МИНИСТВРСТВО НА ОТБРАНАТАНационален военен университет „Васил Левски”

Факултет „Артилерия, ПВО и КИС”

Георги П. ГеоргиевТатяна Д. Обретенова

Ръководствоза решаване на задачи по Теоретична електротехника

Шумен2006

1

Ръководството е предназначено за обучаващите се (редовно и задочно) по специалностите „Комуникационна техника и технологии” и „Компютърни системи и технологии” в националноя военен университет „Васил Левски”. То може да се използва и от обучаващи се в други висши училища, където се изучава дисциплината „Теоретична електротехника”, както и от инженери, които се интересуват от проблемите свързани с анализа на линейни електрически вериги със съсредоточени параметри.

С показаните решения се цели да се подпомогнат обучаващите се в усвояването на учебния материал по дисциплината „Теоретична електротехника”.

Георги Панайотов ГеоргиевТатяна Димитрова ОбретеноваНВУ „В. Левски”, факултет „Артилерия, ПВО и КИС” – 2006ISBN-10: 954-9681-23-8ISBN-13: 978-954-9681-23-9

2

ПредговорВ това „Ръководство за решаване на задачи по теоретична

електротехника “ е включен учебен материял от разделите – еквивалентни преобразувания на линейни електрически вариги, методи за изчисление на линейни електрически и магнитни вериги, изчисление на линейни електрически вериги при периодични синусоидални и несинусоидални режими и преходни процеси в линейни електрически вериги.

В началото на всеки от посочените раздели са дадени основните теоретични положения, които се използват при решаване на задачите от този раздел.

Поради това, че учебното пособие е предназначено за самостоятелна подготовка на обучаемите по практическото приложение на учебния материял по дисциплината „Теоретична електротехника”, голяма част от задачите са решени изцяло, а за друга част са дадени само отговорите им.

Работата по написването на ръководството се разпределя между отделните автори, както следва: глава първа и глава четвърта са разработени от доц. д-р инж. Георги Панайотов Георгиев, а глава втора и глава трета от гл. ас. инж. Татяна Димитрова Обретенова.

Авторите

3

Глава първаЕквивалентни преобразувания на линейни електрически вериги

1.1. Еквивалентно преобразуване на пасивни елементи от електрически вериги

1.1.1. Видове съединения на резистори (консуматори)Резисторите се представят в електрическите вериги само със

съпротивлението си и за това съединението на резисторите е еквивалентно на съединение на съпротивления. Има три вида съединения на резистори в електрическите вериги – последователно, паралелно и смесено.

Последователно са съединени тези резистори, през които протича един и същи ток, т.е.

(1.1) nIIIII ===== ...321

Съгласно с втория закон на Кирхоф сумата от падовете на напрежения върху отделните резистори е равна на приложеното напрежение на входа на веригата, т.е.

(1.2) =++++=++++= IRIRIRIRUUUUU nn .......... 321321

IRIRRRR n .)....( 321 =++++=

Разделяйки двете страни на равенството (1.2) на тока I получаваме еквивалентното съпротивление R за цялата верига:

(1.3) ∑=

=+++==n

kkn RRRRRR

I

U

1321 ...

Като се умножи израза за R (1.3) с 2I се получава израза за общата мощност във веригата:

(1.4) 223

22

21 ....... IRIRIRIR n++++ или

∑=

=++++=n

kkn PPPPPP

1321 ...

Паралелно са съединени тези резистори, на които е приложено едно и също напрежение между два възела, т.е.

(1.5) nUUUUU ===== ...321

Съгласно с първия закон на Кирхоф, токът в неразклонената част на веригата е равен на сумата от токовете през различните резистори, които образуват клоновете на веригата, т.е.

4

(1.6) =++++=++++=n

n R

U

R

U

R

U

R

UIIIII ......

321321

R

U

RRRRU

n

=

++++= 1

...111

.321

Разделяйки цвете страни на равенство (1.6) на напрежението U

и имайки предвид, че отношението R

1 е реципрочната стойност на

еквивалентното съпротивление R , получаваме:

(1.7) ∑=

=++++=n

k kn RRRRRR 1321

11...

1111 или ∑

=

= n

k kR

R

1

11

Като се има предвид, че реципрочната стойност на съпротивлението R представлява проводимостта G , уравнение (1.7) се преобразува в уравнение на проводимостите:

(1.8) ∑=

=++++=n

kkn GGGGGG

1321 ...

