- i -

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Επαλληλία, συµφωνία και συµβολή του φωτός είναι έννοιες που αναφέρο-νται στην αλληλεπίδραση και το πιθανό συσχετισµό µεταξύ των διαταραχών που παράγονται και διαδίδονται µέσω των ποικίλων φυσικών συστηµάτων. Οι περισσό-τερο οικίες για µας παραστάσεις µιας διαταραχής είναι ως γνωστόν τα κύµατα και ειδικότερα τα αρµονικά δηλ. οι συνηµιτονικού προφίλ χωροχρονικές µεταβολές ε-νός µεγέθους. Σαν µερικά µόνο παραδείγµατα µπορούµε ν’ αναφέρουµε: Τα υδάτι-να κύµατα (αν και στην πραγµατικότητα πρόκειται για διακροτήµατα) που διαδίδο-νται στην επιφάνεια των υγρών και προκύπτουν από τη σύνθεση διαµήκων και ε-γκαρσίων µετατοπίσεων των µορίων τους. Τα ηχητικά (ακουστικά) κύµατα που διαδίδονται στα στερεά τα υγρά και τα αέρια σαν αποτέλεσµα επίσης των διαµήκων µετακινήσεων των µορίων τους. Τέλος αναφέρουµε τα Η/Μ κύµατα τα οποία θ’ αποτελέσουν το αποκλειστικό αντικείµενο της µελέτης µας και ειδικότερα αυτά της ‘‘ορατής περιοχής’’ του φάσµατος. Πρόκειται για εγκάρσιες χωρο-χρονικές µετα-βολές του ηλεκτρικού και του µαγνητικού πεδίου µε συνέπεια τη µεταφορά ενέρ-γειας, ορµής και στροφορµής στην περιοχή διάδοσής τους που µπορεί να είναι το κενό, καθώς επίσης τα στερεά τα υγρά και τα αέρια.

Οι διαδιδόµενες διαταραχές των Η/Μ πεδίων (δηλ. τα κύµατα), αποτελούν κατά τα γνωστά λύσεις της διαφορικής εξίσωσης του Maxwell για τα αντίστοιχα µέσα διάδοσης που θεωρούνται συνεχή. Μια από τις σπουδαιότερες ιδιότητες της προαναφερόµενης εξίσωσης είναι ότι δέχεται σαν λύσεις και γραµµικούς συνδυα-σµούς µερικών λύσεών της γεγονός που εκφράζει τη λεγόµενη αρχή της επαλλη-λίας (superposition principle). Άρα δύο ή περισσότερα κύµατα µπορούν να προ-στεθούν ή ν’ αφαιρεθούν αλληλεπιδρώντα (δηλ. ερχόµενα σε επαλληλία), µε απο-τέλεσµα την ανάδειξη ενός συνισταµένου κύµατος µε πλάτος και φάση που εξαρτά-ται από τα πλάτη και τις φάσεις των συνιστωσών κυµάτων.

Τα κύµατα όµως γενικά που αναφέρονται σε κάθε µια από τις περιοχές του Η/Μ φάσµατος, παράγονται (όπως και ανιχνεύονται) συνήθως µε εντελώς διαφορε-τικό τρόπο. Το συγκεκριµένο γεγονός –όπως θα δούµε στα επόµενα – είναι κεφα-λαιώδους σηµασίας για τον τρόπο µε τον οποίο θα είναι δυνατόν τελικά δύο ή πε-ρισσότερες διαταραχές της ίδιας φασµατικής περιοχής να αλληλεπιδράσουν. Για να συµβεί το τελευταίο, χρειάζεται οπωσδήποτε να υφίσταται ένας συσχετισµός (cor-relation) ανάµεσά τους (ειδικότερα µια σταθερότητα στις διαφορές φάσεις τους), γεγονός το οποίο αποτελεί και προϋπόθεση της πρόσθεσης ή της αφαίρεσης µεταξύ των πλατών τους. Η διαδικασία αυτή ονοµάζεται συµβολή (interference), και ο βαθµός κατά τον οποίο συµβάλλουν οι διαταραχές σχετίζεται µε την έννοια της συµφωνίας (coherence).

1

- ii -

Φαινόµενα συµβολής, όπως αυτά του σχηµατισµού των εγχρώµων κροσσών στην επιφάνεια από τις φούσκες της σαπουνάδας, είχαν περιγραφεί ακόµα από το δεύτερο µισό του 17ου αιώνα από τους Boyle και Hooke. Αν θεωρήσουµε τις παρα-τηρήσεις αυτές σαν απαρχή µελέτης του φαινοµένου, τότε η ιστορική εξέλιξη του κλάδου της συµβολής είναι συνεχής και αδιάλειπτη για περισσότερο από τρεις αιώ-νες και συνδέεται άρρηκτα µε την ανάπτυξη της κυµατικής θεωρίας του φωτός. Η τελευταία είχε προταθεί ήδη περί τα τέλη του 17ου αιώνα (1690) από τον Huygens χωρίς όµως να γίνει αποδεκτή από το σύνολο της τότε επιστηµονικής κοινότητας εξ αιτίας της κυριαρχίας της σωµατιδιακής θεωρίας του Newton. Κύριο επιχείρηµα του τελευταίου ήταν ότι η κυµατική θεωρία δεν θα µπορούσε να εξηγήσει την ευ-θύγραµµη διάδοση του φωτός καθώς και τα φαινόµενα πόλωσης. Αποτέλεσµα της αντιπαλότητας των παραπάνω θεωριών ήταν το φαινόµενο της συµβολής να καθυ-στερήσει όσον αφορά την πλήρη ερµηνεία του για περίπου εκατόν πενήντα χρόνια. Ένας καθοριστικός σταθµός για την αποδοχή της, υπήρξε το διάστηµα µεταξύ των ετών 1801-1803 και οφείλεται στον Th. Young. Σε µια σειρά διαλέξεών του, απο-δέχτηκε την αρχή της επαλληλίας των κυµάτων, µε βάση την οποία ήταν δυνατόν να ερµηνευτεί το γεγονός ότι θα µπορούσαµε από τη συµβολή δύο διαταραχών του φωτός να πάρουµε ακόµα και µηδενική ένταση.

Η σηµαντικότητα της πειραµατικής διάταξης του Young έγκειται στο ότι ο ίδιος φώτισε τα δύο µικρά ανοίγµατα P1, P2 από τα οποία περίµενε να δει φαινόµε-να συµβολής στο πέτασµα παρατήρησης, όχι µε δύο διαφορετικές πηγές πίσω από αυτά, αλλά µέσω µιας κοινής πηγής σε συµµετρική θέση στο S. Με τον τρόπο αυτό αυξανόταν κατά πολύ η πιθανότητα τα κύµατα από τις θέσεις P1, P2 να παρουσιά-ζουν σταθερότητα όσον αφορά τις φάσεις κατά την επαλληλία τους στο πέτασµα.

Ανάλογα µε τη διαφορά οπτικού δρόµου ∆ άρα και της φάσης από σηµείο σε ση-µείο στο πέτασµα, είχε τη δυνατότητα να παρατηρήσει περιοδικές µεταβολές της

2

- iii -

έντασης µεταξύ φωτός και σκότους δηλ. τους λεγόµενους κροσσούς συµβολής (in-terference Fringes). Από µετρήσεις που έκανε, µε δεδοµένα: την απόσταση των ανοιγµάτων, την απόσταση του διαφράγµατος των ανοιγµάτων – πετάσµατος και την περίοδο των κροσσών, υπολόγισε ότι το µήκος κύµατος (µ.κ.) των κυµάτων που εξέπεµπε µια πηγή κόκκινου φωτός ήταν 5.176x10-7 m (517.6nm). ∆ιαπίστωσε ότι το τελευταίο είναι πράγµατι ένα πολύ µικρό µέγεθος. Ο Young επίσης έδωσε µια πλήρη κυµατική θεωρητική εξήγηση όλων των µέχρι τότε πειραµατικών ευρη-µάτων του Newton που σχετιζόταν µε την περιοδική φύση του φωτός.

Η δυσκολία όµως και πάλι όσον αφορά την αποδοχή της κυµατικής θεωρίας οφειλόταν σε µια σειρά πειράµατα που εκτελέστηκαν από τον Malus το 1809 και απεδείκνυαν την πόλωση των κυµάτων από ανάκλαση σε επιφάνειες. Πράγµατι ε-πειδή µέχρι την εποχή εκείνη τα κύµατα του φωτός από τους Young και Huygens θεωρούνταν διαµήκη ήταν αδύνατον να ερµηνευθεί η από ανάκλαση πόλωσή τους. Την λύση έδωσε ο A. Fresnel περί το 1818, ο οποίος κατά κάποιο τρόπο τελειοποί-ησε τη θεωρία της συµβολής εφαρµόζοντάς την για τη λύση προβληµάτων περί-θλασης του φωτός. Είχε επίσης αποδείξει πειραµατικά µε τη βοήθεια του Arago ότι δύο δέσµες φωτός ορθογώνια πολωµένες δεν συµβάλλουν. Τα γεγονότα αυτά οδή-γησαν τους Young και Fresnel στο αναπόφευκτο συµπέρασµα ότι η φύση των κυ-µάτων του φωτός είναι εγκάρσια. Ταυτόχρονα όµως ο Fresnel δέχτηκε σαν φορέα αυτών των εγκαρσίων διαταραχών ένα στάσιµο και αβαρές ελαστικό µέσο που δια-περνά όλη την ύλη και το ονόµασε αιθέρα (ether).

Η θεωρία του αιθέρα έγινε αποδεκτή από το σύνολο σχεδόν των επιστηµό-νων του 18ου αιώνα, παρά το ότι υπήρχαν γι’ αυτήν ορισµένα ερωτήµατα χωρίς προφανείς απαντήσεις. Η στατικότητα του αιθέρα αµφισβητήθηκε από θεωρητικούς υπολογισµούς του Fresnel το 1818 και αποδείχθηκε πειραµατικά από τον Fizeau το 1851 µέσω κατάλληλης συµβολοµετρικής διάταξης. Τα ίδια πειράµατα αργότερα επανέλαβαν οι Jamin και Michelson. Τα πορίσµατα αυτά οδήγησαν τον Maxwell το 1880 στο να διατυπώσει την άποψη ότι η κίνηση της γης µέσω του αιθέρα θα είχε σαν αποτέλεσµα την µεταβολή της ταχύτητας του φωτός κατά ένα ποσοστό ανάλο-γο µε τον λόγο του τετραγώνου της ταχύτητας της γης προς αυτή του φωτός, αν και δεν ευελπιστούσε να παρατηρηθεί πειραµατικά. Την απάντηση έδωσε το περίφηµο για την εποχή (1881) πείραµα µέσω του συµβολοµέτρου του Michelson. Το αποτέ-λεσµα ήταν αρνητικό από την άποψη ότι δεν παρατηρήθηκε καµιά αναµενόµενη µετακίνηση κροσσών και άρα καµιά µεταβολή της ταχύτητας του φωτός σε σχέση µε την κίνηση της γης. Το συµπέρασµα αυτό οδήγησε στην απόρριψη της ύπαρξης του αιθέρα και την ανάδειξη του γεγονότος ότι η ταχύτητα του φωτός είναι ανεξάρ-τητη της κίνησης του συστήµατος συντεταγµένων το οποίο ως γνωστόν αποτελεί αξίωµα της ειδικής θεωρίας της σχετικότητας.

3

- iv -

Έκτοτε η ανάπτυξη των διαφόρων συµβολοµετρικών µεθόδων υπήρξε ταχύ-τατη ιδίως σε προβλήµατα µετρολογίας. Έτσι το 1896 ο Michelson µε την βοήθεια του συµβολοµέτρου του ταυτοποιεί το πρότυπο µέτρο Pt-Ir (Λευκοχρύσου – Ιριδί-ου) που φυλαγόταν στις Sèvres του Παρισιού, µε τη βοήθεια του µ.κ. της κόκκινης γραµµής του Cd (Καδµίου) (λ: 643.847 nm). Βρίσκει ότι το 1m αντιστοιχεί σε 3.106.327 µ.κ. της προαναφερόµενης ακτινοβολίας. Την ίδια εποχή οι Mach και Zehnder µέσω του συµβολοµέτρου τους κατέστησαν δυνατή τη µέτρηση της πυ-κνότητας ενός ρευστού από σηµείο σε σηµείο κατά τη διάρκεια της ροής του σε διαφανές δοχείο. Επίσης κατόρθωσαν να προσδιορίσουν τις ισόφωτες επιφάνειες κατά τη διάρκεια της καύσης διαφόρων τύπων πηγών φωτός. Ένα νέο πεδίο εφαρ-µογών ανοίγεται από τον Twyman το 1916 ο οποίος χρησιµοποιεί ένα τροποποιη-µένο συµβολόµετρο Michelson για τον ποιοτικό έλεγχο των διαφόρων οπτικών στοιχείων π.χ. φακών, πρισµάτων κλπ. Το ίδιο συµβολόµετρο χρησιµοποιήθηκε από τον Linnik το 1933 για την µικροσκοπική εξέταση ανακλαστικών επιφανειών.

Τα πειράµατα του Michelson είχαν αποκαλύψει τη στενή σχέση που υπήρχε µεταξύ της ευκρίνειας των κροσσών συµβολής αφ’ ενός και αφ’ ετέρου των δια-στάσεων των φωτιζόντων τις διατάξεις πηγών καθώς και των φασµατικών τους κα-τανοµών. Πρόκειται για το αποτέλεσµα του χωρο-χρονικού βαθµού συσχετισµού µεταξύ των διαταραχών που όπως ήδη αναφέραµε ονοµάζεται συµφωνία. Ήδη από το 1869 ο Verdet σε δηµοσίευσή του παρέθεσε δεδοµένα που αφορούσαν στον υ-πολογισµό του βαθµού χωρικής συµφωνίας του ηλίου σαν πηγή φωτός ορισµένων διαστάσεων πάνω στην επιφάνεια της γης. Βρήκε ότι προκειµένου ν’ αναδειχθούν φαινόµενα συµβολής θα έπρεπε δύο ανοίγµατα µεταξύ τους να απέχουν λιγότερο από 1/20 του mm. Οι πρώτοι θεωρητικοί υπολογισµοί έγιναν από τον Laue µόλις το 1907 και συστηµατοποιήθηκαν από τους van Cittert (1934), Zernike (1938), Hop-kins (1951-53) και Wolf (1954-55). Μια νέα ανακάλυψη των Harbury – Brown και Twiss (1954) αφορούσε το συσχετισµό µεταξύ των εντάσεων δύο ή περισσότερων δεσµών φωτός και έδωσε νέα ώθηση στη θεωρία της µερικής συµφωνίας καθιστώ-ντας την ανεξάρτητο κλάδο της στατιστικής οπτικής (Statistical Optics). Θεµελιω-τές της ήταν οι Mandel και Wolf (1965).

Μια µεγάλη περιοχή εφαρµογών της συµβολοµετρίας στις µέρες µας είναι αυτή που ονοµάζεται οπτική των λεπτών υµενίων. Αναφερόµαστε στο σχεδιασµό και την κατασκευή αντιανακλαστικών υµενίων, ανακλαστικών πολυστρωµατικών υµενίων κ.λ.π. από διηλεκτρικά και µέταλλα. Τα πρώτα χρησιµοποιούνται για την ελάττωση της ανακλαστικότητας των επιφανειών και τα δεύτερα αφορούν την κα-τασκευή κατόπτρων µε σαφώς καλύτερες ιδιότητες σε σχέση µε αυτά που γίνονται µέσω εξάχνωσης µετάλλων. Η ανάπτυξη υµενίων, ήταν ήδη γνωστή µέσω εξάχνω-σης διαφόρων υλικών σε κενό: Strong (1936).

4

- v -

Εξέχουσα θέση στον τοµέα της ανάλυσης του φωτός κατέχει η συµβολοµε-τρική φασµατοσκοπία (interference spectroscopy). Οι απαρχές της ανάγονται στα τέλη του 19ου αιώνα. Αναφέρεται σε τεχνικές υψηλής διακριτικής ικανότητας µέσω των συµβολοµέτρων Fabry-Perot, της κλιµακωτής διάταξης του φράγµατος περί-θλασης του Michelson και της πλάκας των Lummer-Gehrcke. Μέσω αυτών και κυ-ρίως του συµβολοµέτρου των Fabry-Perot το οποίο και τελικά επεκράτησε των άλ-λων λόγω των τεχνικών του βελτιώσεων, έγινε δυνατός ο προσδιορισµός ακόµα και της υπέρλεπτης υφής των φασµατικών γραµµών εκποµπής ή απορρόφησης του συ-νόλου σχεδόν των χηµικών στοιχείων και ενώσεων. Μια σχετικά νέα προσέγγιση των προαναφεροµένων προβληµάτων αποτελεί η ανάπτυξη της λεγόµενης φασµα-τοσκοπίας µετασχηµατισµού Fourier (Fourier transform spectroscopy). Αν και οι απαρχές της ανάγονται σε πειράµατα του Fizeau (1862), ήταν ο Michelson (1891) ο οποίος κατέγραψε την ευκρίνεια των κροσσών συµβολής από διάφορες πηγές συ-ναρτήσει της διαφοράς του οπτικού δρόµου στο αντίστοιχο συµβολόµετρό του. Αποδεικνύεται ότι ο παράγοντας της ευκρίνειας, αντιπροσωπεύει το βαθµό χρονι-κής συµφωνίας της ακτινοβολίας (για βαθµό χωρικής συµφωνίας ίσο µε τη µονάδα) και εκφράζεται σαν το µετασχηµατισµό Fourier της φασµατικής της κατανοµής. Το τελευταίο συνεπάγεται ότι αν η καταγεγραµµένη ευκρίνεια των κροσσών εµφανίζει περιοδικότητα συναρτήσει της διαφοράς του οπτικού δρόµου, τότε αναδεικνύεται η ύπαρξη στην ακτινοβολία περισσότερων της µιας φασµατικών γραµµών. Το γεγο-νός είναι µεγάλης σπουδαιότητας γιατί θα ήταν δυνατόν από τον προσδιορισµό του αντιστρόφου µετασχηµατισµού Fourier της συνάρτησης της ευκρίνειας των κροσ-σών, να υπολογιστούν µε ακρίβεια ακόµη και περίπλοκες φασµατικές κατανοµές. Το τελευταίο επιτεύχθηκε από τον Fellqett (1951), µέσω αριθµητικών υπολογισµών του µετασχηµατισµού. Περαιτέρω βελτιώσεις κατέστησαν τη µέθοδο κυρίαρχη ό-σον αφορά τον προσδιορισµό φασµάτων ιδίως στην υπέρυθρη περιοχή.

Αλµατώδης εξέλιξη των συµβολοµετρικών µεθόδων επιτεύχθηκε µε τη χρη-σιµοποίηση από τις αρχές του 1960 των πηγών Laser. Η ιδέα της προτρεπόµενης εκποµπής φωτονίων η οποία αποτελεί και το θεµέλιο της λειτουργίας τους, είχε α-ναφερθεί από τον Einstein ήδη από το 1917. ∆ηλ. ένα φωτόνιο µιας ορισµένης κα-τάστασης το οποίο κινείται στο εσωτερικό ενός διεγερµένου µέσου (π.χ. αέριο), µπορεί να προκαλέσει αποδιέγερση και εµφάνιση ενός νέου φωτονίου της ίδιας α-κριβώς κατάστασης. Οι Schawlow και Townes (1958) ήταν οι πρώτοι που έδειξαν ότι µέσω της προτρεπόµενης εκποµπής, είναι δυνατόν να επιτευχθεί ενίσχυση ακτι-νοβολίας στην ορατή περιοχή του Η/Μ φάσµατος χρησιµοποιώντας µια κοιλότητα συντονισµού µε δύο κάτοπτρα προκειµένου να επιτευχθεί η επιλεκτικότητα των φωτονικών καταστάσεων. Ο πρώτος σε λειτουργία Laser συνεχούς ακτινοβολίας ήταν αυτός από µίγµα He-Ne που προτάθηκε από τους White και Rigden το 1962. Οι µέχρι τότε φωτίζουσες πηγές των συµβολοµέτρων ήταν θερµικές. Η πλέον χρη-

5

- vi -

σιµοποιούµενη ήταν αυτή της φασµατικής λυχνίας του Hg. Με την τοποθέτηση κα-τάλληλου φίλτρου, επιτρεπόταν η διέλευση της ‘‘πράσινης’’ γραµµής µε µ.κ. λ = 546.1 nm. Τα κύρια µειονεκτήµατα µιας τέτοιας πηγής ήταν ο σχετικά χαµηλός βαθµός χρονικής συµφωνίας καθώς και η µικρή φωτίζουσα ισχύς της. Αντίθετα οι πηγές των Laser χαρακτηρίζονται από ιδιότητες όπως: υψηλή χρονική συµφωνία και µονοχρωµατικότητα, µεγάλη κατευθυντικότητα καθώς και λαµπρότητα. Η χρη-σιµοποίησή τους, άλλαξε ριζικά τις προοπτικές της συµβολοµετρίας αναδεικνύο-ντας νέους τοµείς εφαρµογών.

Ένας από αυτούς είναι η ολογραφία (holography) και κατά προέκταση η ο-λογραφική συµβολοµετρία (interference holography). Η ολογραφία είναι µια ιδιά-ζουσα µέθοδος απεικόνισης των αντικειµένων στο χώρο. Για την επίτευξη της α-παιτούνται δύο στάδια. Αυτό της εγγραφής (µέσω µιας δέσµης αναφοράς και της δέσµης που προέρχεται από το αντικείµενο, σε ειδικό film), του πλάτους και της φάσης του µετώπου κύµατος του αντικειµένου µε µορφή συµβολογραφήµατος. Σε δεύτερο στάδιο από το εγγεγραµµένο συµβολογράφηµα, είναι δυνατόν µε κατάλλη-λο φωτισµό του από την αρχική δέσµη αναφοράς να αναπαραχθεί το µέτωπο κύµα-τος του αντικειµένου. Προποµπό της ολογραφίας αποτέλεσαν οι εργασίες των Wolfke (1920) και Bragg (1933), που αφορούσαν τον τρόπο προσδιορισµού της δοµής ενός κρυστάλλου µε τη βοήθεια των προτύπων περίθλασης ακτίνων –Χ. Ο πρώτος όµως που µελέτησε διεξοδικά το θέµα ήταν ο Gabor (1948-49). Η πειραµα-τική επιβεβαίωση της θεωρίας έγινε µε φως µιας φασµατικής λυχνίας Να η οποία όµως διαθέτει κατά τα γνωστά πολύ µικρό βαθµό χρονικής συµφωνίας περιορίζο-ντας έτσι σηµαντικά τη δυνατότητα συµβολής των δύο ανεξαρτήτων δεσµών. Αλ-µατώδης εξέλιξη της ολογραφίας συντελέσθηκε στη δεκαετία του 1960 και µετά, µε την ανακάλυψη και χρήση των πηγών Laser καθώς και την προτεινόµενη από τους Leith και Upatnikes (1964) δυνατότητα ολογραφικής καταγραφής σκεδαζόντων α-ντικειµένων µεγάλων διαστάσεων. Μια από τις σηµαντικότερες εφαρµογές ήταν η ολογραφική συµβολοµετρία, η οποία προτάθηκε από πολλές ανεξάρτητες οµάδες επιστηµόνων περί το 1965. Επρόκειτο στην πλέον απλή της µορφής για τη συµβο-λοµετρική συσχέτιση δύο µετώπων κύµατος τα οποία είχαν εγγραφεί στο ίδιο µέσο σε διαφορετικούς χρόνους. Η ολογραφική συµβολοµετρία περιλαµβάνει πλήθος µεθόδων και εφαρµογών οι πιο γνωστές των οποίων είναι στη µηχανική. Π.χ. προσ-διορισµός µικροµετατοπίσεων, µικροπεριστροφών, κάµψεων και γενικά παραµορ-φώσεων διαφόρων σωµάτων.

Παράλληλα µε την ανάπτυξη της ολογραφικής συµβολοµετρίας ήταν και αυ-τή της λεγόµενης συµβολοµετρίας ‘speckle’’(speckle interferometry). Το φαινόµε-νο ‘‘Speckle’’ ανάγεται στη µελέτη των στατιστικών ιδιοτήτων του φωτός που πα-ράγεται από διαφόρων ειδών πηγές καθώς και των ιδιοτήτων των επιφανειών µέσω των οποίων ανακλάται ή διαδίδεται. Έτσι η έντονη κοκκίαση όσον (αφορά την έ-

6

- vii -

νταση), που παρατηρείται (π.χ. από την ανάκλαση φωτός Laser σε επιφάνειες που ούτως ή άλλως χαρακτηρίζονται από επιφανειακές ανωµαλίες της τάξης του µ.κ. ή µεγαλύτερες), οφείλεται στη συµβολή των διαταραχών που εκπέµπονται από κάθε σηµείο των σκεδαστών, στο χώρο µεταξύ της επιφάνειας και του παρατηρητή. Τα αυτά αποτελέσµατα παρατηρούνται είτε κατά τη διάδοση των πεδίων στον ελεύθε-ρο χώρο είτε µέσω συστηµάτων απεικόνισης. Αν και το φαινόµενο είχε παρατηρη-θεί σε παλαιότερη εποχή από τον Exner (1877) η πρώτη θεωρητική στατιστική προσέγγιση έγινε από τον von Laue (1914-16) και αφορούσε την εξήγηση των προ-τύπων έντασης που παρατηρούνταν κατά τη διέλευση του φωτός ψευδοµονοχρω-µατικής πηγής µέσω σκεδάζοντος µέσου, (π.χ. µια επιφάνεια µε τυχαία κατανοµή κόκκων λυκοποδίου της τάξης των 30µm). Πρότυπα ‘‘Speckle’’ από σύµφωνο φως Laser έχουν περιγραφεί συστηµατικά για πρώτη φορά από τους Rigden και Gordon (1962). Κατ’ αρχήν το ‘‘Speckle’’ θεωρούνταν σαν ένας οπτικός θόρυβος, σταδια-κά όµως έγινε κατανοητό ότι θα µπορούσε να χρησιµοποιηθεί σαν φορέας επεξερ-γασίας οπτικών πληροφοριών. Μια από τις βασικότερες εφαρµογές του είναι η συµβολοµετρία ‘‘Speckle’’ (Burch και Tokarsky 1968), που αφορά τον προσδιορι-σµό µικροµετατοπίσεων, µικροπεριστροφών, παραµορφώσεων καθώς και των τρό-πων δόνησης σκεδαζόντων επιφανειών. Ανεξάρτητος κλάδος είναι η αστρική συµ-βολοµετρία ‘‘Speckle’’ που χρησιµοποιείται για τον καθορισµό αστρικών µεγεθών.

Στη σηµερινή εποχή τα ηλεκτρονικά αποτελούν ένα δυναµικό εργαλείο σε συνδυασµό µε τη συµβολοµετρία. Η απαρχή έγινε µε τη χρήση φωτοηλεκτρικών ανιχνευτών στα συµβολόµετρα Fabry – Perot καθώς και των ψηφιακών υπολογι-στών στη φασµατοσκοπία Fourier. Θα πρέπει επίσης ν’ αναφέρουµε ένα νέο κλάδο της συµβολοµετρίας µέσω της χρήσης οπτικών ινών µοναδικού τρόπου. Πράγµατι, επειδή ο οπτικός δρόµος κατά µήκος µιας ίνας µεταβάλλεται µε την πίεση ή την θερµοκρασία, είναι δυνατόν ένα τέτοιο είδος συµβολόµετρου (αντίστοιχου ενός κλασσικού δύο δεσµών αλλά πολύ µεγάλου οπτικού δρόµου) µπορεί να χρησιµεύ-σει σαν ανιχνευτής υπερ-υψηλής ευαισθησίας και χαµηλού θορύβου.

