00 2 3 1 0 00 AB 6 7 5 4 01 AB’ 14 15 13 12 11 A’B’ 10 11 9 8 10 A’B - רביעיה מותר) באלכסון כאילו(... ( )( ' ') f D B D B = + + ליטרלים= משתנים. ראשי אימפליקנט) ראשי גורם( = יותר גדול בגורם מוכל שאינו גורם. הערה: של חזקות של קבוצות רק לקחת מותר2 . של קבוצה לקחת אסור3 תאים. מוגדרים לא מצבים) don’t care :( ע מסומנים" י: X , d , אוφ . נפרד כגורם אותם לקחת לא אך לגורם להוסיפם ניתן. עמודות החלפת/ קרנו במפות שורות: - אחד משתנה לפחות נחליף אם שלו בהופכי) למשלA ב- ' A ( , את נשנה סדר ארבעת כל ביחד העמודות או השורות. - שלידו במשתנה משתנה נחליף אם) למשלA עםB ( רק נחליף אז2 שורות/ עמודות. מ מעבר- AND ו- OR ל- NAND 1 . ל מגיעים- SOP מינימלי. 2 . להגדרת בהתאם פיקטור מבצעיםFan In ) מס' לשער כניסות.( 3 . ע ממשים" שערי יAND ו- OR אחר שער מופיע רמה שבכל כך) AND- OR-AND-OR... .( 4 . לכניסה ועד מהיציאה הרמות מיספור. 5 . בשער שער כל החלפתNAND . 6 . האי לרמות הכניסות כל את- מקבלות זוגיותNOT ) ברמות כניסות הדבר אותו נשארות הזוגיות.( הערה: עם מכפלות של לפונקציה להגיע גם ניתןNOT בלבד) ע" דה י- מורגן( ע ישירות לממש ואז" יNAND . ומחסרים מסכמיםFull Adder : ' ' ' ' ' ' ( ) out in in in S A B C ABC A BC AB C ABC C AB AC BC AB A BC = = = + + + = + + = + Look Ahead Carry Generator : ה יהיה מה לחזות ניתן הבאות הפונקציות בעזרת- Carry וע" לחסוך כך י במימוש רמות. 1 i i i i i i i i i i i i i S A B C P C G A B C G P C + = = = = + לדוגמא: 2 1 1 1 1 1 0 0 0 ( ) C G PC G PG PC = + = + + מ אחר בבסיס חיבור- 2 ) בסיסr ( ע" יFA : 1 . הספרה את הופכיםr-1 לבינארי ע צריך סיביות כמה ובודקים" מ בבינארי אותה לייצג. 2 . ספרות שתי מחבריםr-1 בעשרוני תוצאה ומקבלים. 3 . לבסיס התוצאה את הופכיםr . 4 . מסעיף התוצאה של האחדות ספרת את מייצגים3 , ע" בבינאר מספר י י מס עם' לספרה הדרוש הסיביות) מסעיף1 .( 5 . ע העשרות ספרת את מייצגים" סיבית י1 בבינארי. 6 . שקיבלנו בבינארי למספר משמאל בבינארי העשרות ספרת את שמים בסעיף4 . 7 . ספרות שתי מחבריםr-1 בבינארי. 8 . מסעיף המספר את מחסרים מהתוצאה6 . 9 . ש החיבור לתוצאת להוסיף שיש בבינארי המספר זהו ה ל- FA . 10 . ממשיםCorrection Unit מה שהגיעה סיבית לכל שמחברת- FA את מסעיף המספר9 ה אם רק- Carry מה- FA הוא1 או הסיביות אם מה שהגיעו- FA המספר את ביחד מייצגות10 בבסיסr . בוררים, ומשווים מקודדים מפענחיםMUX - בורר: Decoder - מפענח: Encoder - מקודד: דוגמא- :MUX 4x1 בינארי קוד מקבל מוציא1 המספר את המייצגת ביציאה המתאים העשרוני. שאר בכל היציאות0 . דוגמא- מפענח4 x 2 . מקבל1 הכניסות באחת המתאים המספר את ומוציא בבינארי. לקבוע ניתןPriority Encoder יש שאם כך ממספר יותר בכניסות1 אחד, ל רק מתיחסים אז- 1 ה ביותר גדול, שאר ועל יש הכניסותDon’t Care . הכניסות כל בו מצב מקבלות0 מוגדר אינו במקודד. דוגמא- מקודד4x2 . הערה: בכניסה אםE ) Enable ( מגיע0 יהיו היציאות כל אז0 . Comperator ) משווה:( לדוגמא- ל נוסחה- G : 1 . A3>B3 . 3 3 ' A B 2 . A3=B3, A2>B2 . 3 3 2 2 ' A B AB : 3 . A3=B3, A2=B2, A1>B1 . 3 3 2 2 1 1 ' A B A B AB : : 4 . A3=B3, A2=B2, A1=B1, A0>B0 . 3 3 2 2 1 1 0 0 ' A B A B A B AB : : : הסעיפים בין) 1-4 :( שערOR . Static Hazard הגדרה קבוע להשאר היה אמור המוצא אם, הכניסות אחת רק כאשר משתנ ה, אחרת תוצאה נתן הוא אך. שחלק בגלל מתקיימת זו תופעה למוצא בדרך שערים יותר דרך עוברים מהמשתנים. Hazard 1 : להשאר היה אמור המוצא1 ל והפך- 0 ) במימוש קורהSOP .( Hazard 0 : להשאר היה אמור המוצא0 ל והפך- 1 ) במימוש קורהPOS .( מינימיזציה שיטתQuine Mclluskey 1 . מ הגורמים ציאת/ מינטרמים. 2 . לטבלה הכנסת: גורמים גורמים גורמים בינארי עשרוני# 1 בינארי עשרוני# 1 בינארי עשרוני# 1 00- - 0,1,2, 3 0 000- 00-0 0,1 0,2 0 0000 0 0 00-1 001- 1,3 2,3 1 0001 0010 1 2 1 0011 3 2 הערה: ס בקבוצות מספרים משווים מוכות, זהות הסיביות כל כאשר) קו מול קו כולל( לאחת פרט. ע מתבטא בה השוני" י0 או1 ) ע ולא" י קו.( 3 . שמיותר מה את מצמצמים ראשוניים גורמים טבלת בעזרת: 14 13 12 11 6 5 4 1 גורמיםX X X X 4,6,12,14 X X 12,13 X X 1,5 Shift Register with Parallel Load : מחבר/ מחסר: ' a / s : 1 חיבור עבור, 0 חיסור עבור. 2-bit FA A B Cin Cout S + 4 bit Comperator L – A<B E – A=B G – A>B A3 A2 A1 A0 B3 B2 B1 B0 + + + X Y FA X Y a / s’ S B out B in 00 01 10 11 0 1 2 3 E 00 01 10 11 E X Y 00 01 10 11 E