Уравнение (1.7) дава възможност да се определи общата мощност във веригата като се умножат двете му страни с 2U , т.е.

(1.9)nR

U

R

U

R

U

R

U

R

U 2

3

2

2

2

1

22

... ++++= или ∑=

=++++=n

kkn PPPPPP

1321 ...

От уравнения (1.4) и (1.9) следва, че по отношение на мощностите веригите от последователно и паралелно съединени резистори (консуматори) са напълно равностойни.

Смесеното съединение на резистори представлява комбинация между последователно и паралелно съединение на резистори. Общовалидни формули за еквивалентното съпротивление, падовете на напрежение, токовете и мощностите при вериги със смесено съединение на резистори не съществуват поради голямото им разнообразие. При решаване на такива вериги се постъпва по следния начин – най-напред се намира еквивалентното съпротивление по пътя на опростяване на веригата, като в крайна сметка се получава едно от познатите съединения (при това се ползват формулите съответно за последователно и паралелно съединение на резистори), след което се преминава към изчисление на останалите величини.

Задача 1.1 Определете токовете и напреженията в отделните участъци на веригата дадена на фиг. 1.1 , ако напрежението на входа на веригата е 240=U V ,а съпротивленията са 5,021 == RR Ω; 1053 == RR Ω ; 5764 === RRR Ω.

5

Решение: Непосредственото определяне на токовете в клоновете на веригата е невъзможно, тъй като е неизвестно разпределението на напреженията в отделните участъци. По пътя на постепенното опростяване на веригата ще намерим еквивалентното съпротивление, което ще ни позволи да определим токовете в неразклонените части на веригата:

( ) ( )5

1055

10.55.

576

576 =++

+=++

+=RRR

RRRRBC Ω

( ) ( )5

1055

10.55.

34

34 =++

+=++

+=RRR

RRRR

BC

BCAB Ω

65,055,021 =++=++= RRRR ABe ΩТокът в неразклонената част на веригата определяме по закона на

Ом:

406

2401 ===

eR

UI A

Напрежението между възлите А и В е:20040.5. 1 === IRU ABAB V, или

( ) ( ) 20040.5,05,0240. 121 =+−=+−= IRRUU AB V.Токовете 3I и 4I се определят по следния начин

2010

200

33 ===

R

UI AB A

202040314 =−=−= III AТокът 5I е равен на токът 6I като токове в паралелни клонове

с равни съпротивления, т.е.

102

20

24

65 ==== III A

Напреженията BCU и ACU имат следните стойности:

6

10010.10. 55 === IRU BC V10020.5. 44 === IRU AC V

200100100 =+=+= ACBCAB UUU V.

Задача 1.2. Определете напреженията и токовете в отделните участъци на веригата дадена на фиг. 1.2., ако 205 =I A ; 831 == RR Ω ;

442 == RR Ω ; 265 == RR Ω ; 37 =R Ω.

Решение: Напреженията в отделните участъци са :4020.2. 55 === IRU ed V

8020.88

8.8.

... 5

31

313311 =

+=

+=== I

RR

RRIRIRU ce V

1208040 =+=+= edcecd UUU VТоковете в отделните клонове на веригата са:

108

80

131 ====

R

UII ce A

3032

8.120

44

4.42

120.

42

426

6 ==

++

=

++

=

RR

RRR

UI cd

A

Тъй като 442 == RR Ω, то 152

30

26

42 ==== III A

Напрежението 6015.4. 22 === IRU cf V

Токът 403

120

77 ===

R

UI cd A

Токът в неразклонената част на веригата се определя по първия закон на Кирхоф

90403020765 =++=++= IIII A

7

Задача 1.3. На фиг. 1.3. е дадена електрическа верига, чиито параметри са: 101 =R Ω; 52 =R Ω; 153 =R Ω; 64 =R Ω; 125 =R Ω; 96 =R Ω . Да се определи при какво напрежение 12U потенциалната разлика между точките a и b ще бъде 100=abU V.

Отговор : 30012 =U V.

1.1.2. Видове съединения на кондензаториПоследователно са съединени тези кондензатори, които имат

един и същи електрически заряд равен на заряда на кондензаторната батерия получен от захранващия токоизточник, т.е.

