חדוא - ריכוז נוסחאות וחוקים
TRANSCRIPT
חדו"א - ריכוז נוסחאות וחוקים
4..........................................................................................................מבוא.14........................................................................חזרות על מתמטיקה מהתיכון1.1v.4...................................................................................ערך מוחלט5.................................................................מושגים בסיסיים מתורת הקבוצות1.26..........................................................................................פעולות על קבוצות1.36.........................................................................קבוצות חשובות של מספרים1.47...............................סימונים עבור קבוצות "מיוחדות" של מספרים ממשיים:1.57..............................................................................................סימונים נוספים1.68............................................................................הוכחה בשיטת האינדוקציה1.78.................................................................................................קומבינטוריקה1.89.........................................................................................................פונקציות1.9
9............................................................................................הרכבת פונקציות1.109........................................................................................פונקציות מונוטוניות1.1110..............................................................................פונקציות זוגיות ואי זוגיות1.1210....................................................................פעולות חשבוניות על פונקציות1.13
11.......................................................................................................סדרות.212...........................................................................................גבול של סדרה.3
12................................................................................הגדרת גבול של סדרה:3.812......................................................................איך מוכיחים גבול של סדרה?3.9
an?..........................................................13 אינו הגבול של bאיך מוכיחים ש-3.11
an................................................................................13 עבור bשלילת גבול 3.1314............................................................................................שאיפה לאינסוף3.1514..................................................סדרות חסומות והקשר להתכנסות סדרות3.16vi.14.................................................................סדרות חסומות ידועות15.........................................................................................סדרות מונוטוניות3.1716.................................המשפט על סדרות חסומות ומונוטוניות במובן הרחב3.1816...........................המשפט על סדרות לא-חסומות ומונוטוניות במובן הרחב3.1917...........................................................................................משפט אי השוויון3.2117......................................................חישוב גבולות )אריתמטיקה של גבולות(3.2218...........................................................................................משפט הסנדוויץ'3.23ה של קנטור3.24 מ2 18...........................................................................................הל319.............................................................................גבולות ידועים של סדרות3.2619..........................................................כללי זהב למציאת גבולות של סדרות3.27
i.19..............................................................................מצבים ידועיםii.)21...................................מצבים בעייתיים )בהם כל תוצאה אפשרית
21.................................................................................חלק אמריקאי בסדרות3.2822..................................................................................פונקציות אלמנטריות.426.......................................................................................גבול של פונקציה.5
י5.2 26...............................................................הגדרת גבול של פונקציה ע"י קֹוש426.............................................................הגדרת גבול של פונקציה לפי היינה5.327................................................................................................גבול חד צדדי5.8i.27...................................................................................גבול מימיןii.27...............................................................................גבול משמאל
fגבול אינסופי של 5.9 ( x ).................................................................................28
1
fגבול סופי של 5.10 ( x 28.............................................. שואף לאינסוףx כאשר (
fגבול אינסופי של 5.11 ( x 29......................................... שואף לאינסוףx כאשר (29........................................................................גבול של פונקציה אלמנטרית5.1229.........................................................................................פונקציות חסומות5.1330...................................חישובי גבולות לפונקציות )אריתמטיקה של גבולות(5.1430......................................................משפט הסנדוויץ' לגבולות של פונקציות:5.1530..........................................................................גבולות ידועים של פונקציות5.1630.......................................................................................נקודת קיצון מוחלט5.1731........................................................................................נקודת קיצון מקומי5.1832.............................................................................חלק אמריקאי בפונקציות5.19
33..................................................................................רציפות של פונקציות.633...........................................................................................................הגדרה6.134................................................................................משפטי רציפות יסודיים6.234.................................................................................רציפות מימין ומשמאל6.335..................................................................................סוגי נקודות אי רציפות6.5
36............................................................................הנגזרת ופירושיה השונים.736..........................................................................................משמעות הנגזרת7.136.............................................................................................הגדרת הנגזרת7.237............................................................................הקשר בין גזירּות לרציפּות7.337...........................................................................................נגזרת חד צדדית7.4i.37.................................................................................נגזרת מימיןii.37.............................................................................נגזרת משמאל37.....................................................................................................חוקי גזירה7.9i.37....................................................................טבלת נגזרות ידועותii.38..................................................................................כללי גזירה
x=0.......................................................39דוגמאות לפונקציות לא גזירות ב-7.10
כלל לּופיטל לחישובי גבולות מהסוג 7.11
} } { {0} over {0} } rSup { size 8{ או
} } { { +- infinity } over { +- infinity } } rSup { size 8{.....................................39
41...............................................................משפטים הנוגעים לרציפות וגזירות.841......................................................................................משפט ערך הביניים8.1ת )שימוש בערך הביניים(8.2 ב3 41..............................................משפט נקודת הש341........................................................................................משפט ויירשטראס8.4ה8.5 רמ2 42................................................................................................משפט פ342.....................................................................................................משפט רֹול8.6
fפתרון שאלה מסוג "מצאו כמה פתרונות יש למשוואה 8.8 ( x )=0"...............4243...................................................................משפט ערך הממוצע של לגרנג'8.9iii.'43...................................................הוכחת אי שוויונים בעזרת לגרנג
43...................................................................................................משפט קֹושי8.1044..........................................................................................חקירת פונקציה.9
44....................................................................................קביעת תחום הגדרה9.144..............................................................................................זוגית / אי זוגית9.244.............................................................................נקודות חיתוך עם הצירים9.344......................................................................................תחומי עלייה וירידה9.445.......................................................................................נקודות קיצון מקומי9.545.................................................................................תחומי קמירות וקעירות9.645................................................................................................נקודות פיתול9.746................................................................................................אסימפטוטות9.8i.46......................................................................אסימפטוטה אנכית
2
ii.46..................................................................אסימפטוטה משופעת46................................................................................................שרטוט הגרף9.9
47..............................גבולות של פונקציות – כיצד מטפלים במצבים בעייתיים?.10
10.1
a≠0→0............................................................................................................47
10.2
±∞±∞..............................................................................................................47
10.3∞−∞...........................................................................................................47
10.40∗(±∞)........................................................................................................47
10.5(→1 )(±∞) / (→0 )(±∞) / (±∞)(→0 ) / (→0 )(→0)
.............................................47
10.600...................................................................................................................47
iv.:47...........................................להשתמש באחד מהגבולות היסודיים48...................................גבולות של סדרות – איך מטפלים במצבים בעייתיים?.11
3
מבוא.1חזרות על מתמטיקה מהתיכון1.1
i.ביטוי ממשי שמעלים בריבוע תמיד יהיה חיובי(.+=−¿− ו-+=+¿+)כי
ii. יודעים אם פרבולה צוחקת או בוכה לפי המקדם שלx2.
iii. :פירוק פולינוםxn+1−1=( x−1 )(1+ x+. ..+xn ).
iv.a3−b3=( a−b )(a2+ab+b2 ) ⇐
a−b= a3−b3
a2+ab+b2.
v.ערך מוחלט ערך מוחלט של ביטוי הוא המרחק של הביטוי מאפס:א.
f ( x )=|exp|={exp exp≥0−exp exp<0.
√ב. x2=|x|.
ג.limx→+∞
( x √x )= limx→+∞
(+√x3 ) , אבל
limx→−∞
( x√ x )= limx→−∞
(−√ x3 ) שלילי ומכניסיםx – כאשר
כדי לא לאבד אתלכתוב בחוץ מינוסאותו לשורש, יש ערך השלילי הנ"ל.
a≤x≤a−ד. ⇔ |x|≤a.x≤−b or x≥b ⇔ |x|≥b.
fהגרף של ה. ( x )=|x|:
vi. הגרף שלf ( x )=e x :
vii. הגרף שלf ( x )=ln ( x ) :viii.מספרים ממשיים יקיימו אי שוויון2 )כל שוויון המשולש
+x|זה(: y|≤|x|+|y|.
4
ix.אי שוויון הממוצעים:
x1∗x2∗. ..∗xn≤( x1+x2+. ..+xn
n )n
.
.=x1=x2)שוויון מתקיים רק כאשר ..=xn.)x.:מציאת מקסימום ומינימום
max (a ,b )=12|a−b|+ 1
2(a+b)
min (a ,b )=− 12|a−b|+ 1
2( a+b )
xi.:לוגריתמיםloga( x )=b⇔ x=ab.
log, אי השוויון לא מתהפך: a|≥1|כאשר a( x )<b⇔ x<ab.
)loga, אי השוויון מתהפך: a<1>1−כאשר x )<b⇔ x>ab.
ln (x )=log e( x ) ,e ln (x )=x.
xii. :רדיאנים מול מעלותπ=180∘ ,0=2π=360∘.
xiii. לכל−π
2<x< π
)sin| מתקיים 2 x )|≤|x|≤|tan( x )|.xiv.אי שוויונים
קודם כל מוציאים תחום הגדרה – המכנה של השברא.צריך להיות שונה מאפס.
מושגים בסיסיים מתורת הקבוצות1.2i.אוסף של איברים.קבוצה –
בקבוצה אין משמעות לסדר האיברים ואין משמעות לחזרות. נסמן קבוצות באותיות גדולות ואת איברי הקבוצה באותיות
קטנות.
A={1קבוצה ניתנת לייצוג ע"י תיאור מפורש, לדוג' ,−2,5},
.A={x|2<x≤3}או בתיאור ע"י תנאי, לדוג'
ii.איבר שייכות – a שייך לקבוצה A מסומן ,a∈ A.
iii.קבוצה ללא איברים, מסומנת הקבוצה הריקה – φ י(. )פ4
, כי:φ≠{φ}יש לשים לב ש: הצד השמאלי הוא הקבוצה הריקה, בעוד שהצד הימני הוא
שהאיבר היחיד שלה הוא הקבוצהלא ריקהקבוצת איברים הריקה.
iv.יחסים בין קבוצות אם:B מוכלת ב-A בין קבוצות – אומרים ש-הכלהא.
.B שייך גם ל-Aכל איבר השייך ל-
∋a, אם a= לכל איבר A אז a∈B( a∈ A ⇐ a∈B.)
∋a ,a= לכל איבר A גורר בהכרח a∈B.
A-מוכלת ב B מסומן A⊆B. אם:B שווה ל-A בין קבוצות – אומרים ש-שוויוןב.
יש לשתיהן בדיוק אותם איברים.
∋a ,a= לכל איבר A ⇐ a∈B וגם a∈B ⇐ a∈ A.
5
∋a ,a= לכל איבר A ⇔ a∈B.)גרירה דו כיוונית( A=B ⇔ A⊆B וגם B⊆ A.
A בין קבוצה בין קבוצות – אומרים ש-הכלה ממשג.
.A≠B וגם A⊆B אם מתקיים Bמוכלת ממש ב-.A⊂Bמסומן
⊇A מתקיים Aלכל קבוצה ד. A וכן A=A.
6
פעולות על קבוצות1.3i.החיתוך של הקבוצות חיתוך – A-ו B מסומן A∩Bומוגדר
A∩B={x|x∈ A and x∈B }. הן קבוצות שאין להן אף איבר משותף ואזזרותקבוצות
A∩B=φ.ii.האיחוד של הקבוצות איחוד – A-ו B מסומן A∪Bומוגדר
A∪B={x|x∈ A or x∈B }. ( הכוונה שלפחות אחת מהאפשרויותor]כשאומרים "או" )
מתקיימת, אבל ייתכן ששתיהן מתקיימות.[iii.)ההפרש של הפרש )חיסור – A-ו B מסומן A−Bאו
A /B ומוגדר A−B=¿¿.
iv. :מתקיים תמידA∩B=A∪B ,A ,B⊆ A∪B, A∩B⊆ A , B.
v. כאשרA,B,C:קבוצות כלשהן, מתקיים A∪B=B∪Aא.
A∩B=B∩Aב.
,A⊆Bאם ג.
.A∩C⊆B∩C, וכן A∩B=A ,A∪B=Bאז
A∩(B∩Cד. )=( A∩B )∪(A∩C )A∪(B∪C )=( A∪B )∪CA∩(B∩C )=( A∩B )∩C
A∩(B∪Cה. )≠( A∩B )∪C
A∪(B∩C )≠( A∪B )∩C
⊇φ מתקיים Aלכל קבוצה ו. A אך לא בהכרח ,φ∈ A.קבוצות חשובות של מספרים1.4
i. הטבעייםקבוצות המספרים( natural numbers:).Νכל המספרים השלמים החיוביים. מסומנת
ii. השלמיםקבוצת המספרים( integers:).Ζכל המספרים השלמים )כולל השליליים(. מסומנת
iii. הרציונלייםקבוצת המספרים( rational:) מספרים שלמים:2כל מספר שניתן לייצג ע"י מנה של
Q={ab|a ,b∈Ζ ,b≠0}.Q, מסומנת
הוא גם רציונלי: a)כל מספר שלם a=a
1)iv. הממשייםקבוצת המספרים( real numbers:)
מיוצגים ע"י נקודות על הישר.R. איברי Rמסומנת כל מספר רציונלי הוא גם ממשי, אבל לא כל מספר ממשי הוא
רציונלי.כל שורש של מספר ראשוני אינו מספר רציונלי.