Upload: ortal-alush

Post on 28-Jul-2015

4.136 views

Category:

Documents


139 download

TRANSCRIPT

Page 1: סיכום כל החומר במערכות ספרתיות

For more please visit – www.nsof.info בסיסים וקודים

:10 לבסיס rמעבר מבסיס 1 0 1

5(23.1) 2 5 3 5 1 5 13.2n

ii

i m

a r −

=−

= = ⋅ + ⋅ + ⋅ =∑

:r לבסיס 10מעבר מבסיס 10 8

8

(242.1875) (?)242 / 8 30 (2) 0.1875 8 1.5 (1)30 / 8 3 (6) 0.15 8 4.0 (4) (362.14)3 / 8 0 (3) 0 8 0

LSB

MSB

= ⋅ = ⎫⎪= ⋅ = ⎬⎪= ⋅ = ⎭

:r לבסיס tמעבר מבסיס :3,9,27 או 2,4,8,16 –למשל . הם חזקות של אותו מספרr - וtכאשר .1

8 2

2

(2501.24) (?)(010 101 000 001 . 010 100)

32:ארי בבינ3י "כל ספרה מיוצגת ע 8=. .10 עוברים דרך בסיס –בכל מקרה אחר .2

):8421זהה לקוד ממושקל (BCDקוד 10(171.7) (0001 0111 0001 . 0111)BCD=

:קודים ממושקלים .אם ניתן להציג את כל הספרות בעזרתו= קוד חוקי

10 642 3

642 3

(3) (?)1 6 0 4 0 2 1 ( 3) 3 (1001)

== ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ − = ⇒

. לכל מספר1יכול להיות יותר מייצוג :Excess-3 קוד

.וממירים לבינארי, לספרה העשרונית3מוסיפים 10 3(1955) 4 12 8 8 (0100 1100 1000 1000)Excess−= =

:קוד משלים עצמי .י הפיכת הסיביות" עN יכול להתקבל מהייצוג של N -9אם הייצוג של

10 3

10 3

(3) 3 3 (0110)(9 3) 6 3 (1001)