(1.10) nQQQQQ ===== ...321

Съгласно с втория закон на Кирхоф сумата от падовете на напрежения върху отделните кондензатори е равна на приложеното напрежение на входа на веригата:

(1.11) =++++=++++=n

n C

Q

C

Q

C

Q

C

QUUUUU ......

321321

C

Q

CCCCQ

n

=

++++= 1

...111

.321

Разделяйки двете страни на равенство (1.11) на заряда Q и

имайки предвид, че C

Q представлява реципрочната стойност на

електрическия капацитет C се получава уравнението:

(1.12) ∑=

=++++==n

k kn CCCCCCQ

U

1321

11...

1111 или ∑

=

= n

k kC

C

1

11

Паралелно са съединени тези кондензатори, на които е приложено едно и също напрежение между два възела, т.е.

(1.13) nUUUUU ===== ...321

8

Съгласно с първия закон на Кирхоф зарядът в неразклонената част от веригата е равен на сумата от зарядите през различните кондензатори, които образуват клоновете на веригата, т.е.

(1.14) =++++=++++= UCUCUCUCQQQQQ nn .......... 321321

( )nCCCCU ++++= .... 321 .Разделяйки двете страни на равенство (1.14) на напрежението

U получаваме еквивалентния капацитет за цялата верига:

(1.15) ∑=

=++++==n

kkn CCCCCC

U

Q

1321 ...

Смесеното съединение на кондензатори представлява комбинация от последователно и паралелно съединение. Общовалидни формули за намиране на еквивалентния капацитет в този случай не съществуват. За всеки отделен случай задачата за намиране на еквивалентния капацитет на смесено съединените кондензатори се решава поотделно по пътя на опростяване на схемата, като се прилагат формулите съответно за последователно и паралелно съединение на кондензатори.

Енергията на електрическото поле на даден кондензатор се представя с изразите:

(1.16)C

QUQUCWE

22

2

1.

2

1.

2

1 ===

Капацитетът на плоския кондензатор е:

(1.17)l

SC r ..0 εε= ,

на цилиндричния кондензатор е:

(1.18)2

1

0

ln

...2

R

Rl

C rεεπ=,

а на сферичния кондензатор е:

(1.19)12

210 ....4

RR

RRC r

−= εεπ

.

Задача 1.4. Капацитивен делител се състой от n последователно съединени еднакви кондензатора с капацитет C . Към един от кондензаторите се включва волтметър с вътрешен капацитет

VC (фиг. 1.4). Да се определи при какво съотношение между величините C и VC се прави грешка 01,0≤δ , ако се приеме при

10=n , че на волтметъра се подава напрежение VU , равно на n

1 част

от напрежението U на входа на делителя.

9

Решение: При липса на волтметър с вътрешен капацитет VC еквивалентният капацитет е (фиг. 1.4.а):

n

CCe =

При наличие на волтметър с вътрешен капацитет VC се получават два последователно съединени кондензатора със съответни капацитети (фиг. 1.4.б)

VCCC +=1 и 1−n

C , като еквивалентния капацитет е:

( )( )

( )( ) CnCn

CCC

n

CCCn

CCC

n

CC

n

CC

CV

V

V

Ve ..1

.

11

.

1

1.

'

1

1

+−+

=

−++−

+=

−+

−= ;

Напрежението на волтметъра следва да се изчисли по формулата (фиг.1.4.б) :

UC

CU e

v .'

1

= , тъй като ev QQ '= .

След заместване се намира

−+

=+−

=

C

C

nn

U

CnCn

CUU

vvv

.1

11..).1(

.

.

По условие напрежението е vU се представя и по следния начин :

( )δ+=

1.n

UU v ,

10

където с ∂ е означена допустимата относителна грешка.

След изравняване на двата израза за vU се получава :

δ=

−

C

C

nv.

11

От последната формула се определя отношението между двата капацитета, т.е.

1

.

−=n

n

C

Cv δ

За дадените числени стойности получаваме :

( ) ( ) 90110.10

1

110.100

10

110

10.01.0 =

−=

−=

−=

C

Cv .

Задача 1.5 Пет еднакви кондензатора, всеки от които е с капацитет 4=C Fµ , са съединени както е показано на фиг.1.5. Напрежението на входа на веригата е 2=U kV . Да се определи енергията на всеки кондензатор.