אי רציונלי.n√ שלם או n√ מתקיים: nלכל מספר שלם וחיובי
Π=3המספר . 14159 .. )פאי( אינו מספר רציונלי...
v. מתקייםΝ⊂Ζ⊂Q⊂R.
7
vi.( תכונות של קבוצת המספרים הטבעייםΝ:).1קיים איבר מינימלי והוא המספר א. יש איבר עוקב )הבא אחריו ללא איבריםΝלכל איבר ב-ב.
ביניהם(.
8
סימונים עבור קבוצות "מיוחדות" של מספרים ממשיים:1.5
i.כולל הקצוות( יסומן קטע סגור( [ a ,b :a<b כאשר [[ a ,b ]={x∈ R|a≤x≤b}.
ii.לא כולל הקצוות( יסומן קטע פתוח( (a ,b :a<b כאשר ((a ,b )={x∈R|a<x<b}.
iii.חצי סגור( כאשר קטע חצי פתוח=( a<b: [ a ,b)={x∈R|a≤x<b} או (a ,b ]={x∈R|a< x≤b}.
iv.ן(:קטעים אינסופיים ר3 )=ק3[ a ,∞)={x∈ R|a≤x a) או { ,∞)={x∈R|a< x}(−∞ , a ]={x∈R|x≤a} או (−∞ , a)={x∈R|x<a}
∞−)=Rוכן, ,∞)v.∞אינסוף הינו סימון ל.
הוא כמובן אינו מספר ואינו כלול בקבוצות שלעיל.vi.:המשלים של קטע פתוח הוא קטע סגור. למשל
(−∞ ,3 )∪(6 ,∞)=R−[3,6 ]. נוספיםסימונים1.6
i.R+=[0 , ואפס.R – כל האיברים החיוביים ב-(∞,
ii.R−=(−∞ ,0 ואפס.R – כל האיברים השליליים ב-[iii. הערך השלם שלx המספר השלם – aהגדול ביותר
] )כלומר, עיגול כלפי מטה(. מסומן a≤xהמקיים x ].
⌋ ולסמנו xניתן להתייחס אליו גם כאל הערך התחתון של x ⌋.iv. הערך העליון שלx המספר השלם – bהקטן ביותר
⌉. מסומן b≥xהמקיים x⌉.
v. :סימון מקוצר לסכום∑i=1
n
ai=a1+a2+. . .+an.
vi. :סימון מקוצר למכפלה∏i=1
n
ai=a1∗a2∗.. .∗an.
9
האינדוקציההוכחה בשיטת 1.7i..יש להוכיח שתכונה מסוימת מתקיימת לכל מספר טבעיii.:השיטה
בסיס האינדוקציה – בודקים שהתכונה מתקיימת עבורא.האיבר הקטן ביותר שעבורו הטענה צריכה להתקיים.
,n=kצעד האינדוקציה – נניח שהתכונה מתקיימת עבור ב. ולע סמך הנחה זו מוכיחים שהתכונה מתקיימת גם עבור
n=k+1.iii.:נוסחאות מועילות שהוכחנו בעזרת אינדוקציה
א.∑k=1
n
k=1+2+. .. .+n=n( n+1)
טבעי.n לכל 2
ב.∑k=1
n
k 2 ==n(n+1)(2n+1)
.n≥1 עבור 6
ג.∑k=0
n
qk=1−qn+1
1−q לכל n.טבעי
ללא שארית.3 מתחלק ב-n3−n טבעי מתקיים nלכל ד.
:אי שוויון ברנּוליה.
,h≠0 וכן h>−1 המקיים h∈Rאם נתון
טבעי מתקיים אי השוויוןn≥2אז לכל
(1+h )n>1+h∗n.
n3<2nו.. כלומר, n≥10 לכל
1
n3> 1
2n.n≥10 לכל
ז.
nn
n3<n!< nn
2n.n≥6 לכל
קומבינטוריקה1.8
i. עבורn, k מספרים שלמים אי שליליים המקיימים n≥kנגדיר ,
" כך: k מעל nאת "(nk )= n !
k !(n−k )!=
n∗(n−1 )∗. ..∗(n−k+1 )1∗2∗. . .∗k
.
ii. לכלn≥0 מתקיים (nn )=(n0)=1
, וכן (n1 )=n.
iii.( nn−k )=(nk ).
iv.הבינום של ניוטון:
טבעי מתקיים n ממשיים ו-a, bלכל (a+b)n=∑
k=0
n
(nk )akbn−k
.v.:סכום מקדמי הבינום
∑k=0
n
(nk )=(n0)+(n1)+. . .+(nn )=2n
.
10
פונקציות1.9
i. :פונקציההגדרה f מקבוצה A לקבוצה B מסומנת f : A→B.
∋xזוהי התאמה שמתאימה לכל איבר A איבר יחיד y∈B.
fנסמן ( x )= y ואז x של המקור נקרא y.
fעבור : A→B ,A של התחום נקראת f-ו B של הטווח נקרא f.ii..ניתן לייצג פונקציה רק ע"י כלל התאמה
fלמשל, עבור ( x )=√25− x2 x, התחום הוא קבוצת כל ערכי
.Rהניתנים להצבה והטווח הוא iii. בפונקציהf:כלשהי
∋xלכל א. A מוגדר f)x(.
∋x כך שאין y∈Bייתכנו איברים ב. A המקיים f ( x )= y.
iv.תמונה( של פונקציה Image מסומנת – )Im ( f )
Imומוגדרת ( f )={y∈B|x∈ A exists so y= f ( x )}.
(Im ( f )⊆B)
v. פונקציה נקראת על אם עלפונקציה – Im ( f )=B.
f כך ש-x בטווח, יש מקור yכלומר, לכל איבר ( x )= y.vi. פונקציה נקראת חד חדחד חד ערכיתפונקציה –
y∈Imערכית אם לכל ( f ∋x מתאים ( Aיחיד המקיים f ( x )= y.
x1= אם , x2∈ A מקיימים f ( x1 )=f ( x2 .x1=x2, אז בהכרח (
x1= אם , x2∈ A מקיימים x1≠x2 אז בהכרח ,f ( x1 )≠f ( x2 ).vii. פונקציה שהיא חד חד ערכית ועל.הפיכהפונקציה –
f−1f ומוגדרת f ל-הפונקציה ההפוכה נקראת : B→ A.
fאם ( x )= y אז ,x=f−1( y ).
viii. :פונקצית הזהותI ( x )=x.
הרכבת פונקציות1.10i.של ההרכבה f-ו g היא הפונקציה המתקבלת מהפעלת f
g :xולאחריה הפעלת f⃗ f ( x ) g⃗ g( f ( x )).
)הרכבה מסומנת f ∘g )(x )=g( f ( x )).
ii. הגדרה: נתונותf : A→B ,g :C→Dפונקציות המקיימות Im ( f )⊆C אזי ההרכבה ,g∘fמוגדרת ע"י הכלל
( f ∘g )(x )=g( f ( x )) ,f ∘g : A→D.
iii. אםf : A→B ,g :B→C,פונקציות הפיכות
גם היא הפיכה.g∘fאזי ההרכבה
פונקציות מונוטוניות1.11
i. תהיf : A→B =( פונקציה ממשית A-ו Bקבוצות של מספרים ממשיים(
11
ii.-נאמר שf אם לכל פונקציה מונוטונית עולה היא x1 , x2∈ A
fמתקיים ( x1 )< f ( x2)⇐x1<x2.iii.-נאמר שf אם לכלפונקציה מונוטונית יורדת היא
x1 , x2∈ A מתקיים f ( x1 )> f ( x2)⇐x1<x2.iv. :דוגמאות
f 1( x )=2x.היא מונוטונית עולה f 2( x )=−x.היא מונוטונית יורדת f 3( x )=x2
אינה מונוטונית )אינה עולה ואינה יורדת(.f ] עולה בקטע 3 0 ∞−), ויורדת בקטע (∞, ,0 ].
v. אםf : A→B פונקציה וכן A1⊆ A,
x1 אם מתקיים התנאי לכל A1 עולה בקבוצה fנאמר ש- , x2∈ A1
fמתקיים ( x1 )< f ( x2)⇐x1<x2.
.A1 יורדת בקבוצה fבאותו אופן נגדיר
vi. אם נתונהf :R→Rפונקציה מונוטונית עולה )או חד חד ערכית. כמובן, ישנן פונקציות חד חדfיורדת(, אז
ערכיות שאינן מונוטוניות.פונקציות זוגיות ואי זוגיות1.12
i. תהיf : A→Bפונקציה ממשית
ii.-אומרים שf אם לכל זוגית x∈ A מתקיים f ( x )=f (−x ).
iii.-אומרים שf אם לכל אי זוגית x∈ Aמתקיים f ( x )=−f (−x ).
iv. עבור כלf :R→Rפונקציה כלשהי, בהכרח קיימות
gפונקציות :R→R-ו h :R→R-כך ש ,g ,זוגית hאי זוגית וכן f=g+h.
הזוגית: gנוסחה למציאת א.g( x )=
f ( x )+ f (−x )2.
האי זוגית: hנוסחה למציאת ב.h( x )=
f ( x )−f (−x )2.
v. אםf ( x ) ,g( x f זוגיות, גם ( ( x )∗g( x זוגית.(
fאם ( x ) ,g( x f אי זוגיות, ( ( x )∗g( x זוגית.(
fאם ( x )g זוגית, ( x f אי זוגית, ( ( x )∗g( x אי זוגית.(פעולות חשבוניות על פונקציות1.13
i. נתונות פונקציותf-ו g:נגדיר פונקציות חדשות כך .
fא. +g מוגדרת כך: התחום של f +gהוא חיתוך בתחום מתקייםx ולכל g ושל fהתחומים של
( f +g )( x )=f ( x )+g( x ).
12
, f−g ,g−f ,f∗gבאותו אופן נגדיר גם ב.
fgהתחום(
של
fg לא כולל את התחומים בהם g.)מתאפסת
13
סדרות.2 אינסופית של מספרים ממשיים )ובקיצור, סדרה( היא רשימהסדרה2.1
מסודרת של מספרים ממשיים )כלומר, לחזרות יש משמעות וכן ישחשיבות לסדר האיברים, בניגוד לקבוצה(.
a1סדרה כללית תסומן 2.2 , a2 , a3 ,. . n=1{an} או .∞
.{an} או
: ההרמוניתהסדרה 2.3an=
1n={1 , 1
2, 1
3, 1
4,. . .}
. : למשל, את סדרת פיבונצ'י מגדיריםלהגדיר סדרה ברקורסיהניתן 2.4
a1=1 , a2=1 ולכל n≥3 ,an=an−2+an−1.
f מקיימת פונקציה ניתן לראות {an}בסדרה כלשהי 2.5 : Ν→R
fומוגדרת (n)=an.
anעבור סדרות 2.6 , bn:נגדיר את הפעולות החשבוניות הבאות
)ניקח לדוגמא את an=
1n,bn=
1
n2)
i.-האיבר הn של הסדרה an+bn :הוא
1n+ 1
n2.
ii.-האיבר הn של הסדרה an−bn :הוא
1n− 1
n2.
iii.-האיבר הn של הסדרה an∗bn :הוא
1n∗ 1
n2= 1
n3.
iv.-האיבר הn של הסדרה
an
bn :הוא
1n
1n2
=n
)בתנאי
(.n לכל bn≠0ש-
v.-האיבר הn של הסדרה (an )bn
הוא: ( 1n )
1
n2
(.an=bn=0 שעבורו n)בתנאי שלא קיים
14
גבול של סדרה.3הקדמה לגבול של סדרה3.1
i. ּפסילון וגם שונה0 מסמן מספר חיובי שיכול להיות קרוב ל-εא3.0מ-
ii. אם נתוניםa ,b∈R המקיימים |a−b|<ε לכל ε>0אזי , a=b.