Η βασική θεωρία που καλύπτει τη µελέτη µας, αφορά κατ’ αρχήν στοιχεία κυµατικής και επαλληλίας κυµάτων. Κατόπιν µε τη βοήθεια µιας µικρής εισαγωγής στο λογισµό των σειρών και των ολοκληρωµάτων Fourier, αναπτύσσεται στοιχειω-δώς η θεωρία της χρονικής συµφωνίας του φωτός. Οι επόµενες ενότητες, αφορούν τη συµβολοµετρία διαίρεσης µετώπου κύµατος καθώς και την αντίστοιχη διαίρεσης πλάτους. Στα παραρτήµατα που συνεπικουρούν τη θεωρία περιλαµβάνονται: Η δια-τύπωση του θεωρήµατος των van Cittert – Zernike για την µερική χωρική συµφω-νία των πηγών και διάφορες εφαρµογές. Οι νόµοι του Fresnel για την ανακλαστικό-τητα των επιφανειών στα διηλεκτρικά και τα µέταλλα. Τέλος περιγράφεται µια στοιχειώδης προσέγγιση του προβλήµατος της ανάπτυξης των τρόπων δόνησης σε µια ελαστική χορδή. Πρόκειται για το µηχανικό ανάλογο αυτού που θα χρησιµο-

7

- viii -

ποιηθεί για τον προσδιορισµό των επιµήκων τρόπων δόνησης σε µια κοιλότητα συ-ντονισµού Laser.

Τα προτεινόµενα πειράµατα εκτελούνται µέσω συµβολοµετρικών διατάξε-ων: Young, Fezeau, Michelson και Fabry – Perot. Αναπτύσσεται επίσης µία διάτα-ξη για τον προσδιορισµό των επιµήκων τρόπων δόνησης ενός Laser He-Ne µε τη βοήθεια συµβολόµετρου Fabry – Perot του οποίου το ένα από τα κάτοπτρα µπορεί να δονηθεί ελεγχόµενα (τεχνική της σάρωσης του κεντρικού σηµείου).

8

- 1 -

Ανάδειξη φαινοµένων που σχετίζονται µε τη συµβολή του φωτός

Η πλέον συνήθης περίπτωση άµεσης παρατήρησης του φαινοµένου της συµ-βολής του φωτός, µπορεί να γίνει πάνω στο κατάστρωµα δρόµου που είναι επικα-λυµµένος µε άσφαλτο και επιπλέον είναι βρεγµένος. Τότε µπορούµε να δούµε έγ-χρωµες κατανοµές φωτός µε τη µορφή συνεχών – συνήθως κλειστών –ζωνών, που ονοµάζουµε κροσσούς συµβολής. Οι κροσσοί ως επί το πλείστον είναι ασύµµετροι (Εικ. 1) και καταλαµβάνουν αρκετά µεγάλο τµήµα του οδοστρώµατος. Τα προανα-

(Εικ. 1)

φερόµενα πρότυπα δεν σχηµατίζονται οπουδήποτε, αλλά σε περιοχές όπου προη-γουµένως είχαν διαρρεύσει λάδια από µηχανές αυτοκινήτων, πετρέλαιο ή άλλου είδους λεπτόρευστα υγρά. Τα τελευταία έχουν τη δυνατότητα να σχηµατίζουν πά-νω στην επιφάνεια του νερού λεπτά υµένια, γεγονός που αποτελεί και τη γενε-σιουργό αιτία της δηµιουργίας των παρατηρούµενων κατανοµών κατά το φωτισµό τους µε το φως της ηµέρας. Η ερµηνεία αυτού του φαινοµένου γίνεται µε τη βοή-θεια της συµβολής του φωτός µεταξύ των διαταραχών που προέρχονται από την πάνω και την κάτω επιφάνεια του υµενίου, µετά τη διαίρεση της αρχικά προσπί-πτουσας σε δύο.

9

- 2 -

Πράγµατι, αρχικά το υπάρχον στρώµα νερού (Σχ. 2), εξοµαλύνει την τραχεία επιφάνεια της ασφάλτου σχηµατίζοντας µια σχεδόν επίπεδη επιφάνεια. Πάνω σ’ αυτήν, αναπτύσσεται το λεπτό υµένιο του λαδιού (πάχους της τάξης των µm) λόγω των επιφανειακών τάσεων και το οποίο γενικά είναι ανισοπαχές. Μια διαταραχή

(Σχ. 2)

(στην πραγµατικότητα πρόκειται για µέτωπο κύµατος), κατά την άφιξή της στην πάνω επιφάνεια του υµενίου διαχωρίζεται σε δύο. Από αυτές η µία ανακλάται κατ’ ευθείαν στην πάνω επιφάνειά του ενώ η άλλη µετά από διάθλαση στην κάτω. Οι δύο διαταραχές διαδιδόµενες µε µια ορισµένη κλίση µεταξύ τους, συλλέγονται από τον κρυσταλλώδη φακό του µατιού µας και συγκλίνοντας στον αµφιβληστροειδή έρχονται σε επαλληλία και συµβάλλουν. Η ίδια διαδικασία ισχύει και για όλα τα σηµεία του υµενίου στα οποία φθάνουν οι διαταραχές του προσπίπτοντος µετώπου κύµατος. Σαν τελικό αποτέλεσµα, στον αµφιβληστροειδή του µατιού µας θα σχη-µατιστεί µια κατανοµή έντασης η οποία θ’ αντιστοιχεί στο προαναφερόµενο πρότυ-πο συµβολής, το οποίο εµείς ‘‘βλέπουµε να σχηµατίζεται’’ πάνω στο οδόστρωµα στην περιοχή που καταλαµβάνει το υµένιο του λαδιού. Το γεγονός οφείλεται στο ότι η εικόνα που φαίνεται, είναι σαν να προέρχεται από κατεύθυνση αντίθετη αυτής των συγκλινουσών στο µάτι µας διαταραχών. Και η θέση αυτή, µε βάση την αρχή της αντιστρόφου πορείας του φωτός βρίσκεται για τη συγκεκριµένη διευθέτηση στην κάτω περίπου επιφάνεια του υµενίου. Στην πραγµατικότητα δηλαδή, πρότυπο συµβολής θα σχηµατιστεί µόνο µέσω της βοήθειας συγκλίνοντος οπτικού συστήµα-τος. Π.χ. αντί του µατιού µας µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε ένα θετικό φακό. Τότε στο επίπεδο απεικόνισής του θα έχουµε το σχηµατισµό του προτύπου συµβο-λής µε συζυγές επίπεδο (επίπεδο αντικειµένου) το υµένιο.

10

- 3 -

(Εικ. 3α)

(Εικ.3β )

11

- 4 -

Πανοµοιότυπες διαδικασίες ανάδειξης κροσσών συµβολής παρατηρούνται και σε άλλες δύο περιπτώσεις: α) Όταν εµβαπτίσουµε µικρό συρµάτινο βρόγχο σε σαπουνόνερο και βγάζοντάς τον, τον κρατήσουµε κατακόρυφα.Τότε παρατηρούµε (Εικ.3α) την εµφάνιση ενός προτύπου οριζοντίων σχεδόν κροσσών φωτίζοντας το σύστηµα µε λυχνία Na. Ο µηχανισµός σχηµατισµού τους είναι πανοµοιότυπος µε αυτόν που περιγράψαµε προηγουµένως. Το λεπτό υµένιο εδώ είναι σφηνοειδούς µορφής όπου το λεπτό τµήµα της σφήνας σχηµατίζεται στο πάνω µέρος του βρόγ-χου και το παχύ (λόγω βαρύτητας) στο κάτω. Μια προσπίπτουσα διαταραχή διαι-ρείται σε δύο ανακλώµενες από την εµπρός και την πίσω επιφάνεια της σφήνας. Η επαλληλία των δύο τελευταίων και κατ’ επέκταση η συµβολή τους συντελείται στον αµφιβληστροειδή του µατιού µας. Αν το σύστηµα φωτιστεί µε πολυχρωµατικό φως (Εικ.3β) τότε οι κροσσοί θα είναι έγχρωµοι. β) Οι έγχρωµες κατανοµές που παρατηρούνται πάνω στις φούσκες σαπουνόνερου, όταν αυτές φωτίζονται µε φως ηµέρας. Οφείλονται σε φαινόµενα συµβολής των διαταραχών που προκύπτουν από διαίρεση µιας προσπίπτουσας σε δύο. Οι τελευταίες τελικά, ανακλώνται από τις δύο επιφάνειες του πολύ λεπτού υµενίου από το οποίο συγκροτούνται οι φούσκες και συµβάλλουν κατά τα γνωστά στον αµφιβληστροειδή του µατιού µας. Ένας άλλος πολύ απλός τρόπος ανάδειξης του φαινοµένου της συµβολής του φωτός είναι µε τη βοήθεια ενός διαφράγµατος το οποίο περιλαµβάνει δύο µικρές κυκλικές οπές. Το τελευταίο µπορεί να κατασκευαστεί αν σε µία αδιαφανή χάρτινη κάρτα ανοίξουµε µε τη βοήθεια του άκρου µιας λεπτής βελόνης δύο µικρά κυκλικά ανοίγµατα που απέχουν µεταξύ τους λιγότερο από µισό χιλιοστό. Μέσω αυτού του διαφράγµατος, το οποίο τοποθετούµε σχεδόν σε επαφή µε το µάτι µας (Σχ. 4α), πα-ρατηρούµε τη νύχτα, µια µακρινή φωτεινή πηγή που βρίσκεται σε απόσταση πάνω από 50m (π.χ. ένα λαµπτήρα φωτισµού του δρόµου). Έχοντας προσηλωµένο το βλέµµα µας (δια µέσου των οπών του διαφράγµατος) στην πηγή, βλέπουµε ότι δεν χαρακτηρίζεται πλέον από οµογενή φωτισµό αλλά διαµορφώνεται από παράλληλες φωτεινές και σκοτεινές ζώνες που αντιστοιχούν σε αυξοµειώσεις της έντασης του φωτός (Σχ. 4β). Αν τα δύο κυκλικά ανοίγµατα βρίσκονται σε µία νοητή ευθεία που είναι παράλληλη µε αυτήν που ενώνει τα δύο µας µάτια, τότε η διεύθυνση των κροσσών είναι κάθετη προς αυτήν. Αν το διάφραγµα περιστραφεί κατά µία γωνία, κατά την ίδια γωνία περιστρέφονται και οι κροσσοί. Το πραγµατικό πρότυπο συµ-βολής που θα δούµε εφόσον τα ανοίγµατα του διαφράγµατος είναι κυκλικά, αντι-στοιχεί κατά προσέγγιση σ’ αυτό της (Εικ. 4β). Πρόκειται για ένα φωτεινό δίσκο ο οποίος περιβάλλεται από ένα ή δύο το πολύ δακτυλίους µε ενδιάµεσα σκοτεινούς. Οι φωτεινές περιοχές διαµορφώνονται από κροσσούς συµβολής της ίδιας περιόδου.

Η ερµηνεία του φαινοµένου γίνεται ως εξής: Επειδή κατ’ αρχήν η φωτεινή πηγή είναι πολύ µακριά, στο διάφραγµα που περιλαµβάνει τα δύο κυκλικά ανοίγ-

12

- 5 -

µατα το φως προσεγγίζει µε τη µορφή επιπέδου µετώπου κύµατος. Αν υποθέσουµε ότι τα ανοίγµατα συµπεριφέρονται µετά την πρόσπτωση του µετώπου σαν σηµεια-

(Σχ. 4)

κές πηγές, τότε µετά από αυτές, διαδίδονται δύο σφαιρικά µέτωπα κύµατος τα ο-ποία µερικώς συγκλίνοντα από τον κρυσταλλώδη φακό του µατιού, έρχονται σε ε-παλληλία και συµβάλλουν στον αµφιβληστροειδή του µατιού µας (Σχ. 5). Στην ε-πιφάνεια του αµφιβληστροειδή τότε αναπτύσσεται το πρότυπο συµβολής της (Εικ. 4β). Το ότι εµείς παρατηρούµε µέσω του διαφράγµατος να εµφανίζονται πάνω στην πηγή και γύρω της οφείλεται - όπως ήδη αναφέραµε - στο ότι το µάτι µας ‘‘βλέπει’’ τη σχηµατιζόµενη στον αµφιβληστροειδή εικόνα σαν να προέρχεται από διεύθυνση αντίθετη των προσπιπτουσών σ’ αυτόν διαταραχών. Αν πάρουµε τις προεκτάσεις

(Σχ.5)

της κατανοµής στον αµφιβληστροειδη σηµείο προς σηµείο µέσω του διαφράγµα-τος, αυτές θα προβάλλονται πάνω στο επίπεδο της πηγής εκεί δηλ. που εντοπίζεται η φαινοµένη θέση των κροσσών. Η σύνθετη εικόνα του προτύπου συµβολής της (Εικ. 4β) οφείλεται στην πραγµατικότητα στο ότι τα κυκλικά ανοίγµατα δεν είναι σηµειακά αλλά έχουν διαστάσεις. Κάτω από αυτές τις συνθήκες εµφανίζονται και φαινόµενα περίθλασης. Συµπερασµατικά, η εικόνα µας δείχνει το πρότυπο περί-θλασης από δύο κυκλικά ανοίγµατα.

13

- 6 -

1. Τα Η/Μ κύµατα και η διάδοσή τους. Εκποµπή ακτινοβολίας από ηλεκτρικό δίπολο. Ασύµφωνες και σύµφωνες πηγές φωτός

Η ανάδειξη της ύπαρξης Η/Μ κυµάτων, οφείλεται στις εργασίες του J.C. Maxwell (1860). Αφορούσαν τη θεωρητική γενίκευση των ήδη υπαρχόντων νόµων του ηλεκτρισµού και του µαγνητισµού. Οι νόµοι αυτοί είχαν προκύψει από την ε-πεξεργασία πειραµατικών δεδοµένων και ήταν: ο νόµος της επαγωγής του Faraday, ο ηλεκτρικός και µαγνητικός νόµος του Gauss καθώς και ο νόµος του Ampère (βλ. Πόλωση του φωτός § 1.1). Ο συνδυασµός τους, µε τη βοήθεια του διανυσµατικού λογισµού οδήγησε στην ανάδειξη δύο διαφορικών εξισώσεων για τα πεδιακά µεγέ-θη της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου E καθώς και της µαγνητικής επαγωγής B. Η µορφή αυτών των εξισώσεων παραπέµπει κατ’ ευθείαν στο γεγονός ότι η φύση των E και B είναι κυµατική σε σχέση µε τις συντεταγµένες του χώρου και του χρόνου. Πρόκειται δηλ. για ‘‘τρέχοντα’’ (διαδιδόµενα) στο κενό κύµατα µε ταχύτητα υ = 1/ οοµε . Όπου εο, µο είναι αντίστοιχα η ηλεκτρική και η µαγνητική διαπερατότητα

του κενού. Η χρησιµοποίηση από τον Maxwell των πειραµατικών αποτελεσµάτων των µετρήσεων (από το 1856) των R. Kohlrauch και W. Weber, για τη σταθερή εο (λαµβανόµενης της σταθερής µο αυθαίρετα), οδήγησε στον θεωρητικό υπολογισµό της ταχύτητας υ. Επρόκειτο για το σηµαντικό συµπέρασµα ότι η υ είναι η ταχύτητα του φωτός στο κενό. Πράγµατι η τελευταία, είχε µετρηθεί το 1849 από τον Fizeau µέσω ανεξαρτήτου πειράµατος και βρέθηκε ίση µε 315.300 km/s. Μέσα στα όρια των πειραµατικών σφαλµάτων, η τιµή της ταυτιζόταν µε την υπολογιζόµενη θεω-ρητικά από τον Maxwell. Οι κυµατικές εξισώσεις του Maxwell, µπορούν να εφαρµοστούν για ένα α-περιόριστο εύρος συχνοτήτων, που διαφέρουν µεταξύ τους περισσότερο από είκοσι τάξεις µεγέθους. Π.χ. από ηλεκτρικές διαταραχές µε ν ≅ 10Ηz µέχρι τις κοσµικές ακτίνες µε ν≅1024Ηz (βλ. Π.Α.Α.Φ, ΠΑΡ/ΜΑ 5, (Πιν. Ι)). Οι ηλεκτρικές αυτές δια-ταραχές παράγονται κάθε φορά - ανάλογα µε τη φασµατική τους περιοχή - από διαφορετικού είδους πηγές. ∆ιαφορετικά επίσης είναι και τα όργανα που τις ανι-χνεύουν. Στη µελέτη που θ’ ακολουθήσει, το ενδιαφέρον µας εστιάζεται αποκλει-στικά σχεδόν στην λεγόµενη ορατή περιοχή του Η/Μ φάσµατος της οποίας το φα-σµατικό εύρος εκτείνεται µεταξύ περίπου των 3.84x1014 Ηz και των 7.69x1014 Ηz. Τα Η/Μ κύµατα, (διαταραχές), σ’ αυτές τις συχνότητες, παράγονται από η-λεκτρικά δίπολα, όπου σαν δίπολο θα θεωρήσουµε το ταλαντούµενο αρµονικά αρ-νητικό φορτίο (ηλεκτρονικό νέφος) των εξωτερικών συνήθως ηλεκτρονίων των α-τόµων σε σχέση µε τον θετικό τους πυρήνα (βλ. Πόλωση του φωτός κεφ. 2 καθώς και Π.Α.Α.Φ §4.1). Η συγκεκριµένη ταλάντωση οδηγεί σε εκποµπή Η/Μ ακτινοβο-

14

- 7 -

λίας. Η ιδιοµορφία όµως αυτού του είδους της εκποµπής από τα άτοµα της ύλης, συνίσταται στο ότι είναι πολύ µικρής χρονικής διάρκειας (≅10-8s). Το γεγονός είναι άκρως καθοριστικό προκειµένου να µελετήσουµε φαινόµενα συµβολής δηλ. συσχε-τισµού Η/Μ διαταραχών, που αποτελεί το αντικείµενο αυτής της εργασίας. Τελικά δηλ. τα άτοµα µε την µορφή διπόλων, θα εκπέµπουν διαταραχές (Η/Μ κύµατα) πε-περασµένου µήκους και διάρκειας (κυµατο-συρµούς). Σε αντιδιαστολή µε τον προ-αναφερόµενο τρόπο εκποµπής, µια κεραία στην περιοχή των ραδιοκυµάτων, µπορεί να εξαναγκαστεί να εκπέµπει Η/Μ ακτινοβολία για πολύ µεγάλο (θεωρητικό άπει-ρο) χρονικό διάστηµα. Το γεγονός θα έχει σαν συνέπεια τη διάδοση στο χώρο δια-ταραχών πολύ µεγάλου µήκους. Γίνεται τελικά εµφανές από τους δύο προηγούµε-νους µηχανισµούς εκποµπής ότι θα είναι πολύ πιο εύκολο να συσχετίσουµε (µετά βέβαια από διαχωρισµό τους σε δύο ή περισσότερες δέσµες και οδήγηση σε κοινή περιοχή) ραδιοκύµατα παρά δέσµες φωτός. 1.1. Επίπεδα αρµονικά Η/Μ κύµατα. Φάση και ταχύτητα φάσης

Στην παρούσα µελέτη τα µέσα διάδοσης θεωρούµε ότι είναι διαφανή διηλε-

κτρικά (δηλ. µονωτές) που παρουσιάζουν πολύ µικρή απορρόφηση. Επίσης είναι οµογενή και ισότροπα, που σηµαίνει ότι οι ιδιότητές τους (π.χ. η ταχύτητα του φω-τός) δεν αλλάζουν από σηµείο σε σηµείο και είναι ίδιες προς κάθε κατεύθυνση. Τα επίπεδα αρµονικά Η/Μ κύµατα τα διαδιδόµενα σε τέτοια µέσα απείρων διαστάσε-ων, προκύπτουν σαν λύσεις των κυµατικών εξισώσεων του Maxwell ως προς την ένταση E του ηλεκτρικού πεδίου καθώς και την µαγνητική επαγωγή B. Οι προανα-φερόµενες κυµατικές εξισώσεις όπως είναι γνωστό (βλ. Πόλωση του φωτός §1.1), προέρχονται από τις τέσσερις διαφορικές εξισώσεις που σχηµατίζουν τα δυναµικά (χρονικά µεταβαλλόµενα) πεδία E και B σε περιοχές όπου υπάρχουν φορτία (πυ-κνότητας ρ) όπως επίσης και ρεύµατα (µε αγωγιµότητα του µέσου σ). Αν όµως θε-ωρήσουµε ότι ρ = 0 και σ = 0, τότε οι εξισώσεις αυτές γράφονται:

t∂∂

×∇BΕ - =

(1.1.1) 0 =⋅∇ E (1.1.2)

0 =⋅∇ B (1.1.3) t εµ ∂∂

×∇ΕB = (1.1.4)

όπου ε, µ η ηλεκτρική και η µαγνητική διαπερατότητα του µέσου διάδοσης. Όµως: ε = kE εο (1.1.5) και µ = kM µο (1.1.6) εο, µο είναι η ηλεκτρική και η µαγνητική διαπερατότητα του κενού. kΕ η διηλεκτρι-κή σταθερή του µέσου και kΜ η αντίστοιχη µαγνητική. Για τον κενό χώρο για τον οποίο kΕ = 1, kM = 1 οι εξισώσεις (1.1.1 - 1.1.4) γράφονται:

t - = ∂∂

×∇BE (1.1.7) 0 =⋅∇ E (1.1.8)

15

- 8 -

0 =⋅∇ B (1.1.9) t

µε oo ∂∂

×∇ΕB = (1.1.10)

Εκτελώντας την πράξη της στροφής στις (σχ. 1.1.7, 1.1.10) και µε τη βοήθεια του διαφορικού διανυσµατικού λογισµού προκύπτουν οι κυµατικές εξισώσεις του Maxwell:

0 =∂∂

∇ 2

2

oo2

t µ - ε ΕE (1.1.11), 0 =

∂

∂∇ 2

2

oo2

t

µ - εB

B (1.1.12)

των οποίων οι λύσεις ως προς E και B είναι συναρτήσεις του χώρου και του χρόνου που παριστάνουν µη αποσβεννύµενα κύµατα που διαδίδονται µε ταχύτητα

0 01c ε µ= . Στην πραγµατικότητα πρόκειται για έξι τον αριθµό διαφορικές εξισώ-

σεις της µορφής 0 2tψ/2οµο εψ2 =∂∂−∇ όπου ψ είναι η κάθε µία από τις συνι-

στώσες Εx, Ey, Ez, Bx, By, Bz του ηλεκτρικού πεδίου E και της µαγνητικής επαγωγής B. Όπως αναφέραµε και στην εισαγωγή του κεφαλαίου, η ταχύτητα διάδοσης είναι αυτή του φωτός µε τιµή:

c = 2.9979 x108 m/s.

Για ένα καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων, οι δ.ε. (1.1.11, 1.1.12) επαληθεύονται από αρµονικές (συνηµιτονικές) συναρτήσεις, οι οποίες εκφραζόµενες σε µιγαδική µορφή (βλ. ΠAP/MA 1) γράφονται:

( )rkEE ⋅−= ωtj

oe (1.1.13), ( )rkBB ⋅−= ωtjoe (1.1.14)

όπου τα φυσικά µεγέθη των E και B θα δίνονται από το πραγµατικό µέρος των πα-ραπάνω σχέσεων:

( ) cos o rkEE ⋅= ωt - (1.1.15), ( ) - cos o rkBB ⋅= ωt (1.1.16)

Τα Eo, Bo είναι διανύσµατα σταθερού µέτρου και ονοµάζονται πλάτη των αρµονι-κών διαταραχών. Στο σύστηµα Μ.Κ.S. το µέτρο του E εκφράζεται σε µονάδες Volt/m ενώ του B σε Tesla. Η σταθερότητα του µέτρου, αποτελεί ένα από τα κύρια χαρακτηριστικά του µη αποσβεννύµενου επιπέδου κύµατος. Το k ονοµάζεται κυ-µατοδιάνυσµα (wave vector), είναι κάθετο στις ισοφασικές επιφάνειες και χαρα-κτηρίζει τη διεύθυνση διάδοσης. r είναι το διάνυσµα θέσης (Σχ. 1.1.1α) ως προς το σύστηµα συντεταγµένων xyz (βλ. Πόλωση του φωτός § 1.2).

16

- 9 -

(Σχ. 1.1.1.)