Решение : Определят се последователно еквивалентните капацитети на отделните участъци, като се започва от края на веригата към началото й. При това се установява, че

66654 10.810.410.4 −−− =+=+= CCCab F

6

66

66

3

3 10.3

8

10.810.4

10.8.10.4. −−−

−−

=+

=+

=ab

abcb CC

CCC F

6662 10.

3

2010.

3

810.4 −−− =+=+= cbcd CCC F

11

6

66

66

1

1 10.5,210.

3

2010.4

10.3

20.10.4. −

−−

−−

=+

=+

=cd

cde CC

CCC F

Разпределението на напреженията се намира, като се използват съотношенията при последователно съединени кондензатори. За целта се започва от началото на схемата и се написва :

125010.4

10.5,2.2000.

6

6

11 === −

−

C

CUU e V

7501250200012 =−=−= UUU V

50010.4.3

10.8.750.

6

6

323 === −

−

C

CUU cd V

2505007503254 =−=−== UUUU V

Зарядите от отделните кондензатори могат да се определеят посредством съотношенията за паралено съединени кондензатори, т.е.

336 10.510.2.10.5,2. −− === UCQ e C

31 10.5 −==QQ C ; 3

6

632

12 10.310.20

10.3.4.10.5. −

−

−− ===

cdC

CQQ C

333213 10.210.310.5 −−− =−=−= QQQ C

3

6

634

34 10.110.8

10.4.10.2. −

−

−− ===

abC

CQQ C

333435 10.110.110.2 −−− =−=−= QQQ C

Енергията на първия кондензатор е :

125,32

1250.10.5..

2

1.

2

1

2

. 32

111

2111

1 =====−

UCC

QUQWE J .

По същия начин се изчисляват енергиите на другите кондензатори при което се получава :

125,12 =EW J ; 5,03 =EW J ; 125,054 == EE WW J

За проверка може да се определи общата енергия на цялата верига :

52000.10.5.2

1..

2

1 3 === −UQWE J

12

5125,0125,05,0125,1125,35

1

=++++== ∑=k

EKE WW J

Задача 1.6. Капацитивен делител за постоянно напрежение се състой от две последователно съединени кондензатора 1C и 2C . Да се определи капацитетът 2C така, че неговото напрежение да бъде n пъти по-малко от входното.

Отговор : ( )1.12 −= nCC .

1.1.3. Еквивалентно преобразуване на съединение триъгълник в звезда и обратно

На фиг.1.6а е дадено съединение триъгълник на резистори (съпротивления), а на фиг1.6.б е дадено съединение звезда на резистори. Такива съединения на резистори често се срещат в сложни електрически вериги.

За опростяване изчислението на сложните електрически вериги при преминаване от съединение триъгълник в звезда се използват изразите :

( 1.20 )312312

31121

.

RRR

RRR

++= ,

312312

23122

.

RRR

RRR

++= ,

312312

31233

.

RRR

RRR

++= ,

а при преминаване от съединение звезда в еквивалентно съединение триъгълник се използват изразите :

( 1.21 )3

212112

.

R

RRRRR ++= ,

1

323223

.

R

RRRRR ++= ,

2

131331

.

R

RRRRR ++= .

13

Изразите ( 1.20 ) и ( 1.21 ) са изведени при линейни електрически вериги за постоянен ток. Тези изрази имат същия вид и при линейни електрически вериги за променлив синусоидален ток, когато между клоновете на триъгълника и звездата липсва индуктивна връзка.

Задача 1.7 След преобразуване на схемата дадена на фиг.1.7, определете токовете в проводниците на трипроводната линия за постоянен ток, ако 220== BCAB UU V , 5,00 =R Ω, 1721 === RRR Ω,

443 == RR Ω, 85 =R Ω, 286 == RR Ω.

Решение: От схемата дадена на фиг.1.7 се вижда, че съпротивленията 76 ,RR и 8R са съединени в звезда, а съпротивленията

43 ,RR и 5R са съединени в триъгълник.

Преобразуваме звездата в еквивалентен триъгълник :

42

1.212

.

8

76769 =++=++=

R

RRRRR Ω

42

2.121

.

6

878710 =++=++=

R

RRRRR Ω

81

2.222

.

7

686811 =++=++=

R

RRRRR Ω

След преобразуване на звездата получаваме два триъгълника включени паралелно – фиг.1.8.

14

Проводимостите на страните на тези триъгълници се събират, т.е.

