حل نظام من معادلتين خطيتين بيانياً

معادلتين( 5-1) من نظام حل� خطيتين بيانيا

: التمثيل درست سبق فيما . الخطية للمعادالت البياني

واآلن :

مكون نظام حلول عدد أتعرف . خطيتين معادلتين من

معادلتين من مكونا� نظاما� أحل . � بيانيا خطيتين

المفردات

معادلتين من نظام

المتسق النظام

المستقل النظام

غير النظامالمستقل

المتسق غير النظام

لماذا؟

مادة إعداد تكاليف بلغتعلمية ريال، 1500أشرطة

الواحد الشريط تسجيل وكانبـ 4يكلف ويباع 10رياالت

اإلنتاج مدير ويرغب رياالت،التي األشرطة عدد معرفة في

� ربحا يحقق حتى بيعها .عليه

لماذا؟

لنظام البياني التمثيل إنمعرفة على يساعد المعادالت

ربحا�، يحقق الذي الوضعتكاليف عن التعبير ويمكن

بالمعادلةص = الكلية اإلنتاجحيثصتمثل 1500س + 4 ؛

سعدد اإلنتاج، تكلفة . المنتجة األشرطة

لماذا؟

الكلية القيمة تمثيل يمكنبالمعادلةص = للمبيعات

القيمة 10 ص تمثل حيث س،عدد سعدد للمبيعات، الكلية

. المبيعة األشرطة

لماذا؟ المعادلتين هاتين تمثيل يمكننا

يبدأ متى معرفة من بيانيSا� . بتحديد وذلك الربح تحقيقفيها يتقاطع التي النقطة

عند يحدث ما وهو المستقيمان،تحقيق 250بيع أن Wأي شريطا�؛

من أكثر بيع عند يبدأ 250الربح .� شريطا

لماذا؟ : الممكنة الحلول تشكSل عدد

المعادلتان ص = 1500س + 4ص = س 10،

معادلتين من ويXسمى نظاما� ، � حًال يمثل الذي المرتب الزوج

. للنظام حًال� المعادلتين من لكًال

لماذا؟

على واحد حل للنظام كان إذايسمى األقل

� متسقا تمثيًالته نظاما� وتتقاطع ،تشكSل أو واحدة، نقطة في البيانية

. � واحدا مستقيما�

لماذا؟

فقط، واحد حل للنظام كان إذا� يسمى مستقًال له نظاما� كان وإذا ،

يسمى الحلول من نهائي ال عددمستقل غير يعني نظاما� وهذا ؛

الحلول من محدد غير عدد وجود . المعادلتين كلتا تحقق

لماذا؟

يسمى حل، أي للنظام يكن لم إذامتسق غير تمثيًالته نظاما� وتشكل ،

. متوازية مستقيمات البيانية

أساسي مفهوم

الممكنة الحلول

فقط واحدال عددنهائي

حل يوجد الحلول ال عدد

متسق ومستقل

متسق وغير متسق

متسق المصطلح غير

التمثيل البياني

للدراسة إرشاداتالحلول عدد

المعادلتين من كل تXكتب عندماالصيغة على

ب = + م، قيم فإن ب، س م ص . الحلول عدد تحدد

عدد الحلول

ب م، قيم بين المقارنة

مختلفتان 1 م قيمتا

يوجد المتساويتان، م قيمتامختلفتان ب وقيمتا

نهائي المتساويتان، م قيمتامتساويتان ب وقيمتا

الحلول عدد

مثالتحدد 1ل المجاور البياني التمثيل استعمل

غير أم متسقا� اآلتي النظام كان إذام غير أم ومستقًال� ص( = -متسق، 3س + 2أ

س = 5- ص

اللذين المستقيمين أن بمايمثًالن

في يتقاطعان المعادلتينواحدة، نقطة

للنظام، واحد حل فهناك � متسقا النظام ويكون

.� ومستقًال

ص( = - 3س + 2أس = 5- ص

الحلول عدد

مثاإذا 1ل لتحدد المجاور البياني التمثيل استعمل

متسق، غير أم متسقا� اآلتي النظام كانم غير أم ومستقًال�

ص( = - س - 2ب5

3س + 2ص = -

المستقيمين أن بماالمعادلتين يمثًالن اللذين

حل يوجد فًال متوازيانالنظام ويكون للنظام،

. متسق غير

ص( = - س - 2ب5

3س + 2ص = -

فهمك من تحقق

3 س +2ص = أ( 13س + 2ص = -

الحــــــــل

نقطة في متقاطعان المعادلتين يمثالن اللذين المستقيمين أن بماومستقل متسق النظام ويكون للنظام واحد حل فهناك واحدة