Τα k και r εκφράζονται από τις σχέσεις:

cosα cosβ + cosγ= k k k+0 0 0k x y z (1.1.17)

ooo z + y = x zyxr + (1.1.18) όπου α, β, γ τα συνηµίτονα κατεύθυνσης ως προς xyz και x,y,z οι συντεταγµένες ως προς το ίδιο σύστηµα. = || k=k 2π/λ και ω = 2πν = 2π/Τ, όπου λ, Τ (Σχ. 1.1.3 α, β) το µήκος κύµατος και η περίοδος των αρµονικών κυµά-των. ν η συχνότητά τους. Το όρισµα των συνηµιτόνων στις (σχ. 1.1.15, 1.1.16) ονοµάζεται φάση (phase) των κυµάτων και όπως βλέπουµε εξαρτάται από το χρόνο t και τις συντε-ταγµένες του χώρου x,y,z. Εάν στις σχέσεις αυτές βάλουµε όπου rk ⋅ = σταθ. που σηµαίνει kcos αx + kcos βy + kcos γz = σταθ., η τελευταία εξίσωση παριστάνει επί-πεδο. Πρόκειται για το επίπεδο µέτωπο κύµατος (plane wave front). Πράγµατι αν για µια ορισµένη χρονική στιγµή ενώσουµε όλα τα σηµεία για τα οποία ο χωρικός παράγοντας της φάσης rk ⋅ έχει µια ορισµένη τιµή ( rk ⋅ = σταθ.), τότε τα συγκε-κριµένα θα βρίσκονται πάνω σ’ ένα επίπεδο. Αυτός ακριβώς είναι ο λόγος για τον οποίο τα προαναφερόµενα κύµατα ονοµάζονται επίπεδα (Σχ. 1.1.1 α,β). Θεω-ρούµε τώρα τη διάδοση των παραπάνω κυµάτων κατά τη θετική διεύθυνση του z (k//z). Τότε επειδή α = β = 90ο θα έχουµε: ( )ωt - kzo cosEE = (1.1.19) και ( )ωt - kz o cosBB = (1.1.20) Επειδή όµως έχουµε υποθέσει για τα πλάτη Εο, Βο ότι κατά τη διάδοση το µέτρο τους παραµένει σταθερό, τότε τα Ε, Β, είναι ανεξάρτητα των συντεταγµένων x,y δηλ. 0// =∂∂=∂∂ yExE yx . Τότε µε βάση τη (σχ. 1.1.8)

0 / =∂∂=⋅∇ zEzE (1.1.21) όπου Ε ozoyox EEE zyx ++= . Άρα είτε θα είναι Εz = σταθ. δηλ. θα πρόκειται για ένα

οµογενές σταθερό πεδίο για το οποίο δεν ενδιαφερόµαστε εδώ, είτε:

17

- 10 -

Εz = 0 (1.1.22) H τελευταία σχέση µας δείχνει ότι το προς µελέτη επίπεδο κύµα δεν έχει συ-νιστώσα κατά τη z διεύθυνση δηλ. τη διεύθυνση διάδοσης. Τελικά πρόκειται για εγκάρσιο κύµα (transverse wave), όπου οι µεταβολές του Ε συµβαίνουν κάθετα στη διεύθυνση z. Η ίδια διαδικασία εφαρµοζόµενη και για το πεδίο Β µέσω της (σχ. 1.1.9) ( 0=⋅∇ B ) οδηγεί στο αποτέλεσµα: Βz = 0 (1.1.23) Για ν’ απλοποιήσουµε περαιτέρω την µορφή του επιπέδου Η/Μ κύµατος, θα υπο-θέσουµε ότι είναι γραµµικά πολωµένο(linear polarized). Η έννοια της γραµµικής πόλωσης αναφέρεται στο γεγονός ότι το πεδίο Ε (ή το πεδίο Β) είναι διανυσµατικό µέγεθος και κάθετο στον άξονα z. Εποµένως µπορεί ν’ αναλυθεί σε δύο συνιστώσες κατά x και y (Σχ. 1.1.2α). Όταν τώρα η διαφορά φάσης µεταξύ των δύο αυτών συνι-

(Σχ. 1.1.2)

στωσών είναι 0 ή π, τότε το επίπεδο κύµα ονοµάζεται γραµµικά πολωµένο. Το τε-λευταίο από φυσική άποψη σηµαίνει ότι η διεύθυνση του Ε κατά τη διάδοση του κύµατος είναι πάντα η ίδια, δηλ. το πεδίο ταλαντεύεται πάνω σ’ ένα επίπεδο που ορίζεται από τα k και Εο. Στην περίπτωση όµως που η διαφορά φάσης µεταξύ των δύο συνιστωσών Ε1, Ε2 είναι διάφορη του 0 ή του π και τα πλάτη τους είναι ίσα ή διαφορετικά, τότε αναδεικνύονται επίπεδα µεν µέτωπα κύµατος αλλά διαφορετικών καταστάσεων πόλωσης (βλ. Πόλωση του φωτός § 1.3). Επιλέγουµε λοιπόν χωρίς απώλεια της γενικότητας, ένα επίπεδο αρµονικό γραµµικά πολωµένο κύµα το οποίο πάλλεται στο επίπεδο xz:

( ) cos ωt - kzEE ox = ή Ε= ( ) oo ωt - kzE x cos (1.1.24) Άρα οι συνιστώσες του θα είναι:

( ) cos ωt - kzEE ox = , Εy=0 (σχ. 1.1.24), Εz = 0 (σχ. 1.1.22) Τότε µε τη βοήθεια της (σχ. 1.1.7) µπορούµε ν’ αποδείξουµε (βλ. Πόλωση του φω-τός ΠΑΡ/ΜΑ 1)ότι:

18

- 11 -

( ) cos oyB ωt - kzc

Eo= (1.1.25), δηλ. ( ) cEωt-kzc

EB xo

y / cos == (1.1.26)

και από τη (σχ. 1.1.26): Εx/ By = c ≅ 3x108 m/s (1.1.27) Τελικά βλέπουµε ότι το πεδίο Β είναι ορθογώνιο σε σχέση µε το Ε και έχουν δια-φορά φράσης µεταξύ τους ίση µε µηδέν (σχ. 1.1.26) (Σχ. 1.1.2β). Εποµένως µια Η/Μ διαταραχή µπορεί να περιγραφεί ισοδύναµα είτε µε τη βοήθεια του ηλεκτρι-κού πεδίου Ε είτε µε την µαγνητική επαγωγή Β. Για συγκεκριµένους λόγους επιλέ-γουµε το Ε. Σηµείωση Είναι γνωστό ότι το 1890 ο Wiener ανέδειξε πειραµατικά την ύπαρξη στασίµων Η/Μ κυµάτων (βλ. ΠΑΡ/ΜΑ 4 και § 8.3.3). Προσδιόρισε ότι η αµαύρωση ενός φω-τογραφικού film (στην περιοχή ύπαρξης των στασίµων κυµάτων) αντιστοιχούσε σε θέσεις όπου δηµιουργούνταν ‘‘κοιλίες’’ για την ένταση του ηλεκτρικού πεδίου και συµπέρανε εύλογα ότι το πεδιακό µέγεθος το οποίο προκαλεί φωτοχηµικές διεργα-σίες είναι το Ε και όχι η µαγνητική επαγωγή Β. Πράγµατι οι δυνάµεις που ασκού-νται στα ηλεκτρόνια λόγω της τελευταίας είναι πάρα πολύ µικρές σε σύγκριση µε αυτές που προκαλεί το ηλεκτρικό πεδίο. Με παρόµοιο τρόπο οι Drude και Nernst απέδειξαν ότι το Ε είναι υπεύθυνο της δηµιουργίας του φαινοµένου του φθορισµού. Οι προαναφερόµενοι λόγοι οδήγησαν στη υιοθέτηση της περιγραφής των οπτικών διαταραχών µε τη βοήθεια της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου.

Φάση και ταχύτητα φάσης Σαν βαθµωτό µέγεθος, η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου για ένα γραµµικά πολωµένο κύµα (σχ. 1.1.24) γράφεται: 0( , ) cos( )E z t E t kzω= − (1.1.28) όπου το όρισµα (ωt – kz), χαρακτηρίζεται κατά τα γνωστά σαν φάση του κύµατος. Η τιµή του Ε για t=0, z=0 θα είναι Ε (z,t) = Eο σχετικά µε την χρονική έναρξη της διαταραχής και την αρχή του συστήµατος συντεταγµένων. Είναι δυνατόν όµως η τιµή του Ε για t=0, z=0 να έχει µια οποιαδήποτε τιµή µεταξύ των –Εο και Εο. Αυτό επιτυγχάνεται αν προσθέσουµε µια επιπλέον σταθερή στο όρισµα της φάσης. Τότε η (σχ. 1.1.28) γράφεται: ( ) ( )0, cosE z t E t kzω θ= − + (1.1.29)

Οι γραφικές παραστάσεις της τελευταίας συναρτήσει του z (για t = 0) και του t (για z=0) και για µια αρχική ονοµαζόµενη φάση θ ≠ 0 δίνονται αντίστοιχα στα

19

- 12 -

(Σχ. 1.1.3)

(Σχ. 1.1.3α,β). Το (Σχ. 1.1.3α) παριστάνει ένα ‘‘στιγµιότυπο’’ του κύµατος για µια ορισµένη χρονική στιγµή (έστω t=0) και του οποίου η χωρική περίοδος είναι το µήκος κύµατος (wave length) λ. Στο (Σχ. 1.1.3β) φαίνεται η χρονική µεταβολή του Ε σε ένα συγκεκριµένο σηµείο του άξονα z (έστω z=0) µε περίοδο (period) T.

Το κύµα όµως είναι µια διαδιδόµενη χωροχρονική διαταραχή. Μας ενδιαφέ-ρει λοιπόν άµεσα να υπολογίσουµε την ταχύτητα µε την οποία διαδίδεται ‘‘σαν ό-λο’’ ή πιο συγκεκριµένα ένα οποιοδήποτε σηµείο του. Το σηµείο όµως αυτό, θα έ-χει το ίδιο πλάτος κατά τη διάρκεια της µετακίνησής του και για να συµβαίνει κάτι τέτοιο θα πρέπει και η φάση του φ=ωt – kz +θ να είναι σταθερή. Στην πραγµατικό-τητα είµαστε υποχρεωµένοι να υπολογίσουµε την µεταβολή dz/dt για φ=σταθ. Επο-µένως από τη σχέση:

φ=ωt – kz +θ = σταθ. ⇒ σταθ. += tkωz και επειδή ω,k,θ = σταθ.

θα έχουµε:

ph υkω

.φdtdz ==

=σταθ (1.1.30)

Η υph ονοµάζεται ταχύτητα φάσης (phase velocity). Στο (Σχ. 1.1.3γ) βλέπουµε δια-δοχικά για t = t1, t2, t3 την µετακίνηση ενός σηµείου σταθερής φάσης, να καταλαµ-βάνει τις θέσεις 1→2→3. Αυτό επιτυγχάνεται µε τη βοήθεια της γραφικής παρά-στασης τριών ‘‘στιγµιοτύπων’’ στους αντίστοιχους χρόνους. Η τιµή της υph για δια-διδόµενα στο κενό Η/Μ κύµατα είναι η ταχύτητα του φωτός c δηλ. υph = c = 1 /

οοµε . Όταν όµως έχουµε διάδοση σε οµογενές και ισότροπο µέσο, τότε η ταχύτη-

τα φάσης των κυµάτων όπως αυτή προκύπτει µε τη βοήθεια των κυµατικών εξισώ-

20

- 13 -

σεων του Maxwell θα δίνεται από τη σχέση: υph=υ= =1/ εµ όπου κατά τα γνωστά: ε = kEεο και µ =kMµο. Ο λόγος n = c/υ της ταχύτητας διάδοσης στο κενό προς την ταχύτητα στο µέσο δηλ. ο n= (εµ/εοµο)½ = ME kk ⋅ ονοµάζεται δείκτης διάθλασης (refractive index). Έχουµε ήδη αναφέρει ότι το εύρος συχνοτήτων των Η/Μ ακτινοβολιών είναι πολύ µεγάλο (βλ. Π.Α.Α.Φ. ΠΑΡ/ΜΑ 5(Πιν. Ι)). Όσον αφορά την ορατή περιοχή (εκεί δηλ. που η ακτινοβολία προκαλεί την αίσθηση του φωτός, µέσω του µατιού (βλ. Γεωµετρική οπτική § 10.1) και του οπτικού φλοιού του εγκεφάλου) το εύρος της εκτείνεται µεταξύ των 3.84x1014 και 7.69 x1014 Hz. Τα όρια συχνοτήτων των διαφόρων χρωµατικών περιοχών (χρώµατα της ίριδας) του φάσµατος, δίνονται στον (Πιν. 1.1.4). Συνήθως σαν µια µέση τιµή της συχνότητας για την ορατή περιοχή

Φως

Χρώµα Μήκος κύµατος στο κε-νό (nm)

Συχνότητα (Hz)

Κόκκινο 780-622 3.84 – 4.82 x 1014 Πορτοκαλί 622 – 597 4.82 – 5.03 x 1014 Κίτρινο 597 - 577 5.03 – 5.2 x 1014 Πράσινο 577 – 492 5.2 – 6.1 x 1014 Μπλε 492 – 455 6.1 – 6.59 x 1014 Iώδες 455 – 390 6.59 – 7.69 x 1014

(Πίν. 1.1.4)

λαµβάνεται η Hzν 1410 4 5 ×⋅= η οποία όσον αφορά το µ.κ. είναι: nm 555=λ . Αντι-στοιχεί κατά τα γνωστά (βλ. Π.Α.Α.Φ. § 2.1.1) στην περιοχή όπου η Σ.Κ.Φ.Ι (σχε-τική κατανοµή φασµατικής ισχύος) του ηλιακού φωτός έχει τη µέγιστή της τιµή. Σηµείωση Ο Newton που πρώτος ασχολήθηκε συστηµατικά µε την ανάλυση του φωτός, διέ-κρινε τα χρώµατα σε επτά, χωρίζοντας το µπλε σε βαθύ και ανοικτό. Αυτός είναι ο λόγος που πολλά βιβλία στοιχειώδους Οπτικής ανάγουν τα χρώµατα της ίριδας σε επτά, παρά το ότι ο διαχωρισµός ούτως ή άλλως είναι αυθαίρετος.

21

- 14 -

Παράδειγµα Θεωρούµε κατ’ αρχήν τη διάδοση στο κενό και κατά τη διεύθυνση z ενός αρµονικού γραµµικά πολωµένου Η/Μ κύµατος το οποίο περιγράφεται από την εξί-σωση: Εx (z,t) = 106 cos (2.8902 x 1015t – 9.64 x 106z). Να υπολογιστούν οι τιµές των πλατών Εο, Βο η συχνότητα ν καθώς και το µ.κ. λ. Ποια από τα προαναφερόµενα µεγέθη µεταβάλλονται αν θεωρήσουµε ότι το Η/Μ κύµα διαδίδεται σε τελείως διαφανές µέσο µε δ.δ. n = 1.51; • Από την ανάγνωση της εξίσωσης που περιγράφει το κύµα, βρίσκουµε (στο Μ.Κ.S. σύστηµα): Εο = 106 V/m, ω= 2.8902 x 1015 rad/s, k = 9.64 x 106 rad/m. Ε-πειδή το τελευταίο διαδίδεται στο κενό θα πρέπει ο παράγοντα ω/k ν’ αντιστοιχεί στην ταχύτητα c. Πράγµατι, βρίσκουµε ότι υ=c=2.9979 x108 m/s. Από την ω= 2πν θα έχουµε ν = 4.6 x 1014 Hz και από την k= 2π/λ: λ=651,71nm. Βλέπουµε δηλ. ότι βρισκόµαστε στην ‘‘κόκκινη’’ περιοχή του ορατού φάσµατος. Επίσης από τη (σχ. 1.1.27) θα έχουµε Boy = Εox / c = 106/2.9979x108 = 353,58 x 10-9 Tesla (1T=1kg/s⋅C). Εφόσον το µέσον θεωρείται τελείως διαφανές, τότε κατά τη διάδοση του Η/Μ κύµατος δεν θα έχουµε απορρόφηση άρα τα πλάτη Εοx, Boy θα παραµεί-νουν σταθερά. Θα έχουµε όµως µεταβολή του µ.κ. λ το οποίο είναι συνέπεια της ελάττωσης της ταχύτητας διάδοσης στο µέσο σε σχέση µε την αντίστοιχη στο κενό. Το µέγεθος που παραµένει αµετάβλητο είναι η συχνότητα ν. Η τελευταία µαζί µε την ιδιοσυχνότητα ταλάντωσης νο των δοµικών στοιχείων του υλικού, µέσω µιας σχέσης διασκεδασµού (βλ. Πόλωση του φωτός § 2.2 και ΠΑ.Α.Φ § 4.1) καθορίζουν το δ.δ. του, άρα και την ταχύτητα διάδοσης του φωτός στο εσωτερικό του. Τότε από το γνωστό τύπο n=c/υ επειδή n=1.51 και c= 2.9979x108 m/s βρίσκουµε: υ = 1.9853x108 m/s. Εποµένως υ= ω/k = (2πν) / (2π/λ) = λν οπότε υ = λν και επειδή υ,ν είναι γνωστά θα έχουµε: λ= 431.58nm. 1.2 Εκποµπή Η/Μ ακτινοβολίας από παλλόµενο αρµονικά

ηλεκτρικό δίπολο

Τα περιγραφόµενα στην προηγούµενη παράγραφο αφορούσαν τη διάδοση των Η/Μ διαταραχών (κυµάτων) σε οµογενή και ισότροπα διηλεκτρικά µέσα απεί-ρων διαστάσεων. Η ερώτηση που τίθεται εδώ είναι µε ποιο τρόπο παράγονται τα κύµατα και συγκεκριµένα αυτά της ορατής περιοχής του Η/Μ φάσµατος. Γνωρί-ζουµε ότι από τα απλούστερα συστήµατα εκποµπής ακτινοβολίας είναι το παλλό-µενο αρµονικά ηλεκτρικό δίπολο (βλ. Πόλωση του φωτός § 2.1 και Π.Α.Α.Φ § 4.1). Όπου σαν δίπολο εδώ θεωρούµε το ταλαντούµενο αρνητικό φορτίο, των εξωτερι-κών ηλεκτρονίων των ατόµων (το ηλεκτρονικό νέφος) σε σχέση µε τον θετικό τους

22

- 15 -

πυρήνα. Ένα τέτοιο σύστηµα παίζει θεµελιώδη ρόλο για την κλασική ερµηνεία όχι µόνο των διαδικασιών εκποµπής αλλά και του τρόπου διάδοσης της ακτινοβολίας µέσω της ύλης. Στην προκειµένη περίπτωση η ηλεκτρική διπολική ροπή του διπό-λου (βλ. Πόλωση του φωτός 2.1) θα δίνεται από τη σχέση: o cos cosq ql ωt ωt= = =p r e p (1.2.1) όπου q το φορτίο του ηλεκτρονίου, l το πλάτος της ταλάντωσης (Σχ. 1.2.1 α) και e το µοναδιαίο διάνυσµα κατά µήκος του άξονα του διπόλου µε φορά από το

(Σχ. 1.2.1)

αρνητικό προς το θετικό φορτίο. po= ql είναι η µέγιστη διπολική ροπή και ω= 2πν, όπου ν η συχνότητα ταλάντωσης. Αν υποθέσουµε ότι το δίπολο πάλλεται κατά µή-κος του άξονα z (Σχ. 1.2.1β) τότε µε τη βοήθεια της κλασσικής Η/Μ θεωρίας απο-δεικνύεται ότι σε ένα σηµείο P που έχει πολικές συντεταγµένες (r, θ, φ), αναπτύσ-σονται δύο συνιστώσες του ηλεκτρικού πεδίου Eθ, Εr (δηλ. µεσηµβρινή και ακτινι-κή) καθώς και η αζιµουθιακή συνιστώσα Bφ της µαγνητικής επαγωγής. Τα προανα-φερόµενα πεδία πάλλονται αρµονικά µε συχνότητα ν ίδια µ’ αυτή του διπόλου και διαδίδονται κατά µήκος τη ΟΡ= r όπου Ο το κέντρο του διπόλου. Χρησιµοποιώ-ντας µιγαδικές εκφράσεις, τα πεδία µπορούν να γραφούν σαν τα πραγµατικά µέρη των σχέσεων:

( )ωt - krjo22

θ erθp

krj

krπεk E

sin111

4 ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= (1.2.1)

( )ωt - krjo22

r erθp

krj

kr

πεk E

cos12124 ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= (1.2.2)

23

- 16 -

( )ωt - krjo22

φ erθp

1kr1j

πυµk B

sin4 ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= (1.2.3)

όπου ε = kE εο, µ= kΜεο οι διαπερατότητες του µέσου διάδοσης, k = 2π/λ το µέτρο του κυµατοδιανύσµατος και λ το µ.κ. k= 2π/λ= 2πn/λο όπου n ο δ.δ. του µέσου και λο το µ.κ. στο κενό. υ=ν⋅λ η ταχύτητα διάδοσης (ταχύτητα φάσης). Για τη µέση πε-ριοχή του ορατού φάσµατος όπου λ ≅550 nm = 0.55x10-3mm ο λόγος 1/kr < 0.01 για r>0.009 mm. Τότε οι όροι 1/kr και (1/kr)2 είναι αµελητέοι, οπότε οι (σχ. 1.2.1-1.2.3) µπορούν να γραφούν ως εξής:

( )ωt - krjo2

θ erθp

πεk - E

sin4 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= (1.2.4)

( )ωt - krjo2

φ erθp

πυµkB

sin4

- ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= (1.2.5)

Εr = 0 (1.2.6) Βλέπουµε δηλ. ότι η περιοχή για την οποία ισχύουν, είναι πολύ µακριά από το δί-πολο ( )r λ>> και ονοµάζεται ζώνη ακτινοβολίας (wave zone). Το πεδίο λοιπόν θ’ αποτελείται από µια ηλεκτρική συνιστώσα Εθ εφαπτόµενη του µεσηµβρινού επιπέ-δου που περνάει από το σηµείο Ρ και µια µαγνητική Βφ εφαπτόµενη του ισηµερινού επιπέδου (αζιµουθιακή) (Σχ. 1.2.2α), που είναι µεταξύ τους ορθογώνιες. Επίσης εί-ναι κάθετες προς τη διεύθυνση διάδοσης ΟΡ δηλ. του k. Τα πλάτη τους

(Σχ. 1.2.2)

Εο(r =σταθ., θ, φ=σταθ.) και Βο (r = σταθ., θ, φ= σταθ.) έχουν µέγιστη τιµή στο ι-σηµερινό επίπεδο (θ=90ο) και µηδενική κατά τη διεύθυνση ταλάντωσης του διπό-

24

- 17 -

λου (θ=0ο). Τελικά οι στιγµιαίες τιµές των Ε=Εθ και Β=Βφ δίνονται από τις σχέ-σεις: Ε = Εο cos (ωt – kr) (1.2.7), B= Bo cos (ωt – kr) (1.2.8)

όπου rθp

πεkE o sin4

- 2

o ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= και sin

4- o r

θpπυµkB o

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= (1.2.9)

Στο (Σχ. 1.2.2β) δίνεται η γραφική παράσταση σε πολικές συντεταγµένες µιας συνάρτησης αναλόγου του Εο (ή Βο) για r = σταθ. Πρόκειται βασικά για το διάγραµµα της συνάρτησης sinθ (0≤ θ ≤ π, r = σταθ, 0≤ φ ≤ 2π) που έχει τη µορφή τοροειδούς. Η ακτινική απόσταση από το κέντρο του τοροειδούς (κέντρο του διπό-λου) µέχρις την επιφάνειά του θα είναι ανάλογη των ποσοτήτων Εο (ή Βο). Στο ίδιο σχήµα φαίνεται χαρακτηριστικά η απουσία εκπεµπόµενης ακτινοβολίας κατά τη διεύθυνση ταλάντωσης του διπόλου. Για την περιοχή της ζώνης ακτινοβολίας (r >>λ) παρατηρούµε τα εξής: α) Από τις (σχ. 1.2.7, 1.2.8) προκύπτει ότι η διαφορά φάσης µεταξύ των E και B είναι µηδέν. β) Από τις ίδιες σχέσεις συνάγουµε ότι Ε/Β = Εο/Βο = 1/υεµ = υ. Όπου υ εί-ναι η ταχύτητα διάδοσης των διαταραχών στο µέσο. Εάν ε = εο και µ = µο τότε υ=c, δηλ. η ταχύτητα του φωτός στο κενό. γ) Είναι πολύ εύκολο ν’ αποδειχθεί ότι η πυκνότητα ενέργειας του ηλεκτρικού πεδίου uE = εοΕ 2

o /2, είναι ίση µε αυτήν του

µαγνητικού πεδίου uB=B 2o /2µο για το διαδιδόµενο Η/Μ κύµα. Τα προαναφερόµενα

µας οδηγούν στο συµπέρασµα ότι τα E και B για περιοχές µακριά από το ταλα-ντούµενο ηλεκ. δίπολο σε µια ορισµένη διεύθυνση διάδοσης, σχετίζονται µεταξύ τους µε τον ίδιο ακριβώς τρόπο όπως στην περίπτωση της διάδοσης του επιπέδου Η/Μ κύµατος (§1.1). Το επίπεδο βέβαια Η/Μ κύµα κατά τα γνωστά έχει σταθερό πλάτος (Εο και Βο), ενώ από τις (σχ. 1.2.7, 1.2.8) τα πλάτη Εο, Βο του εκπέµποντος διπόλου είναι συνάρτηση των r και θ. Εντούτοις θα δούµε στα επόµενα τον τρόπο µε τον οποίο µπορούµε να δηµιουργήσουµε επίπεδα και σφαιρικά µέτωπα κύµατος µε τη βοήθεια πηγών, που αποτελούνται από ένα πολύ µεγάλο αριθµό εκπεµπόντων ηλεκτρικών διπόλων. 1.3 Χαοτικές πηγές φωτός και πηγές Laser

Στις χαοτικές πηγές φωτός (βλ. Π.Α.Α.Φ. κεφ. 2) περιλαµβάνονται δύο βα-

σικά είδη: οι θερµικές πηγές (όπως είναι: οι λυχνίες πυράκτωσης, αλογόνου κ.λ.π.) καθώς και οι πηγές ηλεκτρικής εκκένωσης αερίων ή ατµών υγρών και στερεών (ό-πως π.χ. οι λυχνίες αίγλης, οι φασµατικές λυχνίες κ.λ.π.). Κύριο χαρακτηριστικό αυτών των πηγών είναι ότι στο χώρο που καταλαµβάνουν, περιλαµβάνεται συνή-θως ένας τεράστιος αριθµός ατοµικών εκποµπών (ατόµων ή µορίων) τα οποία έ-χουν τη δυνατότητα κάτω από ορισµένες συνθήκες σαν ηλεκτρικά δίπολα να εκπέ-

25

- 18 -

µπουν Η/Μ ακτινοβολία της µορφής που περιγράψαµε προηγουµένως. Τέτοιου εί-δους όµως εκποµπή, χαρακτηρίζεται από τις εξής ιδιοµορφίες: α) Οι άξονες των δι-πόλων έχουν τυχαίο προσανατολισµό. Πράγµατι τα άτοµα (στα στερεά και υγρά) δονούνται κατά τυχαίο τρόπο ή κινούνται συγκρουόµενα (στα αέρια και τους α-τµούς) µε συνέπεια ν’ αλλάζουν ταχύτητα προσανατολισµό. β) Η εκποµπή ακτινο-βολίας του ενός ατόµου σε σχέση µε τα άλλα γίνεται σε εντελώς τυχαίους χρόνους όπως εντελώς τυχαίοι είναι και οι χρόνοι µεταξύ των εκποµπών από το ίδιο άτοµο. γ) Για την περίπτωση εκποµπής ακτινοβολίας στην ορατή περιοχή του Η/Μ φάσµα-τος, η διάρκεια εκποµπής (χρόνος διέγερσης – αποδιέγερσης του ατόµου) είναι πο-λύ µικρή, της τάξης των 10-8s, µε συνέπεια την εκποµπή περιορισµένης χρονικά διαταραχής (εκποµπή κυµατοσυρµού) πεπερασµένου αριθµού περιόδων.

(Σχ. 1.3.1)

Αποτέλεσµα των προαναφερόµενων συνθηκών εκποµπής φωτός, είναι το γε-

γονός ότι το ηλεκτρικό πεδίο (διάνυσµα E) σ’ ένα σηµείο Ρ (Σχ. 1.3.1) σε ορισµένη απόσταση από την πηγή, θα αλλάζει ταχύτητα: α) προσανατολισµό σαν αποτέλε-σµα της στιγµιαίας επαλληλίας του συνόλου των διαταραχών και β) την φάση του, λόγω του εντελώς τυχαίου χρόνου εκποµπής των κυµατοσυρµών από την πηγή. Ακόµα και στην περίπτωση παρεµβολής ενός γραµµικού πολωτή µεταξύ πηγής και σηµείου Ρ, η τυχαιότητα της µεταβολής στη φάση δεν αίρεται (βλ. Πόλωση του φωτός § 4.2). Επίσης για δύο τυχαία σηµεία Ρ1 και Ρ2 του πεδίου που δηµιουργεί µια τέτοια πηγή, η διαφορά φάσης δεν είναι σταθερή αλλά µεταβάλλεται χρονικά. Το ίδιο συµβαίνει και για ένα οποιοδήποτε σηµείο Ρ του πεδίου µεταξύ ίσων χρονι-κών διαστηµάτων. Τα προαναφερόµενα χαρακτηρίζουν το πεδίο µιας ασύµφωνης πηγής φωτός (incoherent light source).

Ένας εντελώς διαφορετικός τρόπος εκποµπής φωτός γίνεται µέσω των πη-γών Laser, Εδώ τα άτοµα εκπέµπουν κυµατοσυρµούς µε προτρεπόµενο τρόπο (stimulated emission) (βλ. Π.Α.Α.Φ. κεφ.3) σε ειδική κοιλότητα συντονισµού (Σχ. 1.3.2) η οποία οριοθετείται από ένα αδιαφανές και ένα ηµιδιαφανές κάτοπτρο. Το

26

- 19 -

ενεργό µέσο (π.χ. µίγµα αερίων He-Ne) διεγείρεται από κατάλληλο ηλεκτρικό σύ-στηµα. Τότε η εκποµπή κυµατοσυρµού από ένα άτοµο ‘‘προτρέπεται’’ (εξαναγκά-ζεται) από άλλο κυµατοσυρµό, οι παραγόµενοι προτρέπουν άλλους κ.ο.κ. µε κύριο όµως χαρακτηριστικό ότι οι συνολικά παραγόµενοι να βρίσκονται σε φάση.