)אם קייםb, הכוונה למספר ממשי מסוים {an} גבול של סדרהבמושג 3.2 וייתכן שחלק מאיברי הסדרה"מתקרבים אליו"כזה(, שאיברי הסדרה
. b שווים ל-)או כולם(
ל, nמשמעות הדבר היא שככל ש- ד3 . כלומר,b מתקרב יותר ל-an ג2
ן.|an−b|שההפרש ט3 הולך וק2!!∞→nבסדרות, תמיד 3.3
או an→bנסמן גבול כך: 3.4lim ( an )
n→∞=b
.
b−ε) היא הקטע b של ε סביבת 3.5 , b+ε עצמו, אך לאb ]הכולל את (
[, שהיא בדיוק הקבוצהb+ε וb−εאת המספרים {x∈R | |x−b|<ε ]כלומר, קבוצת כל המספרים הממשיים{
[.ε קטן מ-bההפרש ביניהם לבין
ε>0, בעצם אומרים שלכל b הוא {an}כשאומרים שהגבול של 3.6 ( יש מקום בסדרה, שהחל ממנו כל איברי0)אפילו קרוב מאוד ל-
.b של εהסדרה נמצאים בסביבת או בניסוח שקול:
.an−b|<ε| יש מקום בסדרה שהחל ממנו ε>0לכל .סדרה מתכנסתסדרה שיש לה גבול סופי נקראת 3.7
.סדרה מתכנסת במובן הרחבסדרה שיש לה גבול אינסופי נקראת : הגדרת גבול של סדרה3.8
iii. נתונה סדרה{an} ונתון ,b∈R-מסוים. נאמר ש bהוא
טבעי )שהואno יש ε>0, אם לכל {an}גבול של הסדרה
.an−b|<ε| מתקיים n>noמיקום בסדרה(, כך שלכל
no=no, ומסמנים ε תלוי ב-noיש לשים לב ש- (ε ).iv.ניסוח שקול להגדרת גבול :
ε>0, אם לכל {an} הוא גבול של הסדרה bנאמר שהמספר
מתקייםn>no טבעי )שהוא מיקום בסדרה(, כך שלכל noיש
.b של ε נמצא בסביבת anש-איך מוכיחים גבול של סדרה?3.9
i. יש להציב אתan באי השוויון |an− lim (an)|<ε.ii..יש להיפטר כמה שאפשר מהערך המוחלטiii. יש לבודד אתn מערך כלשהו המבוטאגדול, כך שיהיה
.εע"י
iv. בשלב זה פשוט ניתן לבחור איזשהוn0(ε אשר שווה ל-(n שבודדנו כך שיבוטא ע"י ε.
15
דוגמא להוכחת גבול של סדרה:3.10
נניח שרוצים להוכיח שהגבול של an=
(−1 )n
n 0 הוא.
מתקייםn>no טבעי כך שלכל no. עלינו למצוא ε>0יהי
|an− lim (an)|<ε ⇔ |(−1)n
n−0|<ε
⇔ |(−1)n
n|<ε
⇔
1n<ε
]כי
⇔ הוא הרי טבעי[ n, ו-1 ל-n(1−)הערך המוחלט הופך את
1ε<n
.
לכן, ניתן לבחור n0(ε )=
1ε ואז לכל
n>no=1ε מתקיים כמובן
1ε<n
−an|ולכן מתקיים גם lim (an)|<ε.מ.ש.ל .
?an אינו הגבול של bאיך מוכיחים ש-3.11
i.-יש להניח בשלילה שb הוא הגבול של an
ii. במקרה זה, לכלε>0 קיים no טבעי כך שלכל n>noמתקיים |an−b|<ε.
iii..יש להיפטר כמה שאפשר מהערך המוחלטiv. יש לבודד אתn מערך כלשהו המבוטאקטן, כך שיהיה
.εע"י
v. בשלב זה יש לבחורε לקבל את ,n0(ε מהערך(
an−b|<ε| קטן ממנו(, ואז בהכרח לא יתקיים nשבודדנו )ש-
n>no המקיים n שבחרנו עבור אף εעבור ה- (ε ).דוגמא להפרכת גבול של סדרה:3.12
נניח שרוצים להוכיח שהגבול של an=
4−3n4n+2 אינו
12.
נניח בשלילה שמתקיים lim ( 4−3n
4n+2 )=12.
מתקיים ε>0אזי לכל |an−
12|<ε
⇔ |4−3n
4n+2−1
2|<ε
⇔
|6−10n8n+4
|<ε ⇔
|−(5n−3)
4n+2|<ε
⇔
5n−34n+2
<ε ⇔
5n−3<4 nε+2 ε⇔ n(5−4 ε )<2 ε+3 ⇔ n< 2 ε+3
5−4 ε ,ε≠ 54.
=εניקח למשל 1=n>n0, אזי עבור כל 2
4−an|, לא מתקיים 3
12|<ε
−an|)כי לא מתקיים 12|=|0−1
2|= 1
2<ε= 1
(, כלומר 21 אינו הגבול של2
anמ.ש.ל .
an עבור bשלילת גבול 3.13
16
i. יש להראות שקייםε>0 כך שלא קיים no כך שעבור n>no
שנבחר, עבור כלno )כלומר, שלכל an−b|<ε|מתקיים n>no תמיד יתקיים |an−b|≥ε.)
לכל היותר.לכל סדרה יש גבול אחד3.14
17
שאיפה לאינסוף3.15
i. נאמר שהסדרה{an} שואפת לאינסוף, ונסמן an→∞או lim ( an טבעי )שהואno יש M, אם לכל מספר ממשי ∞=(
)כלומר,an>M מתקיים ש-n>noמיקום בסדרה(, כך שלכל an.)הולך וגדל החל מאינדקס מסוים
ii. נאמר שהסדרה{an} שואפת למינוס אינסוף, ונסמן an→−∞
limאו ( an טבעי )שהואno יש M, אם לכל מספר ממשי ∞−=(
)כלומר,an<M מתקיים ש-n>noמיקום בסדרה(, כך שלכל an.)הולך וקטן החל מאינדקס מסוים
iii. עבור סדרה{an}:
, אז n לכל an≠0 וכן ∞→|an|אם א.
1an
→0 . )נכון גם
ללא הערך המוחלט(.
, אז n לכל an≠0 וכן an→0אם ב.
1|an|
→0 . )לא נכון
ללא הערך המוחלט(.
iv. כאשרan→∞ ,bn→b
.∞+→an∗bn, אז b>0אם א.
.∞−→an∗bn, אז b<0אם ב.סדרות חסומות והקשר להתכנסות סדרות3.16
i. הגדרה: הסדרה{an} אם קיים מספר ממשי חסומה ,M-כך ש ,|an|≤M לכל n.טבעי
M של הסדרה.חסם נקרא
[M לבין M− נמצאים בין an]כלומר, כל ערכי ii.לסדרה יכולים להיות מספר חסמים, כאשר כל מספר הגדול
של הסדרה הוא גם חסם.החסם המינימלי מiii.כל סדרה מתכנסת היא סדרה חסומה .
אם סדרה אינה חסומה, היא בהכרח אינה מתכנסת.iv..סדרה חסומה אינה בהכרח סדרה מתכנסתv.סדרה שקבוצה האיברים בה סופית היא בהכרח חסומה
– פשוט נבחר את הערך המוחלט הגבוה ביותר מתוך איברי
|M=max{|anהסדרה בתור חסם: |n∈Ν }.vi.סדרות חסומות ידועות
אינה חסומהan=nהסדרה א.
=anהסדרה ב.1n הוא החסם המינימלי1 חסומה, כאשר
שלה.
sin(n≥1−ג. )≤1 ,−1≤cos(n )≤1.
vii. אם {an}, {bn} סדרות המקיימות {an}-חסומה ו lim ( bn lim, אזי מתקיים 0=( ( an∗bn )=0.
18
viii. אם{an}, {bn} סדרות המקיימות {an}-חסומה ו
lim ( bn , אזי מתקיים ∞=(lim (
an
bn
)=0.
ix. חסומה מלעיל(, אם קיים חסומה מלמעלהסדרה( M
טבעי.n לכל an≤Mממשי, כך ש-x. חסומה מלרע(, אם קיים חסומה מלמטהסדרה( M
טבעי.n לכל an≥Mממשי, כך ש-xi. הסדרה חסומה גם מלמעלה וגם⇔סדרה חסומה
.Mמלמטה ע"י מספר ממשי מונוטוניותסדרות3.17
i. הגדרה – נתונה סדרה{an}.
טבעי.n לכל an<an+1 אם עולה סדרה anא.
טבעי.n לכל an≤an+1 אם עולה במובן הרחב סדרה anב.
טבעי.n לכל an>an+1 אם יורדת סדרה anג.
n לכל an≥an+1 אם יורדת במובן הרחב סדרה anד.טבעי.
ii.:הערות.∞סדרה עולה לא בהכרח שואפת ל-א..∞−סדרה יורדת לא בהכרח שואפת ל-ב. כל סדרה עולה היא גם סדרה עולה במובן הרחב אבלג.
לא להיפך. כל סדרה יורדת היא גם סדרה יורדת במובן הרחב אבלד.
לא להיפך.iii..לכל סדרה עולה במובן הרחב יש חסם מלמטהiv..לכל סדרה יורדת במובן הרחב יש חסם מלמעלה
v. עבור סדרה{an}העולה במובן הרחב וחסומה מלמעלה, החסם המינימלי מבין כל החסמים מלמעלה נקרא
Sup ומסומן סופרימום {an}.
vi. עבור סדרה{an}היורדת במובן הרחב וחסומה מלמטה, החסם המקסימלי מבין כל החסמים מלמטה נקרא
Inf ומסומן אינפימום {an}.
vii. אםA-קבוצה ו Sup( A )∉ A אזי קיימת סדרה ,an∈ A
→anכך ש- Sup( A עולה ממשan וכן (
)Sup)כלומר, אם A A מאיברי an, אזי יש סדרה A אינו איבר ב-(
)Supשעולה ממש ושואפת ל- A ).)
19
המשפט על סדרות חסומות ומונוטוניות במובן הרחב3.18
i. אם{an},סדרה עולה במובן הרחב וחסומה
lim מתכנסת ומתקיים anאזי ( an )=Sup {an}.
ii. אם{an},סדרה יורדת במובן הרחב וחסומה
lim מתכנסת ומתקיים anאזי ( an )=Inf {an}.iii.:דוגמא לשימוש במשפט
יש למצוא גבול לסדרה המוגדרת בצורה רקורסיבית )למשל,
a1=5 ,an+1=√8an−12.)שלבי הפתרון הם:
להוכיח שהסדרה עולה וחסומה, כי זה אומר שלסדרהא.
Supקיים גבול והוא שווה ל- {an}:a.:להוכיח שהסדרה עולה
.nבאינדוקציה על b.:להוכיח שהסדרה חסומה מלמטה
הוא חסם תחתון.a1מעצם היותה עולה, c.:להוכיח שהסדרה חסומה מלמעלה
i. יש לבצע את החישוב בשלבii 4 בסעיף, כדי לגלות מהו החסם העליון של
הסדרה.ii. יש להוכיח באינדוקציה עלnשאכן כל ,
קטנים מחסם עליון זה )או מכלanאיברי מספר הגדול ממנו(.
למצוא את הגבול:ב.
a. נסמןb=lim ( an ).b. נמצא אתbתוך שימוש בהגדרה הרקורסיבית
⇐ an+1=√8an−12של הסדרה:
(an+1 )2=8an−12.
c.:קיבלנו שתי סדרות(a2)
2 , (a3 )2 ,(a4 )
2 , . b2 שגבולה הוא ..
(.an∗an)אריתמטיקת גבולות, בגלל שזה 8a1−12 ,8a2−12 ,8a3−12 ,. שגבולה הוא..
8b−12.)אריתמטיקת גבולות( d.סדרות אלו זהות )בגלל השוויון
(an+1 )2=8an−12ולכן גבולם צריך להיות ,)
שווה:b2=8b−12 ⇐ b2−8b+12=0 ⇐ b=2או
b=6.e.-מכיוון שלפי המשפט, הגבול צריך להיות שווה ל
Sup {an}-לא ייתכן ש ,b=2 כי( a1=5>2.)
f. ,לכןlim ( an )=6.
20
המשפט על סדרות לא-חסומות ומונוטוניות במובן הרחב3.19i.,כל סדרה עולה במובן הרחב ולא חסומה
.(∞+)שואפת ל-ii.,כל סדרה יורדת במובן הרחב ולא חסומה
(∞−)שואפת ל- סדרה מונוטונית במובן הרחב, יש גבול במובן הרחב )סופי אוכלל3.20
אינסופי(. משפט אי השוויון3.21
i. כאשר{an}→a ,{bn}→b( a ,b∈R סופיים:)
ii. אםb>a אזי קיים ,noטבעי )שהוא מיקום בסדרה(, כך שלכל n>no מתקיים bn>an.
iii. אם קייםnoטבעי )שהוא מיקום בסדרה(, כך שלכל n>no מתקיים bn≥an אזי ,b≥a
(.b>a, לא בהכרח bn>an)גם אם מתקיים חישוב גבולות )אריתמטיקה של גבולות(3.22
i. לסדרות:אריתמטיקה של גבולותמשפט
,{an}אם נתונות סדרות {bn}המקיימות lim ( an )=a ,lim (bn )=b כאשר( a ,b∈Rאזי ,)
limא. ( an+bn )=a+b
limב. ( an−bn)=a−b
limג. ( an∗bn )=a∗b
ד.lim (
an
bn
)=abבתנאי ש( b≠0 וכן bn≠0 לכל n)
limה. ( (an )bn )=(a )b מלבד המקרה בו( a=b=0)
ii.משפט זה ניתן להרחבה לכל מספר של סדרות שמבוצעות עליהן פעולות חשבוניות.
iii. אם הגבולות של{an}, {bn}לא קיימים, לא ניתן להסיק מכך שהגבול של הסדרות לאחר הפעולות החשבוניות אינו
קיים.iv.דוגמא לשימוש באריתמטיקה של גבולות ע"י הוצאת
הגורם הדומיננטי מהמונה ומהמכנה:
an=n2+7 n+8
3n2+2n+1=
n2(1+ 7n+ 8
n2 )
n2(3+ 2n+ 1n
2 )→ 1+0+0
3+0+0=1
3
v.דוגמא לשימוש באריתמטיקה של גבולות ע"י כפל בצמוד:
√n2+4−√n2+2=(√n2+4−√n2+2 )(√n2+4+√n2+2)
√n2+4+√n2+2=
(n2+4 )−(n2+2)
√n2+4+√n2+2= 2
√n2+4+√n2+2→ 2∞+∞=0
21
vi.:מסקנה מאריתמטיקה של גבולות
סדרה לא מתכנסת, בהכרח גםbn סדרה מתכנסת ו-anאם an+bn.סדרה לא מתכנסת
22
משפט הסנדוויץ'3.23
i. – עבור גבול סופיc∈R:
anאם נתונות , bn , cn המקיימות an→c ,bn→c וכן קיים ,no
מתקייםn>noטבעי )שהוא מיקום בסדרה(, כך שלכל an≤bn≤cn אזי מתקיים ,cn→c.
ii. – עבור גבול אינסופי(+∞):
טבעי )שהוא מיקום בסדרה(, כךno, וכן קיים ∞→anאם
.∞→bn, אזי מתקיים an≤bn מתקיים n>noשלכל
iii. – עבור גבול אינסופי(−∞):
טבעי )שהוא מיקום בסדרה(, כךno, וכן קיים ∞−→anאם
.∞−→bn, אזי מתקיים an≥bn מתקיים n>noשלכל
iv. דוגמא: עבורlim (n√10n+2n , מתקיים?=(
10=n√10n<
n√10n+2n<n√10n+10n=10∗n√2=10∗2
1n
)לוקחים את המספר הגדול יותר, בחלק הקטן שמים אותו לבד – זו הרי הקטנת הביטוי, ובחלק הגדול שמים אותו במקום כל
אחד משאר המחוברים – זו הרי הגדלת הביטוי(.