Excess

Excess

N −

= ⇒ + =− ⇒ + =

. אינו קוד משלים עצמיBCD: הערה

:קוד ממושקל משלים עצמי .9= ות אם סכום המשקול

):Hammingמרחק (מרחק בין מילות קוד

. מילות קוד2מספר הסיביות השונות בין 100 .2= מרחק - ⇔001

אם המרחק . המרחק הקטן ביותר בין מילים בקוד–מרחק מינימלי ]ולתקן עד , שגיאותK-1ניתן לגלות עד , Kהמינימלי ]( 1) / 2k .אות שגי−

:Grayקוד כל מספר נבדל מאלו שמעליו ומתחתיו בסיבית אחת בלבד , קוד ציקלי

).1= מרחק בין מילות קוד ( ):סיבית ראשונה נשארת( לבינארי Grayמעבר מקוד

. משמאל לימין–סיבית , הולכים סיבית .1 ).לא כולל(סופרים כמה אחדים יש משמאל לסיבית עליה נמצאים .2 . לא משנים את הסיבית- אם מספר האחדים זוגי .3 . הופכים את הסיבית–זוגי - אם מספר האחדים אי .4

):סיבית ראשונה נשארית (Grayמעבר מבינארי לקוד . משמאל לימין–סיבית , הולכים סיבית .1 . בין הסיבית שעליה נמצאים לסיבית משמאלהXORמבצעים .2 . הופכים את הסיבית–זוגי - אם מספר האחדים אי .3

:זוגיותEven Parity – כדי שמספר האחדים יהיה זוגי1 מוספים . Odd Parity – זוגי- עדי שמספר האחדים יהיה אי0 מוסיפים.

1011 0 1011 1Odd Parity Even Parity− −

ייצוג מספרים

Fixed Point: _ _. _ _)טווח מוגבל.(

Floating Point: Enumber M r= ⋅ 53.491עבור המספר

r = 10 – 10 בסיס. .5.3491: המספר עצמו–מנטיסה

E – 01 .15.3491 –אקספוננט 10 53.491EM r⋅ = ⋅ =

הצגת סימןSign / Magnitude:

.הספרה השמאלית מייצגת סימן .שלילי = r-1. חיובי = 0

10 10 10 10( 5) (0 / 05) ; ( 5) (9 / 05)+ = − =

.0 - ייצוגים ל2יש .ל הסימן עושים בנפרד פעולות ע–בשיטה זו

12: בבינארי' ומינ' מקס' מס 1n−± − :r-1 -משלים ל

10 10 10 10

10 2 10 2

( 631) (0 / 631) ; ( 631) (9 / 368)( 11) (0 /1011) ; ( 11) (1/ 0100)+ = − =+ = − =

.0 - ייצוגים ל2יש 12: בבינארי' ומינ' מקס' מס 1n−± −

: דוגמא לחיבור .LSB - מוסיפים אותה ל–אם יש גלישה

14 10001 11000112 10011 11001126 1100100

1100101

−−

:r -משלים ל10 10 10

10 2 2

( 631) (9 / 368 1) (9 / 369)( 11) (111/ 0100 1) (111/ 0101)− = + =− = + =

תמיד לסיבית –עשרונית ' לא קשור לנק (LSB - תמיד מוסיפים ל1 - את ה- ).או ההפך "+" - ל" - "-ולא משנה אם עוברים מ, הימנית ביותר

מספרים 2אלא אם חיברנו , מזניחים אותה–אם יש גלישה : בחיבור- ).1 - לא מזניחים את ה–את במינוס אם התשובה אמורה לצ(שלילים

פשוט משכפלים את – אם המספר מוצג ביותר סיביות ממה שצריך :הערה

.סיבית הסימן . מספר ראשוני– 0. מספר ראשונילא – 1

אלגברה בוליאנית :נוסחאות פישוט

X +0 = X ; X +1= 1 ; X + X = X ; X +YZ = (X +Y)(X + Z)X × X = X ; X × X' = 0 ; X + X' = 1 (X +Y)(X +Y') = X ; X(X +Y) = X(X +Y)+ Z = X +(Y + Z) XY' +Y = X +Y(XY)Z = X(YZ)= XYZ XY +YZ + X'Z = XY + X'ZX(Y + Z) = XY + XZ (X +Y)(X' + Z) = XZ + X'YXY + XY' = X ; X + XY = X (X +Y)(Y + Z)(X' + Z) = (X +Y)(X' + Z)