وحيد ) حل للنظام ( 3، 0اذن

فهمك من تحقق

س = ب( 1 5ــ صــ 2ص = - 5س

الحـــــــــــــــل

في متقاطعان المعادلتين يمثالن اللذين المستقيمين أن بماومستقل متسق النظام ويكون للنظام واحد حل فهناك واحدة نقطة

وحيد ) حل للنظام ــ 0اذن ،5 )

: البياني بالتمثيل من الحلحل في المستعملة الطرائقتمثيلها المعادالت من نظامالبياني المستوى في بيانيا�التي النقطة وإيجاد نفسه،المستقيمان عندها يتقاطع

. النظام حل تمثل والتي

مراجعة

مفراداتال

المتوازية المستقيماتولها أبدا� تتقاطع ال

نفسه الميل

2مثال

البياني بالتمثيل الحل

يأتي مما نظام كل مثSلوإذا حلوله، عدد وأوجد بيانيا�،

: فاكتبه واحدا� كانص( = - س + 3أ

10 س = – 2ص

البياني التمثيل من يظهريتقاطعان المستقيمين أن

النقطة فيمن (1، 3) التحقق ويمكن ،

بالتعويضعنس ، 3 بـذلك 1 بـgوعنص

ص( = - س + 3أ10

س = – 2ص

تحقق

األصلية 10س + 3ص = - المعادلة

عوSض10+ ( 3)3 = -1

اضرب 10+ 9 = -1

1 = 1 √

تحقق

س = - األصلية 2ص المعادلة

عوض2 - 3 = 1

اضرب √ 1 = 1

واحد، حل للنظام إذن( 1، 3هو )

2مثال

البياني بالتمثيل الحل

ص – = -2ب( س1 6ص = 2س – 4

الميل للمعادلتين أن بماومقطعاهما نفسه،مختلفان، الصاديان

الممثًالن فالمستقيمانوبما متوازيان، للمعادلتينأية في يتقاطعان ال أنهمالهذا Sحل يوجد فًال نقطة

النظام.

ص – = -2ب( س1 6ص = 2س – 4

بيانيا�، يأتي مما نظام كل مثSل � واحدا كان وإذا حلوله، عدد وأوجد

فاكتبه:

2ص- = سأ( 29س = 2ص + 3

الحــــــــــــــــلص = 2ســ

ــ = س 2ص (، س

ص(ــ ص س 2س

ــ 0) 0 2ــ 20ــ (2،

4 2ــ 24 (2، 4) 9س = 2ص + 3 3س + 2ــ ص = 3

) ص) 3س + 2 ــ ص س، 3

س

(0 ،3) 3 0 + 3 0

3 3 + 2ــ 1 (1، 3)

النقطة في يتقاطعان المستقيمين أن البياني التمثيل من ( 1، 3 ) يظهرهو ) واحد حل للنظام ( 1، 3اذن

ومستق متسق النظام

بيانيا�، يأتي مما نظام كل مثSل � واحدا كان وإذا حلوله، عدد وأوجد

استعمال فاكتبه: يمكنناالمعادالت أنظمة

متنوعة مسائل لحلالحياة واقع من

أو متغيرين تتضمنأكثر.

الحياة مع الربط

التمور تعد � صحيا غذاًء�

� مركزاوطبيعيا�، � ومنجما

للفيتامينات؛ بها ما لكثرةعناصر من

معدنية وفيتامينات

مثال 3

واقع منالحياة

من نظام كتابةوحله معادلتين

التمور تXمور: من نخيل مزرعتي إنتاج يزداد . استعمل السنين من عدد عبر تقريبا� بانتظامللتنبؤ أدناه الجدول في الواردة المعلومات

� متساويا المزرعتين إنتاج فيها يصبح التي بالسنةخًالل ثابتا� يبقى الزيادة معدل أن اعتبار على

. المزرعتين كلتا في القادمة الزيادة السنوات معدلالسنوية ) بالطن)

اإلنتاج كميةهـ 1429عام

) بالطن)