2∗10 וגם 10→10גם 1n→10∗1=10ולכן לפי משפט
limהסנדוויץ', (n√10n+2n )=10.
ה של קנטור3.24 מ2 הל3
i. תהיינה{an}-ו {bn}:סדרות של מספרים ממשיים המקיימות an≤an+1<bn+1≤bn לכל n
יורדת,bn עולה, an)כלומר:
an-חסומה – מלמעלה ע"י כל איבר מ bn ומלמטה ע"י a1,
bn-חסומה – מלמטה ע"י כל איבר מ an ומלמעלה ע"י b1וכן ) limn→∞(bn−an )=0
.
an→c, כך ש: cבמקרה זה קיים מספר ממשי ,bn→c.
c המקיים היחיד הוא המספר הממשי an≤c≤bn לכל n.
d̄≤d, בהכרח מתקיים n לכל d̄≤dn וכן dn→dאם 3.25 )כלומר, אם מספר כלשהו קטן שווה מכל איברי סדרה מסוימת, הוא
קטן-שווה גם מהגבול שלה(.
23
גבולות ידועים של סדרות3.26
i. :הסדרה ההרמונית
1n→0
.
ii.an=
(−1 )n
n→0
.
iii. (1−)הסדרהn.)אינה מתכנסת )אין לה גבול
iv. הסדרותan=n,bn=n2 אינן מתכנסות.
v.
sin( n)n
→0(.0 )חסומה כפול שואפת ל-
vi.an=(1+ 1
n )n
→e.
vii.(1+ 1
f (n))f (n)→e
f כאשר (n)→∞.
viii.n√n→1.
ix.n√a→1 כאשר( a>0.)מספר קבוע
כללי זהב למציאת גבולות של סדרות3.27i.מצבים ידועים
.∞=∞+∞א.
.(∞−)=(∞−)+(∞−)ב.
.∞=∞∗∞ג.
.(∞−)=(∞−)∗∞ד.
.∞=∞∞ה.
ו.
0±∞=0
.
.1=10ז.
a→)ח. )(→0 .a>0, כאשר 1=(
ט.∞√a→1 כאשר( a>0.)מספר קבוע
מספר חיובי.a כאשר ∞=∞∗aי.
מספר שלילי.a כאשר (∞−)=∞∗aיא.
.∞± מספר ולא a כאשר a∗0=0יב.
יג.
a±∞=0
מספר קבוע )כלומר סדרה חסומה(.a כאשר
יד.
±∞a=±∞
( a מספר, סימן הגבול תלוי בסימן של a.)
טו.
1|0|
=+∞ ,
1
→0+=+∞
,
1
→0−=−∞
.
.∞→∞e0→1 ,e−∞→−∞ ,eטז.
lnיז. (1 )→0 ,ln (0+ )→−∞ ,ln (∞)→∞.
)sin, איןגבול→(∞±)sinיח. 0)→0 ,sin( Π2)→1.
24
cosיט. cos, איןגבול→(∞±) (0 )→1 ,cos ( Π2)→0.
tan(0, איןגבול→(∞±)tanכ. )→0 ,tan( Π2
−)→+∞,
tan( Π2
+)→−∞ ,tan( Π
4)→1[ tan( x אינה חסומה[.(
כא.cot (x )= 1
tan( x )tan ויהיה אותו הדבר כמו ( x ).
כב.Cn=
P(n)Q(n k ומעלה m – מנת פולינומים ממעלה (
,, am≠0)כאשר P( x )=a0+a1 x+a2x
2+ .. .+am xm, Q( x )=a0+a1 x+a2x
2+.. .+ak xk
:)
a. אםm<k ,Cn→0.
b. אםm=k ,Cn→
am
ak.)הפרש מקדמים(
c. אםm>k,
iii. אם
am
ak
>0 ,Cn→+∞.
iv. אם
am
ak
<0 ,Cn→−∞.
qnכג. – סדרה גיאומטרית:
a. כאשרn→∞:
v. 1−אם<q<1 ,qn→0.
vi. אםq>1 ,qn→∞.
vii. אםq=1 ,qn→1.
viii. אםq=−1-אין גבול ל ,qn.
ix. אםq<−1-אין גבול ל ,qn.
b. כאשרn→−∞:
x. 1−אם<q<1 ,qn→∞.
xi. אםq>1 ,qn→0.
xii. אםq=1 ,qn→1.
xiii. אםq=−1-אין גבול ל ,qn.
xiv. אםq<−1-אין גבול ל ,qn.
0ka
25
ii.)מצבים בעייתיים )בהם כל תוצאה אפשרית
.(∞±)∗0א.
ב.
±∞±∞.
.∞−∞ג.
ד.
00.
ה.
1(0 )כשלא יודעים מאיזה צד שואפת ל-0→
ו.
חסומה0.
.(∞±)∗חסומהז.
1→)ח. )(±∞).
0→)(∞±)ט. ).
0→)י. )(±∞).
0→)יא. )(→0).
חלק אמריקאי בסדרות3.28i.:)טבלת תוצאות – האם יש גבול סופי )מה שמודגש הוא הנתון
anbnan±bnan∗bn
an
bn ,bn≠0
יש גבוליש גבוליש גבוליש גבוליש גבול הכל יכולאין גבולאין גבוליש גבול
להיות הכל יכול
להיות הכל יכולאין גבולאין גבול
להיות הכל יכול
להיות הכל יכול
להיותיש גבוליש גבוליש גבוליש גבוליש גבול הכל יכוליש גבולאין גבולאין גבול
להיות הכל יכול
להיות הכל יכולהכל יכול להיותיש גבול
להיות הכל יכוליש גבול
להיות יש גבול, והוא שונהיש גבול
0מ-יש גבוליש גבוליש גבול
הכל יכולהכל יכול להיותיש גבוללהיות
הכל יכוללהיות
יש גבול
ii.חוקים נוספים
חסומה.an ⇐ מתכנסת )=בעלת גבול סופי( anא.
בעלת גבול סופי.an ⇐ מונוטונית וחסומה anב.
לא בהכרחan ⇐ 0 חיובית ומתכנסת ל-an>0ג.מונוטונית.
בעלת גבול אינסופי.an לא בהכרח ⇐ לא חסומה anד.
לא בהכרח לפחות⇐ מתכנסת לגבול סופי an∗bnה.אחת מהסדרות חסומה.
26
1
xa1
xa
xalog
1
xalog
1
פונקציות אלמנטריות.4: n פולינום ממעלה 4.1
f ( x )=a0+a1 x+ .. .+an−1 xn−1+an x
n מספרan≠0 ,n≥0 כאשר
aשלם. ה- i.נקראים מקדמי הפולינום הוא פונקציה קבועה.0 הוא קו ישר, פולינום ממעלה 1פולינום ממעלה
פונקציות רציונאליות:4.2
f ( x )=P( x )Q( x )P כאשר ( x ) ,Q( x פולינומים.(
: פונקציות מעריכיות4.3
f ( x )=ax.a≠1 ,a>0 מספר ממשי קבוע, a כאשר
fכל פונקציה מעריכית מוגדרת כך: :R→(0 והיא פונקציה חח"ע(∞,ועל )הפיכה(.
פונקציות לוגריתמיות:4.4g( x )=loga ( x .a≠1 ,a>0 כאשר (
g( x )=loga ( x f היא הפונקציה ההפוכה ל-( ( x )=ax
:
g(d )=c , f (c )=d ,למשל( loga(d )=c⇔ac=d.)
gפונקציה לוגריתמית מוגדרת כך: :(0 ,∞)→Rכלומר מוגדרת רק ,
.x>0עבור
logמתקיים a(ax )=x ,a
loga(x )=x:וכן מחוקי חזקה .log a( x
b )=b*loga( x )loga( x1∗x2)=loga ( x1)+ loga (x2 )
log a(x1
x2
)=loga( x1 )−loga( x2 )
loga( x )=logb( x )logb(a )
27
),( yx
x
y1
xxf sin)( 1
1-2
2 2
32
3 22
xxf cos)( 1
1-
2
2
23
23
2
2
פונקציות טריגונומטריות:4.5מוצגות ברדיאנים או במעלות:
360∘=2π ,180∘=π ,270∘=3 π
2 ,90∘=π
2 ,60∘=π
3 ,45∘= π
4,
ובאופן כללי: x∘= π
180∗x
. הנקרא מעגל היחידה –1מוגדרות באמצעות מעגל ברדיוס
sin( α )= y1= y,cos (α )= x
1=x:
sin2ממשפט פיתגורס: α+cos2α=1.מספר כללים:
cos (α+2πk )=cos (α ) ,sin( α+2 πk )=sin(α )cos (π+α )=−cos (α ) ,sin( π+α)=−sin( α)cos (π−α )=−cos( α ) ,sin( π−α )=sin (α )cos (2π−α )=cos (α ) ,sin(2 π−α )=−sin( α)
cos (−α )=cos (α sin(−α )זוגית(, ( )=−sin(α )אי זוגית((
)sinעבור x ) :sin( 0)=sin(π )=sin(2π )=0 ,sin( π
2)=1
,sin( 3π
2)=−1
.
cosעבור ( x ) :cos (0 )=cos (2π )=1 ,cos (π )=−1,
cos ( π2)=cos( 3π
2)=0
.
28
2
2 2
30
x
xxxf
cos
sintan)(
x
xxxf
sin
coscot)(
2 2
0
)arcsin()( xxf
11-
2
2
0
sin≥1−כמו כן הפונקציות חסומות: x≤1 ,−1≤cos x≤1.
פונקציות טריגונומטריות הפוכות:4.6
)sinמכיוון ש- x f אינה חח"ע ואין לה פונקציה הפיכה, ( ( x )=arcsin ( x )
מוגדרת כך f : [−π
2,π2]→[−1,1 ]
.זוהי פונקציה חח"ע ועל והיא פונקציה עולה:
arcsin (1)=π2 ,arcsin (0 )=0 ,
arcsin (−1)=− π2.
29
)arccos()( xxf
11-
2
0
)arctan()( xxf
2
2
0
)cot()( xarcxf
2
0
f ( x )=arccos (x fמוגדרת כך ( : [ 0 , π ]→[−1,1].זוהי פונקציה חח"ע ועל והיא פונקציה יורדת:
arcsin (0 )=0 ,arccos(0 )= π
2 ,arcsin (−1)=− π
2.
f ( x )=arctan ( x מוגדרת כך (f :R→[−π
2,π2]
, עולה:
f ( x )=arc cot( x fמוגדרת כך ( : R→[ 0 , π , יורדת:[
היא כל פונקציה המוגדרת בעזרת פעולות חיבור,פונקציה אלמנטרית4.7חיסור, כפל, חילוק והרכבה עבור פונקציות מהסוגים לעיל.
.Rהתחום של פונקציה אלמנטרית אינו בהכרח x, רציפה לכל xפונקציה אלמנטרית היא פונקציה המוגדרת לכל 4.8
ואינה מפוצלת.