(Σχ. 1.3.2)

Οι συνεχείς διαβάσεις των κυµατοσυρµών µέσω του ενεργού µέσου µεταξύ των κα-τόπτρων της κοιλότητας συντονισµού, ενισχύει περαιτέρω την εκποµπή µε επιπλέ-ον εν φάσει κυµατοσυρµούς και τελικά ένα ποσοστό τους διαφεύγει από το ηµιδια-φανές κάτοπτρο δηµιουργώντας τη δέσµη Laser. Επειδή όµως οι εξερχόµενοι κυµα-τοσυρµοί βρίσκονται σε φάση στην πραγµατικότητα είναι σαν ν’ αυξάνεται το µή-κος τους άρα και η µονοχρωµατικότητα της δέσµης (βλ. κεφ. 6). Τα Laser αποτε-λούν παράδειγµα συµφώνων πηγών φωτός (coherent light source). Για δύο δια-φορετικά σηµεία Ρ1, Ρ2 του πεδίου της δέσµης θα έχουµε σταθερότητα στη διαφορά φάσης για αρκετά µεγάλα χρονικά διαστήµατα όπως και για ένα σηµείο Ρ µεταξύ ίσων χρονικών διαστηµάτων. Θα πρέπει όµως ν’ αναφέρουµε ότι οι ασύµφωνες και οι σύµφωνες πηγές φωτός όπως έχουν περιγραφεί προηγουµένως είναι σχετικά α-κραίες περιπτώσεις αν και χρησιµοποιούνται κατά κόρον. Συνήθεις πηγές φωτισµού των διαφόρων οπτικών διατάξεων όπως και των συµβολοµετρικών είναι: α) Οι θερµικές πηγές λευκού φωτός (λυχνίες πυρακτώσεως) µε πολύ µικρό βαθµό συµ-φωνίας. β) Οι φασµατικές λυχνίες που εκπέµπουν ψευδοµονοχρωµατικό φως µι-κρού γενικά βαθµού συµφωνίας και γ) διάφοροι τύποι Laser, µε πολύ µεγάλο σχε-τικά µε τις προηγούµενες βαθµό συµφωνίας. Η συµφωνία στην οποία αναφερόµα-στε είναι η χρονική και αφορά- µιλώντας απλουστευτικά- το µήκος των παραγοµέ-νων κυµατοσυρµών από κάθε πηγή. Το τελευταίο όπως θα δούµε αναλυτικά, σχετί-ζεται άµεσα µε το φασµατικό εύρος εκποµπής των πηγών. Θα διαπιστώσουµε ότι όσο µεγαλύτερος είναι ο βαθµός συµφωνίας των εκπεµποµένων πεδίων, τόσο πιο

27

- 20 -

εύκολος θα είναι ο συσχετισµός τους και άρα τόσο µεγαλύτερη πιθανότητα θα υφί-σταται προκειµένου να εµφανιστούν φαινόµενα συµβολής. Το παραγόµενο από µια πηγή συνολικό ηλεκτρικό πεδίο σ’ ένα σηµείο, σαν επαλληλία των πεδίων των ατοµικών διπόλων, χαρακτηρίζεται από την ένταση E, η οποία είναι διανυσµατικό µέγεθος. Συνήθως όµως σε πρακτικά προβλήµατα φωτι-σµού διατάξεων, χρησιµοποιούµε δέσµες φωτός που προέρχονται από εκτεταµένες πηγές ή ακόµα και µικρής έκτασης (σηµειακές), αλλά επιθυµούµε να είναι µικρής γωνιακής απόκλισης. Για την περίπτωση αυτή θα ισχύει sinθ≅θ, όπου θ είναι η γω-νία µεταξύ των οριακών ακτίνων της δέσµης. Πειραµατικά το τελευταίο επιτυγχά-νεται όπως φαίνεται στα (Σχ. 1.3.3. α,β) µέσω παρεµβαλλοµένων διαδοχικών δια-φραγµάτων ή όπως θα δούµε αµέσως µετά, µε το συνδυασµό διαφραγµάτων και φακών.

(Σχ. 1.3.3)

Κάτω από αυτές τις συνθήκες, τα διανύσµατα Ε των πεδίων (κατά µήκος των δεσµών) που εκπέµπονται από τα ατοµικά δίπολα των πηγών, είναι σχεδόν πα-ράλληλα και κάθετα στη διεύθυνση διάδοσης k. Το συγκεκριµένο γεγονός µας δι-ευκολύνει στο να περιγράψουµε το πεδίο της δέσµης σαν βαθµωτό µέγεθος, εφόσον σ’ οποιοδήποτε σηµείο οι συνιστώσες του θα είναι παράλληλες. Αν επίσης η πηγή είναι χαοτική (ή πηγή Laser χωρίς όµως µηχανισµό επιλογής συγκεκριµένης κατά-στασης πόλωσης), τότε το φως της δέσµης θα είναι φυσικό (βλ. Πόλωση του φωτός § 3.4). ∆ηλ. θα διακρίνεται από µια τυχαία κατάσταση πόλωσης λόγω του τυχαίου τρόπου που εκπέµπει κάθε ατοµικό δίπολο της πηγής. Προκειµένου τότε οι διευ-θύνσεις των E να είναι οι ίδιες δηλ. τα Ε να πάλλονται στο ίδιο επίπεδο κάθετα στη διεύθυνση διάδοσης, µπορούµε το πεδίο της δέσµης να το καταστήσουµε γραµµικά πολωµένο παρεµβάλλοντας µετά το διάφραγµα ένα γραµµικό πολωτή κάθετα στη διεύθυνση διάδοσης. Θα πρέπει τέλος να επισηµάνουµε την τελική οµοιογένεια του συνολικού ηλεκτρικού πεδίου προς όλες τις διευθύνσεις διάδοσης στο εσωτερικό της προαναφερόµενης δέσµης σε αντίθεση µε τη ανοµοιογενή µορφή του πεδίου

28

- 21 -

εκποµπής ενός εκάστου των ατοµικών διπόλων (Σχ. 1.2.2 β). Η οµοιογένεια της δέ-σµης επιτυγχάνεται τελικά, λόγω της ύπαρξης του τεράστιου αριθµού των ατοµι-κών διπόλων της πηγής και της συνεπαγοµένης για το καθένα τυχαίας διεύθυνσης των αξόνων ταλάντωσής τους. Το γεγονός αυτό µας οδηγεί στο να δεχτούµε τελικά και την οµοιογένεια της ενέργειας ανά µονάδα επιφάνειας και ανά µονάδα χρόνου (δηλ. της έντασης του φωτός που εκπέµπεται προς όλες τις διευθύνσεις διάδοσης στο εσωτερικό της δέσµης). Προκειµένου ν’ αναπτύξουµε ένα επίπεδο µέτωπο κύµατος από µια εκτετα-µένη πηγή, θα πρέπει κατ’ αρχήν, ν’ αποµονώσουµε ένα πολύ µικρό της τµήµα κατ’ ευθείαν ή κατόπιν απεικόνισής της (Σχ. 1.3.4). Στη θέση της πηγής ή του ειδώλου της, τοποθετούµε διάφραγµα που περιέχει ένα µικρό άνοιγµα. Το τελευταίο θ’ απο-

(Σχ. 1.3.4)

τελέσει µια σηµειακή πηγή, η οποία θα εκπέµπει κατά προσέγγιση οµογενώς στο χώρο ένα σφαιρικό µέτωπο κύµατος. Αν η δευτερεύουσα πηγή (το άνοιγµα του δι-αφράγµατος) βρίσκεται στο πίσω εστιακό επίπεδο ενός θετικού χωρίς σφάλµατα φακού, τότε το µέτωπο κύµατος που αναδύεται από αυτόν θα είναι κατά προσέγγι-ση επίπεδο. Όσο πιο µικρών διαστάσεων είναι η ‘‘σηµειακή’’ πηγή, τόσο µεγαλύ-τερη ‘‘επιπεδότητα’’ θα έχει το µέτωπο κύµατος. Η ‘‘σηµειακότητα’’ µιας πηγής εξεταζόµενη πιο αυστηρά (βλ. ΠΑΡ/ΜΑ 2), εξαρτάται από την έννοια της περιοχής της χωρικής συµφωνίας που δηµιουργεί σε µια ορισµένη απόσταση από αυτήν. Τό-τε λαµβάνονται υπόψιν και οι διαστάσεις της ίδιας της πηγής. Πολύ µεγάλης ‘‘επι-πεδότητας’’ µέτωπα κύµατος παίρνουµε µε φως που εκπέµπεται από πηγές Laser (βλ. Περίθλαση του φωτός……). Στην τελευταία όµως περίπτωση σταθερή είναι η φάση από σηµείο σε σηµείο σε µια τοµή κάθετη στη διεύθυνση διάδοσης της δέ-σµης. Όχι όµως και η ένταση του φωτός Ι από το κέντρο προς την περιφέρειά της. Αποδεικνύεται (βλ.Π.Α.Α.Φ. § 3.4.8) ότι για τον απλούστερο των εγκαρσίων τρό-πων δόνησης (ΤΕΜ00) η κατανοµή της έντασης είναι Γκαουσιανής µορφής.

29

- 102 -

8. Συµβολόµετρα και Συµβολοµετρία Συµβολόµετρα (interferometers) είναι τα οπτικά όργανα µε τη βοήθεια των οποίων γίνεται δυνατή η πρακτική χρησιµοποίηση του φαινοµένου της συµβολής του φωτός. Ο αριθµός των εφαρµογών είναι πολύ µεγάλος όπως µεγάλος είναι και ο αριθµός των αντιστοίχων οργάνων. Σαν παραδείγµατα µπορούµε ν’ αναφέρουµε κατ’ αρχήν τον προσδιορισµό των σφαλµάτων διαφόρων οπτικών στοιχείων όπως φακών, πρισµάτων, οπτικά επιπέδων πλακών κ.λ.π. Τον υπολογισµό των δ.δ. αερί-ων, υγρών και στερεών ουσιών. Τον καθορισµό του πάχους λεπτών υµενίων. Τον προσδιορισµό της φασµατικής δοµής των γραµµών εκποµπής διαφόρων στοιχείων. Την εύρεση του γωνιακού ανοίγµατος των αστέρων καθώς και δεκάδες άλλες ε-φαρµογές για τις οποίες µια σύντοµη αναφορά γίνεται στην εισαγωγή αυτής της µε-λέτης. Βασικό πλεονέκτηµα των συµβολοµετρικών µεθόδων είναι η µεγάλη τους ακρίβεια σε σχέση µε άλλες. ∆εδοµένου ότι η συµβολή του φωτός προέρχεται από την επαλληλία µεταξύ δύο ή περισσοτέρων µετώπων κύµατος, λαµβανοµένων υπ’ όψιν των συνθηκών συµφωνίας (βλ. κεφ. 7 και ΠΑΡ/ΜΑ 3), προέχει η µελέτη του τρόπου ανάπτυξης τέτοιων µετώπων. Ήδη στις (§ 7.2.1, 7.2.2) έχουµε περιγράψει τις δύο βασικές µε-θόδους δηµιουργίας τους µε διαίρεση ενός αρχικού µετώπου κύµατος καθώς και µε διαίρεση πλάτους. Τις ίδιες χρησιµοποιεί και η συµβολοµετρία µε έµφαση στη δεύ-τερη. Στα επόµενα θ’ αναπτύξουµε µε σύντοµο τρόπο τη θεωρία και τη δοµή µερι-κών από τους κλασσικότερους τύπους συµβολοµετρικών διατάξεων. 8.1 Συµβολή και συµβολόµετρα µέσω διαίρεσης µετώπου κύµατος 8.1.1 Η διάταξη συµβολής του Young.Γενική θεώρηση Στην προκειµένη περίπτωση, τα δύο προς επαλληλία µέτωπα κύµατος προ-κύπτουν σαν τµήµατα ενός αρχικού, µε βασικό τους πλεονέκτηµα ότι κατέχουν τον ίδιο βαθµό χωρικής συµφωνίας, γεγονός που αποτελεί προϋπόθεση για να συµβάλ-λουν. Στην πραγµατικότητα αυτό που συµβαίνει, είναι η ταυτόχρονη δηµιουργία δύο χωρικά συµφώνων πηγών από µία αρχική. Επίσης ο βαθµός της χρονικής συµ-φωνίας των µετώπων κύµατος – που κατά τα γνωστά (βλ. κεφ. 6), εξαρτάται από το φασµατικό εύρος της εκπεµπόµενης από την πηγή ακτινοβολίας – καθίσταται ο δεύτερος καθοριστικός παράγοντας (δεδοµένου ότι αφορά το µήκος των κυµατο-συρµών), που οδηγεί σε φαινόµενα συµβολής. Ενδελεχής ανάλυση των προαναφε-ροµένων γίνεται στο (κεφ. 7) και πιο συγκεκριµένα στην (§ 7.2.1) όπου περιγράφε-

30

- 103 -

ται η διάταξη συµβολής του Young µε φωτίζουσες πηγές διαφόρων φασµατικών κατανοµών. Ένας δεύτερος παράγοντας ο οποίος δεν είναι µεν καθοριστικός για τη µελέ-τη της συµβολής του φωτός αλλά θα συζητηθεί εδώ, είναι η µορφολογία των συ-σχετιζόµενων µετώπων κύµατος. Πράγµατι στις περιγραφόµενες διατάξεις της (§ 7.2.1), τα δύο µέτωπα κύµατος προερχόταν από ένα παρεµβαλλόµενο πέρασµα στην πορεία του αρχικού, το οποίο περιείχε δύο κυκλικά ανοίγµατα. Συνήθως αν οι διάµετροι αυτών των ανοιγµάτων είναι πάρα πολύ µικρές, οµιλούµε για σηµειακές πηγές µε συνέπεια τα δύο εκπεµπόµενα µέτωπα κύµατος να είναι σφαιρικά. Αν ό-µως τα ανοίγµατα έχουν πεπερασµένες διαστάσεις τότε δεν θα µπορούσαν ν’ α-γνοηθούν φαινόµενα περίθλασης του φωτός. Εποµένως τα δύο µέτωπα κύµατος (ίδια µεταξύ τους) θα είναι περίπλοκης δοµής η οποία θα εξαρτάται αποκλειστικά από τη µορφολογία των ανοιγµάτων. Στην προκειµένη περίπτωση το πρότυπο συµ-βολής δεν µεταβάλλεται και εξαρτάται από την απόσταση των ανοιγµάτων µεταξύ τους (όπως βέβαια και από το µ.κ. της φωτίζουσας πηγής καθώς και την απόσταση στην οποία σχηµατίζονται οι κροσσοί). Το προαναφερόµενο όµως πρότυπο, θα δια-µορφώνεται από το αντίστοιχο πρότυπο περίθλασης, το οποίο βέβαια έχει σχέση (βλ. Περίθλαση του φωτός κεφ. 7) µε τη µορφολογία των περιθλωµένων µετώπων κύµατος. Στην ανάλυση που θ’ ακολουθήσει, ο διαχωρισµός του αρχικού µετ. κύ-µατος θα γίνει µε τη βοήθεια ενός πετάσµατος, το οποίο θα περιλαµβάνει δύο ση-µειακά ανοίγµατα σε µία απόσταση µεταξύ τους. Τα τελευταία θ’ αποτελέσουν τις δύο δευτερεύουσες σηµειακές πηγές από τις οποίες θα εκπέµπονται σφαιρικά µέ-τωπα κύµατος. Στα επόµενα όλοι οι υπολογισµοί θα γίνουν µε βάση την αναλυτική έκφραση των συγκεκριµένων µετώπων. Στην (Ασκ. 12) µελετούµε επίσης τη συµ-βολή δύο συµφώνων επιπέδων µετ. κύµατος που έρχονται σ’ επαλληλία πάνω σ’ ένα πέτασµα µε µια ορισµένη χωρική κλίση µεταξύ τους, όπως και τη συµβολή µε-ταξύ επίπεδου και σφαιρικού. Ένας άλλος βασικός παράγοντας που πρέπει να ληφθεί υπ’ όψιν κατά την περιγραφή της διάταξης συµβολής του Young, είναι η απόσταση µεταξύ των δευτε-ρευόντων πηγών και του πετάσµατος στο οποίο θεωρούµε ότι συσχετίζονται τα προκύπτοντα µέτωπα κύµατος. Ήδη στην (§7.2.1) έχουµε θεωρήσει ότι τη θέση αυ-τή την παίρνουµε σε απόσταση πολύ µεγαλύτερη από την απόσταση µεταξύ των δύο δευτερευόντων πηγών, όταν η φωτίζουσα πηγή εκπέµπει φως στο ορατό τµήµα του Η/Μ φάσµατος. Η συµβολή σ’ αυτήν την περιοχή ονοµάζεται συµβολή µακρι-νού πεδίου (far field interference) και σχετίζεται άµεσα µε την περίθλαση Fraun-hofer (βλ. Περίθλαση του φωτός κεφ. 5). Η ποσοτική σχέση που καθορίζει αυτά τα όρια δηλ. την απόσταση µεταξύ πηγών πετάσµατος όπου και παίρνουµε τη συµβο-λή, δίνεται κατά προσέγγιση από τη (σχ. 7.2.1.1) µε γνωστά το µ.κ. της φωτίζουσας πηγής και την απόσταση µεταξύ των δύο δευτερευόντων πηγών. Ένα καθαρά πρα-

31

- 104 -

κτικός τρόπος καθορισµού της περιοχής µακρινού πεδίου είναι ο εξής: οι ακτίνες κατά µήκος των οποίων διαδίδονται δύο διαταραχές προκειµένου να συµβάλλουν σ’ ένα σηµείο του πετάσµατος θα πρέπει να είναι σχεδόν παράλληλες. Για να συµ-βεί όµως αυτό – όπως ήδη έχουµε αναφέρει – η απόσταση µεταξύ των δύο δευτε-ρευόντων πηγών πρέπει να είναι πολύ µικρή σε σχέση µε την απόσταση του πετά-σµατος από αυτές (θέση πετάσµατος θεωρητικά στο άπειρο). Ένας τρόπος λήψεις προτύπου συµβολής µακρινού πεδίου σ’ εργαστηριακή κλίµακα, είναι µε τη βοή-θεια ενός θετικού φακού εστιακής απόστασης f΄ (§ 7.2.1β) (Σχ. 7.2.4). Ο φακός θα πρέπει να τοποθετηθεί σχεδόν σ’ επαφή (ή σε απόσταση f΄) από τις δύο δευτερεύ-ουσες σηµειακές πηγές. Τότε στο πίσω εστιακό του επίπεδο (δηλ. σε απόσταση f΄ από αυτόν) όπως αποδεικνύεται, θα λάβουµε το πρότυπο συµβολής µακρινού πεδί-ου. Πράγµατι γίνεται εύκολα κατανοητό ότι οι δύο διαταραχές που ακολουθούν πο-ρείες παράλληλες και που προέρχονται αντίστοιχα από τις δύο δευτερεύουσες πη-γές, αντί να συµβάλλουν σε άπειρη απόσταση, µε τη βοήθεια του φακού συµβάλ-λουν σ’ ένα καθορισµένο σηµείο στο πίσω εστιακό του επίπεδο µε την ίδια βέβαια διαφορά φάσης που καθορίζεται από το φακό. Τέλος ένας άλλος σηµαντικός παράγοντας που θα πρέπει να λάβουµε υπ’ όψιν µας κατά τη διαδικασία της συµβολής είναι η κατάσταση πόλωσης των δε-σµών. Μια στοιχειώδης ανάλυση του φαινοµένου αυτού γίνεται στο (ΠΑΡ/ΜΑ 5) όπου διατυπώνονται οι νόµοι των Fresnel-Arago. Για τις περιπτώσεις που δεν ανα-φέρουµε κάτι το διαφορετικό, τα πεδία των προς επαλληλία διαταραχών θα θεω-ρούνται ότι είναι γραµµικά πολωµένα µε διευθύνσεις παράλληλες µεταξύ τους.

Κατανοµή της έντασης του φωτός από τη συµβολή δύο σφαιρικών µετ. κύµατος στην προσέγγιση του µακρινού πεδίου

Το προς διαίρεση αρχικό µέτωπο κύµατος, µπορεί να είναι κατ’ αρχήν σφαι-ρικό (Σχ. 8.1.1.1α) προερχόµενο από µια σηµειακή πηγή τοποθετηµένη σε συµµε-τρική θέση ως προς το διάφραγµα ∆ που περιλαµβάνει τα δύο επίσης σηµειακά α-νοίγµατα, σε µια ορισµένη απόσταση από αυτό. Επίσης µπορεί να είναι επίπεδο (Σχ. 8.1.1.1β), γεγονός που επιτυγχάνεται κατά τα γνωστά όταν η προαναφερόµενη σηµειακή πηγή τοποθετηθεί στο µπρός εστιακό επίπεδο θετικού φακού Φ εστιακής απόστασης f. Με τις διατάξεις αυτές, επιτυγχάνεται πλήρης χωρική συµφωνία (ε-φόσον βέβαια η πηγή S είναι σηµειακή) µεταξύ των σφαιρικών µετώπων κύµατος των προερχοµένων από τις δευτερεύουσες πηγές (βλ. κεφ. 7, § 7.2.1). Μια δεύτερη παραδοχή που αφορά τους υπολογισµούς µας είναι ότι το εκπεµπόµενο φως από την πηγή S είναι µεγάλου βαθµού χρονικής συµφωνίας (π.χ. προέρχεται από πηγή

32

- 105 -

Laser) δηλ. το µήκος των κυµατοσυρµών του είναι πολύ µεγάλο. Με βάση αυτές τις υποθέσεις, από τα δύο σηµειακά ανοίγµατα S1, S2 του διαφράγµατος ∆ θα εκπέµπο-

(Σχ. 8.1.1.1)

νται δύο σύµφωνα µεταξύ τους σφαιρικά µέτωπα κύµατος τα οποία ερχόµενα σε επαλληλία στο πέτασµα Π που απέχει απόσταση L′ >>d (d: η απόσταση µεταξύ των ανοιγµάτων), θα συµβάλλουν. Τα γεωµετρικά χαρακτηριστικά της διάταξης φαίνο-νται (Σχ. 8.1.1.2).

(Σχ. 8.1.1.2)

Θέλουµε να υπολογίσουµε κατ’ αρχήν την συνολική ένταση του ηλ. πεδίου Εολ. σ’ ένα σηµείο Ρ του πετάσµατος Π, καθώς και την ένταση του φωτός Ι, που οφείλονται στις διαταραχές τις προερχόµενες από τις S1 και S2. Κατόπιν τις κατα-νοµές τους από σηµείο πάνω στο πέτασµα σε διεύθυνση παράλληλη µ’ αυτήν που

33

- 106 -

ενώνει τις δύο δευτερεύουσες πηγές. Αν Ε1(r,t), E2(r,t) είναι οι τιµές των διαταρα-χών στο σηµείο Ρ, τότε µε βάση την αρχή της επαλληλίας θα έχουµε: Εολ. = Ε1(r,t) + E2(r,t) (8.1.1.1) Σηµείωση Για συνθήκες µακρινού πεδίου τα τµήµατα S1P=r1, S2P=r2 είναι σχεδόν πα-ράλληλα, δεδοµένου ότι οι υπολογισµοί για το συνολικό πεδίο γίνονται αρκετά κο-ντά στο κέντρο συµµετρίας Ο του πετάσµατος Π που απέχει αρκετά από το διά-φραγµα ∆. Εποµένως τα διανύσµατα Ε1(r,t), E2(r,t) είναι πάντα παράλληλα µεταξύ τους και για το λόγο αυτό στους υπολογισµούς µας λαµβάνονται σαν βαθµωτά µε-γέθη. Επειδή οµιλούµε για σφαιρικά µέτωπα κύµατος η (σχ. 8.1.1.1) γράφεται ως εξής:

( ) ( )222

2

1

1 cos cos φkrωtr

φωt-krrΕE 11ο +−

Ε++= ο

ολ (8.1.1.2)

όπου φ1, φ2 οι αρχικές φάσεις µε τις οποίες εκπέµπονται τα κύµατα από τα σηµεία S1, S2. Αν η πηγή S βρισκόταν σε συµµετρική θέση σε σχέση µε τις S1, S2 (όπως π.χ. στα Σχ. 8.1.1) τότε φ1=φ2, διαφορετικά φ1-φ2≠0. Γνωρίζουµε επίσης (σχ. 2.2.6,2.2.5) ότι η ένταση του φωτός Ι στο Ρ δίνεται από τη σχέση:

=ε=τ

== ∫∫ ολο

ολολ dtcEIτ

οo

τ2

τ1dt 1 SS

1 22

τo

τ

οo EcεdtEτ

cε ολολ == ∫ (8.1.1.3)

όπου |S|=εοc2|ΕxΒ| το µέτρο του διανύσµατος Poynting, Β=Ε/c, τ o χρόνος ολοκλή-ρωσης του χρησιµοποιούµενου ανιχνευτή και < >τ το σύµβολο της µέσης χρονι-κής τιµής µιας συνάρτησης του χρόνου, δηλ.

( ) ( )∫ο

τ τ=

τ

dttftf 1 (8.1.1.4)

Εποµένως:

( ) ( ) ⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−++−= οο coscos 22

2

211

1

1 φkrωtr

Eφkrωtr

EcεI o

( ) ( )τ

krωtr

krωtrΕ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

Ε++−⋅ οο

222

211

1

1 φ cosφ cos (8.1.1.5)

και µετά τις πράξεις:

34

- 107 -

( ) ( )2

21 1 21 1 1 1 2 22

1 1 2

cos cos cosoo o

τ τ

E E EI ε c ωt kr φ ε c ωt kr φ ωt kr φr r r

ο ο⎛ ⎞= − + + − + − +⎜ ⎟⎝ ⎠

+

( ) ( )2

21 2 21 1 2 2 2 22

1 2 2

cos cos coso o o

τ τ

E E Eε c ωt kr φ ωt kr φ ε c ωt kr φr r rο ο

⎛ ⎞+ ⋅ − + ⋅ − + + − +⎜ ⎟⎝ ⎠

(8.1.1.6) οπότε εξαιτίας του ότι οι µέσες τιµές των 2cos ( ) του πρώτου και του τετάρτου όρου είναι ίσες µε ½ θα είναι:

( ) ( )τ

oooo φkrωtφkrωtrrEEcε

rEcε

rEcεI 2211

21

212

2

22

21

21 cos cos2

22+−⋅+−++= ο

οο (8.1.1.7)

Επειδή όµως ( ) ( )βaβαβα −++=⋅⋅ cos21cos

21coscos

θα έχουµε: ++= οο2

2

22

21

21

22 rEcε

rEcεΙ oo

( )[ ] ( ) ( )[ ]⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−+−+++++τ

ο 2112212121

21 cos21-2cos

212 φφrrkφφrrkωt

rrEEcε

τ

oo

(8.1.1.8) και τελικά εξαιτίας του ότι ο πρώτος του τρίτου όρου της (σχ.8.1.1.8) είναι µηδέν:

( ) ( ) 211221

212

2

22

21

21 cos

22φφrrk

rrEEcε

rEcε

rEcεI oooo −+−++= ο

οο (8.1.1.9)

Εάν αντικαταστήσουµε όπου 21

21

1 2 rEcεI oο= και 2

2

22

2 2 rEcεI oο=

τότε θα ισχύει: 212

2

1

1 2 IIr

Er

Ecε oo =⋅ο οπότε η (σχ. 8.1.1.9) γίνεται:

( ) ( )[ ]212121 φ cos −+−++= ι2 φrrk II2III (8.1.1.10) όπου Ι1,Ι2 οι εντάσεις στο σηµείο Ρ που προέρχονται από τις πηγές S1, S2 ξεχωριστά και ( ) ( )21 φφrrkδ −+−= 12 (8.1.1.11) η συνολική διαφορά φάσης µεταξύ των δύο διαταραχών στο σηµείο Ρ. k(r2-r1) είναι η διαφορά φάσης που οφείλεται στη διαφορά δρόµου µεταξύ των δύο διαταραχών και φ2-φ1 λόγω των αρχικών φάσεων εκποµπής από τις πηγές S1, S2. Σηµείωση Οι εντάσεις Ι1, Ι2, εφόσον η πηγή S βρίσκεται σε συµµετρική θέση σε σχέση µε τις S1,S2 και οι υπολογισµοί µας γίνονται για συνθήκες µακρινού πεδίου (r1≅r2=r), θα είναι ίσες µεταξύ τους επειδή Εο1=Εο2. ∆ηλ. τα πλάτη των διαταραχών στα σηµεία S1 και S2 είναι ίδια. Θα είναι διαφορετικές µεταξύ τους εφόσον κατά

35

- 108 -

κάποιο τρόπο Εο1≠ Εο2, το οποίο θα µπορούσε να συµβεί π.χ. αν µπροστά από µία από τις S1,S2 τοποθετούσαµε ένα ουδέτερο φίλτρο το οποίο θ’ απορροφούσε ποσο-στό της προσπίπτουσας ακτινοβολίας, που αντιστοιχεί σε ελάττωση του πλάτους του διαδιδόµενου πεδίου. Βέβαια ταυτόχρονα στο άλλο άνοιγµα θα έπρεπε να το-ποθετήσουµε µια γυάλινη πλάκα ίσου πάχους µε το φίλτρο και ίδιου δ.δ. προκειµέ-νου ν’ αντισταθµίσουµε την προκύπτουσα διαφορά οπτικού δρόµου. Βλέπουµε λοιπόν ότι εφόσον οι S1,S2 είναι σύµφωνες µεταξύ τους, η συνολι-κή ένταση Ι στο σηµείο Ρ δεν είναι ίση µε το άθροισµα Ι1+Ι2 αλλά µπορεί να είναι µικρότερη ή µεγαλύτερη από αυτήν εξαρτώµενη από τις τιµές της δ. Μέγιστα έντα-σης θα έχουµε όταν cos δ=1, οπότε:

max 1 2 1 2 2 0, 2 , 4 ,.. . ή 2 , 0, 1, 2

I I I I Iδ π π δ mπ m

⎫= + + ⎪⎬

= ± ± = = ± ± ⎪⎭ (8.1.1.12)

Όταν cos δ= - 1 τότε η συνολική ένταση θα παίρνει τη µικρότερη τιµή:

min 1 2 1 2 2 , 3 , . . . ή (2 1) , 0, 1, 2...