) :מורגן-דה ...) ( ' ' ') ' ( ) ' ' ' 'X Y Z X Y Z XYZ X Y Z+ + + = = + +

:קחילו101.1

11011.1 10110100111

1010101101000

:בעיות עלות מינימלית ישירות Xor -מעבר ל .1

.ממפת קרנו .שימוש בנוסחאות פישוט .2 .דה מורגן .3

:'הערות לפונקציות בוליאנ יעילות של פונקציה בוליאנית -

. י מספר המכפלות"נקבעת ע .בשוויון בודקים את המחברים

פונקציה בוליאנית היא כל -ניתן להחליף , לומרכ. דואלית

" i "-ב"+" , "0 "-ב" 1", כולל התוצאה –ולהיפך

.ועדיין השוויון יתקיים

Xor / Xnor: ( ) '

' ... ( ...) '' ' ... (( ...) ') '

0 , 1 '

x y x y x yx y z x y zx y z x y zx y z x y zx x x x

⊕ = = ⊗⊕ ⊕ =⊕ ⊕ = ⊕ ⊕⊕ ⊕ = ⊕ ⊕⊕ = ⊕ =

x y z⊕ ⊕ ( ) 'x y z⊕ ⊕

1 1 1 1 1 1 1 1

XORהוא האחדים אם מספר 1תן נו .זוגי-אי

XNOR הוא האפסים אם מספר 1 נותן .זוגי

:שערים לוגיים

::

: ': ( ) '

: ( ) ': ' '

: ' '

AND xyOR x yNOT xNAND xyNOR x yXOR x y xy x yXNOR xy x y x y

+

++ = ⊕+ =

)קבוצות אוניברסאליות (מערכת פעולה שלמהפונקציה , כלומר. קבוצת פעולות בעזרתה ניתן להציג כל פונקציה בוליאנית

: הבאותאחת שבעזרתה ניתן לייצג אחת מהקבוצות{ } { } { }; ' ( ) ' ; ' ( ) ' ; ; 'NOR x y NAND xy= + = + = = +i i

ניתן לייצג כל פונקציה ) NOR (OR - וNOTאו ) AND) NAND - וNOTבעזרת .בוליאנית

- מורגן -י דה"במקום לפתור תרגיל נתון ניתן להמירו למערכת שקולה ע .ולפתור אותה

צורות קנוניות

Minterm & Maxterm: Max Min Z Y X

X+Y+Z X’Y’Z’ 0 0 0 0 X+Y+Z’ X’Y’Z 1 0 0 1

...וכן הלאה :ייצוגים קנוננים

SOP – סכום המינטרמים בהם הפונקציה מקבלת – סכום מכפלות קנוני :למשל". 1"

POS – מכפלת מקסטרמים בהם הפונקציה – מכפלת סכומים קנונית :למשל". 0"מקבלת את הערך

( , , ) (3, 4,5) (0, 7) (0,1, 2,6, 7) (0,7)

' (0,1, 2,6, 7) (0, 7)d d

d

f x y z

f

= + = +

= +∏ ∏ ∑ ∑

∏ ∏ :מפות קרנו

):POS) D = LSBעבור C’D C’D’ CD’ CD 10 11 01 00

2 3 1 0 00 AB 6 7 5 4 01 AB’ 14 15 13 12 11 A’B’10 11 9 8 10 A’B

...)כאילו באלכסון( מותר רביעיה -( ) ( ' ')f D B D B= + ⋅ +

.משתנים = ליטרלים .גורם שאינו מוכל בגורם גדול יותר = )גורם ראשי(אימפליקנט ראשי

3אסור לקחת קבוצה של . 2 מותר לקחת רק קבוצות של חזקות של :הערה .תאים

):don’t care(מצבים לא מוגדרים .φאו , X ,d: י"מסומנים ע

.ניתן להוסיפם לגורם אך לא לקחת אותם כגורם נפרד :שורות במפות קרנו/ החלפת עמודות

נשנה את , )A '- בAלמשל (בהופכי שלו אם נחליף לפחות משתנה אחד - . השורות או העמודות ביחדכל ארבעתסדר

2אז נחליף רק ) B עם Aלמשל (אם נחליף משתנה במשתנה שלידו - .עמודות/ שורות

NAND - לOR - וAND -מעבר מ

. מינימליSOP -מגיעים ל .1 ).כניסות לשער' מס (Fan Inמבצעים פיקטור בהתאם להגדרת .2-AND( כך שבכל רמה מופיע שער אחר OR - וANDי שערי "ממשים ע .3

OR-AND-OR....( .מיספור הרמות מהיציאה ועד לכניסה .4 .NANDהחלפת כל שער בשער .5כניסות ברמות (NOTזוגיות מקבלות -את כל הכניסות לרמות האי .6

