Построение статистических оценок функции распределения

Статистическая оценка функции распределения

Эмпирической (статистической) функцией распределения называют

функцию F~ (x), определяющую для каждого значения x относительную частоту

события {X ≤ x}.

Из теоремы Бернулли следует, что при неограниченном увеличении n

относительная частота события Х< х, т.е. F~ (x) стремится по вероятности к F(x)

этого события, так как 1}*{lim =<−∞→

εppPn

.

Отсюда следует целесообразность использования эмпирической функции

распределения выборки для приближенной оценки теоретической функции

распределения случайной величины.

Реализация статистической функции распределения F*(x) рассчитывается

по формуле:

F*(x) = nnx ,

где xn число элементов вариационного ряда с учетом кратности,

расположенных левее x, (включая текущий элемент x), n – объем выборки.

Пример графика статистической функции распределения представлен на

рис.1, из которого видно, что F*(x) представляет собой ступенчатую функцию.

Рис.1. Статистическая функция распределения.

Кумулятивная ломаная

Кумулятивная ломаная является второй оценкой функции распределения.

При достаточно больших объемах выборки измерений (наблюдений)

построение на основе всех вариационного ряда ступенчатой оценки F*(x)

становится неудобным.

В этом случае для построения оценки функции распределения удобнее

использовать данные статистического ряда, а именно:

F**( 0x ) = 0

F**( 1x ) = *1p

F**( 2x ) = *1p + *

2p

………………….

F**( qx ) = **2

*1 ... qppp +++ = ∑

=

q

jjp

1

* ,

где ∑=

q

jjp

1

* = 1.

Используя эти формулы, можно построить ломаную F**(x),

проходящую через точки ( )*(*, jxFx j ), j= q,0 и принять ее в качестве второй

оценки функции распределения, которая называется кумулятивной ломаной.

Пример расчетов приведен в табл.4. Таблица 4

График кумулятивной ломаной, построенной на основе данных табл.4,

представлен на рис.2.

Номер интервала

1 2 3 4 5 6

Границы интервалов

[14,01; 14.74)

[14.74; 15.58)

[15.58; 16.32)

[16.32; 17.93)

[17.93;18.71)

[18.71; 19.55]

Относительная частота

интервалов

n

np j

j =*

0.18 0.16 0.16 0.16 0.16 0.16

F**(x) 0.18 0.34 0.48 0.64 0.84 1

Рис.2. Кумулятивная ломаная

Построение статистических оценок плотности распределения

Статистическими оценками плотности распределения являются полигон

частот и гистограмма.

Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру,

состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат интервалы

(разряды) статистического ряда длиною 1−−= jjj xxl , а высота равна

отношению jj lp /* (плотность относительной частоты). Площадь гистограммы

относительных частот равна сумме всех относительных частот, т.е. единице.

Учитывая свойство плотности распределения можно записать:

P(xj-1 ≤X<xj

)= f( õ j)*lj , (j= q,1 ) , где lj – длина j-го интервала, f( õ j) –

средняя на интервале плотность распределения f(x).

Заменяя P(xj ≤X<xj+1

) относительной частотой p*j статистического ряда,

получим следующее выражение для приближенного значения f*j плотности

распределения на интервале (разряде):

f*j= p

*j/ lj , j= q,1 .

Таким образом, гистограмма относительных частот строится следующим

образом: на оси Оx отложим границы разрядов и на них, как на основаниях,

построим прямоугольники, имеющие площадь p*j и высоту равную f*

j (см.

рис.3.).

Рис.3. Оценка плотности распределения, построенная по относительным частотам

Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из

прямоугольников, основаниями которых служат интервалы длиною 1−−= jj

j xxl , а высота равна отношению jn (см. рис.4.).

Рис.4. Оценка плотности распределения, построенная по частотам nj

Сглаженную гистограмму относительных частот в виде ломаной линии

называют полигоном относительных частот, являющимся вторым способом

оценки f(x). Она строится по точкам ( jx , *

jf ) , j= q,1 (см. рис. 5).

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

20 21 22 23 24 25

Представители интервалов

p*j

f**(x)f**(x)

Рис.5. Полигон относительных частот

Полигон частот строим по точкам, координаты которых равны ( jx , nj) ,

j= q,1 (см. рис.6).

Рис.6. Полигон частот