30
גבול של פונקציה.5
5.1f – פונקציה ממשית f : A→B כאשר A ,B∈ R.י5.2 הגדרת גבול של פונקציה ע"י קֹוש4
i. נתונה פונקציהf ( x כלשהי.x0∈R ונתונה נקודה (
fהגבול של ( x , כלומר b הוא x0 בנקודה (limx→x 0
f ( x )=b,
x≠x0(, כך שלכל ε )התלוי ב-δ>0 קיים ε>0אם לכל
)∋xהמקיים x0−δ , x0+δ f, מתקיים ( ( x )∈(b−ε , b+ε ).
)לא כוללx0+δ לבין x0−δ שנמצא בטווח בין x]עבור כל
fקצוות(, ה- ( x )לאb+ε לבין b−ε שלו נמצא בטווח בין (
.כולל קצוות([: ii.:י ניסוח שקול להגדרת קֹוש4
limx→x 0
f ( x )=b (, כךε )התלוי ב-δ>0 קיים ε>0 אם לכל
f|, מתקיים x−x0|<δ| המקיים x≠x0שלכל ( x )−b|<ε. הגדרת גבול של פונקציה לפי היינה5.3
i.limx→x 0
f ( x )=b המקיימת:xn סדרה לכל אם
xn→ x0 ,xn≠x0 לכל n וכן ,f ( xn) מוגדר לכל n,
fמתקיים ( xn)→b.ii.אם רוצים להוכיח גבול מסוים, יש להראות באופן כללי שכל
סדרה עומדת בתנאים.iii.אם רוצים להפריך גבול מסוים, יש לתת דוגמא לסדרה
fאחת ש- ( xn).שלה אינו שואף לגבול הנ"ל אלא לגבול אחר iv.אם רוצים להפריך קיום כל גבול, צריך לתת דוגמא
fלשתי סדרות ש- ( xn).שלהן שואף לערכים שונים י והיינה למושג גבול של פונקציה הן שקולות.5.4 הגדרות קֹוש4
י כדי להוכיח גבול ובהגדרת היינה בדר"כ נוח להשתמש בהגדרת קֹוש4כדי לשלול גבול, אך לא תמיד.
fלפונקציה 5.5 ( x מסוימת.x0 בנקודה גבול אחד יש לכל היותר (י:5.6 דוגמא להוכחת גבול בעזרת קֹוש4
צ"ל: מתקיים limx→2( x2−4x−2 )=4
.הוכחה:
המקייםx≠2, כך שלכל δ>0 מסוים. יש למצוא ε>0יהי |x−2|<δ מתקיים ,|f ( x )−4|<ε,כלומר .
31
|x2−4x−2
−4|=|( x−2 )( x+2 )
x−2−4|=|x+2−4|=|x−2|<ε
. לכן, אם
, נקבל את מה שרצינו ונסיים את ההוכחה.δ=εנבחר דוגמא לשלילת גבול בעזרת היינה:5.7
צ"ל: הגבול limx→2
( f ( x )) לא קיים כאשר
f ( x )={x+1 x<2x−3 x≥2.
הוכחה:
נניח בשלילה כי limx→2
( f ( x ))=b ו-xn→2 כך ש-xn. אז לכל סדרה
xn≠2 לכל n חייב להתקיים ,f ( xn)→b .:2ניקח שתי סדרות המתכנסות ל-
an=2− 1n ,bn=2+ 1
n( an-מלמטה ו-2 שואפת ל bn.)מלמעלה f (an )=f (2−1
n)=2− 1
n+1=3− 1
n→3
f (bn )=f (2+ 1n)=2+ 1
n−3=−1+ 1
n→−1
וזוהי סתירה, כי שני הגבולות שונים ושונות2)אם היה גבול, אז לפי היינה, עבור כל הסדרות שמתכנסות ל-
f, ה-2מ- ( xn)אותו גבול צריך להתכנס ל.)גבול חד צדדי5.8
i.גבול מימיןי:א. הגדרת קֹוש4
limx−¿ x0
+(f ( x ))=b
δ>0 קיים ε>0)גבול מימין(, אם לכל
,x0<x<x0+δ המקיים x≠x0(, כך שלכל ε)התלוי ב-
f|מתקיים ( x )−b|<ε.הגדרת היינה:ב.
limx−¿ x0
+(f ( x ))=b
xn)גבול מימין(, אם לכל סדרה המקיימת:xn→ x0 ,xn>x0 לכל n וכן ,f ( xn) מוגדר לכל n,
fמתקיים ( xn)→b.ii.גבול משמאל
י:א. הגדרת קֹוש4limx−¿ x0
−( f ( x ))=b
קייםε>0)גבול משמאל(, אם לכל
δ>0-התלוי ב( ε כך שלכל ,)x≠x0המקיים x0−δ< x<x0 מתקיים ,|f ( x )−b|<ε.
הגדרת היינה:ב.limx−¿ x0
−( f ( x ))=b
xn)גבול משמאל(, אם לכל סדרה המקיימת:xn→ x0 ,xn<x0 לכל n וכן ,f ( xn) מוגדר לכל n,
fמתקיים ( xn)→b.
32
iii.limx−¿ x0
( f ( x ))=b אם ורק אם גם
limx−¿ x0
+(f ( x ))=b
וגםlimx−¿ x0
−( f ( x ))=b
גם הגבול מימין וגם הגבול משמאל. כלומר, .צריכים להתקיים ולהיות שווים
33
fגבול אינסופי של 5.9 ( x )i.:י הגדרת קֹוש4
(, כך שלכלM )התלוי ב-δ>0קיים Mאם לכל מספר ממשי
x 0 המקיים<|x−x0|<δ מתקיים ,f ( x )>Mאז הגבול של ,
f ( x , כלומר ∞+ הוא x0 בנקודה (limx→x 0
f ( x )=+∞.
[limx→x 0
f ( x )=−∞f אם ( x )<M]
ii.:הגדרת היינה
→xn המקיימת: xn סדרה לכלאם x0 ,xn≠x0 לכל nוכן ,
f ( xn) מוגדר לכל n מתקיים ,f ( xn)→+∞ אז ,limx→x 0
f ( x )=+∞
.
[limx→x 0
f ( x )=−∞f אם ( xn)→−∞]
iii.-ניתן לדבר על גבול מימין וגבול∞±גם בשאיפות ל משמאל.
iv. אםlimx→x 0
|f ( x )|=∞, אז
limx→x 0
1f ( x )
=0.
v. אםlimx→x 0
f ( x )=0f וכן ( x בסביבה מסוימתx לכל 0≠(
, אז x0של limx→x 0
1|f ( x )|
=∞. )לא נכון ללא הערך המוחלט(.
אם א.limx→x 0
f ( x )=0+
, אז limx→x 0
1f ( x )
=+∞.
אם ב.limx→x 0
f ( x )=0−
, אז limx→x 0
1f ( x )
=−∞.
fגבול סופי של 5.10 ( x שואף לאינסוףx כאשר (i.:י הגדרת קֹוש4
המקייםx, כך שלכל D קיים מספר ממשי ε>0אם לכל x>D מתקיים ,|f ( x )−b|<ε אז הגבול של ,f ( x הוא∞+ ב-(
b כלומר ,limx→+∞
f (x )=b.
[limx→−∞
f ( x )=b[x<D אם
ii.:הגדרת היינה
f, וכן ∞+→xn המקיימת: xn סדרה לכלאם ( xn)מוגדר לכל
n מתקיים ,f ( xn)→b אז ,limx→+∞
f (x )=b.
[limx→−∞
f ( x )=b[∞−→xn אם
34
fגבול אינסופי של 5.11 ( x שואף לאינסוףx כאשר (i.:י הגדרת קֹוש4
x, כך שלכל D קיים מספר ממשי Mאם לכל מספר ממשי
(,∞−→x )אם x<D( או ∞+→x )אם x>Dהמקיים
fמתקיים ( x )>M אז ,limx→±∞
f ( x )=+∞.
[limx→±∞
f ( x )=−∞f אם ( x )<M]
ii.:הגדרת היינה
( או∞+→x )אם ∞+→xn המקיימת: xn סדרה לכלאם xn→−∞ אם( x→−∞ וכן ,)f ( xn) מוגדר לכל nמתקיים ,
f ( xn)→+∞ אז ,limx→±∞
f ( x )=+∞.
[limx→±∞
f ( x )=−∞f אם ( xn)→−∞]
גבול של פונקציה אלמנטרית5.12i. בהינתןg ונקודה אלמנטרית פונקציה a בה gמוגדרת, מתקיים
: a בנקודה g הינו ערך הפונקציה a הגבול בנקודה שlimx→a
(g( x ))=g(a ).
פונקציות חסומות5.13
ii. נתונהA קבוצה של מספרים ממשיים ונתונה f ( x פונקציה(
fכלשהי. נאמר ש- ( x M אם קיים מספר ממשי A ב-חסומה (
∋xכך שלכל A עבורו f ( x f| מוגדרת, מתקיים ( ( x )|≤M.
iii.M של חסם מלמעלה הוא f ( x ∋x אם לכל A ב-( A
fעבורו ( x f מוגדרת, מתקיים ( ( x )≤M.
iv.M של חסם מלמטה הוא f ( x ∋x אם לכל A ב-( A
fעבורו ( x f מוגדרת, מתקיים ( ( x )≥M.
v. פונקציהf ( x אם ורקA בתחום פונקציה חסומה היא (.יש לה גם חסם מלמטה וגם חסם מלמעלהאם
vi.החסם המינימלי מבין כל החסמים מלמעלה נקרא
Sup ומסומן סופרימום {an}.vii.החסם המקסימלי מבין כל החסמים מלמטה נקרא
Inf ומסומן אינפימום {an}.
viii. אם קיים גבול סופיlimx−¿ x0
( f ( x )) , אז יש סביבה של
f שבה x0הנקודה ( x חסומה.(
fאין זה אומר ש-א. ( x חסומה בכל תחום הגדרתה.(
fאם ב. ( x , אין זה אומר שהגבולx0 חסומה בסביבת (limx−¿ x0
( f ( x )) בהכרח קיים.
ix. אם f ( x ו-x0 חסומה בסביבה מסוימת של (limx→x 0
(g ( x ))=0, אזי מתקיים
limx→x 0
(f ( x )∗g( x ))=0.
35
חישובי גבולות לפונקציות )אריתמטיקה של גבולות(5.14i. לפונקציות:אריתמטיקה של גבולותמשפט
fאם נתונות פונקציות ( x ) , g( x המקיימות (limx→x 0
(f ( x ))=a,
limx→x 0
(g ( x ))=ba )כאשר ,b∈R ומדובר באותו ,x0,) לשתיהן
אזי
א.limx→x 0
(f ( x )±g( x ))=a±b
ב.limx→x 0
(f ( x )∗g( x ))=a∗b
ג.limx→x 0
( f ( x ) g( x ))=abבתנאי ש( b≠0)
ד.limx→x 0
(r∗f ( x ))=r∗a מספר כלשהו(r∈R )כאשר
ה.limx→x 0
( ( f ( x ))g ( x))=ab
)בתנאי שהפעולה מוגדרת( לגבולות של פונקציות: משפט הסנדוויץ'5.15
i. – עבור גבול סופיb∈R:
) x0אם קיימת סביבה של הנקודה x0−δ , x0+δ)שבה
x≠x0 ,fמתקיים לכל 1( x )≤g ( x )≤f 2( x וכן מתקיים(limx→x 0
(f 1( x ))=limx→ x0
( f 2( x ))=b, אזי מתקיים
limx→x 0
(g ( x ))=b.
גבולות ידועים של פונקציות5.16
i.limx→a
( f ( x ))=limx→ 0
( f ( x+a ))
ii.limx→x 0
(1+ 1f ( x ))
f ( x)
=e כאשר
limx→x 0
(f ( x ))=±∞.
iii.limx→x 0
(1+ af ( x ))
f ( x)
=ea
כאשר limx→x 0
(f ( x ))=+∞.
iv.limx→0(sin( x )
x )=1.
v.limx→0 ( 1−cos( x )
x2 )=12.
vi.limx→a
(cos ( x ))=cos(a ).
vii.limx→0( ex−1
x )=1.
viii.limx→0( ln(1+x )x )=1
.
ix. כאשרf ( x פונקציה אי זוגית, (limx→0
( f ( x ))=0.
נקודת קיצון מוחלט5.17
i. נתונה פונקציהf ( x .A⊆R ונתונה קבוצה (
36
מקסימום מוחלט ומקומי
0x
מינימום מקומי
0x
מקסימום מקומי
מינימום מקומי
ii.-נאמר שx0∈ A של נקודת מקסימום מוחלט היא f ( x )
f אם Aבתחום ( x0)≥f (x ∋x לכל ( A שעבורו f ( x ) מוגדרת.
iii.-נאמר שx0∈ A של נקודת מינימום מוחלט היא f ( x )
f אם Aבתחום ( x0)≤f (x ∋x לכל ( A שעבורו f ( x ) מוגדרת.