).הזוגיות נשארות אותו הדבר )מורגן-י דה"ע( בלבד NOTניתן גם להגיע לפונקציה של מכפלות עם : הערה

.NANDי "ואז לממש ישירות ע

מסכמים ומחסריםFull Adder:

' ' ' ' ' '( )out in in in

S A B CA B C A BC AB C ABC

C AB AC BC AB A B C

= ⊕ ⊕ == + + +

= + + = + ⊕

Look Ahead Carry Generator: י כך לחסוך " ועCarry - בעזרת הפונקציות הבאות ניתן לחזות מה יהיה ה

.רמות במימוש

1i i i i i i i i i i i i iS A B C P C G A B C G P C+= ⊕ ⊕ = ⊕ = ⋅ = + ⋅ :לדוגמא

2 1 1 1 1 1 0 0 0( )C G PC G P G PC= + = + +

:FAי "ע) rבסיס ( 2 -חיבור בבסיס אחר ממ " ובודקים כמה סיביות צריך ע– לבינארי r-1הופכים את הספרה .1

.לייצג אותה בבינארי . ומקבלים תוצאה בעשרוניr-1מחברים שתי ספרות .2 .rהופכים את התוצאה לבסיס .3י י מספר בבינאר"ע, 3מייצגים את ספרת האחדות של התוצאה מסעיף .4

).1מסעיף (הסיביות הדרוש לספרה ' עם מס . בבינארי1י סיבית "מייצגים את ספרת העשרות ע .5שמים את ספרת העשרות בבינארי משמאל למספר בבינארי שקיבלנו .6

.4בסעיף . בבינאריr-1מחברים שתי ספרות .7 .6מהתוצאה מחסרים את המספר מסעיף .8 .FA - ל הזהו המספר בבינארי שיש להוסיף לתוצאת החיבור ש .9

את FA - שמחברת לכל סיבית שהגיעה מהCorrection Unitממשים .10 אם הסיביות או 1 הוא FA - מהCarry - רק אם ה9המספר מסעיף

.r בבסיס 10 מייצגות ביחד את המספר FA -שהגיעו מה

מפענחים מקודדים ומשווים, בוררים

MUX-בורר : Decoder-מפענח : Encoder - מקודד:1 מוציא –מקבל קוד בינארי MUX 4x1: - דוגמא

ביציאה המייצגת את המספרבכל שאר. העשרוני המתאים

.0 –היציאות .4x2 מפענח -דוגמא

באחת הכניסות 1מקבל ומוציא את המספר המתאים

.בבינארי Priorityניתן לקבוע

Encoder כך שאם יש 1בכניסות יותר ממספר

1 -אז מתיחסים רק ל, אחדועל שאר , גדול ביותרה

.Don’t Careהכניסות יש מצב בו כל הכניסות

אינו מוגדר 0מקבלות .במקודד

.4x2 מקודד -דוגמא

.0 אז כל היציאות יהיו 0מגיע ) E) Enable אם בכניסה :הערה

Comperator) משווה:(

:G - נוסחה ל-לדוגמא 1. A3>B3.

3 3 'A B⋅

2. A3=B3, A2>B2. 3 3 2 2 'A B A B⋅

3. A3=B3, A2=B2, A1>B1. 3 3 2 2 1 1 'A B A B A B⋅ ⋅

4. A3=B3, A2=B2, A1=B1, A0>B0.3 3 2 2 1 1 0 0 'A B A B A B A B⋅ ⋅ ⋅

.ORשער ): 1-4(בין הסעיפים

Static Hazard

כאשר רק אחת הכניסות , אם המוצא אמור היה להשאר קבוע–הגדרה תופעה זו מתקיימת בגלל שחלק . אך הוא נתן תוצאה אחרת, המשתנ

.מהמשתנים עוברים דרך יותר שערים בדרך למוצאHazard 1 : קורה במימוש (0 - והפך ל1המוצא אמור היה להשארSOP.( Hazard 0 : קורה במימוש (1 - והפך ל0המוצא אמור היה להשארPOS.(

Quine Mclluskey –שיטת מינימיזציה

.מינטרמים/ ציאת הגורמים מ .1 :הכנסת לטבלה .2

גורמים גורמים גורמיםעשרוני בינארי

#1 עשרוני בינארי

#1 עשרוני בינארי

#1

00- - 0,1,2,3

0 000- 00-0

0,1 0,2

0 0000 0 0

00-1 001-

1,3 2,3

1 0001 0010

1 2

1

0011 3 2

כאשר כל הסיביות זהות , מוכותמשווים מספרים בקבוצות ס: הערהי "ולא ע (1 או 0י "השוני בה מתבטא ע. פרט לאחת) כולל קו מול קו( ). קו

:בעזרת טבלת גורמים ראשוניים מצמצמים את מה שמיותר .3 גורמים 1 4 5 6 11 12 13 14X X X X 4,6,12,14 X X 12,13 X X 1,5

Shift Register with Parallel Load:

:מחסר/ מחבר

'a / s :1עבור חיסור0, עבור חיבור .