I I I I Iδ π δ m π m π

⎫= + − ⎪⎬

= ± ± = + = ± ± ⎪⎭ (8.1.1.13)

Για δ=π/2 ή γενικά δ=(2m+1)π/2, m=0,±1, ±2 … Θα έχουµε: cos δ=0 οπότε: Ι = Ι1+Ι2 Από το (Σχ. 8.1.1.2), βλέπουµε ότι η διαφορά οπτικού δρόµου των διαταρα-χών στο σηµείο Ρ του πετάσµατος Π, που απέχει απόσταση L΄ από το διάφραγµα ∆ θα δίνεται από τη σχέση: S2P – S1P = r2-r1≅ d sin θ (8.1.1.14) όπου θ η γωνία µεταξύ των S1, S2 και της καθέτου από το S1 στην S2Ρ. Επίσης από το τρίγωνο Ο΄ΟΡ θα έχουµε: tαnθ = ΟΡ/L΄ = z /L΄ (8.1.1.15) όπου z η συντεταγµένη του Ρ σε σχέση µε τον άξονα Οz. Επειδή όπως ήδη αναφέ-ραµε το πρότυπο συµβολής µακρινού πεδίου εντοπίζεται περί το Ο, θα είναι δυνα-τές οι προσεγγίσεις tαnθ≅sinθ≅θ[rad]. Εποµένως από τις δύο προηγούµενες σχέσεις βρίσκουµε: r2-r1 = d⋅ z/L΄ (8.1.1.16) Τότε µε τη βοήθεια της (σχ. 8.1.1.10), η κατανοµή της έντασης στο πέτασµα συ-ναρτήσει του z θα δίνεται από την:

( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+

′++= 21 φφ

LλπdzIIIII 2cos2 21211 (8.1.1.17)

όπου έγινε η αντικατάσταση: k = 2π/λ. Η γραφική παράσταση της (σχ. (8.1.1.17) για φ1=φ2 δίνεται στο (Σχ. 8.1.1.3) και παριστάνει µια αρµονικής µορφής περιοδική

36

- 109 -

µεταβολή της έντασης του φωτός. Μέγιστα συµβολής θα έχουµε σε θέσεις για τις οποίες z=mλL΄/d, m=0,±1,±2,… και ελάχιστα όταν: z=(2m+1)λL΄/2d m=0,±1,±2,…Βλέπουµε ότι στο σηµείο z=0 συναντούµε µέγιστο. Το πρότυπο συµ-βολής αποτελείται από ισαπέχοντες κροσσούς (ίσης περιόδου) όπως φαίνεται στην (Εικ. 8.1.1.4). Πράγµατι για δύο διαδοχικά µέγιστα m και m+1 θα έχουµε:

( )1 1m mλL λL Lz z m m Td d d

λ+

′ ′ ′′− = + − = = (8.1.1.18)

(Σχ. 8.1.1.3)

όπου Τ΄ είναι η περίοδος των κροσσών συµβολής. Για λ και L΄ σταθερά η περίοδος θα είναι αντιστρόφως ανάλογη της απόστασης d µεταξύ των δύο πηγών S1 και S2.

(Εικ. 8.1.1.4)

37

- 110 -

Φωτοαντίθεση (ευκρίνεια) των κροσσών συµβολής Τα ελάχιστα των κροσσών συµβολής είναι µηδενικά κάτω από ορισµένες µόνο συνθήκες και συγκεκριµένα για την περίπτωση που τα πλάτη των διαταραχών στις πηγές S1,S2 είναι ίσα δηλ. Εο1=Εο2. Η τελευταία σηµαίνει ότι θα είναι και Ι1=Ι2 οπότε από τη (σχ. 8.1.1.13): Imin= 0. Κροσσοί µε µηδενικά ελάχιστα είναι πολύ πε-ρισσότερο ευκρινείς όπως φαίνεται στην (Εικ. 8.1.1.5) σε σχέση µε αυτούς της (εικ. 8.1.1.4). Ένα µέτρο της ευκρίνειας των κροσσών είναι το µέγεθος που ονοµάζεται φωτοαντίθεση (contrast) και δίνεται από τη σχέση:

= minmax

minmax

IIII

+− (8.1.1.19)

(Εικ.8.1.1.5)

Τότε µε τη βοήθεια των (σχ. 8.1.1.12-13) για τις οποίες Ι1≠Ι2 βρίσκουµε:

= 21

212IIII

+ (8.1.1.20)

Όταν Ι1=Ι2, από τη (σχ. 8.1.1.20) βρίσκουµε =1, δηλ. θα έχουµε τη µέγιστη φω-

τοαντίθεση (µηδενική ελάχιστα). Γενικά θα είναι: 0≤ ≤ 1. Στο (Σχ. 8.1.1.6) βλέ-

πουµε τη γραφική παράσταση της ευκρίνειας των κροσσών συµβολής του Young για διάφορες τιµές της φωτοαντίθεσης από =1 έως =0.

38

- 111 -

(Σχ. 8.1.1.6)

Σηµείωση Στην πραγµατικότητα, η φωτοαντίθεση των κροσσών δεν εξαρτάται µόνο από το λόγο των εντάσεων Ι1 και Ι2 αλλά και από το βαθµό της χωρικής και χρονι-κής συµφωνίας των συσχετιζόµενων διαταραχών. Ο υπολογισµός της για την περίπτωση της συµβολής δύο µετ. κύµατος τα οποία έχουν µεν αρκετά µεγάλο βαθµό χρονικής συµφωνίας αλλά είναι µερικά χωρικά σύµφωνα, γίνεται στο (ΠΑΡ/ΜΑ 2). Όταν γενικά Ι1= Ι2= Ιο και για φ1=φ2 η (σχ. 8.1.1.17) γίνεται:

LλπdzII o ′

= 2cos4 (8.1.1.21)

και η γραφική παράσταση της Ι(z) δίνεται στο (Σχ. 8.1.1.7). Από αυτήν βλέπουµε ότι Ιmin=0 µε συνέπεια η φωτοαντίθεση των σχηµατιζόµενων κροσσών συµβολής να είναι η µέγιστη: (Εικ. 8.1.1.5)

39

- 112 -

(Σχ. 8.1.1.7)

∆ιάταξη λήψης προτύπου συµβολής µακρινού πεδίου µε τη βοήθεια φακού

Η λήψη των προτύπων συµβολής µακρινού πεδίου, δηλ. σε µεγάλη απόστα-ση του πετάσµατος Π από τις πηγές S1, S2 δεν είναι εργαστηριακά λειτουργική. Για το λόγο αυτό µε βάση τα όσα επικαλεσθήκαµε στην (§7.2.1β) και στην εισαγωγή της (§ 8.1.1), χρησιµοποιούµε τελικά τη διάταξη του (Σχ. 8.1.1.8). Εκεί, ακριβώς

(Σχ. 8.1.1.8)

µπροστά από τις S1, S2 ή σε απόσταση f΄ από αυτές τοποθετούµε θετικό (συγκλίνο-ντα) φακό Φ· f΄είναι η εστιακή του απόσταση. Αποδεικνύεται (βλ. Περίθλαση του φωτός κεφ. 5) ότι στο πίσω εστιακό επίπεδο του φακού Φ, παίρνουµε το πρότυπο συµβολής µακρινού πεδίου που προκύπτει από την επαλληλία των διαταραχών των προερχοµένων από τις πηγές S1, S2. Η γωνία θ µε την οποία διαδίδονται δύο διατα-ραχές προκειµένου να συµβάλλουν σ’ ένα σηµείο Ρ, είναι ακριβώς ίδια µε αυτήν η οποία φαίνεται από το σηµείο Ο΄΄ του κέντρου του φακού. Εποµένως tαnθ≅sinθ

40

=z/f ΄[rad] και οι (σχ. 8.1.1.7 και 8.1.1.21) ισχύουν με μόνη τη διαφορά ότι θα πρέ- πει ν’ αντικατασταθεί η απόσταση L΄ με την εστιακή απόσταση του φακού f΄.

41

42

43

44

45

8.1.2 Άλλες συμβολομετρικές διατάξεις διαίρεσης μετώπου κύματος

1. Το δίπρισμα του Fresnel

Αποτελείται από ένα πολύ λεπτό, διπλό, ορθό πρίσμα όπως σε τομή φαίνεται στο (Σχ. 8.1.2.1), με διαθλαστική γωνία α ≅1ο–2ο και δ.δ. n. Μια σημειακή πηγή S τοποθετείται σε συμμετρική θέση και σε απόσταση R από την κορυφή του. Ο κώνος φωτός που οριοθετείται από τις ακτίνες (1) και (4) διαθλάται με τον εξής τρόπο.

(Σχ. 8.1.2.1)

Θεωρούμε τον αρχικό κώνο διαιρούμενο σε δύο συμμετρικούς με τις ακτίνες (2) και (3) σχεδόν παράλληλες με τον άξονα ΟΟ΄. Τότε η ακτίνα (1) διαθλάται κατά την (1΄). Η (2) κατά την (2΄), σχηματίζοντας γωνία εκτροπής (προσπίπτουσα σε σχέση με τη διαθλώμενη) ίση με δ2 επειδή θεωρήσαμε κατά προσέγγιση ότι η ακτί-να (2) και ο άξονας ΟΟ΄ σχεδόν ταυτίζονται. Με τον ίδιο ακριβώς τρόπο η ακτίνα (4) διαθλάται κατά την (4΄) και η (3) κατά την (3΄) σχηματίζοντας με τον άξονα

46

ΟΟ΄ γωνία εκτροπής δ3. Για λόγους συμμετρίας θα είναι δ2=δ3=δ και επειδή τα πρί-σματα είναι λεπτά θεωρούμε ότι οι γωνίες εκτροπής δ βρίσκονται στην συνθήκη ελαχίστης εκτροπής (δηλ. δ=δm). Τότε (βλ. Γεωμ. Οπτική § 5.2) θα ισχύει η σχέση:

( )2/sin/2

sin aan m ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ δ+

= (8.1.2.1)

και επειδή οι γωνίες α και δm είναι πολύ μικρές ισχύει: sin x≅x.Οπότε: δm = α(n-1) (8.1.2.2) Βλέπουμε χαρακτηριστικά ότι το αρχικό μέτωπο κύματος που λόγω του διαφράγ-ματος Δ΄ (που βρίσκεται πίσω από το δίπρισμα) περιορίζεται από τις ακτίνες (1) και (4), χωρίζεται σε δύο (τα μεταξύ των ακτίνων (1΄), (2΄) και (3΄), (4΄)) που φαίνονται σαν να προέρχονται από τις φανταστικές πηγές S1,S2. Προκειμένου να καθορίσουμε την περίοδο Τ΄ των κροσσών συμβολής στην περιοχή α1α4 του πετάσματος Π όπου έχουμε την επαλληλία των δύο δευτερευό-ντων μετώπων, θα πρέπει να υπολογίσουμε την απόσταση d μεταξύ των φανταστι-κών πηγών S1,S2. Αυτό γίνεται με τη βοήθεια του ισοσκελούς τριγώνου S1Ο΄΄S2, του οποίου η γωνία S1Ο΄΄S2=2δ. Και επειδή η 2δ είναι πολύ μικρή (ανεξάρτητα αν υπερτονίζεται στο σχήμα) θα ισχύει: d ≅ R⋅2δ (8.1.2.3) Αν R΄ είναι η απόσταση διπρίσματος – πετάσματος Π, τότε L΄=R+R΄. Γνωρίζουμε επίσης από το πείραμα του Yoyng (σχ. 8.1.1.18) ότι η περίοδος των κροσσών συμ-βολής δίνεται από τη σχέση: Τ΄= λL΄/d (8.1.2.4) Τελικά με τη βοήθεια όλων των προηγούμενων σχέσεων βρίσκουμε:

( )( )1-2

nRαλRRT

′+=′ (8.1.2.5)

Στην (Εικ. 8.1.2.2), βλέπουμε το πρότυπο συμβολής που προέρχεται από ένα δίπρι-σμα Fresnel. Οι κροσσοί συμβολής που κατά τα γνωστά είναι σταθερής περιόδου, διαμορφώνονται από ένα σύστημα κροσσών με αυξανόμενη περίοδο προς τα άκρα του προτύπου. Πρόκειται για αποτέλεσμα του φαινομένου της περίθλασης Fresnel (κοντινού πεδίου) που προέρχεται από τα όρια του διαφράγματος Δ΄. Παράδειγμα Έστω η απόσταση πηγής διπρίσματος είναι R=10cm και διπρίσματος πετά-σματος R΄= 2m. Η διαθλαστική του γωνία α=1ο (0.01745 rad), το μ.κ. λ=632.84nm και ο δ.δ. n=1.5. Τότε με βάση τη (σχ. 8.1.2.5) βρίσκουμε ότι η περίοδος των κροσ-

47

(Εικ. 8.1.2.2)

σών από πέτασμα Π θα είναι Τ΄ ≅ 0.76mm. Η απόσταση μεταξύ των δύο φανταστι-κών πηγών με τη βοήθεια των (σχ. 8.1.2.3,2) βρίσκεται ότι είναι d≅ 17.45mm.

Μια πρακτική μέθοδος προσδιορισμού τις απόστασης d μεταξύ των φαντα-στικών πηγών S1S2 είναι μέσω ενός συγκλίνοντος φακού. Ο φακός τοποθετείται με-τά το διάφραγμα Δ΄ και απεικονίζει τις πηγές S1S2 στο πέτασμα Π. Αν μετρήσουμε τις αποστάσεις Sο και Si (πηγών φακού – φακού πετάσματος), τότε ο λόγος Si / So= =m είναι η μεγέθυνση του συστήματος. Άρα από τη σχέση m / 2121 =′′ SSSS (εφόσον η απόσταση μπορεί να μετρηθεί στο επίπεδο απεικόνισης, υπολογίζεται η d= =S

21SS ′′

1S2. 2. To κάτοπτρο του Lloyd Όπως φαίνεται στο (Σχ. 8.1.2.3), η διάταξη αποτελείται από ένα επίπεδο κά-τοπτρο, το οποίο φωτίζεται από μια σημειακή πηγή S1. Η τελευταία απέχει μια ορι-σμένη απόσταση από το ένα άκρο του και είναι κατ’ ελάχιστον υπερυψωμένη από το επίπεδο της επιφάνειάς του. Το σφαιρικό μέτωπο κύματος το προερχόμενο από

48

(Σχ. 8.1.2.3)

την πηγή S1, κατά ένα τμήμα του διαδίδεται ελεύθερα και μέρος του ανακλάται στην επιφάνεια του κατόπτρου, συνεχίζοντας κατόπιν την πορεία του. Το ανακλώ-μενο μέτωπο κύματος φαίνεται σαν να προέρχεται από την φανταστική πηγή S2, η οποία βρίσκεται σε συμμετρική θέση με την S1 ως προς την επιφάνεια του κατό-πτρου. Σημείωση Η κάθετη από την S1 προς την προέκταση της επιφάνειας του κατόπτρου και η προέκτασή της ανακλώμενης (1΄) της ακτίνας (l) τέμνονται στο σημείο S2. Οι γω-νίες φ1 και φ3 είναι ίσες λόγω της ανάκλασης. Οι φ2 και φ3 είναι επίσης ίσες ως κα-τά κορυφήν. Επομένως φ1=φ2 και το τρίγωνο S1O΄΄S2 είναι ισοσκελές. Άρα η S2 εί-ναι συμμετρική της S1 ως προς την προέκταση της επιφάνειας του κατόπτρου. Εάν σε μια απόσταση L΄ από τις πηγές τοποθετήσουμε πέτασμα Π, τότε ε-φόσον τα δύο μέτωπα κύματος συσχετισθούν, έχουμε τη δυνατότητα να πάρουμε φαινόμενα συμβολής. Όπως μπορούμε να δούμε στο (Σχ. 8.1.2.3), η περιοχή συ-σχετισμού είναι μακράν του σημείου Ο που ορίζεται από την τομή της προέκτασης της επιφάνειας του κατόπτρου με το πέτασμα στη διεύθυνση της μεσοκαθέτου S1S2. Το γεγονός αυτό συμβαίνει επειδή στο σχήμα υπερτονίζεται η απόσταση της S1 από το Ο΄. Στην πράξη όμως, όπως ήδη αναφέραμε, η S1 απέχει από το Ο΄ λίγα μόνο χιλιοστά με συνέπεια να έχουμε συσχετισμό διαταραχών ακόμα και στο σημείο Ο του πετάσματος Π.

49

Βλέπουμε τελικά ότι η όλη διάταξη προσομοιάζει με αυτήν την κλασσικής του Young, με μόνη τη διαφορά ότι τα δύο μέτωπα κύματος συμβάλουν με διαφορά φάσης 180ο. Πράγματι λόγω της σχεδόν εφαπτομενικής πρόσπτωσης του ενός τμή-ματος του μετώπου κύματος στο κάτοπτρο, κατά την ανάκλασή του υφίσταται με-τατόπιση φάσης ≅180ο στη διαχωριστική του επιφάνεια με τον αέρα, η οποία προ-βλέπεται από την Η/Μ θεωρία. Επομένως εάν r2-r1 είναι η διαφορά δρόμου μεταξύ δύο διαταραχών από τις πηγές S1 και S2 σ’ ένα σημείο Ρ του πετάσματος Π τότε η διαφορά φάσης θα δίνεται από τη σχέση: δ= k (r2-r1)± π (8.1.2.6) Εφόσον οι εντάσεις στο Ρ από τις S1, S2 είναι περίπου ίσες τότε από τις (σχ. 8.1.1.21-22) θα έχουμε:

( )2 124 cos 4 sin2o ο

k r r πdzI I Ι 2

λLπ

−⎡ ⎤= ± =⎢ ⎥ ′⎣ ⎦

(8.1.2.7)

όπου L΄ η απόσταση πηγών πετάσματος, d η απόσταση μεταξύ των πηγών , z η τε-ταγμένη του σημείου Ρ και λ το μ.κ. της πηγής. Από την τελευταία σχέση συμπε-ραίνουμε ότι στη θέση Ο θα έχουμε μηδενική τιμή έντασης δηλ. σκοτεινό κροσσό, σε αντιδιαστολή με το κλασσικό πείραμα του Young. Παράδειγμα Έστω ότι η πηγή S1 βρίσκεται σε απόσταση 2.5mm πάνω από την προέκταση της επιφάνειας του κατόπτρου και το πέτασμα Π σε απόσταση L΄= 1,5m, προκειμέ-νου να πληρούται η συνθήκη για τη συμβολή μακρινού πεδίου. Εάν το μ.κ. του φω-τός που εκπέμπει η πηγή S1 είναι λ=632.8nm να προσδιοριστεί η θέση του πρώτου μεγίστου συμβολής, μετρούμενου από τη θέση Ο του πετάσματος. • Από τη (σχ. 8.1.1.18) υπολογίζουμε την περίοδο Τ΄=λL΄/d των κροσσών συμβο-λής δηλ. την απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών μεγίστων (ή ελαχίστων). Μετά την αντικατάσταση βρίσκουμε: Τ΄=0.19mm. Επειδή η θέση z=0 αντιστοιχεί σε μηδενι-κό ελάχιστο του προτύπου συμβολής, τότε το πρώτο μέγιστο θα βρίσκεται σε από-σταση z=T΄/2= 0.095mm από τη θέση Ο του πετάσματος Π.

50

- 122 -

8.2 Συµβολή και συµβολόµετρα δύο δεσµών µέσω διαίρεσης πλάτους Στην (§ 7.2.2) έχει περιγραφεί ο τρόπος µε τον οποίο ένα αρχικό µέτωπο κύ-

µατος µπορεί να διαιρεθεί κατά πλάτος σε δύο ή και περισσότερα µέτωπα, προκει-µένου σε επόµενη φάση να µπορέσουν να συσχετιστούν δίνοντας φαινόµενα συµ-βολής. Απαραίτητα προϋπόθεση βέβαια, είναι ότι µεταξύ τους πρέπει να υφίσταται ένας ορισµένος βαθµός συµφωνίας. Βασικό στοιχείο του µηχανισµού διαίρεσης, αποτέλεσε ένα διαφανές πλακίδιο από διηλεκτρικό (ορισµένης ανακλαστικότητας και διαπερατότητας), για το οποίο υποθέσαµε ότι δεν απορροφά το φως. Επίσης αναφερθήκαµε σε ειδικά οπτικά εξαρτήµατα ένα από τα οποία είναι ο διαχωριστής δέσµης που αποτελείται από επίπεδη πλάκα διηλεκτρικού επικαλυµένη µε ηµιδια-φανές υµένιο µετάλλου. Το πλεονέκτηµα του τελευταίου, είναι η ελεγχόµενη ανα-κλαστικότητα και διαπερατότητα.

Στην κατηγορία των οπτικών οργάνων που χρησιµοποιούν τη διαίρεση πλά-τους, ανήκουν τα πλέον γνωστά για το µεγάλο εύρος των εφαρµογών τους συµβο-λόµετρα του Michelson και των Fabry-Perot καθώς και οι παραλλαγές τους, των οποίων η µελέτη θα γίνει στα επόµενα. 8.2.1 Συµβολή δύο δεσµών φωτός από διαίρεση πλάτους µέσω

επίπεδης πλάκας διηλεκτρικού. Κροσσοί ίσης κλίσης. Κροσσοί Haidinger Θεωρούµε πλακίδιο από διαφανές διηλεκτρικό πάχους d µε επίπεδες και πα-

ράλληλες έδρες δ.δ. nf (Σχ. 8.2.1.3), το οποίο διαχωρίζει δύο οπτικά µέσα µε δ.δ. n1 και n2 αντίστοιχα. Μια πλέον απλοποιηµένη εκδοχή της διάταξης στην οποία συ-νήθως θ’ αναφερόµαστε, είναι η περίπτωση για την οποία n1= n2=n και συνήθως ο δ.δ. n είναι αυτός του αέρα όπου n≅1. Με τη βοήθεια της µεθόδου διαίρεσης πλά-τους, θ’ αναδείξουµε δύο σύµφωνα µεταξύ τους µέτωπα κύµατος, τα οποία ερχόµε-να σ’ επαλληλία, θα οδηγήσουν σε φαινόµενα συµβολής. Στα (Σχ. 8.2.1.1), φαίνε-ται ο τρόπος φωτισµού ενός πλακιδίου από επίπεδο, σφαιρικό και ένα εν γένει πο-λύπλοκο µέτωπο κύµατος το οποίο προέρχεται από µια εκτεταµένη φωτίζουσα πη-γή. Η τελευταία συνήθως είναι επίπεδη. Θα είναι πιο εύκολο να µελετήσουµε το φαινόµενο της συµβολής και να παράγουµε τις κατάλληλες σχέσεις µε τις οποίες περιγράφεται ποσοτικά, αν αντί των διαδιδόµενων µετώπων κύµατος χρησιµοποιήσουµε τις συνοδεύουσες αυτά ακτίνες. Κατά τη διεύθυνση βέβαια των ακτίνων, θεωρούµε ότι διαδίδεται η Η/Μ

51

- 123 -

(Σχ. 8.2.1.1)

Σηµείωση Είναι γνωστό για την περίπτωση διάδοσης του φωτός σε οµογενή και ισό-τροπα µέσα (Σχ. 8.2.1.2), ότι οι ακτίνες που αντιπροσωπεύουν στην πραγµατικότη-τα τις πορείες διάδοσης της ενέργειας-είναι σ’ οποιοδήποτε σηµείο κάθετες προς τα αντίστοιχα µέτωπα κύµατος.

(Σχ. 8.2.1.2)

διαταραχή. Έτσι το γεγονός της πρόσπτωσης στο πλακίδιο επιπέδου µετώπου κύ-µατος (Σχ. 8.2.1.1α) θα το αντιπροσωπεύσουµε από µία ακτίνα η οποία ανακλάται στην πάνω του επιφάνεια και συγχρόνως διαθλάται στο εσωτερικό του πλακιδίου. Κατόπιν ανακλώµενη και διαθλώµενη από την κάτω του επιφάνεια κ.ο.κ. θα µας δώσει τη γνωστή πολλαπλότητα των παραλλήλων ακτίνων. Στην πραγµατικότητα αυτή η πολλαπλότητα αναφέρεται στην έξοδο από τις δύο επιφάνειες του πλακιδίου των αντίστοιχων µετώπων κύµατος τα οποία όπως προαναφέραµε είναι κάθετα στις ακτίνες. Ένας άλλος τρόπος φωτισµού του πλακιδίου (Σχ. 8.2.1.1β) είναι µέσω µιας σηµειακής πηγής η οποία εκπέµπει σφαιρικό µέτωπο κύµατος. Το πλεονέκτηµα σ’

52

- 124 -

αυτήν την περίπτωση, είναι ότι έχουµε ακτίνες που προσεγγίζουν στο πλακίδιο µε διαφορετικές γωνίες πρόσπτωσης. Τέλος ένας συνήθης τρόπος φωτισµού είναι µέ-σω µιας εκτεταµένης πηγής (Σχ. 8.2.1.1γ), από την οποία η ακτίνες διαδίδονται προς κάθε κατεύθυνση. Μπορούµε να θεωρήσουµε ότι η συγκεκριµένη πηγή απο-τελείται από ένα πολύ µεγάλο αριθµό σηµειακών πηγών, οι οποίες όµως όπως ήδη έχουµε αποδείξει (§ 7.4), είναι µεταξύ τους ασύµφωνες. Άρα δύο παράλληλες ακτί-νες προερχόµενες από διαφορετικά σηµεία της πηγής, θα µας δώσουν η κάθε µία την ίδια ένταση (κατόπιν συµβολής από τις παραγόµενες ανακλώµενες ή διαθλώµε-νες), οι οποίες τελικά προστίθενται. Το πλεονέκτηµα του φωτισµού, µ’ εκτεταµένη πηγή - για όπου µπορεί να εφαρµοστεί - είναι ότι προκαλεί σηµαντική αύξηση της λαµπρότητας ενός προτύπου συµβολής σε αντιδιαστολή µε το αν το πλακίδιο φωτι-ζόταν από µια µόνο σηµειακή πηγή.