נקודת קיצון מקומי5.18
i. נתונה פונקציהf ( x f נקודה בה x0 ו-( ( x מוגדרת.(
ii.x0 של נקודת מינימום מקומי היא f ( x אם קיימת סביבה(
), x0של x0−δ , x0+δ) שבה ,f ( x נקודתx0 מוגדרת וכן (מינימום מוחלט.
iii.x0 של נקודת מקסימום מוחלט היא f ( x אם קיימת(
), x0סביבה של x0−δ , x0+δ) שבה ,f ( x x0 מוגדרת וכן (נקודת מקסימום מוחלט.
iv.-יש להדגיש – כדי שx0נקודת קיצון מוחלט תהיה גם
f שבה x0נקודת קיצון מקומי, חייבת להיות סביבה של ( x ) מוגדרת בכל נקודה. דוגמא:
37
0x 0x0x
0x 0x0x
0x 0x0x
0x 0x0x
חלק אמריקאי בפונקציות5.19i.:מה ניתן להסיק ממה לגבי פונקציות
]החץ הוא מהנתון למה שניתן להסיק מנתון זה, חץ מהטורים החיצוניים לטור הפנימי מצביע על הסקה
הנתונים בטורים החיצוניים מתקיימים[שנישמתקיימת רק אם
[f ( x רציפה בכלל רק אם היא רציפה גם מימין וגם משמאל,(
f ( x חסומה בכלל רק אם היא חסומה גם מלמעלה וגם(מלמטה[
38
)( 0xf
x0x
)(xfy
x
של פונקציותרציפות.6הגדרה6.1
i.f ( x אם מתקיים:x0 רציפה בנקודה (
f א. ( x .x0 כולל x0 מוגדרת בסביבה מסוימת של (
ב.limx→x 0
(f ( x ))=f (x0 ).
ii.:י ניסוח קֹוש4f ( x (, כך שלכלε )התלוי ב-δ>0 קיים ε>0 רציפה אם לכל (
x כולל( x0 המקיים )!|x−x0|<δ מתקיים ,|f ( x )−f ( x0 )|<ε.
iii. י בעזרת :Δy ו-Δxניסוח קֹוש4
מסוימת את הסימונים הבאים:x0נסמן עבור נקודה Δx=x−x0 ,Δy= y− y0=f ( x )−f ( x0 ).
י הנ"ל, תנאי הרציפות שקול לתנאי הבא: לפי ניסוח קֹוש4limΔx→0
(Δy )= limΔx→0
( f ( x0+Δx)−f ( x0 ))=0:
Δx(, כך שלכל ε )התלוי ב-δ>0 קיים ε>0כלומר, לכל
.Δx|<ε|, מתקיים Δx|<δ|המקיים iv.:ניסוח היינה
f ( x המקיימת:xn סדרה לכל רציפה אם (xn→ x0 כאן נוותר על התנאי( xn≠x0 לכל n ,)
fמתקיים ( xn)→ f ( x0 ).
39
משפטי רציפות יסודיים6.2
i. אםf ( x ) ,g( x , ורציפותx0 פונקציות המוגדרות בסביבה של (
:x0, אז גם הפונקציות הבאות רציפות בנקודה x0בנקודה
fג. ( x )+g( x ).
fד. ( x )∗g( x ) ,c∗g ( x )( c.)קבוע
ה.
f ( x )g ( x )g )בתנאי ש-( x )≠0.)
)ו. f ( x ))g(x )בתנאי שמוגדר(.(
ii. אםf ( x =y0 ]נסמן x0 רציפה בנקודה ( f ( x0 [, וכן אם(
)gההרכבה f ( x )g, וכן x0 מוגדרת בסביבה של (( x רציפה(
)g, אז y0בנקודה f ( x .x0 רציפה בנקודה ((iii..פונקציה אלמנטרית רציפה בכל נקודה בה היא מוגדרת
iv. תהיf :(a ,b )→(c ,d מונוטונית ועל )אם היא( מונוטונית, היא גם חח"ע. ולכן במקרה שהיא על, היא גם
, אז הפונקציה ההפוכהx0 רציפה בנקודה fהפיכה(. אם
f−1 :(c ,d )→( a ,b)-רציפה ב y0= f ( x0 ).v.,הפרש וסכום פונקציות רציפות הם רציפים
וכנ"ל לגבי ערך מוחלט של פונקציה רציפה.רציפות מימין ומשמאל6.3
i.:רציפות מימין
fנניח ( x x0, כולל x0 מוגדרת בסביבה ימנית של הנקודה (
f)כלומר ( x ]מוגדרת בקטע מהסוג ( x0 , x0+δ ).)
fנאמר ש- ( x אם מתקייםx0 רציפה מימין בנקודה (limx→x 0
+( f ( x ))=f ( x0 )
.ii.:רציפות משמאל
fנניח ( x x0, כולל x0 מוגדרת בסביבה שמאלית של הנקודה (
f)כלומר ( x )מוגדרת בקטע מהסוג ( x0−δ , x0 ].)
fנאמר ש- ( x אם מתקייםx0 רציפה משמאל בנקודה (limx→x 0
−( f ( x ))=f ( x0 )
.
iii.f ( x אם ורק אם x0 רציפה בנקודה (
f ( x f וגם x0 רציפה מימין בנקודה ( ( x רציפה משמאל(
.x0בנקודה
6.4f ( x ] רציפה בקטע הסגור ( a ,b )∋x, אם לכל [ a ,b ) ,f ( x רציפה(
f וכן, xבנקודה ( x ורציפה משמאל בנקודהa רציפה מימין בנקודה (b.
40
סוגי נקודות אי רציפות6.5
i. תהיf ( x ,x0 פונקציה המוגדרת בסביבה מסוימת של הנקודה (
עצמה.x0מלבד אולי הנקודה
ii.x0ה יק2 נקודת אי רציפות סל4
סופיכאשר קיים גבול limx→x 0
(f ( x )) )= שני הגבולות החד צדדיים
קיימים, סופיים ושווים(, אבל x0ב-limx→x 0
(f ( x ))≠f (x0 ) או ש-
f ( x .x0 אינה מוגדרת בנקודה (
iii.x0נקודת אי רציפות מסוג ראשון
קיימים, סופיים, ושוניםx0כאשר שני הגבולות החד צדדיים ב-
זה מזה: limx→x
0
+( f ( x ))≠ lim
x→x0
−(f (x ))
.
iv.x0נקודת אי רציפות מסוג שני
לא קיים אוx0כאשר לפחות אחד מהגבולות החד צדדיים ב-אינסופי.
v.:נקודות שיש לבדוק בחשד לאי רציפות
fנקודות בהן ז. ( x לא מוגדרת.(
fנקודות בהן ח. ( x מתפצלת.(vi.עבור כל נקודה שאינה נקודת אי רציפות, יש לציין שלכל
x ,השונה מנקודות אלו f ( x מוגדרת ורציפה כפונקציה(אלמנטרית )אם היא אלמנטרית(.
fאם 6.6 ( x f|, אזי גם x0 רציפה בנקודה ( ( x )ההפךx0 רציפה בנקודה |(לא בהכרח נכון(.
41
x
y
)(xf
)( 0xf
0x x
הנגזרת ופירושיה השונים.7משמעות הנגזרת7.1
i. עבורf ( x מסוימת ועבורה נגדיר:x0 נתונה, נבחר נקודה (Δx=x−x0 ,Δy= y− y0=f ( x )−f ( x0 )=f ( x0+Δx)−f ( x0 ).
ii.
בשרטוט שלעיל, tan(α )= Δy
Δxהוא שיפוע הישר המחבר בין
)הנקודות x0 , f ( x0 ) ו-(( x , f ( x )).
iii. המשמעות שלlimΔx→0
( ΔyΔx )אם הגבול קיים( היא שיפוע(
fהמשיק לגרף ( x ) בנקודה ( x0 , f ( x0 )).
fגבול זה, אם קיים, נקרא הנגזרת של ( x .x0 בנקודה (הגדרת הנגזרת7.2
i. נתונה פונקציהf ( x מוגדרת בסביבה שלהf ש-x0 ונקודה (
הגבול קיים וסופי!(. אם x0)כולל ב-limΔx→0
( ΔyΔx גזירה f, אזי (
והואx0 בנקודה fהנגזרת של . ערך הגבול הוא x0בנקודה
fמסומן ' ( x0 ).
ii. אםf ( x a) גזירה בכל נקודה בקטע ( ,b f, אזי ( ' ( x מוגדרת(
)∋xלכל a ,b f והיא הפונקציה הנגזרת של ( ( x ).
a)]הקטע ,b ∞−) יכול להיות גם ( ,∞)]iii. נגזרת בנקודה xכללית :
f ' ( x )= limΔx→0
( f (x+Δx)−f ( x )Δx )
.
: ספציפיתx0נגזרת בנקודה f ' ( x )= lim
x→ x0( f ( x )− f ( x0)
x−x0)
.iv.:דוגמא להוכחת נגזרת מתוך ההגדרה
fנוכיח כי עבור ( x )=x2 ,f ' ( x )=2 x.
f ונמצא עבורו את xנבחר ' ( x ):
42
Δy=f ( x+Δx)−f ( x )=( x+Δx )2−x2=x2+2 xΔx+(Δx)2−x2=2xΔx+(Δx )2
f ' ( x )= limΔx→0
( ΔyΔx )= limΔx→0
( 2xΔx+(Δx )2
Δx )= limΔx→0
(2 x+Δx ) =Δx→0
2 x
43
הקשר בין גזירּות לרציפּות7.3
i. אם f ( x f, אזי x0 גזירה בנקודה ( ( x .x0 רציפה בנקודה (ii..הכיוון ההפוך לא בהכרח נכוןiii.אם אומרים לגלות נגזרת בנקודה מסוימת, קודם כל יש
לוודא שאכן הפונקציה רציפה בנקודה זו, ורק אם רציפה ישלהמשיך.
נגזרת חד צדדית7.4i.נגזרת מימין
a. הגבול קיים וסופיאם lim
Δx→0+( ΔyΔx ) ,f בנקודהגזירה מימין
x0.b.ערך הגבול מימין )אם קיים וסופי( נקרא הנגזרת מימין
fומסומן +' (x0 ).
ii.נגזרת משמאל
a. הגבול קיים וסופיאם lim
Δx→0−( ΔyΔx ) ,f בנקודהגזירה משמאל
x0.b.ערך הגבול משמאל )אם קיים וסופי( נקרא הנגזרת משמאל
−fומסומן ' ( x0 ).
iii. רציפות מאותו צד.⇐גזירות מצד מסוים
7.5f ( x במקרים הבאים:x0 אינה גזירה בנקודה (i..ערך הנגזרת מימין שונה מערך הנגזרת משמאלii.אחד הגבולות החד צדדיים )=הנגזרת החד צדדית( הוא
אינסופי.iii.אחד הגבולות החד צדדיים )=הנגזרת החד צדדית( לא
קיים.
7.6f ( x ] גזירה בקטע הסגור ( a ,b )∋x, אם לכל [ a ,b ) ,f ( x גזירה(
f ובנוסף, xבנקודה ( x וגזירה משמאלa גזירה מימין בנקודה (
.bבנקודה פונקציות גזירות הוא פונקציה גזירה.2הפרש 7.7
fאם 7.8 ( x f זוגית וגזירה, אזי ( ' ( x אי זוגית.(
fאם ( x f אי זוגית וגזירה, אזי ( ' ( x זוגית.(חוקי גזירה7.9
i.טבלת נגזרות ידועותf ' ( x )
0k)קבוע( nxn−11
x=x−1
√ x=x12
12√x√ x=x
12
)(xf
11 xx
44
g ' (x )2√g( x )√ g( x )
e xe x
ax ln(a )ax( a)קבוע
1x
ln (x )
1x ln (a)
loga( x )( a ,1 קבוע≠a>0)
cos ( x )sin( x )−sin( x )cos ( x )
1
cos2( x )tan( x )
− 1
sin2( x )cot (x )
1
√1−x2arcsin ( x )
− 1
√1−x2arccos( x )
1
1+ x2arctan ( x )
− 1
1+ x2arc cot( x )
ii.כללי גזירה
a. הכללים תקפים רק כאשרf ( x )g ו-( x .x גזירות בנקודה (
b.[ k∗f ( x ) ]'=k∗f '( x )( k∈R.)קבוע
c.[ f ( x )±g ( x ) ]'= f ' ( x )±g ' (x ).
d.[ f ( x )∗g ( x ) ]'=f ' ( x )∗g ( x )+f ( x )∗g '( x ).
e.[ f ( x )g( x ) ]
'
=f ' ( x )∗g ( x )−f ( x )∗g ' (x )
g2( x )g )בתנאי ש-( x )≠0.)
f. :נגזרת של הרכבת פונקציות[ f ( g( x ))]'=f ' (g ( x ))∗g ' ( x ).
g.[ f ( x ) ]g(x )=e ln ([ f ( x ) ]g ( x) )=eg( x)*ln( f ( x)) ואז גוזרים את החזקה
בחזקת מה שיצא.e והנגזרת הסופית היא eשל h.:נגזרת של פונקציה הפוכה
fאם ( x =y0 ]נסמן x0 מוגדרת בסביבת ( f ( x0 ) ,]f ( x )
x0 ,fגזירה בנקודה ' ( x0 )f−1, וכן קיימת 0≠( x אשר(
)f−1, אז הפונקציה ההפוכה y0רציפה בנקודה x גזירה(
ומתקיים y0בנקודה [ f−1 ( y0 )]
'= 1f '( x0 ).