المزرعة

األولى 8309الثانية 418 3

من 3مثال نظام كتابةوحله معادلتين

التعبير اللفظي

المتغيرات

المعادالت

كمية اإلنتاج الكلية

= ليكنص

المزرعة األولىص

309+س×8=

معدل يساويالزيادة

ضرب

عدد السنوابعد ت

هـ1429

زائدكمية

اإلنتاج عام

هـ1429

منذ= س السنوات عدد0هـ1427عام

الكلية اإلنتاج كمية,

المزرعة الثانيةص

418+س×3=

3مثال

واقع منالحياة

من نظام كتابةوحله معادلتين

= : ص الدالتين ، 309س + 8بتمثيلأن 418س + 3ص = نجد بيانيا�

النقطة في يتقاطعان المستقيمين(22 ،485 . )� تقريبا

تحقق

. اإلجابة صحة من للتحقق التعويض استعمل

309 + س8ص =

485 =8(22 ) +309 ؟

485 = 485 √

تحقق


418 + س3ص =

485 =8(22 ) +418 ؟

485 ≈ 484 √

تحقق


إنتاج سيكون إذن،

بعد متساويا� زرعتينالممن 22 أيW 1429سنة هـ؛

عام إذا 1451في هـ، � ثابتا الزيادة معدل ي

بق

. المزرعتين كلتا في

في ساعات: ( 3 ورائد محمود من كل يرغبمحمود مع كان فإذا يدوية، ساعة 14شراًء

ويوفر ومع 10رياال�، األسبوع، في رياالتويوفر 26رائد األسبوع، 7رياال� في رياالت

المبلغ معهما يصبح أسبوعا� كم فبعدنفسه؟

من تحققفهمك

الحــــــــــــل

ص) ( س 14س + 10صس، (1 ،24) 24 10 + 14 1 (2 ،34) 34 20 + 14 2

(3 ،44) 44 30 + 143 (4 ،54) 54 40 + 144

ص : = 14س + 10ساعات 26س + 7ص = ص = 14س + 10لتمثيل

الحــــــــــــل

ص) ( س 26س + 7صس، (1 ،33) 33 7 + 26 1

(2 ،40) 40 14 + 26 2

(3 ،47) 47 21 + 263

(4 ،54) 54 28 + 264

ص = 26س + 7لتمثيل

النقطة ) في يتقطعان المستقيمين أن البياني التمثيل من ( 54، 4يظهرالرابع األسبوع في نفسه المبلغ معهما يصبح

البياني تأكد التمثيل استعمل pكل كان إذا لتحدد المجاور

اآلتية المعادالت أنظمة منمتسق، غير أم متسقا�

: مستقل غير أم ومستقًال�

1س + 3ص = -( 1 1س + 3ص =

المستقيم أن بماالنقطة في متقاطعين

متسق( 1، 0) النظام إذاومستقل

البياني تأكد التمثيل استعمل pكل كان إذا لتحدد المجاور

اآلتية المعادالت أنظمة منمتسق، غير أم متسقا�

: مستقل غير أم ومستقًال�

س = ( 3 3 -صس = 3 +ص

ليسا المستقيم أن بماإذا ومتوازيين متقاطعين

متسق غير النظام

مثالتأكد2

أنظمة من كًال� مثلبيانيا�، اآلتية المعادالتوإن حلوله، عدد وأوجد

: فاكتبه واحدا� كان

س = + ( 5 4صس = - – 4ص

(0- ،4)

الحـــــــــــل

(، سص (

س 4س + ص

(0 ،4) 4 0 + 4 0

(1 ،5) 5 1 + 4 1

1ــ 4 + 1ــ 3 (3، 1ــ)

ــ ) النقطة في يتقاطعان المستقيمين أن البياني التمثيل من ( 0، 4يظهرــ ) هو واحد حل للنظام ( 0، 4اذن

ومستق مستقل النظام

س = + 4ص

الحـــــــــــلــ = س ــ 4ص

ص) ( ــ صس، س 4ــس

ــ 0) 0 4ــ 0 4ــ (4،

ــ 1ــ) 1ــ 4ــ 1 3ــ (3،

ــ 2ــ) 2ــ 4ــ 2 2 (2،





وحل تدربالمسائل

المجاور البياني التمثيل استعمليأتي فيما نظام كل كان إذا لتحددأم ومستقًال� متسق، غير أم متسقا�

: مستقل غير

س + 3ص = -( 84

4 س –3ص = -

أن بما

المستقيم ليسا

متقاطعين

إذا متوازيينو

غير النظام

متسق

الدرس انتهى

حل نظام من معادلتين خطيتين بيانياً

Documents