流體力學講義投影片（ch6）

第六章 流體之流動和柏努力之

方程式

6.1 流體流率

Q：體積流率(volume flow rate)

(單位時間內流經某一斷面之體積)

W：重量流率(weight flow rate)

(單位時間內流經某一斷面之重量)

M：質量流率(mass flow rate)

(單位時間內流經某一斷面之質量)

（1）Q=A×V

A：斷面積(m2)

V：流體之平均流速(m/s)

6-1

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Q：( )

（2）W = r×Q

r：比重量( )

W= r×Q=( )×( )=

（3）M=ρQ=( )×( )=

體積流率之慣稱 CMS=(Cubic

meters per second) ( )

例：

求：Q,W,M

Q=A×V A==0.196m2

V=2m/s

6-2

sg=1

dou

t：外徑din

：內

徑 Δx：管

厚 則dou

t = din

+20△xA=：流通面

積

D=50cm , V=2m /s

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W= r ×Q=9.81

M=

6-2 連續方程式

穩定流：在流動系統中，流體在任

何一點之性質不隨時間改

變者，稱為穩定流。

連續性：任何兩斷面間，若沒有流

體之加入、儲存或移除，則

兩斷面之質量流率必相等。

6-3

V1

M1

V2

M2

1Ρ1

A12Ρ2

A2

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M1=M2

若為不可壓流體

(即 ，ρ 不會隨時空改變者)

或

例：

6-4

連續方程式

D1=5cm

V1= 4m/s

不可壓縮流體

D2=10cm

求 V2=?

連續方程式

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6-5

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6.3 商業用管和管系

公稱尺寸：常用？英吋稱之

公稱尺寸較接近內徑

6-6

稱法： 公稱尺寸+10 號 +鋼管+150 級 +銅管+ K 型 +鑄鐵管

ΔX din ΔX

dout

dout：外徑din ：內徑 Δx ：管厚 則 dout = din+20△xA= ：流通面積

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例：查閱 P.467

1. 4 in，40號，鋼管， 及流通面積=4.026 in

2. 4 in，80號，鋼管 =3.826 in

3. 4 in ，K型，鋼管， =3.857 in

4. 4 in ，150級，鑄鐵， =4.10 in

6-7

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6.4管流中流速之建議值流量一定時1. A V Δp (能量損失大)

2. A V Δp (但初設費大)

一般Q已知時取V≒3m/s時之合適A

例：用 40號鋼管Q=3200 L/min (水)，求V最大濃度為 6.0 m/s之合適尺寸(公稱尺寸)

Q=AV

A=

A= ≦Ao

查附錄 F得Ao= 即 5

英吋之 40號鋼管

6-8

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6.5非圖形斷面流(A)

仍滿足A1V1= A2V2

Q1=Q2(不可壓縮流)(B)

Q1=Q2+Q3

(C)

6-9

V1

A1

V1

A2

A1

A2

A3

Q1

Q2

V2

V3

Q3

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6-10

A1

d1

A1

d1

A2

L

υ

ρ

z

υ

ρ

z

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6.6 能量守恆-柏努利方程

流體元素之能量來源（1）所在之高程：z（位能）（2）流 速：υ（動能）（3）壓 力：p（壓力能）

1.位能（polential energy） PE=wz 單位：N．m

w：流體元素之重量

2.動能（kinetic energy） 單位：N．m

3.壓力能（pressure energy） （流動能、流功）

6-11

流體元素

1

2

流體元素

1

2

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單位：N．m

V：流體元素之體積流體元素之總能量

若在斷面 1和 2間，沒有能量之加入或損失，則流體元素在斷面 1和 2具有相同之能量。

上式稱為柏努力方程式（Bernoulli`s Eq.）

6-12

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等式左邊：單位重量流體元素在斷面 1所具有之能量。

等式右邊：單位重量流體元素在斷面 2所具有之能量。

6-13

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6.7 柏努利方程式之詮釋（1）柏努利方程式中之單位 （為一高度或長度單位） 柏努利方程式中的每一項，經常稱