Θεωρούµε τώρα (Σχ. 8.2.1.3), ότι ένα πλακίδιο πάχους d και δ.δ. nf φωτίζεται από µία σηµειακή πηγή S που εκπέµπει φως ορισµένου βαθµού χρονικής συµφωνί-ας (π.χ. ψευδοµονοχρωµατικό φως προερχόµενο από µια φασµατική λυχνία Να). Έστω µια διαταραχή πλάτους Εοi διαδίδεται κατά τη διεύθυνση της ακτίνας που προσεγγίζει το πλακίδιο µε γωνία πρόσπτωσης θi. Τµήµα της διαταραχής

(Σχ. 8.2.1.3)

πλάτους Ε1r ανακλάται από την πάνω επιφάνεια στο σηµείο Α, µε γωνία ίση µε τη γωνία πρόσπτωσης και τµήµα της διαθλάται στο εσωτερικό του πλακιδίου µε γωνία

53

- 125 -

θt. Κατά την άφιξή της στο σηµείο Β της κάτω επιφάνειας, µε τον ίδιο τρόπο µερι-κώς ανακλάται (εσωτερικά) και µερικώς διαθλάται µε πλάτος Ε1t εκτός του πλακι-δίου. Το ίδιο συµβαίνει και από το σηµείο C όταν από την πάνω επιφάνεια αναδύε-ται η διαταραχή πλάτους Ε2r µε διεύθυνση παράλληλη αυτής της πρώτης ανακλώ-µενης. Το γεγονός της πολλαπλής ανάκλασης στο εσωτερικό του πλακιδίου, οδηγεί κατά τα γνωστά σε ένα µεγάλο αριθµό παράλληλα αναδυόµενων από την πάνω κα-θώς και από την κάτω επιφάνεια διαταραχών. Οι τιµές των Ε1r, Ε2r, Ε3r, …όπως και των Ε1t, Ε2t, Ε3t, … καθορίζονται µε τη βοήθεια των συντελεστών ανακλαστικότη-τας και διαπερατότητας µε βάση τη θεωρία του Fresnel (βλ. ΠΑΡ/ΜΑ 3). Στα επόµενα, µεγαλύτερη έµφαση θα δώσουµε στην επαλληλία διαταραχών αναδυόµενων από την πάνω επιφάνεια του πλακιδίου (ανακλώµενες) αν και η δια-δικασία είναι πανοµοιότυπη για τις αναδυόµενες από την κάτω επιφάνεια (διαθλώ-µενες). Στην (Άσκ. 7), αποδεικνύουµε ότι αν το πλάτος της προσπίπτουσας διατα-ραχής είναι το Eoi, τότε οι τιµές των Ε1r, Ε2r, Ε3r θα είναι κατά σειρά Ε1r =0.2 Eoi, Ε2r =0.192 Eoi, Ε3r =0.008 Eoi. Το γεγονός αυτό µας επιτρέπει να λάβουµε σαν ση-µαντικές µόνο τις δύο πρώτες ανακλώµενες, επειδή τα πλάτη των διαταραχών από την τρίτη και µετά είναι αµελητέα και δεν συνεισφέρουν σηµαντικά στη διαµόρφω-ση του τελικού προτύπου συµβολής. Οι διαταραχές µε πλάτη Ε1r, Ε2r είναι παράλ-ληλες µε µια όµως διαφορά φάσης µεταξύ τους λόγω του ότι διανύουν διαφορετι-κούς οπτικούς δρόµους. Η διαφορά του οπτικού δρόµου Λ µε τη βοήθεια του (Σχ. 8.2.1.3) θα δίνεται από τη σχέση: Λ = nf [(AB)+(BC)]-n1(AD) (8.2.1.1) και επειδή (ΑΒ) = (BC) = d /cosθt Λ = (2nfd) / cosθt – n1(AD) (8.2.1.2) Επειδή όµως (AD)=(AC)sinθi, n1sinθi= nfsinθt και (AC) = 2dtαnθt, η (σχ. 8.2.1.1) γίνεται: Λ = (2nfd) (1-sin2θt)/cos θt και τελικά: Λ = 2nfd cosθt (8.2.1.3) Η διαφορά φάσης µεταξύ των δύο διαταραχών θα δίνεται από τη γνωστή σχέση δ=koΛ όπου ko=2π/λο και λο το µ.κ. της ακτινοβολίας στον ελεύθερο χώρο. Όµως εάν n1<nf και θi<30o (βλ. ΠΑΡ/ΜΑ 3) η πρώτη διαταραχή ανακλάται από οπτικά πυκνότερο µέσο σε οπτικά αραιότερο µε συνέπεια να λάβει σε σχέση µε τη δεύτερη διαταραχή µια πρόσθετη φάση ίση µε 180ο. Τελικά δ=koΛ ±π και η (σχ. 8.2.1.3) γί-νεται:

πdλπn

δ tο

f ±θ= cos4

(8.2.1.4)

Το πρόσηµο στη διαφορά φάσης των 180ο δεν έχει ουσιαστική σηµασία και για το λόγο αυτό επιλέγουµε το (-) για λόγους απλοποίησης των τελικών σχέσεων. Οι δύο διαταραχές εφόσον είναι σύµφωνες µεταξύ τους (δηλ. Η διαφορά των οπτικών τους δρόµων είναι µέσα στα όρια του µήκους συµφωνίας που χαρακτηρίζει

54

- 126 -

την ακτινοβολία της φωτίζουσας πηγής), έχουν τη δυνατότητα να συµβάλλουν. Για να συµβεί όµως αυτό επειδή είναι παράλληλες) πρέπει να τις οδηγήσουµε σε κοινό σηµείο. Το τελευταίο επιτυγχάνεται είτε µε την παρεµβολή του µατιού µας στην πορεία τους (δηλ. µέσω του κρυσταλλώδους φακού του µατιού έχουµε σύγκλιση σ’ ένα σηµείο του αµφιβληστροειδή) ή µέσω ενός θετικού φακού (Σχ. 8.2.1.3) ο οποί-ος τις συγκεντρώνει σ’ ένα σηµείο Ρ του εστιακού του επιπέδου. Σε κάθε περίπτω-ση οι δύο διαταραχές είναι σαν να προέρχονται από δύο φανταστικές πηγές 21,SS ′′ της S που βρίσκονται σε συµµετρικές θέσεις ως προς τις δύο επιφάνειες του πλακι-δίου. Θα έχουµε µέγιστο συµβολής (δηλ. µεγάλη λαµπρότητα στο σηµείο Ρ) όταν ισχύει: δ=2mπ ή µε βάση τη (σχ. 8.2.1.4) όταν: max: d cos θt = (2m+1) λf/4 m= 0, 1, 2, (8.2.1.5) όπου nf = λο/λf. H ίδια σχέση θα αντιστοιχεί σε ελάχιστα συµβολής για τις δύο δια-θλώµενες µε πλάτη Ε1t, Ε2t από την κάτω επιφάνεια του πλακιδίου (εδώ δεν υφίστα-ται η διαφορά φάσης των 180ο). Ελάχιστα συµβολής (για τις ανακλώµενες µε πλάτη Ε1r, E2r) θα έχουµε όταν δ=(2m-1)π δηλ. µε βάση τη (σχ. 8.2.1.4) όταν min: d cos θt = 2mλf/4 m=0, 1, 2, (8.2.1.6) H ίδια σχέση θ’ αντιστοιχεί σε µέγιστα συµβολής για τις δύο διαθλώµενες µε πλάτη Ε1t, Ε2t από την κάτω επιφάνεια του πλακιδίου. Ιδιαίτερη προσοχή πρέπει να δεί-ξουµε για περιπτώσεις όπου δεν ισχύει η σχέση: n1=n2=n<nf την οποία µελετούµε εδώ, λόγω της εµφάνισης πρόσθετων φάσεων κατά τις ανακλάσεις από οπτικά α-ραιότερα σε οπτικά πυκνότερα υλικά. Υπάρχουν δύο βασικοί περιορισµοί όσον αφορά την ευκρινή παρατήρηση των κροσσών συµβολής σε διατάξεις διαίρεσης πλάτους. Ο ένας όπως ήδη αναφέ-ραµε, αφορά το βαθµό χρονικής συµφωνίας µεταξύ των δύο διαταραχών που έρχο-νται σε επαλληλία και ο οποίος εξαρτάται από το εύρος της φασµατικής κατανοµής της φωτίζουσας πηγής. Στην προκειµένη περίπτωση η διαφορά οπτικού δρόµου L δύο διαταραχών, δεν θα πρέπει να είναι µεγαλύτερη από το µήκος των κυµατοσυρ-µών που εκπέµπει η πηγή. Άλλος παράγοντας είναι η κλίση θi των προσπιπτουσών διαταραχών οι οποίες θα µπορούσαν παρά το ότι είναι σύµφωνες µεταξύ του, να µην συλλέγονται από τον φακό (Σχ. 8.2.1.4) λόγω του µεγέθους του µε συνέπεια να µην συνεισφέρουν στη δηµιουργία του προτύπου συµβολής. Βλέπουµε ότι διατα-ραχές που προέρχονται από διαφορετικά σηµεία της πηγής και προσπίπτουν στο πλακίδιο µε την ίδια κλίση, συµβάλλουν στο ίδιο σηµείο επειδή τ’ αντίστοιχα ζεύγη έχουν την ίδια ακριβώς διαφορά φάσης. Βέβαια όπως ήδη αναφέραµε, το κάθε ζεύ-γος διαταραχών στο Ρ συµβάλλει ανεξάρτητα ενισχύοντας απλώς την λαµπρότητα του προτύπου συµβολής. Ο λόγος είναι ότι τα αντίστοιχα ζεύγη προέρχονται από διαφορετικά τµήµατα της εκτεταµένης πηγής τα οποία µεταξύ τους είναι ασύµφω-να.

55

- 127 -

(Σχ. 8.2.1.4)

Κροσσοί τέτοιου είδους ονοµάζονται κροσσοί ίσης κλίσης (fringes of equal inclination) επειδή για d=σταθ. η θέση του σχηµατισµού τους εξαρτάται από την γωνία θt και κατά προέκταση από την θi. ∆ιαταραχές µε ίδια διεύθυνση διάδοσης (κλίση) αλλά που βρίσκονται σε διαφορετικά επίπεδα θα συµβάλλουν σε σηµεία που απέχουν ίδια απόσταση από το κέντρο του προτύπου συµβολής. ∆ηλ. τελικά οι κροσσοί συµβολής θα είναι κυκλικής συµµετρίας (Σχ. 8.2.1.5). Μια ιδέα του πως σχηµατίζονται οι δακτύλιοι, παίρνουµε αν περιστρέψουµε τις διευθύνσεις δύο συµ-βαλλουσών διαταραχών περί τον κατακόρυφο ως προς το πλακίδιο άξονα. Τότε το σηµείο Ρ θα διαγράψει τροχιά κύκλου. Στη συµβολοµετρία υπάρχει γενικά µεγάλο ενδιαφέρον όσον αφορά το είδος και το χώρο στον οποίο τελικά σχηµατίζονται οι κροσσοί συµβολής. Το είδος ανα-φέρεται στους πραγµατικούς (real) και τους φανταστικούς (virtual) κροσσούς. Στην πρώτη κατηγορία ανήκουν αυτοί που σχηµατίζονται από συγκλίνουσες διατα-ραχές. Στη δεύτερη, αυτοί που προκύπτουν από αποκλίνουσες ή παράλληλες. Για να δούµε τους τελευταίους θα πρέπει να χρησιµοποιήσουµε οπωσδήποτε ένα συ γκλίνον σύστηµα (π.χ. το µάτι µας ή ένα φακό). ∆ηλ. στην προκειµένη περίπτωση ο κρυσταλλώδης φακός του µατιού µας προσαρµοζόµενος, δηµιουργεί στον αµφι-βληστροειδή ένα συζυγή πραγµατικό χώρο στον οποίο σχηµατίζονται οι κροσσοί δηλ. συγκλίνει τις αρχικά αποκλίνουσες διαταραχές που έχουν δυνατότητα να συµ-βάλλουν. Στην περίπτωση των κροσσών που µελετούµε όπως και γι’αυτούς του Haidinger (βλέπε αµέσως µετά), οι προς συσχετισµό διαταραχές διαδίδονται σε πα-ράλληλες διευθύνσεις. Άρα οι κροσσοί συµβολής θεωρητικάσχηµατίζονται στο ά-πειρο και σε εντελώς συγκεκριµένο επίπεδο. Είναι αυτοί που ονοµάζονται εντοπι-

56

- 128 -

σµένοι (localized). Το ίδιο ακριβώς συµβαίνει και στην περίπτωση που χρησιµο-ποιούµε συγκλίνοντα φακό. Τότε η ακριβής θέση εντοπισµού τους θα είναι το πίσω του εστιακό επίπεδο και όχι οποιαδήποτε άλλη περιοχή. Μια γενικότερη θεώρηση

(Σχ. 8.2.1.5)

όσον αφορά τον εντοπισµό των κροσσών, ο οποίος εξαρτάται από παράγοντες όπως π.χ. η θέση, οι διαστάσεις και η επιπεδότητα της φωτίζουσας πηγής γίνεται στην (§ 8.2.3).

57

- 129 -

Κροσσοί Haidinger Όπως ήδη αναφέραµε, το µέγεθος του χρησιµοποιούµενου φακού για τη σύ-γκλιση των προς συσχετισµό διαταραχών, καθορίζει και τον αριθµό των κυκλικών κροσσών του προτύπου συµβολής που τελικά θα γίνει εµφανές. Συγκεντροποίηση όµως των κροσσών µπορεί να γίνει περί το κέντρο του προτύπου και όταν οι γωνίες πρόσπτωσης θi γίνουν πολύ µικρές. Κροσσοί τέτοιου είδους που παρατηρούνται µε σχεδόν κάθετη πρόσπτωση των διαταραχών ονοµάζονται κροσσοί Haidinger. Η διάταξη του (Σχ. 8.2.1.5) πληρεί τους όρους της σχεδόν κάθετης πρόσπτωσης στο πλακίδιο µέσω του διαχωριστή δέσµης που έχει ως προς αυτό κλίση περίπου 45ο. Οι διαταραχές που προέρχονται από την εκτεταµένη πηγή ανακλώνται µερικώς από την κάτω του επιφάνεια και προσπίπτουν στο πλακίδιο. Κατόπιν τα δηµιουργούµε-να προς συσχετισµό ζεύγη διαταραχών διαπερνούν το διαχωριστή και µε τη βοή-θεια του φακού συµβάλλουν στα διάφορα σηµεία του εστιακού του επιπέδου. Ένα τέτοιου είδους πρότυπο συµβολής φαίνεται στην (Εικ. 8.2.1.6).

(Σχ. 8.2.1.6)

Αποδεικνύεται (βλ. Άσκ. 10) ότι ο κροσσός τάξης m που καταλαµβάνει το κέντρο του προτύπου συµβολής, αντιστοιχεί στη µέγιστη τάξη δηλ. m= mmax όπου:

58

- 130 -

mmax = 2nfd/λο (8.2.1.7) Αν υποθέσουµε επίσης ότι p είναι η τάξη ενός σκοτεινού κροσσού, µετρούµενη όµως από το κέντρο του προτύπου συµβολής, τότε η ακτίνα του xp θα δίνεται από τη σχέση:

2/1

o⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

dλpn

nfx f

p (8.2.1.8)

όπου n ο δ.δ. του περιβάλλοντος το πλακίδιο µέσου και f η εστιακή απόσταση του φακού που δηµιουργεί το πρότυπο, d το πάχος του πλακιδίου δ.δ. nf. Αποδεικνύεται επίσης ότι το εµβαδόν ∆(πx2) µεταξύ δύο οποιωνδήποτε διαδοχικών σκοτεινών κροσσών δίνεται από τη σχέση:

( )dλn

nfππx∆ f o

22 ⋅

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= (8.2.1.9)

Από την τελευταία µπορούµε να δούµε ότι όσο το πάχος d του πλακιδίου ελαττώνε-ται, τόσο το εµβαδόν ∆(πx2) µεταξύ των δύο διαδοχικών κροσσών αυξάνεται. Αυτό σηµαίνει ότι οι κροσσοί µεταξύ τους αραιώνουν. Αν το πάχος του πλακιδίου γίνει µηδενικό, το πεδίο όρασης θα καταλαµβάνεται από ένα κροσσό, δηλ. θα είναι ο-µοιόµορφης έντασης (ελάχιστο). Παράδειγµα Να βρεθεί το µικρότερο πάχος που µπορεί να έχει ένα διαφανές υµένιο δεί-κτη διάθλασης nf =1.51, έτσι ώστε όταν φωτίζεται κάθετα µε παράλληλη δέσµη φωτός µ.κ. 546nm να προκύπτει στο ανακλώµενο ελάχιστο συµβολής. • Η συνθήκη ελαχίστων για τις ανακλώµενες διαταραχές από την πάνω και την κάτω επιφάνεια του υµενίου µε παράλληλες έδρες δίνεται από τη γνωστή σχέ-ση:

( )πmπλ

θπdn

ο

tf 12cos4

−=− , m = 0, 1, 2…

Για κάθετο φωτισµό και για m=1 θα έχουµε τελικά 2dnf= λο οπότε: d=λο /2 nf. Από την τελευταία για λο = 546nm και για nf=1.51 βρίσκουµε: d=0.18 µm. Αν σ’ ένα τέτοιο υµένιο προσπέσει η προαναφερόµενη ακτινοβολία, τότε το ανακλώµενο ποσοστό της θα είναι µηδενικό. Κατά την πρόσπτωση λευκού φωτός από το ανακλώµενο ποσοστό του θα λείπει η περιοχή του φάσµατος γύρω από το µ.κ. λο = 546 nm.

59

- 131 -

8.2.2 Συµβολή από πλακίδια µεταβλητού πάχους (κροσσοί Fizeau) Ας υποθέσουµε ότι µε µια εκτεταµένη πηγή που εκπέµπει ψευδοµονο-

χρωµατικό φως, φωτίζουµε ένα οµογενές και ανισοπαχές πλακίδιο δ.δ. nf (Σχ. 8.2.2.1). Βασικό χαρακτηριστικό για τη διάταξη αυτή είναι το εξής: Η διαφορά των

(Σχ. 8.2.2.1)

οπτικών δρόµων και κατά προέκταση οι διαφορές φάσεων των προκυπτουσών δια-ταραχών, κατά τις ανακλάσεις από την πάνω και κάτω επιφάνεια του πλακιδίου, δεν οφείλονται µόνο στις γωνίες πρόσπτωσης θi αλλά και στον παράγοντα nf·d λό-γω της από σηµείο σε σηµείο µεταβολής του πάχους του πλακιδίου. Αν επίσης θε-ωρήσουµε ότι ένα τέτοιο πλακίδιο φωτίζεται µε σχεδόν κάθετο τρόπο (γεγονός που αποτελεί το σύνολο σχεδόν των περιπτώσεων που εξετάζουµε), τότε θi≅0 και cosθi≅1. Οπότε ο µόνος παράγοντας διαµόρφωσης της διαφοράς φάσης µεταξύ των συµβαλλουσών διαταραχών θα είναι το πάχος d δεδοµένου όπως υποθέσαµε ο δ.δ. nf·είναι σταθερός. Κάτω από αυτές τις συνθήκες, οι νόµοι σχηµατισµού των κροσ-σών στο επίπεδο απεικόνισης του φακού (ή χωρίς αυτόν, στον αµφιβληστροειδή του µατιού µας), θα καθορίζονται από το πάχος d. Για το λόγο αυτό ονοµάζονται κροσσοί ίσου πάχους (fringes of equal thickness). Εποµένως κάθε κροσσός θ’ α-ποτελεί το γεωµετρικό τόπο των σηµείων του πλακιδίου για τα οποία ο οπτικός δρόµος (ή για nf·=σταθ.) το πάχος τους στις θέσεις εκείνες είναι σταθερό. Είναι πολύ βασικό να κατανοήσουµε ότι στις περιπτώσεις αυτές, οι διευθύν-σεις των συµβαλλουσών διαταραχών δεν είναι παράλληλες αλλά αποκλίνουν ελα-

60

- 132 -

φρά (ή σε άλλες περιπτώσεις συγκλίνουν) λόγω της σφηνοειδούς µορφής από ση-µείο σε σηµείο του πλακιδίου. Συνέπεια αυτού του γεγονότος θα είναι ότι το πρό-τυπο συµβολής δεν θα σχηµατίζεται στο πίσω εστιακό επίπεδο του φακού αλλά σ’ ένα επίπεδο απεικόνισης. Το τελευταίο αποτελεί το συζυγές του επιπέδου στο οποίο πράγµατι σχηµατίζονται οι κροσσοί συµβολής (βλ. §8.2.3). Στην (Εικ. 8.2.2.2) φαί-νεται το πρότυπο συµβολής (συµβολογράφηµα) που προέρχεται από ένα πλακίδιο σταθερού δ.δ. και µεταβλητού πάχους. Τέτοιου είδους εικόνες (έγχρωµες ως επί το

(Σχ. 8.2.2.2)

πλείστον), βλέπουµε συχνά στους δρόµους τις βροχερές µέρες. Προέρχονται συνή-θως (βλ. ‘‘Ανάδειξη φαινοµένων που σχετίζονται µε τη συµβολή του φωτός’’), από ανισοπαχή λεπτά υµένια λαδιού αυτοκινήτων, τα οποία εκτείνονται στην επιφάνεια της ασφάλτου, τις ανωµαλίες της οποίας προηγουµένως έχει εξοµαλύνει το ενδιά-µεσο στρώµα νερού. Οι παρατηρούµενοι έγχρωµοι κροσσοί, οφείλονται στο ότι το προσπίπτον από το περιβάλλον φως είναι πολυχρωµατικό. Αυτό θα έχει σαν συνέ-πεια να εντοπίζονται κατανοµές κροσσών συµβολής διαφορετικών χρωµάτων σε διαφορετικές θέσεις.

Μια από τις απλούστερες µορφές πλακιδίων µεταβλητού πάχους είναι τα σφηνοειδή, τα οποία και θα µελετήσουµε στα επόµενα. Θα πρέπει επίσης να διευ-

61

- 133 -

κρινίσουµε ότι οι κροσσοί συµβολής, λαµβάνονται από τις προαναφερόµενες δια-τάξεις ανεξάρτητα του τρόπου φωτισµού των πλακιδίων από σηµειακές ή εκτεταµέ- νες πηγές. Όταν όµως έχουµε σχεδόν κάθετο φωτισµό, τότε οι κροσσοί που παίρ-νουµε ονοµάζονται κροσσοί Fizeau (Fizeau fringes).

Συµβολή από σφηνοειδές πλακίδιο Τα σφηνοειδούς µορφής πλακίδια µπορούν να κατασκευαστούν από τη δια-µόρφωση ενός υλικού δ.δ. nf σε σφήνα, πολύ µικρής όµως διαθλαστικής γωνίας (Σχ. 8.2.2.3α) της τάξης π.χ. του κλάσµατος της µοίρας. Ένας πολύ πιο εύκολος τρόπος δηµιουργίας τέτοιων συστηµάτων είναι µε τη βοήθεια δύο γυάλινων πλα-κών (Σχ. 8.2.2.3β) τις οποίες στο ένα τους άκρο διαχωρίζουµε µε ένα εµπόδιο (π.χ.) ένα φύλλο λεπτού χαρτιού). Τότε η σφήνα θ’ αποτελείται από αέρα του οποίου

(Σχ. 8.2.2.3)

ο δ.δ. είναι nf ≅1 ή µπορεί να πληρούται από ένα υγρό µε δ.δ. nf >1. Ας υποθέσουµε ότι διαθέτουµε µια σφήνα (Σχ. 8.2.2.4) γωνίας α και δ.δ. nf. Τότε για µια σχεδόν κάθετα προσπίπτουσα από την εκτεταµένη πηγή διαταραχή σε απόσταση xm από την κορυφή της σφήνας – όπου το πάχος της είναι dm – θα δηµιουργηθούν µε διαί-ρεση πλάτους δύο. Η πρώτη είναι η ανακλώµενη στο πάνω µέρος της σφήνας και η άλλη από το κάτω κατόπιν διάθλασης. Κατά τα γνωστά, εκτός της διαφοράς φάσης λόγω διάνυσης από την κάθε µια διαφορετικών οπτικών δρόµων, θα υπάρχει και η πρόσθετη φάση των 180ο λόγω του ότι η πρώτη ανακλάται από οπτικά αραιότερο σε οπτικά πυκνότερο µέσο (εφόσον βέβαια n1<nf όπου n1 o δ.δ. του περιβάλλοντος της σφήνα µέσου). Οι δύο διαταραχές διαδίδονται µε κάποια κλίση και διαπερνώ-ντας τον διαχωριστή, µε τη βοήθεια του φακού έρχονται σε επαλληλία και συµβάλ-λουν σ’ ένα επίπεδο. Είναι αυτονόητο ότι για να συµβεί αυτό, θα πρέπει µεταξύ τους να είναι σύµφωνες δηλ. η διαφορά των οπτικών τους δρόµων να είναι µικρό-τερος από το µήκος συµφωνίας των διαταραχών. Εποµένως µπορούµε να εφαρµό-σουµε τις συνθήκες µεγίστων–ελαχίστων συµβολής που δίνονται από τις σχέσεις (σχ. 8.2.1.5-6). Τότε θα έχουµε:

62

- 134 -

( )

... 2 1, 0,

42dcos :min

412cos :max

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=

+=mλ

mθ

λmθd

ft

ft

(8.2.2.1)

(Σχ. 8.2.2.4)

Για σχεδόν κάθετο φωτισµό cosθt ≅ 1. Και επειδή nf = λο /λf όπου λο το µ.κ. της α-κτινοβολίας στον ελεύθερο χώρο τότε οι (σχ. 8.2.2.1) γράφονται:

,...2,1,0 2 :min

212 :max

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

m mλdn

λmdn

οf

οf (8.2.2.2)

Με τη βοήθεια του (Σχ. 8.2.2.4), επειδή η γωνία α είναι πολύ µικρή, βρίσκουµε ότι: d=x⋅α όπου x η θέση σχηµατισµού ενός κροσσού µετρούµενη από την ακµή της σφήνας και d το πάχος της στην ίδια θέση. Εποµένως αν υποθέσουµε ότι στην θέση

63

- 135 -

αυτή πληρούται η συνθήκη σχηµατισµού του m τάξης µεγίστου ή ελαχίστου αντί-στοιχα τότε οι (σχ. 8.2.2.2) γίνονται :

,...2,1,0 2 :min

212 :max

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

m mλαnx

λmαnx

οfm

οfm (8.2.2.3)

Από τον τύπο που µας δίνει τα µέγιστα συµβολής θα έχουµε:

1max : 0,1, 2,...2 2

οm

f

λ x m mαn

⎛ ⎞= + =⎜ ⎟⎝ ⎠

(8.2.2.4)

Εποµένως οι θέσεις των µεγίστων θα εντοπίζονται σε αποστάσεις από την ακµή της σφήνας κατά σειρά: λο/4αnf, 3λο/4αnf, 5λο/4αnf… Η απόσταση µεταξύ δύο διαδοχι-κών µεγίστων (περίοδος) θα είναι ∆x = xm+1 –xm = λο /2αnf (8.2.2.5) Επίσης η διαφορά στο πάχος του υµενίου µεταξύ δύο διαδοχικών µεγίστων θα είναι dm+1 –dm =α(xm+1 –xm)= λο /2nf . Τέλος το πάχος του υµενίου στη θέση σχηµατισµού του m τάξης µεγίστου θα δίνεται από τη σχέση:

dm=αxm = f

ο

nλm

221⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + m= 0,1,2, (8.2.2.6)

Οι σχηµατιζόµενοι από τη σφήνα κροσσοί θα είναι ευθύγραµµοι και παράλληλοι προς την ακµή της. Ο λόγος είναι ότι κατά µήκος της και παράλληλα προς αυτήν, σε µια οποιαδήποτε θέση xm, το πάχος της θα είναι σταθερό. Στη θέση για την ο-ποία x=0, αντιστοιχεί σκοτεινός κροσσός. Πράγµατι από τη σχέση 2xmαnf= mλο , m = 0, 1, 2, …. για m=0 ⇒ x0=0. Στήν (Εικ.8.2.2.5) µπορούµε να δούµε τους κροσ-σούς συµβολής που σχηµατίζονται µέσω µιας σφήνας από αέρα (µεταξύ δύο οπτικά επίπεδων κυκλικών πλακών) και η οποία φωτίζεται σχεδόν κάθετα από εκτεταµένη πηγή µε φως από φασµατική λυχνία Na. Παράδειγµα

∆ύο ίδια πλακίδια από γυαλί µήκους 10cm, εφάπτονται στο ένα άκρο τους, ενώ στο άλλο απέχουν κατά 0.1mm σχηµατίζοντας έτσι ένα υµένιο αέρα σε σχήµα λεπτής σφήνας. Πόσους κροσσούς ανά mm µπορούµε να παρατηρήσουµε φωτίζο-ντας το σύστηµα σχεδόν κάθετα µε φως µ.κ. 632,8nm; • H γωνία που σχηµατίζουν τα δύο πλακίδια της σφήνας θα δίνεται από τη σχέση: tαn α ≅ α = 0.1/100 = 0.001 rad. Εποµένως η περίοδος των κροσσών συµβο-λής µε βάση τη (σχ. 8.2.2.5) θα είναι ∆x=λο/2α (nf=1) ≅ 0.316mm.Άρα ο αριθµός των κροσσών ανά mm θα είναι: Ν=1/∆ x ≅ 3.16.