45
i.:נגזרות מסדר גבוה
fנגזרת מסדר שני – ''( x )=[ f ' (x )]'.
fנגזרת מסדר שלישי – (3)( x )=[ f ''(x )]'.
n – fנגזרת מסדר (n)( x )=[ f (n−1)( x ) ]'.
46
x=0דוגמאות לפונקציות לא גזירות ב-7.10
i.|x|.
ii. כלxax. למשל, a<1>0 כאשר
23
,√ x.
iii. :פונקצית הסימןf ( x )=sign( x )={−1 x<0
1 x≥0.
לחישובי גבולות מהסוג כלל לּופיטל7.11
} } { {0} over {0} } rSup { size 8{ או
} } { { +- infinity } over { +- infinity } } rSup { size 8{
i. כאשר נתון הגבולlimx→x 0
( f ( x )g ( x והוא מהצורה ((
} } { {0} over {0} } rSup { size 8{ או
} } { { +- infinity } over { +- infinity } } rSup { size 8{,
fאם ( x ) ,g( x עצמה(,x0 )פרט אולי ל-x0 גזירות בסביבת (
gוכן '( x עצמה(,x0 )פרט אולי ל-x0 בסביבת 0≠(
אזי אם קיים הגבול limx→x 0
( f '( x )g ' ( x , אזי הוא שווה לגבול המקורי.((ii.אם הגבול של מנת הנגזרות לא קיים, לא ניתן להסיק מכך דבר
לגבי הגבול המקורי.iii.במקרים רבים נשתמש בכלל מס' פעמים רצופות
)במידה וגבול הנגזרות גם הוא מהצורה
} } { {0} over {0} } rSup { size 8{ או
} } { { +- infinity } over { +- infinity } } rSup { size 8{.)
iv.-או של גבול∞±הכלל רלוונטי גם למקרים של גבול ב חד צדדי.
v.כלל לופיטל לא יועיל בדר"כ במקרים של שברים או של
axפונקציות מעריכיות )כמו .)
vi.:מצבים נוספים שהם לופיטל יכול להועיל
a.0* infinity :כשהכפל הופך למנה –
f ( x )∗g( x )=f (x )
1g( x )
=g( x )
1f ( x , נקבל גבול מהצורה (
} } { {0} over {0} } rSup { size 8{ או
} } { { +- infinity } over { +- infinity } } rSup { size 8{.
b.1 rSup { size 8{ infinity } } עבור – h( x )=( f ( x ))g (x נכתוב(ln (h ( x ))= ln ( (f (x ))g ( x ))=g( x )*ln (f ( x ומהגבול של((
ln (h ( x ln, כי infinity *0 ]שהוא מהצורה (( (1 [ נסיק על0=(
)hהגבול המקורי, כי הרי x )=eln (h(x ))
.
47
תרגיל לדוגמא:7.12
fנתונות ( x ) ,g( x f וכן R גזירות ב-( (−2 )=g(−2 )=0.
צ"ל: limx→−2( f ( x )∗g( x )
x2−4 )=?.
limx→−2( f ( x )∗g( x )
x2−4 )= f (−2)∗g(−2)(−2 )2−4
=} } { {0} over {0} } rSup { size 8{
. לכן נשתמש בכלל לופיטל )מותר להשתמש בכלל לופיטל, כי נתון ששתיהן גזירות ולכן מכפלתן
גזירה(:
limx→−2( f ( x )∗g( x )
x2−4 )= limx→−2
( f ' (x )∗g( x )+ f ( x )∗g ' ( x )2x )
.
fמכיוון ש- ( x גזירה, הרי שהיא רציפה, ולכן (limx→−2
(f (x ))=f (−2 )=0.
)gכנ"ל לגבי x , ולכן (limx→−2
(g( x ))=g (−2 )=0.
fכעת, נותר לוודא ש- ' ( x g ו-( '( x )כי לאx=−2 אינם אינסופיים ב-(
f(. ואכן, מכיוון שנתון ש-0=∞∗0בהכרח מתקיים ( x ) ,g( x גזירות(
, ולכן בהכרח סופיות ב-x=−2, זה אומר בפרט שהן גזירות ב-Rב-x=−2:ולכן רק נותר להציב .
limx→−2( f ( x )∗g( x )
x2−4 )= limx→−2
( f ' (x )∗g( x )+ f ( x )∗g ' ( x )2x )=
f '(2 )∗g(2 )+f (2 )∗g '(2 )2∗2
= סופי∗0+0∗סופי4
=0
ולכן limx→−2( f ( x )∗g( x )
x2−4 )=0. מ.ש.ל.
48
bc
)(bf
)(af
a
)(cf
b0x
)(bf
)(af
a
0x
xy
a
b
משפטים הנוגעים לרציפות וגזירות.8 משפט ערך הביניים8.1
i. אםf ( x ] פונקציה רציפה בקטע הסגור ( a ,b f וכן [ (a )≠f (b ),
f כך ש-γאז לכל מספר (a )<γ< f (b f או ( (b )<γ< f ( a)
f בין γ)כלומר, (a f לבין ( (b c∈[a(, קיים ( ,b כך ש-[f (c )=γ.
γ הוא "ערך ביניים" בין ערכי f ( x בקצוות הקטע.(
ii. נתייחס למקרה המיוחד שבוγ=0:
fאם ( x ] פונקציה רציפה בקטע הסגור ( a ,b וכן[f (a )∗f (b f )כלומר, 0>( (a f ו-( (b שוני סימן(, אזי קיים(
a<c<b-כך ש f (c )=0=γ.ת8.2 ב3 )שימוש בערך הביניים( משפט נקודת הש3
i. אם נתונה פונקציה רציפהf : [ a ,b ]→[ a ,b ],
]∋x0אז יש נקודה a ,b f כך ש-[ ( x0)=x0.
ת של ב3 .fנקודה זו נקראת נקודת ש3
)P היא nמשוואה אלגברית ממעלה 8.3 x )=0,.n הוא פולינום ממעלה Pכאשר
)אחד לפחות(.לכל משוואה אלגברית ממעלה אי זוגית יש פתרון ממשי משפט ויירשטראס8.4
i. אםf ( x ] פונקציה רציפה בקטע הסגור ( a ,b f, אזי יש ל-[ ( x ) בקטע זה נקודת מקסימום אחת לפחות ונקודת מינימום מוחלט
אחת לפחות.
49
ii..אם הקטע אינו קטע סגור, המשפט לא בהכרח נכון
iii. כל פונקציהf ( x הוא סופי,∞± רציפה שגבולה ב-(.xחסומה בכל
ה8.5 רמ2 משפט פ3
i. נתונה פונקציהf ( x f נקודה בה x0 ו-( ( x מוגדרת(
ii. אםx0 נקודת קיצון מקומי של f ( x ),
fאזי אם ( x f, אז x0 גזירה בנקודה ( ' ( x0 )=0.iii.)הרעיון הכללי – בנקודת קיצון מקומי, המשיק )אם קיים
.0חייב להיות ישר אופקי, כלומר שיפועו הוא iv.יש לשים לב – בנקודות קיצון מקומי, ייתכן שהנגזרת
כלל לא קיימת.
v. הכיוון ההפוך למשפט לא מתקיים – תתכן נקודהx0
fשבה ' ( x0 אינה נקודת קיצון מקומי. למשל,x0, אך 0=(
f ( x )=x3.
משפט רֹול8.6
i. אםf ( x ] רציפה בקטע הסגור ( a ,b , גזירה בקטע הפתוח[(a ,b f, וכן ( (a )=f (b c∈(a, אזי קיימת נקודה ( ,b)-כך ש
f ' (c )=0.
ii. אםf ( x ] רציפה בקטע הסגור ( a ,b , גזירה בקטע הפתוח[(a ,b f, וכן ( ' ( x ] פעמים בקטע k מתאפסת בדיוק ( a ,b ],
fאזי ( x ] פעמים בקטע k+1 מתאפסת לכל היותר ( a ,b ].טענה שהוכחה בעזרת רֹול:8.7
(.n≥1 )כאשר שורשים שוניםn יש לכל היותר nלפולינום ממעלה
fפתרון שאלה מסוג "מצאו כמה פתרונות יש למשוואה 8.8 ( x )=0"
i.-יש לוודא שf ( x רציפה וגזירה בקטע עליו מדברים, כדי שנוכל(להשתמש במשפט רֹול ובמשפט ערך הביניים.
ii. יש לחשב את כל הנקודות בהןf ' ( x בקטע.0=(
f נקודות כאלו, לפי משפט רֹול, ל-kאם יש נניח ( x יש0=(
פתרונות בקטע.k+1לכל היותר iii.יש לכתוב נקודות אלו בסדר עולה, ומסביבן את גבולות
הקטע
∞−]למשל, , a1 , a2 ,. . . ,ak [, )"סדרת רֹול"( ולחשב את ערכן∞+,
fבהצבה ב- ( x ).
aלפי משפט רֹול, בין כל שתי נקודות סמוכות i ,a i+1ייתכן לכל
fהיותר פתרון אחד למשוואה ( x )=0.
fלפי משפט ערך הביניים, אם (ai )∗f (ai+1 )כלומר, בעלי0<(
fסימנים זהים(, אין פתרון למשוואה ( x נקודות אלו2 בין 0=()ראה סעיף הבא להסבר מדוע(.
50
fלכן רק אם (ai )∗f (ai+1 a, אכן יש פתרון )אחד( בין 0>( iלבין a i+1נספור את כמות ההחלפות הסמוכות בין – ל-+ ואת כמות .
fהאפסים, וזו כמות הפתרונות המדויקת של ( x )=0.iv..יש לשים לב שבודקים גם את הסימן של קצוות הקטע
∞−)כאשר מדובר בכל הישר , נבדוק את הסימן של(∞,limx→−∞
( f ( x )) )הראשון( ואת הסימן שלa1 מול הסימן של
limx→+∞
( f ( x )) )האחרון(.ak מול הסימן של
51
)( iaf
)( 1iaf
ia 1iacy
v. הסבר למה אםf (ai )∗f (ai+1 , אין פתרון למשוואה0<(f ( x נקודות אלו:2 בין 0=(
a בין cכי אם הייתה נקודה i לבין a i+1 עבורה f (c , אז ה-0=(
f בעל הערך הגבוה יותר, נניח f (ai , היה צריך לרדת אל(
f השני, fהאפס ולעלות בחזרה אל ה- (ai+1 y. ואז היה קיים (
fכך ש- ( y )=f (a i+1 a ואז לפי רֹול הייתה עוד נקודה בין ( i-ל a i+1 בה f ' ( x מתאפסת. וזה הרי לא אפשרי, כי סידרנו בסדר(
fעולה את כל הנקודות בהן ' ( x מתאפסת:(
משפט ערך הממוצע של לגרנג'8.9
i. אםf ( x ] רציפה בקטע הסגור ( a ,b וגזירה בקטע הפתוח[
(a ,b c∈(a, אזי קיימת נקודה ( ,b)-כך ש
f (b )−f (a )b−a
=f ' (c ).
ii. אם מתקייםf (a )=f (b f, אזי ( ' (c – כמו במשפט רֹול,0=(כלומר משפט לגרנג' הוא הכללה של משפט רֹול.
iii.'הוכחת אי שוויונים בעזרת לגרנג
a. יש לזהות אתf ( x ] ואת הקטע ( a ,b באי השוויון שיש[להוכיח.
b.-מהמקרים, הקטע הוא 90%ב [ 0 , x ].
c.-יש לוודא שf ( x אכן רציפה וגזירה בקטע המדובר.(
d.-יש להציב בנוסחת לגרנג' ואז, בגלל שa<c<b:
f ב-c במקום aאם נציב את ' ( x , נקבל ערך הקטן(
fבהכרח מ- ' (c וגם מ-(
f (b )−f (a )b−a.
f ב-c במקום bאם נציב את ' ( x , נקבל ערך הגדול(
fבהכרח מ- ' (c וגם מ-(
f (b )−f (a )b−a.
e..עכשיו יש לשחק עם אי השוויון ולהגיע למה שצריך להוכיח
ולכן אפשרb−a>0יש לשים לב שיודעים לבטח ש-להכפיל את אי השוויון בביטוי זה.
משפט קֹושי8.10
i. אםf ( x ) ,g( x ] שתי פונקציות הרציפות בקטע הסגור ( a ,b ]
a)וגזירות בקטע הפתוח ,b )∋x וכן לכל ( a ,b מתקיים(
52
g '( x g(a, אזי 0≠( )≠g (b) וקיימת נקודה c∈(a ,b)-כך ש f (b )−f (a )g (b )−g(a )
=f ' (c )g ' (c ).
ii..שימושי להוכחת אי שוויונים שמשתתפות בהם שתי פונקציות
53
חקירת פונקציה.9קביעת תחום הגדרה9.1
i.