5,04

1

4

1111

93

=+=+=RRRab

Ω

5,04

1

4

1111

104

=+=+=RRRbc

Ω

25,08

1

8

1111

115

=+=+=RRRca

Ω

Двата паралелно съединени триъгълника се заменят с един еквивалентен триъгълник ( фиг.1.9 ) със страни

22

4

2293 ====

RRRab Ω

22

4

22104 ====

RRRbc Ω

42

8

22115 ====

RRRca Ω

15

Преобразуваме получения триъгълник в еквивалентна звезда (фиг.1.10 ) :

1422

4.2.=

++=

++=

cabcab

caaban RRR

RRR Ω

5,0422

2.2.=

++=

++=

cabcab

abbcbn RRR

RRR Ω

1422

2.4.=

++=

++=

cabcab

bccacn RRR

RRR Ω

Съпротивленията в клоновете на веригата са :

2111 =+=+= anAn RRR Ω

16

15,05,00 =+=+= bnBn RRR Ω

2112 =+=+= cnCn RRR Ω

Смятаме, че токовете 01 , II и 2I са насочени от точките BA, и C към възела n . На основата на първия закон на Кирхоф записваме уравнението за възела n :

0201 =++ III

На основата на втория закон на Кирхоф съставяме уравненията за контурите AnBA и BnCB , т.е.

0.. 10 =−+ IRIRU AnBnAB

0.. 02 =−+ IRIRU BnCnBC

Решавайки последната система уравнения намираме :

1001 =I A , 00 =I и 1002 −=I A

Знакът минус на тока 2I означава, че действителната му посока е противоположна на възприетата такава.

Задача 1.8 Да се определи показанието на амперметъра включен във веригата дадена на фиг.1.11, ако съпротивлението на амперметъра е 1=AR Ω , 12=E V ; 1,51 =R Ω; 402 =R Ω; 183 =R Ω; 3054 == RR Ω.

Решение : Схемата може да се опрости ако се използва преобразуването триъгълник в еквивалентна звезда. Трите съпротивления 42 ,RR и 5R обазуват триъгълник. Преобразуваме този

17

триъгълник в еквивалентна звезда. Еквивалентността тук се разбира в смисъл, че при замяна на съединението триъгълник в еквивалентна звезда, токовете в проводниците вън от триъгълника не се изменят. При замяна на триъгълника в еквивалентна звезда поставяме в центъра на триъгълника точка O и се определяме по известните формули съпротивленията в лъчите на звездата :

12100

1200

303040

30.40.

542

42 ==++

=++

=RRR

RRRa Ω

12100

1200

303040

30.40.

542

52 ==++

=++

=RRR

RRRb Ω

9100

900

303040

30.30.

542

54 ==++

=++

=RRR

RRRc Ω

Схемата от фиг.1.11 се опростява и получава вида даден на фиг.1.12.

Общото съпротивление на веригата е :

( ) ( ) ( ) ( )6,24

191812

19.1812121,5

.

3

31 =

+++++++=

+++++

++=acb

acbae RRRR

RRRRRRR Ω

Общият ток е 488,06,24

121 ===

eR

EI A

Нпрежението между възлите оd e : ( ) ( ) ( )( )

66,3488,0.191812

191812.. 1

3

31 =

+++++=

+++++

== Β IRRRR

RRRRIRU

ACB

ACodod V

18

Показанието на амперметъра е : 366,019

66,3 =+

=+

=AC

odA RR

UI A

Задача 1.3. Да се определи показанието на амперметъра включен в дадената верига (фуг.1.13) , ако Е=15 V , 10 =R Ω , 501 =R Ω; 202 =R Ω;

203 =R Ω; 304 =R Ω; 405 =R Ω и 0=AR .

Упътване : Да се използва преобразуването на съединение триъгълник на съпротивление 21 ,RR и 4R при 0=AR еквивалентно съединение звезда .

Отговор : 1,0== baA II A

1.2 Еквивалентно преобразувание на активни елементи от електрически вериги

1.2.1. Еквивалентно преобразуване на последователни активни клонове

Последователен активен клон ( източник на напрежение Е със съпротивление R ) се преобразува в еквивалентен паралелен активен клон ( източник на ток J с проводимост G ) съгласно фиг.1.14.