64

- 136 -

(Εικ.8.2.2.5) Με την προϋπόθεση ότι η σφήνα είναι λεπτή και φωτίζεται σχεδόν κάθετα,

αποδεικνύεται (§ 8.2.3) ότι οι κροσσοί συµβολής εντοπίζονται στην πάνω ή στον κάτω επιφάνειά της. Τότε κατά προσέγγιση µπορούµε να θεωρήσουµε ότι σχηµατί-ζονται στο ενδιάµεσο στρώµα της λόγω της λεπτότητάς της. Ο τρόπος σχηµατισµού των κροσσών φαίνεται ενδεικτικά στο (Σχ. 8.2.2.6).

(Σχ. 8.2.2.6)

65

- 137 -

Εκεί οι δύο αποκλίνουσες διαταραχές, οι ανακλώµενες από τις δύο επιφάνειες της σφήνας, νοητά φαίνεται να συµβάλλουν στο σηµείο Ρ, σηµείο στο οποίο τέµνονται οι προεκτάσεις τους. Το σηµείο Ρ βρίσκεται εκτός της σφήνας, επειδή η διαθλαστι-κή της γωνία (για την περίπτωση που εξετάζουµε) είναι µεγάλη και η προσπίπτου-σα διαταραχή έχει επίσης µεγάλη κλίση σε σχέση µε την κατακόρυφη στην κάτω της επιφάνεια (µη κάθετος φωτισµός) Αν προσαρµόσουµε το µάτι µας έτσι ώστε να βλέπουµε καθαρά το σηµείο Ρ, τότε στην πραγµατικότητα οι αποκλίνουσες διατα-ραχές θα συµβάλλουν στο σηµείο Ρ΄ του αµφιβληστροειδούς. Το Ρ΄ είναι συζυγές του Ρ ως προς τον κρυσταλλώδη φακό. Άρα το πρότυπο συµβολής σχηµατίζεται στο µάτι µας και λόγω του ότι το τελευταίο ‘‘βλέπει’’ κατά την προέκταση της δι-εύθυνσης των συµβαλλουσών διαταραχών, έχουµε την εντύπωση ότι οι κροσσοί σχηµατίζονται στην περιοχή της σφήνας (φανταστικοί κροσσοί). Αν βέβαια όπως φαίνεται στο (Σχ. 8.2.2.6β) η σφήνα είναι λεπτή και ο φωτισµός είναι σχεδόν κάθε-τος, τότε τα σηµεία σύγκλισης Ρ1, Ρ2, Ρ3 των αποκλινουσών ζευγών διαταραχών για όλες τις προσπίπτουσες θα βρίσκονται σχεδόν σε επαφή µε την κάτω επιφάνειά της (βλ.§ 8.2.3). Για να φωτίσουµε το σφήνα σχεδόν κάθετα, µπορούµε όπως φαίνεται στο (Σχ. 8.2.2.7α) να χρησιµοποιήσουµε σηµειακή πηγή τοποθετηµένη στο εµπρός εστιακό επίπεδο ενός θετικού φακού. Τότε το προκύπτον µέτωπο κύµατος είναι ε-πίπεδο που τµήµα του µε τη βοήθεια ενός διαχωριστή δέσµης - µε κλίση σχεδόν 45ο ως προς το επίπεδο της σφήνας - πέφτει σχεδόν κάθετα στην επιφάνειά της. Η ση-

(Σχ. 8.2.2.7)

66

- 138 -

µειακή πηγή όµως, παρά το ότι σχηµατίζει κροσσούς µεγάλης φωτοαντίθεσης, έχει το µειονέκτηµα ότι µας δίνει πρότυπο συµβολής µικρής λαµπρότητας. Για το λόγο αυτό αναζητούνται τρόποι φωτισµού µε τη βοήθεια εκτεταµένων πηγών.

Στη γενικότερη περίπτωση φωτισµού µιας συµβολοµετρικής διάταξης µ’ ε-κτεταµένη πηγή, η φωτοαντίθεση των κροσσών συµβολής ελαττώνεται (βλ. § 8.2.3). Το γεγονός οφείλεται στην ασύµφωνη επαλληλία (πρόσθεση εντάσεων ) των προτύπων συµβολής που προκύπτουν από τα διαφορετικά σηµεία της πηγής και που παρουσιάζουν γενικά διαφορές φάσης µεταξύ τους. Υφίσταται όµως -όπως α-ποδεικνύεται- µία περίπτωση κατά την οποία έχουµε τη δυνατότητα να χρησιµο-ποιήσουµε επίπεδα εκτεταµένη πηγή χωρίς ελάττωση της φωτοαντίθεσης των κροσσών και µε ταυτόχρονη αύξηση της λαµπρότητάς τους. Ο κανόνας είναι ο ε-ξής: Το επίπεδο της εκτεταµένης πηγής, πρέπει να είναι σχεδόν παράλληλο µε το επίπεδο το οποίο ορίζεται από την διχοτόµο των διευθύνσεων των δύο προς συσχε-τισµό αποκλινουσών διαταραχών και της καθέτου προς αυτή. Η συγκεκριµένη συν-θήκη πληρούται από την εκτεταµένη πηγή που φωτίζει τη διάταξη του (Σχ. 8.2.2.7β).

Αν τώρα τοποθετήσουµε δύο σε επαφή πλακίδια από γυαλί, το πιο πιθανό συµβολογράφηµα που θα δούµε είναι της µορφής της (Εικ. 8.2.2.2). Πράγµατι όσο καθαρές και αν είναι οι προς επαφή επιφάνειες, πάντα θα υπάρχουν µεταξύ τους µικροσωµατίδια (π.χ. σκόνη). Το γεγονός θα έχει σαν συνέπεια τη δηµιουργία µε-ταξύ τους υµενίων αέρα διαφορετικού πάχους. Τότε το µοντέλο των σχηµατιζόµε-νων κροσσών (το οποίο τις περισσότερες φορές δεν είναι συµµετρικό), θ’ αποτελεί - όπως ήδη αναφέραµε- τον γεωµετρικό τόπο των σηµείων του υµενίου από αέρα για τα οποία ο οπτικός δρόµος (και επειδή nf ≅1) το πάχος τους είναι στις θέσεις ε-κείνες σταθερό. Πάντα βέβαια µε την προϋπόθεση ότι οι σε επαφή επιφάνειες είναι οπτικά επίπεδες δηλ. λειασµένες σε τέτοιο βαθµό ώστε η µέση τετραγωνική από-κλιση των ανώµαλων τους να είναι µικρότερη του λ/4 όπου λ το µ.κ. της χρησιµο-ποιούµενης προς φωτισµό ακτινοβολίας. Αν όµως δεν συµβαίνει αυτό για διάφο-ρους λόγους, τότε οι διακυµάνσεις στην επιπεδότητα των επιφανειών δηµιουργούν µεταβαλλόµενου πάχους υµένια µε αποτέλεσµα φωτιζόµενα να µας οδηγούν σε συµβολογραφήµατα όµοια µ’ αυτά που περιγράψαµε προηγουµένως. Τα προανα-φερόµενα αποτελούν εκφάνσεις µιας από τις αξιολογότερες, ακριβείς και σε ευρεία κλίµακα χρησιµοποιούµενες συµβολοµετρικές µεθόδους ελέγχου της ποιότητας των επιφανειών των διαφόρων οπτικών εξαρτηµάτων (π.χ. φακών, πρισµάτων, κατό-πτρων κλπ.). Ένα παράδειγµα εισαγωγικό αυτής της µεθοδολογίας, αποτελεί ο τρό-πος παραγωγής ενός συµβολογραφήµατος µε την πολύ γνωστή ονοµασία ‘‘δακτύ-λιοι του Newton’’.

67

- 139 -

∆ιάταξη Newton Η διάταξη µε την οποία γίνεται δυνατή η λήψη ενός προτύπου συµβολής κυκλικής συµµετρίας κροσσών ίσου πάχους φαίνεται στο (Σχ. 8.2.2.8). Αν και ο φωτισµός του συστήµατος µπορεί να γίνει όπως προαναφέραµε µε εκτεταµένη πη-γή, προκειµένου να δοθεί έµφαση στον κάθετο τρόπο φωτισµού χρησιµοποιούµε τη σηµειακή πηγή S όπου µε τη βοήθεια του θετικού φακού L παίρνουµε ένα επίπε-δο µέτωπο κύµατος.

(Σχ. 8.2.2.8)

Τότε µέσω ενός διαχωριστή δέσµης Β σε θέση 45ο ως προς την οριζόντια

φωτίζουµε σχεδόν κάθετα το εξής σύστηµα: Πρόκειται για ένα πλακίδιο Π µε πα-ράλληλες έδρες, το οποίο είναι οπτικά επίπεδο. Επάνω του ακριβώς είναι τοποθε-τηµένος ένας επιπεδόκυρτος φακός L΄ µεγάλης ακτίνας καµπυλότητας (π.χ. 30m), µε τα κυρτά προς τα κάτω. Τότε µεταξύ φακού L΄ και πλακιδίου Π σχηµατίζεται µια σφήνα από αέρα µεταβλητής βέβαια διαθλαστικής γωνίας. Στο σχήµα η σφήνα αυτή υπερτονίζεται για εποπτικούς λόγους, ενώ στην πραγµατικότητα είναι πολύ µικρού πάχους. Όπως θα δούµε στα επόµενα, αποτελεί τη γενεσιουργό αιτία ενός κυκλικής συµµετρίας συµβολογραφήµατος το οποίο αποκαλείται δακτύλιοι του Newton.

68

- 140 -

Πράγµατι µια διαταραχή η οποία προσπίπτει σχεδόν κάθετα στην πάνω επι-φάνεια της σφήνας, κατά τα γνωστά, µερικώς ανακλάται και µερικώς διαθλάται προς το εσωτερικό της. Η διαθλώµενη ανακλάται στην πάνω επιφάνεια του πλακι-δίου Π και συνεχίζει διαδιδόµενη µε µια µικρή κλίση ως προς την πρώτη. Τελικά οι δύο διαταραχές µέσω ενός φακού L΄΄, είναι δυνατόν να έλθουν σε επαλληλία και εφόσον πληρούνται οι συνθήκες συµφωνίας να συµβάλλουν σ’ ένα σηµείο Ρ του επιπέδου απεικόνισης. Γίνεται εύκολα κατανοητό ότι λόγω της κυκλικής συµµετρί-ας της σφήνας, οι γεωµετρικοί τόποι των µεγίστων και ελαχίστων της κατανοµής της έντασης θ’ αποτελούν κυκλικούς δακτυλίους µε κέντρο συµµετρίας το σηµείο επαφής φακού και πλακιδίου. Στην περίπτωση που η παρατήρηση γίνει µέσω του µατιού µας, θα βλέπουµε το πρότυπο συµβολής σαν να σχηµατίζεται στο χώρο α-νάµεσα στη σφήνα µε την προϋπόθεση βέβαια ότι ο φωτισµός είναι σχεδόν κάθε-τος. Η (Εικ. 8.2.2.9β) µας δείχνει το πρότυπο συµβολής των δακτυλίων του Newton.

(Σχ. 8.2.2.9)

Οι συνθήκες µεγίστων και ελαχίστων συµβολής τάξης m θα δίνονται κατά τα

γνωστά από τις (σχ. 8.2.2.2) και ισχύουν για σχεδόν κάθετο φωτισµό:

max: 2 = +

12

min: 2 = = 0,1,2...

d n m λ

d n mλmm f o

m f o

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎫

⎬⎪

⎭⎪ (8.2.2.7)

Όµως από το (Σχ. 8.2.2.9α) και συγκεκριµένα από το τρίγωνο ΟΑΒ βρίσκουµε ότι x m

2 = R2-(R-dm)2 = 2Rdm - d m2 και επειδή R>>dm θα έχουµε:

69

- 141 -

x m2 = 2Rdm (8.2.2.8)

Τότε µε συνδυασµό των (σχ. 8.2.2.7,8) βρίσκουµε ότι οι ακτίνες xm οι οποίες αντι-στοιχούν σε θέσεις µεγίστων ή ελαχίστων συµβολής θα δίνονται από τις σχέσεις:

max: = +

12

min: =

= 0, 1, 2, ...

1/2

1/2

x mλ Rn

xmλ R

n

mm

ο

f

mο

f

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

⎫

⎬

⎪⎪

⎭

⎪⎪

(8.2.2.9)

όπου nf ο δ.δ. της σφήνας (για τον αέρα nf ≅ 1) και λο το µ.κ. στον ελεύθερο χώρο. Είναι προφανές από την δεύτερη των (σχ. 8.2.2.9) ότι το κέντρο του προτύπου των δακτυλίων του Newton (εκεί όπου dm=0 → xm = 0) αντιστοιχεί σε ελάχιστο συµβο-λής δηλ. σε σκοτεινό κροσσό. Το αντίθετο ακριβώς θα συµβαίνει για την αλληλου-χία εµφάνισης των κροσσών του προτύπου συµβολής των δακτυλίων του Newton όσον αφορά τις διαθλώµενες διαταραχές (δηλ. τις αναδυόµενες από την κάτω επι-φάνεια του πλακιδίου) (βλ. Σχ. 8.2.2.9α). Τότε το κέντρο του θα αντιστοιχεί σε µέ-γιστο συµβολής δηλ. θα καταλαµβάνεται από φωτεινό κροσσό (Εικ. 8.2.2.9β). Το γεγονός οφείλεται -όπως είναι ήδη γνωστό- στο ότι η διαταραχή µε πλάτος Ε2t, α-νακλάται δύο φορές από οπτικά αραιότερο σε οπτικά πυκνότερο µέσο (εφόσον nf <n) ενώ η Ε1t καµία. ∆ηλ. στην πραγµατικότητα θα έχουµε αντιστροφή της φωτοα-ντίθεσης µεταξύ των δύο προτύπων συµβολής. Παράδειγµα Επιπεδόκυρτος φακός ακτίνας καµπυλότητας R=30m, εφάπτεται µε το κυρτό του µέρος σε οπτικά επίπεδη επιφάνεια και φωτίζεται σχεδόν κάθετα µε το φως λυ-χνίας Να µε λο = 589,29nm. Να υπολογιστεί κατ’ αρχήν ο λόγος των ακτίνων m τά-ξης των σκοτεινών κροσσών για τις δύο περιπτώσεις όπου το ενδιάµεσο της σφήνας είναι ο αέρας nfα=1 και όταν πληρούται από γλυκερίνη µε δ.δ. nfγ=1.4721. Ποιο εί-ναι το µήκος των ακτίνων τάξης m=20; • Η σχέση που µας δίνει το µήκος της ακτίνας σκοτεινού κροσσού τάξης m όταν ο δ.δ. της σφήνας είναι nf δίνεται από τη σχέση: x m

2 = m ⋅λοR/nf Εποµένως ο λόγος των ακτίνων για τις δύο περιπτώσεις είναι:

fα

fγ

mγ

mα

nn

xx

= ,

δηλ. δεν εξαρτάται από την τάξη m. Επειδή nfα=1και nfγ=1.4721 βρίσκουµε: xmα/xmγ =1.2133. Επίσης από την πρώτη σχέση βρίσκουµε: (x20)α =15.497mm και (x20)γ =18.8mm.

70

- 142 -

Ένα ερώτηµα το οποίο θα µπορούσε να τεθεί είναι για ποιο λόγο εκτός των

διαταραχών µε πλάτη Ε1r, Ε2r να µην συσχετίζεται µεταξύ τους και η διαταραχή Εr η προκύπτουσα από την πρώτη ανακλώµενη στην πάνω επιφάνεια του φακού (Σχ. 8.2.2.9α). Η απάντηση δίνεται µε τη βοήθεια της εφαρµογής των συνθηκών συµ-φωνίας. Πράγµατι αν φωτίσουµε τη διάταξη (γεγονός που αποτελεί συνήθη τακτι-κή) µε ψευδοµονοχρωµατικό φως (π.χ. φως της πράσινης γραµµής της φασµατικής λυχνίας Hg), τότε η διαφορά οπτικού δρόµου µεταξύ των Εr και των Ε1r, Ε2r θα εί-ναι στις περισσότερες των περιπτώσεων µεγαλύτερη του µήκους συµφωνίας αυτού του φωτός. Εποµένως ερχόµενες σε επαλληλία δεν θα µπορούν να συσχετιστούν. Αν όµως η διάταξη φωτιστεί µε φως που προέρχεται από πηγή Laser, τότε λόγω του µεγάλου µήκους συµφωνίας αυτών των διαταραχών θα πρέπει να είµαστε προσε-κτικοί όσον αφορά την εφαρµογή των προαναφεροµένων σχέσεων. Οι σχηµατιζόµενοι δακτύλιοι, Newton είναι κροσσοί ίσου πάχους και η α-κρίβεια της καµπυλότητάς τους αφορά άµεσα την ακρίβεια της σφαιρικότητας του φακού. Αν κατά τη διαδικασία λείανσής του παραµείνουν επιφανειακές ανωµαλίες, τότε το παρατηρούµενο πρότυπο συµβολής θα εµφανίσει παραµορφώσεις χαρακτη-ριστικές των σφαλµάτων (βλ. §8.2.6). Τα προηγούµενα µε την προϋπόθεση ότι το πλακίδιο µε το οποίο βρίσκεται σε επαφή ο φακός είναι οπτικά επίπεδο έτσι ώστε να µην εµφανίζει σφάλµατα χρησιµοποιούµενο σαν αναφορά. Ένα σύνηθες υλικό κατασκευής πλακιδίων αναφοράς είναι ο τετηγµένος χαλαζίας (βλ. Πόλωση του φωτός § 5.3), ο οποίος είναι δύσκαµπτος, παρουσιάζει µεγάλη σκληρότητα και έχει πολύ µικρό συντελεστή θερµικής διαστολής. Πλακίδια από σύνθετες ενώσεις γυα-λιού-κεραµικών χαρακτηρίζονται από πολύ µικρότερους συντελεστές θερµικής δι-αστολής και τα όρια της οπτικής τους επιπεδότητας µπορούν να φθάσουν σε τιµές µικρότερες του λ/200. Το πάνω όριο του λ/4 είναι εντελώς απαραίτητο προκειµένου να µην έχουµε σηµαντική παραµόρφωση του µετώπου κύµατος. Αν π.χ. για δύο παραπλήσια σηµεία της επιφάνειας το σφάλµα στην επιπεδότητα είναι λ/2 (δηλ. το µισό του χρησιµοποιούµενου µ.κ της φωτίζουσας τη διάταξη ακτινοβολίας), τότε οι διαταραχές οι προερχόµενες από αυτά τα σηµεία, αντί να βρίσκονται σε φάση θα είναι σε αντίθεση φάσης (δηλ. θα διαφέρουν κατά ∆δ=180ο) γεγονός που είναι ε-ντελώς ανεπιθύµητο. Γίνεται τελικά κατανοητό από τα προαναφερόµενα, ότι µέσω της συµβολοµετρίας, µπορούν να προκύψουν µεγάλης ακρίβειας µέθοδες ποιοτικού και ποσοτικού ελέγχου (µετρολογίας). Στα επόµενα µε τη µελέτη των συµβολοµέ-τρων Michelson, Fabry-Perot και άλλων συναφών, οι µέθοδες θα γίνουν περισσό-τερο κατανοητές.

71

8.2.5 Συμβολόμετρο Michelson Ανήκει στα συμβολόμετρα διαίρεσης πλάτους. Αποτελείται (Σχ. 8.2.5.1α) από ένα διαχωριστή δέσμης Δ του οποίου η πίσω επιφάνεια είναι επικαλυμμένη με ημιδιαφανές μεταλλικό υμένιο, προκειμένου ν’ αυξηθεί η ανακλαστικότητά της (§ 7.2.2). Έχει κλίση 45ο σε σχέση με το επίπεδο μιας εκτεταμένης δευτερεύουσας πη-

(Σχ. 8.2.5.1)

γής Σ (πλάκα από θαμπόγυαλο), η οποία φωτίζεται με το φως μιας φασματικής λυ-χνίας Φ. Μετά το διαχωριστή και παράλληλα προς την πηγή Σ βρίσκεται το επίπεδο κάτοπτρο Μ1. Ένα δεύτερο κάτοπτρο Μ2 σε ορθογώνια θέση με το πρώτο, έχει προ-σανατολισμό κάθετο προς τη διεύθυνση της ανακλώμενης από το διαχωριστή και έχει τη δυνατότητα της μπρoς- πίσω μετακίνησης. Το κάτοπτρο Μ1 μπορεί να διευ-θετηθεί έτσι ώστε σε σχέση με το Μ2: α) να είναι μεταξύ τους ορθογώνια, β) να βρίσκονται σε κλίση έτσι ώστε μεταξύ τους να σχηματίζουν μια σφήνα, που η ακμή τους να είναι κάθετη προς τη βάση του συμβολομέτρου και γ) στη γενικότερη περί-πτωση, τα επίπεδά τους να έχουν μια τυχαία θέση στο χώρο. Ένα άλλο εξάρτημα του συμβολομέτρου είναι ο αντισταθμιστής C. Είναι από το ίδιο διαφανές υλικό με το διαχωριστή, έχει το ίδιο πάχος και τοποθετείται σε παράλληλη θέση μετά από αυτόν. Η χρησιμότητά του θ’ αναφερθεί στα επόμενα. Μεγάλο ενδιαφέρον παρουσιάζει ο τρόπος με τον οποίο επιτυγχάνεται ο σχηματισμός των κροσσών μέσω του συμβολομέτρου. Κατ’ αρχήν για λόγους α-πλότητας, θα θεωρήσουμε την πρόσπτωση στην πρώτη επιφάνεια του διαχωριστή μιας διαταραχής που προέρχεται από την πηγή χωρίς κλίση ως προς την ευθεία που

72

ενώνει διαχωριστή και κάτοπτρο Μ1. (Σχ. 8.2.5.1β). Η τελευταία, μετά την πρό-σπτωσή της στην πρώτη επιφάνεια του διαχωριστή κατά τα γνωστά μερικώς ανα-κλάται (στο σχήμα παριστάνεται με διακεκομμένη γραμμή) σε ποσοστό ≅5%. Το υπόλοιπο διαθλάται, προσπίπτοντας στη δεύτερη επιφάνεια του διαχωριστή οποία όμως είναι επικαλυμμένη με το ανακλαστικό μεταλλικό ημιδιαφανές υμένιο. Εδώ ακριβώς είναι που γίνεται ο εξ ίσου διαχωρισμός (συνεχείς γραμμές) της διαθλώμε-νης σε δύο μέρη α) Στο τμήμα που ανακλάται στο εσωτερικό του διαχωριστή και διαθλώμενο διαδίδεται κάθετα προς το κάτοπτρο Μ2 και β) στο τμήμα που διαθλά-ται εκτός του υμενίου και διαδίδεται κάθετα προς το κάτοπτρο Μ1. Ο εξ ίσου περί-που διαχωρισμός ως προς την ένταση της προσπίπτουσας στο υμένιο, επιτυγχάνεται με κατάλληλο πάχος επίστρωσης. Όσο για την ανακλώμενη δέσμη από την πρώτη επιφάνεια (γυάλινη) του διαχωριστή, δεν λαμβάνεται υπ’ όψιν στη διαδικασία της συμβολής λόγω της μικρής της τιμής. Χρησιμοποιείται όμως για τη ρύθμιση της καθετότητας των κατόπτρων. Η διαταραχή μετά την ανάκλασή της στο κάτοπτρο Μ2 διαπερνά πάλι τον διαχωριστή και μέσω του υμενίου διαδίδεται προς την έξοδο του συμβολομέτρου. Το άλλο τμήμα της, ανακλώμενο στο κάτοπτρο Μ1 (μέσο του αντισταθμιστή) και ξαναανακλώμενο στην επιφάνεια του υμενίου ακολουθεί παράλληλα την πρώτη προς την έξοδο. Οι δύο διαταραχές, έχοντας όπως θα δούμε στα επόμενα μια δια-φορά φάσης μεταξύ τους και εφόσον πληρούνται οι συνθήκες συμφωνίας έχουν τη δυνατότητα να συμβάλλουν. Η κύρια διαφορά δρόμου που επιβάλλεται στις δύο διαταραχές, εξαρτάται από την απόσταση των δύο κατόπτρων Μ1, Μ2 ως προς τον διαχωριστή, όπου γίνεται και η διαίρεση πλάτους. Όμως εάν δεν υπήρχε ο αντι-σταθμιστής, η διαταραχή που διαδίδεται στο κλάδο του κατόπτρου Μ2 θα διαπερ-νούσε δύο φορές επί πλέον το πάχος του διαχωριστή σε σχέση με τη διαδιδόμενη διαταραχή στον κλάδο του κατόπτρου Μ1. Αυτός ακριβώς είναι και ο λόγος παρεμ-βολής του ο οποίος τελικά εξισορροπεί τους οπτικούς δρόμους των δύο διαδρομών. Ένας δεύτερος σημαντικός λόγος της ύπαρξής του είναι η αντιστάθμιση (λόγω αμ-φίδρομης διάνυσής του) της επίδρασης του φαινομένου του διασκεδασμού (βλ. Π.Α.Α.Φ κεφ. 4), όταν για το φωτισμό του συμβολομέτρου χρησιμοποιείται πολυ-χρωματική πηγή.