. ..exp ⇐ exp≠0.
ii.√exp ⇐ exp≥0.
iii.ln (exp ) ⇐ exp>0.זוגית / אי זוגית9.2
iv.f ( x f זוגית אם מתקיים ( (−x )=f ( x ).
v.f ( x f אי זוגית אם מתקיים ( (−x )=−f ( x ).
vi.-ייתכן שf ( x אינה זוגית ואינה אי זוגית.(
vii. אםf ( x זוגית, הרבעון הראשון הוא מראה של הרבעון(השני:
viii. אםf ( x אי זוגית, הרבעון הראשון הוא מרָאה של(הרבעון השלישי:
נקודות חיתוך עם הצירים9.3
i. חיתוך עם צירy ע"י הצבת :x=0.)בהתאם לתחום ההגדרה(
ii. חיתוך עם צירx ע"י פתרון המשוואה :y=0 כלומר ,f ( x )=0.תחומי עלייה וירידה9.4
i. גוזרים אתf ( x ).
ii.f ( x f עולה כאשר ( ' ( x )>0.
iii.f ( x f יורדת כאשר ( ' ( x )<0.
54
נקודות קיצון מקומי9.5
i. הנקודות ה"חשודות" הן נקודות בהןf ( x מוגדרת, וכן(f ' ( x f או 0=( ' ( x לא קיימת.(
ii.-מציאת נקודות "חשודות" לכך שf ' ( x לא קיימת:(
a.-אם לf ' ( x יש מכנה, יש לבדוק מתי הוא מתאפס.(
b. אםf ' ( x היא פונקציה מפוצלת, יש לבדוק את נקודות(הפיצול.
fאם ערך ' ( x f מימין לנקודה שונה מערך ( ' ( x משמאל(לנקודה, לא קיימת נגזרת בנקודה.
iii.מאמתים את החשדות ע"י סידור כל הנקודות שמצאנו על ציר מספרים עולה ובדיקת סימן כל תחום ע"י השוואה
לתוצאות הסעיף הקודם – תחומי עלייה וירידה )אם בנקודה זויש מעבר מעליה לירידה או להפך, זו נקודת קיצון מקומי(.
iv.אם נתון שמתקיים f ' ( x0 )=f ''( x0 )=. ..=f (n−1)( x0)=0 אבל f (n)( x0 , אזי:0≠(
a. אםn אי זוגי, אזי x0.אינה נקודת קיצון מקומי
b. אםn זוגי, אזי x0:נקודת קיצון מקומי ומתקיים
fאם (n)( x0 נקודת מקסימום מקומי.x0, אזי 0>(
fאם (n)( x0 נקודת מינימום מקומי.x0, אזי 0<(תחומי קמירות וקעירות9.6
i. גוזרים אתf ' ( x ).
ii.f ( x f קמורה כאשר ( ''( x )>0.
iii.f ( x f קעורה כאשר ( ''( x )<0.iv. :קמירות נראית כך¿.v. :קעירות נראית כך¿.
נקודות פיתול9.7
i. הנקודות ה"חשודות" הן נקודות בהןf ( x f קיימת, וכן ( ''( x )=0
fאו ''( x לא קיימת.(
v.-מציאת נקודות "חשודות" לכך שf ''( x לא קיימת:(
a.-אם לf ''( x יש מכנה, יש לבדוק מתי הוא מתאפס.(
b. אםf ''( x היא פונקציה מפוצלת, יש לבדוק את נקודות(הפיצול.
fאם ערך ''( x f מימין לנקודה שונה מערך ( ''( x משמאל(לנקודה, לא קיימת נגזרת שנייה בנקודה.
ii.מאמתים את החשדות ע"י סידור כל הנקודות שמצאנו על ציר מספרים עולה ובדיקת סימן כל תחום ע"י השוואה לתוצאות הסעיף הקודם – תחומי קמירות וקעירות )אם בנקודה זו יש
מעבר מקמירות לקעירות או להפך, זו נקודת פיתול(.iii..נקודת פיתול יכולה להיות גם נקודת קיצון מקומי
55
אסימפטוטות9.8i.אסימפטוטה אנכיתa. א. אנכית היא קו ישר המאונך לצירx מהצורה ,x=c.
b.c היא נקודה בה f ( x .אינה רציפה (
c. יש לבדוק כל נקודהc שבה f ( x אינה מוגדרת.(
fאם ( x פונקציה מתפצלת, יש לבדוק את נקודות הפיצול.(
d.-כדי שתהיה אסימפטוטה אנכית בx=c גם ,limx→c+
( f ( x ))
וגם limx→c−
( f ( x )) צריכים להיות אינסופיים.
e. אם רקlimx→c+
( f ( x )) אינסופי, קיימת א. אנכית מימין בלבד.
f. אם רקlimx→c−
( f ( x )) אינסופי, קיימת א. אנכית משמאל בלבד.
g..יכולות להיות אינסוף אסימפטוטות אנכיות שונות לפונקציהii.אסימפטוטה משופעת
a. א. משופעת היא קו ישר מהצורהy=ax+b-ש ,f ( x ) )כלומר,∞−→x או ∞+→x"מתנהגת" כמוהו כאשר
f ( x x מתחילה לקבל את צורת הבקו בערכים גבוהים של (
.)
b. נחשב אתa-ו b של האסימפטוטה המשופעת y=ax+b
כך: a= lim
x→±∞( f ( x )x ) ,
b= limx→±∞
( f ( x )−ax ).
c. כלומר, קיימים וסופיים הגבולות שנירק אם( a-ו bיצאו
הוא אסימפטוטה משופעת.y=ax+bמספרים סופיים(, d. יש לבדוק גם עבורx→+∞ וגם עבור x→−∞כי ייתכנו ,
שתי אסימפטוטות משופעות שונות.e. אסימפטוטות משופעות שונות לפונקציה2 עדיכולות להיות
(.∞−→x ואחת עבור ∞+→x)אחת עבור שרטוט הגרף9.9
i..מומלץ להתחיל בשרטוט האסימפטוטות, אם ישii.,יש לצייר טבלה עם כל הנקודות הרלוונטיות – מתחום ההגדרה
מנקודות חיתוך עם הצירים, מתחומי העלייה והירידה, מנקודות הקיצון, מתחומי הקמירות והקעירות, מנקודות הפיתול
ומהאסימפטוטות, ולכתוב את התנהגות הפונקציה בכל אחתמהנקודות וסביב לה.
למשל, בעקבות חקירת הפונקציה f ( x )= x
ln( x , נצייר את(הטבלה:
(e2 ,∞)e2(e ,e2 )e(1 , e )1(0,1) נקודתקעירות
פיתול מינימוםקמירות
מקומי לאקמירות
מוגדרתקעירות
אסימפטוטירידהעלייהעלייהה אנכית
ירידהf (e2)=e2
2f (e )=e
iii.מסמנים את כל הנקודות שעלו בחקירה על הגרף, ליד כל נקודה כותבים את תכונתה.
56
iv.מקשרים בין הנקודות בעזרת הטבלה שעשינו, יש לשים לב היכן הפונקציה לא מוגדרת.
v.אם אין נקודות אחיזה, יש להסתכל על האסימפטוטה האנכית – מה קורה לידה.
57
גבולות של פונקציות – כיצד מטפלים במצבים בעייתיים?.10
10.1
a≠0→0
i. :יש לבדוק את שני צידי הגבולx→ x 0+
→x ו- x 0−
, כדי לקבוע את(.∞− או ∞+הסימן של הגבול )
10.2
±∞±∞
i..כלל לופיטל
ii. ,אם יש שורשים או פונקציה מעריכית )למשלax (, כלל לופיטל
לא יעבוד, ואז יש לחלק מונה ומכנה בגורם הדומיננטי שלהמכנה.
10.3∞−∞
i..אם יש שורשים – להכפיל ולחלק בצמוד של השורשii..אם יש שברים – לעשות מכנה משותף ואז כלל לופיטלiii.בכל מקרה אחר – להוציא מכנה משותף ולראות מה
קורה.
10.40∗(±∞)
i. :להביא למנה
a∗b= a1b.ואז כלל לופיטל ,
10.5(→1 )(±∞) / (→0 )(±∞) / (±∞)(→0 ) / (→0 )(→0)
i. להפוך את( f ( x ))g(x e ל-(g (x )*ln ( f (x ))
, לגלות את הגבול בחזקה בחזקת מה שיצא.eוהגבול הסופי יהיה
ii. 1→)במקרה של , ניתן להשתמש באחד משני המשפטים:(∞±)(
א.lim
exp→ 0
((1+exp )1
exp )=e.
ב.
limexp→±∞ ((1+ 1
exp )exp)=e
.
10.600
i..כלל לופיטלii..לנסות לפרק לגורמים ולצמצם את גורם האפסiii.כשיש שורשים )כך שיש אפס בתוך השורש(, לופיטל לא
יעבוד. יש להכפיל ולחלק בצמוד של השורש.iv.:להשתמש באחד מהגבולות היסודיים
ג.lim
exp→0(sin(exp )exp )=1
.
ד.lim
exp→ 0( 1−cos(exp )(exp )2 )=1
2.
ה.lim
exp→0( ln (1+exp )exp )=1
.
58
ו.lim
exp→ 0( eexp−1exp )=1
.
ז.lim
exp→ 0( aexp−1exp )=ln(a )
,a.קבוע גבולות של סדרות – איך מטפלים במצבים בעייתיים?.11
כל החוקים של פונקציות תקפים גם פה, מלבד לופיטל:11.1.אסור להשתמש בכלל לופיטל בגבולות של סדרות
1→)במקרה של 11.2 , מומלץ להביא למצב של(∞±)(
limexp→±∞ ((1+ 1
exp )exp)=e
. )ע"פeלמשל, בדוגמא זו, החלק שבסוגריים המרובעות שואף ל-
הנוסחה שלעיל, כאשר את המינוס שייכנו למכנה(, והחזקה שהתקבלה
)בשל יחס מקדמים(:(2−)בסופו של דבר שואפת ל
limn→∞ ((1−2
n )n+1)=lim
n→∞([(1+ 1
−n2 )
−n2 ]−
2n∗n+1)= lim
n→∞([(1+ 1n2 )
n2 ]−2n−2
n )=e−2= 1
e2
.
גבול ידוע – 11.3n√n→1.
למשל, limn→∞
( (n√n2+4 n−7−1 )*cos (n))=(1−1)∗0=חסומה∗0=חסומה,
כי:
limn→∞
(n√n2+4n−7 )= limn→∞((n2(1+ 4
n− 7
n2 ))1n )=
limn→∞ ((n2)
1n∗(1+ 4
n− 7
n2 )1n )=lim
n→∞( ( n√n )2∗10 )=1
.
11.4limn→∞
(n√7n+17n)
i.:'בעזרת חוק הסנדוויץn√17n
– האיבר הגדול ביותר בשורש.n√2∗17n
– האיבר הכי גדול בשורש כפול מס' האיברים בשורש.
17←17=n√17n<
n√7n+17n<n√2∗17n=17∗n√2→17∗1=17
)כי n√a→1לכן, גם החסם העליון וגם החסם התחתון .) במקרה זה, וזהו הגבול של הסדרה שלנו.17שואפים ל-
59
ii.:בעזרת הוצאת הגורם הדומיננטי כגורם משותף
limn→∞
(n√7n+17n)=limn→∞((7n+17n)
1n )=lim
n→∞((17n(( 717 )
n
+1))1n )
=limn→∞(17∗(( 7
17 )n
+1)1n )=17∗(0+1)0=17∗10=17
11.5an=
1
√n2+1+ 1
√n2+2+.. .+ 1
√n2+nנפתור בעזרת משפט הסנדוויץ':
(
מספרהאיברי
(*)ם
האיבר הכי גדולבסדרה
)¿∑ an¿(
מספרהאיברי
(*)ם
האיבר הכי קטןבסדרה
.)
במקרה זה: n∗ 1
√n2+1≤an≤n∗ 1
√n2+n-בשל1 ושניהם שואפים ל יחס מקדמים.
11.6limn→∞
((−1)n∗(n1000−n999 ))
מצב של אין גבול:
limn→∞
((−1)n∗(n1000−n999 ))=limn→∞((−1 )n∗n1000 (1−1
n))=lim
n→∞((−1 )n)∗(∞∗(1−0 ))
.∞+ זוגי, הביטוי שואף ל-nאם .∞− אי זוגי, הביטוי שואף ל-nאם
לכן, אין גבול לביטוי.
11.7limn→∞ ( 3∗n2007
(n+1 )2008−n2008 )n+1)נפרק את )2008
בעזרת הבינום של ניוטון
(a+b)n=an+(n1 )an−1b1+(n2)an−2b2+. ..+bn
,(nk )= n!
k !(n−k )!.
limn→∞ ( 3∗n2007
(n+1 )2008−n2008 )=limn→∞ ( 3∗n2007
[n2008+(20081 )n2007 11+(2008
2 )n2006 12+. ..+1]−n2008 )
n2008 מצטמצם, וכך המעלה הגבוהה ביותר שנשארת במכנה היא
60
. זו גם המעלה הגבוהה ביותר במונה, ולכן הגבול הוא יחס2007
המקדמים:
32008.
61