19

Параметрите на еквивалентните помежду си източници на ток (фиг.1.14 б) са свързани със следните зависимости :

(1.22)R

EJ = ,

RG

1= или EGJ .= ,

(1.23)G

JE = ,

GR

1= или JRE .=

Двата източника имат еднакви посоки спрямо изводите a и b . Преобразуванията, представени с изразите (1.22) и (1.23) , не са възможни при идеални източници на електромагнитна енергия , т.е. когато R=0 или G=0.

Няколко последователни съединения активни клона без взаимоиндуктивна връзка с е.д.н. kE и съпротивления kR са еквивалентни на един последователен активен клон с е.д.н. eЕ , равно на алгебричната сума на е.д.н. на източниците и сумарното съпротивление eR , т.е.

(1.24) ∑=

=n

kke EE

1 , ∑

=

=n

kke RR

1

Електродвижешите напрежения на източниците участват в сумата (1.24) със знака „+” или „-’’ според условните им положителни посоки на еквивалентния източник на е.д.н.

Например 1E и nE от фиг.1.15 са със знак „+” , а 2E със знак „-’’.

20

Паралелно съединените n активни клона с източници на е.д.н. и без взаимоиндуктивни връзки (фиг.1.16) са еквивалентни на един само последователен активен клон със сумарна проводимост

(1.25) ∑=

=n

kke GG

1 , където

kk R

G1= и сумарно е.д.н. със стойност

(1.26)∑

∑

=

==n

kk

n

kkk

e

G

GEE

1

1

.

В (1.26) е.д.н. на източника са със знак „+” или „-’’ според това, дали са съпосочни или противопосочни с еквивалентния източник на напрежение . Например 1E и nE са със знак „+” , а 2E и 3Е със знак „-’’.

21

Действително , ако се заменят източниците на напрежение дадени на фиг.1.16 с източници на ток ще има n паралелно съединени източника с ток kkk EGJ .= , които могат да се обединят в един

еквивалентен източник с резултантен ток ∑=

=n

kkke GEJ

1

. . Ако този

източник на ток се преобразува в източник на напрежение се получава израза (1.26).

1.2.2.Еквивалентно преобразуване на паралелни активни клонове

Няколко паралелно съединени активни клона без взаимоиндуктивни връзки с източници на ток kJ и паралелни проводимости kG (фиг. 1.17) могат да бъдат заменени с един реален източник на ток със стойност

(1.27) ∑=

=n

kke JJ

1 , имащ вътрешна проводимост

(1.28) ∑=

=n

kke GG

1

Използвайки изразите (1.27) и (1.28) може да заменим еквивалентния източник ток eJ в еквивалентен източник на напрежение със стойност

22

(1.29) eee

ee JR

G

JE .== , където

ee G

R1=

В (1.27) и (1.28) източниците на ток участват със знак „+” или „-’’ според това , дали са съпосочни или са противопосочни на приетата посока на еквивалентния източник на ток.

1.2.3.Еквивалентно преобразуване на активни клонове Клон с последователни съединени идеални източници на

напрежение Е и на ток J е еквивалентен на един само източник на ток J (фиг.1.18).

Паралелно съединени идеални източници на напрежение Е и на ток J са еквивалентни на един само източник на напрежение Е (1.19).

Последователно съединен идеален източник на напрежение Е и реален източник на ток J с вътрешно съпротивление 0R са еквивалентни на реален източник на напрежение JRE .0+ (фиг.1.20) , който може да бъде в реален източник на ток според фиг.1.14 и уравнение (1.23).

23

Паралелно съединен идеален източник на ток J и реален източник на напрежение Е с вътршно съпротивление 0R са еквивалентни на реален източник на напрежение JRE .0+ (фиг.1.21).

Паралелно съединени реален източник на напрежение kE и на ток kJ се преобразуват еквивалентно в реален източник на ток eJ или в реален източник на напрежение eE (фиг.1.22)

съгласно зависимостите

(1.30) ( )∑=

+=n

kkkke JGEJ

1

.

24

(1.31) ( )∑∑==

=+=

+=

n

keekkke

n

kk

k

kee JRJGERJ

R

ERE

11

.... , където

∑=

==n

k k

ee

RG

R

1

111

Ако при свързване на резистори в звезда или триъгълник в клоновете им има източници на е.д.н. се казва , че имаме активна звезда (фиг.1.23) и активен триъгълник (фиг.1.23 б).

При еквивалентно преобразуване на активна звезда в активен триъгълник е.д.н. на източниците в триъгълника са :

(1.32) 1212 EEE −= , 2323 EEE −= , 3131 EEE −= ,a съпротивленията на триъгълника 12R , 23R и 31R се определят по формулите (1.21).