Σχηματισμός κροσσών ίσης κλίσης μέσω του συμβομέτρου του Michelson

Οι κροσσοί αυτού του είδους (βλ. § 8.2.1) δημιουργούνται μέσω του συμ-βολομέτρου του Michelson, στην περίπτωση που τα κάτοπτρά του Μ1, Μ2 είναι ορ-θογώνια μεταξύ τους με δεδομένο τον φωτισμό από εκτεταμένη πηγή ψευδομονο-

73

χρωματικού φωτός. Η τελευταία συνθήκη αναφέρεται στην πρόσπτωση στο συμβο-λόμετρο διαταραχών με διάφορες γωνίες θ ως προς τον άξονα που συνδέει το δια-χωριστή με το κάτοπτρο Μ1(Σχ. 8.2.5.2). Για το λόγο αυτό θα πρέπει να υπολογι-στεί η διαφορά δρόμου και κατά προέκταση η διαφορά φάσης μεταξύ των δύο προ-κυπτουσών τελικά διαταραχών κατά την έξοδό τους από το συμβολόμετρο. Μέγι-στη βοήθεια προς την κατεύθυνση αυτή, μας προφέρει η γεωμετρική ανάπτυξη της διάταξης κατά μήκος μιας ευθείας μέσω του κατοπτρισμού κατ’ αρχήν της εκτετα-μένης πηγής Σ και του κατόπτρου Μ1 από το επίπεδο του ημιδιαφανούς υμενίου του διαχωριστή Δ. Τότε η πηγή Σ κατοπτρίζεται στην Σ΄ και το κάτοπτρο Μ1 στη θέ-ση . Το μπορεί να εντοπίζεται εμπρός, πίσω ή να ταυτίζεται με το κάτοπτρο Μ

′M1 ′M1

2 ανάλογα με την απόσταση του τελευταίου από τον διαχωριστή. Βρίσκουμε επί-σης τα είδωλα της Σ΄(ειδώλου της πηγής Σ) ως προς τα Μ2 και , τα οποία κατα-λαμβάνουν τις θέσεις και

′M1

′Σ2 ′Σ1 . Είναι πολύ εύκολο γεωμετρικά ν’ υποδείξουμε ότι αν η απόσταση Μ2 ′M1 =d τότε ′Σ2 ′Σ1 =2d. Έστω τώρα ότι μία διαταραχή από τη θέση S της πηγής Σ προσπίπτει με γω-νία θ ως προς τον κάθετο άξονα που συνδέει πηγή Σ και κάτοπτρο Μ1. Υποθέτουμε επίσης ότι ο άξονας και η διεύθυνση της διαταραχής βρίσκονται στο επίπεδο του (Σχ. 8.2.5.2) (το επίπεδο που αποτελεί την βάση του συμβολομέτρου), κάθετα στο οποίο βρίσκονται όλα τα οπτικά του στοιχεία. Η διαταραχή που εκκινεί από τη θέ-ση S, διαχωρίζεται στη θέση Ο΄ και οι δύο πλέον διαταραχές (διακεκομμένες γραμ-μές) μετά τις ανακλάσεις τους στα κάτοπτρα Μ1 και Μ2 εμφανίζονται στην έξοδο του συμβολομέτρου παράλληλα διαδιδόμενες.

Τότε με τη βοήθεια του ματιού μας (προσαρμοσμένου στο άπειρο) ή μέσω ενός θετικού φακού, έρχονται σε επαλληλία (στον αμφιβληστροειδή ή στο εστιακό επίπεδο του φακού αντίστοιχα) και συμβάλλουν με την προϋπόθεση της ύπαρξης συμφωνίας μεταξύ τους. Η ένταση του φωτός στο σημείο της συνάντησής τους, α-νάλογα με τη διαφορά φάσης δ που έχουν αποκτήσει θα δίνεται από τη γνωστή (σχ. 8.1.1.10): I I I I I= + +1 1 1 22 cosδ (8.2.5.1) όπου Ι1,Ι2 οι επί μέρους εντάσεις των διαταραχών στο προαναφερόμενο σημείο. Αντικειμενικός μας σκοπός είναι ο προσδιορισμός της δ και αυτό γίνεται με τη βοήθεια της νοητής γεωμετρικής ανάπτυξης του συμβολομέτρου του Michelson σε μία διεύθυνση. Πράγματι η πορεία της διαταραχής από το σημείο S της πηγής μέσω του πραγματικού συμβολομέτρου, θα είναι αυτή της κατοπτρικής από το S΄ μέσω του νοητού. Επομένως η διαταραχή από το S΄, διαδιδόμενη θ’ ανακλαστεί (διαχωριζόμενη) από τα Μ2 και ′M1 στις θέσεις Q1 και Q2 και οι δύο διαταραχές

74

(Σχ. 8.2.5.2)

75

(συνεχείς γραμμές) θα εγκαταλείψουν το συμβολόμετρο παράλληλες μεταξύ τους και ταυτιζόμενες με τις διευθύνσεις των διαταραχών όπως αυτές σχεδιάστηκαν κα-τά την πορεία τους μέσω του πραγματικού συμβολομέτρου. Οι διαταραχές όμως από τα Q1 και Q2 φαίνεται σαν να προέρχονται από τα σημεία και που είναι τα κατοπτρικά της S΄ ως προς τα Μ

′S1 ′S2

2 και ′M1 . Είναι όμως ′S1 ′S2 =2Μ2 ′M1 = 2d και επει-δή οι , αποτελούν τις δύο φανταστικές πηγές από τις οποίες προέρχονται οι συμβάλλουσες διαταραχές (S΄Q

′S1 ′S2

1= ′S2 Q1 και S΄Q2= ′S1 Q2), τότε η κάθετος από την στην ΄Q′S2 ′S1 2 δηλ. το τμήμα ′S1 Ν θα είναι η διαφορά του οπτικού δρόμου μεταξύ

τους. Επομένως με βάση τα προαναφερόμενα θα έχουμε:

δ = k·( N)= k 2d cosθ = ′S1 θλπd cos4 (8.2.5.2)

Όμως η ανακλώμενη στο υμένιο του διαχωριστή και προερχόμενη από την ανα-κλώμενη στο κάτοπτρο Μ1 ανακλάται από οπτικά αραιότερο μέσο σε οπτικά πυ-κνότερο. Οπότε θα έχουμε μια πρόσθετη διαφορά φάσης που υποθέτουμε κατά προσέγγιση ότι είναι ±180ο (οι επί πλέον φάσεις κατά τις ανακλάσεις των δύο δια-ταραχών στα Μ1, Μ2 αντισταθμίζονται μεταξύ τους). Επομένως η τελική διαφορά φάσης δ μεταξύ των δύο διαταραχών θα είναι:

δ =4πd cosθ

λ π± , (8.2.5.3)

η οποία είναι πανομοιότυπη με αυτήν που μας δίνει η (σχ. 8.2.1.4) και που υπολογί-ζεται από πλακίδιο παραλλήλων εδρών πάχους d. Για την περίπτωσή μας, επειδή το ‘‘πλακίδιο’’ είναι από αέρα (το πάχος του d είναι η διαφορά των αποστάσεων Μ1

και Μ2 από το διαχωριστή) nf=1 και θt≅θ. Επομένως οι συνθήκες μεγίστων και ελα-χίστων για διάφορες τιμές θ της γωνίας πρόσπτωσης των διαταραχών θα δίνονται από τις (σχ. 8.2.1.5, 6):

max:

min: = 0,1,2...

2dcosθ = m+12

λ

2dcosθ = mλ mm o

m o

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎫

⎬⎪

⎭⎪

( . . . )

( . . . )

8 2 5 4

8 2 55

Από τα προηγούμενα γίνεται κατανοητό ότι στην περίπτωση που τα κάτο-πτρα του συμβολομέτρου είναι ορθογώνια μεταξύ τους και το ίδιο φωτίζεται μ’ ε-κτεταμένη πηγή, οι σχηματιζόμενοι κροσσοί είναι κροσσοί ίσης κλίσης δηλ. θα έ-χουν κυκλική συμμετρία (Σχ. 8.2.5.4α). Αν επίσης φωτίσουμε το συμβολόμετρο με σχεδόν κάθετο φωτισμό τότε ομιλούμε για κροσσούς Haidinger. Ένα διευκρινιστι κό διάγραμμα του τρόπου σχηματισμού των κροσσών είναι αυτό του (Σχ. 8.2.5.3). Έστω μια σημειακή πηγή S΄ της εκτεταμένης Σ΄ (ειδώλου της Σ ) εκπέμπει μια-διαταραχή στη διεύθυνση που σχηματίζει γωνία θ με τον άξονα του συμβολομέτρου και βρίσκεται πάνω στο επίπεδο του σχεδίου.Η πηγή Σ΄ βρίσκεται σε επίπεδο κάθε-

76

(Σχ. 8.2.5.3)

77

το ως προς τον άξονα όπως και τα στοιχεία Μ2, ′M1 , ′Σ2 , ′Σ1 . Κατά μήκος του άξο-να στην έξοδο του συμβολομέτρου παρεμβάλλουμε το μάτι μας. Τότε οι δύο προ-κύπτουσες διαταραχές που φαινομενικά προέρχονται από τις σημειακές πηγές

οδεύουν παράλληλα και συγκεντρώνονται από τον κρυσταλλώδη φακό του ματιού μας (προσαρμοσμένου στο άπειρο) στον αμφιβληστροειδή όπου και συμ-βάλλουν στο σημείο S΄΄ το οποίο βρίσκεται στο επίπεδο του σχήματος. Στο ίδιο α-κριβώς επίπεδο βρίσκονται και τα σημεία Q

′S , S1 2′

1, Q2, ′ ′S , S1 2 . Έστω τώρα ότι η σημεια-κή πηγή S΄ (της Σ΄) διαγράφει κύκλο με κέντρο το σημείο της τομής της Σ′ με τον άξονα του συμβολομέτρου. Τότε γίνεται εύκολα κατανοητό ότι τ’ αντίστοιχα ση-μεία S΄΄ που χαρακτηρίζονται από μια καθορισμένη ένταση του προτύπου συμβο-λής, θα διαγράψουν και αυτά κύκλο στη θέση του αμφιβληστροειδή. Επομένως το πρότυπο συμβολής μέσω του συμβολομέτρου του Michelson θα είναι κυκλικής συμμετρίας για την περίπτωση που τα κάτοπτρα Μ1, Μ2 είναι σε ορθογώνια θέση μεταξύ τους.. Τέλος θα πρέπει να επαναλάβουμε ότι αν στην προαναφερόμενη διά-ταξη η συμβολή λαμβάνει χώρα στον αμφιβληστροειδή του ματιού μας, το πρότυπο συμβολής φαίνεται να βρίσκεται στο χώρο του κατόπτρου Μ2. Το γεγονός οφείλε-ται στο ότι το μάτι μας βλέπει κατά την προέκταση των συμβαλλουσών διαταρα-χών. Γνωρίζουμε (σχ. 8.2.5.5), ότι η συνθήκη για το σχηματισμό του m τάξης σκοτεινού κροσσού δίνεται από τη σχέση 2dcosθm = mλ, m= 0,1,2, ... Αν τώρα υπο-θέσουμε ότι το κάτοπτρο Μ2 κινείται προς το Μ1 η απόσταση d μεταξύ τους θα ε-λαττώνεται και επειδή το δεύτερο μέλος της τελευταίας σχέσης παραμένει σταθερό, τότε θ’ αυξάνεται το cos θm δηλ. Τελικά θα ελαττώνεται η γωνία θm με την οποία φαίνεται ο m τάξης σκοτεινός κροσσός. Άρα οι κροσσοί του προτύπου συμβολής θα κινούνται προς το κέντρο εξαφανιζόμενοι διαδοχικά. Έτσι καθώς ελαττώνεται η απόσταση d, θα ελαττώνεται και ο αριθμός των κροσσών που φαίνονται στο πεδίο (Εικ. 8.2.5.4α→β) συγχρόνως όμως θ’ αυξάνεται το μεσοδιάστημα μεταξύ τους (βλ. Άσκ.10). Στη θέση όπου τα Μ2 και ′M1 ταυτίζονται (δηλ. d=0), όλο το πεδίο όρασης θα καλύπτεται από ένα σκοτεινό κροσσό ( λόγω της διαφοράς φάσης των

(Εικ. 8.2.5.4)

78

180ο μεταξύ των συμβαλλουσών διαταραχών) (Εικ. 8.2.5.4γ). Εάν στη συνέχεια το Μ2 απομακρύνεται από το , στο επίπεδο παρατήρησης θα αρχίσουν να εμφανί-ζονται κροσσοί αναδυόμενοι από το κέντρο του προτύπου συμβολής και το μεσο-διάστημα μεταξύ τους θα ελαττώνεται όσο μεγαλύτερη θα γίνεται η απόσταση d (Εικ. 8.2.5.4 δ→ε).

′M1

Εφαρμογή Για το κέντρο του προτύπου συμβολής όπου θm = 0 ⇒ cos θm = 1, άρα 2d =mλ. Οπότε για δύο θέσεις του κατόπτρου Μ2 με τις οποίες επιτυγχάνουμε τη διέ-λευση ενός μόνο κροσσού συμβολής Δm=1 οπότε 2Δd=λ και Δd=λ/2. Δηλ. η δια-δοχική εμφάνιση ή εξαφάνιση ενός κροσσού συμβολής από το κέντρο του προτύ-που σημαίνει μετακίνηση του κατόπτρου Μ2 κατά λ/2. Στο γεγονός αυτό οφείλεται και η μεγάλη ακρίβεια των μετρήσεων που γίνονται με το συμβολόμετρο Michelson. Ο ίδιος ταυτοποίησε το πρότυπο μέτρο (1m), το οποίο βρίσκεται στις Sévres του Παρισιού, με τη βοήθεια της ‘‘κόκκινης’’ γραμμής της φασματικής λυ-χνίας του Cd (λ =643,847nm, Δλ≅0.013 nm). Μέσω του συμβολομέτρου του και με κατάλληλο μηχανισμό μέτρησης, βρήκε ότι το 1m αντιστοιχεί ακριβώς σε 3.106.327 διαβάσεις κροσσών από το κέντρο του προτύπου συμβολής. Δεδομένου ότι κάθε διάβαση κροσσού αντιστοιχεί σε Δd=λ/2 τότε το μήκος του προτύπου μέ-τρου θα είναι 3.106.327x643.847/2 = 0.9999996m. Ο επαναπροσδιορισμός του μέ-τρου έγινε το 1960 με τη βοήθεια της ‘‘κίτρινης’’ γραμμής του 86Kr (λ=587.09158).

79

Εργαστήριο Οπτικής Συμβολή του Φωτός Τμήμα Φυσικής Α.Π.Θ.

Πείραμα 3ο : Μέτρηση μήκους Συμφωνίας θερμικής πηγής λευκού φωτός[ Χρονική Συμφωνία ]

1. Χρονική Συμφωνία [ συνδέεται με το εύρος συχνοτήτων Δν, (ή Δω ή Δλ) που εκπέμπει μία πηγή ]Συμφωνία του Φωτός 2. Χωρική Συμφωνία [ συνδέεται με τις διαστάσεις της πηγής ]

Πηγή Μονοχρωματικού Φωτός [δεν υπάρχει, μαθηματικό μοντέλο]εκπέμπει

ημιτονικούς παλμούς άπειρης διάρκειας, με φάσμα συχνοτήτων, μία συχνότητα(Το φάσμα βρίσκεται αν λάβουμε τον μετασχηματισμό Fourier του παλμού για Δt->άπειρο)

Πηγή Φωτός ημιτονικών παλμών περιορισμένης διάρκειαςεκπέμπει

ημιτονικούς παλμούς διάρκειας Δt, με φάσμα συχνοτήτων εύρους Δν (ή Δω)(Το φάσμα βρίσκεται αν λάβουμε τον μετασχηματισμό Fourier παλμού διαρκειας Δt)

Πραγματικές Πηγές Φωτός (quasi monochromatic sources)εκπέμπουν

ημιτονικούς παλμούς με Γκαουσιανή περιβάλλουσα, περιορισμένης διάρκειας Δt, με ενεργειακό φάσμα συχνοτήτων εύρους Δν ( ή Δλ ), Γκαουσιανής μορφής .(για απόδειξη βλέπε, Εργαστηριακή Οπτική [3]. Επαλληλία Κυμάτων, Συμφωνία και Συμβολή του Φωτός. [ Ε. Βανίδης ], την άσκηση στις σελ. 269-270 )

Wave_packet_%28no_dispersion%29.gif

Δt = τC

κλικ και μετά διπλό κλικ εδώ

Κατά την εκπομπή ενός φάσματος συχνοτήτων (πολλά χρώματα) από μία πηγή, δημιουργείται ένα διακρότημα, που είναι ο κυματοσυρμός που τελικά εκπέμπεται

Σημείωση : Στην περιοχή των ραδιοφωνικών κυμάτων, μπορούμε να προσεγγίσουμε κυματοσυρμούς άπειρης διάρκειας, αν αφήσουμε τις ηλεκτρικές ταλαντώσεις να εκτελούνται μεγάλο χρόνο

Δημιουργήθηκε στις 20/9/2010Α. Ευφραιμίδης80

Εργαστήριο Οπτικής Συμβολή του Φωτός Τμήμα Φυσικής Α.Π.Θ.

2.232 mm

2.218 mm

0.0028 mm

0.0056 mm = 5600 nm

lC = 5600 nm Πού οφείλεται η διαφορά ???

Εμφάνιση κροσσών στη θέση κατόπτρου d 1 =

Εξαφάνιση κροσσών στη θέση κατόπτρου d 2 =

Μετακίνηση του κατόπτρου κατά Δd =(d 2-d1)/5

Διαφορά Οπτικού Δρόμου ΔL = 2*Δd =

Μέτρηση lC Λευκού Φωτός Θερμικής Πηγής

C C

C C

C

1. Χρόνος Συμφωνίας τ , είναι ο χρόνος διάρκειας του κυματοσυρμού Δt = τ2. Μήκος Συμφωνίας l , είναι το μήκος που απλώνεται ο κυματοσυρμός σε χρόνο τ ,

[ l * ] και συνδέεται με το εύρος συχνοτήc t= Δ20

Cτων της πηγής με τη σχέση, l .

Εκφράζει την απόσταση κατά τη διεύθυνση διάδοσης κατά την οποία, το πλάτος και η φάση του κύματος μπορούν να θεωρηθούν σταθερά και το κύμα μπορεί να δώσει

λλ

=Δ

φαινόμενα συμβολής.3. Ισχύει η σχέση Δt*Δν 1

Στο συμβολόμετρο του Michelson, μία δέσμη διαχωρίζεται σε δύο, οι οποίες ακολουθούν τις διαδρομές (1) και (2). Αν η διαφορά Οπτικού Δρόμου των δύο δεσμών ΔL = Διαδρομή(2) - Διαδρομή(1) = 2*Δd είναι μικρότερη από το μήκος Συμφωνίας, τότε παρατηρούνται κροσσοί συμβολής, ΔL < lC. Αν είναι μεγαλύτερη οι κροσσοί χάνονται.Επομένως, μπορούμε να προσδιορίσουμε το μήκος συμφωνίας lC, μετακινώντας το κάτοπτρο και μετρώντας τη μετατόπιση Δd κατά την οποία έχουμε εμφάνιση και εξαφάνιση των κροσσών.

Στην παρακάτω εικόνα φαίνεται πως, με τη μετατόπιση του κατόπτρου, αρχίζουν οι κροσσοί να εξαφανίζονται, καθώς η διαφορά οπτικού δρόμου πλησιάζει το μήκος συμφωνίας.

Fringes.gif

κλικ και μετά διπλό κλικ εδώ

C

0

12 12

2 20

C

Λευκό Φως : Θεωρητικός Υπολογισμός του l Εύρος λ : 390nm - 780nm με μέσο μ.κ. λ 550nmΕύρος ν : 769*10 Hz - 384*10 Hz

5501. l 775.6780 380

12. Δt*Δν 1 Δt=Δν

nm

ά

λλ

εναλλακτικ

= =Δ −

⇒ 1212

8 12C

1 0.002597 *10 sec(769 384)*10

l * 3*10 *0.002597 *10 779c t nm

−

−

= =−

= Δ =

Δημιουργήθηκε στις 20/9/2010Α. Ευφραιμίδης81

- 252 -

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 1

Ένταση ακτινοβολίας. Ένταση του φωτός (Irradiance). (Μια απλουστευµένη έκφραση της αρχής της διατήρησης της ενέργειας στο Η/Μ πεδίο) Μία από τις σηµαντικότερες ιδιότητες ενός Η/Μ πεδίου είναι ότι µεταφέρει

ενέργεια. Το γεγονός προκύπτει από την εφαρµογή της αρχής της διατήρησης της ενέργειας σε χώρο όπου υπάρχουν φορτία και ρεύµατα. Η αρχή εκφράζεται ως ε-ξής: “ο χρονικός λόγος µεταβολής της Η/Μ ενέργειας µέσα σ’ ένα συγκεκριµένο όγκο του πεδίου (δηλ. η ενέργεια που ξοδεύεται ανά µονάδα χρόνου) είναι ίσες αφ’ ενός µεν µε το συνολικά εκτελούµενο έργο από τα πεδία πάνω στα φορτία που πε-ριλαµβάνονται εκεί, συν την χρονικά µεταβαλλόµενη ενέργεια που διαδίδεται δια-µέσου της επιφάνειας που περικλείει αυτόν τον όγκο”. Στην περίπτωση που δεν υ-πάρχουν ρεύµατα στο χώρο η χρονικά µεταβαλλόµενη ενέργεια του Η/Μ πεδίου (δηλ. το έργο που εκτελείται ανά µονάδα χρόνου) είναι ίση µε τη ροή της ενέργειας που διαδίδεται µέσω της επιφάνειας µε τη µορφή Η/Μ κύµατος.

Άρα για να υπολογίσουµε την ενέργεια αυτή, θα πρέπει να υπολογίσουµε την πυκνότητα της ηλεκτρικής και µαγνητικής ενέργειας που υπάρχει σε ένα στοι-χειώδη όγκο και που διαδίδεται µέσω µιας στοιχειώδους επιφάνειας στη µονάδα του χρόνου. Για το κενό είναι γνωστό ότι η πυκνότητα ενέργειας του ηλεκτρικού πεδίου (π.χ. η πυκνότητα µεταξύ των οπλισµών φορτισµένου πυκνωτή) δίνεται από τη σχέση:

20

2Eεu E= (1.1)

όπου Ε η ένταση του ηλεκτ. πεδίου. Επίσης η πυκνότητα του µαγνητικού πεδίου (π.χ. στο εσωτερικό ενός σωληνοειδούς µεγάλου µήκους που διαρρέεται από ρεύµα σταθερής έντασης) δίνεται από τη σχέση:

2B

0

1u Β2µ

= (1.2)

όπου Β η µαγνητική επαγωγή του πεδίου. Μας είναι επίσης γνωστή η σχέση (βλ. Πόλωση του φωτός. ΠΑΡ/ΜΑ 1):

Ε= c ⋅ B (1.3) που υφίστανται µεταξύ των συνιστωσών των διανυσµάτων Ε και Β για ένα διαδι-δόµενο Η/Μ κύµα. ∆εδοµένου επίσης ότι

0 0

1cε µ

= , από τις προηγούµενες σχέ-

σεις βλέπουµε ότι E Bu u= και επειδή E Bu u u= + θα έχουµε τελικά:

2 200u ε Ε Β µ= = (1.4)

82

- 253 -

Θεωρούµε τώρα την απλή περίπτωση αρµονικού επιπέδου Η/Μ κύµατος που διαδί-δεται σε µια διεύθυνση z στο χώρο. Με τη βοήθεια του (Σχ. 1.1) βλέπουµε ότι

(Σχ.1.1)

η ενέργεια η οποία θα διαδοθεί διαµέσου της στοιχειώδους επιφάνειας ∆Α κατά τη διάδοση του κύµατος µε ταχύτητα c σε χρόνο ∆t, είναι αυτή που περιλαµβάνεται στον όγκο (c∆t) ⋅∆Α µεταξύ των θέσεων (1), (2) και δίνεται από τη σχέση:

∆W= u (c∆t) ⋅∆Α (1.5) Άρα η διακινούµενη ενέργεια ανά µονάδα χρόνου και ανά µονάδα επιφάνειας από τη θέση (1) είναι:

( )u c tWS u ct t

∆ ∆Α∆∆ ∆Α ∆ ∆Α

⋅= = = ⋅

⋅ ⋅ (1.6)

Για την περίπτωση της διάδοσης του επιπέδου Η/Μ κύµατος (αλλά και για κάθε άλλη µορφή κύµατος σε οµογενές και ισότροπο µέσο) είναι εµφανές ότι η ροή της ενέργειας γίνεται κατά τη διεύθυνση διάδοσης του κύµατος. Το γεγονός αυτό δη-λώνει το διανυσµατικό χαρακτήρα του µεγέθους S έτσι που µε τη βοήθεια των (σχ. 1.4) και (σχ.1.6) βρίσκουµε:

20

0

= =1 cµ

ε× ×S Ε Β Ε Β (1.7)

Tο S είναι το γνωστό διάνυσµα Poynting. Το µέτρο του S εκφράζει τη χρονικά µε-ταβαλλόµενη ισχύ (ενέργεια ανά µονάδα χρόνου) ανά µονάδα επιφάνειας του δια-διδόµενου Η/Μ κύµατος. Για την περίπτωση ενός αρµονικού γραµµικά πολωµένου κύµατος που διαδίδεται στη διεύθυνση z θα έχουµε:

cos( )cos( )

t kzt kz

ωω

= −= −

o

o

E EB B (1.8)

οπότε:

83

- 254 -

2 2cos0c ( t kz )ε ω= × −o oS E B (1.9) Αν τώρα προσπαθήσουµε να µετρήσουµε τη στιγµιαία τιµή του S δηλ. τη

στιγµιαία τιµή της ενέργειας ανά µονάδα χρόνου ανά µονάδα επιφάνειας µιας προ-σπίπτουσας ακτινοβολίας µε ένα συνηθισµένο ανιχνευτή (µάτι, φωτοδιόδιο, φωτο-γραφικό φιλµ κ.λ.π.) δεν θα το κατορθώσουµε. Ο λόγος είναι η ταχύτατη µεταβολή του µεγέθους S(t). Πράγµατι η συχνότητα των Η/Μ διαταραχών για την ορατή του-λάχιστον περιοχή για την οποία ενδιαφερόµαστε περισσότερο, είναι της τάξης του 1014 Hz συχνότητα στην οποία κανένας από τους προαναφερόµενους ανιχνευτές δεν µπορεί να αποκριθεί. Αυτό όµως που µας ενδιαφέρει τελικά είναι το ενεργειακό αποτέλεσµα της πρόσπτωσης της Η/Μ ακτινοβολίας σε µια επιφάνεια για ένα αρκε-τά µεγάλο χρονικό διάστηµα τ σε σχέση µε την περίοδο Τ του κύµατος. Το γεγονός µας οδηγεί στο να ολοκληρώσουµε χρονικά (για χρόνο τ) το µέτρο του διανύσµατος S. Το αποτέλεσµα θα είναι τελικά µια µέση χρονική ισχύς ανά µονάδα επιφάνειας για το προσπίπτον κύµα. Πράγµατι θα έχουµε: cos2 2

oS c ( t kz )τ

ε ω= × −0 oE B (1.10)

και επειδή cos cost

2 2

t

1 1( t kz ) ( t kz )dt2

τ

ω ωτ

+

− = − =∫

για τ ≥ Τ τότε προκύπτει:

2

2o oo

c cS E2 2τ

ε ε Ι= × = ≡0 0E B (1.11)

Το µέγεθος Ι ονοµάζεται ένταση του φωτός (Irradiance) και είναι ανάλογη του τε-τραγώνου του πλάτους της έντασης Ε0 του ηλεκτρικού πεδίου. Mετρείται σε W/m2.

Ο όρος ένταση του φωτός αναφέρεται για την ορατή περιοχή του Η/Μ φά-σµατος. Εκτός της περιοχής αυτής, επικρατεί ο όρος ένταση ακτινοβολίας και ο ορθός συµβολισµός της είναι Εe (βλ. ΠΑΡ/ΜΑ 2) παρά το ότι συνήθως την συνα-ντούµε να γράφεται σαν Ι ή Ιe. Έτσι όµως συµβολίζεται και το ακτινοµετρικό µέγε-θος της ακτινοβόλου έντασης (W/sr) (βλ. ΠΑΡ/ΜΑ 2) µε την οποία δεν ταυτίζο-νται εννοιολογικά. Για µια περισσότερο λεπτοµερή µελέτη της µεταφοράς ενέρ-γειας από τα H/M κύµατα και την έννοια της έντασης του φωτός (βλ. Ε.Σ.Σ.Φ. κεφ.2).

84