為總水頭（Head）。 ：壓力水頭 z：位置水頭

：速度水頭

6-14

三者合併稱為總水頭

p1

p2g2

21

1p

z1

g2

22

gp22

z2p1

p2g2

21

1p

z1

g2

22

gp22

z2

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（2）柏努利方程式與連續方程式

注意：流動中之流體，其壓力之計算不在適用 γh之公式。

6-15

2m

2

1

υ1=3.0m/s

d1=25mmp1=345kPa

d2=50mm求p1=?

2m

2

1

υ1=3.0m/s

d1=25mmp1=345kPa

d2=50mm求p1=?

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6.8 柏努利方程式之限制1.僅適用於不可壓縮流體（γ相同）

2.兩截面間沒有能量之加入或減少 （指熱能、摩擦能、機械設備等）

6.9 柏努利方程式之應用例：

6-16

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（1）利用連續方程式求 υ2

由連續方程式

（2）利用柏努利方程式求 p2

已知

6-17

1.8m

1.2m

1.2mA B

C

D

E F

d=40mm

dF=25mm

1.8m

1.2m

1.2mA B

C

D

E F

d=40mm

dF=25mm

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討論：

若 則

（1）曝露在大氣的水槽、蓄水池和噴嘴

求 pB、pC、pD、pE及Q

（1）將柏努利方程式應用於A及 F

點，求取 υF及Q

6-18

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（2）利用連續方程式求 υB、υC、

υD、υE

（3）利用柏努利方程式求pB、pC、pD、pE。

6-19

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﹙2﹚用文氏計和其他封閉系統測流速

6-20

222 ,, p

111 ,, p

6 0 ْ�C 之 水 γ = 9 . 6 5 k N / m 3

d 2 = 2 0 0 m m

d 1 = 3 0 0 m m y m

1 . 1 8 m

0 . 4 6 m

s g = 1 . 2 5

222 ,, p

111 ,, p

6 0 ْ�C 之 水 γ = 9 . 6 5 k N / m 3

d 2 = 2 0 0 m m

d 1 = 3 0 0 m m y m

1 . 1 8 m

0 . 4 6 m

s g = 1 . 2 5

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將(2)代入(1)得

6-21

(1)

(2)

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例：求 60℃之水，γ=9.65 kN/m ，如

上圖之文氏計

(1) 求

(2)求

(3)求

(4)利用柏努力方程式求

已知

6-22

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(5)利用連續方程式求

6-23

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6.10 拖氏理論

設(1)

(與大氣接觸錶計壓力為 0)

(2) 設水池之面積遠大於出口管徑，

在點 1 之速度水頭可忽略(V1=0)

以上稱為拖氏理論

(Torricelli′s theorem)。

噴水池

6-24

1 2

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6.11.1壓力槽之排水原理：將錶計壓力轉換成

有效水頭

6.11.2噴嘴型式之效應原理：將槽尖銳邊緣的洞口流過之水流，其水流直徑會小於洞口直徑，此水流直徑收縮的現象稱為維納收縮(Vena Contracta)。

6-25

Ρ1=0 V1=0

1

Ρ3=0V3=0

Ρ2=02

h 3

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6-26

維納收縮直徑

洞口直徑

尖銳邊緣的洞口 Aj=0.62A0

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5. 11 落水頭所造成之流動-

估算槽水流失所需之時間

如圖所示，設水槽直徑 At，在其底

部有一孔口，截面積為 Aj，水位初

始高度為 H，求水位下降至 h 所需之

時間，

基本觀念

6-27

At

Aj

h

H

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水位下降之體積=流出之水量 dV = -At × dh =Q×dt

Q = Vi × Ai

由拖式理論得 Vj =

又 t = 0 時 h = H

又 t = t 時 h = h

6-28