При еквивалентно преобразуване на активен триъгълник в активна звезда , е.д.н. на източниците в звездата са

(1.33)312312

123131121

..

RRR

ERERЕ

++−

= , 312312

231212232

..

RRR

ERERE

++−

= , 312312

312323313

..

RRR

ERERE

++−

=

, а съпротивленията на звездата 1R , 2R и 3R се определят по формулата (1.20).

Преобразуването пренасяне на идеалени източници на ток се използва при анализа на линейни електрически вериги с идеален източник на ток по метода с контурни токове.При определени условия чрез това преобразуване може да се стигне до еквивалентни вериги с по-малък брой контури.

25

Преобразуването пренасяне на идеални източници на е.д.н. се използва при анализа на линейни електрически вериги с идеални източници на е.д.н. по метода с възловите потенциали. При определни условия чрез това преобразуване може да се стигне до еквивалентни вериги с по-малък брой възли.

Разгледаните преобразувания важат за произволен режим (постоянен , периодичен или преходен ).

Допустими са следните свързвания на идеални източници на електромагнитна енергия :

- последователно или паралелно свързване на разнородни идеални източници ;

- последователно свързване на идеални източници на напрежение;- паралелно свърване на идеални източници на ток.Не е допустимо паралелно свързване на идеални източници на

напрежение или последователно свързване на идеални източници на ток , ако съответните електродвижещи величини са различни по стойност .

Идеален източник на ток се пренася в контур (1.24 а) , като във всички възли на контура се включват по два противоположно насочени източника на ток със съшия електродвижещ ток , при което в случая се получава заместващата схема на фиг.1.24 б

Реалните източници на ток може да се заместят с еквивалентни изтночниц на напрежение фиг.1.25

26

Идеален източник на напрежение е е.д.н. Е се пренася (прехвърля) през възел (фиг.1.26 а) , като във всеки клон свързан с възела , се включва допълнително по един идеален източник на напрежение със същото е.д.н. Е (фиг.1.26 б) и с посока , обратна на посоката на пренасяното е.д.н. спрямо възела.

Задача 1.10. За веригата, чиято схема е дадена на фиг. 1.27 е известно, че Е6=55 V; Je=1 A; R1=5 Ω; R2=10 Ω; R3 =R4 =R6 =5 Ω; R5

=10 Ω. Да се определят токовете във всички клонове на веригата и напрежението U J , като се преобразува източникът на ток в източник на напрежение.

27

Решение: За да се осъществи исканото преобразуване се постъпва по следния начин.

1. Преобразува се активния двуполюсник от последователен тип (източникът на е.д.н. Е6 с резистора R6) в активен двуполюсник от паралелен тип (източник на ток 6e

J с резистор R6) – фиг. 1.28.

115

55.

6

6666

====R

EEGJ e A.

28

2. Обединяват се двата източника на ток 6eJ и eJ в един

еквивалентен източник на е.д.т. eJ ′, т.е.10111

6=−=−=′ eee JJJ A.

3. Преобразува се източникът на е.д.т. eJ ′ с 6R в източник на е.д.н. 6Е′ с 6R , т.е.

501.55510.5.. 6666 =−==−=′=′ ee JREJRE V.Получената еквивалентна схема е показана на фиг. 1.29.

Тази схема може да се анализира, като се преобразува триъгълното съединение, съставено от елементите R1, R2 и R3 в еквивалентно звездно съединение (фиг. 1.30) с параметри:

5,220

50

5105

10.5.

321

21 ==++

=++

=RRR

RRRa Ω

5,220

50

5105

5.10.

321

32 ==++

=++

=RRR

RRRb Ω

25,120

25

5105

5.5.

321

31 ==++

=++

=RRR

RRRc Ω

29

Така се дистига до веригата – фиг. 1.30, която предсталява смесено съединение. Непосредствено се намира

( ) ( ) ( ) ( )12

10525,15,2

1025,1.55,2.

54

546 =

+++++=

+++++

++=RRRR

RRRRRRR

ca

cabe Ω

167,412

506 ==′

=e

bd R

EI A

5,275,18

167,4.25,11167,4.

10525,15,2

1025,1.