2-bit FA

A B Cin Cout

S

+

4 bit Comperator

L – A<B E – A=B G – A>B

A3 A2 A1 A0

B3 B2 B1 B0

+ +

+

X Y

FA

X Y a / s’

S

B out B in

00 01 10 11

0 1 2 3

E

00 01 10 11

E

X Y

00011011

E

Page 2: סיכום כל החומר במערכות ספרתיות

For more please visit – www.nsof.info

. . . . 2 1 0 m

רכיבי זיכרון:Rom – Read Only Memory

2n –דוגמא m× ROM

n -כניסות למפענח . 2n -יציאות מהמפענח . m - שערי ( פונקציות יציאהOR .(

ם מתכנתיםרכיבי:PLA – Programmable Login Array

:PLA 3x4x2דוגמא 1' ' ' ' ' ' ' 2 ' ' ' 'F a b a c b c F b c a c abc= + + = + +

:PLAטבלת תכנון F2 F1 c b a

1 1 0 0 - b’c’ 1 1 0 - 0 a’c’ 1 - 0 0 a’b’

1 - 1 1 1 abc

:PLA -מימוש ב

:PLA – Programmable Login Array

מערכות עקיבה:SR-Latch

/ המצב אינו ידוע S=R=0 - ומשנים אותם ביחד לS=R=1 אם :הערה SR-Latch - בS, R אין לשנות בו זמנית את –לכן יש מוסכמה . מוגדר

. אינו מוגדרS=R=1והמצב

Gated SR-Latch: טבלת עירור

Q(t+1) R S G Q 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 - 1 1 1

D-latch / Transparent Latch: טבלת עירור

Q(t+1) G Q 0 D 1

Edge Triggered D Flip-Flop:

.י הרכיב ברגע שהשעור יעבור מצב"ע" ייזכר "Dמה שנכנס לכניסה - .1 - ל0 -שינוי מצב מתאפשר רק כאשר כניסת השעון משתנה מ -יש רכיבים שבהם שינוי מצב מתאפשר רק כאשר כניסת השעון -

.0 - ל1 -משתנה מ .את המצב הקיים" זוכר" הרכיב –כל עוד כניסת השעון נשארת קבועה - קצר מזמן NOT זמן ההתפשטות בשער –תנאי לפעולה תקינה -

- ינעל לפני שיציאת הSlave -ה, כלומר. Master -ההתפשטות בMasterמשתנה .

:FFמאפייני תזמון של

- TPC-Q :שינוי מצב (עון מרגע השפה הפעילה של הש. זמן התפשטות .ועד שמוצא הרכיב מתייצב עם התוכן החדש) בשעון

- TCC-Q: בו עדיין מובטח , הזמן מרגע השפה הפעילה של השעון .שמוצא הרכיב יציב בערכו הקודם

TPC-Q > TCC-Q - TS – (Setup Time) . הכניסהD חייבת להיות יציבה לפחות TS לפני

.השפה הפעילה של השעון- TH – (Hold Time) . הכניסהD חייבת להשאר בערכה החוקי לפחות

THאחרי השפה הפעילה .

:הערות- TSו - THהן דרישות שהיצרן מגדיר . - TSו - THקטנים בהשוואה להשהיות אחרות . .TCC-Q > TH: כ נדרוש"בד -

מערכות עקיבה סינכרוניות ):Finite State Machine(מכונת מצבים סופית

. כ אחד מהם מוגדר כמצב ההתחלתי" בד.אוסף סופי של מצבים .1: מצבים צריך nאם יש .2 2 :nn m אך לכן עושים ( תאי זיכרון

).מינימיזציה שתידון בהמשך .ומספר סופי של יציאות בינאריות, מספר סופי של כניסות בינאריות .3אוסף חוקי מעבר המתארים לכל מצב נוכחי ולכל ערכי כניסה את .4