54

54 ==

++++=

++++

= bdca

c IRRRR

RRI A

667,15,2167,445 =−=−= III bd AСлед това се определя напрежителният пад U ab въз основа на

зависимостта:0.. 4 =−− IRIRU abdbab или

65,165,2.5,2167,4.5,2.. 4 =+=+= IRIRU abdbab V

По закона на Ом се установява, че 665,110

65,16

22 ===

R

UI ab A.

Останалите токове се изчисляват с помоща на първия закон на Кирхоф, т.е. 835,0665,15,2241 =−=−= III A

5,2667,1835,0513 =+=+= III A165,45,2665,1326 =+=+= III A

Търсеното напрежение върху източника на ток U J се определя посредством обобщения закон на Ом, т.е.

165,2950167,4.5. 66 −=−=′−= EIRU bdJ Vт.е. източникът на ток eJ ′ и напрежението bdJ UU = имат обратни

посоки.

30

Задача 1.11. Дадена е електрическа верига (фиг. 1.31) с параметри 10

1=eJ A, 5

2=eJ A, 31 =R Ω, 102 =R Ω и 7=R Ω. Да се

определят всички токове във веригата и се направи баланс на мощностите.

Решение: Активните двуполюсници от паралелен тип се заместват с активни двуполюсници от последователен тип (фиг. 1.32):

Е.д.н. на еквивалентните източници на напрежения са:3010.3.

111 === eJRE V505.10.

222 === eJRE V

31

Токът през консуматора R се определя от зависимостта:

17103

3050

21

12 =++

−=++

−=

RRR

EEI A

Токовете I1 и I2 се намират с помоща на първия закон на Кирхоф, като 11110

11 =+=+= IJI e A415

22 =−=−= IJI e A.

За съответните напрежения се намира3311.3. 111 === IRU V и 404.10. 222 === IRU V

От фиг. 1.32 по втория закон на Кирхоф определяме:IRUE .111 −= или 331.330.111 =+=+= IREU VIRUE .222 += или 401.1050.222 =−=−= IREU V

И двата източника на ток работят в генераторен режим. Доставените мощности са

33010.33.11 1 === eГ JUP W и 2005.40.

22 2 === eГ JUP WСъответният баланс на мощностите има вида

222

211

2 ...21

IRIRIRPP ГГ ++=+ , като след заместване на числените стойности се стига до тъждеството

53016036374.1011.31.7200330 222 =++=++=+ W.Интересно е да се отбележи, че в преобразуваната верига

източникът Е2 работи в генераторен режим и доставя мощност501.50.22

===′ IEPГ W, докато източникът Е 1 работи в консуматорен

режим и консумира мощност 301.30.11−=−=−=′ IЕPГ W.

Балансът на мощностите в случая се представя по следния начин( ) 2

212

22

12 ....

21IRRRIRIRIRPP ГГ ++=++=′+′ или

201.205030 2 ==+− W.Този пример показва, че при преобразуване на активни вериги

режимите на работа на изходните и на еквивалентните източници могат да се различават независимо от това, че токовете и напреженията в преобразуваната част от веригата не се променят.

Задача 1.12. На фиг. 1.33 е показана схема на активно триъгълно съединение на елементи. Да се намери еквивалентното звездно съединение на елементите.

32

Решение: Това преобразуване обхваща следните етапи:1. Активните двуполюсници от последователен тип се заместват

с еквивалентни активни двуполюсници от паралелен тип (фиг. 1.34 а).2. Преобразува се пасивното триъгълно съединение в

еквивалентна трилъчева звезда (фиг. 1.34 б) с параметри:

312312

31121

.

RRR

RRR

++= ;

312312

23122

.

RRR

RRR

++= ;

312312

31233

.

RRR

RRR

++= ;

3. Пренасят се източниците на ток по начина, показан на фиг. 1.35 а.

33

4. Паралелните източници на ток се заместват с един единствен източник на ток. В резултат се получава трилъчево съединение, съставено от три активни двуполюсника от паралелен тип (фиг. 1.35 б).

5. Активните двуполюсници от паралелен тип се преобразуват в еквивалентни активни двуполюсници от последователен тип (фиг. 1.36) с параметри:

( )312312

12313112123111

...

RRR

ERERJJRE

++−

=−= ; ( )312312

23121223231222

...

RRR

ERERJJRE

++−

=−= ;

( )312312

31232331312333

...

RRR

ERERJJRE

++−

=−= ;

34