.באהמצב ה :פונקציה המתארת את היציאות .5

. היציאות הן פונקציה של המצב הנוכחי בלבד:Mooreמכונת .א היציאות הן פונקציה של המצב הנוכחי והכניסות :Mealyמכונת .ב

.הנוכחיות .Mealy היא מצב פרטי של מכונת Mooreמכונת .ג

כל פעולה רצויה על FSM לא ניתן לממש באמצעות :מערכת סופית .6על הקלט להיות , לכן. י שיש לנו מספר סופי של מצביםמפנ, הקלט

סופי או מחזורי בעל חוקיות מסוימת שתאפשר יצירת מספר סופי של .מצבים

.מכונה סופית המקבלת קלט מחזורי חייבת להוציא פלט מחזורי

Flip Flops: ).אנליזה( משמשת לניתוח מערכות –טבלת אפיון ).סינתזה(כות משמשת לתכנון מער–טבלת עירור

Y(t)=R’Y(t-1)+S :SR-FF

SRטבלת עירור SRטבלת אפיון Y(t) R S R S Y(t) Y(t-1)

Y(t-1) 0 0 d 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 - 1 1 0 d 1 1

Y(t)=JY’(t-1)+K’Y(t-1) :JK-FF JKטבלת עירור JKטבלת אפיון

Y(t) K J K J Y(t) Y(t-1) Y(t-1) 0 0 d 0 0 0

0 1 0 d 1 1 0 1 0 1 1 d 0 1

Y(t-1)’ 1 1 0 d 1 1 D-FF :Y(t+1)=D

Dטבלת עירור Dטבלת אפיון Y(t) D D Y(t) Y(t-1) 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0

0 0 1 1 1 1

T-FF: Y(t)=T⊕Y(t-1) Tטבלת עירור Tטבלת אפיון

Y(t) T T Y(t) Y(t-1) Y(t-1) 0 0 0 0 Y(t-1)’ 1 1 1 0

1 0 1 0 1 1

: מסוג אחרFF מסוג אחד בעזרת FFמימוש .SR בעזרת JKבניית : דוגמא

(JK) החדשFF-שבעזרתו בונים את ה) FF) SRפ טבלת העירור של "ע :רושמים טבלה בצורה הבאה

משתני עירור R - וSי "תוצאה נדרשת עR S Y(t) y(t-1) K J d 0 0 0 0 0 0 d 1 1 0 0 d 0 0 0 1 0

...וכן הלאה

של מערכות עקיבה סינכרוניות) ניתוח(אנליזה - מה שנכנס לא" ז–) משוואות הכניסה (משוואות העירוררושמים את .1

FFהשונים במערכת . משוואות המצב מוצאים את FF -י המשוואות האופייניות של ה"ע .2

.הבא ).מוצא המערכת (המשוואת התפוקמוצאים את .3 :טבלת מעברים .4

NS PS X=1 X=0

Z Y2 Y1 Z Y2 Y1 y2 y1

1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 PS – המצב הנוכחי )Present State.( NS – המצב הבא )Next State.(

X –הוא הכניסה למערכת . Z –נקבע לפי ה - PS.

:טבלת מצבים .5 ).אות(לכל מצב של המערכת נותנים שם

NS PS Z X=1 Z X=0 1 A 0 B A 0 C 0 D B 0 A 0 B C 0 C 1 D D

:דיאגרמת מצבים .6

.סדרות כניסהי הצבת מספר "מוצאים מה עושה המערכת ע .7

של מערכות עקיבה סינכרוניות) תכנון(סינתזה .הגדרת מצבים .1 .דיאגרמת מצבים .2 .טבלת מצבים .3 .טבלת מעברים .4 ).ל"המעברים הנ' לפי טב( מסוים FF בעזרת טבלת עירור למימוש .5

NS PS X=1 X=0

Z K2J2K1J1Z K2J2K1J1y2 y1

1 d 0 d 0 0 d 1 d 0 0 0 0 1 d d 1 0 0 d d 1 1 0 0 d 0 1 d 0 d 1 1 d 0 1 0 1 d 0 d 1 0 d 0 d 1 1

.Z ולמוצא FF - למפות קרנו .6 . העירור והתפוקהמשוואותרישום .7

מערכות מורכבות :מבנה כללי

:מונה, פ סינתזה של מערכות עקיבה סינכרוניות"פ סד"תכנון מונה מתבצע ע

.כאשר הכניסות

:Ripple Counter/ מחלק תדק ומונה בינארי :דוגמא

.Clear שניות הכולל 2י שימוש בשעון של " שניות ע256מונה בינארי של : מחזורי שעון128ולכן המונה צריך לספור , שניות2ר השעון הוא מחזו

128 256 / 2=. .Clear בעל כניסת T-FF - נשתמש ב- .T-FF - לכל ה0 מכניס Clear ביצוע - ! מתעדכן בעליית השעוןT-FF - ה-

שניות אז 2 הוא clk - אבל בגלל שהbit Ripple Counter-6 ל הוא "השרטוט הנ ).0 - בבינארי וחוזר ל127 עד 0 -סופר מ (bit Ripple Counter-7זהו למעשה

Qi מדמה שעון בעל זמן מחזור כפול מ- Qi-1 :

מינימיזציה של מכונות : בני הפרדה

אם קיימת סדרת כניסה ) Distinguishable( הם בני הפרדה A, B מצבים 2 .A, B שונות מהמצבים יציאותהמספקת ) סדרת הפרדה(אחת לפחות

.n-1 מצבים היא באורך nסדרת הפרדה מקסימלית של מכונה עם

Kבני הפרדה : K בני הפרדה אם קיימת עוברם סדרת הפרדה באורך K הם A, B מצבים 2

:שקולים הם שקולים אם כל סדרת כניסה אפשרית מפיקה אותה A, B מצבים 2

.B או A הוא סדרת יציאה בין אם המצב ההתחלתי .מ הם אינם בני הפרדה" שקולים אמB - וA, כלומר

Kשקולים : Aו - B הם Kמ הם אינם " שקולים אמKבני הפרדה .

: למינימיזציהMooreהאלגוריתם של :מטבלת המצבים רואים את ההפרדה הראשונה בקלות ומשם מתחילים

( A B C D F G ) ( E ) x=0 x=1

ECBGED CAGADG ( A F ) ( B C D G ) ( E ) . . .

:מכאן ממשיכים הלאה באותו האופן תמיד ובודקים אילו X=1 - וגם לX=0 - מפתחים את הביטוי גם ל -

ואילו ) ABCDFGלמשל (צה מהאותיות שקיבלנו שייכות לאותה קבו ).E(שייכות לקבוצה השניה

). x-D ECBGE= 0למשל (בוחרים להשתמש בחלוקה אפשרית אחת -רושמים מחדש את החלוקה כך שהמצבים שהופיע כשייכים לקבוצה -

.אחרת יהיו בנפרד .ממשיכים באותו אופן עד אשר מקבלים את אותו הביטוי פעמים - . אלא רק לשייכות לקבוצה עצמה, האין חשיבות לסדר בתוך הקבוצ -

:רישום טבלת המצבים החדשהNS PS

X=1 X=0 0 δ 0 ε A = α 0 γ 0 ε F = β 0 α 0 δ BD = γ 0 δ 0 γ CG = δ 0 γ 1 β E = ε

מכונות איזומורפיות

:איזומורפיות/ מכונות שקולות את אותו מ עבור אותו קלט מקבלים"שקולות אמ/ מכונות הן איזומרפיות

.בשתי המכונות, הפלט

.קנוני/ מכונות רק במצב סטנדרטי 2ניתן להשוות בין

:קנונית/ צורה סטנדרטית .שמות המצבים יקבעו לפי סדר הופעתם משמאל לימין ומלמעלה למטה

NS NS X=1 X=0

PS X=1 X=0 PS

0 C 0 B α=A 0 δ 0 ε α 0 E 1 D ε=B 0 γ 0 ε β 0 C 0 E δ=C 0 α 0 δ γ 0 E 0 B β=D 0 δ 0 γ δ 0 A 0 C γ=E 0 γ 1 β ε

:מכונה קשורה היטב

A קיימת סדרת כניסה המעבירה ממצב A, Bמכונה שבה לכל זוג מצבים .Bלמצב

מפענח: 2nn

Decoder 2n

0 1 2

X/Z0/0

B

C

D

0/00/1

1/0

0/01/0

1/0

1/1

A

S Q R Q’

S

G

R

S Q R Q’

G D

D Q clk Q’

D Q G Q’

D Q G Q’

Data

clk

=

Master Slave

עד זמן זה בטוח לא .קרה דבר לתוכן

אחרי שעבר זמן זה .בטוח שהתוכן התייצב

רשת צירופית מונה מחלק תדר

AND

F1 F2

a’b’ a’c’ b’c’ abc

a b c OR

S

R

Q

Q’

=

S Q R Q’

clkQ0 Q1

T0

clk

Q0

Clear

"1"

T1

Q1

T2

Q2

T3

Q3

T4

Q4

T5

Q5